enseigner la géométrie en maternelle : est-ce...

Enseignerlagéométrieenmaternelle:est-cepossible?

Conférencepédagogique–Bayonne,15février2017

valen<[email protected]

Valen<naCELI–ESPEd’Aquitaine,Lab-E3D,UniversitédeBordeaux

Ladeadellageometria(L.Saffaro)

LESORIGINESDELAGÉOMÉTRIE

Unedesbrancheslesplusanciennesdesmathéma<ques•  Desexigencespragma<quesdesBabyloniensetdesÉgyp<ens…

–  Lespremièresno<onsdegéométriesontliéesàdesbesoinsdelasociété,auxexigencesdelaviepra<que(problèmesd’arpentage,d’architecture…)

•  …versl’exigencedémonstra<vedesGrecs–  Lagéométriedevientunescienceabstraiteetdéduc<ve,coupéedesesoriginesspa<ales

–  Elleacquiertuncaractèrephilosophiques’inscrivantdansunerecherchegénéraledel’explica<ondumonde

–  Ellesecons<tuecommemodélisa<ondel’espacesensible

CONNAISSANCESSPATIALESETGÉOMÉTRIQUES

Àpar<rdelafindesannées1970,dansl’enseignementdelagéométrie,oniden<fiedeuxchampsdeconnaissances•  ConnaissancesspaEales•  Connaissancesgéométriques

BerthelotR.,SalinM.-H.(1993),L’enseignementdelagéométrieàl’écoleprimaire,GrandN,n°53,IREMdeGrenobleBerthelotR.,SalinM.-H.(1999),L’enseignementdel’espaceàl’écoleprimaire,GrandN,n°65,IREMdeGrenoble

•  ConnaissancesspaEales–  Ellespermeaentdecontrôlerlesrapportsàl’espaceenvironnant,deserepérer,desediriger,demémoriser;decommuniquerdesinforma<onsliéesàuneposi<on,àundéplacementouàlaconstruc<ond’unobjet

–  L’enfantdisposedeconnaissancesspa<alesavantmêmequel’onseproposedeluiapprendredesconnaissancesgéométriques

–  Ellesdoiventêtredéveloppéesetentraînéescarnécessairesdanslavied’adulte

–  Lesespacesévoquésoureprésentéssanslienavecl’espaceréelnesuffisentpaspourconstruireefficacementcesconnaissances

–  Ellesrelèventaussid’autreschampsdisciplinaires:EPS,géographie,artsvisuels,technologie

•  Connaissancesgéométriques–  Ellesdoiventêtreenseignéespourexister–  Ellessedéveloppentautourdesixgrandstypesd’ac<vités:reconnaître,décrire,reproduire,vérifier,représenter,construire

–  Ellesseréfèrentàunsavoirmathéma<queetpermeaentderésoudredesproblèmesdel’espacephysiqueougraphique§  Lesproblèmesdegéométrieportentsurdesobjetsetdesrela<ons;leurfinalitéconcernel’espaceconceptualisé

o Lesdessinsquel’ontracenesontquedesreprésentantsdesobjetssurlesquelsonraisonne

Unexempleoù…

LECARRÉ•  Quellequesoitlaposi<onetsonorienta<ondanslafeuille,uncarréesttoujoursuncarré–  Cesontdespropriétésquiportentsurlescôtésetlesanglesquipermeaentdedécidersiunquadrilatèreestuncarréetnonpassaposi<onetorienta<ondanslafeuille

…lesconnaissancesspa<alesetgéométriquess’ar<culent

(CapMathGS,Ha<er2015)

Pourquoiapprendrelagéométrie?

«Lesmathéma<quessou<ennentleprogrèstechnologiqueetfournissentdesprécieuxou<lsd’aideàlaréflexionetàladécision»(VillaniC.,2017)


«Développerlesconnaissancesgéométriquesetspa<alesestunobjec<fimportantdel’enseignementdesmathéma<quesàl’écoleetce,dèsleplusjeuneâge,parcequ’ellessontreconnuescommeessen<ellesàl’Hommepourbieninteragiravecsonenvironnement(lecomprendreetletransformer)»(GentazÉ.etalii,2008;2009)


•  Lavisiondansl’espace•  Appren<ssageduraisonnement•  Lesaspectsculturelsetesthé<quesdelagéométrie

•  Lagéométriedanslaviecourante•  Lagéométriedanslavieprofessionnelle•  Lagéométriedanslesmathéma<quesetdansd’autresdisciplinesscien<fiques

CREM(2002),Enseignementdessciencesmathéma5ques:rapportauMinistredel’Éduca5onNa5onale,(sousladirec<ondeJ.-P.Kahane),OdileJacob,CNDP,Paris


Quellesconnaissancesgéométriquespeut-on

enseignerenmaternelle?

Quellesconnaissancesgéométriquesunélèvede

maternellepeut-ilapprendre?

LAPAROLEÀQUELQUESSPÉCIALISTES

MariaMontessoriPsychogéométrie(1934)

Lapériode«pré-élémentaire»(4-6ans)Périodedelaviedel’enfantdurantlaquellelesexpériencesensoriellesetmotricessontsensibles

«Nousnenouspréoccuponsnid’analysesnidedéfini5onsmaisdumondeextérieurquiseconcré5seautraversdessensa5onsetd’uneac5vitémotricecon5nuequis’exercesurlesobjetsenvironnants»(p.20)

MariaMontessoriPsychogéométrie(1934)

Lapériode«pré-élémentaire»(4-6ans)Périodedelaviedel’enfantdurantlaquellelesexpériencesensoriellesetmotricessontsensibles

«[…]lesenfantsentrequatreetcinqansacquièrent,parexpérience,l’intui5ondescaractéris5quesanaly5quesdesfigures,côtés,angles,etc.»(p.26)

JeanPiagetetBärbelInhelderLareprésenta<ondel’espacechezl’enfant(1947)

Lareprésenta<ondel’espaceseconstruitenpassantpartroisstades:•  L’espacetopologique

– Nilesformes,nilesdistances,nilesdroitesetlesanglesnesontconservés

–  L’enfantn’estsensiblequ’àcertainesrela<onsinternesàlafigure:ouvert/fermé,intérieur/extérieur,rela<onsdevoisinage,…

–  L’enfantnedis<nguepasaisémentlesfigurescurvilignesdesfiguresrec<lignes

•  Lesespacesprojec<feteuclidien

Chercherdesrectangles

(DanslaclassedeMyriamSemmarty,Pau)

DiekeetPierreVanHieleLescinqniveauxdansledéveloppementdelapenséegéométrique(1957)

•  Niveau1:iden<fica<on,visualisa<on•  Niveau2:analyse•  Niveau3:déduc<oninformelle•  Niveau4:déduc<onformelle•  Niveau5:rigueur


•  Niveau1:iden<fica<on,visualisa<on–  L’élèvereconnaîtlesfiguresàleuraspectglobal–  Lavalida<onsefaitpercep<vement–  Confusionentrecarréetlosange–  Lesfiguresseclassentdefaçonexclusivelesunesparrapportauxautres

•  Niveau2:analyse•  Niveau3:déduc<oninformelle•  Niveau4:déduc<onformelle•  Niveau5:rigueur


•  Niveau1:iden<fica<on,visualisa<on•  Niveau2:analyse

–  L’élèveconnaîtlalistedespropriétésdesfigures–  Les«défini<ons»sontredondantes

•  Niveau3:déduc<oninformelle•  Niveau4:déduc<onformelle•  Niveau5:rigueur

NicolasRoucheLestroisétapesdelaconceptualisa<on(1999)

Lesconceptssontsuscep<blesd’êtreacquisjusqu’àdesniveauxdiversdesophis<ca<on•  Lespréconcepts

– Ac<onetintelligencedessitua5ons•  Lesobjetsmentaux

–  Intelligencediscursivequidécrit,explique,analyse•  Lesconceptsformels

RaymondDuvalAppréhensiondefiguresgéométriques(1994)

Ilyaunfosséentrel’appréhensionpercep<vespontanéed’unefigureetlamanièremathéma<quedelaregarder:commentfranchircefossé?Commentpeut-onappréhenderunefiguredansunedémarchegéométrique?•  Appréhensionpercep<ve•  Appréhensiondiscursive•  Appréhensionséquen<elle•  Appréhensionopératoire

•  AppréhensionpercepEve–  Iden<fica<on,reconnaissanceimmédiated’uneformeetdesespropriétésvisuelles

– Onprivilégielaformeglobaledelafigure

(Duval,1994)

Commentappréhenderunefigure?

•  AppréhensionséquenEelle– Ordredesétapesdanslaréalisa<ond’unefigurequidépenddesespropriétésetdescontraintestechniquesdesinstrumentsu<lisés→modèle

•  Onmodifielaconnaissancequel’onadel’objetreprésenté

(Duval,1994)


•  Appréhensionopératoire– Appréhensiond’unefiguredonnéeensesdifférentesmodifica5onspossibles

• modifica<onsméréologiques(partaged’unefigureenpar<espourlesrecombinerenuneautrefigure)• modifica<onsop5ques(agrandissement,réduc<on,déforma<on)• modifica<onsposi5onnelles(déplacementdansleplan)• déconstruc5ondimensionnelle(vision«surface»è vision«contourdesurface»èvision«réseaudelignesetdepoints»)

(Duval,1994;DuvaletGodin,2005)


ÉdouardGentazLamodalitéhap5quemanuelleenmaternelle(2009)

•  Lareconnaissanced’unefiguregéométriquedépenddelaquan<tédepropriétésnécessairesàtraiterpourl’iden<fier–  Lareconnaissancevisuelled’unefigureestdéterminéeenpar<eparleurnombred’axesdesymétrie

–  Lareconnaissancevisuelleestaussidéterminéeparl’orienta<ondesaxesdesymétrieparrapportaucorpsdusujet

•  Outrelamodalitévisuelle,lamodalitéhap5quemanuelleaideàmieuxappréhenderlespropriétésessen<ellesdechaquecatégoriedefiguresdebase–  Traitementanaly<quedelafigure– Meilleurediscrimina<ondesformesetdesorienta<ons

DESOBJECTIFSD’APPRENTISSAGEDelape<tesec<onàlagrandesec<on

AiguiserleregarddanslaperspecEved’uneconceptualisaEondesobjetsdelagéométrie

•  Reconnaîtredesformes:isolément,dansdiversesposi<onsetorienta<ons,dansunlot,dansunassemblage

•  Désignerdesformes;nommercertainesformes•  Passerprogressivementd’unereconnaissanceglobaleàunedescrip<ondubord(droit,arrondi,avecsommetsoulisse;…)

•  Décriredesformesenlescomparant•  Reproduiredesformesavecgabarits,pochoirs•  Reproduiredesassemblagesdeformes(iden<fierdesrela<onsentrelesdifférentesformesquilescomposent)

PS MS GS

Percevoirl’invarianced’uneformeparrapportaudéplacementqu’ellepeutsubirComprendrequelquesmotsduvocabulairespécifique

Percevoirl’invarianced’uneformeparrapportàl’orienta<onetàlatailleSavoirdésignerdesformessimplesAssocieruneformeàunedesesreprésenta<onsReproduiredesformes

ReconnaîtredesformessimplesdansdesassemblagescomplexesNommerdesformessimplesDécrireenénonçantquelquespropriétésgéométriquesdesformes(borddroitouarrondi;pointu… )ReprésenterdesformesReproduiredesassemblagesdeformes

UNLOTDEFORMESPOUR…Desexemplesd’ac<vitésgéométriques

•  Reconnaîtredesformes:isolément,dansdiversesposi<onsetorienta<ons,dansunlot

•  Désignerdesformes;nommercertainesformes

•  Passerprogressivementd’unereconnaissanceglobaleàunedescrip<ondubord(droit,arrondi,avecsommetsoulisse;…)

COMPARER ET TRIER DES FORMES

Reconnaissance visuo-haptique


Domino des formes

Reconnaissance visuelle Montre-moi

untriangle

Comments’appellece\eforme?

Montre-moiuneformequin’estpaspareilleàcelle-ci


(DanslaclassedeMyriamSem

marty,Pau)

Pourtraverserlarivière,onvamarchersurdescaillouxenformedecarré(derectangle,detriangle,delosange)…oubiensurdesformeschoisiesaufuretàmesureparl’enseignant(e)

Leparcours

desformes

hap://psicogeo

m.jimdo

.com

/

Leparcoursdesformes

Pourallerrendrevisiteàl’escargot,lagrenouilledoittraverserlarivière.Pourcela,ellenepeutsauterquesurdescaillouxenformede…Colorielescaillouxsurlesquelsellepourrasauter

hap://psicogeo

m.jimdo

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Reconnaissances visuelle et haptique

Cherchel’intrus

Reconnaissance haptique Sorsun

rectangle

Choisisuneformeetnomme-la

avantdelasorEr

Sorsuneformecommecelle-ci(ouquin’estpaspareilleàcelle-ci)

Reconnaissance haptique

Reconnaissance haptique (DanslaclassedeMyriamSemmarty,Pau)

Chercher une forme identique à une forme donnée

§  Lemodèleestaccessibleounon

§  Àlamêmeéchelleounon

§  Posi<ondumodèleparrapportàl’élève(affichéaumur/posésurunetable)

§  Lesformesnécessairessontàchoisirdansunlotplusoumoinsimportantdeformes

§  Lesformesenjeuappar<ennentàunemêmecatégorieounon

§  Laposi<ondumodèleparrapportauxformescons<tuantlelot;laposi<ondesformesdulot

§  Formesdelamêmecouleurounon

Reproduire une collection de formes identique à une

collection donnée

§  Lacollec<ondonnéeestcons<tuéedeformesaccessiblesounon

§  Lacollec<ondonnéeestcons<tuéedeformesmanipulablesoudessinées(contour),demêmecouleurounon

§  Àlamêmeéchelleounon§  Posi<ondelacollec<ondonnée

parrapportàl’élève(éloigné/proche;affichéaumur/posésurunetable)

§  Lesformesnécessairessontàchoisirdansunlotplusoumoinsimportantdeformes

§  Lesformesenjeuappar<ennentàunemêmecatégorieounon

LESENCASTREMENTSETLESSUPERPOSITIONS

•  Reconnaîtredesformesdansdiversesposi<onsetorienta<ons


Jeux d’encastrement

1 2

3hap://psicogeo

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Jeux d’encastrement


Oùsontlescarrés?Formessuperposables

•  Legabaritd’uncarré– Moyenderéussiteoudevalida<on

•  Unlotdequadrilatères(tracéducontour):– Carréssuperposablesaugabarit,dansdifférentesposi<ons

– Rectanglespresquecarrés,dansdifférentesposi<ons

– Losangespresquecarrés,dansdifférentesposi<ons

Formessuperposables


COMPOSERETDÉCOMPOSERAssemblagesdeformesparjuxtaposi<onouparsuperposi<on

•  Reconnaîtredesformes:isolément,dansdiversesposi<onsetorienta<ons,dansunassemblage


•  Reproduiredesassemblagesdeformes(iden<fierdesrela<onsentrelesdifférentesformesquilescomposent)

Puzzles géométriques

Puzzles et encastrements

Descomposi<onslibres


Assemblages de formes

•  Reproduiredesassemblagesdeformes–  Modèleproche,éloigné–  Àlamêmeéchelleounon–  Lespiècespour

reproduiresontdonnéesouàchoisir

–  Naturedumodèle:incidencedecôtés,desommets,alignements

–  …

hap://psicogeo

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TANGRAM

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Quelleformepeux-turéaliseraveccesdeuxtriangles?

Peux-turéaliseruncarréaveccesdeuxtriangles?

Peux-turéaliserunrectangleaveccesdeuxtriangles?

SUPERPOSITION (chevauchement)

AVECGABARITS,POCHOIRSETAUTREPOURDESSINER,REPRÉSENTER,REPRODUIRE…

•  Reconnaîtredesformes:isolément,dansdiversesposi<onsetorienta<ons,dansunlot,dansunassemblage


•  Reproduiredesformesavecgabarits,pochoirs,…•  Reproduiredesassemblagesdeformes(iden<fierdesrela<onsentrelesdifférentesformesquilescomposent)

Àpar<rd’untableaudePaulKlee

«VoiciuntableaudupeintrePaulKlee.Quereprésente-t-ild’aprèsvous?»

(LeGénéralenChefdesBarbares,1977)

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P : C’est un bonhomme avec la tête carrée, il se promène L : On dirait un bonhomme qui va à la pêche, il a aussi des cannes à pêche T : C’est celui qui a fait le tableau A : Il joue au golf F : Il ressemble à un robot M : Pourquoi ? En quoi ressemble-t-il à un robot ? A : Car il a la tête carrée et son chapeau est carré aussi N : Il a les mains carrées aussi, deux carrés plus petits F : Non, le chapeau est un triangle L : Comme un toit N : Il a le ventre carré

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Avecdesgabarits

Avecdespochoirs

Grelier(2009)

Avecdespochoirs


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Maisaussiavecdespailles,desbarres…

QUELSMOTSPOURLEDIRE?

•  «Ladéfini5ondoitêtrepostérieureàlaconnaissanceetnonl’inverse»(Montessori,1934,p.28)

•  SelonVanHiele(1957),ilfautaaeindreleniveau4pourqu’unindividuapprenneàreconnaîtrelecaractère«minimaliste»d’unedéfini<ongéométrique

•  Rouche(1999)ditque,quelqu’unquiestaustadedespréconcepts,«n’estguèrecapabled’enparler[durectangle],d’expliquercertainsdesescaractères»;austadedesobjetsmentaux,«lacapacitédeparlerd’unrectangle…impliquelamaîtrised’unlangageapproprié,pasnécessairementlelangagemathéma5que»

•  Danslestextesofficielsdesprogrammesscolairesdel’écoleprimaire– onparlede«descrip5on»etnonpasde«défini5on»

•  Notamment,àl’écolematernelle(MEN,2015):– «L’enseignant(e)u<liseunvocabulaireprécisquelesenfantssontentraînésainsiàcomprendred’abordpuisàu<liser,àbonescient,maislamanipula<onduvocabulairemathéma<quen’estpasunobjec<fdel’écolematernelle»

Lesmotspour…

•  …décrirelesobjets:–  lesnomsdesfiguresmaisaussi– bord,droit,arrondi,sommet,côtéetencore– plus(moins)pe<t(grand)que,pareil,égal,plus(moins)hautque,plus(moins)longque,…

Lesmotspour…•  …décrirelesobjets:

–  desmotsspécifiques•  Rectangle,triangle,carré,losange,…

–  desmotscourantsquiontunusagespécifiqueenmathéma<ques(etquinecoïncidepascomplétementavecl’usagecourant)

•  Sommet,côté,…–  desmotscourantsquiontunsensprochedeceluidesmathéma<ques

•  Carré,arrondi,courbe,courbé,angle,bord,…•  …décrirelesac<onssurlesobjets

–  Superposer,glisser,tourner,retourner,plier,comparer,mearecôteàcôte,mearebordàbord,…

ILÉTAITUNEFOISLE«ROND»

DisqueOUcercle?!

•  Danslesprogrammesantérieurs,enmaternelle,onparlaitde«rond»:«savoirdessinerunrond».

•  Lesprogrammesenvigueurdepuislarentrée2015parlentde«cercleOUdisque(àpréférerà«rond»)»

•  Sion«impose»deneplusuEliserlemot«rond»,…

LEDISQUE… …LECERCLEET

…ilfaudraalorsuElisercorrectementchacundesdeuxtermes!

ENGUISEDECONCLUSION

•  Danslaperspec<ved’uneconceptualisa<ondesobjetsdelagéométrie– envisagerunegrandevariétédeformesetd’assemblagesdeformes

– aiderlesélèvesàaiguiserleurregardsurlesformes

–  introduireprogressivementunvocabulaireapproprié,mêmes’iln’estpasencoremathéma<que

– proposerdesac<vitésoùmodalitésvisuelleethap<ques’ar<culentous’alternent

MerciàMyriamSemmartyetsesélèves:leséchangesetlesvisitesdansleurécoleenrichissentmesconnaissances

BIBLIOGRAPHIE

Be�nelliB.(1993),Lamoissondesformes,AléasCharnayR.(2015),CapMathsGS,Ha<erCoutat,S.&Vendeira,C.(2015).Despointes,despicsetdesarrondisen1P-2P,Math-École,n.223DuvalR.(1994),Lesdifférentsfonc<onnementsd’unefiguredansunedémarchegéométrique,Repères-IREM,n.17DuvalR.,GodinM.(2005),Leschangementsderegardnécessairessurlesfigures,GrandNn°76,IREMdeGrenobleGentazÉ.(2009),Lamain,lecerveau,letoucher,DunodGrelierJ.-F.(2009),DevenirÉlèveParLesAppren5ssagesGéométriquesAuCycle1,Scéren,CRDPMidi-PyrénéesMEN(2005),Verslesmathéma<ques.Queltravailenmaternelle?,Documentd’accompagnementdesprogrammes,Mathéma5ques,Écoleprimaire,Scéren,CNDPMontessori,M.(2005),Psychogéométrie,AMIDescléedeBrouwerPiagetJ.,InhelderB.(1947),Lareprésenta<ondumondechezl’enfant,PUFPerrin-GlorianM.-J.(2015),Joueravecdesformesenmaternelle:premierspasverslagéométrie<hal-01296515>RoucheN.(1999),Formesetmouvements.Perspec5vespourl’enseignementdelagéométrie,CREMVanHieleP.M.(1959).Lapenséedel’enfantetlagéométrie,Bulle5ndel’APMEP,n.198

enseigner la géométrie en maternelle : est-ce...

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