ENSEIGNER LE CALCUL MENTAL 

EN CLASSE ?

Animation mathématiques GDMS - Mions -2009 1

Plan de l’animation

1) Le calcul mental : quelques éléments

- Extraits choisis- Construction du nombre et calcul

2) Le calcul mental : pourquoi faire ?

3) Le calcul mental : comment faire ?

4) Activités / situations

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3

« …Les termes, d’une époque à une autre ont quelque peu varié. En première approximation, on peut être tenté d’opposer le calcul mental au calcul écrit ...

…Mais parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écrire. »

« … Ce qu’on désigne sous le terme de calcul écrit (“l’opération posée”) requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental. Il ne dispense donc pas de calculer mentalement, bien au contraire… ».

1) Le calcul mental : quelques éléments

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« L’expression de “calcul mental”, signifie qu’entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela n’implique pas qu’aucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat voire même dans le cours du calcul…

Les expressions “calcul réfléchi” et « calcul raisonné » … insistent sur l’importance donnée à la méthode (choix d’une stratégie, élaboration d’une procédure) plutôt qu’à la rapidité d’exécution, au moins en ce qui concerne les calculs complexes. »

« … l’expérience atteste, depuis des dizaines d’années, que les enfants ont souvent tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental préalablement à l’apprentissage des techniques écrites qui sont souvent abordées trop tôt et, par la suite, à une prise de conscience insuffisante des différences de traitement entre calcul écrit et calcul mental. »

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Construction du nombre en maternelle

LA DESIGNATION : utilisation d’un symbole pour identifier un objet ou une collection d’objets. La désignation doit permettre de conserver une connaissance / une trace de l’objet..L’aptitude à désigner prépare à l’aspect nominal du nombre.

LA COLLECTION : regroupement d’objets selon un critère défini.Concevoir une collection, c’est accepter de voir un rassemblement d’objets comme un tout. Cette connaissance prépare à l’aspect cardinal du nombre.

L’ORDRE : position des objets d’une collection selon un critère (sens, repérage spatio-temporel, …).Cette notion prépare à l’aspect ordinal du nombre.

L’ENUMERATION : exploration exhaustive oralede tous les objets d’une collection en un seule fois. Elle fait appel à l’ordre.Cette connaissance prépare au comptage (qui entre dans le dénombrement).

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Quelques difficultés pour le calculUne affaire de numération…

• Numération de position

Ex : valeur du zéro dans 34008

457

sens de la lecture / file numérique

• Des sens de lecture différents…Sens unités / dizaines / centaines / …

Quelle est la différence entre les 2 zéros ? « Zéro, c’est rien… ». Confusion chiffre / nombre.Beaucoup d’élèves pensent 0 dizaines, 0 centaines…

XÇy|Ç? Äxá |ÜÜ°zâÄtÜ|à°á wx Ät ÇâÅ°Ütà|ÉÇ ÉÜtÄx‹

8

• Les irrégularités de la seconde dizaine : onze, douze, treize, …seize puis dix-sept, dix-huit, … (processus additif).

• Une irrégularité de 70 jusqu’à 99. « Quarante-trois, c’est « quarante plus trois ». Après soixante-neuf, on ne comptabilise pas une nouvelle dizaine, mais on continue : soixante-dix, soixante et onze,… A partir de 80 et jusqu’à 99, notre numération orale est à la fois multiplicative et additive : quatre-vingt-six, c’est quatre fois vingt plus six…

Les irrégularités liées aux multiples de dix jusqu’à soixante : vingt, trente, quarante, cinquante, soixante. Quel lien avec la dizaine ?.

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Le 15 Vainc.

Calcul mental :

Voyons par nous même les ressources mobiliséespar un jeu de calcul mental :

Le 15 Vainc

• 2 joueurs. Une piste de 9 cases (ou 9 cartes), 3 jetons blancs, 3 jetons noirs.

• Chaque joueur, à tour de rôle, pose un de ses pions sur une case libre. Le but est de totaliser 15 en additionnant les 3 nombres associés aux 3 pions. 

• Si personne n'a gagné lorsque les 6 pions sont posés, chaque joueur à tour de rôle, déplace un de ses pions vers une case libre, jusqu'à ce que l'un des joueurs obtienne le total de 15.

• 1 manche gagnée = 1 point. Le premier en 7 a gagné!

1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Lien internet pour jouer au quinze vainc :

Cycle 2:

Savoir visé: Tables d'addition.Compléments à ..

Adaptations:10-Vainc, en 2 coups, Cartes (dos puis face) =>Vers stratégie…

Cycle 3:Savoir visé: Tables d'addition.

Compléments à 10

Prolongement: Comment ne jamais perdre au 15 vainc?

5

2

8

4

6

7 3

9

1

Stratégie du quinze vainc : construction du carré magique

Régle 1: si X joue au centre il est sûr de ne pas perdre.Régle 2: si O joue ensuite dans la croix, il perd.Régle 3: si O joue dans la diagonale, vous devez jouer dans la même diagonale !Vous pouvez en déduire les régles pour le joueur O.

Cas favorable pour X : O joue dans « la croix »

Avec la grille, on peut adopter les stratégies du morpion

Cas défavorable pour X : O joue dans la diagonale

Pour ne pas perdre, X doit systématiquement compléter la diagonale

Prolongements  du quinze vainc :http://pagesperso‐orange.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/textes/quinze.htm

Calcul MentalEffort d’attention

Effort de mémoire

Effortde

réflexion

Effort opératoire

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2) Le calcul mental : pourquoi faire ?Au cycle 2 :

MATHÉMATIQUES« La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifsprioritaires du CP et du CE1... La pratique régulière du calcul mental est indispensable à l’acquisition de ces automatismes. »1 - Nombres et calcul« …Ils mémorisent et utilisent les tables d’addition et de multiplication(par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de l’additionet de la soustraction, celle de la multiplication …L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissanceplus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurspropriétés. »

Socle commun

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- Calcul mental : tables d’addition et de multiplication. « L’entraînementquotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations permetune appropriation des nombres et de leurs propriétés. »

Au cycle 3 : MATHÉMATIQUES

1 - Nombres et calcul

Socle commun

Définitions

Calcul (mental) automatisé :Nous faisons appel dans notre mémoire à un »répertoire» constitué.

La grande majorité des répertoires se construisent par le calcul réfléchi !

Calcul (mental) réfléchi :Nous utilisons consciemment des répertoires et une ou des procédures  pour effectuer un nouveau calcul.

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Objectifs du calcul automatisé

‐ Automatiser des calculs simples,

‐ Mémoriser des résultats pour faciliter d’autres calculs (réfléchis, posés, ...)

‐ Connaître des « tables »

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Conditions de mémorisation

• 1ère condition : compréhension par l’élève des opérations en jeu.

• 3ème condition : entraînement régulier

• 2ème condition : prise de conscience de l’intérêt 

de disposer d’un répertoire de résultats / procédures

qui se construit au fur et à mesure.

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Calcul automatisé : Les compétences visées

• Les tables (+ et x)

• Additionner/soustraire des dizaines ou centaines entières

• Compléments à la dizaine supérieure

• Complément à l’entier supérieur (un chiffre après la virgule)

• Multiplication ou division par 10, 100 ou 1000

Procédures (résultats) mémorisées puis automatisées.

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Une énigme

• Comment peut‐on reconnaître qu’un nombre écrit en base 5 est divisible par 5 ?

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Rappel : 11 en base 10, c’est 1 dizaine et 1 unité : on l’écrit 1111 en base 5, c’est 2 « cinquaines » + 1 unité : on l’écrit 21

Une autre énigme

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a = ba2 = b2

a2 - b2 = a2 – ab(a-b) (a+b) = a (a-b)(a+b) (a-b) = a (a-b)

2a = a2 = 1

Objectifs du calcul réfléchi

‐ Utiliser des répertoires constitués (résultats / propriétés /  procédures) pour construire des procédures.

‐ Organiser puis effectuer des calculs à partir de ces répertoires.

‐ Découvrir et utiliser les propriétés des nombres et des opérations 

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Des exemples de calcul réfléchi• Au cycle 2:

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Différentes procédures utilisées

42 – 28:

Ôter 20 puis 8 (décomposition);

Ôter 30 puis ajouter 2 ;

Aller de 28 à 42 (jalonnement);

Calculer 44 – 30 ou 40 – 26 (décalage / écart constant).

28

34 + 12 + 8 + 6 + 3 + 5 + 27 =

Calcule sans poser

95

12 x 26 =

741 - 69 = 672

312

30

1643 -76 = ?

= 1647 – 80

= 1667 – 100

= 1643 -76 = 1567

Le calcul mental réfléchi

• L’élève élabore mentalement une procédure adaptée au calcul proposé, en faisant appel à la réflexion et au raisonnement.     

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• Nécessité d’une explicitation et confrontationde procédures possibles et efficaces dans la situation donnée.

Attention à la saturation de la MCT : les résultats intermédiairespeuvent être écrits si besoin.

Calcul mentalCalcul écrit

Se rapprochent

Sont différents• Emploi réfléchi de la décomposition des Nb• Emploi des propriétés des opérations• Sollicitation de l’attention et de mémorisation accrues

•Maîtrise d’un mécanisme, d’une technique opératoireinduits / privilégiés

Se complètent• Phases de calcul mental (ex : retenues) • aide à la mémorisation

intermédiaire

• Connaissance de la numération décimale• Maîtrise des tables et de résultats (intermédiaires) mémorisés

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Pourquoi le calcul mental est‐il si fondamental ?

• Aspect social : calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire.

• INDISPENSABLE pour le calcul posé.

• Moyen utile pour validation d’un calcul posé (ordre de grandeur).

• Aide à la résolution de problèmes : se ramener rapidement à un cas simple qui peut être traité mentalement.

D’après Roland Charnay33

Ecrit permanent

Ecrit temporaire

Oral

Avec / sans support visuel

(bande numérique, graduation, tableau de

nombres,…)

Avec ou non l’écriture de

résultats intermédiaires

Ecrit

Oral

Enoncé Calculs Résultats

3) Le calcul mental : comment faire ?Dispositif

34

Les séances d’apprentissage([re]découverte)séance longue( >> 15 mn)

Les séances d’entraînementSéances courtes

Les séances d’évaluationSéances courtes

Ce sont plutôt des séances de calcul réfléchi avec recours possible à l’écrit• introduction de nouvelles procédures

• pour construire de nouvelles automatisations

• Entretien, révision, réinvestissement de nouvelles notions

• mémorisation de calculs (tables,…)

Ce sont des séances de rapidité, concentration

• je vérifie la capacité de produire un résultat juste indépendamment de la procédure utilisée

Ce sont des séances à correction immédiate

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Séquence- type

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La phase d’apprentissage

• Echauffement présentant pas de difficulté trop importante, pour mettre les élèves en condition d’écoute et de concentration et permettre un démarrage de tous

Utilisation du procédé Lamartinière avec validation et correction rapide.

• Situation d’apprentissage de nouvelles procédures à automatiser par la suite

• La phase d’entraînement, avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction.

• La phase d’évaluation

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Quelle type de séquence autour de ces compétences ?

•Cycle 3 : Multiplier par 10, 100, 1 000 ?Place dans la progression

•Cycle 2 (cycle 3) : Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pourcalculer des sommes prendre appui sur le travail réalisé sur 34 + 12 + 8 + 6 + (3 + 5 + 27)

•Place dans la progression

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Exemple de séquence de calcul mental en C2 et C3

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Compétence visée : additionner mentalement des nombres entiers

Objectif : additionner mentalement des nombres entiers en ajoutant prioritairement les nombres donnant un résultat « rond ».

Pré-requis : propriétés opératoires de l’addition (commutativité, associativité)

retrouver des résultats additifs simples

compléments à la dizaine supérieure

Déroulement :

Séance 1 : découverte, recherche individuelle ou par petits groupes

ex : Calculer sans poser 34 + 12 + 6 + 8 (+ 3 + 5 + 27) =

Émergence des procédures

Ressources sollicitées : fournir des efforts d’attention, de mémorisation, de réflexion et opératoires.

séance 3-4 : entraînement, séries d’opérations plus ou moins complexes :…eventiellement dans des petits énoncés de problèmes simples.Ex : J’avais vingt-sept euros dans ma tirelire. J’ai reçu huit euros de

maman et 3 euros de mon oncle. Combien je possède maintenant ?

Séance 5: évaluation, situation courte avec correction immédiate

On ne note pas la procédure pour arriver au résultat mais la justesse du résultat.

Prolongements possibles :

Nombres plus grands

Nombre d’opérations plus grand

Problèmes plus complexes : procédures de regroupement de 3 ou 4 termes pour avoir un nombre rond. Ex : 3 + 2 + 16 + 15 +… =

séance 2 : bilan intermédiaire, quelles procédures sont retenues pour de nouveaux exemples : 34 + 12 + 6 + 8 = 34 + 6 + 12 + 8 …

Comment as-tu fait ? Pourquoi as-tu choisi cette procédure ?

Faire reformuler par un ou plusieurs autres enfants

40

41

Exemple de séquence de calcul mental en C3

Compétence visée : multiplier par 10, 100, 1000

Objectif : obtenir rapidement un résultat par une procédure automatisée

Pré-requis : Numération : unités, dizaines, centaines, …pour les entiers

unités, dixièmes, centièmes pour les nombres à virgule.

ATTENTION AUX LIMITES DE LA REGLE DES ZEROS.

Déroulement :

Séance 1 : découverte, recherche individuelle ou par petits groupes

ex : 23 dizaines, c’est combien d’unités ?…Donc 23X10 = 230

Etc…

Ressources sollicitées : fournir des efforts d’attention, de mémorisation, de réflexion et opératoires.

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séance 3-4 : entraînement : énoncés et réponses écrits possibles

10 x 7 050 = ... a) 70 050 b) 75 000 c) 70 500 80 700 = 807 x ? a) 10 b) 1 000 c) 10 x 10 cent mille s’écrit : a) dix mille x 10 b) 100 x cent c) dix mille x

cent séance 6 : évaluation, situation courte avec correction immédiate

Prolongements possibles :

Nombres à virgules, ordres de grandeur…

séance 2 : découverte,suite

410 x 10 = ___ , 100 x 72 = , 7 257 X 1000…, décimaux…

Comment as-tu fait ? …

Faire reformuler par un ou plusieurs autres enfants

Exemple de progression CM

Situations• Les jeux (fiche / logiciels).

‐ Les cartes magiques

‐ Faire 20

‐ Computix (logiciel)

‐ Trio.

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• Le calcul rapide sur fiche.

Exemples:

• Les cascades additives• Les cascades multiplicatives

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• Les cascades additives:

45

• Les cascades multiplicatives:

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Quelques activités autour des « grilles de nombres »

• Sur une même grille, différentes activités possibles en numération et calcul

• Différentes phases : recherche / entraînement / validation.

• Différenciation : grandeur des nombres, nombre d’items, nature des items (oral / écrit), temps de réponses, aides admises, ….

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Quel nombre se cache sous ?

Quel nombre se cache sous ?

Quelle est la somme des trois nombres cachés sous les

Entoure le nombre qui possède 6 dizaines et 9 unités

Barre d’une croix tous les nombres qui possèdent le chiffre 1

XXXXXXXXXX

X X X X X X X X X52

77

75

48

478

4 centaines 1 dizaine 6 unités

…… < 432 < ……

Le nombre qui se cache sous ?

Écris dans le tableau :

478

416

431 433

480

49

Cherche les cinq intrus dans la grille.

50

51

291 – 70 =

217 + 80 – 30 =

606 ÷ 3 =

52

Dessine avec des flèches le chemin des calculs suivants :

400 + 22 + 4 + 57 + 14 - 47 - 12 =

Exemple d’une activité élève et analyse des procédures.

438

53

• Faire 20 (ou plus…)

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Le jeu consiste à associer des côtés de deux carrés de façon à ce que la somme des deux nombres soit égale à 20.

Ce jeu peut être proposé de sous deux formes :· Seul, essayer de construire la figure la plus complète possible.· A plusieurs, utiliser le jeu comme des dominos.Pour plus de renseignements, voir le guide pédagogique de « Diagonale CE 1», p.61.

• L'un des 50 jetons portant les numéros de 1 à 50 esttiré au sort.

• Le premier qui trouve dans la grille un trio correspondant aunombre tiré gagne le jeton. Le nombre cherché doit être obtenu en multipliant deux nombres parmi trois pions alignés et en ajoutant ousoustrayant le troisième.

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Nombre affiché: 25

Le trio.

1) Le joueur A choisit mentalement un nombre compris entre 1 et 100.2) Le joueur B lui présente ensuite les "cartes magiques« .3) Le joueur A indique à B quelles sont les cartes sur lesquelles le nombre apparaît.4) A additionne les nombres placés en haut à gauche des cartes correspondantes et trouve le nombre-mystère..

• Les cartes magiques.

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• Computix

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COMPUTIX

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D’autres situations : 

• Le 15 Vainc. (spécial remplaçants…)

• Furet

• Jeu suisse

• Lobo 77

Les TICE au service du Calcul Mental

– calcul@tice plus ludique, tous cycles

– Gomaths

– Primaths

– Mathador très relevé mais existe en jeu  

(Kid : maternelle, junior : cycle 2, standard 

: cycle 3)

60

DES QUESTIONS ? DES DEMANDES SUPPLEMENTAIRES ?

Site du GDMS

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Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000 ; calculer : addition, soustraction, multiplication ; diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient

exact est entier) ; restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des

multiplications simples ; situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son

déplacement ; reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un

triangle rectangle ; utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure ; être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs ; résoudre des problèmes très simples ; observer et décrire pour mener des investigations ; appliquer des règles élémentaires de sécurité pour prévenir les risques d’accidents

domestiques.

SOCLE COMMUN : palier 1

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SOCLE COMMUN : palier 2

- écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu'au centième) et quelques fractions simples ;- restituer les « tables d'addition » et de multiplication de 2 à 9 ;- utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) ;- calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ;- estimer l'ordre de grandeur d'un résultat ;- utiliser une calculatrice ;- reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels.- utiliser la règle, l'équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision ;- utiliser les unités de mesure usuelles ; utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions ;- résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, "règle de trois", figures géométriques, schémas ;- savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance d'un résultat ;- lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques.

Animation mathématiques GDMS - Mions - Pierre Luciani 63

Animation mathématiques GDMS - Mions - Pierre Luciani 64