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Fiches dexercices dintroduction la Transmission Numrique

Grenoble INP, Mars 2015 (dernire mise jour)

L. Ros

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Fiche n1 : Numrisation, Codes en ligne lmission Exercice I : Numrisation Un signal analogique x(t) (suppos alatoire stationnaire et centr) de largeur de bande fmax 10 kHz est numris (sans crtage) par un C.A.N. de caractristiques : Fe = 25 kHz, quantification uniforme sur m= 10 bits, plage damplitude [-A ; +A], avec A = 2V. On obtient les chantillons yk = y(k/Fe), k Z : kkk bxy . On suppose que la puissance moyenne du signal x est de 1V2, et que le bruit de quantification peut tre modlis par des chantillons bk indpendants et de mme loi uniforme.

1) Quel est le dbit binaire obtenu aprs numrisation ?

2) Quelle est la variance du bruit de quantification b2 en fonction du nombre de bits m et de lamplitude A ? En ddire le Rapport Signal Bruit d la quantification (RSB_q). N.B : on rappelle que pour un signal centr stationnaire la puissance moyenne concide avec la variance des chantillons.

3) Quelle hypothse permet de supposer que la puissance du bruit de quantification b2 est uniformment rpartie en frquence (sur la plage f [-Fe/2 ; Fe/2[. On rappelle que tout signal chantillonn la frquence Fe a une reprsentation spectrale priodique de priode Fe) ? En dduire lexpression de la Densit Spectrale de Puissance (DSP) bilatrale des chantillons de bruit de quantification b(f) ?

Annexe : En choisissant m= 9 bits (au lieu de 10 bits) et Fe = 4 Fe = 100kHz, est-il possible dobtenir une qualit de Rapport Signal Bruit de quantification quivalente aprs traitement numrique des chantillons {yk} ? Expliquer. Pour cela on pourra utiliser une reprsentation frquentielle du signal et du bruit sur la plage f [-Fe/2 ; Fe/2[ (en supposant une DSP de xk constante sur [-fmax ; fmax] pour faciliter linterprtation).

Exercice II : Code en ligne avec un dictionnaire de signaux orthogonaux (Modulation en B.B. orthogonale) On a :

ksk kTtxtx )()( o xk(t) {x(1)(t), , x(M)(t) }, avec < x(m) ; x(n)> = 0 ; m n ,

o

dttxtxxx nmnm )()( ; * )()(def

)()(

1) La modulation numrique PPM (pulse position modulation) est elle orthogonale ?

Rappel cours : )).1((.)( [ ;0[)( mtAtx m , m {1, , M}, avec MTs

2) Pour M = 2, 4, 8, prciser le mapping bits/symbole, reprsenter le signal x(t) pour la suite de bits: 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ( partir de t=0), ainsi que la rapidit de modulation, pour un Dbit binaire = 1 Mbit/sec

3) On supposera de plus les bits iid (indpendants et identiquement distribus => p0 = p1 = ).

a. Pour A fix, calculer en fonction de M lnergie moyenne par symbole, lnergie moyenne par bit Eb, la puissance mise, ainsi que la distance minimale dmin entre les M signaux.

N.B. : dttxtxd nmnm

2)()(2min )()(min

3

b. En dduire pour une puissance mise et un dbit binaire fix (donc Eb fixe), comment varie la distance entre les signaux en fonction de la taille M de la modulation. Conclusion?

c. Vrifier (mmes conditions) la variation de avec M. Conclure sur les points forts /faibles de la modulation orthogonale (scnarios Puissance limite ? Bande limite ?). N.B. : On admettra que la partie continue de la DSP de cette modulation M-PPM est

multiple de : 2

)1( )( fX , o X(1) (f) = T.F. {x(1) (t)}.

Exercice III : Code en ligne Linaire sans mmoire Par dfaut on veut transmettre un signal binaire de Dbit 1 Mbit/sec (suite de bits indpendants de probabilits p0 et 1- p0), laide dune modulation PAM :

(

k

seks kTthaTtx )()( ).

1) Une modulation PAM peut-elle tre une modulation orthogonale (Cf exercice II)? 2) Pour un code NRZ unipolaire (amplitude A = 3V) binaire, en supposant p0 =3/4 et p1=1/4,

Calculer lnergie par bit et la puissance moyenne du signal x (prciser le mapping ).

3) Mme question pour un code RZ unipolaire quaternaire, (ak Amod = {0 ; +A ; 2A ; 3A }) .

4) On suppose un code polaire M-aire (NRZ) tel que ak Amod = {A ; 3A ; 5A ; (M-1)A }, et dsormais les bits tels que p0 = p1 = .

a. Pour M = 2, 4, 8, prciser le mapping bits/symbole, reprsenter le signal x(t) pour la suite de bits: 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ( partir de t=0), ainsi que la rapidit de modulation.

b. Pour A fix, calculer en fonction de M lnergie moyenne par symbole, lnergie moyenne par bit Eb, la puissance mise, ainsi que la distance minimale dmin entre les M signaux.

N.B. : dttxtxd nmji

2)()(2min )()(min et

n

k

nnnk1

2

6)12)(1(

c. En dduire pour une puissance mise et un dbit binaire fix (donc Eb fixe), comment varie la distance entre les signaux en fonction de la taille M de cette modulation. Conclusion. Diffrence de proprits par rapport la modulation orthogonale ?

5) Pour quelques uns des scnarios de codes qui ont t envisags, calculer et tracer la DSP. Prciser

la rpartition de la puissance du signal dans le spectre continu et dans le spectre de raies ? Complments pour aller plus loin Exercice IV : Densit spectrale de codes avec mmoire. Pour le code binaire diffrentiel NRZ-M puis pour un code bi-polaire RZ bipolaire , avec des bits iid.

1) Rappeler les rgles de codage et le modle du signal 2) reprsenter le signal en bande de base x (t) pour la suite de bits transmettre : 0 1 1

0 0 1 1 0 1 0 1 1 . N.B. : on suppose un tat initial du symbole a = +A.

3) Exprimer et tracer la fonction de corrlation des symboles ak, puis leur densit spectrale. 4) En dduire lexpression et la forme de la DSP du signal analogique x(t) en sortie du codeur en

ligne.

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Fiche n2 : Filtre de rception adapt, corrlation. Pour une Modulation linaire en B.B. avec bande non-limite

Emission : signal mis :

0

).( . )(k

seks TkthaTtx (1)

o : Ds=1/Ts est le dbit symbole, he() est limpulsion de mise en forme, { ka , kZ } sont les symboles transmettre aux instants k.Ts ,quiprobables, indpendants, de variance a2. La modulation peut tre ici 2-PAM , ou 4-PAM , avec des symboles polaires . canal : signal lentre du rcepteur est: n(t)xtr (t) )( , o n(t) est un Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG) centr de dsp (bilatrale) N0 /2, (avec N0 = 4.10-21 W/Hz, soit 174 dBm/Hz). Rception : variable de dcision y[k] obtenue par filtrage (R.I. hr() paramtrable) et chantillonnage aux instants t0 + kTs, o t0 est paramtrable. Les dcisions { ][ ka } sont prises par seuillage .

Pour ce TD, on considre 4 cas dimpulsions de mise en forme possibles, toutes de dure infrieure ou gale Ts (on est donc dans le cas dune transmission Bande non limite) :

0 Ts/2 Ts

Ts .he1 ()

1

0 Ts/2 Ts

Ts .he2 ()

a

0

Ts .he4 ()+b

0 Ts/2 Ts

Ts .he3 ()

aTs

-b

1) Energie par bit : Avec le 1 filtre de mise en forme, exprimer lnergie moyenne par bit Eb du signal utile modul

lentre du rcepteur en fonction de a2 et du dbit binaire, Db (en bit/sec). Dterminer les valeurs de a et b pour que Eb soit identique avec les diffrents filtres he . 2) Pour des choix quelconques de hr() et de t0 , lchantillon ][ky peut se dcomposer en

k[k]k k b IES a y . o kb est li au bruit additif n(t). Prciser lexpression du coefficient , en fonction de p() = (he * hr)() et de t0 ? On appelle RSBy le Rapport Signal Bruit de la variable de dcision, y[k] . Sans IES, le RSBy est un indicateur (pour 1 mod. donne) sur la qualit des dcisions. 3) filtre de rception adapt : afin de maximiser le RSBy , on choisit hr() = he(- + t0), filtre adapt he(), dcal de t0 (dlai dchantillonnage) pour que le filtre hr soit causal. Prciser pour chacun (ou quelques-uns) des 4 cas dimpulsion he : le dlai minimum t0min (adopt pour la suite du TD) pour que le filtre hr() soit causal? lallure de hr(), la valeur de , les allures de p() = (he * hr)(), du signal y(t) pour les symboles

{+A ; -A ; +A ; +A ; -A, } aux instants k = 0,1,2,3,4, . Annexe : prciser si les filtres he() et p() sont des filtres phase linaire ?

4) La variable de dcision est-elle affecte d Interfrence Entre Symbole (IES)?

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Dans la suite du TD, on suppose une modulation 2-PAM (symboles polaires) 5) Rappeler en 2-PAM, la probabilit derreur par bit (sans IES) en fonction de RSBy ?

Donner lexpression de RSBy en fonction du rapport Eb/N0 (annexe : en 4-PAM)?

Evaluer la puissance minimale Px mettre en 2-PAM pour acheminer un dbit binaire de Db = 34 Mbit/s garantissant Pe 10-4 . Px dpend-elle de la forme donde choisie he ?

Annexe : fonction Q(.) : 21( ) exp

22 x

uQ x du

21( ) .exp 422xQ x pour x

x

X Q(x) X Q(x) X Q(x) X Q(x) 0,00 0,5000 1,00 0,1587 2,00 0,0228 3,00 0,00135 0,05 0,4801 1,05 0,1469 2,05 0,0202 3,05 0,00114 0,10 0,4602 1,10 0,1357 2,10 0,0179 3,10 0,00097 0,15 0,4404 1,15 0,1251 2,15 0,0158 3,15 0,00082 0,20 0,4207 1,20 0,1151 2,20 0,0139 3,20 0,00069 0,25 0,4013 1,25 0,1056 2,25 0,0122 3,25 0,00058 0,30 0,3821 1,30 0,0968 2,30 0,0107 3,30 0,00048 0,35 0,3632 1,35 0,0885 2,35 0,0094 3,35 0,00040 0,40 0,3446 1,40 0,0808 2,40 0,0082 3,40 0,00034 0,45 0,3264 1,45 0,0735 2,45 0,0071 3,45 0,00028 0,50 0,3085 1,50 0,0668 2,50 0,0062 3,50 0,00023 0,55 0,2912 1,55 0,0606 2,55 0,0054 3,55 0,00019 0,60 0,2743 1,60 0,0548 2,60 0,0047 3,60 0,00016 0,65 0,2578 1,65 0,0495 2,65 0,0040 3,65 0,00013 0,70 0,2420 1,70 0,0446 2,70 0,0035 3,70 0,00011 0,75 0,2266 1,75 0,0401 2,75 0,0030 3,75 0,00009 0,80 0,2169 1,80 0,0359 2,80 0,0026 3,80 0,00007 0,85 0,1977 1,85 0,0322 2,85 0,0022 3,85 0,00006 0,90 0,1841 1,90 0,0287 2,90 0,0019 3,90 0,00005 0,95 0,1711 1,95 0,0256 2,95 0,0016 3,95 0,00004

4,00 0,00003 4,25 10-5 4,75 10-6 5,20 10-7 5,60 10-8

Questions annexes / complments

6) Annexe : Aurait-on eu le mme rsultat quen 5) avec des symboles uni-polaires {0 ; +A} ?

7) Annexe : ralisation sous forme de corrlation : reformuler lexpression de ky (ou de ) pour faire apparatre une corrlation (en remplacement des oprations de filtre adapt et chantillonnage ) et finalement un produit scalaire entre une partie ( prciser) du signal r(t) et la fonction he . 8) Transmission multi-voie ou (multi-utilisateur) : on envoie simultanment un 2 signal (additif) construit selon (1), mais avec des symboles et une mise en forme diffrents pour cette 2 voie . Le rcepteur dune voie ( dsire ) ne tient pas compte de la 2 voie ( interfrente ). On suppose lutilisation des formes dondes 1 (dsire) et 2 (interfrente). Exprimer, ky en

fonction des symboles de la voie dsire et de ceux de la voie interfrente. Commentaires ? Indiquer les couples de formes dondes pour lesquels la cohabitation des 2 voies namne aucune

dgradation des performances (sur le RSBy et le TEB). Commentaires (dbit, Bande passante) ?

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Fiche n3 : Transmission Bande limite, Critre de Nyquist, Efficacit spectrale (modulations en Bande de Base).

Contexte gnral Modulation Num. linaire en B.B, avec rcepteur linaire : idem fiche n2 . Exercice 1 : Critre de Nyquist en frquence On considre la liaison numrique (modulation linaire en Bande de Base) ayant une rapidit de modulation R = 1 / Ts symb/sec, avec un filtre de mise en forme lmission de fonction de transfert He(f), et un filtre de rception (avant chantillonnage aux instants tm = t0 + mTs) de fonction de transfert Hr(f). On suppose que le filtre global Emission/Rception P(f) = He(f) Hr(f), est un filtre dphasage linaire P(f) = |P(f)| . exp{-j2ft0} . Pour chacun des 3 cas de module |P(f)| , prciser sils permettent une transmission sans IES la

rapidit R, et donner lexcs de bande (roll-off) ?

3 1.4 Ts

3 1.4 Ts

|P1(f)|

f f f

3 1.4 Ts

3 1.4 Ts

1 1.4 Ts

1 1.4 Ts

4

3

1

|P2(f)| |P3(f)|

1 1.2 Ts

1 1.2 Ts

1Ts

1Ts

3 1.2 Ts

3 1.2 Ts

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Exercice 2 : efficacit spectrale en M-PAM, comparaison aux limites de Shannon Dterminer lefficacit spectrale () en (bit/sec)/Hz des modulations M-PAM polaire (M=2, 4, 8,16)

en supposant lutilisation de la bande B minimale pour transmettre sans IES,

A partir des courbes de performances ci-dessous (avec filtres mission/rception optimaux et canal BBAG), dterminer le rapport Eb/N0 requis (ordre de grandeur) pour une probabilit derreur binaire Pe infrieure 10-4 (ou/et 10-6 ) en 2-PAM, 4,PAM, 8-PAM, 16-PAM ?

Annexe (A..N.) : Peut-on (prciser les paramtres alors) avec une modulation linaire M-PAM polaire transmettre (N0 = 4.10-21 W/Hz) un Dbit binaire de 100 Mbit/s avec Pe

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pour transmettre (avec Probabilit derreur arbitrairement faible) avec les mmes efficacits spectrales quen 1. ? N.B. : on supposera que la source binaire (Dbit Db) est sans redondance (obtenue aprs codage de source idal) et ainsi que Eb = P / Db reprsente lnergie par bit dinformation.

Questions subsidiaires :

Thoriquement, si on na pas de limite sur la puissance mise, existe-t-il des procds de transmission (fiable volont) defficacit spectrale aussi grande que voulue ?

Thoriquement, si on na pas de limite de bande-passante, existe-t-il des procds de transmission (fiable volont) travaillant rapport Eb/N0 aussi faible que voulu ? Donner la limite sinon. Annexe (information pratique): la technique de modulation (non linaire) utilisant un dictionnaire de M signaux orthogonaux (dbit dinfo lb(M) / Ts Sh/sec, prsente une P. derreur par symbole (avec rcepteur optimal) de : 202exp{ ( ).( / ln 2 ) }M bP lb M E N , pour ln(2) Eb/N0 4ln(2) .

Exercice annexe / Complments : Exercice 3 : Rpartition optimale du filtrage Emission / Rception On dsire acheminer un dbit binaire de 34 Mbit/s en modulation 2-PAM polaire, avec un rapport (Eb/N0) de 8,5 dB lentre du rcepteur, et sans IES, mais on suppose que la bande dont on dispose est limite (contrairement au cas des TD prcdents) B = 25,5 MHz (frquence positive maximale). On sintresse plusieurs scnario pour les fonctions de transfert des filtres dmission He(f) et de rception Hr(f), qui sont tous phase linaire (on suppose un retard dchantillonnage t0 >> Ts ) pour que les filtres soient ralisables avec une bonne approximation) :

Scnario 1 : |He(f)| = K1 .|Nyq(f)|; |Hr(f)| = Rect[-25,5MHz ; 25,5MHz](f) ; Scnario 2 : |He(f)| = K2 .|Rect[-25,5MHz ; 25,5MHz](f)| ; |Hr(f)| = |Nyq(f)| ; Scnario 3 : ( ) Nyq(f)He f ; ( ) Nyq(f)Hr f

O |Nyq(f)| est un filtre de Nyquist dexcs de bande ( roll-off ) 50% de forme |P2(f)|, et donc de support frquentiel [-25,5 MHz ; +25,5 MHz] (sans perte de gnralit, on a la normalisation

| ( ) | 1/ 34 Nyq f df Ts MHz

). K1, K2 , sont des constantes de normalisation.

NB : en pratique on aurait plutt |Nyq(f)| avec une forme en Cosinus surlev, mais on simplifie ici les calculs. 1) vrifier que la transmission sans IES est possible pour les diffrents scnarios (on raisonnera en frquence en supposant des dphasages de filtres rgls de manire adquate, mme si en pratique il y aura ncessairement une approximation d la troncature des R.I. des filtres). 2) Pour les 3 scnarios, comparer les valeurs du RSB (RSBy) sur la variable de dcision, pour un mme rapport Eb/N0 dentre (cest dire une mme puissance mise), ainsi que les probabilits derreur binaires RSByQPe obtenues (A.N. pour Eb/N0 de 8.5 dB, Cf table de Q(.) en TD2). N.B : on peut normaliser K1 et K2 pour une mme puissance mise que dans le scnario 3, mais non obligatoire. Conclure sur le bon scnario de filtrage ? La limitation de bande pnalise-t-elle la performance par

rapport la situation bande infinie (TDs prcdents) ?

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Fiche n4 : Modulation numrique sur frquence porteuse Etiquetage bits=> symboles , Modulation I/Q, efficacit

spectrale

On doit transmettre un dbit binaire de 1 M bit/sec, sur une frquence porteuse de 1GHz. On dispose dun quipement dmission (Cf synoptique) dont les diffrents blocs sont paramtrables. La mise en forme des symboles complexes [ ]ma est linaire, partir dimpulsions sur les voies en phase (I) et en quadrature (Q) paramtrables, mais de dure limite la dure symbole Ts.

tiquetage

bits =>symboles

MOD. I / Qsur frq. porteuse f0

x(t)

( Tb )

he(I) (t)

he(Q)(t)

Mise enforme

linaire( Ts )

bits

B

symb.xI (t)

xQ(t)

X

X

+

cos(2f0 t)

/2

O. L.

codagediffrentiel

(en option)

I

Q

D1

D2

Dn

n bits D // a signal B.B.

B1

B2

Bn

Srie //

( Ts )( Ts )

n bits B //

Exercice 1 : construction dun signal Modulation numrique linaire On suppose ici quil ny a pas de codage diffrentiel (bits D = bits de donnes B). De plus limpulsion de mise en forme est rectangulaire, identique sur les voies I et Q. On a ainsi, pour la voie I par exemple : xI (t) = Re{ [ ]ma } pour t [m.Ts ; (m+1).Ts], et m Z. Le composant dispose de nombreuses configurations pour l tiquetage bits/ symboles, dont :

D1 (ou D2)I (ou Q)

0 1

Config 0 0 V 0 VConfig 1 0 V 3 VConfig 2 -3V +3VConfig 3 +3V -3V

D1 Dn : bits ; {I + j.Q} : symbole

D1D2 (ou D3 D4 )I (ou Q)

00 01 11 10

Config 4 -3 V -1 V +1 V +3 VConfig 5 -2 V -1 V +1V +2 V

D1 D2 D3I Q

000 001 011 010 110 111 101 100

Config 6 I Q

+4,24V0 V

+3 V+3 V

+0 V+4,24V

-3 V+3V

- 4,24V0 V

-3 V- 3 V

0 V-4,24V

+3 V-3 V

Config 7 I Q

+3 V0 V

+1 V+1 V

0 V+3 V

-1 V-1 V

-3 V0 V

-1 V-1 V

0 V-3 V

+1 V-1 V

Pour chacune des modulations (dnomination anglaise) BPSK, QPSK, 8-PSK, 16-QAM : 1) donner une configuration possible pour obtenir les symboles des voies (I) et(Q), 2) reprsenter les signaux en bande de base xI (t) et xQ (t) pour la suite de bits transmettre : 0 1 1

0 0 1 1 0 1 0 1 1 , et prciser le dbit symbole, 3) rappeler le principe et les quations du Modulateur I /Q dlivrant le signal x(t) modul sur

frquence porteuse f0 partir des composantes en bande de base xI (t) et xQ (t). 4) Donner la forme de la DSP moyenne des composantes xI (t) et xQ (t) et du signal x(t), en supposant

que les bits transmettre sont indpendants, avec des tats quiprobables. 5) Donner la Puissance (impdance fictive 1) de x(t) en V2, ainsi que lnergie par bit Eb (V2.sec)

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Exercice 2 : efficacit spectrale des modulations, comparaison aux limites de Shannon 1) Dterminer lefficacit spectrale () en (bit/sec)/Hz des modulations M-PSK (M=2, 4, ..) et M-

QAM (M=16, ) en supposant lutilisation de la bande B minimale pour transmettre sans IES, 2) A partir des courbes de performances ci-dessous (donnes pour des filtres mission/ rception

optimaux et un canal BBAG), dterminer le rapport Eb/N0 requis (ordre de grandeur) pour avoir une probabilit derreur binaire Pe infrieure 10-5 en BPSK, QPSK, 8-PSK, 16QAM , ?

Annexe (A..N.) : Peut-on (prciser les paramtres alors) avec une modulation linaire M-PSK ou M-QAM transmettre (N0 = 4.10-21 W/Hz) un Dbit binaire de 100 Mbit/s avec Pe