espace et géométrie cycle 2 et cycle 3
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Espaceetgéométriecycle2etcycle3
BernadetteNGONOMaîtredeconférencesendidactiquedesmaths
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EquipeOpérationMathsanciennementEuroMaths
• Marie-LisePeltier,LaboratoireA.RevuzUniversitéParis7;
• JoëlBriand,DAESTUniversitéBordeaux2;• BernadetteNgono,LaboratoireCIRNEF,UniversitédeRouen;
• DanielleVergnes,LaboratoireA.RevuzUniversitéParis;
• MarcSampo,Professeurdesécoles.
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Cadrethéoriquedel’intervention
• Approchesocio-constructivistedel’apprentissage(Piaget,Vygotsky,Bruner…)
• Approchedidactiqueentreenseignementetapprentissage(Brousseau,Chevallard,Vergnaud,…)
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Obstacleseterreursdesélèvesengéométrie
Quelquesexemples
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Obstacles-difficultés
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Mafalda–Quino)
Lescompétencesspatio-géométriquesàtraverslesévaluationsnationales
exempleàl’entréeduCE2
• Ellespermettentd’illustrerdeslieuxdecertainesdifficultéspourlesélèves
• Etd’envisagerdesactivitésspécifiquesdèslecycle2
• Enliaisonaveclesprogrammesetlesoclecommundesconnaissances.
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Théopartdel’écoleetprendlaruedesPeupliers.Iltourneàdroiteetpassedevantlaposte.Iltourneàgauche.IlprendlaruedesSapinsetpasseàdroitedelafontaine.Ensuite,ilpassedevantlamairie.Puis,iltourneàdroitedanslaruedesSaules.Ilentredanslebâtimentsituésursagauche.Ilestarrivé.TracelecheminprisparThéo.
EvaluationsnationalesCE2
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Desdifficultés
• Résultats51,3%-Traiterlesinformationspourtracerletrajet.-Interventiond’expressionsdécrivantdesrelationsspatiales
(Tourneràdroite,àgauche,«àdroitedelafontaine»,«sursagauche»…)-L’élèvedoitsedécentrer,s’imaginerentraindecirculerdansunespaceinconnu,imaginersaproprerotation,ensemettantàlaplacedecelledeThéo.
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Exemple2.CE2–2005a.89,81%b.49,18%
Tâcheexigeantecarsollicitantlesélèvesdefaçoninhabituelle.Difficultés:- avoirunereprésentationdecequ’estunrectangle,et le« voir » globalement parsessommetsdanslespointscandidats.- le rectangle est penché,position inhabituelle quioblige à effectuer unerotation mentale, enangle droit (dont il fautaussi avoir une bonnereprésentation.)
• a.Relieenrougetroispointsalignés.
• b.Quatrepointspermettentdetracerunrectangle.Tracelerectangleenvert.
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Exemple3
Leserreursrepérées:- Erreur de dénombrement decarreaux pour construire le carrémais respect de la contrainte « àl’intérieurde»
- Non prise en compte de lacontrainte« lestroisdoiventêtreàl’intérieur d’un seul carré » etconstruction de 3 carrés ou autrespolygonesrenfermantcesfigures,- Non prise en compte des nœudsduquadrillage,etc.
Surcequadrillage,onafaittroisdessins.Traceuncarréent’aidantduquadrillage.Lestroisdessinsdoiventsetrouveràl’intérieurdececarré.
Réussite:26,4%
CE2
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Lequadrillage
• Un autre obstacle est celui de la compréhension del’expression « sur ce quadrillage ». Selon les cas, àl’école, dessiner sur quadrillage peut signifierdifférenteschoses:
-tracerdesfiguresenn’utilisantqueleslignesduquadrillage;
-tracerdesfiguresenjoignantdesnœudsduquadrillage,toutens’autorisantàdessinerendehorsdeslignes;
-tracersurlesupportquadrilléennetenantpascompteduquadrillage.
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Exemple4-Aucycle3etaucollège
Danslafigure,ABCestuntrianglerectangleavecBC=10cm,AB=8cm.ACDEestuncarréavecCD=6cm.Quelleestlelongueurdusegment[AC]?
réponses 10ans 12ans 14ans
Correcte-utilisationdepropriétés
36,4% 71,8% 66,9%
Correcte-utilisationd’unthéorème
---------- ------- 18,5%
Fausse–mesureàlarègle
8,4% 2,1% -------
Fausse–opérationsarithmétiques
6% 4,8% 2,4%
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Analyse
• Pourréussir,lesélèvesdoivent:- (a)identifier,danslafigureprésentée,lessous-figuresducarréetdutrianglerectangle,
- (b)«voir»quelesegmentinconnu[AC]estl'undescôtésducarréet
- (c)serappeleretappliquerlapropriétédescôtéségauxdansuncarré. (Gagatsis,INRP,2010)
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Problème2
Surcedessinàmainlevée,onareprésentéunrectangleABCDetuncercledecentreAquipasseparD.Lesmesuresréellessontencentimètres.Cecerclecoupelesegment[AB]aupointE.Trouvelalongueurdusegment[EB.]Expliquetaréponse
réponses 10ans 12ans 14ans
Correcte-utilisationdepropriétés
15,1% 33,3% 51,9%
Fausse-perceptionvisuelle(1)
6,6% 16,5% 9,3%
Fausse–perceptionvisuelle(2)
8,7% 11,1% 9%
Fausse–algorithmes 10,2% 5,4% 0,9%
(Gagatsis,INRP,2010)14
Ex5-LessituationsdecommunicationCM1
FigureA FigureB
LesélèvessontpargroupesdedeuxAetBéloignés.Chaqueélèved’ungroupereçoitlamêmefigure(AouB).Illadécritpourquesonpartenairedel’autregroupepuisselaconstruiresansl’avoirvue.
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Desquestionsd’élèves
• «Commentfairepourdireà«L»quelecarrén’estpasdroit?»
• «Commentças’appelleça(enpointantlediamètre)?Jenem’enrappelleplus».
• «Jen’arrivepasàdécrirecetteéquerre»
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(Extraitsdetravauxd’unestagiaireM2)
L’élèveJdécrit,Lconstruit
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CdécritetFconstruit
18
PdécritetMconstruit
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Conclusionprovisoire• Les connaissances que doivent mobiliser les élèves
s’effectuentdansl’espacedelafeuilledepapier.• Or,ellessupposentdescompétencesspatialesnonprises
encompteparlesprogrammesavant2002.• Depuis les programmes 2002, l’accent est mis sur la
nécessité de travailler les concepts spatiaux etgéométriques en prenant en compte les résultats de larecherche.
• Par ailleurs des élèves à la fin de l’école primairecontinuentàconcevoir lagéométriecommeportantsurdes objets matériels ou de simples dessins plutôt quecomme sur des objets théoriques avec des propriétésspécifiques.(M.-H.Salin)
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Unpointd’ancrage:lesprogrammesetquelquesrésultatsissusdela
recherche
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ExtraitsdesprogrammesCycle2 Cycle3
«lesélèvesacquièrentàlafoisdesconnaissancesspatialescommel’orientationetlerepéragedansl’espaceetdesconnaissancesgéométriquessurlessolidesetsurlesfiguresplanes.»«Lescompétencesetconnaissancesattenduesenfindecycleseconstruisentàpartirdemanipulationsetdeproblèmesconcrets…»
lesactivitéspermettentauxélèvesdepasserprogressivementd'unegéométrieoùlesobjets(lecarré,ladroite,lecube,etc.)etleurspropriétéssontessentiellementcontrôlésparlaperceptionàunegéométrieoùlerecoursàdesinstrumentsdevientdéterminant,pourallerensuiteversunegéométriedontlavalidations’appuiesurleraisonnementetl’argumentation.
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Lesdifférentstypesd’espace(Galvez,Brousseau,1983)
• Lemicro-espaceou«espacedesinteractionsliéesàlamanipulationdespetitsobjets»
• Leméso-espaceou«espacedesdéplacementsdusujetdansledomainecontrôléparlavue»,
• Lemacro-espaceou«espaceaccessibleuniquementàdesvisionspartielles»(n’intervientguèreàl’école)
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Lesrapportsentreconnaissancesspatialesetconnaissancesgéométriques
(M.-H.Salin)
• leurgenèses’effectuedifféremment.• cesontlesproblèmesspatiauxquiontdonnénaissanceàlagéométrie.
• Les connaissances géométriques sont desoutils pour la résolution des problèmesspatiaux.
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Géométriesnonaxiomatiques
Typedegéométrie
GéométrieconcrèteG0
Géométriespatio-graphiqueG1
Objets physiques Physiquesetgraphiques(dessins)
Validation Perceptionglobale Perceptioninstrumentée
Cycle Cycle1 Cycle2,cycle3
Plusieursniveaux,plusieursgéométries- Selonlanaturedesobjets:objetsphysiques,dessins,figures- Selonlesmodesdevalidation:perceptionglobale,instrumentée,ouraisonnement- Selonlelangageutilisé
(Houdement,Kuzniak1999)
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Géométriesaxiomatiques
Typedegéométrie
Géométrieproto-axiomatiqueG1
GéométrieaxiomatiqueG2
Objets Théoriques(figures) théoriques
Validation Raisonnementdéductif Perceptioninstrumentée
Cycle (Cycle3),collège Collège,lycée,université
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Deuxaspectsàprendreencompte
• Deuxaspectsdoiventêtretravaillésprogressivement.
-Unegéométriepragmatiquedufaire,del’actionoùlaprécisiondestracésestimportantecarlavalidationsefaitaveclesinstruments.
-Unegéométrieausensmathématiquequiconsisteàréfléchirsurlespropriétésdesobjets,àmettreenœuvreleraisonnementdéductif.
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Dumésoespaceaumicro-espaceExemplesdesituations
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- Lerepéragedansl’espace- Lesrelationsgéométriques
Lerepéragedansl’espace
Avantdetravaillersurunefeuilledepapier,ilestimportantdetravaillerdansleméso-espace,cequipermetaussidemettreenplacelelangagespatial.Communiqueraveclesautresengendrel’utilisationd’unvocabulairespécifique.Àlafind’uneactivité,leprofesseurfaitdécrireparlesélèveslasituationvécue.Progressivement,lesélèvesdevrontanticiperleursactionsavantdeleseffectuerpourvaliderleursprévisions.Cesactivitéscontribuentàlastructurationdel’espacequifaitégalementl’objetd’untravaildansd’autresdisciplines.
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DèsleCP
• Aiderlesélèvesàlamaitrisedel’espaceàl’aidedejeux(«Jacquesadit»,«oùestmaplace?»...)
• Passerdel’espacevécuàl’espacereprésenté
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Phase1-Revoirsadroiteetsagauche-Jeude“Jacquesadit”
(OpérationMaths,Hatier2019)
Phase2:jeu«oùestmaplace?»-Passerdurepérageparrapportàsoiaurepérageparrapportàquelqu’und’autre:Etape1-Unoudeuxélèvesdécriventlapositiondeleurplacedanslaclasseenfonctiondeleursvoisins.Exemple:«ÀmadroitesetrouveX,àmagaucheY,jesuisentreXetY;devantmoisetrouveZ,derrièremoisetrouveT».Etape2:Décrirelapositiond’unélèvesansdirelequel.Lesélèvesdoiventdevinerl’élèvedontils’agit.
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Phase3-Passerdel’espaceauplan
Passerdurepérageparrapportàsoi,aurepérageparrapportàquelqu’und’autre(duméso-espaceaumicro-espace)
Projeterl’illustrationdel’étapeLesélèvesdoiventrepérer,surl’image,ladroiteetlagauchedepersonnagesdessinéssoitdedos(ilestalorsencorepossibledes’identifierfacilementaupersonnage),soitdeface,cequidemandeunecertainedécentration.
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Autressituations
• Positionsrelatives(devant,derrière,àsadroite,àsagauche,sur,sous,entre…)
• quadrillages:coderdesdéplacements(jeudesobjetscachés)
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Etape1-Jeudutrésor:fairetrouverunobjetdelaclasseendécrivantsapositionparrapportàd’autresobjetsoupersonnes.
Etape2–fichierEncoreprésentenCE1
(OpérationMathsCPHatier2019)
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JeudesobjetscachésdansunquadrillagePhase1-Surlesol,unquadrillage4x4(auminimum).8potsdeyaourtretournés,4jetonsàplacersous4pots.Ungroupeémetteurrédigeunmessagepourungrouperécepteurquidoitdécoderlemessageetretrouverlesjetons.-Miseenplacedelanécessitéderepèresetd’uncodededéplacement→→↑↓etdestermesassociés.
Phase2
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Lesactivitésdansleméso-espace:-Utilespourserepérerdansunquadrillage-Reproduireenrepérantlescasesd’unquadrillage
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Pourdécriredespointsdevue
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Reproduireenrepérantlesnoeuds
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Importancedulangage
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Lecodagecartésien:repéragedescase(CE1)–Lejeudutouchécoulé
Etape1-JeuréelEtape2:transfertdanslefichieretentrainement
(OpérationMathsCE1–Hatier2017) 41
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Encoreimportantaucycle3
Gestiondedonnées Proportionnalité
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Lesrelationsgéométriques
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Lesrelationsetpropriétésspatio-géométriques
• Alignementdepoints• Angledroit,perpendicularité• Egalitédelongueurs• Milieu• Parallélisme• Axedesymétried’unefigure
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Entrainerlesélèvesautracéàmainlevée(dèsleCP)
Traceràmainlevéedestraitslesplusdroitspossibles
«Continuelestracésàmainlevée»
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Intérêtsdutracéàmainlevée
• Les tracés à main levée participent à laconstruction d’images mentales nécessairespour pouvoir reconnaître et identifierdiverses propriétés (alignements, anglesdroits,égalitésdelongueurs,etc.).
• Ilsconstituentsouventunepremièreétapeavantlestracésàl’aidederègles.
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Apprendreàutiliserlarègle
«Relielespointsdelamêmecouleur»(CP)
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Utiliserlarèglepourtracerdestraits(CP)
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Uneprogression• Cesrelationsgéométriquesetlesconceptsfondamentaux
sontétudiés:-D’aborddansl’espaceenvironnant(méso-espace)àpartirdelaperception,aucoursdejeux.- Puisdansl’espaceplandelafeuilledepapier(micro-espace)
pourquelesélèvesaffinentlesimagesmentalesquileursontassociéesetlesrendentfonctionnelles.
- Enfin,ilssontutilisésdansl’analyse,lareproductionoulaconstructiondefiguresplanesoudereprésentationsplanesdesolides,
cequicontribueàengagerlesélèvesdansunchangementdepointdevuesurcesobjets.
Nepasoublierlesaspectslangagiersensituation
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DèsleCE1
• L’alignementdepointsestunepropriétégéométriquefondamentale,dontlamaîtriseconditionnelacompréhensiondesconceptsdedroite,desegment,demilieuetcontribueàl’analysepertinentedesfiguresgéométriques
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Lejeude«puissance4»
Remarque:fairevérifierl’alignementàlarègle.Conclure:Onditquelesjetonssont«alignés»quandilssonttouscontreleborddelarègle.
(OpérationMathsCE1-Hatier2017)
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Remplacerprogressivementlesjetonspardespoints,institutionnaliserlelienentrepointsalignésetpointspouvantêtrereliésàlarègleparuntraitdroit.
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Notiondedistance-CE2premièreapproche
Lanotiondedistanceestconstitutivedecelledemilieu,c’estunenotionfondamentalequinécessitedeconcevoirlalignedroitecommepluscourtcheminentrecesdeuxpoints.Lemilieud’unsegmentapparaîtainsicommelasolutiongéométriqued’unproblèmeposédansunesituationdejeudansleméso-espace.
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Lecompaspermetdecomparerdesdistancesentredespointssansavoiràtracerlesegmentcorrespondant.
Quandlesréponses«àvued’oeil»nesuffisentpas,onpeututiliserunebandedepapierouuncompas.
Comparerdesdistances
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Milieud’unsegment(CE2)
ProblèmeOùplacerlebéretentrelesdeuxéquipespourquelejeusoittoutàfaitéquitable?
• Etape1:jeudubéretdanslacour.
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Stratégiespossibles• 1.Pourtracerlesegment:–miseboutàboutdeplusieursrègles,cequinécessitedevérifier
leuralignement;–utilisationd’uneficelletendueetglissementdelarèglesursa
trace;–etc.• 2.Pourrechercherlemilieu:–mesurage;–pliageendeuxdelaficelle;–utilisationdespiedsmisboutàbout;–recherchevisuelleàl’oeil,puisapproximationssuccessives;–etc.
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Micro-espace:lemilieuenCE2(Aprèslejeudubéret–delacourderécréationàlafeuille)PlacelepointMsurlesegment[AB]àl’endroitoùilfautposerlebéretpourquelejeusoitéquitable.
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Laprocéduredepliageestàlafoispluspréciseetplusfacileàutiliserpuisqu’ellenedépendnidelamaîtrisedel’instrumentnidelacapacitéàdiviserpardeuxunemesuredelongueurquipeutnepasêtreentière.
L’angledroit,laperpendicularité
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DèsleCE1
• AuCE1,lesélèvesapprennentàconstruireunangledroitpardoublepliageetàutilisercetteéquerreenpapierouuneéquerreducommercepourrepérerdesanglesdroitsd’unefigure.
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CE1-Découvertedel’angledroitdansdespolygones–découvertedutrianglerectangle.
Construireunangledroitpardoublepliageetàutilisercetteéquerreenpapierpourrepérerdesanglesdroitsd’unefigure
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Apprendreàutiliseruneéquerre(CE1)
Pourconstruireunangledroit,ouvérifiersonexistence.
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Découverteducodagedel’angledroit(CE2)
Danscettefigure,ilya8anglesdroits.Marque-les
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Reconnaîtredesdroitesperpendiculairesdesdifficultésrepérées
Evaluationsnationales–6èmeDanscertainscadres,onatracédeuxdroitesperpendiculaires.Donnelesnumérosdecescadres.
réponses Nbd’élèves
2,6(correct) 13
2,4,6 4
4,6 1
4 1
3 1
5 1
1,5 1
1,3,4,5,6 1
Casd’uneclassede23élèves*
*RepèresIREMn°17
43%desélèvesfontdeserreurs(résultatsnationaux) 64
Desconceptionserronées
• «Deuxlignesquisecoupentformentunangledroit.»
• «Deuxlignesdontl’uneestsoitverticaleousoithorizontaleformentunangledroit.»
• Uneligneverticaleestune«perpendiculaire»• Desdéfinitionslacunairesduesaussiàladifficultédedistinguerdroite,segmentettraitdessiné.
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Nécessitédeséquences
• Pourmettreenévidencelesconceptionsdesélèves;
• Leurpermettrederemettreencauseleursconceptionserronées;
• Leurpermettrededévelopperunecertaineexpertiseenreconnaissancedel’angledroit,
• Enrencontrantunediversitédeconfigurations.
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Unediversitédeconfigurations
Prendreencomptedesvariables:- Figuresouvertesoufermées- Anglesisolésouàisoler- Orientationdel’angle.Lesupportpeutêtreuniouquadrillé.
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Unediversitédeliens-Laperpendicularitéestliée:
• auconceptd’angledroit;• auconceptdedistance:- distanced’unpointàunedroite• auconceptdeparallélisme(droitesperpendiculairesàunemêmetroisième)
• Auconceptdesymétrieaxiale.• théorèmedePythagoredansuntrianglerectangle(collège)
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Lanotiondedistanced’unpoint
àunedroite(dèsleCE2)
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DroitesperpendiculairesEtape1-jeu«1,2,3,soleil»danslacour«Connaissanceenacte»:propriétédepluscourtedistanced’unpointàunedroite.(encoreprésentenCM1ouautreactivitédemêmenature.
ConclureaveclesélèvesLecheminlepluscourtd’unpointàunedroiteestperpendiculaireàladroite.•Pourconstruireunedroiteperpendiculaireàuneautre,ilfaututiliseruneéquerreetunerègle.
1.ComparelalongueurdescheminsdeRose,JulesetNoraavecunebandedepapieroutoncompas.Quelestlecheminlepluscourt?2Liamveutsuivrelecheminlepluscourtpossible.Tracecechemin.Quelinstrumentas-tuutilisé?
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Undessin Unedescriptionverbale
Lesegment[AH]estperpendiculaireàladroited.AHestlalongueurlapluscourtepourallerdupointAàladroited.
AH=4cm
Uneexpressionsymbolique:
Pourdéfinirdesdroitesparallèlescommedroiteséquidistantes
Lesdroitesd1etd2sontparallèlescarladistancequilessépareesttoujourslamême.
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Ladistance–unepluralitédefonctionsetdereprésentations
Maisaussi
• L'ensemble des points situés à une mêmedistance d'une droite (d)est défini par deuxdroites parallèles à (d) situées de part etd'autrede(d).(implicitedanslesactivités).
(CM)
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Conception3«aestparallèleàb,bestparallèleàc,maisan’estpasparallèleàccarilyabentrelesdeux».
Conception1«Desdroitesparallèlesdoiventavoirlamêmelongueur.»cesdroitesnesontpasparallèles.
Conception2«Cesdroitesnesetouchentpas(surlepapier).Ellesnesontpasparallèles.
Lesdroitesparallèles–quelquesconceptionserronées
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Obstacleliéàunedéfinitionlacunaire
• Définitionlacunaire:Lesélèvesontdumalàdistinguerdroite,segmentettraitdessiné;
théorème-élève:«deuxtraitsnonsécantssontparallèles»
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Exempled’activitédanslacour(CM1)• Matériel–pargroupe:
– Unecorde;30jetons– Unerègleetuneéquerregrandformat;unmètreruban
• Dessinersurlesoldelacourunelignedroited(entre5et10m).
• Lesélèvesdoiventplacerleplusvitepossible30jetonstoussituéssituésàlamêmedistancededdansuntempsminuté.
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(OpérationMaths–CM1-Hatier2016)76
DroitesparallèlesCM1–unifierlesdéfinitionsetdonclesméthodes
Lesdroitesd1etd2sontparallèlesparcequ'ellessonttouteslesdeuxperpendiculairesàladroitea.
Lesdroitesd1etd2sontparallèlesparcequeladistancequilessépareesttoujourslamême.
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Lasymétrieaxiale
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Lasymétrieaxiale
DèsleCE1,Aspectstatique(existenced’axesdesymétriedansdiversesfigurespuisrecherchedetelsaxesparpliage,àl’aidedupapiercalqueouendénombrantlescarreauxsurunquadrillage),dansdessituationsmettantenavantlerôledel’anticipationavantlamanipulationetlamiseenoeuvredelapartdesélèvesdeplusieurs«théorèmesenactes».Lesfiguresétudiéesadmettentounondesaxesdesymétriedansdespositionsdiverses.ÀpartirduCE2:L’aspect«dynamique»ou«transformation»:ils’agitdeconstruirelesymétriqued’unefigure.
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Etape1Manipulation:Pliagesetdécoupages(napperonsetribambelles).
Étape2–lefichier:anticiperl’effetd’undécoupagesurunpapierplié.
QuelleétoileNoraa-t-elleobtenueavecledécoupage1?avecledécoupage2?•Pourvérifier,effectuelesmêmesdécoupagesqueNorasurunpapiercalquepliéendeux.
(dèsleCE1)
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LasymétriePremièrespropriétés(CE1)
comprendrecommentcorrespondentlesélémentssymétriquesdansundessinouuncoloriagequiaunaxedesymétrie.
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Compléterunefigureparsymétrie
Utiliserlespropriétésdupapierquadrillépourcompléterundessinouunefigureparsymétrieparrapportàunaxe.(axehorizontalouverticalenCE1)
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Uneprogression
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RésoudredesproblèmesReconnaissance,reproduction,
description,constructiondefiguresplanes
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Aucycle2:Deuxvisionsd’unefigure
• Lesassemblagesétudiéspeuventêtreconstitués:-depiècesjuxtaposées,cequirendaisél’identificationdesformesutiliséesenvuedelesreproduire.
- Depiècessuperposées,lareconnaissancedesformesnécessairespourreproduirel’assemblageestplusdifficilecarlesélèvesdoiventperdrel’idéedespiècesdepuzzle(juxtaposition)pourpenserlasuperposition.
- Lavisionparjuxtapositions’avèreunobstacleaucycle3.
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Illustration
Visionpuzzle(parjuxtaposition) Visionparsuperposition
Vuecomme Vuecomme
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AssemblagedesurfacesenCP
• parjuxtaposition:dansunefigure,onpeutvoirautantdeformesquedecontoursfermés.
• Parsuperposition:dansunefigureonpeutvoirmoinsdeformesquedecontoursfermés,d’oùréductionimportantedes
formeseffectivementreconnues. AugusteHerbin,Oui,1951
(OpérationMaths-CP–Hatier2019)87
AssemblagesdesurfacesenCP
AugusteHerbin,Oui,1951
Coloriechaqueformecommedansl’oeuvred’AugusteHerbin.Vérifieavectonmatériel
Etape1–ManipulationReconstitutionindividuelledel’œuvreavecdumatérielcartonné.
Etape2–travailsurfichier
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Tracéàmainlevée• DèsleCP
• But:favoriserlaréflexiondel’élèvesurl’activitéavantutilisationdesinstruments
• Exemple:«Reproduiscerectangleàmainlevée,puisaveclegabaritdetonmatériel»
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OpérationMathsCE1Hatier2017
Lajuxtapositiondescouleursfaitapparaîtrelesdifférentssegments.
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Reconnaîtreunefigure
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«LepetitfrèredeMafalda»Quino–éd.Glenat
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Lespolygones(CE1)-Manipulation
II.Lespolygones:onpeutlesdécrireparlenombredecôtésetlenombredesegments.
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Lespolygones,décrireleurspropriétésDèsleCE2,s’entraineràraisonneretàprouveràl’aidedepropriétésetdesinstruments«RosearegroupélespolygonesCetGcarilsontunepropriétécommune.Laquelle?«
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Lesjeuxdeportrait
• Situationdecommunication• Buts:- aiderlesélèvesàcomprendrequ’unefigureplane(ouunsolide)estcaractériséeparsespropriétés;
- favoriserlamiseenplaceetl’emploid’unvocabulaireappropriéetàdévelopperdescompétencesenargumentation.
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Exemples
• «C’estuntriangle.Ilaunangledroit.C’estlafigure…»
• «C’estunquadrilatère.Ilaquatreanglesdoitset4cotésdemêmelongueur.C’estlafigure…»
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Lejeuxde«quiest-ce»
Matériel:uneplanchedefiguresJeuàplusieursRègledujeu:unjoueurprincipal(quipeutêtreleprofesseur)choisitunefiguresansdirelaquelle.Lesautresjoueursluiposentdesquestions.Ilnerépondqueparouiouparnon.Lepremierjoueurquipenseavoirtrouvélasolutionnommelafigure(parunelettre),enjustifiantsaréponse.
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DèsleCE2
Jeuxquis’enrichissentaufuretàmesureques’ajoutentdespropriétésjusqu’auCM2.
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Intérêtdujeude«quiest-ce?»• Ilnécessite:
-d’analyserlesfiguresafind’identifierlespropriétéséventuelles-deposerdesquestionsrelativesàcespropriétés-d’écouterlesquestionsdesautres-d’écouterlesréponsesauxquestions-deserappelerlesquestionsposéesetlesréponsesprécédentes-decombinercesinformationsentreellespourréduirelenombredepossibilités-depenseràunenouvellequestion.
• Cetteactivitéestdoncaprioricomplexe:analyseinstrumentéedefigures,priseencomptedeplusieursindices,leurmémorisationpourélimineraufuretàmesurelesintrusetdéterminerlafigure.
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Avecdessolides
100
Delareproduction/restaurationàladescriptiondesfiguresplanes
Àlaconstruction
101
Distinction
• Restaurationdefigure:ondisposed’unmodèle,c’estreproduireunefiguresuperposableàunefiguredonnéeouàuneéchelledifférente;ondisposedéjàd’unepartiedelafigure.
• Reproduction:ondisposed’unmodèle,ondoitobtenirunefigurequisoitsuperposableàcemodèleprésente,àlamêmeéchelleounon.
102
Lesupportpapierquadrillé
• Ilprésentel’avantagededévelopperchezlesélèvesdescompétencesenrepéragedecasesoudenœuds,etl’inconvénientdeprivilégierlesdirectionshorizontalesetverticales,
• cequirésoutàlaplacedel’élèveleproblèmedestracésdecertainsanglesdroitsetsupprimel’usagedelarèglepourcomparerleslongueursdecertainssegments.
• Ilestprivilégiéjusqu’enCE2.EnCM,ilestuneaideàl’analyse.
103
CE1Utiliserlespropriétésduquadrillagepourconstruiredespolygonesusuels.
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Analyserunefigure:2emevoie
• Lespropriétésgéométriquesconnuesprennentlepassurlesformesvisuellementreconnuespouranalyserunefigure.
• Lareprésentationvisuelledevientcognitivementsubordonnéeauxinformationsgéométriquesquel’onysuperpose.
105
3emevoie
• Celledesinstrumentstrèsvariésquipeuventêtreutiliséspourreproduireoupourconstruireunefigure:l’analysedelafiguredépenddesprocéduresdereproductionoudeconstructionquel’instrumentutiliséimpose.
106
DèsleCE1
Repère5anglesdroitssurlemodèle.ComplètelafigureJpourqu’ellesoitunagrandissementdelafiguremodèle.
107
But
«analyser»unefigurecomplexe,c’est-à-direàenrepérerlespropriétéspourpouvoirlareproduiresurpapierunienutilisantlesinstruments.
DèsleCE1,lesreproductionssefontàuneéchelledifférentedumodèlepourbloquerlesprocéduresdereportdelongueursetfocaliserl’attentiondesélèvessurlesalignements,(utilisationdelarègleseule)etunefoisl’angledroitétudié,surlesanglesdroits(utilisationdel’équerreetdelarègle).
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Lequadrillagepouraiderlesélèvesàanalyserlesfigures(CM)
• analyser:identifierlesprincipauxélémentsquicomposentlafigure,fairedeshypothèsessurleurspositions,puislescontrôleravecdesinstruments.
Untraitquiaserviàconstruirelafigureestenpointillés,d’autresontétéeffacés.•Cherche-lesetreproduislafiguresurdupapierquadrillé,puissurdupapieruni.Pourcela,construisuncarréde12cmdecôté.•Effacelestraitsdeconstruction(CM2)
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Alignementsutilisables
CM2
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Pourquoi?
Difficulté:lesélèvesnepensentpasspontanémentàagirsurlafigurepourrepérerlesrelationsentreseséléments.Ilestnécessairedepasserpardesactivitésconsistantàretrouvercequiaétéeffacéetquiaserviàconstruirelafigure:-prolongerdessegments,- Relierdespoints,- tracerdesdiagonales,desmédianes,descercles,etc..- Envuederepérerdesalignements,desmilieux,desanglesdroits….
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CM1–OpérationMaths
• ABCDestuncarré.a.VérifiequelepointFestlemilieudusegment[BC]etquelepointGestlemilieudusegment[DC].
b.Àvued’oeil,quelpointdelafigureteparaitalignéavecAetF?
QuelpointdelafigureteparaitalignéavecAetG?
Vérifieavectarègle.c.Traceunefiguresemblableàcelle-cisurpapierquadrillépuissurunpapierunienprenant6cmdecôtépourlecarréABCD.
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Décrireunefigure-suite
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Décriredespolygones–CE1
Etape1-JeuduportraitUnélèvechoisitunefigure,sonpartenaireluiposedesquestionspourdevinerlaquelle.Lepremierélèvenerépondqueparouiouparnon.
Etape2–lefichier
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Dictéesoralesdefigures
«Mafigureestcomposéed’uncarréetd’uncercle,lecentredemoncercleestlecentreducarré;moncerclepasseparlessommetsducarré».
«ConstruireuncarréABCD,tracersesdiagonales[AC]et[BD].EllessecoupentenO.ConstruirelecercledecentreOetderayonOA,effacerlesdiagonales».
Descriptionglobale
Programmedeconstruction
Ou
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Dictéedefigures
Toutcommepourlarésolutiondeproblèmesoraux,lesdictéesoralesdefigurespeuventpermettreauxélèvesd’apprendreàinterpréterunvocabulairespatialetgéométriqueadapté.
Deplus,lesélèvesontàmémoriserlesinformations,anticipersurcertainesconstructions,mobiliserdesimagesmentalespourdéciderdesconclusionspossibles.
Lestextessontcourtsetlesélèvessecentrentplussurletraitementdesrelationsentrelesdonnées.
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Variables
• Onpeutexploiterdesvariablesliées:- àlatâchedel’élèveet- àlaformedeladescription.
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Latâchedel’élève
• Apartirdeladescription,l’élèvepeutavoirà:- construirelafigureàmainlevéeouauxinstruments,
- acheveruneconstruction.
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Laformedeladescription• ladescriptiondesfigurespeutêtreglobale,oucorrespondreàunprogrammedeconstructiontraditionnel.
• Unedescriptionglobalepourraitêtre«mafigureestcomposéed’uncarréetd’uncercle,lecentredemoncercleestlecentreducarré;moncerclepasseparlessommetsducarré».
• Unprogrammedeconstructionclassiquepourraitêtre«construireuncarréABCD,tracersesdiagonales[AC]et[BD].EllessecoupentenO.ConstruirelecercledecentreOetderayonOA.».
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Lamiseenoeuvre• Afind’aiderlesélèvesàmémoriserlesétapes,ilestpossibledevarier:
-lacomplexitédesmessages,- leurlongueur,- delesrépéter,detraiterpasàpasleseffetsduprogramme.
- Lafréquencedecesdictéesestunfacteurimportantdansl’acquisitiondescompétencesvisées(anticipation,mémorisation,vocabulaire,…).
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Lesdictéesoralesdefigures
• Objectifs:- apprendreàinterpréterunvocabulairespatialetgéométriqueadapté.
- mémoriserlesinformations,anticipersurcertainesconstructions,mobiliserdesimagesmentalespourdéciderdesconclusionspossibles.
Lestextessontcourtsetlesélèvessecentrentplussurletraitementdesrelationsentrelesdonnées.
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Anticiper,basedel’activitémathématique
Ellesuppose:
- d’identifierlesinformationsàgérer,dediscernercellesquiimposentdescontraintessemblablesoudifférentesdesituationsdéjàrencontrées
- seredéfinirleproblèmeàrésoudre(lasituation,lebutàatteindre,lesmoyenspourl’atteindre)
- Anticiperlesactionsàentreprendre- organisercesactionsdemanièrepertinente
Unecertitude:Lafamiliaritéavecunesituationfavorisel’anticipation
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Construireunefigure-verslecycle3
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Associerunefigureàsonprogrammedeconstruction,construiredesfiguresàpartirdemessages.(CE2)
Unefigureestdonnée,troismessagessontfournis.Associerlafigureaumessagequiluicorrespond
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Unmessageestdonné,troisfiguressontfournies.
Unefigureestdonnée,etunprogrammedeconstructionincomplet.Compléterunprogrammedeconstruction.
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Unprogrammedeconstructionestdonnée,unefigurepartiellementconstruiteestfournie.Acheverlaconstruction.
Unprogrammedeconstructionestdonné.Construirelafigure.
Construisuncarrédecôté6cm.SesdiagonalessecoupentenunpointI.TracelecercledecentreIetderayon3cm.Lecercletouche-t-illecarré?.Commentpeux-tuenêtresûr?
Cycle3Voicideuxfiguresdessinéesàmainlevée.Construiscesfiguresenrespectantlesinformations.
Voicideuxfiguresdessinéesàmainlevée.Construislesfiguressurdupapierquadrillépuissurdupapierunienrespectantlesinformations
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Synthèse:desvariables
1.Apartird’unefigure,faireunedescriptionFiguremodèle
décrire
Description
2.Associerfigureetdescription
a.Figuremodèledonnée/Plusieursdescriptions
Trouverladescription
b.Plusieursfigures/Unedescription
Trouverlafigure
3.Construction
Unedescriptionestdonnée
Unefigureestconstruite
Unschémacodéestdonné Unefigureestconstruite
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Conclusion
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Deseffetschezlesélèves
• Lagéométrie,par:- lesproblèmesqu’ellepropose,- lematérieldemanipulationutilisé,- lespossibilitésd’auto-évaluation,permetauxélèvesdedévelopperdesstratégiesmétacognitives, notamment chez les élèvesendifficulté.
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Expériences,manipulation
• Lerôledel’expérienceetdelamanipulation,activitésindispensablespour:
-aideràdévelopperdiversmodesdeperceptionsensorielle(kinesthésique,visuelle….)-contribueràl’enrichissementdeconceptsfondamentauxCesactivitéssontfondamentalesetindispensables
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Tâchedifficile,tâchecomplexe
• Leprogrèscognitifs'appuieraitessentiellementsurlaconfrontationàdesproblèmessuffisammentnouveauxpourqu'ilssoientstimulantsmaisaussisuffisammentvoisinsdesproblèmesdéjàmaîtriséspourqu'ilssoientappréhendables.
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troisdegrésdecompétences,Reyetall(2002)
-Degré1:«Savoirexécuteruneopérationenréponseàunsignal(unequestion,uneconsigne,ouunesituationconnueetidentifiablesansdifficulté,niambiguïté)(procéduredebase.
-Degré2:Possédertouteunegammedecesprocéduresdebaseetsavoir,dansunesituationinédite,choisircellequiconvient.
• Degré3:Savoirchoisiretcombinercorrectementplusieursprocéduresdebasepourtraiterunesituationnouvelleetcomplexe.
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Lerôledel’expérienceetdelamanipulation Lesactivitésmotriceset/oumanipulatoires-permettentledéveloppementdediversmodesdeperceptionsensorielle(kinesthésique,visuelle….)-contribuentàl’enrichissementdeconceptsfondamentauxCesactivitéssontfondamentalesetindispensables
Leprocessusd’institutionnalisationConstructionprogressived’unemémoirecommunedesfaitsmathématiquesàretenir
LerôledulangageCesactivitésdoiventêtre reprisesdansdessituationsd’évocationoudeprévisionsansmatériels
Lelienavecd’autreschampsdisciplinairesArtsplastiques,questionnerlemonde 134
Lamanipulation
• Deuxtypesdeprocessuscognitifsenjeudansunesituationdedécouverteparlamanipulation:exempledesactivitésspatio-géométriques
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ProcessusProcessusvisantàmodifierlesconnaissancesmathématiquesspécifiques
Processusderégulationvisantàmodifierlesconnaissancesgénérales
-raisonnementdécisionsàprendrequiguidentlamanipulation,pourextrairel’informationdel’expérience:émettredeshypothèses,lestester,lesvalideroulesrejeter,déciderdenouvellesmanipulations,conclure.But:faireprogresserlesconnaissancesmathématiques
-contrôlerledéroulementdel’activité-gérersonproprecomportement-garderenmémoireunetracedesesessais,desesprogrès-planifierdesétapes-allerauboutdelatâcheetc.
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