Électrostatique et électrocinétique - my reader · ce manuel couvre les notions...

LA PHYSIQUE EN FAClectrostatique

et lectrocintiqueCours et exercices corrigs

2e dition

MILE AMZALLAG - JOSEPH CIPRIANI - JOCELYNE BEN AM - NORBERT PICCIOLI

1re et 2e annes

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www.ediscience.netISBN 2 10 050249 2

9 7 8 2 1 0 0 5 0 2 4 9 3

LA PHYSIQUE EN FAC lectrostatique et lectrocintique E. AMZALLAG - J. CIPRIANI J. BEN AM - N. PICCIOLI

mile Amzallag, Joseph Cipriani,Jocelyne Ben Am, et Norbert Picciolisont matres de confrences luniversit Paris 6.

LA PHYSIQUE EN FAC lectrostatique et lectrocintique Cours et exercices corrigs

MILE AMZALLAG - JOSEPH CIPRIANI - JOCELYNE BEN AM - NORBERT PICCIOLI

Ce cours en sept volumes (lectrostatique et lectrocintique, Ondeslectromagntiques et milieux, Magntostatique et induction, Mcanique,Ondes mcaniques et mcanique des fluides, Optique, Thermodynamique)est destin aux tudiants des premires annes de licence scientifique.

Ce manuel couvre les notions dlectrostatique et dlectrocintiqueabordes lors des premires annes de licence. Chaque chapitredbute par des rappels mettant l'accent sur les points fondamentauxdu cours, illustrs d'exemples classiques et dexercices d'application.Ces rappels sont suivis d'exercices de difficult croissanteaccompagns de leur solution dtaille. Le dernier chapitre proposeune dizaine de problmes d'examen corrigs.

Cet ouvrage complet est le meilleur garant de russite aux examenset concours.

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LECTROSTATIQUEet LECTROCINTIQUE

50 %

COURS

, 50 %

EXOS

0 lim Page I Vendredi, 25. aot 2006 3:14 15

0 lim Page II Vendredi, 25. aot 2006 3:14 15

LECTROSTATIQUEet LECTROCINTIQUE

mile AmzallagJosep Cipriani

Josseline Ben AmNorbert Piccioli

Matres de confrences luniversit Pierre et Marie Curie (Paris 6)

Rappel de cours et exercices corrigs de Physique50 % cours + 50 % exos

2

e

dition

0 lim Page III Vendredi, 25. aot 2006 3:14 15

Illustration de couverture :

Claude Lieber

Dunod, Paris, 2006

Ediscience, Paris, 2002 pour la premire dition

ISBN 2 10 050249 2

0 lim Page IV Vendredi, 25. aot 2006 3:14 15

Table des matires

CALCUL VECTORIEL 1

1.1. Reprsentation dun point dans lespace 11.2. Vecteurs 21.3. Circulation dun vecteur 51.4. Flux dun vecteur 61.5. Angle solide 71.6. Oprateurs vectoriels 81.7. Relations vectorielles 131.8. Transformations intgrales 14

Exercices 17Corrigs 19

CHAMP LCTROSTATIQUE DANS LE VIDE 27

2.1. Charges lectriques 272.2. Loi de Coulomb 282.3. Champ et potentiel 292.4. Force et nergie potentielle lectrostatiques 312.5. Circulation du champ lectrique 322.6. Loi locale et loi intgrale 322.7. Exemples dapplication 332.7. Diple lectrostatique 38


THORME DE GAUSS 56

3.1. Flux du champ lectrique cr par une charge ponctuelle 56

1

2

3

00Table des matires 8/08/06 10:08 Page V

3.2. Thorme de Gauss 583.3. Loi locale et loi intgrale 583.4. Conservation du flux

le long dun tube de champ 593.5. quations de Poisson et de Laplace 603.6. Conditions de passage linterface

entre deux distributions de charges diffrentes 603.7. Exemples dapplication 623.8. Rcapitulation 66


CONDUCTEURS EN QUILIBRE 82

4.1. Loi de conservation de la charge 824.2. Corps conducteurs et corps isolants 824.3 quilibre lectrostatique :

thorme de Coulomb 834.4. Pression lectrostatique 864.5. Influence de deux conducteurs chargs.

Thorme de Faraday 874.8. Capacit dun condensateur 93 4.9. Association de condensateurs 954.10. Mthodes de rsolution 96


NERGIE LCTROSTATIQUE 116

5.1. nergie potentielle dune charge ponctuelleen interaction avec un champ extrieur 116

5.2. nergie potentielle dun systme de charges 117 5.3. nergie lectrostatique emmagasine

dans les conducteurs chargs 1195.4. Charge dun condensateur : aspect nergtique 1205.5. Localisation de lnergie :

densit dnergie lectrostatique 122

VI Table des matires

4

5

00Table des matires 8/08/06 10:08 Page VI

5.6. Calcul de forces lectrostatiques partir de lnergie 123

5.7. Exemples dapplication 124Exercices 129Corrigs 133

LE COURANT LCTRTIQUE DANS LES MILIEUXCONDUCTEURS 148

6.1. Les charges mobiles 1486.2. Le courant lectrique 1496.3. quation de continuit 1536.4. Conductivit lectrique : loi dOhm locale 156 6.5. Rsistance lectrique :

loi dOhm macroscopique 1596.6. Association de rsistances 1606.7. Rle du gnrateur : force lectromotrice 1616.8. Les lois de Kirchhoff 1636.9. Aspect nergtique : loi de Joule 165


RSEAUX LCTROCINTIQUES. RGIMES VARIABLES 183

7.1. Diples lectrocintiques 1837.2. Rponse dun circuit un chelon de tension 1857.3 Circuits en rgime sinusodal 192


PROBLMES DEXAMEN CORRIGS 221

INDEX 252

Table des matires VII

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

6

7

00Table des matires 8/08/06 10:08 Page VII

Calcul vectoriel

1.1. REPRSENTATION DUN POINT DANS LESPACE

On se placera toujours dans un repre orthonorm Oxyz , de vecteurs unitai-res ex , ey, ez.

1.1.1 Coordonnes cartsiennes

r = O M = xex + yey + zezSi M se dplace, on a :

dO M = dM = dxex + dyey + dzez

O M

2= x2 + y2 + z2

(dO M)2 = dx2 + dy2 + dz2

1.1.2 Coordonnes cylindriques

Vecteurs unitaires : er , e , ez ;On dfinit M par sa coordonne z et par les coordonnes polaires r, de sonprojet sur le plan x Oy.

O M = r er + zez

{x = r cos y = r sin

dO M = dr er + r d e + dzez

O M

2= r2 + z2

(dO M)2 = dr2 + (r d)2 + dz2

1

z

M (x, y, z)

z

x

x

H

O yy

ez

ey

ex

ez

e

er

z

z

x

x

Oy

y

r

M (r, ,z)

H

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 1

1.1.3 Coordonnes sphriques

Vecteurs unitaires : er , e , e.On dfinit M par la longueur

r = O M et les deux angles et .

O M = r er

x = r sin cos y = r sin sin z = r cos

dO M = dr er + r sin d e + r d e

O M

2= r2

(dO M)2 = dr2 + r2 sin2 d 2 + r2 d2

2 1 Calcul vectoriel

erz

z

x

x

Oy

y

r

M

H

e

e

e

1.2. VECTEURS

Dans cet ouvrage, la norme dun vecteur V , habituellement crite V seradsigne tout simplement par la lettre V pour ne pas surcharger lcriture, saufncessit.

1.2.1 Somme de deux vecteurs

V = V1 + V2V = X1ex + Y1ey + Z1ez

V

V2

V1

O

Bien distinguer la coordonne polaire r = O M et la coordonne sphriquer = O M.

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 2

V2 = X2ex + Y2ey + Z2ezV = ( X1 + X2)ex + ( Y1 + Y2)ey + ( Z1 + Z2)ez

1.2.2 Produit scalaire

S = V1 V2 S est un scalairePar dfinition S = V1 V2 cos o langle est dfini par = ( V1, V2) .

Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul.

Pour les vecteurs unitaires ex , ey, ez on a :ex ey = ey ez = ez ex = 0ex ex = ey ey = ez ez = 1

Expression cartsienne du produit scalaire

S =(X1ex +Y1ey +Z1ez) (X2ex +Y2ey +Z2ez)= X1 X2 + Y1Y2 + Z1Z2

Exemple 1. Travail dune force

Si F est la force et d le dplacement,on a : W = F d = F d cos Si F d , le travail est nul.Si = ( d, F) est aigu, le travail estpositif, il sagit dun travail moteur.

Si est obtus, le travail est ngatif, ilsagit dun travail rsistant.

1.2.3 Produit vectoriel

P = V1 V2Par dfinition, P est un vecteur perpendiculaire au plan ( V1, V2), orient de telle sorte que le tridre

V1, V2, P soit direct,

1.2 VECTEURS 3

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

V2

V1

F

Md

P

O

V2

V1

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 3

de norme V1V2 |sin |o = ( V1, V2) .

Le produit vectoriel de deux vecteurs parallles est nul.

Pour les vecteurs unitaires ex , ey, ez , on a :

ex ex = ey ey = ez ez = 0ex ey = ey ez = ez ex = 1Expression cartsienne du produit vectoriel :

P = (X1ex + Y1ey + Z1ez) (X2ex + Y2ey + Z2ez)= (Y1Z2 Y2Z1)ex + (X2Z1 X1Z2)ey + (X1Y2 X2Y1)ez

Exemple 2. Moment dune force par rapport un point O

On crit :

MO =OM F

Le produit vectoriel OM F est tou-

jours orient de telle sorte que le tridreOM,

F , MO soit direct.

1.2.4 Vecteurs polaires et vecteurs axiaux

Un vecteur polaire est indpendant du sens positif ou ngatif de laxe quiconstitue son support.Par exemple, une force est un vecteur polaire (on dit aussi vecteur vrai ) : lechoix dun sens pour son support ne modifie en rien sa direction, ni son sens.

Un vecteur axial (on dit aussi pseudo-vecteur ) se distingue du vecteurpolaire dans la mesure o, une fois que sa direction et sa norme sont fixs,cest le sens de rotation autour de son axe-support qui finit de le dterminer.


O

M

F

o

M

F'

O

'o

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 4

Cela correspond au choix du tridre direct pour exprimer le produit vectorielO M F . Il arrive dailleurs quun vecteur axial soit reprsent avec uneflche (par exemple M ).

1.3. CIRCULATION DUN VECTEUR

Soit un champ de vecteurs V (M) et un dplacement lmentaire M M = dM ,not aussi

d .

Circulation lmentaire

dC = V dM (scalaire) (1.1)

Coordonnes cartsiennes :

V = Vx ex + Vyey + VzezdM = dx ex + dy ey + dz ezdC = Vx dx + Vy dy + Vz dz

Coordonnes cylindriques :

V = Vr er + V e + Vz ezdM = dr er + r d e + dz ezdC = Vr dr + Vr d + Vz dz

Coordonnes sphriques :

V = Vr er + V e + V edM = dr er + r d e + r sin d edC = Vr dr + Vr d + Vr sin d

1.3 CIRCULATION DUN VECTEUR 5

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.

M

V

M'

er

ez

z

x

O y

r

M

e

er

z

x

O yr

M

e

e

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 5

Circulation sur un chemin

On considre un trajet AB sur une courbe (C). Il convient de fixer le sens deparcours sur la courbe (C).

CAB =

AB

dC =

AB

V d M (1.2)

Si le chemin est ferm :

C =

V d M (1.3)

Par exemple, si le champ de vecteurs est un champ de forces, la circulationnest autre que le travail.

1.4. FLUX DUN VECTEUR

Soit un champ de vecteurs V (M) et une surface lmentaire dS. Flux lmentaire

d = V dS = V N dS (1.4)o N est le vecteur unitaire normal lasurface dS, quil convient de bien orienter,en tenant compte des conventions qui vonttre prcises.

Flux travers une surface ouverte

Soit (C) le contour sur lequel sappuie lasurface (S) .Une fois (C) orient, le sens du vecteurunitaire N est dfini par la rgle du tire-bouchon (sens dans lequel avance le tire-bouchon quand on le tourne dans le senspositif choisi sur (C)). On a alors :

=

Sd =

S

V N dS (1.5)


MA

(C )

B

V

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 6

Si la surface est ferme, on ne peut pasdfinir le contour (C). Par convention Nest orient de lintrieur vers lextrieur.

Exemple 3. Champ symtrie sphrique

Calculer le flux du vecteur V (M) = f (r)er travers une sphre de centreO et de rayon r.On a tout simplement :

=

SV N dS =

S

f (r) dS

= 4r2 f (r)car f (r) est constant quand on se dplace sur lasphre.

1.5. ANGLE SOLIDE

Angle solide lmentaire

Par dfinition langle solide d sous lequel on voit une surface lmentairedS partir dun point donn O est :

d =dS er

r2= dS cos

r2(1.6)

Dans le cas o llment dS est pris sur la sphre de centre O et de rayon r,on a tout simplement :

d = dSr2

N er = dSr2

Exemple 4.

Espace entier : = 1r2

SdS = 4r

2

r2= 4 strad.

Demi-espace entier : = 2 strad.

1.5 ANGLE SOLIDE 7

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.

Ext.

Int.N

(S )

z

x

y

dS

N

M

(dS)

er

dS

r

O

er

dS

rO

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 7

Cne de demi-angle au sommet 0 :

dS = 2r sin r d= 2r2 sin d

=

S

dS

r2=

00

2 sin d

= 2(1 cos 0)

1.6. OPRATEURS VECTORIELS

1.6.1 Gradient

Loprateur grad (ou encore , oprateur vectoriel polaire nabla) associe

une fonction scalaire f (x, y, z) un vecteur de composantes

( f

x, f

y, f

z

).

Comme : d f = fx

dx + fy

dy + fz

dz

on en dduit

d f =(

grad f

) dM (1.7)

relation que lon utilise pour dfinir le gradient dans un systme de coordon-nes quelconques.

Coordonnes cartsiennes : f = f (x, y, z)

grad f = f

xex + f

yey + f

zez

Coordonnes cylindriques : f = f (r, , z)

grad f = (grad f )r er + (grad f ) e + (

grad f )z ez

dM = dr er + r d e + dz ez


o

r

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 8

On en dduit :

d f =(

grad f dM)

= (grad f )r dr + (grad f )r d + (grad f )z dz

Or d f = fr

dr + f

d + fz

dz

grad f =

f

r f

r f

z

ereez

Coordonnes sphriques : f = f (r, ,)Un calcul analogue au prcdent donne :

grad f =

f

r f

r1

r sin

f

eree

Proprits :

Les surfaces de niveau sont dfinies par

f (x, y, z) = cte.

Direction du gradient :

Soit une surface de niveau f (x, y, z) = .Pour un point M se dplaant sur cette surface, on a :

d f =(

grad f

) dM = 0

Le vecteur grad f est donc normal la surface de niveau.

1.6 OPRATEURS VECTORIELS 9

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.

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 9

Sens du gradient :

Soit deux points M1, M2 sur deux surfaces de niveau voisines f = 1et f = 2 > 1 .

On a d f = 2 1 =(

grad f

) M1M2 > 0

Le vecteur grad f est orient dans le sens des valeurs croissantes de f.

Circulation dun gradient :

CAB =

AB

grad f dM =

f (B)f (A)

d f

AB

(grad f

) dM = f (B) f (A) (1.8)

Elle est gale la variation de la fonction f et ne dpend pas du chemin par-couru.

Cette relation facilite parfois le calcul de la circulation dun vecteur le long duchemin. Encore faut-il que ce vecteur soit un gradient. On montre que, pourquun vecteur V soit un champ de gradient, il faut et il suffit que les drivespartielles croises de ses composantes soient gales deux deux, soit :

Vxy

= Vyx

,Vyz

= Vzy

,Vzx

= Vxz

(voir exercices)

Dans le cas particulier dun parcours ferm, on a :

CAA = (

grad f

) dM = 0 (1.9)

1.6.2 Divergence

Loprateur div (ou encore ) associe un vecteur V le produit scalaire de par ce vecteur

div V = V (scalaire)


01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 10


div V = Vxx

+ Vyy

+ Vzz


On montre que div V peut se mettre sous la forme condense suivante :

div V = 1r

[(r Vr )

r+ V

]+ Vz

z

Coordonnes sphriques :

Une expression simplifie de div V est donne par :

div V = 1r2

(r2Vr )

r+ 1

r sin

(V sin )

+ 1

r sin

V

Divergence et flux dun vecteur :

Par dfinition, la diffrentielle du flux de V travers une surface ferme (S)est relie la divergence de V par :

d = div V d (1.10)

o d reprsente un volume lmentaire : la divergence dun champ vectorielreprsente le flux de ce vecteur sortant de lunit de volume.

On en dduit :

=

(S)V dS =

()div V d

Cette formule, dite de Green-Ostrogradsky (voir paragraphe 1.8) facilite par-fois le calcul du flux dun vecteur travers une surface ferme.

1.6.3 Rotationnel

Loprateur rot (ou encore ) associe un vecteur V le produit vectoriel de

par ce vecteur :rot V = V

1.6 OPRATEURS VECTORIELS 11

Dun

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opie

non

aut

oris

e e

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n d

lit

.

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 11


rot V =

ex ey ez

x

y

zVx Vy Vz

=

Vzy

Vyz

Vxz

Vzx

Vyx

Vxy

exey

ez


(rot V )r = 1

r

Vz

Vz

(rot V ) =

Vrz

Vzr

(rot V )z = 1

r

[

r(r V)

Vr

]Coordonnes sphriques :

(rot V )r = 1

r sin

[(sin V)

V

]

(rot V ) =

1

r sin

Vr

1r

(r V)

r

(rot V ) =

1

r

[(r V)

r Vr

]Rotationnel et circulation dun vecteur :

Par dfinition, la diffrentielle de la circulation de V sur un contour ferm (C)est reli au rotationnel de V par :

dC =(

rot V)

dS (1.11)

o dS est un lment dune surface quelconque (S)qui sappuie sur (C).


01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 12

Cette relation permet de dfinir la coordonne du rotationnel dans une direc-tion quelconque de vecteur unitaire n .On en dduit :

C =(C)

V dM =

(S)

(rot V

) dS

Cette formule, dite de Stokes (voir paragraphe 1.8), facilite parfois le calculde la circulation dun vecteur le long dun contour ferm.

1.6.4 Laplacien

Loprateur Laplacien (not ) est dfini par :

= 2

x2+

2

y2+

2

z2

Il peut sappliquer une fonction scalaire :

f = 2 f

x2+

2 f

y2+

2 f

z2

ou un vecteur :

V = 2 V

x2+

2 Vy2

+ 2 V

z2

= exVx + eyVy + ezVz

Lintrt de tous ces oprateurs vectoriels est dune part, de permettre unecriture concise des quations dites locales (exemple : quations deMaxwell), et dautre part, de faciliter les calculs, grce aux relations vecto-rielles qui existent entre eux, et aux transformations intgrales quils per-mettent deffectuer.

1.7. RELATIONS VECTORIELLES

Produit mixte : A ( B C) = C ( A B) = B ( C A) (1.12)Double produit vectoriel : A B C = B( A C) C( A B) (1.13)

1.7 RELATIONS VECTORIELLES 13

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 13

f et p tant des fonctions scalaires, on a :

grad( f p) = f grad p + p grad f (1.14)

div( f A) = (grad f ) A + f div A (1.15)

div( A B) = B rot A A rot B (1.16)

rot( f A) =(

grad f

) A + f rot A (1.17)

div(grad f ) = f (1.18)

div(rot A) = 0 (1.19)

rot(

grad f ) = 0 (1.20)

rot(

rot A) = grad(div A) A (1.21)

1.8. TRANSFORMATIONS INTGRALES

Thorme de Stokes (ou du rotationnel) :

C

A d =

(S)

rot A dS [(S) sappuie sur (C)] (1.22)

Thorme de Green-Ostrogradsky (ou de la divergence) :

S fermeA dS =

()

div A d (1.23)

[() volume englob par (S)]


01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 14

Formule du gradient :

()

grad f d =

(S)

fdS (1.24)

Formule du rotationnel :

()

rot A d =

(S)

dS A (1.25)

Exemple 5.

On considre le champ vectoriel

V = (ax + by)ex + (cx + f y)ey

et le contour ferm ABC D A prcis sur la figure.Vrifier le thorme de Stokes en calculant lacirculation de V sur ce contour.

On a dune part :

C=

CV d =

10

axdx + 1

0(c+ f y)dy+

01

(ax +b)dx + 0

1f ydy =cb

et dautre part : (S)

rot V dS =

(S)

rot V N dS

et comme :

rot( V ) = (c b)ez et N = ez

il vient : (S)

rot V dS =

10

10

(c b)dxdy = c b

1.8 TRANSFORMATIONS INTGRALES 15

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.

x BA

D C

y

1

1N

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 15

Exemple 6.

On considre le champ vectoriel symtrie sphrique : V = ar et lasphre de rayon r centre en O.Vrifier le thorme dOstrogradskyen calculant le flux de V travers lasurface de la sphre.

On a dune part

=

(S)V dS = ar

(S)

er N dS

= ar S = 4ar3Dautre part :

div V = 2r

Vr + Vrr

= 2a + a = 3a

On en dduit :

()

div V d = 3a

()d = 3a 4

3r3

= 4ar3


V

(S)

O

r

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 16

1.1. On considre le champ vectoriel :A = (3x2 + 6y)ex 14yzey + 20xz2ez

Calculer la circulation de A entre les points (0, 0, 0) et (1, 1, 1) le long des cheminssuivants :

a) le segment de droite joignant ces deux points,

b) les segments de droite allant de (0, 0, 0) (1, 0, 0) puis de (1, 0, 0) (1, 1, 0) etenfin de (1, 1, 0) jusqu (1, 1, 1).

Ce champ vectoriel est-il un gradient ?

1.2. Soit le champ vectoriel :

V (M) =O M

O Mavec

O M = r er

Calculer la circulation de V le long de :a) la spirale logarithmique dquation polaire :

r = aek, entre 1 et 2b) la cardiode :

r = a(1 + cos ) , entre 0 et .

1.3. On considre le champ vectoriel :

V = (2x y)ex + (2y x)ey 4zezMontrer que ce champ est un gradient, et dterminer la fonction scalaire dont il

drive par la relation V = grad .

1.4. Un champ de vecteur E, dans lespace orthonorm ex , ey, ez, est caractris parses composantes :

E = yzzx

f (x,y)

o f ne dpend que de x et y.

Exercices 17

Dun

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a ph

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.

EXERCICES

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 17

1) Dterminer la fonction f pour que le champ E drive dun potentiel V tel que :E = grad V

2) Dterminer alors le potentiel de V .

3) Quelle est la circulation du champ E entre les points A(0, 0, 0) et B(1, 1, 1) ?

1.5. 1) On considre le champ vectoriel symtrie sphrique : V = err2

. Montrer que

ce champ drive de la fonction scalaire f = 1r

par la relation V = grad f (r) .

2) Calculer div

( err2

)et

rot

( err2

).

1.6. Calculer le flux du champ de vecteurs :

V (M) = 4xzex y2ey + yzez travers la surface du cube limit par x = 0,x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

1.7. Calculer le flux du champ vectoriel :

V (M) = xz2ex + (x2y z3)ez + (2xy + y2z)ez travers la surface totale de lhmisphre S

limit par z =

a2 x2 y2 et z = 0.


z

x

Oy

1

1

1

z

x

O ya

(S )

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 18

1.8. Soit le champ vectoriel :

V = 2zex + 3ey + 2xyez1) Montrer que le flux de V sortant travers lh-misphre de centre O et de rayon R est le mmeque le flux rentrant travers la base constitue parle disque de centre O et de rayon R du plan x Oy.

2) En dduire le flux sortant travers lhmisphre.

1.9. Dterminer le flux du champ de vecteurs V = K rr3

(r = O M) travers une sur-face ferme contenant lorigine O. Mme question pour une surface ferme necontenant pas le point O.

1.10. Vrifier le thorme de Stokes pour lechamp de vecteurs V = 2yex + 3xey z2ez ,dans le cas o S est la surface de lhmisphre

suprieur dquation x2 + y2 + z2 = 9, et (C) lecontour sur lequel sappuie cet hmisphre.

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dl

it.

z

x

O

R

Ry

(C )

Exercices 19

z

x

O

3

3

3y

(S )

(C )

CORRIGS

1.1. A = (3x2 + 6y)ex 14yzey + 20xy2eza) Sur le segment de droite joignant (0, 0, 0) et (1, 1, 1), on a : x = y = z . On peutdonc crire :

C =

(C1)

A d = 1

0(3x2 + 6x)dx

10

14x2dx + 1

020x3dx

=[

x3 + 3x2 143

x3 + 5x4]1

0= 13

3

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 19

b) De (0, 0, 0) (1, 0, 0) : y = 0 z = 0dy = 0 dz = 0

C1 = 1

03x2dx = 1

de (1, 0, 0) (1, 1, 0) : x = 1 z = 0dx = 0 dz = 0

C2 = 0de (1, 1, 0) (1, 1, 1) : x = 1 y = 1 dx = 0 dy = 0

C3 = 1

020z2dz = 20

3

C = C1 + C2 + C3 = 1 + 203 =23

3

Comme la circulation entre les deux points (0, 0, 0) et (1, 1, 1) dpend du che-min suivi, A nest pas un gradient.

1.2. On a : V =O M

O M= r

r= er

a) Le long de la spirale logarithmique r = aek, on a :

dC = V dM = er (dr er + r d e)= dr = ak ekd


z

x

O

M

a

a

a

y

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 20

C = ak 2

1

ekd = [aek]21= a(ek2 ek1)

b) Le long de la cardiode r = a(1 + cos ) , on a :

dC = V dM = dr = a sin d

C =

0a sin d = [a cos ]0

= 2a

1.3. Pour montrer que V est un gradient, il suffit de vrifier que les drives croisesde ses composantes sont gales deux deux.

On a :

V = (2x y)ex + (2y x)ey 4zezVx = 2x y Vy = 2y x Vz = 4z

Vxy

= 1 Vyx

= 1Vyz

= 0 Vzy

= 0Vzy

= 0 Vxz

= 0

V est bien un champ de gradient.

Dtermination de la fonction .

On a : d = x

dx + y

dy + z

dz

et aussi : d = grad dM = V dM

On a donc :

x= 2x y = x2 yx + f (y,z)

y= x + f

y= 2y x f = y2 + g(z)

z= g

z 4z g = 2z2 + C

o C est une constante arbitraire.

Corrigs 21

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 21

On en dduit finalement :

= x2 yx + y2 2z2 + C

1.4. Le champ E est dfini par :E = yzex + zxey + f (x,y)ez

1) Pour que E soit un gradient, il faut que les drives croises de ses composantessoient gales deux deux, soit :

Exy

= Eyx

z = z qui est vrifi identiquement

Eyz

= Ezy

Ezx

= Exz

x = fy

f

x= y

conditions ncessaires f

y= x f = xy + g(x)

f

x= y + dg

dx= y dg

dx= 0 g = C

La fonction f doit donc tre de la forme :

f = xy + C

2) Pour dterminer le potentiel V , on crit que E = grad V . Do :Ex = yz = V

x

V = xyz + u(y, z)

Ey = xz = Vy

= xz uy

u = v(z)

Ez = xy + C = Vx

= xy uz

v = Cz + cte

On en dduit :

V = xyz Cz + cte

3) Circulation entre les points (0, 0, 0) et (1, 1, 1)


01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 22

C =

AB

E dM =

AB

grad V dM =

V (B)V (A)

dV

C = V (0, 0, 0) V (1, 1, 1) = 1 + C

1.5. 1) Soit V = err2

symtrie sphrique :

On a :err2

= grad f (r) = fr

ur = d fdr ur

d f

dr= 1

r2

f (r) = 1

r+ cte

2) Calcul de div ( er

r2

).

On a : r2 = x2 + y2 + z2r dr = r dx + y dy + z dz

V = err2

=

Vx = x

r3

Vy = yr3

Vz = zr3

r

x= x

rr

y= y

rr

z= z

r

Vxx

= 1r3

+ x(

3r4

x

r

)= r

2 3x2r5

Vyy

= r2 3y2

r5Vzz

= r2 + 3z2

r5

div

( err2

)= 3r

2 3(x2 + y2 + z2)r5

= 0

sauf pour r = 0 o V nest pas dfini.

Calcul de rot

( err2

):

On peut faire un calcul direct, en utilisant la dfinition de loprateur rot .

Il est plus simple de remarquer que,err2

tant gal grad f, on peut appliquer la rela-

tion vectorielle :rot(

grad f ) = 0

Corrigs 23

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 23

Par consquent,rot

( err2

)= 0

sauf pour r = 0 o V nest pas dfini.

1.6. V (M) = 4xzex y2ey + yzeza) Face x = 1 : dS = dy dz n = ex

1 = 1

04z dz

10

dy = 2

b) Face x = 0 : dS = dy dz n = ex2 = 0

c) Face y = 1 : dS = dx dz N = ey

3 = 1

0dx

10

dz = 1

d) Face y = 0 : dS = dx dz N = ey 4 = 0e) Face z = 0 : dS = dx dy N = ez 5 = 0f) Face z = 1 : dS = dx dy N = ez

6 = 1

0y dy

10

dx = 12

total = 2 1 + 12 =3

2

1.7. La surface totale est constitue par la surface de lhmisphre plus la surface dela base (surface ferme).

On peut calculer le flux directement, mais il est pluscommode dutiliser le thorme de la divergence.

V = xz2ex + (x2y z3)ey + (2xy + y2z)ez

=

(S)

V dS =

()div V d

div V = z2 + x2 + y2 = r2 d = r2 sin d dr d


z

x

O

1

1

1y

ez

ex

ey

z

x

O

N

a

dS

y

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 24

Do : =

r4 sin dr d d

= a

0r4 dr

2

0sin d

20

d

= a5

5 1 2 = 2a

5

5

1.8. 1) V = 2zex + 3ey + 2xyez

div V = Vxx

+ Vyy

+ Vzz

= 0

Soit S la surface totale de la demi-sphre (hmis-phre + base) et le volume de cette demi-sphre.

Le thorme de la divergence permet dcrire :

S =

(S)

V N dS =

()div V d = 0

(sortant)hmisphre

+ (sortant)disque

= 0 (sortant)hmisphre

= (rentrant)disque

= 0

2) On en dduit :

(sortant)hmisphre

=

disque2xy dS avec

x = r cos y = r sin

dS = r dr d =

disque

2r3 sin cos d dr

= 2 2

0sin cos d

R0

r3 dr = 0

1.9. V = K rr3

= K err2

a) Si la surface ferme contient lorigine, on ne peut pas appliquer le thorme deGreen-Ostrogradsky car div V nest pas dfinie en O. Il faut faire un calcul direct :

=

(S)

V N dS = K

(S)

dS

r2N er

= K

(S)d = 4k

Corrigs 25

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

z

x

O

N

a

dS

y

O

S

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 25

b) Si la surface ne contientpas le point O, on a :

=

(S)

V N dS =

()div V d = 0 puisque div er

r2= 0

1.10. Thorme de Stokes :

C =

(C)

V d =

(S)

rot V d S

= V = 2yex + 3xey z2ez

a) Calcul du rotationnel : on a ici rot V = ez.

dS = dS N dS = R2 sin d d N = er

C =

S

rot V NdS = R2

2

0sin cos d

20

d

= R2 = 9

b) Calcul direct :

On a :d = R d e o e est le vecteur unitaire

port par la tangente (C).

e = (sin )ex + (cos )ey

V d = 2y(sin )R d + 3x(cos )R d

avec x = R cos et y = R sin

On en dduit : C =

C

V d

C = 2R2 2

0sin2 d + 3R2

20

cos2 d

= 2R2 + 3R2 = R2 = 9.


z

N

x

O

(C )

(S )

y

ez

RM

x

O

(C )

y

ex

ey

eer

01Chapitre 1 30/08/06 13:23 Page 26

Champ lectrostatiquedans le vide

2.1. CHARGES LECTRIQUES

Dans tout phnomne physique intervient un objet dont la structureconfre certaines proprits lespace qui lentoure. Dans le cas de la gravi-tation, lobjet est constitu par une masse. En lectrostatique, lobjet est unecharge, mesure en coulomb (C) dans le systme international.Il existe deux types de charge lectrique ; les charges de mme nature serepoussent tandis que celles qui sont de nature diffrente sattirent. Les unessont dites positives et sont mesures par un nombre positif, les autres sontdites ngatives et sont mesures par un nombre ngatif (cf. paragra-phe 2.2). Toute charge est multiple de la charge lmentaire :

e = 1,6 1019 CLes atomes sont constitus de particules charges, savoir :

les lectrons : (e) responsables de la conduction lectrique dans lesmtaux

charge : qe = e = 1,6 1019 Cmasse : me = 9,1 1031 kg

les protons : (H+)charge : qp = e = 1,6 1019 Cmasse : mp = 1,67 1024 kg

ainsi que les ions et les porteurs de charge dans les semi-conducteurs qui peu-vent tre des lectrons ou des trous (absence dlectrons).

On distingue :

les charges ponctuelles : supposes sans dimension, ce qui est analogue lhypothse du point matriel en mcanique.

2

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 27

les distributions continues de charge : hypothse dune charge macrosco-pique permettant de dfinir une charge infinitsimale dq, laquelle on peutappliquer les formules tablies dans le cas dune charge ponctuelle, avantdintgrer sur la distribution.

On dfinit ainsi les densits :

linique sur un fil : = dqd

[C m1]

surfacique (ou surperficielle) sur une surface : = dqdS

[C m2]

volumique dans un volume : = dqd

[C m3]

auxquelles correspondent respectivement les charges infinitsimales dl, dS et d.

2.2. LOI DE COULOMB

Soit deux charges q et q places en M et M et distantes de r. Ces chargespeuvent tre positives ou ngatives, mais dans le cas de la figure, nous suppo-serons quelles sont de mme signe.

La loi de Coulomb permet de dterminer la

force FM exerce par q sur q , ou encore laforce FM exerce par q sur q, ces deux for-ces tant gales et opposes, conformmentau principe de laction et la raction.

Cette loi scrit :

FM = Kqq r2

uM M (2.1)

ou FM = Kqq r2

uM M avec K =1

40= 9 109 S.I.

uM M est le vecteur unitaire port par le support de M M , orient de M versM , (on dit dans le sens qui va de la cause vers leffet).

La force est rpulsive si les charges sont de mme signe, elle est attractivesi elles sont de signes contraires.

Cette loi traduit linteraction entre les deux objets q et q . Les notions de champet de potentiel permettent de prciser les proprits relatives un seul objet.

28 2 Champ lectrostatique dans le vide

FM

M

q

uMM'

uM'M

q'

M'

FM'

r

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 28

2.3. CHAMP ET POTENTIEL

2.3.1 Cas dune charge ponctuelle

La seule prsence dune charge ponctuelle q au point M (comme dailleursdune masse ponctuelle m, dans le cas de la gravitation) permet de dfinirdeux proprits en un point M de lespace environnant : une proprit vectorielle, le champ lectrostatique :

EM = Kq

r2uM M (2.2)

une proprit scalaire, le potentiel lectrostatique (dfini une constanteprs) :

VM = Kq

r+ cte (2.3)

et une relation entre les deux proprits :

EM = grad VM ou dV = EM dM (2.4)

Le champ lectrique est orient vers les potentiels dcroissants (cf. para-graphe 1.6.1).

2.3.2 Lignes de champ et surfaces quipotentielles

Les lignes de champ, qui sont les courbes tangentes en chaque point au champE , sont ici des droites passant par la charge ponctuelle q place en M. Ceslignes sont orientes centrifuges ou centriptes suivant que q est respective-ment positif ou ngatif.

2.3 CHAMP ET POTENTIEL 29

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 29

Les surfaces quipotentielles V = cte sont des sphres centres en M. Eneffet, sur ces surfaces, on a :

dV =(

grad V

) d = E d = 0 d E

2.3.3 Cas dun systme de charges

Lorsque n charges ponctuelles existent simultanment en des points M1,M2,. . . ,Mn , le principe de superposition permet dcrire :

pour le champ rsultant en un point M (avec ri = Mi M =/ 0) :

EM = K

i

qir2i

uMi M (2.5)

et pour le potentiel rsultant :

VM = K

i

qiri

(2.6)

Dans le cas de distributions continues de charges, on aura de mme :

pour un fil charg uniformment :

EM = K

AB

d

r2u P M

VM = K

AB

d

r

pour une surface charge uniformment :

EM = K

(S)

dS

r2uM M

VM = K

(S)

dS

r

et pour un volume charg uniformment :

EM = K

(S)

d

r2uM M

VM = K

()

d

r


B

d

P

M'

A

r

(S)

M'r

uMM'

dS

P

M'r

P

uMM'

d

()

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 30

2.3.4 Utilisation des symtries

Si, en un point donn M, il passe un plan (M) laissant la distribution des char-ges invariante par rflexion dans ce plan, alors le champ en M doit tre inva-riant dans cette rflexion : E est donc contenu dans le plan de symtrie (M).Si il passe par M deux plans de symtrie distincts, E est donc dirig suivantla droite dintersection des deux plans : il suffit donc de calculer la coordon-ne de E sur cette direction de droite.Si en M passent trois plans de symtrie formant un tridre, alors E est nul ence point.Des considrations de symtrie peuvent dans certains cas particuliers faciliternormment les calculs des champs et des potentiels rsultants.(Voir exemples dapplications et exercices).

2.4. FORCE ET NERGIE POTENTIELLE LECTROSTATIQUES

De faon gnrale, la prsence dune charge q en un point M o le champ estE se traduit par une interaction caractrise par deux proprits : une proprit vectorielle, la force exerce sur la charge q (cf. en particulier

lexpression (2.1) de la loi de Coulomb) :

F = q E (2.7) une proprit scalaire, lnergie potentielle dfinie une constante prs

comme le potentiel :

Ep = qVM (2.8) et une relation entre les deux proprits :

F = grad Ep (2.9)

Linteraction entre deux charges est rciproque. On a FM = FM ,ce qui vrifie le principe de laction et la raction pour un systme isol.

Lnergie potentielle Ep dfinie ci-dessus peut tre vue comme : lnergie de q dans le champ de q, lnergie de q dans le champ de q , lnergie potentielle du systme isol, constitue par les deux charges

de q et q .

Le problme de la gnralisation de Ep un systme de n charges (n > 2)sera examin par la suite (chap. 5.).

2.4 FORCE ET NERGIE POTENTIELLE LECTROSTATIQUES 31

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 31

2.5. CIRCULATION DU CHAMP LECTRIQUE

Soit un parcours AB orient de A vers B.La circulation du champ EM sur un l-ment de parcours

d scrit :

dC = EM d= grad VM d = dVM

On en dduit les relations :

E d = dVAB

E d = VA VB (2.10)

Notez que la circulation du champ de A vers B est gale la valeur initialemoins la valeur finale du potentiel.

Et en particulier, sur un parcours ferm :(C)

E d = 0 (2.11)

La circulation de E est indpendante du parcours choisi, puisquelle nedpend que de la diffrence de potentiel entre A et B. Le potentiel tantdfini une constante prs, on voit que le choix de cette constante nin-tervient pas dans la diffrence de potentiel.

Par contre, la circulation de E dpend du sens de parcours choisi : cestce sens qui fixe le signe de la diffrence de potentiel. Il faut donc tou-jours orienter le parcours avant de calculer la circulation de E .

2.6. LOI LOCALE ET LOI INTGRALE

Forme locale

La loi E = grad V permet de dterminer E en un point quelconque si V estconnu en ce point (ou linverse). Elle prsente un caractre gnral, libr detoute considration de symtrie susceptible dapparatre lchelle globale.


BE

M

dM

A

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 32

Cette loi peut scrire sous une autre forme, galement locale : en effet,

sachant que rot (

grad V ) 0, on peut crire :

rot E = 0 (2.12)

Le champ lectrique E est dit irrotationnel.

Forme intgrale

La loiAB

E d = VA VB

ou encore(C)

E d = 0 ((C) contour ferm)

peut permettre le calcul de E en un point, mais il faut passer par un calcul lchelle globale. Cest dire que cette loi intgrale ne prsente de lintrt quesi lon peut mettre en vidence des symtries permettant de faciliter le calcul(

par exemple lorsque E est uniforme et peut sortir du signe )

. Dans ce cas,

la deuxime mthode peut savrer plus rapide que la premire.Dautres lois locales et intgrales seront revues par la suite (thorme deGauss par exemple).

2.7. EXEMPLES DAPPLICATION

Exemple 1. Comparaison entre force lectrostatique et force de gravi-tation dans latome dhydrogne

On donne la constante de gravitation G = 6,7 1011 S.I. et le premier rayon delatome de Bohr a0 = 0,53 1010 m.Dans latome dhydrogne, un lectron (charge e) dcrit une orbite circulaire derayon a0 autour dun noyau constitu dun proton (charge +e). Il sagit de compa-rer les forces lectrostatique ( Fe) et gravitationnelle ( Fg) entre ces deux particules.

Fe = K q1q2a20

= 9109(1,6 1019)2

(0,53 1010)2 = 8,1 108 N

Fg = G m1m2a20

= 6,7 1011(9,1 1031)(1,67 1027)

(0,53 1010)2= 3,7 1047 N

2.7 EXEMPLES DAPPLICATION 33

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 33

La force lectrostatique est environ 2 1039 fois plus grande que la force degravitation. Cette dernire est donc tout fait ngligeable.

Pour les particules lmentaires (lectrons, protons, ions,) on ngligetoujours les forces de gravitation ou de pesanteur devant les forces lectro-statiques.

Exemple 2. Champ cr par un fil circulaire portant une densit de

charge uniforme = dqd

, en un point M de son axe (O M = z).

On suppose > 0.

1) Calcul direct du champ E chaque lment d du fil, on peut fairecorrespondre un lment d symtriquepar rapport O.Par raison de symtrie, seule la compo-

sante de dE sur laxe

Oz intervient : E

est port par ez.Il est plus lgant de remarquer que tout plan contenant Oz est plan de

symtrie pour la distribution de charge et contient donc E (qui est un vec-teur polaire). En un point de laxe, E appartient lintersection de cesplans : il est donc selon laxe

Oz.

On a successivement :

dEz = dE cos = K dq

z2 + R2z

(z2 + R2)1/2

avec dq = d

Ez = Kz(z2 + R2)3/2

2R0

d et E = Rz20(R2 + z2)3/2

ez

2) Calcul direct du potentiel

dV = K dq(z2 + R2)1/2 =

K d

(z2 + R2)1/2


dE'

zz

MO

R

d

d'

ez

dE

E

Oz

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 34

V = K(z2 + R2)1/2

2R0

d

V (z) = R20(R2 + z2)1/2

3) Calcul du champ partir du potentiel

V = R20(R2 + z2)1/2

+ Cte E = grad V


Ex = Vx

= 0 Ey = Vy

= 0

Ez = dVdz =Rz

20(R2 + z2)3/2

E(z) =Rz

20(R2 + z2)3/2ez

Exemple 3. Champ cr par un disque de rayon R portant une densit

de charge surfacique uniforme = dqdS

, en un point M de son axe Oz.

On suppose > 0. Calculer le potentiel et en dduire le champ.

On peut considrer le disque comme engendr par un fil circulaire de rayonr et dpaisseur dr, quand r varie de O R.

De la sorte, on peut appliquer les rsultats delexemple prcdent.

Pour trouver la correspondance des densitsde charge, on crit que la charge 2r portepar le fil de lexemple prcdent est mainte-nant porte par le fil de mme rayon mais d-paisseur dr. On a donc la correspondance :

2r 2r dr et dr

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dl

it.

V

Oz


O

r

M

Ez

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 35

1) Calcul du potentiel

V = R20(R2 + z2)1/2

est remplacer par dV = r dr20(r2 + z2)1/2

V = 20

R0

r dr

(r2/z2)1/2

= 20

[(r2 + z2)1/2]R0

= 20

[(R2 + z2)1/2 |z|]

2) Calcul du champ

En faisant le mme calcul directement, ou

en passant par E = grad V , on trouve :

E = z20

[1

|z| 1

(R2 + z2)1/2]

ez

Remarque :

On peut noter la discontinuit du champE au passage par le point O(z = 0).

Le champ cr par un plan portant unedensit de charge peut se dduire dursultat relatif au disque, en faisant ten-dre R vers linfini.

On trouve : E = 20

z

|z| ez

Le calcul direct du champ E cr par un disque charg superficiellement,en un point M de son axe, sera propos comme exercice.

Exemple 4. Potentiel cr par une sphre de centre O et de rayon R,charge uniformment, en un point M extrieur la sphre.

1) Sphre charge en surface

Soit la charge surfacique.


V

Oz

R2

0

z

O

E

20ez

ez

=

E

20ez=

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 36


dVM = Kdq

r1dq = q dS

dS = 2R sin R ddq = 2R sin R d

= Q2

sin d

o Q = 4r2 est la charge totale porte par la sphrer21 = R2 + r2 2Rr cos

2r1 dr1 = 2Rr sin d

dVM = KQ

2sin d

dr1Rr sin d

VM =K Q

2Rr

r+RrR

dr1 = KQ

r

Tout se passe comme si la charge Q de la sphre tait concentre aucentre O.

2) Sphre uniformment charge en volume

Soit la charge volumique. On peut considrer la sphre comme engendrepar une coque sphrique de rayon a et dpaisseur da, quand a varie de O R.

Ainsi, on peut appliquer les rsultats de a).

On a :

dVM =K dq

rdq = 4a2 da

VM =K 4

r

R0

a2 da

= K 43

R3

r

= K Qr

o Q = 43R3 est la charge totale porte par la sphre.

L encore, tout se passe comme si toute la charge Q de la sphre tait ponc-tuelle et situe au centre O.

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

MO

R

P

R d

r

r1


M

R

Oa r

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 37

Remarque :

Lapplication du thorme de Gauss permettra de retrouver tous ces rsul-tats plus rapidement (voir chapitre 3).

Le calcul du champ cr lintrieur de la sphre prcdente sera fait enutilisant ce thorme.

2.8 DIPLE LECTROSTATIQUE

On considre deux charges q, +q places aux points A et B, distants de a.Ce systme, appel diple lectrique ou doublet lectrique, constitue un objeten soi, qui cre un champ et un potentiel dans lespace environnant. Lemodle thorique du diple trouve son application dans la polarisation desmolcules conduisant lapproximation dipolaire de la matire. Les calculs du champ et du potentiel crs par un diple se font toujours endes points trs loigns du diple O M a.

2.8.1 Calcul du potentiel grande distance

VM = K q(

1

M B 1

M A

)= K q M A M B

M B . M A

Comme O M = r a , on a :

M A r + a2

cos M B r a2

cos

M B M A r2

VM =K qa cos

r2

On dfinit le moment dipolaire :

p = qAB = qa u ABOn peut noter que q est toujours la valeur absolue de la charge et que p estorient de la charge ngative vers la charge positive.

VM = Kp ur

r2= K p cos

r2(2.13)


y

r

q

A O B

a

+ qx

uu

r

M

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 38

2.8.2 Calcul du champ lectrique grande distance

E = grad V

Er = Vr

= 2K p cos r3

(2.14)

E = 1

r

V

= K p sin

r3(2.15)

Expressions cartsiennes

Le potentiel et le champ prsentent videmment une symtrie de rvolution

autour de laxe support de AB , pris ici comme axe Ox. Comme

cos = x/(x2 + y2)1/2 , on trouve :

V = K px(x2 + y2)3/2

Ex = Vx

= K p[

3x2

(x2 + y2)5/2 1

(x2 + y2)3/2]

= K p 3 cos2 1r3

Ey = Vy

= K p 3xy(x2 + y2)5/2

= K p 3 sin cos r3

Lorsquon sloigne du diple, le potentiel dcrot en 1

r2

(compar

1

rpar

une charge ponctuelle

)et le champ en

1

r3

(compar

1

r2

).

La figure ci-aprs indique lallure des lignes de champs (en trait plein) et deslignes quipotentielles (en pointills) dans le plan x Oy.

2.8 DIPLE LECTROSTATIQUE 39

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 39

2.8.3 Force et couple exercs par un champ lectrique sur un diple

a) Cas dun champ uniforme

Soit langle de AB (support du moment

dipolaire p) avec laxe Ox pris dans ladirection du champ appliqu E . Force rsultante sur le diple

F = FB + FA = q Eex q Eex = 0

La force rsultante est nulle, mais le moment rsultant ne lest pas, FA et FBconstituent un couple.

Moment rsultant :

= a2

FB a2

FA

= a2

q E + a2

q E = a q E = + p E = pE sin ez

Ce moment tend aligner le diple paralllement au champ E ( = 0).Dans le cas dune molcule assimile un diple, le point A reprsente lebarycentre des charges ngatives et le point B le barycentre des charges


E

E E

E

y

x

y

E

ey

R

B

+ qF

B

O

ex

FA

A

q ez

E

x

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 40

positives. Le moment dipolaire molculaire aura tendance saligner avec

le champ E . On dit que la molcule (ou la substance) se polarise. nergie potentielle du diple dans le champ E :

Ep = qVB qVA = q(VB VA)

Or le champ appliqu E est li VB VA par

E = grad V = Vx

ex = Vx

ex = VB VAa cos

ex

On en dduit :

Ep = aq E cos

soit Ep = pE cos = p ELnergie potentielle est minimum lorsque = 0, indiquant que le diple esten quilibre stable quand il est orient paralllement au champ appliqu.

b) Cas dun champ non uniforme

Dans ce cas, les forces FB et FA ne sont plus gales et opposes. Il en rsulteune force qui va dplacer le diple dans son ensemble. On aura donc un mou-vement de translation de centre de masse O du diple, en plus du mouvementde rotation autour de O.

La force rsultante est lie lnergie potentielle par :

F = grad EpOn aura donc :

F = grad ( p E)

2.8 DIPLE LECTROSTATIQUE 41

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 41

2.1. On place quatre charges ponctuelles aux sommets ABC D dun carr de cta = 1 m, et de centre O, origine dun repre orthonorm Oxy de vecteurs unitairesex et ey.On donne :

q1 = q = 108 C q2 = 2qq3 = 2q q4 = q

K = 140

= 9 109 S.I.

1) Dterminer le champ lectrique E au cen-tre O du carr. Prciser la direction, le sens et

la norme de E .2) Exprimer le potentiel V cr en O par les quatres charges.

3) Exprimer le potentiel sur les parties des axes x x et yy intrieures au carr. Quelleest, en particulier, la valeur de V aux points dintersection de ces axes avec les ctsdu carr (I, I , J et J ) ?

2.2. 1) Calculer, en tout point M de lespace, le champ lectrique E cr par un filrectiligne AB de longueur finie 2a, portant une densit linique de charges > 0.

Soit O la projection de M sur la droite AB, onposera :

O M = y, O A = xA , O B = xB

2) On examinera les cas particuliers suivants :

a) le point M est dans le plan mdiateur de AB,

b) le fil a une longueur infinie.

2.3. On considre un disque de rayon R, de centre O, portant une densit de chargesurfacique > 0.

1) Retrouver, par un calcul direct, le champ E cr par le disque en un point M deson axe zOz (O M = z > 0) partir du champ lmentaire

d2 E cr par la charge

lmentaire dq = dS (voir exemple 3 du paragraphe 7 pour une autre mthode).


EXERCICES

y

JA B

(q1) (q2)

ey

x'I' I

O

D C

ex

(q4) (q3)y'

J'

x

M

y

O

2a

A Bx

A

xB

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 42

2) Que devient ce champ E lorsque le rayon du disque R tend vers linfini ?3) On considre un plan infini portant une densit de charge surfacique > 0, perc

dun trou circulaire de centre O et de rayon r .

Calculer le champ E en un point M de laxe zOz du trou.

2.4. 1) Un conducteur creux hmisphrique de centre O et de rayon R est charguniformment avec une densit de charge surfacique > 0.

Calculer le champ E1 cr au point O.2) On considre maintenant une distribution de charge en volume ayant la forme delhmisphre ci-dessus et portant une charge volumique uniforme . En considrant

la distribution volumique comme engendre par la distribution surfacique de la 1re

question lorsque le rayon de cette dernire varie de O R, calculer le champ lec-

trique E2 cr au point O.3) Retrouver ce dernier rsultat par un calcul direct.

2.5. A) On assimile la molcule de SO2 unensemble de trois charges ponctuelles dispo-ses comme lindique la figure. La chargepositive S(+2q) reprsentant latome de sou-fre est situe la mme distance L des deuxatomes doxygne, situs en O1 et O2, portantchacun une charge q . On dsigne par langle entre les deux liaisons soufre-oxygneet on adopte le systme daxes xy reprsentsur la figure. Lorigine est situe au milieudes deux atomes doxygne.

1) Montrer que cette distribution de charges lectriques est quivalente un diple.

2) En dduire le moment dipolaire p de la molcule SO2 en prcisant son orientationet sa norme.

A.N . : = 120 L = 1,432 1010 m q = 0,29 1019 C

B) tant donn un point M situ sur laxe y une grande distance de S , on dsirejustifier lapproximation dipolaire pour M = 20L par exemple.

Exercices 43

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

M

O1

(q)

O2

(q)x

L

S (2q)y

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 43

1) Calculer directement le champ EM cr en M par les trois charges.2) Calculer le champ E M cr au point M, en remplaant les trois charges par lediple quivalent.

3) Comparer les rsultats obtenus.

2.6. Dans lespace o rgne un champ lectrique uniforme E, on considre sur un axex Ox parallle E deux points A et B tels que AB soit dans le mme sens que E.1) Quelles sont les surfaces quipotentielles ?

2) Quel est le potentiel en un point M delespace situ la distance r de O et tel que

langle (O B,

O M) = .

3) On place les charges q et +q respective-ment en A et B.

a) Montrer que le diple AB est en quilibre stable.

b) Quel est le potentiel rsultant en M ?

c) Montrer quil existe une sphre de centre O, sur laquelle ce potentiel reste cons-tant. Calculer numriquement le rayon de cette sphre ?

d) Quelle est la valeur constante de ce potentiel ?

On donne : q = 107 C AB = 1 cm E = 72 V m1K = 9 109 S.I.

2.7. A) En premire approximation, une molcule deaupeut tre considre comme forme de deux ions H+ etun ion O2 disposs comme lindique la figure. Calculerle moment dipolaire pA de cette molcule sachant queles distances entre O2 et les deux ions H+ sont toutesles deux gales 1 .

B) On considre une molcule deau A, place au pointO. Elle est assimilable un diple lectrique permanentde moment pA dont le centre est en O.En un point M, situ sur laxe de la molcule A, unedistance r , on place successivement :


M

E r

BOA

x

x'

H

O2

104

H+

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 44

1) Une charge lectrique q > 0. Quelle estla force exerce par la molcule A sur cettecharge ?

2) Un diple de moment p orient selon O M .a) Quelle est lnergie potentielle du diple p dans le champ lectrique EM cr enM par la molcule A ? (On supposera que r est suffisamment grand pour que le

champ EM puisse tre considr comme constant autour de M.)b) Quelle est la force laquelle est soumis le diple ? On prcisera sa direction et sonsens.

3) On considre un diple induit p dont lintensit est proportionnelle lintensitdu champ EM , soit p = EM (on supposera toujours EM constant autour de M).a) Quelle est lnergie potentielle dinteraction de ce diple avec la molcule deau ?

b) quelle force est-il soumis ?

4) Linteraction diple-diple peut-elle suffire expliquer la stabilit du systme dedeux molcules ? Justifier votre rponse.

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dl

it.

2qO + 2q

pA

M

Corrigs 45

CORRIGS

2.1. 1) Dtermination du champ E en O.Soit E1, E2, E3 et E4 les champs crs en Orespectivement par les charges q1, q2,q3, q4.

On a :

E = E1 + E2 + E3 + E4Par raison de symtrie :

E1 + E4 = 2E1 cos4 ey

= 2K 2qa2

2

2ey

= 2K qa2

2ey

y

a

2A B

q1q

x'a

2

D

q4 q

q2 2q

xa

2

C

q3 2q

a

2y'

E3 ey

EE

2ex

E4 E1

O

= =

+

= + =

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 45

On a de mme :

E2 + E3 = 2E2 cos 4 ey = 2K4q

a2

2

2ey

= 4K qa2

2ey soit :

E = 2K qa2

2ey

Le champ rsultant E est donc : dirig suivant laxe yoy ;

dans le sens positif de laxe yoy ;

de norme E = 2K qa2

2.

A.N . : E = 9 109 108 22 = 254,6 V m1

2) Dtermination du potentiel V en O :

Soient V1, V2, V3 et V4 les potentiels crs par les charges q1, q2, q3 et q4 en O.

V = V1 + V2 + V3 + V4 = 2K qa

2[1 2 + 2 1]

soit : V = 0

3) Variation du potentiel sur les axes x Ox et yOy


A B

(+ q) ( 2q)

I'x'

M

rA

rB

Ix

O

rD

rC

D C

( q) (+ 2q)

Cas a Cas b

A

y

JB

(+ q) ( 2q)rA

rB

M

O

rD

rC

J'

D

( q) y'C

(+ 2q)

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 46

a) Sur laxe x Ox, on a :

M A = M D et M B = MC

V = K q[

1

M A 2

M B+ 2

MC 1

M D

]do V = 0

Laxe x Ox est une quipotentielle V = 0I et I tant sur laxe, on a V (I ) = V (I ) = 0 .

b) Sur laxe yOy, on a : M A = M B et MC = M D

V = K q[

1

MC 1

M A

]

soit : V = K q

[(y a)2 + a

2

4

] 12

[(y a2) + a

2

4

] 12 En deux points symtriques par rapport O, sur laxe yOy, les potentiels sont oppo-ss :

V (y) = V (y)

Si M est en J, on a J A = a2

et JC = a

5

2, soit :

V (J ) = K q[

2

a

5 2

a

]= 2K q

a

(5 55

)Si M est en J , alors V (J ) = V (J ) .A.N . : V (J ) = 99,5 volts V (J ) = 99,5 volts

2.2. 1) Calcul du champ E en M.Soit

dE le champ cr par un lment de

fil de longueur dx autour de P.

dE = K dx

P M2u P M

Dans le triangle P M O , on a :

tan = xy

dcos2

= dxy

Corrigs 47

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

y

dEM

O A

x

dx B

P

uPM

A

B

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 47

et y = P M cos dE = Kdy

u P M

dE

dEx = K

ysin d Ex = K

y

BA

sin d

dEy = Ky

cos d Ey = Ky

BA

cos d

En posant A = (M O,M A) , B = (M O,M B)

Ex = Ky

(cos B cos A) = Ky

yx2B + y2

yx2A + y2

Ey = K

y(sin B sin A) = K

y

xBx2B + y2

xAx2A + y2

2) Cas particuliers

a) M sur le plan mdiateur de AB

xA = xB

Ex = 0Ey = 2K

y

xBx2B + y2

b) Le fil a une longueur infinie :

xA xB +

}

Ex = 0Ey = 2K

y

2.3. 1) Tout plan contenant Oz est un plan de

symtrie, donc sur laxe E//Oz .Le champ cr par un lment de surface dSest :

d2 E = K dS

P M2u P M


z

Md

E

o

ez

OR

uPMr

d

P

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 48

avec dS = dr r d et P M = zcos

d2 E = Kr dr d

z2 cos2

Le champ dEz cr par la couronne comprise entre les deux rayons r et r + dr est :

dEz = Krdrz2

cos3 2

0d = K 2r dr

z2 cos3

On a, pour tous les lments de la couronne :

tan = rz

dcos2

= drz

dEz = K 2z2

z(tan )zd

cos2 cos3

= K 2 sin dLe champ Ez cr par le disque de rayon R est donc :

Ez = K 2 0

0sin d =

20(1 cos 0)

E = 20

(1 z

(z2 + r2)12

)ez

2) Quand R tend vers linfini, alors :

E 20

ez

3) Daprs le principe de superposition, le champ E cr par le plan perc dun trou est :E = E1 + E2

o E1 est le champ cr par le plan infini chargavec une densit +,E2 est le champ cr par le disque charg avec unedensit ,

E = 20

k +[

20

(1 z

(z2 + r2)1/2)]

ez

E = 20

z

(z2 + r2)1/2 ez

Corrigs 49

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

z

O

P

z'

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 49

2.4. 1) Cas dune distribution surfacique hmisphrique

Par symtrie, le champ E1 produit par lh-misphre, portant une densit surfacique > 0, ale sens du vecteur unitaire ex port par laxe Ox.On pose : O P = R

P H = R sin La charge lmentaire dS, prise sur la couronnede rayon H P, contribue au champ total par :

dE1 = K dSR2

cos avec dS = 2R sin R d

dE1 = 402R2

R2sin cos d

= 40

2 sin cos d = 40

sin 2 d

E1 = 40

2

0sin 2 d =

80[cos 2]/20

E1 = 40 ex

2) Cas dune distribution volumique hmisphrique

Pour trouver la correspondance entre les densits de charge surfacique et volumique,

on crit que la charge 2r2 porte par la distribution surfacique prcdente estmaintenant porte par la demi-coquille de rayon r , dpaisseur dr, donc de volume

d = 2r2 dr, soit2r2 2r2 dr et = dr

Champ cr par cette coquille au point O :

E1 = 40 ex dE2 = dr40 ex

On en dduit pour le champ total :

E2 = 40

R0

dr ex = R40 ex

3) Calcul direct

dE = K dq

r2uO M dEx = R dq cos

r2


P

H

rex

E1

xO

d

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 50

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dl

it.

Corrigs 51

d tant llment de volume autour de M, on a :

dq = davec d = r sin d rd dr

dq = r2 sin dr d d

EX = K R

0dr

2

0sin cos d

20

d

= KR2

2

0

1

2sin 2 d

= KR[1

2cos 2

]/20

= KR

Par raison de symtrie, E est dirig suivant O x . En effet, tout plan contenant Ox estplan de symtrie pour la distribution de charge :

E = 40

Rex

Le champ lectrique dune distribution sphrique uniforme (sphre complte) au cen-tre O est nul par symtrie, que la distribution soit surfacique ou volumique.

2.5. A) 1) La distribution de charges est quivalente un diple :

q = 0 le barycentre des charges positives est en S et celui des charges ngatives en .

2) p = 2q Sp = 2q S = 2q L cos

2

A.N . : p = 2 0,29 1019 1,432 1010 12

= 0,415 1029 C.m. ;

M

yO

dE

z x

O1

( q)

p

e

y S(2q)

L

O2

( q)x

E2

ME

3E1

y

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 51

B) 1) Soit E1 le champ cr par latome de soufre et E2, E3 les champs crs par lesdeux atomes doxygne.

E1 = 2K qSM2

ey E2 = K qO1 M2

uO1 M E3 = K q

O2 M2uO2 M

O1 M = O2 ME2 et E3 sont donc symtriques par rapport y.

EM = E1 + ( E2 + E3) = 2K qSM2

ey 2K qO1 M2

cos ey

Or SM2 = (M S)2 = M2(

1 SM

)2

et O1 M2 = M2[

1 +(

O1M

)2]Le point M tant situ grande distance de , on peut poser :

S

M= 1 1 O1

M= 2 1

1

SM2 1

M2(1 + 21)

1

O1 M2 1

M2(1 22)

cos 1 22

2

EM 2K qM2

ey[

1 + 21 1 + 3222

]soit :

EM =2K q

M2

(21 +

3

222

)ey

A.N . : 1 = 140 2 =

3

40

EM = 3,18 106(1 + 0,056) = 3,35 106 V m12) Le champ cr par le diple (2q,+2q) dont les charges sont places en et enS est :

E M = 2K q[

1

SM2 1

M2

]ey

= 2K qM2

[1 + 21 1]ey = 2K qM2

21ey


02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 52

E M = 4K qM2

1 ey

A.N . : E M = 3,18 106 Vm1

3) la distance M = 20L, lerreur relative effectue en utilisant lapproximationdipolaire est :

E

E= EM E

M

EM 3

22

2 21 = 0,056

Lapproximation dipolaire sera meilleure pour une distance M bien suprieure 20L.

2.6. 1) Le champ lectrique E tant uniformeet parallle AB, les surfaces quipotentielles

V = cte sont les plans perpendiculaires E,donc AB (voir paragraphe 3).

2) dV = E d ouE = E cos ur E sin u

et d = dr ur + r d u

V (M)

V (O)dV =

r0

E cos dr

V (O) V (M) = +Er cos DoV (M) = V (O) Er cos

3) a) Le diple est soumis un couple de forces de moment :

= p E = qAB E = 0 (car AB// E)

Le diple est donc en quilibre ; lquilibreest stable car, lorsquon carte lgrementle diple de sa position dquilibre, le cou-

ple de forces (q E, q E) tend ly rame-

ner.

Corrigs 53

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

Er

A O B

M

Er

E

A

O

qE

B

qE

02Chapitre 2 30/08/06 13:41 Page 53

b) Le potentiel rsultant en M est :

VM = Vdiple + Vchamp E

VM = K p cos r2

+ V0 Er cos

c) Surface quipotentielle :

K p cos

r2 Er cos = Cte

cos

(K p

r2 Er

)= Cte

Pour que la relation ci-dessus soit valable quelle que soit la valeur de , il faut que laconstante soit nulle, ce qui donne :

cos = 0 : le plan mdiateur de AB est une quipotentielle de potentiel V0.

r3 = K pE

: r =(

K p

E

)1/3ce qui correspond une sphre de centre O et de rayon r .

A.N . : r =(

9 109 10972

)1/3= 0,5 m

d) Sur la sphre le potentiel V est constant et gal V0.

2.7. A) Moment dipolaire de la molcule H2O :

pA = 2|e|O O = 2|e| O H cos ur

A.N . : cos = cos 52 = 0,615pA = 2 1,6 1019 1010 0,615 = 19,68 1029 C.mB) 1) Force exerce par la molcule A sur la

charge +q place en M : F = q E ASur laxe du diple, on a :

E A = E A ur = 2K pAr3

ur

F = q 2K pA urr3

La charge q tant positive, la force F est rpulsive.


H+

ur

H+

O2

O'

2q +2q M F

O ur+ q

02Chapitre 2 30/08/06 13:42 Page 54

2) a) nergie potentielle du diple plac en M :

Ep = p E = (pur ) (

2K pAurr3

)= 2K pA p

r3

b) Force laquelle est soumis le diple plac en M :

F = dEpdr

ur = 6K pA pr4

ur (attractive)

3) a) nergie potentielle du diple induit.

Comme p = E, on a :

Ep = p E = E2 = K24p2Ar6

= 4K2 p2A

r6

b) Force laquelle est soumis le diple induit :

F = K 2 24p2A

r7ur (attractive)

4) Lallure de la courbe de lnergie poten-

tielle qui est en 1r3

(2e question) ou en 1r6

(3e question) montre que dans les deux cas laposition dquilibre est linfini ; le dipleinduit est attir par le premier diple.

Pour rendre compte de la stabilit du systmede molcules, il faut introduire, dans lnergiepotentielle, un terme de rpulsion courte dis-tance.

Corrigs 55

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

02Chapitre 2 30/08/06 13:42 Page 55

Thorme de Gauss

3.1. FLUX DU CHAMP LECTRIQUECR PAR UNE CHARGE PONCTUELLE

Soit une charge q place au point O.Le champ cr par cette charge en un point M, une distance O M = r estdonne par :

E = K qr2

er

Rappelons les proprits suivantes de ce

champ en err2

:

div E = 0 (voir Exercice 5 chapitre 1)rot E = 0 car E est un gradient.

Circulation de E le long dun contour (C) ferm :(C)

E d = 0

Pour le calcul du flux de E travers une surface ferme (S) , deux cas peuventse prsenter :

a) q nest pas englobe par (S)

Soit dS et dS deux lments de surface dcoups par langle solide d issude O.

On a : d = E dS = K qr2

er N dS = K q d

d = E dS = K qr 2

er N dS = K q d

3

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 56

Au total dT = d + d = 0 = 0Dailleurs, daprs le thorme de la divergence, puisque div E = 0, on peutcrire galement :

=

SE dS =

div E d = 0

en remarquant que E est toujours dfini dans le volume ().b) q est englobe par (S)

Dans ce cas,

div E = K q div( er

r2

)nest pas dfini en O.

Le thorme de la divergence nest donc pas applicable (voir Exercice 9 cha-pitre 1).

On a : d = E dS = K qr2

er N dS = K q d

d = E dS = K qr 2

er N dS = K q d

Au total (cf. chapitre 1 exemple 4) =

SK q d = 4K q

soit : = q0

puisque K = 140

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dl

it.

N

ur

q

O dS

(S)

dSur

()

N

3.1 FLUX DU CHAMP LECTRIQUE CR PAR UNE CHARGE PONCTUELLE 57

dSdS

(S )

q

O

N

er

er

N

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 57

3.2. THORME DE GAUSS

On considre plusieurs charges qi, les unes lintrieur du volume , les autres lextrieur.

Si qi est lintrieur : i =qi0

Si qi est lextrieur : i = 0Par consquent, le flux du champ rsultant travers (S) nest d quaux seu-les charges intrieures S :

=

SE dS =

i

qi0

(charges intrieures uniquement) (3.1)

Intrt du thorme de Gauss

Par rapport au calcul direct du champ E , le thorme peut prsenter des avan-tages si des considrations de symtrie savrent favorables : par exemple :E N ( E N = 0) en tout point de la surface ou encore norme de E cons-tante.

3.3. LOI LOCALE ET LOI INTGRALE

Soit une surface (S) ferme, contenant une charge Q rpartie uniformmentdans le volume quelle entoure, la densit volumique tant .On a alors :

=

(S)E dS = 1

0

()

d = Qint0

(3.2)

Cette criture constitue la forme intgrale du thorme de Gauss.

Le thorme de la divergence permet dcrire par ailleurs :

=

SE dS =

div E d

58 3 Thorme de Gauss

q1

q2

q3

q4

(S)()

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 58

De ces relations, on dduit la forme locale suivante pour le thorme de Gauss :

div E = 0

(3.3)

Cette deuxime loi locale de llectrostatique (comme la premire

E = grad V ou rot E = 0) prsente un caractre gnral, elle ne faitintervenir que le point considr indpendamment de toute symtrie globale.

3.4. CONSERVATION DU FLUXLE LONG DUN TUBE DE CHAMP

Un tube de champ est constitu par tou-tes les lignes de champ qui sappuient surun contour ferm : contour (C1) sur lafigure, qui devient (C2) un peu plus loin,dans le sens du champ.

Si le tube compris entre (C1) et (C2) ne contient aucune charge, on a : = 0.Comme aucun flux ne sort de la paroi latrale du tube, on a :

tube = 1 (sortant) + 2 (sortant)=

()

0d = 0

Daprs lorientation des vecteurs N1 et N2, on voit que 1 (sortant) est nga-tif, alors que 2 (sortant) est positif.

Si on choisit dorienter les deux normales dans le sens de E , on peut dfinirdes flux 1 et 2 de mme signe, tels que 1 = 1 et 2 = 2. On peutalors crire :

1 = 2qui exprime lchelle globale que le flux est conservatif travers les diff-rentes sections du tube. lchelle locale, en labsence de charge, la conservation du flux de E sex-prime simplement par :

div E = 0

3.4 CONSERVATION DU FLUX LE LONG DUN TUBE DE CHAMP 59

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

(C2)

(C1)

(S1)

(S2)

N1

E1N2

E2

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 59

3.5. QUATIONS DE POISSON ET DE LAPLACE

En prsence dune densit volumique de charge, on peut crire les deux loislocales :

E = grad Vdiv E =

0

div(grad V ) = 0

Or div (grad) = = . On en dduit :

V + 0

= 0 (quation de Poisson) (3.4)

et dans le vide :

V = 0 (quation de Laplace) (3.5)

3.6. CONDITIONS DE PASSAGE LINTERFACEENTRE DEUX DISTRIBUTIONS DE CHARGES DIFFRENTES

Soit deux points M1 et M2 infiniment voisins dupoint M pris sur linterface sparant les deux distri-butions.En ces points, on a respectivement :

E1 = E1T T + E1N N12E2 = E2T T + E2N N12

o T est le vecteur unitaire port par la tangente en M linterface, et N12 estle vecteur unitaire normal linterface, orient du milieu (1) vers le milieu (2).

On veut exprimer que la circulation de E le long du contour ferm lmen-taire (C) reprsent sur la figure est nulle. En supposant que la contributiondes cts AD et BC est ngligeable devant celle des cts AB et DC , on peutcrire :

(C)E d = 0 = E1T AB E2T C D avec AB = C D


A M

M1

M2D

C

B

N12

N12

E1 T

E2

1

2

1

2

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 60

on en dduit : E1T = E2T (3.6)

La composante tangentielle de E se conserve, malgr la discontinuit de sur linterface.

Supposons maintenant que linterface porte unecharge surfacique .On considre le paralllpipde lmentairereprsent sur la figure, et on cherche dtermi-ner le flux de E sortant de ce paralllpipde.La contribution des densits volumiques 1 et 2 ce flux tant un infiniment petit du 3e ordrecompare la contribution de la densit surfa-cique qui est du 2e ordre, on peut ignorer lescharges volumiques et crire :

=(S totale)

E dS = E2N S E1N S

Le thorme de Gauss sexprime par :

= S0

on en dduit :

E2N E1N =

0N12 (3.7)

La composante normale de E subit une discontinuit proportionnelle ladensit surfacique . Elle ne se conserve que si linterface ne porte pas decharges.

Le calcul du champ E au voisinage dun plan infini charg, effectu danslexemple 3 du chapitre 2, a montr que ce champ est donn parE =

20N12 de part et dautre du plan.

On retrouve bien la discontinuit gale

0en traversant le plan charg.

3.6 CONDITIONS DE PASSAGE LINTERFACE ENTRE DEUX DISTRIBUTIONS 61

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

N12

N12

E1N

E2N

1

2

1

2

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 61

3.7. EXEMPLES DAPPLICATION

Exemple 1. Champ cr par un fil rectiligne infini charg dune densitlinque

La distribution de charge est invariante parrotation autour du fil et par translation paral-lle au fil : le potentiel et le champ ne peuventdonc dpendre des coordonnes cylindriques et z :

V = V (r) et E = grad V = dVdr

erLe champ lectrique est donc radial.

Pour calculer le champ en M, on peut alors choisir comme surface fermedintgration (S) un cylindre de rvolution autour du fil, de rayon r et dehauteur h (surface de Gauss).

Le flux sortant par les bases de (S) tant nul, on a :

=

(S)E dS =

(S lat.)

E dS = E

(S lat.dS = 2rhE

q int0

= h0

Le thorme de Gauss scrit donc :

2rhE = h0

E = 20r

er

Le potentiel en M se dduit de E parE = grad V dV = E dr

Do : V =

E dr = 20

ln r + cte

Les lignes de champ sont des droites radiales, et les surfaces quipotentiel-les des cylindres coaxiaux, de rvolution autour du fil.Notez quil nest pas possible ici de choisir la constante de sorte que lepotentiel soit nul linfini : ceci est d la prsence de charges linfini.


r Mh

(S)

er

E

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 62

Exemple 2. Champ cr par une sphre charge dune densit volu-mique uniforme

Ce problme a dj t rsolu par un calcul direct dans lexemple 4 du cha-pitre 2. Le calcul tait limit un point M lextrieur de la sphre. Il sa-git ici de ltendre tout point de lespace.

Par suite de la symtrie sphrique, on peut considrer que V = V (r) et parconsquent que E = grad V = (dV/dr)er est radial dune part, et nedpend que de r dautre part.

1) Champ lextrieur : O M R.Soit (S1) la surface de Gauss passant par lepoint M extrieur (sphre de rayon r).

On a :

Eext dS = Eext

(S1)dS = 4r2Eext

qint0

= 43

R3

0

Le thorme de Gauss donne donc :

4r2Eext = 43R3

0 Eext = R

3

30r2er = K Q

r2er

expression dj trouve par le calcul direct.

2) Champ lintrieur : O P R.Soit (S2) la surface de Gauss passant par le point P intrieur (sphre derayon r).

On a encore :

(S2)Eint dS = 4r2Eint

qint0

= 43

r3

0

Le thorme de Gauss donne cette fois :

4r2Eint =4

3

r3

0

Eint =r

30ur


Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

R PO

MEext

Eint

ROr

R

30

0

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 63

Do la variation de E en fonction de r reprsente sur la figure.

3) Calcul du potentiel

Le champ E tant radial, dV = E dr = E dr. lextrieur, on a :

Vext =

Eext dr = R3

30

dr

r2= R

3

30r+ C1

Lorsque r V 0 C1 = 0. lintrieur :

Vint =

Eint dr

= 30

r dr

= r2

60+ C2

La continuit de V la surface de la sphre donne :

R3

30 R= R

2

60+ C2 C2 =

R2

20

Finalement : Vint = R2

20

[1 r

2

3R2

]

Exemple 3. Application de lquation de Poisson

Retrouver lexpression du potentiel V (r) cr par une sphre charge dunedensit volumique en intgrant lquation de Poisson.

Lquation locale de Poisson scrit :

V = 0

Par suite de la symtrie sphrique, on a :

V = 2r

V

r+

2V

r2= 1

r

2(r V )

r2


ROr

VR 2

20

R 230

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 64

Par suite de labsence de charge pour r > R, on a :r R :

1

r

2(r V )

r2= 0

r R :1

r

2(r V )

r2=

0

La 1re quation donne :

r V = Ar + B V = A + Br

V (r) tant nul linfini A = 0 V = Br

La 2e quation scrit :

2(r V )

r2= r

0 (r V )

r= r

2

20+ C

r V = r3

60+ Cr + D V = r

2

60+ C + D

r

V (r) tant fini en r = 0 D = 0Il reste donc dterminer les deux constantes B et C.

Continuit de V en r = R : BR

= R2

60+ C

Continuit de E = Vr

en r = R : BR2

= R30

On en dduit : B = R3

60C = R

2

20Do finalement :

pour r R : Vext = R3

30

pour r R : Vint =R2

20

[1 r

2

3R2

]Ce sont les mmes expressions que celles obtenues en appliquant le tho-rme de Gauss.

3.1 FLUX DU CHAMP LECTRIQUE CR PAR UNE CHARGE PONCTUELLE 65

Dun

od. L

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lit

.

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 65

On pourrait de mme retrouver les expressions du champ E(r) partir de laloi de Gauss locale : div E =

0 lintrieur

div E = 0 lextrieuren prenant, par suite de la symtrie sphrique (cf. 1.6.3)

div E = 1r2

d

dr(r2Er )

3.8. RCAPITULATION

Les exemples dapplication prsents jusquici montrent que la dterminationdu champ E cr par des charges dans le vide peut se faire en suivant troismthodes diffrentes :

1) par un calcul direct, en partant de lexpression du champ cr par unecharge ponctuelle ou par un lment diffrentiel de charge, et en la sommantensuite sur la distribution de charge,

2) en appliquant le thorme de Gauss, si la symtrie de la distribution decharge est leve (sphrique, cylindrique, plane),

3) en appliquant les quations locales, en tenant compte des conditions auxlimites.

On peut rsumer les lois locales dans le vide de la manire suivante :


Relation entre champ et potentiel : E = grad VLe champ E est irrotationnel : rot E = 0Thorme de Gauss : div E =

0

quation de Poisson V + 0

= 0quation de Laplace(en labsence de charges) : V = 0Conditions de passage entre

deux distributions :

E1T = E2T

E2N E1N =

0N12

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 66

3.1. Parmi les distributions de charges suivantes, quelles sont celles pour lesquelleson peut appliquer le thorme de Gauss pour le calcul du champ lectrique ?Exprimer alors ce champ en prcisant sa direction et son sens :

1) fil de longueur de densit linique de charge .

2) fil infini de densit linique de charge .

3) circonfrence de densit linique de charge .

4) disque de densit surfacique de charge .

5) plan infini () de densit surfacique de charge .

6) sphre de rayon R charge uniformment :

a) en surface avec une densit surfacique ;

b) en volume avec une densit volumique .

Dans le cas de la sphre, donner lallure des courbes E(r) et V (r) .

3.2. 1) On creuse dans une sphre de centre O1 etde rayon R une cavit sphrique de mme centre

O1 et de rayon R

4. Il ny a pas de charge dans la

cavit. Dans le volume sphrique restant, la den-sit volumique de charges est 0 = cte > 0.En utilisant le principe de superposition, dtermi-

ner lexpression du champ lectrique E(r) et lepotentiel V (r) qui en rsulte (en prenantV () = 0) dans les trois cas suivants :

a) r R

4

b)R

4 r R

c) r R

Donner lallure des courbes E(r) et V (r) .

2) La cavit est centre en O2 tel que O1 O2 = R2 .

Exercices 67

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

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st u

n d

lit

.

EXERCICES

R

O

R

4

O1 O2

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 67

Exprimer :

a) le champ en un point M intrieur la cavit en fonction de r1 = O1 M etr2 = O2 M . Que peut-on en conclure ?

b) Le champ en un point N extrieur la sphre de rayon R en fonction de r1 = O1 Net r2 = O2 N .

3.3. Une sphre de centre O et de rayon R porte une charge +3q (q > 0) rpartieuniformment dans son volume avec une densit uniforme . lintrieur de lasphre se trouvent trois charges ponctuelles, chacune gale q , places aux som-mets A, B et C dun triangle quilatral ayant O comme centre de gravit.

1) Dterminer le champ lectrique E1 cr en A parles deux charges B et C, en fonction de r = O A .2) En utilisant le thorme de Gauss, dterminer le

champ lectrique E2 cr en A par la distributionvolumique de charges.

3) En dduire lexpression de r pour que la chargeplace en A soit en quilibre.

4) Dterminer le potentiel lectrostatique V1 cr en A par les charges ponctuelles qplaces en B et C. Calculer le potentiel V2 cr par la distribution volumique decharges sachant que V2(0) = 0. En dduire le potentiel total VA au point A.

3.4. On considre une certaine distribution de charges positives et ngatives sym-trie sphrique de centre O, telle que le potentiel lectrique V (M) quelle cre en unpoint M distant de r du point O soit de la forme (potentiel dit crant) :

V (M) = A40r

exp(r/a)

o A et a sont des constantes positives.

1) Quelles sont les dimensions de A et de a ?

2) Calculer le champ E(M) correspondant, en tout point de lespace (except O).


A

R

O

r

C B

03Chapitre 3 30/08/06 13:45 Page 68

3) partir de lexpression de ce champ sur une sphre de centre O et de rayon r ,dterminer la charg

Électrostatique et électrocinétique - my reader · ce manuel couvre les notions...

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