En ELS (état limite de service), il est nécessaire de vérifier les déformations de la structure (cf Eurocode 0 > ELS).La particularité du bois (par rapport à l'acier) est la nécessité de prendre en compte le phénomène de fluage : la flèche est amplifiée par les charges de longue durée.Pour cette raison, on distingue plusieurs flèches :

 la flèche instantanée Winst provoquée par l'ensemble des charges au moment de leur application

 la flèche de fluage Wcreep qui se calcule à partir de la charge kdef (G + ψ2.Q)

 la flèche finale Wfin = Winst + Wcreep

 la contre-flèche Wc, dans le cas où les poutres sont délibérément fléchies en atelier (dans le sens contraire de

leur flexion en charge). Cette technique permet de limiter leur flexion en charge la flèche résultante finale Wnet,fin = Winst + Wcreep - Wc. Dans le cas où il n'y a pas de contre-flèche, on a

alors Wnet,fin = Wfin.  Le coefficient de fluage kdef est donné dans le tableau suivant :

 Le facteur statistique ψ2 est donné dans le tableau suivant :

  3 critères sont à respecter, portant sur la flèche finale, la flèche instantanée sous charges variables Q et l'éventuelle contre-flèche incluse dans Wfin. 

Bâtiments courants Bâtiments agricoles et similaires

Winst(Q) Wnet,fin Wfin Winst(Q) Wnet,fin Wfin

Chevrons - L/150 L/150 - L/150 L/150

Elements structuraux L/300 L/200 L/125 L/200 L/150 L/100

    Exemple avec des pannes soumises aux charges permanentes G (poids propres) et aux charges de neige S (avec altitude inférieure à 1000m). La flèche Winst(Q) se calcule uniquement avec les charges variables Q, donc ici les charges de neige S.La flèche Winst se calcule avec les charges totales G+S.La flèche Wcreep se calcule avec la charge de fluage 0.8x(G+0xS) = 0.8 G.Kdef = 0.8 correspond à un bois massif dans un local non chauffé. Quant au facteur ψ2, il est nul car les charges variables sont ici des charges de neige avec une altitude inférieure à 1000m.

En ELU (état limite ultime), il est nécessaire de vérifier les contraintes dans la structure (cf Eurocode 0 > ELU).En calcul acier, on distingue les contraintes de traction/compression, de flexion et de cisaillement (efforts tranchants + torsion). En calcul bois, en raison du caractère orthotrope du bois, on distingue davantage de types de contraintes, les résistances du bois étant variables : traction axiale, traction tranversale, compression axiale avec flambement, compression transversale, compression oblique, flexion simple, cisaillement, puis sollicitations composées (flexion+traction, flexion+compression, flexion déviée, flexion déviée+compression).  

Données pour déterminer les contraintes admissibles 

 

Valeur du coefficient kmod pour bois massif, lamellé-collé, lamibois et contreplaqué   (valeur sélectionnée en fonction de la charge la plus courte) Le coefficient γM est quant à lui fonction de la dispersion du matériau : γM = 1.3 pour le bois / 1.25 pour le lamellé collé / 1.2 pour le lamibois   

Contrainte admissible pour les différents types de sollicitation dans une poutre de sections hxb (h = plus grande dimension)

  

Traction axiale

Exemple : charpente abritée, non chauffée, altitude < 1000m, bois C24 section 122x36,

ft,0,d = 14 x 0.9 / 1.3 x (150/122)^0.2 = 10.10

D'où un taux de travail 2.28/10.10 = 23 %

Traction transversale

Sollicitation présente essentiellement dans les assemblages inclinés, les angles de portiques en bois LC et dans la partie basse des poutres courbes

Compression axiale avec flambement

m = coefficient de flambement = 2 pour encastré/libre, 1 pour rotulé/rotulé,0.7 pour encastré/rotulé et 0.5 pour encastré/encastréLe risque de flambement est considéré si λrel > 0.3.

Exemple : poteau de 3.2m, considéré rotulé aux extrémités, exposé aux intempéries, C18

avec section 150x100, compression de 20 000

I = 100^3x150/12 = 12 500 000mm4

racine(15000x18/12500000/6000)= 1.933 > 0.3 --> risque de flambage

k = 0.5 x (1+0.2x(1.933-0.3)+1.933²) = 2.53kc = 1 / (2.53 + racine(2.53²-1.933²)) = 0.24

Taux de travail : 20000 / A / (0.24x9.69) = 57 %

Compression transversale

Action perpendiculaire aux fibres --> appuis d'une poutre + certains assemblagesLa contrainte dépend de la surface de l'appui (d = longueur de l'appui de la pièce)

Le coefficient kc,90 permet de majorer la résistance (il est compris entre 1 et 4)

Exemple : solive section 200x75 bois C24, portée 4.5m, entraxe 0.5m, local chauffé,

charge maximale de 292.5 daN/m², longueur

σ = 2925x0.5x4.5/2/50/75 = 0.88 MPafc,90,d = 5.3 x 0.8 / 1.3 = 3.26 MPa

d'où taux de travail = 0.88 / (2.9x3.26) = 9%

Compression oblique

Pièce de bois recevant une action inclinée par rapport aux fibres (assemblages tels embrèvements), contrefiches, etc...

La contrainte de résistance en compression oblique est comprise entre la contrainte de compression axiale et la contrainte de compression transversale (formule de Hankinson) :

α est l'angle entre l'effort et le fil du bois

Exemple : poteau section 200x200, arêtier 150x450 en bois LC (GL28h), local chauffé, charge totale 43 500N, pente arêtier 19.3°,

longueur de l'appui de l'arêtier sur le poteau =

fc,90,d = 3 x 0.9/1.25 = 2.16 MPa et kc,90 = 1fc,0,d = 26.5 x 0.9 / 1.25 = 19 MPa

Flexion simple avec

déversement

lef = longueur efficace = L x klefAppuis simples : klef = 0.9 en charge répartie et 0.8 en charge concentrée

Porte à faux : klef = 0.5 en charge répartie et 0.8 en charge concentréeSi poutre chargée sur fibre comprimée : lef est augmentée de 2h

Si poutre chargée sur fibre tendue : lef est diminuée de 0.5hksys = coef d'effet système = 1 ou 1.1 (effet système lorsque plusieurs éléments porteurs de mêmes nature et

fonction sont sollicités par un même type de chargement répartie uniformément)

Exemple : solive en bois massif section 50x200 bois C24, de longueur 5m, comble non chauffé, moment maximal 3 825 N.m (charge en partie

σm,crit = 0.78 x 7400 x 50² / 200 /

λrel,m = racine(24/14.72) = 1.277 > 0.75 et <

kcrit = 1.56 - 0.75 x 1.277 = 0.602fmd = 24 x 0.9/1.3 x 1 x 1 = 16.62 MPa

3825000 / (200²x50/6) / (0.602 x 16.62) =

Cisaillement

Sollicitation rencontrée au droit des appuis dans les poutres en flexion :

kv = coefficient d’entaillage = 1 si entaille dans zone comprimée (généralement partie supérieure de la poutre) ou si la pente de l’entaille est inférieure à 10%

Exemple : solive bois massif section 75x225 bois C24, portée 5m, entraxe solive 0.5m, local

chauffé, avec charge totale 292.5 daN/m²

σcisaillement = (0.5x2925x5/2) / (225x75x2/3)

Taux de travail = 0.325 / 1.54 = 21%

    

Sollicitations combinées  

Flexion + traction

Le déversement n'est pas considéré dans ce cumul (kcrit = 1).

Exemple : pièce section 200x50 bois C24, pente 26.6°, portée 5m, entraxe 0.5m, zone non chauffée, charge totale 195.8 daN/m²

Traction : σ = 1958x0.5xsin26.6°x5/200/50 = 0.22 MPaft0d = 14x0.9/1.3x1 = 9.69 Mpa

Taux = 2.3%

Flexion : σ = 1958x0.5xcos26.6°x5²x1000/8/(200²x50/6) = 8.21 MPafmd = 24 x 0.9 / 1.3 x 1.1 x 1 = 18.28 MPa

Taux = 45%

Taux combiné = 47.3 %

Flexion + compression

Le déversement et le flambement sont pris en compte (kcrit et kc). Même exemple que précédemment avec compression dans la pièce au lieu de traction (on limite la longueur de flambement et de

déversement à 1667mm, avec des entretoises)

Compression avec flambementA = 200x50 = 10 000 mm² et I = 200x50^3/12 = 2 083 333 mm4

λ = 1 x 1667 / Pi x racine(10000x21/2083333/7400) = 1.958 > 0.3k = 0.5 x (1+0.2x(1.958-0.3)+1.958²) = 2.61

kc = 1 / (2.61 + racine(2.61²-1.958²)) = 0.231fc,0,d = 21 x 0.9 / 1.3 = 14.54 MPa

Taux de travail : 2192 / A / (0.231x14.54) = 6.5 %

Flexion avec déversementσm,crit = 0.78 x 7400 x 50² / 200 / (1667+2x200) = 34.91 MPa

λrel,m = racine(24/34.91) = 0.829 > 0.75 et < 1.4kcrit = 1.56 - 0.75 x 0.829 = 0.938

Taux de travail : 8.21 / (0.938 x 18.28) = 48 %

Taux combiné : 0.0605 + 0.048² = 29%

Flexion déviée

Elle se rencontre par exemple dans les pannes posées à dévers.

km = 0.7 pour les sections rectangulaires

Exemple : pannes à dévers section 100x200 bois C24, pente 17°, portée 3.5m, entraxe 1.8m, zone non chauffée, charge 209.3 daN/m²

σfy = (2093x1.8xcos17°x3.5²x1000/8) / (200²x100/6) = 8.28 MPaσfz = (2093x1.8xsin17°x3.5²x1000/8) / (100²x200/6) = 5.06 MPa

fmd = 24 x 0.9/1.3 = 16.6 MpaTaux de travail = 0.7 x 5.06/16.6 + 8.28/16.6 = 71%

Flexion déviée et comprimée

Même exemple que précédemment avec en plus du vent provoquant une poussée (compression supposée de 15 000 N)

Compression avec flambement zA = 200x100 = 20 000 mm² et Iz = 200x100^3/12 = 16 666 666 mm4λz = 1 x 3500 / Pi x racine(20000x21/16666666/7400) = 2.056 > 0.3

kz = 0.5 x (1+0.2x(2.056-0.3)+2.056²) = 2.79kcz = 1 / (2.79 + racine(2.79²-2.056²)) = 0.214

Compression avec flambement yA = 200x100 = 20 000 mm² et Iy = 200^3x100/12 = 66 666 666 mm4λy = 1 x 3500 / Pi x racine(20000x21/66666666/7400) = 1.028 > 0.3

ky = 0.5 x (1+0.2x(1.028-0.3)+1.028²) = 1.10kcy = 1 / (1.10 + racine(1.10²-1.028²)) = 0.67

fc,0,d = 21 x 1.1 / 1.3 = 17.78 MPa (kmod = 1.1 car la durée de la charge la plus courte est instantanée, le vent en l'occurence)

fmd = 24 x 1.1/1.3 = 20.3 Mpa

Taux de travail : 15000 / 20000 / (0.214x17.78) + 0.7x8.28/20.3 + 5.06/20.3 = 73%

  

Exemple de calcul de panne suivant Eurocode 5 (épreuve BTS charpente couverture 2007)

  

  

Pannes de section 115x250 espacées horizontalement de 1.45mBois = sapin massif C24, avec une humidité stabilisée égale à 12%, et une masse volumique de 420 kg/m3Flèche instantanée autorisée = L / 300 et flèche totale autorisée = L / 250Chargements : tuiles en terre cuite 500 N/m² (liteaux compris), chevrons 63x75 espacés de 600mm.

Neige caractéristique au sol : 153 daN/m², en projection horizontale.Versants incinés de 30°. Détermination des charges sur les pannes Charge permanente G et Charge neige S G = charge tuiles + charge chevrons + poids propre pannescharge tuiles = 500 x 1.45 / cos30° = 837.2 N/m (1.45 est l'espacement horizontal, la distance entre pannes est donc 1.45 / cos30° = 1.675 m)charge chevrons = 0.063 x 0.075 x 420 x 10 x 1.675 / 0.6 = 55.4 N/mpoids propre pannes = 0.115 x 0.25 x 420 x 10 = 120.8 N/md'où G = 837.2 + 55.4 + 120.8 = 1013.4 daN/m S = 1530 x 0.8 x 1.45 = 1775 N/m en projection horizontale (0.8 est le coefficient de forme, lié à l'inclinaison des versants)  Modèle RDM 

 Vous pouvez également vérifier toutes ces formules avec Freelem :

  

   Vérification ELU (étude des contraintes)  Flexion simple w = 1.35 G + 1.5 S = 1.35 x 1013.4 + 1.5 x 1775 = 4030.6 N/mD'après les formules précédentes, le moment max est en x = (5240 - 700² / 5240) / 2 = 2573 mmLe moment maximal est égal à M = 4031 x (5.24² - 0.7²)² / 8 / 5.24² = 13 345 N.mD'où une contrainte de flexion dans la panne :σ = Mf / Wf = 13 345 x 1000 / (115 x 250² / 6) = 11.14 MPa 

Contrainte admissible en flexion suivant Eurocode 5

 fm,k = contrainte caractéristique de résistance en flexion = 24 MPa icikmod = coefficient modificatif en fonction de la charge de plus courte durée et de la classe de service = 0.8 ici (classe de service 1 , humidité bois 12%, neige moyen terme)

 γM = coefficient partiel qui tient compte de la dispersion du matériau = 1.3 (bois = 1.3 et lamellé collé = 1.25) ksys = coefficient d'effet système (lorsque plusieurs éléments porteurs de même nature et de même fonction sont sollicités par un même type de chargement réparti uniformément --> résistance accrue) kh = coefficient de hauteur qui permet de majorer les résistances pour les hauteurs inférieurs à 150mm pour bois massif et 600mm pour le lamellé collé On en déduit : fm,d = 24 x 0.8 / 1.3 = 14.77 Mpa --> ratio 11.14 / 14.77 = 0.75 --> panne OK vis à vis de la flexion  Cisaillement axial

 L'effort tranchant maximal est égal à T = 4031 / 2 / 5.24 x (5.24² + 0.7²) = 10 747 N (cf efforts dans Freelem)La section reprenant cet effort est égale à 2/3 x S = 2/3 x 115 x 250 = 19 177mm² (cf aide caractéristiques dans Catalogues>Profilés)Il vient la contrainte de cisaillement 10747 / 19177 = 0.56 MPa. 

Contrainte admissible en cisaillement suivant Eurocode 5

 fv,k = contrainte caractéristique de résistance en cisaillement = 2.5 Mpa ici --> fv,d = 2.5 x 0.8 / 1.3 = 1.54 MPa D'où un ratio 0.56 / 1.54 = 0.36 --> panne OK vis à vis du cisaillement   Vérification ELS (étude des déformations) w = G + S = 1013.4 + 1775 = 2788 N/m  Flèche instantanée E = 11 000 MPaI = 11.5 x 25^3 / 12 = 14 974 cm4 (inertie de flexion forte)En x = 2573mm (localisation du moment maximal), la flèche est égale à :f = 2.788 x 2573 / 24 / 11000 / 149740000 / 5240 x (5240^4 - 2 x 5240² x 2573² + 5240 x 2573^3 - 2 x 700² x 5240² + 2 x 700² x 2573²) = 15.9 mm On retrouve cette flèche avec Freelem :

 La flèche limite étant égale à L/300 = 5240/300 = 17.5 mm, le ratio est donc égal à 15.9 / 17.5 = 0.91  Flèche totale La flèche totale est donnée par la somme entre la flèche instantanée et la flèche de fluage.En considérant ici que le fluage est dû uniquement aux charges permanentes G (la neige S est considérée momentanée), on a donc 1013/2788 = 36% de charges générant du fluage, et donc à majorer en terme de déformations, et 64% ne générant pas de fluage, donc à ne pas majorer. Le coefficient de fluage kdef est donné dans le tableau ci-dessous et vaut 0.6 dans notre cas (classe de service 1). 

 On en déduit ainsi la flèche totale Wtot = 15.9 x 0.64 + 15.9 x 0.36 x (1+0.6) = 19.3mm La flèche admissible est égale à L/250 = 5240/250 = 20.96 mm --> ratio 19.3 / 20.96 = 0.92