Les Emprunts Indivis

Les Emprunts Indivis

Chapitre 4: Les emprunts Indivis I- Gnralits1. DfinitionUn emprunt indivis est un emprunt contract auprs dune seule personne (physique ou morale). Il tablit ainsi une relation bilatrale entre un seul prteur et un seul emprunteur. Un emprunt indivis est caractris par trois lments savoir: le capital emprunt, la dure de remboursement et le taux qui servira calculer les intrts.Dans le systme classique lemprunteur rembourse priodiquement son crancier une fraction du capital emprunt (amortissement) augment des intrts calculs sur le capital restant d. Ainsi lannuit de remboursement est lensemble de lamortissement et des intrts. (a = A+ I) 2. Systme dAmortissement a) Les Donnes Vo: Capital empruntn: La dure de remboursement ou le nombre dannuiti: Le taux dintrt pour 1francAk: Amortissement de la priode kIk: Intrt de la priode kak: Annuit de la priode kVk 1:Capital restant d en dbut de la priode kb) Tableau damortissement PriodeDette de dbut de priodeIntrtsAmortissementAnnuitDette de Fin de Priode

123

kk + 1

nVoV1V2

Vk 1 Vk

Vn 1 I1 = iVoI2 = iV1I3 = iV2

Ik = iVk 1 Ik +1= i Vk

In = i Vn 1A1A2A3

AkAk+1

Ana1 = A1 + I1a2 = A2 + I2a3 = A3 + I3

ak = Ak + Ikak+1=Ak+1+ Ik +1

an = An + InV1 = Vo A1V2 = V1 A2V3 = V2 A3

Vk = Vk 1 - AkV k+1= Vk Ak+1

Vn = Vn-1 - An

c) Relations importantesVk 1 = Vk 2 Ak- 1 ; Vk = Vk 1 - Ak ; Vn-1 - An = 0 soit Vn-1 = AnII- LES FORMULES DE REMBOURSEMENTA- Remboursement par annuits constantesDans cette partie du cour limportant est de savoir que lorsque les annuits sont constantes les amortissements successifs sont en progression gomtrique de raison (1+i). Ceci dit nous pouvons en dduire quelque formule partir du tableau damortissement ci-dessus:1. Formule trs importante retenira1 = a2 = a3 = a4 = ----------------- = an = aA2 = A1 (1+i) 2-11 (1+i)-n(1+i) n - 1

V0 = A1 ou soit V0 = a1 ii

An = A1 (1+i) n-1 or an = An + In or In = i Vn-1 soit In = i An donc on a an = An + I An an = An(1+i) An = an (1+i)-1 remplaant cette formule dans la formule de dpart. Donc on a: an(1+i)-1 = A1 (1+i) n-1 soit a = A1 (1+i) n

2. Exercices corrigsExercice1 :

Du tableau damortissement dun emprunt remboursable par annuit constante, on tire les informations suivantes7me amortissement: 729205,798311me amortissement: 1275385,499Dernier amortissement: 2230657,208

Suite la page suivante

Dterminer:1. Le taux dintrt 2. Lannuit constante 3. Le 1er amortissement 4. Le montant de la dette 5. La dure de remboursement 6. Le capital rembours aprs paiement de la 8me annuit7. Le capital restant d aprs paiement de la 13me annuit.8. Prsenter la premire et les deux dernires lignes du tableau damortissement Rsultat1: Dterminons:En utilisant les informations donnes dans lnonc nous pouvons facilement rpondre toutes les questions poses.1. Le taux dintrtA11 = A7 (1+i) 11-7 = 4 soit (1+i) 4 = soit i = - 1 i = - 1 i = 0,15 soit t = 15 %2. Lannuit constante:a = An (1+i) soit a = 2230657,208 (1,15) soit a = 2565255,789 frs3. Le 1er amortissement A1 = A7 (1+i) 1-7= -6 soit A1 = 729205,7983 (1,15)-6 soit A1 = 315255,7897 frs4. Le montant de la dettea1 = A1 + I1 avec I1 = iV0 donc a1 = A1 + iV0 soit V0 = soit V0 = soit V0 = 15000000 frs

ia1 A1A7A11

Suite la page suivante

5. La dure de remboursement (n)V0 = A1 soit (1+i) n = + 1 soit (1,15) n = + 1 soit (1,15) n = 8,137062 soit n = soit n = 15 ans 6. Le capital rembours aprs paiement de la 8me annuit (V8)V8 = A1 soit V8 = 315255,7897 soit V8 = 4327459,190 frs 7. Le capital restant d aprs paiement de la 13me annuit (V13)Pour calculer V13 on a au moins deux possibilits:1re Possibilit: si la 13me annuit a t paye cela suppose quil reste deux annuits savoir a14 et a15 puisque n = 15. Ceci nous permet dcrire la formule suivante:V13 = a soit V13 = 2565255,789 soit

V13 = 4170 359,128 frs2me Possibilit: si la 13me annuit a t paye cela suppose quillui reste payer la valeur de la dette les 13 premiers Amortissement. Ceci nous permet dcrire la formule suivante:V13 = V0 A1 soit V13 = 15000000 315255,7897 V13 = 4170359,128 frs 8. Prsenter la premire et les deux dernires lignes du tableau damortissement.

i0,151 (1,15) -21 (1 i) -2A1iV0315255,7897 0,15 x 15000000i(1+i) n - 1

Exercice 2 :Un emprunt indivis de valeur nominale V0, contract intrts composs au taux annuel i pour 1F, doit tre rembours en 20 ans par des annualits constantes, la premire devant tre verse un an plus tard. Chaque annuit contient un intrt et un amortissement.On dsigne par I1, I2, I3, .. I20 les intrts successifs et par A1, A2, A3, .. A20 les amortissements respectifs.1. Montrer que = (1+i)3

2. On donne:

I7 = I12 + 722161,090 F A15 = A10 + 1014584,334 Calculer a) Le taux dvaluation i .b) Le premier amortissement A1 .c) La valeur V0 de lemprunt (arrondie au millier de francs le plus proche).3. Construire les lignes n7 et n15 du tableau damortissement de lemprunt.Rsultat 2: 1. Montrons que = (1+i) 3

a7 = A7 + I7 soit I7 = a7 A7 (1) a12 = A12 + I12 soit I12 = a12 A12 (2) (1) (2) soit I7 I12 = (a7 A7) - (a12 A12) (3) Puisque les annuits sont constantes on a: a7 = a12 = a Donc (3) devient I7 I12 = a A7 a + A12 soit I7 I12 = A12 A7 (4) Les annuits tant constante alors les amortissements sont en progressions gomtrique de raison (1+i). Alors on a (4): I7 I12 = A7 (1+i)5 A7 soit I7 I12 = A7 [ (1+i)5 1 ] (5) A15 A10 = A7(1+i)8 A7(1+i)3 soit A15 A10 = A7 (1+i)3 [ (1+i)5 1 ] (6) = = = en simplifiant on a = (1+i)3

A15 A10

I7 I12

A15 A10

I7 I12

(6)

A15 A10A7 (1+i) 3 [(1+i) 5 1] A15 A10

(5)

I7 I12

A7 [(1+i) 5 1] I7 I12

2. Calculons a) Le taux dvaluation iOn a I7 = I12 + 722161,090 F soit I7 I12 = 722161,090 A15 = A10 + 1014584,334 soit A15 A10 = 1014584,334 = = (1+i)3 soit (1+i)3 = 1,404928 soit i = 1 Alors i = 0,12 soit t = 12%b) Le premier amortissement A1A15 = A10 + 1014584,334 soit A15 A10 = 1014584,334 soit A1 [(1+i) 14 (1+i) 9] = 1014584,334 soit A1 = = Donc on a A1 = 479 928,1062c) La valeur V0 de lemprunt (arrondie au millier de francs le plus proche).V0 = A1 avec n = 20 , i = 0,12 donc V0 = 479928,1062 Donc V0 = 34 579 999,97 soit V0 = 34580000 F3. Construire les lignes n7 et n15 du tableau damortissement de lemprunt.

A7 = A1 (1+i) 6 soit A7 = 947293,1949A15 = A1 (1+i) 14 soit A15 = 2345463,068

V0 = a n = 20 et i = 0,12 soit V0 = 7,469 444 a soit a = 4629 528,214

1014584,334A15 A10

722161,090

I7 I12

1014584,334

1014584,334

2,114034[(1+i) 14 (1+i) 9]

(1,12) 20 + 1(1+i) n 1

0,12i

1 (1+i) -n

i

NB: Dans cette premire partie, limportant est de matriser le tableau damortissement. Grace ce tableau vous pouvez crire toutes formules possible pouvant vous aider rpondre aux diffrentes questions. B- Remboursement par amortissement constant Dans cette deuxime partie du cour limportant est de savoir que lorsque les amortissements sont constants, les annuits successives sont en progression arithmtique de raison r = - i. Avec premier terme a1 = + i Ceci dit nous pouvons en dduire quelque formule partir du tableau damortissement ci-dessus:1. Formule trs importante retenirA1 = A2 = A3 = A4 = --------------- = An = A V0 = A1 + A2 + A3 + A4 + ------------------ + An soit V0 = nA soit A = Vn 1 An = 0 soit Vn1 = An donc on a : an = An + iVn1 , an = An + iAn or An = A soit an = A(1+i) soit A = an (1+i)1 ak+1 ak = Ak+1 + iVk Ak iVk1 or Ak+1= Ak = A , Vk Vk 1 = Ak donc on a : ak+1 ak = + i (Vk Vk 1) soit ak+1 ak = iA o ak+1 ak = i 2. Exercices corrigs Exercice1: Une dette de 900000 frs est contracte au taux de 10% pour tre rembours en 8 ans par des amortissements constant. Prsenter les deux lignes extrmes (la premire et la dernire ligne) du tableau damortissement. Resultat1: Prsentons les deux lignes extrmes (la premire et la dernire ligne) du tableau damortissement.

Exercice 2 : Pour un emprunt remboursable par des amortissements constants, on a les informations suivantes: I1 = 21000 frs; I2= 18000 frs; an = 78000 frsCalculer:1. Le taux.2. Le nombre dannuits.3. Le capital emprunt. Rsultat 2:Nous devons rappeler que les amortissements sont constants Calculons:1. Le taux i I1 = iV0 et I2 = iV1 avec V1 = V0 A1 Alors on a I1 I2 = iV0 i(V0 A1) soit I1 I2 = iA1 (1)avec A1 = A an = An +iVn1 avec Vn1 = An = A soit an = A(1+i) Alors A = an(1+i)1 (2) remplaons (2) dans (1) soit I1 I2 = i an(1+i)1 alors i(1+i) = = alors i(1+i)1 = 0,038462 soit = 0,038462 0,038462 + 0,038462i = i alors i = = 0,04 soit t = 4% 2. Le nombre dannuit n I1 I2 = iA1 alors A = = 75000 frs V0 = nA or I1 = iV0 Alors n = alors n = soit n = 7 ans3. Le capital emprunt. V0 V0 = nA soit V0 = 7 Alors V0 = 525000 frs

NB: Dans cette partie aussi limportant est de matriser le tableau damortissement. Chaque ligne du tableau damortissement est importante. Et de plus cette partie semble tre plus facile que la prcdente.

C- Remboursement en Bloc Lemprunteur peut sengager rembourser la totalit de la dette une seule fois la fin de la dernire priode. Trois cas peuvent tre envisags:1er Cas: Lemprunteur dcide ici de payer la totalit des intrts la fin de la dernire priode. La valeur de son remboursement S est: S = 2me Cas: Pour viter la capitalisation des intrts, lemprunteur peut dcider de payer priodiquement les intrts de la dette. iV0 iV0 iV0 iV0+V0 = an 0 1 2 n-1 n a1 = a2 = ------------------- = an-1 = iV0 an = V0(1+i) 3me Cas(Systme Amricain) : Dans ce cas, lemprunteur dcide de payer en une seule fois la dette V0 lpoque n et de verser chaque fin de priode lintrt iV0. Pour tenir son engagement la priode n, le dbiteur sengage de verser priodiquement dans une autre institution financire de fond damortissement rmunr au taux i (taux dpargne) avec i< i. a a a a

iV0 iV0 iV0 iV0 0 1 2 n-1 n Fonds damortissement aV0 = a soit a = Charge priodique C C = iV0 + a Taux effectif V0 = C Exercice : Une dette de 10000000 est contracte au taux de 9% pour tre rembourse une seule fois la fin de la 10me anne. Le dbiteur verse paralllement dans une autre banque des sommes constantes la fin de chaque anne pour pourvoir constitu le capital emprunt. Le taux utilis par la banque pour lui calculer ses intrts est de 7%.Calculer:1. La charge annuelle de lemprunt2. Le taux effectif3. En ralit cette dette devrait tre rembourse par des annualits constantes mais pour tenir compte de lvolution de linflation, le crancier dcide de pratiquer des taux variant de la manire suivante 11,5% pour les trois premires annes 12% pour les quatre annes suivantes 10,5% pour les trois dernires annes. Dterminer dans ces conditions la valeur commune des annuits de remboursement.Rsultat: Calculons1. La charge annuelle de lempruntC = iV0 + a soit C = 0,0910000000 + C = 1623775,027 frs2. Le taux effectif V0 = C soit = = = 6,158 489Daprs la TF4 on a:6,144 567 6,158 489 6,211116 10 te 9,75 = soit te = - 0,20919990,25 + 10 donc te = 9,947%3. Dterminer la valeur commune des annuits de remboursement. a10000000 = a + a + a Soit a = 1740970,009 frs

Ralis par Raoul ADDA Page 45