espaces pr´ehilbertiens -...

Espaces prehilbertiens

Notes de cours

Licence 2 Mathematiques – Semestre 4

Ioane Muni Toke

Version 2013

2

Universite de la Nouvelle-Caledonie L2 Mathematiques

Table des matieres

1 Produit scalaire, orthogonalite 5

1.1 Produit scalaire, norme euclidienne ou hermitienne . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Familles orthogonales et orthonormees de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Orthogonal d’une partie, sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Endomorphismes de E euclidien/hermitien 17

2.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Endomorphismes autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Endomorphismes orthogonaux ou unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Reduction des endomorphismes symetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Reduction des endomorphismes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Projection orthogonale 29

3.1 Projection dans un espace vectoriel quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Projection orthogonale dans un espace prehilbertien . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Projection orthogonale et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 ♠ Projection orthogonale sur un sous-espace complet . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Inegalite de Bessel et egalite de Parseval-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6 Notions d’espace de Hilbert et de base hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Series de Fourier 43

4.1 Espaces de fonctions periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Espaces prehilbertiens C0T (R,K) et C0,m

T (R,K) . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.2 Familles orthonormees usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Coefficients, sommes et series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Proprietes des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3 Regularisee et coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Inegalite de Bessel et comportement des coefficients de Fourier . . . . . . . 50

4.4 Convergence ponctuelle et uniforme des series de Fourier . . . . . . . . . . . 51

4.4.1 Convergence ponctuelle des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.2 Convergence uniforme des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5.1 Approximation uniforme de fonctions periodiques . . . . . . . . . . . 56

3

4 TABLE DES MATIERES

4.5.2 Convergence quadratique et egalite de Parseval-Bessel . . . . . . . . 574.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Espaces prehilbertiens reels ou complexes. Orthogonalite. Espaces euclidiens et her-

mitiens : adjoint d’un endomorphisme, endomorphismes hermitiens, unitaires, endomor-phismes normaux. Reduction des endomorphismes via une transformation unitaire. Dia-gonalisation des endomorphismes normaux, Projection orthogonale sur un sous-espace dedimension finie, distance a un tel sous-espace. Base hilbertienne, applications aux seriesde Fourier : theoreme de Jordan-Dirichlet et de Parseval.


Chapitre 1

Produit scalaire, orthogonalite

Dans tout ce chapitre, K = R ou C.

1.1 Produit scalaire, norme euclidienne ou hermitienne

Definition 1.1 (Produit scalaire). Soit E un R-espace vectoriel. On appelle produitscalaire sur E toute forme bilineaire symetrique definie positive, i.e. toute application〈·, ·〉 : E × E → R verifiant les proprietes suivantes :

(i) ∀x ∈ E,∀(y, y′) ∈ E2,∀α ∈ R, 〈x, αy + y′〉 = α〈x, y〉+ 〈x, y′〉 ;(ii) ∀(x, y) ∈ E2, 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ;(iii) ∀x ∈ E, 〈x, x〉 ≥ 0 et ∀x ∈ E, (〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0).

Definition 1.2 (Espace prehilbertien reel, espace euclidien). On appelle espaceprehilbertien reel le couple (E, 〈·, ·〉). Si E est de dimension finie, l’espace est dit eucli-dien.

Exemple 1.3. On verifiera que les exemples suivants verifient bien les definitions precedentes.– Soit n ∈ N

∗. On note E = Rn. On pose pour tout (x, y) ∈ E2, x = (x1, . . . , xn),

y = (y1, . . . , yn) : 〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi. (E, 〈·, ·〉) est un espace euclidien.

– Soit n ∈ N∗. On note E = Mn(R), ensemble des matrices carrees reelle d’ordre n.

On pose pour tout (M,N) ∈ E2 : 〈M,N〉 = tr(tMN) =

n∑

i=1

n∑

k=1

mkinki. (E, 〈·, ·〉)

est un espace euclidien.

– On note E = C([0, 1];R). On pose pour tout (f, g) ∈ E2 : 〈f, g〉 =

∫ 1

0f(t)g(t) dt.

(E, 〈·, ·〉) est un espace prehilbertien reel.Ces exemples sont fondamentaux. De nombreux autres exemples seront vus en TD.

Definition 1.4 (Produit scalaire hermitien). Soit E un C-espace vectoriel. On appelleproduit scalaire (hermitien) sur E toute forme sesquilineaire hermitienne definie positive,i.e. toute application 〈·, ·〉 : E × E → C verifiant les proprietes suivantes :

(i) ∀x ∈ E,∀(y, y′) ∈ E2,∀α ∈ C, 〈x, αy + y′〉 = α〈x, y〉+ 〈x, y′〉 ;(ii) ∀(x, y) ∈ E2, 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ;(iii) ∀x ∈ E, 〈x, x〉 ≥ 0 et ∀x ∈ E, (〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0).

5

6 CHAPITRE 1. PRODUIT SCALAIRE, ORTHOGONALITE

Bien noter la semi-linearite par rapport a la premiere variable dans le cas hermitien :

∀(x, x′) ∈ E2,∀y ∈ E,∀α ∈ C, 〈αx+ x′, y〉 = α〈x, y〉+ 〈x′, y〉. (1.1)

Definition 1.5 (Espace prehilbertien complexe, espace hermitien). On appelle espaceprehilbertien complexe le couple (E, 〈·, ·〉). Si E est de dimension finie, l’espace est dithermitien.

Exemple 1.6. On redonne les exemples fondamentaux precedents dans le cas K = C.– Soit n ∈ N

∗. On note E = Cn. On pose pour tout (x, y) ∈ E2, x = (x1, . . . , xn),

y = (y1, . . . , yn) : 〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi. (E, 〈·, ·〉) est un espace hermitien.

– Soit n ∈ N∗. On note E = Mn(C), ensemble des matrices carrees reelle d’ordre n.

On pose pour tout (M,N) ∈ E2 : 〈M,N〉 = tr(M∗N) =

n∑

i=1

n∑

k=1

mkinki. (E, 〈·, ·〉)

est un espace hermitien.

– On note E = C([0, 1];C). On pose pour tout (f, g) ∈ E2 : 〈f, g〉 =

∫ 1

0f(t)g(t) dt.

(E, 〈·, ·〉) est un espace prehilbertien complexe.

Dans toute la suite du chapitre, (E, 〈·, ·〉) designe un espace prehilbertienreel ou complexe.

On definit l’application ‖ · ‖ : E → R+, x 7→√

〈x, x〉.Remarque 1.7. Il est aise pour commencer d’observer que l’application ‖ · ‖ verifie lesproprietes d’homogeneite positive et de separation : pour tout x ∈ E, pour tout λ ∈ K,

‖λx‖ =√

〈λx, λx〉 =√λλ〈x, x〉 = |λ|‖x‖, (1.2)

et‖x‖ = 0 ⇐⇒ 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0 (1.3)

car le produit scalaire est defini positif.

Proposition 1.8 (Developpement et polarisation, cas complexe). Si E est un espaceprehilbertien complexe, on a pour tout (x, y) ∈ E2 :

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2Re〈x, y〉, (1.4)

‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 − 2Re〈x, y〉, (1.5)

Re〈x, y〉 = 1

4

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2

), (1.6)

〈x, y〉 = 1

4

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 − i‖x+ iy‖2 + i‖x− iy‖2

), (1.7)

Demonstration. Ces proprietes se verifient par calcul direct. Pour (x, y) ∈ E2 :

‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x〉+ 〈y, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, y〉= ‖x‖2 + 〈x, y〉+ 〈x, y〉+ ‖y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2Re〈x, y〉. (1.8)

La deuxieme relation suit immediatement. La troisieme relation suit par soustraction desdeux premieres. Pour la derniere relation, il suffit de remarquer que :

Im〈x, y〉 = Re(−i〈x, y〉) = −Re(〈x, iy〉) = −1

4

(‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2

), (1.9)


1.1. PRODUIT SCALAIRE, NORME EUCLIDIENNE OU HERMITIENNE 7

la derniere egalite etant donnee par la troisieme relation. On conclut avec 〈x, y〉 = Re〈x, y〉+i Im〈x, y〉.

Dans le cas d’un espace prehilbertien reel, on obtient de facon analogue les enoncessuivants.Proposition 1.9 (Developpement et polarisation, cas reel). Si E est un espaceprehilbertien complexe, on a pour tout (x, y) ∈ E2 :

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2〈x, y〉, (1.10)

‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 − 2〈x, y〉, (1.11)

〈x, y〉 = 1

4

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2

), (1.12)

Demonstration. Immediat, avec la bilinearite symetrique au lieu de la sesquilinearite her-mitienne.

Proposition 1.10 (Inegalite de Cauchy-Schwarz). Pour tout (x, y) ∈ E2, on a :

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖. (1.13)

Il n’y a egalite que si les vecteurs x et y sont lies sur K.

Demonstration. Soit (x, y) ∈ E2. L’inegalite est evidente si l’un des vecteurs est nul. Onsupposera donc y 6= 0.

Commencons par le cas reel. Pour tout λ ∈ R, on a :

0 ≤ ‖x+ λy‖2 = ‖x‖2 + λ2‖y‖2 + 2λ〈x, y〉. (1.14)

Le terme de droite est un polynome du second degre en λ admettant au plus une racinereelle, donc l’etude de son discriminant entraıne :

0 ≥ 〈x, y〉2 − ‖x‖2‖y‖2 (1.15)

d’ou l’inegalite. Il y a egalite si et seulement si le polynome admet une racine λ0 ∈ R, etdans ces conditions 0 = ‖x+λ0y‖ = 〈x+λ0y, x+λ0y〉, i.e. x+λ0y = 0 (le produit scalaireest defini positif), donc x et y sont lies sur R.

Dans le cas complexe, le raisonnement precedent fournit immediatement |Re〈x, y〉| ≤‖x‖‖y‖. En utilisant la forme polaire 〈x, y〉 = |〈x, y〉|eiθ , il vient :

|〈x, y〉| = e−iθ〈x, y〉 = 〈eiθx, y〉 = Re〈eiθx, y〉 =∣∣∣Re〈eiθx, y〉

∣∣∣ , (1.16)

car les termes de ces egalites sont reels positifs. On obtient donc :

|〈x, y〉| =∣∣∣Re〈eiθx, y〉

∣∣∣ ≤ ‖eiθx‖‖y‖ = ‖x‖‖y‖, (1.17)

d’ou l’inegalite. D’apres ce qui precede, il y a egalite si et seulement si eiθx et y sont liessur R, i.e. x et y lie sur C.

Proposition 1.11. L’application ‖ · ‖ est une norme sur E. Si E est un espaceprehilbertien reel, elle est dite norme euclidienne. Si E est un espace prehilbertien com-plexe, elle est dite norme hermitienne.

UE Maths IV.1 - Espaces prehilbertiens Ioane Muni Toke


Demonstration. Les axiomes d’homogeneite positive et de separation ont ete verifies a laremarque 1.7. L’inegalite triangulaire repose sur l’inegalite de Cauchy-Schwarz que nousvenons de montrer. Dans le cas reel, on a pour tout (x, y) ∈ E2 :

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2〈x, y〉≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 |〈x, y〉| ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2 . (1.18)

Dans le cas complexe, on a pour tout (x, y) ∈ E2 :

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2Re〈x, y〉≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 |〈x, y〉| ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2 . (1.19)

Un espace prehilbertien (E, 〈·, ·〉) est donc egalement un espace vectoriel norme (E, ‖·‖)pour la norme issue du produit scalaire. On peut donc y utiliser les outils et notions etudiesprecedemment sur ces espaces (voir par exemple le cours de Calcul Differentiel 1).

Proposition 1.12 (Continuite de la norme). La norme ‖ · ‖ est une application 1-lipschitzienne (donc continue).

Demonstration. Pour tout (x, y) ∈ E, | ‖x‖ − ‖y‖ | ≤ ‖x − y‖ par la seconde inegalitetriangulaire.

Proposition 1.13. Pour tout x ∈ E, la forme lineaire ϕx : E → K, y 7→ 〈x, y〉 est‖x‖-lipschitzienne (donc continue).

Demonstration. Soit x ∈ E. Pour tout (y, y′) ∈ E2, on a par linearite et inegalite deCauchy-Schwarz :

∣∣ϕx(y)− ϕx(y′)∣∣ =

∣∣〈x, y − y′〉∣∣ ≤ ‖x‖‖y − y′‖, (1.20)

d’ou le resultat.

1.2 Familles orthogonales et orthonormees de vecteur

Soit I une partie de N (donc finie ou denombrable).

Definition 1.14 (Vecteurs orthogonaux). Deux vecteurs x et y de E sont dits ortho-gonaux si 〈x, y〉 = 0.

Definition 1.15 (Famille orthogonale). Une famille (xi)i∈I de vecteurs de E est diteorthogonale si ses vecteurs sont deux a deux orthogonaux, i.e. si

∀(i, j) ∈ I2, (i 6= j ⇒ 〈xi, xj〉 = 0) . (1.21)

Definition 1.16 (Famille orthonormee). Une famille (xi)i∈I de vecteurs de E est diteorthonormee si ses vecteurs sont deux a deux orthogonaux et de norme 1, i.e. si

∀(i, j) ∈ I2, 〈xi, xj〉 = δij , (1.22)

ou δij (symbole de Kronecker) vaut 1 si i = j, 0 sinon.

Proposition 1.17. Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.


1.2. FAMILLES ORTHOGONALES ET ORTHONORMEES DE VECTEUR 9

Demonstration. Soit (x1, . . . , xn) une famille de vecteurs orthogonaux non nuls. Soit un

n-uplet (α1, . . . , αn) ∈ Kn tel que

n∑

j=1

αjxj = 0. On a alors pour tout i = 1, . . . , n :

0 = 〈xi,n∑

j=1

αjxj〉 =n∑

j=1

αj〈xi, xj〉 = αi‖xi‖2, (1.23)

autrement dit αi = 0 pour tout i = 1, . . . , n puisque les vecteurs xi sont non nuls. Lafamille est donc libre.

Proposition 1.18 (Theoreme de Pythagore). Soit n ∈ N∗. Une famille (xi)1≤i≤n or-

thogonale finie de vecteurs de E verifie la relation de Pythagore :

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

xi

∥∥∥∥∥

2

=

n∑

i=1

‖xi‖2 (1.24)

Demonstration. La famille etant orthogonale il vient :

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

xi

∥∥∥∥∥

2

=

⟨n∑

i=1

xi,

n∑

i=1

xi

⟩=

n∑

i=1

n∑

j=1

〈xi, xj〉 =n∑

i=1

〈xi, xi〉 =n∑

i=1

‖xi‖2 . (1.25)

Theoreme 1.19 (Theoreme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt). Soit (x1, . . . , xn)une famille libre finie de vecteurs de E. Il existe une famille orthonormee (e1, . . . , en)telle que :

∀k ∈ {1, . . . , n},Vect(x1, . . . , xk) = Vect(e1, . . . , ek). (1.26)

Une telle famille est donnee pour tout k ∈∈ {1, . . . , n} par :

ek =xk −

∑k−1j=1〈ej , xk〉ej∥∥∥xk −

∑k−1j=1〈ej , xk〉ej

∥∥∥. (1.27)

Demonstration. On procede par recurrence. Pour n = 1, le resultat est evident en posant

e1 =x1

‖x1‖. Supposons maintenant le resultat demontre au rang n − 1. Soit (x1, . . . , xn)

une famille libre, et (e1, . . . , en−1) une famille orthonormale construite grace a l’hypothesede recurrence. Posons :

e′n = xn −n−1∑

j=1

〈ej , xn〉ej . (1.28)

e′n est un vecteur non nul (xn 6∈ Vect(e1, . . . , en−1) = Vect(x1, . . . , xn−1) car la famille estlibre), et orthogonal a ek pour tout k = 1, . . . , n− 1 :

〈ek, e′n〉 = 〈ek, xn−n−1∑

j=1

〈ej , xn〉ej〉 = 〈ek, xn〉−n−1∑

j=1

〈ej , xn〉〈ek, ej〉 = 〈ek, xn〉− 〈ek, xn〉 = 0.

(1.29)



En posant en =e′n

‖e′n‖, on a bien une famille (e1, . . . , en) orthonormee et telle que :

Vect(x1, . . . , xn−1, xn) = Vect(e1, . . . , en−1, xn) = Vect(e1, . . . , en−1, en). (1.30)

Remarque 1.20. Si on ajoute la condition 〈en, xn〉 ∈ R+, alors la famille (e1, . . . , en)construite par le procede de Gram-Schmidt est unique.

Corollaire 1.21. Tout sous-espace vectoriel de dimension finie de E admet une baseorthonormee.

Demonstration. Soit F un sous-espace de dimension n de E. Soit (x1, . . . , xn) une basede F . La famille (x1, . . . , xn) est libre (c’est une base), donc par le theoreme d’ortho-normalisation de Gram-Schmidt, il existe une famille (e1, . . . , en) orthonormee telle queVect(e1, . . . , en) = Vect(x1, . . . , xn) = F . D’ou le resultat.

Corollaire 1.22. Tout espace euclidien ou hermitien admet une base orthonormee.

Demonstration. Idem.

Corollaire 1.23 (Completion d’une famille orthonormee). Supposons E euclidien ouhermitien, de dimension n. Toute famille orthonormee (f1, . . . , fp), p < n, peut secompleter en une base orthonormee (f1, . . . , fp, fp+1, . . . , fn) de E.

Demonstration. Soit une famille orthonormee (f1, . . . , fp), p < n. On complete cette fa-mille en une base de n (theoreme de la base incomplete) (f1, . . . , fp, gp+1, . . . , gn). Onconstruit alors une base orthonormee (e1, . . . , en) par le procede de Gram-Schmidt. Laformule du theoreme 1.19 donne ei = fi pour tout i = 1, . . . , p, car la famille (f1, . . . , fp)est orthonormee. Ainsi, (f1, . . . , fp, ep+1, . . . , en) est une base orthonormee de E.

Proposition 1.24 (Calcul dans une base orthonormee). Supposons E de dimensionfinie n, i.e. E est un espace euclidien ou hermitien. Soit (e1, . . . , en) une base ortho-

normee de E. Soient (x, y) ∈ E2. Si x =n∑

i=1

αiei et y =n∑

i=1

βiei, alors :

(a) αi = 〈ei, x〉 pour tout i = 1, . . . , n ;

(b) ‖x‖2 =n∑

i=1

|αi|2 ;

(c) 〈x, y〉 =n∑

i=1

αiβi.

Demonstration. On a pour tout i = 1, . . . , n :

〈ei, x〉 = 〈ei,n∑

j=1

αjej〉 =n∑

j=1

αj〈ei, ej〉 = αi, (1.31)


1.3. ORTHOGONAL D’UNE PARTIE, SOUS-ESPACES ORTHOGONAUX 11

puis par le theoreme de Pythagore :

‖x‖2 =

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

αiei

∥∥∥∥∥

2

=

n∑

i=1

‖αiei‖2 =n∑

i=1

|αi|2 (1.32)

et enfin (on aurait pu commencer par la pour en deduire le point precedent) :

〈x, y〉 = 〈n∑

i=1

αiei,

n∑

j=1

βjej〉 =n∑

i=1

n∑

j=1

αiβj〈ei, ej〉 =n∑

i=1

αiβi〈ei, ei〉 =n∑

i=1

αiβi. (1.33)

Proposition 1.25 (Matrice d’endomorphisme dans une base orthonormee). SupposonsE de dimension finie n. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme. Soit B = (e1, . . . , en) unebase de E. On a :

MatB u = (〈ei, u(ej)〉)1≤i≤n1≤j≤n

. (1.34)

Demonstration. u(ej) est la j-ieme colonne de MatB u, et 〈ei, u(ej)〉 son i-eme element.

1.3 Orthogonal d’une partie, sous-espaces orthogonaux

Definition 1.26 (Orthogonal d’une partie). Soit A une partie de E. On appelle ortho-gonal de A, et on note A⊥, le sous-ensemble

A⊥ = {x ∈ E : ∀y ∈ A, 〈x, y〉 = 0} (1.35)

Proposition 1.27 (Proprietes de l’orthogonal d’une partie). On a les proprietes sui-vantes :

(a) A⊥ est un sous-espace vectoriel de E ;

(b) A⊥ est une partie fermee de E ;

(c) Si A et B sont deux parties de E, A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥ ;

(d) A⊥ = (VectA)⊥.

Demonstration. (a) Pour tout (x, x′) ∈ (A⊥)2, pour tout λ ∈ K, pour tout y ∈ A :

〈y, x+ λx′〉 = 〈y, x〉+ λ〈y, x′〉 = 0. (1.36)

(b) A⊥ =⋂

x∈A

{x}⊥, et pour tout x ∈ E, {x}⊥ = {y ∈ E : 〈x, y〉 = 0} = ϕ−1x ({0}), i.e.

{x}⊥ est un ferme comme image reciproque d’un singleton de K par la forme lineaireϕx continue (d’apres la proposition 1.13).

(c) Si A ⊂ B, alors pour tout x ∈ B⊥, on a : ∀y ∈ A ⊂ B, 〈x, y〉 = 0.

(d) (VectA)⊥ ⊂ A⊥ d’apres l’assertion precedente. Cette remarque ne nous est pas direc-tement utile, car nous avons les equivalences suivantes :

x ∈ A⊥ ⇐⇒ ∀y ∈ A, 〈x, y〉 = 0 ⇐⇒ A ⊂ {x}⊥

⇐⇒ VectA ⊂ {x}⊥ ⇐⇒ ∀y ∈ VectA, 〈x, y〉 = 0 ⇐⇒ x ∈ (VectA)⊥ . (1.37)



Definition 1.28 (Sous-espaces orthogonaux). On dit que deux sous-espaces vectorielsF et G de E sont orthogonaux, et on note F ⊥ G, si ∀(x, y) ∈ F ×G, 〈x, y〉 = 0.

Remarque 1.29. On peut egalement de parler de parties A et B orthogonales si pour tout(x, y) ∈ A×B, 〈x, y〉 = 0. Puisque A⊥ = (VectA)⊥, cela signifie que les sous-espaces A⊥

et B⊥ sont orthogonaux. Certains ouvrages preferent parler de parties perpendiculaires etreserver l’usage d’orthogonal aux sous-espaces.

Definition 1.30. Une famille (F1, . . . , Fp) de p sous-espaces vectoriels de E est diteorthogonale si les espaces F1, . . . , Fp sont deux a deux orthogonaux.

Proposition 1.31. Une famille orthogonale de sous-espaces (F1 . . . Fp) est en sommeest directe.

Demonstration. Soit (x1, . . . , xp) ∈ F1 × . . . × Fp tel que x1 + . . . + xp = 0. Alors par letheoreme de Pythagore :

0 = ‖x1 + . . .+ xp‖2 =p∑

i=1

‖xi|2, (1.38)

ce qui entraıne xi = 0 pour tout i = 1, . . . , p.

Definition 1.32 (Supplementaires orthogonaux). Deux sous-espaces F et G de E sontdits supplementaires orthogonaux si E = F ⊕G et F ⊥ G.

Definition 1.33. Une famille (Fi)1≤i≤p de p sous-espaces vectoriels de E est dite famille

de supplementaires orthogonaux de E si c’est une famille orthogonale et si E =

p⊕

i=1

Fi.

Proposition 1.34 (Condition d’existence et unicite du supplementaire orthogonal). Unsous-espace F de E possede un supplementaire orthogonal si et seulement si F+F⊥ = E.

Dans ce cas, F⊥ est l’unique supplementaire orthogonal de F , et(F⊥)⊥

= F .

Demonstration. Supposons que F admette un supplementaire orthogonal G. Alors G ⊥F implique G ⊂ F⊥, et par consequent F + F⊥ ⊃ F + G = E, i.e. F + F⊥ = E.Reciproquement, si F + F⊥ = E, alors F ⊕ F⊥ = E (deux espaces orthogonaux sont ensomme directe), et F admet F⊥ pour supplementaire orthogonal.

Supposons donc F + F⊥ = E, et prouvons l’unicite du supplementaire orthogonal.Soit G un supplementaire de F . Alors G ⊥ F d’ou G ⊂ F⊥. Pour montrer l’inclusionreciproque, considerons x ∈ F⊥, ecrit de maniere unique sous la forme x = xF + xG,(xF , xG) ∈ F ×G. On a :

0 = 〈x, xF 〉 = 〈xF , xF 〉+ 〈xG, xF 〉 = 〈xF , xF 〉 = ‖xF ‖2 (1.39)

d’ou xF = 0 et x = xG ∈ G. D’ou F⊥ ⊂ G, puis G = F⊥.

Finalement, F⊥⊕F = E, donc on vient de montrer que F⊥ admet un supplementaireorthogonal, et que (F⊥)⊥ = F .

Corollaire 1.35. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Si F possede un supplementaireorthogonal, alors F est ferme.


1.4. EXERCICES 13

Demonstration. Si F admet un supplementaire orthogonal, alors F = (F⊥)⊥, qui est fermepar la proposition 1.27.

Proposition 1.36. Tout sous-espace vectoriel de dimension finie de E possede unsupplementaire orthogonal.Si E est euclidien ou hermitien, tout sous-espace vectoriel F possede un supplementaireorthogonal et dimF⊥ = dimE − dimF .

Demonstration. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finiem. Soit (e1, . . . , em) unebase orthonormee de F (son existence est garantie par le corollaire 1.21). Soit p l’endormo-

phisme de E defini par : ∀x ∈ E, p(x) =

m∑

i=1

〈ei, x〉ei. Alors p(E) ⊂ Vect(e1, . . . , em) = F ,

et pour tout x ∈ E, pour tout j ∈ {1, . . . ,m} :

〈ej , x− p(x)〉 = 〈ej , x〉 −m∑

i=1

〈ei, x〉〈ej , ei〉 = 〈ej , x〉 − 〈ej , x〉 = 0. (1.40)

Ainsi, ∀x ∈ E, x − p(x) ∈ (Vect(e1, . . . , eN ))⊥ = F⊥. L’ecriture x = p(x) + (x − p(x))assure F + F⊥ = E et permet de conclure.

Si E est de dimension finie n, alors par le corollaire 1.23 on complete la base ortho-normee de F (e1, . . . , em) en une base orthonormee (e1, . . . , em, fm+1, . . . , fn) de E et onverifie que F⊥ = Vect(fm+1, . . . , fn).

Remarque 1.37. L’endomorphisme p de la demonstration precedente est un projecteurorthogonal, qui sera etudie en details au chapitre 3.

1.4 Exercices

Exercice 1.1. Soit P ∈ R[X] un polynome a coefficients positifs. Montrer que pour tout(x, y) ∈ (R+)

2, P (√xy) ≤ P (x)P (y).

Exercice 1.2. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien reel. Soit (a, b, c) ∈ R3. Soit ϕ : E2 →

R, (x, y) 7→ a〈x, x〉 + b〈x, y〉 + c〈y, y〉. Donner une condition necessaire et suffisante pourque ϕ soit un produit scalaire sur E.

Exercice 1.3. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien complexe. Montrer que ϕ : E×E →R, (x, y) 7→ Re〈x, y〉 est un produit scalaire sur E en tant que R-espace vectoriel.

Exercice 1.4. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace euclidien. Soit ϕ un produit scalaire sur E telque :

∀(x, y) ∈ E2, (〈x, y〉 = 0 =⇒ ϕ(x, y) = 0) . (1.41)

Montrer qu’il existe un reel α strictement positif tel que pour tout (x, y) ∈ E2, ϕ(x, y) =α〈x, y〉.

Exercice 1.5. Soit E un C-espace vectoriel. Soit ϕ : E×E → C une forme sesquilineaire.On suppose que pour tout x ∈ E, ϕ(x, x) ∈ R. Montrer que ϕ est (a symetrie) hermitienne.

Exercice 1.6. Soit n ∈ N∗. On note E = Rn[X]. Soit ϕ : E × E → R definie pour tout

(P,Q) ∈ E2 par : ϕ(P,Q) =

n∑

k=1

P (k)(0)Q(k)(0).



1. Montrer que (E,ϕ) est un espace prehilbertien.

2. Calculer ϕ(Xi,Xj) pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , n}2.3. En deduire une base orthonormee de (E,ϕ).

Exercice 1.7. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues 2π-periodiques deR dans R. Soit 〈·, ·〉 l’application de E × E dans R definie pour tout (f, g) ∈ E2 par

〈f, g〉 =∫ 2π

0fg.

1. Montrer que 〈·, ·〉 est un produit scalaire sur E.

2. Soit la suite de fonctions (fn)n∈N definie par fn(t) = cos(nt) si n est pair et fn(t) =sin(nt) si n est impair. Montrer que la famille (fn)n∈N est une famille orthogonalede E.

3. En deduire une famille orthonormee de E.

Exercice 1.8. On note E l’ensemble des fonctions de C∞([−1, 1];R) telles que pour toutn ∈ N, f (n)(−1) = f (n)(1) = 0.

1. Montrer que l’application 〈·, ·〉 : E × E → R definie pour tout (f, g) ∈ E2 par

〈f, g〉 =∫ 1

−1fg est un produit scalaire sur E.

2. Montrer que D : f ∈ E 7→ f ′ est un endomorphisme de E verifiant pour toutf, g) ∈ E2, 〈D(f), g〉 = −〈f,D(g)〉.

Exercice 1.9. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien complexe. On note ‖ · ‖ la normeassociee au produit scalaire. Soient f et g deux endomorphismes de E. Montrer que lesdeux proprietes suivantes sont equivalentes :

(i) ∀(x, y) ∈ E2, 〈f(x), f(y)〉 = 〈g(x), g(y)〉 ,

(ii) ∀x ∈ E, ‖f(x)‖ = ‖g(x)‖.

Exercice 1.10. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien complexe. On note ‖ · ‖ la normeassociee au produit scalaire. Soit (xn)n∈N une suite de E. Montrer que les deux proprietessuivantes sont equivalentes :

(i) limn→+∞

xn = x ,

(ii) limn→+∞

‖xn‖ = ‖x‖ et limn→+∞

〈xn − x, x〉 = 0.

Exercice 1.11. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien complexe. Soit n ∈ N. Soit (e1, . . . , en)une famille de vecteurs de E. On suppose que :

– ∀i = 1, . . . , n, ‖ei‖ ≥ 1,

– ∀x ∈ E,

n∑

i=1

|〈ei, x〉|2 = ‖x‖2.

Montrer que la famille (e1, . . . , en) est une base orthonormee de E (qui est donc hermitien).

Exercice 1.12. Soit E un espace eudlidien. Soient F et G deux sous-espaces vectorielsde E. Montrer successivement que :

(a) (F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥ ;

(b) (F ∩G)⊥ = F⊥ +G⊥.


1.4. EXERCICES 15

Exercice 1.13. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien reel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E verifiant F ⊂ G⊥ et F + G = E. Montrer que F = G⊥ puis queF⊥ = G.

Exercice 1.14. Soit E = C([0, 1];R) muni de son produit scalaire 〈f, g〉 =

∫ 1

0fg. On

note F le sous-espace vectoriel des fonctions de E s’annulant en 0.

1. Montrer que F⊥ = {0}.2. F admet-il un supplementaire orthogonal dans E ?

Exercice 1.15. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien reel. On note ‖·‖ la norme associeeau produit scalaire. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Soit x ∈ E. Montrer que lesproposition suivantes sont equivalentes :

(i) x ∈ F⊥ ;

(ii) ∀y ∈ F, 〈x, y〉 ≤ ‖y‖2.

Exercice 1.16. Soit E = C([0, 1];R). Pour tout (f, g) ∈ E2, on pose 〈f, g〉 = f(0)g(0) +∫ 1

0f ′(t)g′(t) dt.

1. Montrer que (E, 〈·, ·〉) est un espace prehilbertien.

2. Soit la fonction de E e0 : t 7→ 1. Determiner (Vect(e0))⊥.

3. Soit G = {f ∈ E : f(0) = 0}. Determiner G⊥.

Exercice 1.17 (♠ Theoreme de Von Neuman). Soit (F, ‖ · ‖) un R-espace vectoriel norme.Montrer que la norme ‖ · ‖ est euclidienne si et seulement si elle verifie l’identite duparallelogramme :

∀(x, y) ∈ F 2, ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 (1.42)


Chapitre 2

Endomorphismes des espaces

euclidiens et hermitiens

Soit (E, ‖ · ‖) un espace euclidien ou hermitien de dimension n. On note L(E)l’ensemble des endomorphismes de E.

2.1 Adjoint d’un endomorphisme

Pour tout x ∈ E, on note ϕx la forme lineaire y ∈ E 7→ 〈x, y〉.Proposition 2.1 (Isomorphisme canonique). L’application x 7→ ϕx est bijective de Edans son dual E∗, ensemble des formes lineaires sur E. Elle est lineaire dans le caseuclidien, semi-lineaire dans le cas hermitien.

Demonstration. Le noyau de l’application est :

{x ∈ E : ϕx = 0} = {x ∈ E : ∀y ∈ E, 〈x, y〉 = 0} = E⊥ = {0}, (2.1)

donc l’application (en tant que morphisme de groupe additif) est injective. Pour montrer lasurjectivite, considerons une forme lineaire ψ ∈ E∗. Soit (e1, . . . , en) une base orthonormee

de E. On pose αi = ψ(ei) ∈ K pour tout i = 1, . . . , n. Pour tout y =

n∑

i=1

βiei ∈ E, on a

alors

ψ(y) =

n∑

i=1

βiαi =

⟨n∑

i=1

αiei,

n∑

j=1

βjej

⟩=

⟨n∑

i=1

αiei, y

⟩, (2.2)

d’ou ψ = ϕx avec x =n∑

i=1

αiei.

Enfin, pour tout (x, x′) ∈ E, pour tout λ ∈ K, pour tout y ∈ E :

ϕλx+x′(y) = 〈λx+ x′, y〉 = λ〈x, y〉+ 〈x′, y〉 = λϕx(y) + ϕx′(y), (2.3)

d’ou la linearite ou semi-linearite.

17

18 CHAPITRE 2. ENDOMORPHISMES DE E EUCLIDIEN/HERMITIEN

Proposition 2.2 (Adjoint d’un endomorphisme). Pour tout endomorphisme u ∈ L(E),il existe un unique endomorphisme note u∗ tel que

∀(x, y) ∈ E2, 〈x, u(y)〉 = 〈u∗(x), y〉. (2.4)

u∗ est appele adjoint de u.

Demonstration. Soit u ∈ L(E). Soit x ∈ E. L’application y ∈ E 7→ 〈x, u(y)〉 est uneforme lineaire sur E, donc par la proposition 2.1, il existe un unique x∗ ∈ E tel que∀y ∈ E, 〈x, u(y)〉 = ϕx∗(y) = 〈x∗, y〉. On definit donc de maniere unique l’applicationu∗ : E → E, x 7→ x∗.

Reste a verifier que u∗ est un endomorphisme. Pour tout (x, x′) ∈ E2, pour tout λ ∈ K,pour tout y ∈ E :

〈u∗(λx+ x′), y〉 = 〈λx+ x′, u(y)〉 = λ〈x, u(y)〉 + 〈x′, u(y)〉= λ〈u∗(x), y〉 + 〈u∗(x′), y〉 = 〈λu∗(x) + u∗(x′), y〉 (2.5)

Ceci etant vrai pour tout y ∈ E, il vient u∗(λx+ x′)− λu∗(x)− u∗(x′) ∈ E⊥ = {0}, d’ouu∗(λx+ x′) = λu∗(x) + u∗(x′), et u∗ est lineaire.

Proposition 2.3 (Premieres proprietes). On a les proprietes suivantes :

(a) (u∗)∗ = u pour tout u ∈ L(E) ;

(b) Id∗ = Id ;

(c) (v ◦ u)∗ = u∗ ◦ v∗ pour tout u, v ∈ L(E) ;

(d) l’application u 7→ u∗ est bijective de L(E) sur lui-meme, lineaire dans le cas eucli-dien (c’est alors un automorphisme), semi-lineaire dans le cas hermitien.

Demonstration. (a) Soit u ∈ L(E). Pour tout (x, y) ∈ E2, on a :

〈x, u∗(y)〉 = 〈u∗(y), x〉 = 〈y, u(x)〉 = 〈u(x), y〉, (2.6)

donc (u∗)∗ = u par unicite de l’adjoint.

(b) Pour tout (x, y) ∈ E2, 〈x, Id(y)〉 = 〈x, y〉 = 〈Id(x), y〉, donc Id∗ = Id par unicite del’adjoint.

(c) Pour tout (u, v) ∈ L(E)2, pour tout (x, y) ∈ E2 :

〈x, v(u(y))〉 = 〈v∗(x), (u(y)〉 = 〈u∗(v∗(x)), y〉, (2.7)

d’ou par unicite de l’adjoint (v ◦ u)∗ = u∗ ◦ v∗.(d) La bijectivite decoule du point (u∗)∗ = u : tout endomorphisme est un adjoint donc

l’application est surjective ; si u1 et u2 ont meme adjoint, alots u1 = (u∗1)∗ = (u∗2)

∗ = u2et l’application est injective. Pour tout (u, v) ∈ L(E)2, pour tout λ ∈ K :

∀(x, y) ∈ E2, 〈x, (λu+ v)y〉 = 〈x, λu(y) + v(y)〉 = λ〈x, u(y)〉 + 〈x, v(y)〉= λ〈u∗(x), y〉 + 〈v∗(x), y〉 = 〈(λu∗ + v∗)(x), y〉 (2.8)

donc par unicite de l’adjoint, (λu + v)∗ = λu∗ + v∗ et u 7→ u∗ est lineaire si K = R,semi-lineaire si K = C.


2.1. ADJOINT D’UN ENDOMORPHISME 19

Proposition 2.4 (Adjoint d’un isomorphisme). Si u ∈ L(E) est inversible, alors u∗ ∈L(E) est inversible et (u∗)−1 = (u−1)∗.

Demonstration. Si u est inversible, u ◦ u−1 = Id et u−1 ◦ u = Id, et par la propriete decomposition des adjoints on a : (u−1)∗ ◦ u∗ = Id* = Id et u∗ ◦ (u−1)∗ = Id* = Id.

Proposition 2.5 (Noyau et image d’un adjoint). Soit u ∈ L(E). Alors :

Keru∗ = (Imu)⊥ (2.9)

Imu∗ = (Keru)⊥ (2.10)

rgu∗ = rgu (2.11)

Demonstration. Pour tout x ∈ Keru∗, pour tout z = u(y) ∈ Im(u)

〈x, z〉 = 〈x, u(y)〉 = 〈u∗(x), y〉 = 0, (2.12)

donc Keru∗ ⊂ (Imu)⊥. Reciproquement, si x ∈ Imu⊥ alors pour tout y ∈ E :

〈u∗(x), y〉 = 〈x, u(y)〉 = 0 (2.13)

donc u∗(x) ∈ E⊥ = {0}, i.e. x ∈ Keru∗. Donc Keru∗ = (Imu)⊥.Puisque (u∗)∗ = u, on vient de montrer que :

Keru = Ker(u∗)∗ = (Imu∗)⊥ (2.14)

d’ou(Keru)⊥ = ((Imu∗)⊥)⊥ = Imu∗, (2.15)

d’apres la proposition 1.34 (rappel : on est en dimension finie).Finalement, par la proposition 1.36 et le theoreme du rang :

rgu∗ = dim Imu∗ = dim(Ker u)⊥ = n− dim(Ker u) = rg u. (2.16)

Pour une matrice A ∈ Mn(C), on appelle matrice adjointe, et on note A∗, la matricetA, dont le terme (i, j) est donne par aji. On verifie facilement, comme pour la transpositiondans le cas reel, que (A∗)∗ = A :

(A∗)ij = aji d’ou ((A∗)∗)ij = aij = aij (2.17)

et que (AB)∗ = B∗A∗ :

((AB)∗)ij =

(

n∑

k=1

aikbkj

)

ij

∗

ij

=

(n∑

k=1

ajkbki

)

ij

=

n∑

k=1

bkiajk = (B∗A∗)ij . (2.18)

Proposition 2.6 (Ecriture matricielle, cas hermitien). Soit u ∈ L(E). Pour tout baseorthonormee B de E, on a

MatB(u∗) = (MatB u)

∗ (2.19)

et par consequent

tru∗ = tru (2.20)

det u∗ = detu (2.21)



Demonstration. Soit B = (e1, . . . , en) une base orthonormee de E. Notons aij les elementsde la matrice MatB(u), bij ceux de la matrice MatB(u

∗). Par la proposition 1.25, on a pourtout (i, j) ∈ {1, . . . , n}2,

bij = 〈ei, u∗(ej)〉 = 〈u(ei), ej〉 = 〈ej , u(ei)〉 = aji, (2.22)

et les resultats sur la trace et le determinant suivent.

On a evidemment les resultats analogues dans le cas d’un espace euclidien.

Proposition 2.7 (Ecriture matricielle, cas euclidien). Soit u ∈ L(E). Pour tout baseorthonormee B de E, on a

MatB(u∗) = t(MatB u) (2.23)

et par consequent

tru∗ = tru (2.24)

det u∗ = detu (2.25)

Demonstration. Immediat avec ce qui precede.

On termine avec un resultat de stabilite qui nous sera utile par la suite.

Proposition 2.8 (Caracterisation de la stabilite d’un sous-espace par u). Soit F unsous-espace vectoriel de E, u ∈ L(E) un endomorphisme. F est stable par u si et seule-ment si F⊥ est stable par u∗.

Demonstration. Supposons F stable par u, i.e. u(F ) ⊂ F . Soit x ∈ F⊥. On a pour touty ∈ F :

〈u∗(x), y〉 = 〈x, u(y)〉 = 0, (2.26)

donc u∗(x) ∈ F⊥ et F⊥ est stable par u∗. Ceci montre egalement la reciproque puisque(u∗)∗ = u et (F⊥)⊥ = F .

2.2 Endomorphismes autoadjoints

Definition 2.9 (Endomorphisme autoadjoint). On dit qu’un endomorphisme u ∈ L(E)est autoadjoint si u∗ = u, i.e. si

∀(x, y) ∈ E2, 〈x, u(y)〉 = 〈u(x), y〉. (2.27)

Si E est euclidien, on parle aussi d’endomorphisme symetrique. Si E est hermitien, onpare alors d’endomorphisme hermitien.

Proposition 2.10 (Matrice d’un endomorphisme autoadjoint). Soit B une base ortho-normee de E. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme autoadjoint.

(a) Si E est euclidien (i.e. u symetrique), alors MatB(u) =tMatB(u), et la matrice est

dite symetrique.

(b) Si E est hermitien (i.e. u hermitien), alors MatB(u) = (MatB(u))∗, et la matrice

est dite hermitienne.

Demonstration. C’est une consequence directe des propositions 2.6 et 2.7


2.3. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX OU UNITAIRES 21

Definition 2.11 (Endomorphisme autoadjoint defini positif). On dit qu’un endomor-phisme autoadjoint u est dit :

(i) positif si pour tout x ∈ E, 〈x, u(x)〉 ≥ 0 ;

(ii) defini positif si (〈x, u(x)〉 = 0 ⇐⇒ x = 0).

Definition 2.12 (Matrice definie positive). Une matrice carree reelle A ∈ Mn(R) estdite :

(i) positive si pour tout X ∈ Rn, tXAX ≥ 0 ;

(ii) definie positive si(tXAX = 0 ⇐⇒ X = 0

).

Une matrice carree complexe A ∈ Mn(C) est dite :

(i) positive si pour tout X ∈ Rn, X∗AX ≥ 0 ;

(ii) definie positive si (X∗AX = 0 ⇐⇒ X = 0).

Proposition 2.13 (Matrice d’un endomorphisme autoadjoint defini positif). Soit unebase orthonormee B. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme autoadjoint. u est positif(resp.defini positif) si et seulement si MatB(u) est positive (resp. definie positive).

Demonstration. Il suffit de remarquer que si A = MatB(u) et siX est le vecteur representantx ∈ E dans la base B, on a dans le cas euclidien :

〈x, u(x)〉 = tXAX, (2.28)

et dans le cas hermitien :〈x, u(x)〉 = X∗AX. (2.29)

2.3 Endomorphismes orthogonaux ou unitaires

Definition 2.14 (Endomorphisme orthogonal ou unitaire). Soit u ∈ L(E) un endomor-phisme ”conservant le produit scalaire”, i.e. verifiant :

∀(x, y) ∈ E2, 〈u(x), u(y)〉 = 〈x, y〉. (2.30)

Si E est euclidien, u est dit orthogonal. Si E est hermitien, u est dit unitaire.

Proposition 2.15 (Caracterisation d’un endomorphisme orthogonal ou unitaire). Soitun endomorphisme u ∈ L(E). Les proposition suivantes sont equivalentes :

(i) u est orthogonal (E euclidien) ou unitaire (E hermitien) ;

(ii) u ◦ u∗ = Id ;

(iii) u∗ ◦ u = Id.

Demonstration. Comme E est de dimension finie, (ii) et (iii) sont equivalents. De plus, siu est orthogonal ou unitaire, alors

∀(x, y) ∈ E2, 〈x, y〉 = 〈u(x), u(y)〉 = 〈(u∗ ◦ u)(x), y〉, (2.31)

d’ou u∗ ◦ u− Id(x) ∈ E⊥ = {0} pour tout x ∈ E. On remonte sans peine ces implicationspour obtenir l’equivalence.



Proposition 2.16 (Inversibilite d’un endomorphisme orthogonal ou unitaire). Soit unendomorphisme u ∈ L(E). Si u est orthogonal (E euclidien) ou unitaire (E hermitien),alors u est inversible et |det u| = 1.

Demonstration. Les propositions 2.6 et 2.15 entraınent :

1 = det Id = det(u ◦ u∗) = det udetu∗ = detudet u = |det u|2, (2.32)

donc |det u| = 1 et u est inversible.

Definition 2.17 (Matrice orthogonale ou unitaire). Une matrice carree reelle A ∈Mn(R) est dite orthogonale si l’endomorphisme de R

n associe est orthogonal.Une matrice carree complexe A ∈ Mn(C) est dite unitaire si l’endomorphisme de R

n

associe est unitaire.

Proposition 2.18 (Caracterisation des matrices orthogonales ou unitaires). Soit A unematrice carree reelle (resp. complexe). Les propositions suivantes sont equivalentes.

(i) A est orthogonale (resp.unitaire) ;

(ii) tAA = In (resp. A∗A = In) ;

(iii) AtA = In (resp. AA∗ = In) ;

(iv) les colonnes de A forment une famille orthonormee ;

(v) les lignes de A forment une famille orthonormee.

Demonstration. Les equivalences (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) sont les traductions directes de laproposition 2.15. De plus, si on note (c1, . . . , cn) les colonnes de A, alors :

(A∗A)ij =n∑

k=1

akiakj = 〈ci, cj〉, (2.33)

d’ou l’equivalence (ii) ⇔ (iv). De facon analogue, si on note (l1, . . . , ln) les lignes de A, ilvient :

(AA∗)ij =

n∑

k=1

aikajk = 〈lj , li〉. (2.34)

Proposition 2.19 (Endomorphisme orthogonal ou unitaire et bases orthonormees).Soit u ∈ L(E) un endomorphisme et B une base orthonormee de E. Alors :

(a) u est orthogonal (resp. unitaire) si et seulement si l’image de B par u est une baseorthonormee de E ;

(b) u est orthogonal (resp. unitaire) si et seulement si MatB u est orthogonale(resp.unitaire) ;

(c) une base C de E est orthonormee si et seulement si la matrice de passage de B a Cest orthogonale (resp. unitaire).

Demonstration. (a) Notons B = (e1, . . . , en). Si u est orthogonal, alors :

∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2, 〈u(ei), u(ej)〉 = 〈ei, ej〉 = δij , (2.35)


2.4. REDUCTION DES ENDOMORPHISMES SYMETRIQUES 23

donc la famille (u(e1), . . . , u(en)) est orthonormee, donc c’est une base orthonormee deE. Reciproquement, si (u(e1), . . . , u(en)) est une base orthonormee de E, alors pour

tout x =

n∑

i=1

αiei et y =

n∑

i=1

βiei :

〈u(x), u(y)〉 =n∑

i=1

n∑

j=1

αiβj〈u(ei), u(ej)〉 =n∑

i=1

αiβi = 〈x, y〉, (2.36)

donc u est orthogonal.

(b) Les colonnes de MatB(u) sont les u(ei), donc forment une famille orthonormee d’apresle point precedent, et on conclut avec la proposition 2.18.

(c) Les colonnes de la matrice de passage de B a C sont les coordonnees des vecteurs de Cdans la base B. Or ces colonnes sont orthonormees si et seulement si C est orthonormee,d’ou le resultat.

2.4 Reduction des endomorphismes symetriques

Soit (E, 〈·, ·〉) un espace euclidien ou hermitien de dimension n.

Proposition 2.20 (Valeurs propres reelles d’un endomorphisme hermitien). Soit u ∈L(E), E hermitien. Si u est hermitien, alors toutes ses valeurs propres sont reelles.

Demonstration. u est scinde puisque K = C. Soit λ ∈ C une valeur propre de u, et x ∈ E

un vecteur propre non nul associe a λ. On a :

(λ− λ)‖x‖2 = (λ− λ)〈x, x〉 = λ〈x, x〉 − λ〈x, x〉= 〈x, λx〉 − 〈λx, x〉 = 〈x, u(x)〉 − 〈u(x), x〉 = 0, (2.37)

puisque u est autoadjoint. x etant non nul il vient λ = λ et λ ∈ R.

Corollaire 2.21 (Un endomorphisme symetrique est scinde). Soit u ∈ L(E), E eucli-dien. Si u est symetrique, alors u est scinde sur R.

Demonstration. Soit B une base de E euclidien. Alors, par la proposition 2.10, la matriceA = MatB(u) est une matrice reelle symetrique. C’est aussi une matrice complexe hermi-tienne, donc l’endomorphisme X 7→ AX de C

n est hermitien, et par la proposition 2.20,toutes ses valeurs propres sont reelles. Donc u est scinde sur R.

Proposition 2.22 (Orthogonalite des sous-espaces propres). Soit u ∈ L(E). Si u estautoadjoint, i.e. symetrique ou hermitien, alors ses sous-espaces propres sont deux adeux orthogonaux.

Demonstration. Soient λ1 et λ2 deux valeurs propres distinctes de u, et x1 (resp. x2) unvecteur propre associe a λ1 (resp. λ2). On a :

(λ1 − λ2)〈x1, x2〉 = λ1〈x1, x2〉 − λ2〈x1, x2〉 = 〈λ1x1, x2〉 − 〈x1, λ2x2〉= 〈λ1x1, x2〉 − 〈x1, λ2x2〉 = 〈u(x1), x2〉 − 〈x1, u(x2)〉 = 0, (2.38)



ou l’on a utilise le fait que λ1 et λ2 sont reelles puis que u est autoadjoint. λ1 et λ2 etantdistinctes, on a necessairement 〈x1, x2〉 = 0. Les vecteurs x1 et x2 etant quelconques, lessous-espaces propres sont orthogonaux.

Proposition 2.23 (Theoreme spectral). Soit u ∈ L(E). Si u est symetrique ou her-mitien, alors u est diagonalisable a valeurs propres reelles, et E est la somme directeorthogonale de ses sous-espaces propres.

Demonstration. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme autoadjoint. Soit F la somme de sessous-espaces propres. F est stable par u, donc par la proposition 2.8 F⊥ est stable paru∗ = u.

Supposons F⊥ 6= {0} et considerons la restriction u|F⊥ de u a F⊥. u|F⊥ est un en-

domorphisme autoadjoint de F⊥, donc il est scinde a valeurs propres reelles (proposition2.20). Si λ est une valeur propre de u|F⊥, elle est aussi valeur propres de u, et alors le

sous-espace propre associe est inclus dans F , ce qui contredit F ∩ F⊥ = {0}. On obtientdonc F⊥ = {0}, d’ou F = E, et u est diagonalisable a valeurs propres reelles. Par laproposition 2.22, la somme des sous-espaces propres est orthogonale.

Corollaire 2.24. Soit un endomorphisme u ∈ E. u est autoadjoint (i.e. symetriqueou hermitien) si et seulement si il existe une base orthonormee de E dans laquelle samatrice est diagonale reelle.Soit une matrice carree reelle (resp. complexe) d’ordre n. A est symetrique (resp. her-mitienne) si et seulement si il existe une matrice orthogonale (resp. unitaire) P telleque tPAP (resp. P ∗AP ) soit diagonale reelle.

Demonstration. Soit u autoadjoint. Supposons que u admette p valeurs propres distinctes(λ1, . . . , λp) ∈ R

p, et notons Bi, i = 1, . . . , p une base orthonormee du i-eme espace propre.Alors la concatenation B des Bi, i = 1, . . . , p est une base orthonormee de E dans laquellela matrice de u est diagonale.

Pour le second point, si A est symetrique (resp. hermitienne), alors l’endomorphismeassocie X 7→ AX est un endomorphisme symetrique (resp. hermitien) de R

n (resp. Cn),donc par le premier point il existe une base orthonormee B de R

n (resp. Cn) telle que samatrice soit diagonale reelle. La proposition 2.19 affirme alors que la matrice de passagede la base canonique a la base orthonormee B est orthogonale (resp. unitaire).

Proposition 2.25 (Caracterisation d’un endomorphisme autoadjoint positif ou definipositif). Si u ∈ L(E) est un endomorphisme autoadjoint, alors :

(a) u est positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives ;

(b) u est defini positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictementpositives.

Si A est une matrice carree symetrique ou hermitienne, alors :

(a) A est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives ;

(b) A est definie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictementpositives.


2.5. REDUCTION DES ENDOMORPHISMES NORMAUX 25

Demonstration. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme autoadjoint. Soit B = (e1, . . . , en) unebase orthonormee de E telle que MatB u = diag(λ1, . . . , λn), avec λ1, . . . , λn reels. Si u estpositif, alors λi = 〈ei, u(ei)〉 ≥ 0. Si u est defini positif, ei 6= 0 entraıne λi = 〈ei, u(ei)〉 > 0.

Reciproquement, pour tout x ∈ E, de coordonnees (x1, . . . , xn) dans la base B, on a :

〈x, u(x)〉 =n∑

i=1

λix2i , (2.39)

donc si toutes les valeurs propres λi sont positives, alors u est positif. Si toutes les valeurspropres λi sont strictement positives, alors 〈x, u(x)〉 = 0 ⇐⇒ ∀i = 1, . . . , n, xi = 0 ⇐⇒x = 0 et u est bien defini positif.

Finalement, la traduction en terme de matrices est immediate.

2.5 Reduction des endomorphismes normaux

Definition 2.26 (Endomorphisme normal). Un endomorphisme u ∈ L(E) est dit nor-mal si u ◦ u∗ = u∗ ◦ u.Remarque 2.27. Tout endomorphisme autoadjoint est normal (u = u∗). Tout endomor-phisme orthogonal ou unitaire est egalement normal (u ◦ u∗ = Id = u∗ ◦ u).Proposition 2.28 (Caracterisation d’un endomorphisme normal d’un espace hermi-tien). On suppose E hermitien. Soit u ∈ L(E). L’endomorphisme u est normal si etseulement si il est diagonalisable dans une base orthonormee.

Demonstration. Soit E un espace hermitien, u ∈ L(E) un endomorphisme normal. u estscinde (puisqueK = C), donc il existe une base B dans laquelle A = MatB u est triangulairesuperieure. Notons A = (aij)1≤i,j≤n, aij = 0 des que j < i. L’endomorphisme u est normal,donc A∗A = AA∗, donc pour tout i = 1, . . . , n, on a successivement :

n∑

k=1

akiaki =n∑

k=1

aikaik,

n∑

k=1

|aki|2 =n∑

k=1

|aik|2,

i∑

k=1

|aki|2 =n∑

k=i

|aik|2. (2.40)

Si i = 1, il vient |a11|2 =

n∑

k=1

|a1k|2, d’ou a1j = 0 pour tout j = 2, . . . , n. Pour i = 2 on a

alors |a12|2+ |a22|2 =n∑

k=2

|a2k|2, d’ou, avec le cas i = 1, a222 =

n∑

k=2

|a2k|2, d’ou a2j = 0 pour

tout j = 2, . . . , n. De proche en proche, seuls les aii sont non nuls et MatB u est diagonale.La reciproque est immediate.

Proposition 2.29 (Cas d’un endomorphisme unitaire). Soit E un espace hermitien,u ∈ L(E). L’endomorphisme est u unitaire si et seulement il existe une base orthonormeeB telle que MatB u = diag(λ1, . . . , λn) avec |λi| = 1 pour tout i = 1, . . . , n.



Demonstration. Soient E un espace hermitien et u ∈ L(E) unitaire. Par la proposition2.28, il existe une base orthonormee B telle que MatB u = diag(λ1, . . . , λn). De plus, cettematrice est unitaire, donc par la proposition 2.18, on a |λi| = 1 pour tout i = 1, . . . , n.D’ou le resultat.

Dans le cas reel, les resultats sont un peu moins simples a enoncer (voir TD).

2.6 Exercices

Exercice 2.1. On travaille sur E = Mn(R) muni de son produit scalaire canonique.

1. Soit Dn(R) le sous-espace des matrices diagonales. Determiner (Dn(R))⊥.

2. Soit Sn(R) le sous-espace des matrices symetriques. Determiner (Sn(R))⊥.

3. Montrer que le sous-espace des matrices antisymetriques est le supplementaire or-thogonal de Sn(R).

Exercice 2.2. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace euclidien. Soit (a, b) ∈ E2. Soit u l’endomorphismedefini par :

∀x ∈ E, u(x) = 〈a, x〉b− 〈b, x〉a. (2.41)

Determiner l’adjoint u∗ de u.

Exercice 2.3. Soit E un espace euclidien. Soit u ∈ L(E). On suppose Keru = Keru∗.Comparer Keru et Ker(u ◦ u).

Exercice 2.4. Les matrices suivantes de M3(C) sont-elles hermitiennes ? unitaires ?

A =

3 i −5i−i −2 55i 5 10

, B =

1 i 0

0 0√2

i 1 0

, C =

1 0 2i0 1 02i 0 1

. (2.42)

Exercice 2.5. Soit E un espace euclidien (resp. hermitien). On note GL(E) le groupegeneral lineaire de E.

1. Montrer que l’ensemble O(E) (resp. U(E)) des endomorphismes orthogonaux (resp.unitaires) est un sous-groupe de GL(E).

2. Montrer que l’ensemble SO(E) (resp. SU(E)) des endomorphismes orthogonaux(resp. unitaires) de determinant 1 est un sous-groupe de O(E) (resp. U(E)).

Exercice 2.6. On caracterise dans cet exercice les matrices orthogonales d’ordre 2.

1. Montrer M ∈ M2(R) est orthogonale si et seulement si elle est de la forme

M =

(α −ββ α

), ou M =

(α β

β −α

), (2.43)

avec (α, β, ) ∈ R2 tels que α2 + β2 = 1.

2. En deduire que f : θ 7→(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)est un morphisme de groupe surjectif de

(R,+) vers SO2(R). Quel est son noyau ?

Exercice 2.7. On caracterise dans cet exercice les matrices unitaires d’ordre 2.


2.6. EXERCICES 27

1. Montrer M ∈ M2(C) est unitaire si et seulement si elle est de la forme

M = eiθ(a −bb a

), (2.44)

avec θ ∈ R et (a, b) ∈ C2 tels que |a|2 + |b|2 = 1.

2. Caracteriser parmi ces matrices unitaires celles de determinant 1.

Exercice 2.8. Determiner l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre 3 ayant pour

premiere ligne

(3

5,4

5, 0

).

Exercice 2.9. On travaille sur E = Mn(R) muni de son produit scalaire canonique. SoitA ∈ Mn(R). Soit l’application fA : Mn(R) → Mn(R), M 7→ AM . Donner une conditionnecessaire et suffisante sur A pour que fA soit un endomorphisme orthogonal de Mn(R).

Exercice 2.10. Soit E un espace euclidien. Soit f ∈ L(E). On suppose que f est ortho-gonal, et on pose g = f + f∗. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes :

(i) le spectre de g est {2} ;(ii) f = Id.

Exercice 2.11 (Diagonalisations). Diagonaliser les matrices suivantes dans une base or-thonormee pour le produit scalaire canonique (de R

3 pour A, de C3 pour B) :

A =

5 −1 2−1 5 22 2 2

, B =

4 i −i

−i 4 1i 1 4

. (2.45)

Exercice 2.12. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace euclidien ou hermitien. Soit u ∈ L(E) un endo-morphisme.

1. Montrer que u∗ ◦ u est autoadjoint et que son spectre est inclus dans R+.

2. On note λ la plus grande valeur propre de u∗ ◦ u∗ et µ la plus petite. Montrer quepour tout x ∈ E :

µ‖x‖2 ≤ ‖u(x)‖2 ≤ λ‖x‖2. (2.46)

Exercice 2.13 (Racine carree). Soit A une matrice hermitienne positive. Montrer qu’ilexiste une matrice hermitienne positive R telle que R2 = A.

Exercice 2.14 (Decomposition polaire). Soit A une matrice carree d’ordre n, reelle etinversible.

1. Verifier que B = tAA est symetrique definie positive.

2. Montrer qu’il existe une matrice S symetrique definie positive telle que S2 = B.

3. En deduire qu’il existe une matrice O orthogonale telle que A = OS.

4. Montrer que la decomposition precedente est unique.

5. Enoncer et demontrer le resultat analogue pour une matrice A complexe inversible.

Exercice 2.15. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace euclidien ou hermitien. Soit u ∈ L(E) un endo-morphisme. Montrer que si u est normal, alors Keru∗ = Keru.



Exercice 2.16. Soit (E, 〈·, ·〉) un espace euclidien ou hermitien. Soit u ∈ L(E) un endo-morphisme. Soit F un sous-espace vectoriel de E.

1. Montrer que si u est autoadjoint, et si F est stable par u, alors F⊥ est stable par u.

2. Montrer que si u est normal, et si F est un sous-espace propre de u, alors F⊥ eststable par u.

Exercice 2.17. On caracterise dans cet exercice les endomorphismes normaux d’un espaceeuclidien E de dimension 2. Soit B une base orthonormee de E.

1. Montrer que u ∈ L(E) est normal si et seulement si MatB(u) est symetrique ou dela forme

M =

(α −ββ α

), (2.47)

avec (α, β) ∈ R× R∗.

2. En deduire qu’un endomorphisme normal d’un espace euclidien de dimension 2 estsymetrique si et seulement si il admet une valeur propre.


Chapitre 3

Projection orthogonale

3.1 Projection dans un espace vectoriel quelconque

Soit E un K-espace vectoriel.

Definition 3.1 (Projecteur). On appelle projecteur tout endomorphisme p de E telque p ◦ p = p.

On dit que l’application lineaire p est idempotente.

Proposition 3.2. Pour tout projecteur p de E :

(i) Im p est l’ensemble des invariants de p : Im p = {x ∈ E : p(x) = x} ;(ii) q = IdE − p est un projecteur de E tel que Ker q = Im p et Im q = Ker p ;

(iii) E = Im p⊕Ker p.

Demonstration. (i) Soit A = {x ∈ E : x = p(x)}. Evidemment, A ⊂ Im p. Reciproque-ment, x ∈ Im p⇒ ∃y ∈ E : x = p(y) ⇒ p(x) = p(p(y)) = p(y) = x⇒ x ∈ A.

(ii) q ◦ q = (IdE − p) ◦ (IdE − p) = IdE − 2p + p = q donc q est un projecteur. Parailleurs, d’apres le point precedent : x ∈ Ker q ⇔ q(x) = 0 ⇔ p(x) = x ⇔ x ∈ Im p

et x ∈ Im q ⇔ q(x) = x⇔ p(x) = 0 ⇔ x ∈ Ker p.

(iii) Pout tout x ∈ E, on a : x = p(x) + q(x), donc E ⊂ Im p + Im q, i.e., l’inclusionreciproque etant evidente, E = Im p+Im q. D’apres le point (ii), ceci s’ecrit egalementE = Im p + Ker p. De plus, x ∈ Im p ∩ Ker p ⇔ x = p(x) = 0, donc la somme estdirecte.

Definition 3.3 (Projection). Soient F et G deux espaces supplementaires de E, i.e.E = F⊕G. Il existe un unique couple (xF , xG) ∈ F×G tel que x = xF+xG. L’applicationlineaire x 7→ xF est appelee projection sur F parallelement a G.

Dans la suite, on pourra confondre projections et projecteurs grace a la propositionsuivante.Proposition 3.4 (Projecteur et projection). Toute projection est un projecteur.Reciproquement, un projecteur est la projection sur Im p parallelement a Ker p.

Demonstration. (=⇒) Soit F etG deux sous-espaces supplementaires et soit p la projectionsur F parallelement a G. Soit x ∈ E. Soit (xF , xG) ∈ F × G tels que x = xF + xG. Pardefinition de la projection, on a p(x) = xF et p(xF ) = xF (puisque xF = xF +0G), donc :p(p(x)) = p(xF ) = xF = p(x), et p est un projecteur.

29

30 CHAPITRE 3. PROJECTION ORTHOGONALE

(⇐=) Reciproquement, soit p un projecteur. D’apres la proposition 3.2, E = Im p ⊕Ker p. Or, pour tout x ∈ E, x = p(x)+ (x− p(x)) avec p(x) ∈ Im p, donc la projection surIm p parallelement a Ker p est bien egale a p.

Corollaire 3.5. Si E = F ⊕G et si p est la projection sur F parallelement a G, alorsq = IdE − p est la projection sur G parallelement a F .

Demonstration. Immediat ce qui precede.

3.2 Projection orthogonale dans un espace prehilbertien

On munit maintenant E d’un produit scalaire 〈·, ·〉. (E, 〈·, ·〉) un K-espace prehilbertien.On note ‖ · ‖ la norme associee.

Definition 3.6. Un projecteur p de E est dit orthogonal si son noyau et son image sontorthogonaux, i.e. Ker p ⊥ Im p.

Proposition 3.7. Soit p un projecteur de E. Les assertions suivantes sont equivalentes :

(i) p est orthogonal ;

(ii) Im p = (Ker p)⊥ ;

(iii) Ker p = (Im p)⊥.

Demonstration. p etant un projecteur, on a Im p ⊕ Ker p = E. Si p est orthogonal, alorsIm p et Ker p sont supplementaires orthogonaux, et la proposition 1.34 entraıne (ii) et(iii). Les reciproques sont immediates.

Proposition 3.8 (Caracterisation 1 du projecteur orthogonal). Soit F un sous-espacevectoriel de E. Soit p un endomorphisme de E tel que Im p ⊂ F . Alors p est le projecteurorthogonal sur F si et seulement si ∀x ∈ E, x− p(x) ⊥ F .

Demonstration. (=⇒) Soit x ∈ E. Si p est le projecteur orthogonal sur F , alors E = F ⊕F⊥, et il existe un (unique) y ∈ F⊥ tel que x = p(x)+y. Par consequent, x−p(x) = y ∈ F⊥.

(⇐=) Reciproquement, si ∀x ∈ E, x − p(x) ⊥ F , alors ∀x ∈ E, x = p(x) + (x− p(x)),i.e E ⊂ Im p+F⊥ et l’inclusion reciproque etant triviale, E = Im p+F⊥. Par consequent,E = Im p⊕F⊥ puisque Im p ⊂ F et que deux espaces orthogonaux sont en somme directed’apres la proposition 1.31. Par unicite du supplementaire orthogonal (corollaire 1.34),Im p = F . Par ailleurs,

x ∈ Ker p⇒ p(x) = 0 ⇒ x = x− p(x) ∈ F⊥,

et par unicite de la decomposition de x sur F ⊕ F⊥ :

x ∈ F⊥ ⇒ 0F + x = x = p(x) + (x− p(x)) ⇒ p(x) = 0.

Ainsi, Ker p = F⊥. Finalement, E = Im p⊕Ker p, avec Im p ⊥ Ker p, et p est la projectionorthogonale sur F parallelement a F⊥.


3.3. PROJECTION ORTHOGONALE ET DIMENSION FINIE 31

Proposition 3.9 (Caracterisation 2 du projecteur orthogonal). Soit p un projecteur deE. Les affirmations suivantes sont equivalentes :

(i) p est orthogonal ;

(ii) p est autoadjoint : ∀(x, y) ∈ E2, 〈p(x), y〉 = 〈x, p(y)〉 ;(iii) ∀x ∈ E, ‖p(x)‖ ≤ ‖x‖.

Demonstration. ((i) =⇒ (ii)) Soient x et y deux vecteurs de E. p(y) ∈ Im pet x− p(x) ∈Ker p car p est un projecteur orthogonal. Par consequent,

〈x− p(x), p(y)〉 = 0 d’ou 〈x, p(y)〉 = 〈p(x), p(y)〉.Symetriquement, on a 〈p(x), y − p(y)〉 = 0, puis 〈p(x), y〉 = 〈p(x), p(y)〉. Finalement,〈p(x), y〉 = 〈x, p(y)〉.

((ii) =⇒ (iii)) Pour tout x ∈ E, en utilisant successivement la definition de la norme,l’affirmation (ii), la definition d’un projecteur et l’inegalite de Cauchy-Schwarz :

‖p(x)‖2 = 〈p(x), p(x)〉 = 〈x, p(p(x))〉 = 〈x, p(x)〉 ≤ ‖x‖‖p(x)‖ (3.1)

ce qui entraıne ‖p(x)‖ ≤ ‖x‖ des que ‖p(x)‖ 6= 0. La propriete est evidente dans le cas‖p(x)‖ = 0.

((iii) =⇒ (i)) Soient x ∈ Ker p, y ∈ Im p, t ∈ R. On a p(x+ ty) = p(x) + tp(y) = ty, eton ecrit :

t2‖y‖2 = ‖ty‖2 = ‖p(x+ ty)‖2 ≤ ‖x+ ty‖2 = ‖x‖2 + 2tRe (〈x, y〉) + t2‖y‖2, (3.2)

ou l’inegalite est due a l’affirmation (iii). Ainsi, on obtient : 0 ≤ ‖x‖2 + 2tRe (〈x, y〉). tetant un reel quelconque, ceci implique necessairement Re (〈x, y〉) = 0. Si K = R, on atermine. Si K = C, on reecrit l’inegalite (3.2) avec x + ity pour obtenir Im (〈x, y〉) = 0.Finalement, 〈x, y〉 = 0, et Ker p ⊥ Im(p) i.e. p est un projecteur orthogonal.

3.3 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de

dimension finie

Soit (E, 〈·, ·〉) un K-espace prehilbertien (de dimension quelconque).

Theoreme 3.10 (Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie). SoitF un sous-espace vectoriel de E de dimension finie N . Alors :

(i) F possede un supplementaire orthogonal ;

(ii) Si (e1, . . . , eN ) est une base orthonormee de F , alors la projection orthogonale sur

F , notee pF , s’ecrit : pF (x) =

N∑

i=1

〈ei, x〉ei.

Demonstration. Soit (e1, . . . , eN ) une base orthonormee de F (son existence est garantie

par le corollaire 1.21). Soit p l’endormophisme de E defini par : ∀x ∈ E, p(x) =

N∑

i=1

〈ei, x〉ei.

Alors p(E) ⊂ Vect(e1, . . . , eN ) = F , et pour tout x ∈ E, pour tout j ∈ {1, . . . , N} :

〈ej , x− p(x)〉 = 〈ej , x〉 −N∑

i=1

〈ei, x〉〈ej , ei〉 = 〈ej , x〉 − 〈ej , x〉 = 0. (3.3)



Ainsi, ∀x ∈ E, x − p(x) ∈ (Vect(e1, . . . , eN ))⊥ = F⊥. D’apres la proposition 3.8, p est leprojecteur orthogonal sur F et E = F ⊕ F⊥, i.e. F admet un supplementaire orthogonal.

Remarque 3.11. Il s’agit en fait d’une simple reformulation de la proposition 1.36.

Definition 3.12 (Distance a sous-espace). Soit F un sous-espace de E. Pour toutx ∈ E, on appelle distance de x a F , et on note d(x, F ), la quantite inf

f∈F‖x− f‖.

Theoreme 3.13 (Distance a sous-espace de dimension finie). Soit F un sous-espace deE de dimension finie. Soit x un vecteur de E. Alors l’application f 7→ ‖x − f‖ de Fdans R+ atteint son minimum en un point unique, le projete pF (x) de x sur F . Ainsi,d(x, F ) = ‖x− pF (x)‖.

Demonstration. F etant de dimension finie, la projection orthogonale pF est bien definiepar le theoreme 3.10. Pour tout f ∈ F ,

‖x− f‖2 = ‖(x− pF (x)) + (pF (x)− f)‖2 = ‖x− pF (x)‖2 + ‖pF (x)− f‖2, (3.4)

par application du theoreme de Pythagore a x − pF (x) ∈ F⊥ et pF (x) − f ∈ F vecteursorthogonaux. Donc pour tout f ∈ F, ‖x−f‖ ≥ ‖x−pF (x)‖, d’ou inf

f∈F‖x−f‖ ≥ ‖x−pF (x)‖.

Puisque pF (x) ∈ F , il vient ‖x − pF (x)‖ ≥ inff∈F

‖x − f‖. Par consequent, ‖x − pF (x)‖ =

inff∈F

‖x−f‖ = d(x, F ). L’unicite s’obtient en remarquant que si f ∈ F est tel que ‖x−f‖ =

‖x− pF (x)‖, alors d’apres l’equation (3.4) ‖pF (x)− f‖ = 0, ie f = pF (x).

Corollaire 3.14. Pour tout x ∈ E, on a

‖x‖2 = ‖x− pF (x)‖2 + ‖pF (x)‖2 = (d(x, F ))2 + ‖pF (x)‖2 .

Demonstration. Par l’equation (3.4) avec f = 0.

3.4 ♠ Projection orthogonale sur un sous-espace complet

Comme dans la section precedente, soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien de dimensionquelconque. On montre maintenant que l’on peut construire une projection orthogonalesur un sous-espace de dimension quelconque, a condition de le supposer complet 1. Oncommence par enoncer un theoreme de projection sur une partie convexe complete.

Theoreme 3.15. Soit C une partie convexe complete non vide de E. Pour tout x ∈ E, ladistance d(x,C) = inf

y∈C‖x−y‖ est atteinte en un unique point x∗ ∈ C, appele projection

de x sur le convexe C. De plus, pour tout y ∈ C,

Re (〈x− x∗, y − x∗〉) ≤ 0. (3.5)

1. On rappelle qu’une partie A de E est dite complete si toute suite de Cauchy d’elements de A convergedans A.


3.4. ♠ PROJECTION ORTHOGONALE SUR UN SOUS-ESPACE COMPLET 33

Demonstration. On montre d’abord l’existence d’un point x∗ de C realisant la distanced(x,C). Notons D = d(x,C) = inf

y∈C‖x− y‖. Par definition de la borne inferieure, il existe

une suite (an)n∈N∗ de points de C telle que ∀n ∈ N∗, ‖x−an‖ ≤ D+

1

n. On ecrit l’identite

du parallelogramme pour an − x et am − x, m,n ∈ N∗ :

2‖am − x‖2 + 2‖an − x‖2 = ‖am + an − 2x‖2 + ‖am − an‖2, (3.6)

d’ou

‖am − an‖2 = 2‖am − x‖2 + 2‖an − x‖2 − 4

∥∥∥∥am + an

2− x

∥∥∥∥2

(3.7)

≤ 2

(D +

1

m

)2

+ 2

(D +

1

n

)2

− 4D2 (3.8)

= 4D

(1

m+

1

n

)+ 2

(1

m2+

1

n2

), (3.9)

ou l’on a utilise la convexite de C pour affirmer queam + an

2∈ C et par consequent que

∥∥∥∥am + an

2− x

∥∥∥∥2

≥ D2.

Ainsi, la suite (an)n∈N∗ est une suite de Cauchy d’elements de C complet, donc elleconverge dans C. Soit x∗ ∈ C sa limite. En faisant tendre n vers +∞ dans l’inegalite

d(x,C) = D ≤ d(x, an) ≤ D +1

n, on obtient immediatement d(x, x∗) = D = d(x,C) (La

fonction distance dx : E → R+, y 7→ dx(y) = d(x, y) est continue, exercice).

On montre maintenant l’unicite d’un tel point. Si x∗1 et x∗2 sont deux points de Crealisant la distance d(x,C), alors l’identite du parallelogramme pour x − x∗1 et x − x∗2s’ecrit

2‖x∗1 − x‖2 + 2‖x∗2 − x‖2 = ‖x∗1 + x∗2 − 2x‖2 + ‖x∗1 − x∗2‖2, (3.10)

d’ou

‖x∗1 − x∗2‖2 = 2‖x∗1 − x‖2 + 2‖x∗2 − x‖2 − 4

∥∥∥∥x∗1 + x∗2

2− x

∥∥∥∥2

(3.11)

≤ 2D2 + 2D2 − 4D2 = 0, (3.12)

puisquex∗1 + x∗2

2∈ C par convexite. Ainsi, x∗1 = x∗2.

On termine la demonstration par l’inegalite. Soit y ∈ C. Pour tout t ∈]0, 1], (1− t)x∗+ty ∈ C par convexite, donc

‖x− x∗‖2 ≤ ‖x− [(1− t)x∗ + ty]‖2 = ‖(x− x∗)− t(y − x∗)‖2 (3.13)

= ‖x− x∗‖2 − 2tRe(〈x− x∗, y − x∗〉) + t2‖y − x∗‖2, (3.14)

d’ou

Re (〈x− x∗, y − x∗〉) ≤ t

2‖y − x∗‖2. (3.15)

En faisant tendre t vers 0, il vient Re (〈x− x∗, y − x∗〉) ≤ 0.



On obtient donc le theoreme de projection orthogonale sur un sous-espace complet deE.Theoreme 3.16. Soit F un sous-espace vectoriel complet de E. Alors F admet unsupplementaire orthogonal, i.e. E = F ⊕ F⊥, et pour tout x ∈ E, le projete orthogonalde x sur F pF (x) est l’unique point de F pour lequel la distance d(x, F ) = inf

f∈F‖x− f‖

est atteinte.

Demonstration. F est une partie convexe (c’est un sous-espace vectoriel), complete (parhypothese), non vide (0 ∈ F ), donc pour tout x ∈ E, il existe un unique x∗ comme dans letheoreme precedent 3.15. C’est l’unique point realisant la distance d(x, F ). On va montrerque x∗ est le projete orthogonal de x sur F . On ecrit x = x∗+(x−x∗). Soit f ∈ F . Toujoursd’apres le theoreme precedent, l’inegalite (3.5) appliquee a f + x∗ ∈ F et −f + x∗ ∈ F

s’ecrit : {Re (〈x− x∗, f〉) ≤ 0

−Re (〈x− x∗, f〉) ≤ 0(3.16)

d’ou Re (〈x− x∗, f〉) = 0. La meme inegalite appliquee a if + x∗ ∈ F et −if + x∗ ∈ F

permet d’obtenir Im (〈x− x∗, f〉) = 0. Finalement, 〈x− x∗, f〉 = 0 et f etant quelconque,x− x∗ ∈ F⊥. L’ecriture x = x∗ + (x− x∗) donne alors E = F + F⊥, d’ou E = F ⊕ F⊥ etl’application pF : E → F, x 7→ pF (x) = x∗ est bien la projection orthogonale sur F .

3.5 Inegalite de Bessel et egalite de Parseval-Bessel

Soit (E, 〈·, ·〉) est toujours un espace prehilbertien de dimension infinie.

Theoreme 3.17 (Inegalite de Bessel). Soit n ∈ N∗. Si (e1, . . . , en) est une famille

orthonormee de E, alors pour tout x ∈ E,

n∑

i=1

|〈ei, x〉|2 ≤ ‖x‖2.

Demonstration. F = Vect(e1, . . . , en) est un sous-espace de dimension finie de E, donc laprojection orthogonale sur F est bien definie, et la famille (e1, . . . , en) etant orthonormee,

elle s’ecrit : ∀x ∈ E, pF (x) =n∑

i=1

〈ei, x〉ei. Alors :

‖pF (x)‖2 =

∥∥∥∥∥

n∑

i=1

〈ei, x〉ei

∥∥∥∥∥

2

=

n∑

i=1

|〈ei, x〉|2 (3.17)

On conclut grace a la proposition 3.2 qui affirme que ‖pF (x)‖2 ≤ ‖x‖2

Corollaire 3.18. Soit (en)n∈N une famille orthonormee de E. Alors pour tout x ∈ E,

la serie de terme general |〈en, x〉|2 est convergente 2et

+∞∑

n=0

|〈en, x〉|2 ≤ ‖x‖2.

Demonstration. La suite des sommes partielles est croissante (terme general positif), et

majoree : pour tout N ∈ N,

N∑

n=0

|〈en, x〉|2 ≤ ‖x‖2. La serie est donc convergente. La

majoration de la limite est immediate.

2. On dit que la suite (〈en, x〉)n∈Nest de carre sommable.


3.5. INEGALITE DE BESSEL ET EGALITE DE PARSEVAL-BESSEL 35

Theoreme 3.19 (Egalite de Parseval-Bessel). Soit x ∈ E. Soit (en)n∈N une familleorthonormee de E. On a l’egalite, dite de Parseval-Bessel,

+∞∑

n=0

|〈en, x〉|2 = ‖x‖2 (3.18)

si et seulement si x est adherent 3au sous-espace vectoriel engendre par la famille(en)n∈N.

Demonstration. Commencons par quelques notations. On note F le sous-espace vecto-riel engendre par la famille (en)n∈N. On rappelle que F est l’ensemble des combinaisonslineaires finies d’elements de (en)n∈N.

Pour tout N ∈ N, on note FN = Vect(e0, . . . , eN ). FN est un sous-espace vectoriel deF de dimension finie, donc la projection orthogonale sur FN , notee pN , existe et, la famille

(en)n∈N etant orthonormee, elle est definie pour tout x ∈ E par pN (x) =N∑

n=0

〈en, x〉en. Il

est immediat que ∀x ∈ E, ‖pN (x)‖2 =N∑

n=0

|〈en, x〉|2.

(=⇒) Supposons que

+∞∑

n=0

|〈en, x〉|2 = ‖x‖2. En utilisant cette hypothese et le corollaire

3.14, on ecrit pour tout n ∈ N :

0 ≤ ‖x− pN (x)‖2 = ‖x‖2 − ‖pN (x)‖2 = ‖x‖2 −N∑

n=0

|〈en, x〉|2 =+∞∑

n=N+1

|〈en, x〉|2 (3.19)

Le terme de droite tend vers 0 quand N → +∞ (c’est le reste d’une serie convergente),donc pour ǫ > 0 fixe, il existe N ∈ N tel que :

0 ≤ ‖x− pN (x)‖2 ≤ ǫ. (3.20)

Ceci etant vrai pour tout ǫ, et puisque pN (x) ∈ FN ⊂ F , x est bien un point adherent aF .

(⇐=) Reciproquement, supposons x adherent a F . Soit ǫ > 0. Il existe alors une partiefinie J de N et une famille de scalaires (λj)j∈J telles que

‖x−∑

j∈J

λjej‖2 ≤ ǫ. (3.21)

Soit N ≥ maxJ . On complete avec des 0 la famille (λj)j∈J en la famille (λn)n∈{0,...,N}.Alors avec les notation ci-dessus :

0 ≤ ‖x‖2 −N∑

n=0

|〈en, x〉|2 = ‖x‖2 − ‖pN (x)‖2 (3.22)

= ‖x− pN (x)‖2 = d(x, FN )2 (3.23)

≤∥∥∥∥∥x−

N∑

n=0

λnen

∥∥∥∥∥

2

=

∥∥∥∥∥∥x−

∑

j∈J

λjej

∥∥∥∥∥∥

2

≤ ǫ. (3.24)

3. On rappelle que l’adherence d’une partie A de E est l’ensemble des limites des suites convergentes(dans E...) d’elements de A.



ou l’on a utilise le corollaire 3.14, et le fait queN∑

n=0

λnen ∈ FN . On a donc obtenu :

‖x‖2 − ǫ ≤N∑

n=0

|〈en, x〉|2 ≤ ‖x‖2, (3.25)

ou l’inegalite de droite est l’ingelite de Bessel 3.17. En passant a la limite quand N tendvers +∞ (on sait que la serie converge par le corollaire 3.18) :

‖x‖2 − ǫ ≤+∞∑

n=0

|〈en, x〉|2 ≤ ‖x‖2 (3.26)

Ceci etant vrai pour tout ǫ, il vient :+∞∑

n=0

|〈en, x〉|2 = ‖x‖2.

Definition 3.20 (Famille totale). Une famille de vecteurs de E est dite totale si lesous-espace vectoriel qu’elle engendre est dense 4dans E.

Theoreme 3.21 (Caracterisation des familles orthonormees totales). Soit (en)n∈N unefamille orthonormee de E. Les assertions suivantes sont equivalentes :

(i) la famille (en)n∈N est totale ;

(ii) ∀x ∈ E, la serie numerique∑

n∈N

|〈en, x〉|2 est convergente et+∞∑

n=0

|〈en, x〉|2 = ‖x‖2 ;

(iii) ∀x, y ∈ E, la serie numerique∑

n∈N

〈en, x〉〈en, y〉 est absolument convergente et

+∞∑

n=0

〈en, x〉〈en, y〉 = 〈x, y〉 ;

(iv) ∀x ∈ E, la serie∑

n∈N

〈en, x〉en converge (dans E) et+∞∑

n=0

〈en, x〉en = x (au sens de

la convergence en norme ‖ · ‖).

Demonstration. On utilise les memes notations que dans la demonstration precedente. Onnote F le sous-espace vectoriel engendre par la famille (en)n∈N. Pour tout N ∈ N, on noteFN = Vect(e0, . . . , eN ). FN est un sous-espace vectoriel de F de dimension finie, doncla projection orthogonale sur FN , notee pN , existe et est definie pour tout x ∈ E par

pN (x) =

N∑

n=0

〈en, x〉en. Il est immediat que ∀x ∈ E, ‖pN (x)‖2 =

N∑

n=0

|〈en, x〉|2.

(i) ⇔ (ii) : La definition 3.20 et le theoreme 3.19 entraınent les equivalences suivantes :la famille (en)n∈N est totale ⇔ F est dense dans E ⇔ ∀x ∈ E, x est adherent a F ⇔ (ii).

4. On rappelle qu’une partie A d’un espace metrique (E,d) est dense dans E si tout element de E estlimite d’une suite d’elements de A.


3.6. NOTIONS D’ESPACE DE HILBERT ET DE BASE HILBERTIENNE 37

(ii) ⇒ (iv) : Soit x ∈ E. Alors limN→+∞

∥∥∥∥∥x−N∑

n=0

〈en, x〉en

∥∥∥∥∥

2

= limN→+∞

‖x − pN (x)‖2 =

limN→+∞

‖x‖2 − ‖pN (x)‖2 = ‖x‖2 − limN→+∞

N∑

n=0

|〈en, x〉|2 = 0 d’apres (ii).

(iv) ⇒ (i) : Soit x ∈ E. Alors (iv) entraıne que la suite (pN (x))N∈N converge vers x.Puisque ∀N ∈ N, pN (x) ∈ FN ⊂ F , x est bien dans l’adherence de F , et la famille (en)n∈Nest totale.

(ii) ⇔ (iii) : (ii) est un cas particulier de (iii) avec x = y, donc seule la reciproque est ademontrer. Soit (x, y) ∈ E2. Une identite de polarisation s’ecrit :

〈x, y〉 = 1

4

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 − i‖x+ iy‖2 + i‖x− iy‖2

), (3.27)

Appliquee a 〈en, x〉en et 〈en, y〉en, cette egalite se reecrit :

〈en, x〉〈en, y〉 =1

4

(|〈en, x〉+ 〈en, y〉|2 − |〈en, x〉 − 〈en, y〉|2

−i|〈en, x〉+ i〈en, y〉|2 + i|〈en, x〉 − i〈en, y〉|2)

(3.28)

=1

4

(|〈en, x+ y〉|2 − |〈en, x− y〉|2 − i|〈en, x+ iy〉|2 + i|〈en, x− iy〉|2

).

Ainsi, d’apres (ii) appliquee a x + y, x − y, x + iy et x − iy, la serie numerique determe general 〈en, x〉〈en, y〉 est absolument convergente comme somme de quatre seriesabsolument convergentes. D’apres la relation (3.27), sa somme vaut 〈x, y〉.

3.6 Notions d’espace de Hilbert et de base hilbertienne

Definition 3.22 (Espace de Hilbert). On appelle espace de Hilbert tout espaceprehilbertien complet.

Remarque 3.23. Tout espace prehilbertien de dimension finie est donc un espace de Hil-bert (cf. cours de Calcul differentiel 1, partie topologie des espaces vectoriels normes dedimension finie). En particulier, Rn est un espace de Hilbert. L’espace des suites reelles oucomplexes de carre sommable est un espace de Hilbert (voir l’exercice 3.5). En revanche,l’espace C0([0, 1],R) des fonctions a valeurs reelles continues sur [0, 1] n’est pas un espacede Hilbert (voir l’exercice 3.3).

Definition 3.24 (Base hilbertienne). Soit E un espace de Hilbert. On appelle basehilbertienne de E toute famille orthonormee totale.

Remarque 3.25. Attention, une base hilbertienne n’est pas necessairement une base alge-brique. Voir par exemple l’exercice 3.5.

3.7 Exercices

Exercice 3.1. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans R. Soit

〈·, ·〉 le produit scalaire usuel defini pour tout (f, g) ∈ E2 par 〈f, g〉 =∫ 1

0fg. On note F

le sous-espace vectoriel des fonctions polynomiales de degre au plus 2.



1. Determiner une base ortonormee B de F .

2. Determiner les coordonnees de f : t 7→ 1 + t2 dans la base B.3. Calculer ‖f‖ de deux manieres differentes.

4. Determiner le projete orthogonal de la fonction g = exp sur F .

5. Determiner le triplet (a, b, c) ∈ R3 tel que

∫ 1

0(t5 − a− bt− ct2)2 dt soit minimale.

Exercice 3.2. Soit E = R3[X] l’espace des polynomes a coefficients reels de degre au

plus 3. Pour tout (f, g) ∈ E2, on pose 〈f, g〉 =∫ ∞

0f(t)g(t)e−t dt. On note F = R2[X] le

sous-espace des polynomes a coefficients reels de degre au plus 2.

1. Montrer que 〈·, ·〉 est un produit scalaire sur E.

2. Determiner le projete orthogonal de g : t 7→ t3 sur F .

Exercice 3.3. Soit E = C0([0, 1],R) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1].

Soit F le sous-espace vectoriel des fonctions de E nulles sur

[0,

1

2

].

1. Montrer que l’application 〈·, ·〉 : E × E → R, (f, g) 7→∫ 1

0f(t)gt(t)dt est un produit

scalaire sur E.

2. Caracteriser le sous-espace F⊥.

3. Le sous-espace F admet-il un supplementaire orthogonal ?

4. Justifier que F est un ferme.

5. E est-il un espace de Hilbert ?

Exercice 3.4. Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales reelles definies sur R+

de degre au plus 3. Soit F le sous-espace vectoriel de E des fonctions polynomiales reellesdefinies sur R+ de degre au plus 2. On note qi : t 7→ ti pour i = 0, . . . , 3.

1. Verifier que pour tout n ∈ N,

∫ +∞

0tne−tdt = n!.

2. Montrer que l’application 〈·, ·〉 : E × E → R, (f, g) 7→∫ +∞

0f(t)gt(t)e−tdt est un

produit scalaire sur E.

3. Justifier l’existence de la projection orthogonale sur F notee pF .

4. (a) Determiner une base orthonormale de F .

(b) En utilisant cette base, determiner pF (q3), le projete orthogonal de la fonctiont 7→ t3 ∈ E sur le sous-espace F .

5. (a) Montrer que ∀i ∈ {0, 1, 2},∀f ∈ E, 〈f, qi〉 = 〈pF (f), qi〉.

(b) Justifier l’existence d’un triplet (α0, α1, α2) ∈ R3 tel que pF (q3) =

2∑

i=0

αiqi.

(c) Calculer (α0, α1, α2) et verifier que le resultat obtenu est en accord avec lesquestions precedentes.


3.7. EXERCICES 39

Exercice 3.5. Soit E = l2(C) l’espace vectoriel des suites complexes de carre sommable :

E =

{u = (un)n∈N ∈ C

N :∑

n∈N

|un|2 < +∞}. (3.29)

On definit l’application

〈·, ·〉 : E × E → C, (u, v) ∈ E2 7→ 〈u, v〉 =∑

n≥0

unvn. (3.30)

1. Montrer que (E, 〈·, ·〉) est un espace prehilbertien.

2. Pour tout n ∈ N, on note en = (enk)k∈N la suite verifiant enn = 1 et enk = 0 pour toutk 6= n.

(a) Calculer 〈en, u〉 pour tout u ∈ E.

(b) Montrer que la famille (en)n∈N est une famille orthonormee de E.

3. Soit F l’ensemble des suites de complexes n’ayant qu’un nombre fini de termes nonnuls :

F = {u = (un)n∈N ∈ CN : ∃N ∈ N,∀n ≥ N,un = 0}. (3.31)

(a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.

(b) Verifier que F est engendre par la famille (en)n∈N.

(c) Montrer que la famille (en)n∈N est une famille totale.

4. (a) Montrer que F⊥ = {0E}.

(b) Verifier que la suite de terme general an =1

n+ 1, n ∈ N, est un element de E

mais pas de F .

(c) En deduire que F n’admet pas de supplementaire orthogonal.

5. Soit (un)n∈N une suite d’elements de E (c’est donc une suite de suites : pour tout n,un = (unk )k∈N). On suppose que la suite (un)n∈N est une suite de Cauchy. Soit ǫ > 0.

(a) Montrer qu’il existeN0 ∈ N tel que ∀m,n ∈ N,

(m,n ≥ N0 ⇒

+∞∑

n=0

|unp − ump | < ǫ

).

(b) Montrer que pour tout p ∈ N, la suite de reels (unp )n∈N est une suite convergente.On notera vp sa limite.

(c) On note v = (vp)p∈N. Soit m ∈ N,m ≥ N0. Montrer que v − um ∈ E.

(d) En deduire que E est un espace de Hilbert.

(e) Donner une base hilbertienne de E.

6. Le sous-espace F est-il complet ? ferme ?

Exercice 3.6 (Controle continu 2012). Soit E = C2([0, 1],R) le R-espace vectoriel desfonctions definies sur [0, 1] a valeurs reelles de classe C2. On definit l’application

〈·, ·〉 :

E × E → R

(f, g) 7→ 〈f, g〉 =∫ 1

0

(f(t)g(t) + f ′(t)g′(t)

)dt =

∫ 1

0(fg + f ′g′)



1. Soit f : [0, 1] → R une fonction quelconque verifiant

∫ 1

0f(t)dt = 0. On rappelle

que si f est positive et continue, alors ∀t ∈ [0, 1], f(t) = 0 (ne pas redemontrer ceresultat). Montrer en donnant des contre-exemple precis que cette propriete n’estpas verifiee si on suppose

a) f continue mais non positive ;

b) f positive mais non continue.

2. Montrer que (E, 〈·, ·〉) est un espace prehilbertien reel.

3. Soient V = {f ∈ E : f(0) = f(1) = 0} et W = {f ∈ E : f = f ′′}.a) Montrer que V et W sont deux sous-espaces vectoriels de E.

b) Montrer que V et W sont orthogonaux.

4. Pour tout (α, β) ∈ R2, on definit l’application

hα,β : [0, 1] → R, t 7→ hα,β(t) =β sinh(t)− α sinh(t− 1)

sinh(1).

a) Montrer que pour tout (α, β) ∈ R2, hα,β est un element de W .

b) Pour f ∈ E, a quelle condition a-t-on f − hα,β ∈ V ?

c) En deduire que V et W sont supplementaires orthogonaux.

5. Soit F = {f ∈ E : f(0) = 1, f(1) = 1}.

Montrer que inff∈F

∫ 1

0

(f2(t) + f ′2(t)

)dt = ‖h1,1‖2.

Exercice 3.7 (Examen 2012). Soit (E, 〈·, ·〉) un espace prehilbertien reel. Soit un vecteura ∈ E non nul. Soit D = Vect(a) l’espace vectoriel engendre par a. On notera ‖ · ‖2 lanorme issue du produit scalaire.

1. Montrer que E = D ⊕D⊥.

2. Pour tout x ∈ E, determiner pD(x) le projete orthogonal de x sur D.

3. Montrer que pour tout vecteur x ∈ E, la distance de x a D s’ecrit

d(x,D) =

√‖x‖22 −

〈a, x〉2‖a‖22

.

4. Determiner la distance d(x,D⊥) de x a D⊥.

Exercice 3.8 (Examen 2012). Soit K = R ou C. Soit (E, 〈·, ·〉) un K-espace prehilbertien.On notera ‖·‖2 la norme issue du produit scalaire 〈·, ·〉. Soit (en)n∈N une suite orthonormeede vecteurs de E.

1. Enoncer le critere de Cauchy pour une suite quelconque (xn)n∈N de vecteurs de E,pour la norme ‖ · ‖2.

2. Soit (an)n∈N une suite d’elements de K. Pour tout N entier, on pose SN =N∑

n=0

anen.

(a) Montrer que ‖SN‖22 =N∑

n=0

|an|2.


3.7. EXERCICES 41

(b) Montrer que si∞∑

n=0

|an|2 < ∞ (i.e. si la serie est convergente), alors (SN )N∈N

est une suite de Cauchy.

(c) Montrer que la reciproque est vraie.

3. Soit x un vecteur quelconque de E. Pour tout n ∈ N, on pose Fn = Vect(e0, . . . , en)le K-sous-espace vectoriel engendre par la famille finie {e0, . . . , en}. On note enfin Fle K-sous-espace vectoriel engendre par la famille (en)n∈N.

(a) Montrer l’existence du projete orthogonal de x sur Fn, que l’on notera pn(x),et en donner une expression en fonction de x et de la famille {e0, . . . , en}.

(b) Montrer que la distance de x a Fn, notee dn = d(x, Fn), s’ecrit

dn =

√√√√‖x‖22 −n∑

i=0

|〈ei, x〉|2.

(c) Montrer que (dn)n∈N est une suite decroissante.

(d) Montrer que (dn)n∈N est une suite convergente. On notera l sa limite.

(e) Montrer que pour tout f ∈ F , ‖x− f‖2 ≥ l.

(f) En deduire que d(x, F ) = l.

(g) En deduire que x est dans l’adherence de F si et seulement si x =

∞∑

n=0

〈en, x〉en

au sens de la convergence pour la norme ‖ · ‖2.


Chapitre 4

Series de Fourier

Avertissement : on s’interesse dans ce chapitre aux series de Fourier du point de vue desespaces prehilbertiens (ou de Hilbert). L’approche est donc assez differente de celle adopteedans le cours d’Outils Mathematiques 4 du debut du semestre. Les resultats identiques dansles deux approches et deja demontres dans le cours d’Outils Mathematiques 4 sont redonnesici mais ne seront pas redemontres en cours.

4.1 Espaces de fonctions periodiques

4.1.1 Espaces prehilbertiens C0T (R,K) et C0,m

T (R,K)

On s’interesse dans cet expose aux fonctions T -periodiques.

Definition 4.1 (Fonction periodique). Soit T un reel strictement positif. Une fonctionf : R → K est dite T -periodique si

∀x ∈ R, f(x+ T ) = f(x). (4.1)

On note C0,mT (R,K) l’ensemble des fonctions continues par morceaux, T -periodiques,

de R dans K = R ou C. C0,mT (R,K) est un K-espace vectoriel. Sur cet espace, l’application

〈·, ·〉 : C0,mT (R,K)× C0,m

T (R,K), (f, g) 7→ 1

T

∫ T

0f(t)g(t)dt (4.2)

est une forme sesquilineaire hermitienne positive (exercice).

Proposition 4.2. Une fonction f ∈ C0,mT (R,K) verifie 〈f, f〉 = 0 si et seulement si elle

est nulle sauf en un nombre fini de points sur tout segment.

Demonstration. (=⇒) Soit a0 = 0 < a1 < . . . < aN = T une subdivision de [0, T ] adapteea f . Pour tout i = 1, . . . , N , on note fi : [ai−1, ai] → R le prolongement par continuite dela restriction de f a ]ai−1, ai[. Alors

0 = 〈f, f〉 = 1

T

∫ T

0|f(t)|2dt =

n∑

i=1

∫ ai

ai−1

|f(t)|2dt =n∑

i=1

∫ ai

ai−1

|fi(t)|2dt, (4.3)

donc par positivite de l’integrale,

∀i = 1, . . . , N,

∫ ai

ai−1

|fi(t)|2dt = 0. (4.4)

43

44 CHAPITRE 4. SERIES DE FOURIER

Or, pour tout i, fi est continue sur [ai−1, ai], donc on en conclut que ∀i = 1, . . . , N, fi = 0.Finalement, f est nulle sauf peut-etre aux points ai qui sont en nombre fini sur [0, T ].

(⇐=) La reciproque est immediate.

Proposition 4.3. L’espace vectoriel C0T (R,K) des fonctions de R dans K continues et

T -periodiques, muni du produit scalaire

〈·, ·〉 : C0T (R,K)× C0

T (R,K), (f, g) 7→ 1

T

∫ T

0f(t)g(t)dt, (4.5)

est un espace prehilbertien.

Demonstration. Immediat avec ce qui precede. Ce resultat est d’ailleurs deja demontre auchapitre 1.

Definition 4.4. On definit l’espace C0,mT (R,K) par

C0,mT (R,K) =

{f ∈ C0,m

T (R,K) : ∀x ∈ R, f(x) =1

2(f(x+) + f(x−))

}, (4.6)

ou l’on a note f(x+) = limt→xt>x

f(t) et f(x−) = limt→xt<x

f(t).

Proposition 4.5. L’espace vectoriel C0,mT (R,K) muni du produit scalaire

〈·, ·〉 : C0,mT (R,K)× C0,m

T (R,K), (f, g) 7→ 1

T

∫ T

0f(t)g(t)dt, (4.7)

est un espace prehilbertien.

Demonstration. On reprend la demonstration de la proposition 4.2. Pour tout i, fi estnulle et continue sur ]ai−1, ai[, donc :

∀i = 1, . . . , N, limx→ai−1

x>ai−1

f(x) = 0 et limx→aix<ai

f(x) = 0. (4.8)

Puisque f verifie la condition de Dirichlet, on obtient :

∀i = 1, . . . , N − 1, f(ai) =1

2

lim

x→ai−1

x>ai−1

f(x) + limx→aix<ai

f(x)

= 0. (4.9)

Finalement, f etant T -periodique, on a necessairement limx→Tx>T

f(x) = limx→0x>0

f(x) = 0 d’apres

l’equation (4.8), et par suite f(T ) = 0 puis f(0) = 0 par periodicite. f est bien identique-ment nulle.

Remarque 4.6 (Emboıtement des espaces). On a evidemment

C0T (R,K) ⊂ C0,m

T (R,K) ⊂ C0,mT (R,K). (4.10)


4.1. ESPACES DE FONCTIONS PERIODIQUES 45

Proposition 4.7. L’application ‖ · ‖2 : f 7→ ‖f‖2 =1

T

∫ T

0|f |2(t)dt est une norme sur

les espaces C0T (R,K) et C0,m

T (R,K). C’est une semi-norme sur l’espace C0,mT (R,K).

Demonstration. L’application ‖·‖2 est la norme associee au produit scalaire 〈·, ·〉 defini auxequations (4.5) et (4.7). Sur l’espace C0,m

T (R,K), on verifie que l’application est homogenepositive et verifie l’inegalite triangulaire, mais pas la propriete de separation (d’apres laproposition 4.2). C’est bien une semi-norme.

4.1.2 Familles orthonormees usuelles

Definition 4.8 (Pulsation). On appelle pulsation (associee a une periode T ) la quantite

reelle ω =2π

T.

Proposition 4.9. La famille (en)n∈Z, definie par : ∀t ∈ R, en(t) = einωt, est une famille

orthonormee de C0T (R,C) et de C0,m

T (R,C).

Demonstration. Pour tout n ∈ Z,

〈en, en〉 =1

T

∫ T

0|einωt|2dt = 1, (4.11)

et pour tous m,n ∈ Z, m 6= n,

〈em, en〉 =1

T

∫ T

0eimωteinωtdt =

1

T

∫ T

0ei(n−m)ωtdt = 0. (4.12)

Proposition 4.10. La famille(1,√2 cos(nωt),

√2 sin(nωt)

)n∈N∗

est une famille ortho-

normee de C0T (R,K), donc de C0,m

T (R,K).

Demonstration. Le calcul se ramene au cas precedent grace aux formules d’Euler. Pourtout n ∈ N

∗, notons fn : t 7→ sin(nωt). Alors pour tout couple (m,n) ∈ (N∗)2 :

〈fm, fn〉 =

⟨em − e−m

2i,en − e−n

2i

⟩(4.13)

=1

4(〈em, en〉 − 〈em, e−n〉 − 〈e−m, en〉+ 〈e−m, e−n〉) (4.14)

=

{0 si m 6= n,1

2si m = n.

(4.15)

d’ou le resultat. Les autres cas (”cos− cos” et ”cos− sin”) se demontrent de la mememaniere.

Definition 4.11 (Polynome trigonometrique). Soit N ∈ N. On appelle polynome tri-gonometrique de degre inferieur ou egal a N toute combinaison lineaire d’elements dela famille (en)n∈{−N,...,N}. On note PN = Vect (e−N , . . . , eN ) leur ensemble.



4.2 Coefficients, sommes et series de Fourier

4.2.1 Definitions

Definition 4.12 (Coefficients de Fourier exponentiels). On appelle coefficients de Fou-rier exponentiels d’une fonction f ∈ C0,m

T (R,K) les quantites (cn(f))n∈Z definies par :

∀n ∈ Z, cn(f) = 〈en, f〉 =1

T

∫ T

0f(t)e−inωtdt. (4.16)

Definition 4.13 (Coefficients de Fourier trigonometriques). On appelle coefficients deFourier trigonometriques d’une fonction f ∈ C0,m

T (R,K) les quantites (an(f))n∈N et(bn(f))n∈N∗ definies par :

∀n ∈ N, an(f) = 2〈t 7→ cos(nωt), f〉 = 2

T

∫ T

0f(t) cos(nωt)dt, (4.17)

∀n ∈ N∗, bn(f) = 2〈t 7→ sin(nωt), f〉 = 2

T

∫ T

0f(t) sin(nωt)dt. (4.18)

Le lien entre les deux types de coefficients de Fourier est donne par la propositionsuivante.

Proposition 4.14. Soit f ∈ C0,mT (R,K). On a pour tout n ∈ N, en notant b0(f) = 0 :

{an(f) = cn(f) + c−n(f),bn(f) = i (cn(f)− c−n(f)) ,

(4.19)

i.e.

cn(f) =1

2(an(f)− ibn(f)) ,

c−n(f) =1

2(an(f) + ibn(f)) .

(4.20)

Demonstration. Le passage des coefficients exponentiels aux coefficients trigonometriqueset reciproquement se fait par les formules d’Euler. Pour tout n ∈ N,

cn(f) =1

T

∫ T

0f(t)e−inωt dt

=1

T

∫ T

0f(t) cos (−nωt) dt+ i

1

T

∫ T

0f(t) sin (−nωt) dt

=1

2(an(f)− ibn(f)) . (4.21)

De meme, c−n(f) =1

2(an(f) + ibn(f)). Ces deux resultats combines donnent alors ceux

de l’equation (4.19).

On associe enfin a chaque fonction f ∈ C0,mT (R,K) une serie de fonctions appelee serie

de Fourier. Les sommes partielles de cette serie de fonctions sont appelees sommes deFourier.


4.2. COEFFICIENTS, SOMMES ET SERIES DE FOURIER 47

Definition 4.15 (Sommes de Fourier). Pour f ∈ C0,mT (R,K), pour N ∈ N fixe, on note

SN (f) la fonction definie sur R par :

∀t ∈ R, SN (f)(t) =

N∑

n=−N

cn(f)einωt =

a0(f)

2+

N∑

n=1

(an(f) cos(nωt) + bn(f) sin(nωt))

(4.22)La fonction SN (f) : R → K est appelee somme de Fourier d’ordre N de f .

Definition 4.16 (Serie de Fourier). Pour f ∈ C0,mT (R,K), la serie de fonction S(f)

definie sur R par :

∀t ∈ R, S(f)(t) =∑

n∈Z

cn(f)einωt =

a0(f)

2+∑

n∈N∗

(an(f) cos(nωt) + bn(f) sin(nωt))

(4.23)est appelee serie de Fourier de f .

4.2.2 Proprietes des coefficients de Fourier

Nous enoncons dans cette section quelques proprietes des coefficients de Fourier, toutesessentielles puisqu’elles permettent de simplifier considerablement les calculs dans de nom-breux cas pratiques.

Proposition 4.17. Soit f ∈ C0,mT (R,K). Les coefficients de Fourier de f ont les pro-

prietes suivantes :

(i) ∀n ∈ Z, |cn(f)| ≤1

T

∫ T

0|f(t)| dt ;

(ii) ∀n ∈ Z, cn(f) = c−n(f) ;

Demonstration. (i) |cn(f)| =∣∣∣∣1

T

∫ T

0f(t)e−inωt dt

∣∣∣∣ ≤1

T

∫ T

0|f(t)| dt, par inegalite tri-

angulaire.

(ii) cn(f) =1

T

∫ T

0f(t)e−inωt dt =

1

T

∫ T

0f(t)einωt dt = c−n(f).

Remarque 4.18. Lors de l’etude concrete d’une fonction donnee, si f est a valeurs reelles,alors on prefere souvent utiliser les coefficients trigonometriques, puisqu’ils sont dans cecas egalement reels. En effet, le point (ii) de la proposition 4.17 montre que si f est reelle,alors cn(f) et c−n(f) sont des complexes conjugues. Par la proposition 4.14, on obtient :an(f) = 2Re (cn(f)) et bn(f) = −2Im (cn(f)), qui sont bien reels.

Si la fonction etudiee est paire ou impaire, alors le calcul des coefficients de Fourier sesimplifie grandement grace a la proposition suivante.



Proposition 4.19 (Parite et coefficients de Fourier). Soit f ∈ C0,mT (R,K).

(i) Si f est paire, alors ∀n ∈ N, c−n(f) = cn(f), i.e.

∀n ∈ N, bn(f) = 0 et an(f) =4

T

∫ T

2

0f(t) cos(nωt) dt. (4.24)

(ii) Si f est impaire, alors ∀n ∈ N, c−n(f) = −cn(f), i.e.

∀n ∈ N, an(f) = 0 et bn(f) =4

T

∫ T

2

0f(t) sin(nωt) dt. (4.25)

Demonstration. Si f est paire, alors :

cn(f) =1

T

∫ T

0f(t)e−inωt dt =

1

T

∫ 0

−T

f(u)einωu du = c−n(f) (4.26)

ou l’on a utilise le changement de variable t = −u. Les relations pour an(f) et bn(f) s’ob-tiennent avec la proposition 4.14, ou bien en remarquant directement que t 7→ f(t) cos (inωt)est paire et t 7→ f(t) sin (inωt) impaire.

La demonstration est similaire dans le cas f impaire.

Proposition 4.20 (Formule du retard). Soient f ∈ C0,mT (R,K) et a un reel. Les coef-

ficients de Fourier exponentiels de la fonction fa : t 7→ f(t+ a) sont donnes pour toutn ∈ Z par cn(fa) = einωacn(f).

Demonstration.

Avec le changement de variable u = t+ a, il vient :

cn(fa) =1

T

∫ T

0fa(t)e

−inωt dt =1

T

∫ T

0f(t+ a)e−inωt dt

=1

T

∫ T

0f(u)e−inωueinωa du = einωacn(f). (4.27)

Proposition 4.21 (Coefficients de Fourier d’une derivee). Si f ∈ C1,mT (R,K) est conti-

nue, autrement dit si f : R → K est une fonction T -periodique et de classe C1 parmorceaux et continue sur R, alors :

∀n ∈ Z, cn(f′) = inωcn(f). (4.28)

Demonstration. Supposons f de classe C1. Alors par integration par parties :

cn(f′) =

1

T

∫ T

0f ′(t)e−inωt dt

=1

T

[f(t)e−inωt

]T0− 1

T

∫ T

0f(t) (−inω) e−inωt dt

=1

T[f(T )− f(0)] + inω

1

T

∫ T

0f(t)e−inωt dt

= inωcn(f) (4.29)


4.2. COEFFICIENTS, SOMMES ET SERIES DE FOURIER 49

Dans le cas general ou f n’est que de classe C1 par morceaux et continue, on effectuel’integration par parties sur chaque segment d’une subdivision adaptee a f . Soit 0 = a0 <

a1 < . . . < aN = T une subdivision adaptee a f . Alors :

cn(f′) =

1

T

∫ T

0f ′(t)e−inωt dt

=1

T

N∑

k=1

∫ ak

ak−1

f ′(t)e−inωt dt

=1

T

N∑

k=1

[f(t)e−inωt

]akak−1

− 1

T

N∑

k=1

∫ ak

ak−1

f(t) (−inω) e−inωt dt

=1

T

N∑

k=1

(f(ak)e

−inωak − f(ak−1)e−inωak−1

)+ inω

N∑

k=1

1

T

∫ ak

ak−1

f(t)e−inωt dt

=1

T[f(T )− f(0)] + inω

1

T

∫ T

0f(t)e−inωt dt

= inωcn(f), (4.30)

ou l’on utilise successivement une integration par parties sur chaque intervalle de la sub-division, la continuite de f et la periodicite de f .

Corollaire 4.22 (Coefficients de Fourier d’une derivee k-ieme). Soit f ∈ Ck,mT (R,K)

(i.e. f est T -periodique et de classe Ck par morceaux). Si de plus f est de classe Ck−1,alors

∀n ∈ Z, cn(f(k)) = (inω)kcn(f). (4.31)

Demonstration. Par recurrence avec le resultat precedent.

4.2.3 Regularisee et coefficients de Fourier

Dans toute la suite, on tirera profit de la structure d’espace prehilbertien des espacesC0T (R,K) et C0,m

T (R,K) en appliquant directement a ces espaces des resultats obtenus auchapitre 3.

L’espace C0,mT (R,K) muni de l’application de l’equation (4.2) n’est lui pas un epace

prehilbertien. On pourra cependant generaliser la quasi-totalite des resultats grace auxpropositions suivantes.

Proposition 4.23 (Regularisee d’une fonction continue par morceaux). Soit f ∈C0,mT (R,K). Il existe une unique fonction f ∈ C0,m

T (R,K) qui soit egale a f en tout

point ou f est continue. On dira que f est la regularisee de f .

Demonstration. La fonction f est necessairement definie par

f(x) =

{f(x) si f est continue en x,

1

2(f(x+) + f(x−)) si f n’est pas continue en x.

(4.32)

La fonction ainsi definie est bien dans C0,mT (R,K).



Proposition 4.24 (Coefficients de Fourier d’une regularisee). Soit f ∈ C0,mT (R,K).

Soit f ∈ C0,mT (R,K) sa regularisee definie a la proposition 4.23. f et f ont les memes

coefficients de Fourier.

Demonstration. Soit a1, . . . , aN−1 les points de discontinuite de f sur [0, T ]. On pose a0 =0, aN = T . Pour tout i = 1, . . . , N , f et f sont egales sur ]ai−1, ai[, donc leur prolongementspar continuite sont egaux sur [ai−1, ai], et par suite pour tout n ∈ Z :

cn(f) =1

T

∫ T

0f(t)einωtdt =

N∑

i=1

∫ ai

ai−1

f(t)einωtdt

=

N∑

i=1

∫ ai

ai−1

f(t)einωtdt = cn

(f). (4.33)

Proposition 4.25 (Norme d’une regularisee). Soit f ∈ C0,mT (R,K). Soit f ∈ C0,m

T (R,K)sa regularisee definie a la proposition 4.23. On a

‖f‖2 =∥∥∥f∥∥∥2. (4.34)

Demonstration. Exercice.

4.3 Inegalite de Bessel et comportement des coefficients de

Fourier

On rappelle que d’apres la proposition 4.5 l’espace(C0,mT (R,K), 〈·, ·〉

)est un espace

prehilbertien.

Proposition 4.26. Soit f ∈ C0,mT (R,K). La somme de Fourier d’ordre N de f SN (f)

est la projection orthogonale de f sur PN , sous-espace des polynomes trigonometriquesde degre inferieur ou egal a N .

Demonstration. PN = Vect (e−N , . . . , eN ) est un sous-espace vectoriel de dimension finie

(2N+1) de l’espace prehilbertien(C0,mT (R,K), 〈·, ·〉

), donc par le theoreme 3.10 de projec-

tion orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, f admet un projete orthogonal surPN , note ici pN (f). Par ailleurs, d’apres la proposition 4.9, (e−N , . . . , eN ) est une familleorthonormale de PN , donc c’est une base orthonormale de PN , et toujours par le theoreme3.10, pN (f) est defini par :

pN (f) =N∑

n=−N

〈en, f〉en = SN (f), (4.35)

d’apres la definition 4.15.

Proposition 4.27 (Inegalite de Bessel). Pour toute fonction f ∈ C0,mT (R,K),

∀N ∈ N,

N∑

n=−N

|cn(f)|2 ≤ ‖f‖22 =1

T

∫ T

0|f(t)|2dt. (4.36)


4.4. CONVERGENCE PONCTUELLE ET UNIFORME DES SERIES DE FOURIER51

Demonstration. Si f ∈ C0,mT (R,K), alors il s’agit simplement de l’inegalite de Bessel

enoncee au theoreme 3.17. Sinon, soit f ∈ C0,mT (R,K) la regularisee de f . On ecrit alors

l’inegalite de Bessel pour f et on conclut avec les propositions 4.24 et 4.25.

Corollaire 4.28. Si f ∈ C0,mT (R,K), alors

limn→+∞

cn(f) = limn→−∞

cn(f) = 0, (4.37)

etlim

n→+∞an(f) = lim

n→+∞bn(f) = 0. (4.38)

Demonstration. Il suffit d’ecrire (exercice) que

|a0(f)|24

+1

2

N∑

n=1

(|an(f)|2 + |bn(f)|2

)=

N∑

n=−N

|cn(f)|2 . (4.39)

Des lors, si l’une des limites de l’enonce etait non nulle, alors la serie numerique de termegeneral positif |cn(f)|2 serait grossierement divergente, en contradiction avec la proposition4.27. Cette derniere affirmation est une reformulation du corollaire 3.18.

Corollaire 4.29. Si f ∈ Ck,mT (R,K) et si f est de classe Ck−1, alors

limn→+∞

|nkcn(f)| = 0 et∑

n∈Z

|nkcn(f)|2 < +∞. (4.40)

Demonstration. D’apres le corollaire 4.22 et l’inegalite de Bessel 4.27 appliquee a f (k)

ωk∑

n∈Z

∣∣∣nkcn(f)∣∣∣2=∑

n∈Z

∣∣∣cn(f (k))∣∣∣2≤∥∥∥f (k)

∥∥∥2

2< +∞. (4.41)

Corollaire 4.30. Si f ∈ C∞T (R,K), alors ∀k ∈ N, cn(f) = o

(1

nk

). On dit alors que les

cn(f) sont a decroissance rapide.

Demonstration. Reformulation immediate du corollaire precedent.

4.4 Convergence ponctuelle et uniforme des series de Fou-

rier

4.4.1 Convergence ponctuelle des series de Fourier

Dans cette section on s’interesse a la convergence ponctuelle de la serie de Fourierd’une fonction f ∈ C0,m

T (R,K), i.e. a la convergence ponctuelle de la suite des sommesde Fourier de f . Autrement dit, on calcule pour tout t ∈ R la limite lim

N→+∞SN (f)(t). Le

resultat fondamental est le theoreme de Dirichlet et ses corollaires. Pour le demontrer,nous introduisons la notion de noyau de Dirichlet.



-5

0

5

10

15

20

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

D5, T=1D9, T=1

Figure 4.1 – Exemples des noyaux de Dirichlet D5 et D9 pour T = 1, i.e. ω = 2π.

Cette section est integralement au programme du cours d’Outils Mathematiques 4.

Definition 4.31 (Noyau de Dirichlet). On appelle noyau de Dirichlet de degre N le

polynome trigonometrique DN =

N∑

n=−N

en.

Deux exemples de noyaux de Dirichlet sont traces a la figure 4.1.

Proposition 4.32 (Proprietes du noyau de Dirichlet). Soit N ∈ N.

(a) DN est une fonction a valeurs reelles, paire, T -periodique, de classe C∞.

(b) ∀t ∈ R \ TZ,DN (t) =sin((N + 1

2

)ωt)

sin(ωt2

) .

(c) ∀t ∈ TZ,DN (t) = 2N + 1.

(d)1

T

∫ T

0DN (t) dt = 1.

(e) Si f ∈ C0,mT (R,K), alors ∀t ∈ R, SN (f)(t) =

1

T

∫ T

0f(t− u)DN (u) du.

Demonstration. (a) On remarque que

DN (t) =N∑

n=−N

einωt = 1 +N∑

n=1

(einωt + e−inωt

)= 1 + 2

N∑

n=1

cos (nωt) , (4.42)

ce qui entraıne les proprietes enoncees.

(b) Soit t ∈ R \ TZ. Par sommation des termes d’une suite geometrique et utilisation des



formules d’Euler,

DN (t) =N∑

n=−N

einωt =N∑

n=−N

(eiωt)n

= e−iNωt2N∑

n=0

(eiωt)n

= e−iNωt 1− ei(2N+1)ωt

1− eiωt=

sin((N + 1

2

)ωt)

sin(ωt2

) (4.43)

(c) Immediat, puisque dans ce cas einωt = 1.

(d) Il vient par linearite de l’integrale :

1

T

∫ T

0DN (t) dt =

N∑

n=−N

1

T

∫ T

0en(t) dt =

1

T

∫ T

01 dt+

N∑

n=−Nn 6=0

∫ T

0einωt dt = 1. (4.44)

(e) En utilisant successivement la definition de SN (f), la linearite de l’integrale, le chan-gement de variable u = t− x et la T -periodicite de f et DN , il vient :

SN (f)(t) =N∑

n=−N

cn(f)en(t) =N∑

n=−N

(1

T

∫ T

0f(x)e−inωx dx

)einωt

=1

T

∫ T

0f(x)

N∑

n=−N

einω(t−x) dx =1

T

∫ T

0f(x)DN (t− x) dx

=1

T

∫ t

t−T

f(t− u)DN (u) du =1

T

∫ T

0f(t− u)DN (u) du. (4.45)

Nous sommes maintenant en mesure d’enoncer le resultat central de cette section, quiest aussi notre premier resultat de convergence d’une serie de Fourier.

Theoreme 4.33 (Dirichlet, convergence simple). Soit f ∈ C0,mT (R,K). Soit t0 ∈ R. On

posef(t0+) = lim

t→t0t>t0

f(t) et f(t0−) = limt→t0t<t0

f(t). (4.46)

Si les quantites

f ′(t0+) = limt→t0t>t0

f(t)− f(t0+)

t− t0et f ′(t0−) = lim

t→t0t<t0

f(t)− f(t0−)

t− t0(4.47)

existent (sont finies), alors la suite (SN (f)(t0))N∈N =

(N∑

i=−N

cn(f)eint0

)

N∈N

converge

vers1

2(f(t0−) + f(t0+)), ce que l’on peut ecrire :

limN→+∞

SN (f)(t0) = S(f)(t0) =∑

i∈Z

cn(f)eint0 =

f(t0−) + f(t0+)

2(4.48)



Demonstration. D’apres la proposition 4.32, la fonction paire DN verifie :

1

T

∫ 0

−T

2

DN (u) du =1

T

∫ T

2

0DN (u) du =

1

2

(1

T

∫ T

0DN (u) du

)=

1

2, (4.49)

ce qui nous permet d’ecrire que :

SN (f)(t0)−1

2(f(t0− + f(t0+) =

1

T

∫ T

0f(t0 − u)DN (u) du− 1

2(f(t0− + f(t0+)

=1

T

∫ T

2

0(f(t0 − u)− f(t0−)DN (u) du +

1

T

∫ 0

−T

2

(f(t0 − u)− f(t0+)DN (u) du. (4.50)

Posons g : R → K la fonction T -periodique definie par :

g(u) =

f(t0 − u)− f(t0+)

sin(ωu2

) si u ∈]−T

2, 0

[,

f(t0 − u)− f(t0−)

sin(ωu2

) si u ∈]0,T

2

],

0 si u = 0.

(4.51)

On verifie alors que la fonction g ainsi definie est T -periodique et continue par morceaux.En effet,

limu→0u>0

g(u) = limu→0u>0

f(t0 − u)− f(t0−)

u

u

sin(ωu2

) = − 2

ωf ′(t0−), (4.52)

limu→0u<0

g(u) = limu→0u<0

f(t0 − u)− f(t0+)

u

u

sin(ωu2

) = − 2

ωf ′(t0+). (4.53)

Toujours grace aux proprietes de la proposition 4.32, il vient alors

SN (f)(t0)−1

2(f(t0− + f(t0+) (4.54)

=1

T

∫ T

0g(u) sin

((N +

1

2)ωu

)du (4.55)

=1

T

∫ T

0

1

2ig(u)e

1

2ωu

︸︷︷︸g1(u)

eNωu du− 1

T

∫ T

0

1

2ig(u)e−

1

2ωu

︸︷︷︸g2(u)

e−Nωu du (4.56)

= c−N (g1)− cN (g2), (4.57)

ce qui tend vers 0 lorsque N croıt, selon le corollaire 4.28 applique aux fonctions continuespar morceaux g1 et g2. D’ou le resultat.

Corollaire 4.34. Si f ∈ C1,mT (R,K), alors :

∀t ∈ R, S(f)(t) =∑

i∈Z

cn(f)eint =

1

2(f(t−) + f(t+)) . (4.58)

Demonstration. Si f est de classe C1 par morceaux, alors elle est derivable a droite et agauche en tout point, et les quantites definies a l’equation (4.47) sont finies.



Corollaire 4.35. Si f ∈ C1,mT (R,K) et est continue, alors :

∀t ∈ R, S(f)(t) =∑

i∈Z

cn(f)eint = f(t). (4.59)

Demonstration. On part du corollaire precedent 4.34, et la continuite de f permet ici

d’ajouter que ∀t ∈ R,1

2(f(t−) + f(t+)) = f(t).

Remarque 4.36. Les ”conditions de Dirichlet” du theoreme 4.33 sont cruciales. On peutconstruire des fonctions continues dont la serie de Fourier ne converge pas.

4.4.2 Convergence uniforme des series de Fourier

Theoreme 4.37 (Dirichlet, convergence uniforme). Soit f ∈ C1,mT (R,K). Si f est de

plus continue, alors la suite (SN (f))N∈N =

(N∑

i=−N

cn(f)en

)

N∈N

converge uniformement

vers f , i.e. limN→+∞

‖SN (f)f‖∞ = limN→+∞

supt∈R

|SN (f)(t)− f(t)| = 0.

Lemme 4.38. Si f ∈ C0,mT (R,K), alors pour tout n ∈ N :

‖cn(f)einωt + c−n(f)e−inωt‖∞ = |cn(f)|+ |c−n(f)|. (4.60)

Demonstration. Soit n ∈ N. Par simple inegalite triangulaire, il vient

∀t ∈ R, |cn(f)einωt + c−n(f)e−inωt| ≤ |cn(f)|+ |c−n(f)|. (4.61)

Ecrivons alors les coefficients de Fourier sous forme polaire cn(f) = ρneiθn , et posons

t0 =1

2ωn(θ−n−θn). Par calcul direct, il vient en remarquant que θ−n−nωt0 = θn+nωt0 :

|cn(f)einωt0 + c−n(f)e−inωt0 | = |ρneiθneinωt0 + ρ−ne

iθ−ne−inωt0 |= |(ρn + ρ−n)e

i(θn+nt0 |= |cn(f)|+ |c−n(f)|. (4.62)

d’ou le resultat.

Demonstration du theoreme 4.37. On sait grace au corollaire 4.22 que

∀n ∈ Z, cn(f′) = inωcn(f). (4.63)

Par consequent, par une inegalite classique (∀(a, b) ∈ R2, 2ab ≤ a2 + b2) :

∀n ∈ Z∗, |cn(f)| =

∣∣∣∣1

nωcn(f

′)

∣∣∣∣ ≤1

2

(1

n2ω2+ |cn(f ′)|2

). (4.64)

Or, les series∑

n∈Z

1

n2et∑

n∈Z

|cn(f ′)|2 sont absolument convergentes, de facon classique pour

la premiere, et grace a l’inegalite de Bessel 4.27 appliquee a f ′ continue par morceaux



pour la seconde, donc on en deduit que∑

n∈Z

cn(f) est une serie absolument convergente.

Le lemme 4.38 entraıne alors que la serie∑

n∈Z

cn(f)einωt converge normalement sur R, et a

fortiori uniformement sur R. Or, f etant continue et de classe C1 par morceaux, le corollaire

4.35 montre que SN (f) =N∑

n=−N

cn(f)en converge simplement vers f , donc SN (f) converge

uniformement vers f sur R.

4.5 Convergence en moyenne quadratique

4.5.1 Approximation uniforme de fonctions periodiques

Theoreme 4.39 (Theoreme de Weierstrass trigonometrique). L’espace P de tous lespolynomes trigonometriques est dense, au sens de la norme ‖·‖∞, dans l’espace des fonc-tions periodiques continues C0

T (R,K). Autrement dit, pour toute fonction f ∈ C0T (R,K),

pour tout ǫ > 0, il existe un polynome trigonometrique P verifiant ‖P − f‖∞ < ǫ.(De facon equivalente, il existe une suite de polynomes trigonometriques convergeantuniformement vers f).

Demonstration. On peut demontrer ce theoreme en le deduisant du theoreme d’approxi-mation de Weierstrass classique. On propose ici une demonstration utilisant le theoremede convergence uniforme de Dirichlet 4.37.

Soit une fonction f ∈ C0T (R,K). Soit ǫ > 0. On sait qu’une fonction continue sur un

segment est limite uniforme d’une suite de fonctions affines par morceaux, continues surce segment, et egales a f aux bords (voir le cours d’Analyse 3). Il existe donc une fonction

g : [0, T ] → K affine par morceaux, continue sur [0, T ], telle que supt∈[0,T ]

|f(t)− g(t)| < ǫ

2et

verifiant g(0) = f(0) = f(T ) = g(T ) (puisque f est periodique et continue).

Soit h : R → K la fonction T -periodique egale a g sur [0, T ]. h est une fonction affinepar morceaux, continue sur R, et par periodicite,

‖f − h‖∞ = supt∈R

|f(t)− h(t)| = supt∈[0,T ]

|f(t)− h(t)| = supt∈[0,T ]

|f(t)− g(t)| < ǫ

2. (4.65)

Par ailleurs, h est continue et de classe C1 par morceaux, donc par le theoreme de conver-

gence uniforme de Dirichlet 4.37, il existe N ∈ N tel que ‖h− SN (h)‖∞ <ǫ

2.

Finalement,

‖f − SN (h)‖∞ ≤ ‖f − h‖∞ + ‖h− SN (h)‖∞ < ǫ, (4.66)

et le polynome trigonometrique SN (h) repond a la question.

Remarque 4.40. Attention, SN (h) pas SN (f). . .

Corollaire 4.41. La famille (einωt)n∈Z est une famille orthonormale totale de l’espaceprehilbertien C0

T (R,K).


4.5. CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE 57

Demonstration. On sait que la famille est orthonormale. On remarque egalement que pourtoute fonction f ∈ C0

T (R,K) :

‖f‖2 =(1

T

∫ T

0|f(t)|2

) 1

2

≤(1

TT‖f(t)‖2∞

) 1

2

= ‖f(t)‖∞. (4.67)

Par consequent, d’apres le theoreme precedent 4.39, pour toute fonction f ∈ C0T (R,K),

pour tout ǫ > 0, il existe un polynome trigonometrique P tel que ‖P − f‖2 < ǫ. L’espacevectoriel engendre par la famille (einωt)n∈Z est donc dense dans C0

T (R,K) au sens de lanorme ‖ · ‖2.

Theoreme 4.42 (Approximation d’une fonction de C0,mT (R,K)). L’espace P de tous

les polynomes trigonometriques est dense dans C0,mT (R,K) au sens de la norme ‖ · ‖∞.

Autrement dit, pour toute fonction f ∈ C0T (R,K), pour tout ǫ > 0, il existe un polynome

trigonometrique P verifiant ‖P − f‖∞ < ǫ.

Demonstration. Admis par simplicite, bien que le resultat ne soit pas difficile. On montreque la fonction f ∈ C0,m

T (R,K) peut etre approchee en norme ‖.‖2 par une fonction continueT -periodique, laquelle est approchee par un polynome trigonometrique en norme ‖ · ‖∞grace au theoreme 4.39, donc en norme ‖ · ‖2 avec l’equation (4.67).

Corollaire 4.43. La famille (einωt)n∈Z est une famille orthonormale totale de l’espaceprehilbertien C0,m

T (R,K).

Demonstration. Comme au corollaire 4.41, en utilisant cette fois-ci le theoreme precedent4.42 au lieu du theoreme de Weierstrass trigonometrique 4.39.

4.5.2 Convergence quadratique et egalite de Parseval-Bessel

Theoreme 4.44. Pour toute fonction f ∈ C0,mT (R,K), la suite (SN (f))N∈N des sommes

de Fourier de f converge en moyenne quadratique vers f , i.e.

limN→∞

‖SN (f)− f‖2 = 0. (4.68)

Demonstration. Si f ∈ C0,mT (R,K), alors ce theoreme est une application directe du

theoreme 3.21 (iv) pour la famille totale (en)n∈Z. Sinon, soit f la regularisee de f . Ona :

‖SN (f)− f‖2 ≤∥∥∥SN (f)− SN (f)

∥∥∥2+∥∥∥SN (f)− f

∥∥∥2

2+ ‖f − f‖2, (4.69)

avec

– limN→∞

∥∥∥SN (f)− f∥∥∥2

2= 0 car f ∈ C0,m

T (R,K) ;

– ‖f − f‖2 = 0 (exercice) ;

–∥∥∥SN (f)− SN (f)

∥∥∥2= 0 (exercice).

D’ou le resultat.



Theoreme 4.45 (Egalite de Parseval). Si f ∈ C0,mT (R,K), alors

∑

n∈Z

|cn(f)|2 = ‖f‖22 =1

T

∫ T

0|f(t)|2dt. (4.70)

ou encore

|a0(f)|24

+1

2

∑

n∈N∗

(|an(f)|2 + |bn(f)|2

)= ‖f‖22 =

1

T

∫ T

0|f(t)|2dt. (4.71)

Demonstration. La encore, si f ∈ C0,mT (R,K), alors ce theoreme est une application di-

recte du theoreme 3.21 (ii). Si f ∈ C0,mT (R,K), le resultat reste le meme puisque f et

sa regularisee ont memes coefficients de Fourier et meme norme (propositions 4.24 et4.25).

Theoreme 4.46 (Unicite des coefficients de Fourier dans C0,mT (R,K)). Deux fonctions

de C0,mT (R,K) sont egales si et seulement si elles ont les memes coefficients de Fourier.

Demonstration. Il est clair que deux fonctions egales partout ont meme coefficients deFourier. Reciproquement, si f et g deux fonctions de C0,m

T (R,K) ont memes coefficients deFourier, alors

‖f − g‖22 =∑

n∈Z

|cn(f − g)|2 =∑

n∈Z

|cn(f)− cn(g)|2 = 0, (4.72)

ou l’on a utilise l’egalite de Parseval et la linearite des coefficients de Fourier. Par consequent,f = g puisque ‖ · ‖2 est une norme sur C0,m

T (R,K).

Theoreme 4.47 (Unicite des coefficients de Fourier dans C0,mT (R,K)). Deux fonctions

de C0,mT (R,K) sont egales sauf en un nombre fini de points sur tout segment si et seule-

ment si elles ont les memes coefficients de Fourier.

Demonstration. On obtient comme dans la demonstration precedente ‖f − g‖2 = 0, et onconclut avec la proposition 4.2.

4.6 Exercices

Voir TD.


Bibliographie

Claude Deschamps and Andre Warusfel, editors. Mathematiques 2eme annee, MP PCPSI. Dunod, Paris, 2001.

Dariush Ghorbanzadeh, Pierre Marry, Nelly Point, and Denise Vial. Mathematiques dusignal. Sciences Sup. Dunod, 3eme edition, 2008.

Jean-Pierre Ramis and Andre Warusfel, editors. Tout-en-un pour la licence niveau L1.Dunod, Paris, 2006.

Jean-Pierre Ramis and Andre Warusfel, editors. Tout-en-un pour la licence niveau L2.Dunod, Paris, 2007.

Herve Reinhard. Elements de mathematiques du signal, volume Tome 1 - Signauxdeterministes. Dunod, 1995.

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espaces pr´ehilbertiens -...

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