Erreur et calcul d'incertitude

Lorsqu'une manipulation donne lieu à des mesures de grandeurs physico-chimiques, l'expérimentateur doit obtenir, en complément de la valeur, une information concernant la qualité de la mesure. On retient généralement deux critères pour caractériser la qualité d'une mesure :

La reproductibilité, si la réalisation de plusieurs mesures d'une même grandeur donne des valeurs proches les unes des autres, on dit alors que les résultats sont reproductibles.L'exactitude quant à elle permet de juger si les résultats sont en adéquation avec la valeur attendue.

On notera que si les résultats obtenus pour une même manipulation ne sont pas reproductibles, ils ne peuvent pas être exacts. De même, des résultats reproductibles ne sont pas obligatoirement exacts et peuvent comporter des erreurs.Les sources d'erreurs : Il ne faut donc pas confondre une faute de manipulation liée au non respect du protocole de mesure établi avec l'erreur expérimentale dont la valeur va dépendre principalement de la précision des appareils de mesure, de la technique utilisée et de l'œil de l'expérimentateur. Les erreurs expérimentales ne sont pas toutes de même nature et interviendront de manières différentes dans l'évaluation de la qualité de la mesure. Ces erreurs sont classées dans deux catégories :

Les erreurs systématiques : les erreurs systématiques ont presque toujours une cause déterminée. Elles sont dues le plus souvent à une imperfection de l'appareillage ou de la technique. Elles agissent toujours dans le même sens et leur amplitude est constante (exemple : erreur de fabrication d'une burette, d'une pipette…).Les erreurs aléatoires : les erreurs aléatoires peuvent jouer dans les deux sens : surestimation ou sous-estimation de la grandeur mesurée. Dans la majorité des cas, elles dépendent uniquement des caractéristiques de l'appareillage, de la technique utilisée et de l'habileté du manipulateur. Elles affectent essentiellement la reproductibilité des mesures (exemple : erreur de lecture, fluctuation de la tension du courant délivrée par le réseau EDF, … ).

Erreur et incertitude expérimentale : comme nous venons de le voir, toute mesure expérimentale est entachée d'une erreur dont la valeur ne peut généralement être estimée que par des techniques de calcul de probabilité à partir des résultats d'un grand nombre de manipulations. Il est donc impossible de déterminer la valeur exacte de l'erreur commise sur une mesure. En revanche, chaque type d'erreur étant borné, il est possible de calculer la limite supérieure (en valeur absolue) de l'erreur globale que l'on appellera incertitude.

Incertitude absolue : soit x la valeur mesurée et x l'incertitude sur le résultat de cette mesure, alors x est compris entre x - x et x + x. x est une quantité positive qui s'exprime avec la même unité que x. Incertitude relative : c'est le quotient de l'incertitude absolue sur la grandeur mesurée x /x. On exprime souvent ce rapport en pourcentage.

Calcul des incertitudes : dans la majorité des cas, la mesure d'une grandeur est obtenue grâce à la détermination expérimentale d'autres grandeurs, plus facilement accessibles, et reliées à celle cherchée par une relation connue. On pourra alors, connaissant les incertitudes absolues ou relatives sur les grandeurs intermédiaires, calculer l'incertitude sur la grandeur à laquelle on s'intéresse. Prenons le cas d'une grandeur y exprimée en fonction des grandeurs indépendantes a, b et c par la relation suivante :

(1)

Si les incertitudes absolues a, b et c sont connues, on peut alors calculer y l’incertitude absolue et y/y l’incertitude relative associées à la grandeur y.

Calcul de l’incertitude absolue : pour calculer l’incertitude absolue y, on commence par écrire la différentielle totale exacte de l’équation qui relie la grandeur y aux variables indépendantes a, b, et c. Cette différentielle est égale à la somme des dérivées partielles de la fonction y par rapport à chaque variable :

(2) se lit " dérivée de y par rapport à la variable a, les variables b et c étant constantes ". Elle traduit donc très exactement l’effet qu’aura, sur la valeur de y, une petite variation de la valeur de a en supposant que les valeurs de b et de c ne sont pas affectées par la variation sur la variable a. Cette hypothèse renvoie à la notion essentielle de variables indépendantes nécessaire à l’application de la méthode présentée.

En explicitant les dérivées partielles, l’équation (2) devient :

(3)

Pour déterminer l’incertitude absolue dy, on remplacera les éléments différentiels da, db et dc par les incertitudes correspondantes a, b, c qui constituent les limites supérieures de l’erreur que l’on peut commettre sur chacune des variables. Les erreurs associées à des variables indépendantes ne pouvant se compenser, on calculera la limite supérieure de l’erreur commise sur y en prenant la valeur absolue de chaque terme.

(4)

Remarque : les erreurs systématiques peuvent se compenser dans le cas de deux mesures réalisées avec le même appareil mais dans ces conditions les deux mesures ne sont pas indépendantes.

Calcul de l’incertitude relative : L’incertitude se déduira aisément en calculant le rapport y /y, soit :

d’où (5)

   Une autre méthode consiste à :  1) prendre le logarithme de la fonction y :   (6)

 2) différencier :  (7)

 3) regrouper les termes relatifs au même élément différentiel :     (8) 4) prendre les valeurs absolues et remplacer les éléments différentiels par les incertitudes :

  (9)

Exemple I : Erreur commise lors du dosage d’un acide par une base :

On introduit dans un bécher un volume Va d’acide (prélevé à l’aide d’une pipette), de normalité Na inconnue. On effectue le dosage de l’acide par une solution basique de normalité Nb connue. Soit Vb le volume de base versé à l’équivalence (à l’aide d’une burette). L’équation mise en jeu lors du dosage

aA + bB ---> cC + dD

permettra d’écrire la relation d’équivalence suivante :

soit

  donc

(10)

L’incertitude absolue sur la normalité de la base est connue : Nb

L’erreur que l’on commet lors du prélèvement du volume Va avec la pipette est liée d’une part à l’erreur de fabrication (c’est l’erreur systématique) et à l’erreur de ecture (c’est l’erreur aléatoire que commet l’expérimentateur). En général, ces données sont fournies par le fabricant de l’appareil de mesure.

Va=Va [ Va(f)+ Va()] (11)

Remarque : pour un dosage donné, les coefficients stoechiométriques a et b sont des constantes et il n’y a pas d’incertitude sur leurs valeurs.

Le volume de base versé à l’équivalence est mesuré à l’aide d’une burette. Là encore, cette mesure est entachée d’une erreur systématique (fabrication) et d’une erreur aléatoire (lecture). On écrira donc

Vb=Vb [ Vb(f)+ Vb()] (12)

En prenant, successivement le logarithme puis la forme différentielle de l’équation (10), on obtient :

(13)

On remplace ensuite chaque terme différentiel par son incertitude et on prend la valeur absolue de chaque terme :

(14)

Exemple II : Erreur commise lors de la mesure de la tangente d’un triangle rectangle

 

 Soient A, B et C les sommets d’un triangle rectangle en B et l’angle formé par les côtés a (distance AB) et b (distance BC). La tangente de l’angle sera :Y = tan  = b/a

On dispose d’une règle de 20cm graduée au 1 /10 de cm pour laquelle le fabricant précise que l’erreur systématique vaut 0,06 cm et l’erreur de lecture 0,05 cm.

Sachant que les mesures des côtés a et b valent respectivement 11,10 cm et 5,20 cm, calculer la valeur de la tangente de l’angle ainsi que l’erreur maximale commise sur la mesure (incertitude absolue).

Y = b/a = 5,20/11,10 = 0,468468…

soit

La mesure de a et de b ayant été réalisée avec le même appareil de mesure, l’erreur systématique commise pour les deux mesures sera la même :

En regroupant les termes relatifs à la même incertitude, on obtient :

Nous avons donc une incertitude sur la valeur de la mesure qui est d’une unité sur le deuxième chiffre après la virgule. Les chiffres suivants n’ayant plus de signification, le résultat de la mesure s’écrira :

Y=0,47 0,01