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Electromagnetisme 1 : Champ electrostatique
I Sources et champ electrostatique
I - 1 Notion de charge electrique
a) Definition et proprietes
La charge dans la matiere provient d’un desequilibre entre la charge des noyaux atomiques (fixe) et celle desnuages electroniques (electrons en plus ou en moins)
Definition : Un corps charge est assimile a une charge ponctuelle si ses dimensions sont faibles comparees auxdistances d’action.
© La charge microscopique est quantifiee Ý q = ±ne avec e = 1, 6.10−19C
© La charge macroscopique est continue
© La charge d’un systeme isole se conserve au cours du temps
© La charge totale d’un systeme ferme est independante du temps
Proprietes de la charge
b) Distributions de charges
I Discrete
I Continues
On definit alors, grace a un moyennage a une echelle mesoscopique intermediaire une densite locale de charge
Distribution lineique Distribution surfacique Distribution volumique(Ligne de charges) (Surface chargee) (Volume charge)
dq = λdl d2q = σd2S d3q = ρd3τ
λ : densite lineique de charge σ : densite surfacique de charge ρ : densite volumique de charge
q =∫
(C) dq =∫
(C) λdl q =s
(S) d2q =
s(S) σd
2S q =t
(V) d3q =
t(V) ρd
3τ
1
I - 2 Loi de coulomb
a) Interaction dans le vide
Deux charges dans le vide ressente la force de Coulomb
−→f 1/2 =
q1q2
4πε0
1
r2−→u 12
ε0 : permittivite dielectrique du vide1
4πε0= 9.105SI
b) Dans un milieu
Le milieu etant constitue d’atomes et de molecules polaires ou polarisables, l’interaction entre deux chargesest modifiee :
−→f 1/2 =
q1q2
4πεr
1
r2−→u 12
εr : permittivite relative
On definit aussi ε = εrε0, la permittivite absolue du milieu.
Exemple :
Air εr = 1, 0006 a 20◦ (proche du vide)Eau εr = 80 a 20◦ (la force de Coulomb est 80x plus faible ce qui explique la dissolution des solides ioniques)
I - 3 Champ electrique
a) Definition
Le champ electrique note−→E caracterise une perturbation de l’espace due a la presence de charges supposees
fixes q0
Pour quantifier cette perturbation il faut etudier son action sur une charge test q
Differentes charges test successives q1, q2, ..., qN subissent des forces de Coulomb−→f1 ,−→f2 , ...,
−→fN telles que :
−→f1
q1=
−→f2
q2= ... =
−→fNqN
=−→E (M)
Pour une charge ponctuelle unique q0 placee en O, la perturbation resultante est :
−→E (M) =
q
4πε0r2−→er et
−→f →q = q
−→E (M) ou −→er =
−−→OM
||−−→OM ||
[E] = V.m−1
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Ordres de grandeur :
Telephone portable ' 1V.m−1
Fil electrique ' 10−2V.m−1
Clocher pendant un orage ' 1MV.m−1
Noyau d’hydrogene sur son electron ' 1011V.m−1
b) Principe de superposition
De la linearite des equations de Maxwell (cf chapitre EM3) qui regissent le champ electromagnetique decoulele principe de superposition
Le champ−→E cree par une distribution de charges est la superposition des champs crees par chaque
charge prise individuellement
Principe de superposition
Remarque : Pour une distribution continue, le somme devient une integrale
c) Expressions
I Distribution discrete
−→E (M) =
∑i
qi4πε0r2
i
−→eri avec ri = AiM et −→eri =
−−−→AiM
||−−−→AiM ||
I Distribution continue
Chaque charge elementaire dq situee au point P contribue au champ global ressenti en M par l’intermediairede champ elementaire :
−→dEp(M) =
1
4πε0
dq
PM2−−→ePM avec −−→ePM =
−−→PM
||−−→PM ||
On a donc pour les differentes distribution :
• Lineique−→E (M) =
1
4πε0
∫(C)
λ(P )dl
PM3
−−→PM
• Surfacique−→E (M) =
1
4πε0
∫∫(S)
σ(P )d2S
PM3
−−→PM
• Volumique−→E (M) =
1
4πε0
∫∫∫(V)
ρ(P )d3V
PM3
−−→PM
Remarque : Ici dl , d2S, d3V sont des grandeurs mesoscopiques
Remarque 2 : Dans le cadre du programme on se limite a l’etude de situations de hautes symetrie pourlesquelles les integrales multiples se calculent simplement, la plupart du temps en se ramenant a une integralesimple.
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d) Topographie
Ligne de champ : Courbe tangente en chacun de ses points auvecteur champ (courbe orientee)
Tude de champ : Ensemble de ligne de champ s’appuyant sur uncontour ferme
Point de convergence (resp. divergence) : Point ou se situe une charge ponctuelle negative (resp. positive)
Point de champ nul : Deux lignes de champ ne peuvent se croiser qu’en un point de champ nul
Ý Les lignes de champ ne se referment pas sur elles-meme
Ý On represente les zones de champ intense par des lignes de champ plus resserrees.
I - 4 Symetries
a) Symetries de la distribution de charges
I Symetrie plane (Π)
P ′ = symπ(P )ρ(P ′) = ρ(P )
I Antisymetrie plane (Π∗)
P ′ = symπ∗(P )ρ(P ′) = −ρ(P )
I Invariance par translation (d’axe Oz)
ρ(P ′) = ρ(P )ρ(x, y, z) = ρ(x, y)∀z
I Invariance par rotation (d’axe Oz)
ρ(P ′) = ρ(P )ρ(r, θ, z) = ρ(r, z)∀θ
I Symetrie cylindrique (d’axe Oz)
La distribution de charges est invariante :Ý Par toute translation d’axe OzÝ Par rotation d’axe Oz
Alors ρ(r, θ, z) = ρ(r) ∀(θ, z)
Tout plan perpendiculaire a Oz est plan de symetrie
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I Symetrie spherique
La distribution est invariante par toute rotation autour du centre de symetrie
Alors ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r) ∀(θ, ϕ)
Tout plan contenant O est plan de symetrie
b) Symetrie du champ
Le champ electrostatique admet (au moins) les memes proprietes d’invariance et de symetrie de ladistribution de charges qui le cree
Principe de Curie
I Symetrie plane
P ′ = symπ(P )ρ(P ′) = ρ(P )(symetrie de la distribution de charges /Π)
On observe−→dEP ′(M) = SymΠ(
−→dEP (M))
donc :
−→dE ,
−→dEP ′ +
−→dEP ∈ Π
En un point M d’un plan de symetrie de la distribution de charge, le champ−→E (M) appartient a ce plan Π
I Antisymetrie plane
P ′ = symπ∗(P )ρ(P ′) = −ρ(P )(antisymetrie de la distribution de charges /Π∗)
On observe−→dEP ′(M) = −SymΠ∗(
−→dEP (M))
donc :
−→dE ,
−→dEP ′ +
−→dEP ⊥ Π∗
Le champ−→E cree en un point M d’un plan d’antisymetrie Π∗ de la distribution de charges est normal a ce
plan.
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I Symetrie cylindrique
En coordonnees cylindriques :−→E (M) = Er(r, θ, z)
−→er + Eθ(r, θ, z)−→eθ + Ez(r, θ, z)
−→ez
© (M,−→er ,−→eθ ) = Π donc Ez = 0
© (M,−→er ,−→ez ) = Π donc Eθ = 0
© Invariance par rotation autour de (Oz) donc E(r, z)
© Invariance par translation selon (Oz) donc E(r)
Finalement−→E (M) = Er(r)
−→er le champ est radial
Exemple : Le fil infini charge
I Symetrie spherique
En coordonnees spheriques :−→E (M) = Er(r, θ, ϕ)−→er + Eθ(r, θ, ϕ)−→eθ + Ez(r, θ, ϕ)−→eϕ
© (M,−→er ,−→eθ ) = Π donc Eϕ = 0
© (M,−→er ,−→eϕ) = Π donc Eθ = 0
© Invariance par rotation autour de O donc E(r)
Finalement−→E (M) = Er(r)
−→er le champ est radial
Exemple : Champ cree par une charge unique, ou une boule chargee
II Circulation et potentiel electrostatique
II - 1 Circulation du champ E
a) Definition
Soient M et M’ deux points infiniment proches sur la courbe (AB)−−−→MM ′ = d
−−→OM le vecteur deplacement elementaire
Soit une charge q0 placee en O, elle cree en M un champ−→E (M)
Definition : On appelle circulation elementaire le produit scalaire dC ,−→E .d−−→OM
Le long de la courbe AB, C =
∫AB
−→E .d−−→OM , c’est la circulation de
−→E sur AB
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b) Cas d’une charge ponctuelle
Dans la base spherique :
−−→OM = r −→er
etd−−→OM = dr −→er + rdθ −→eθ + rsinθdϕ −→eϕ
D’autre part, le champ cree en M par q0 place en O est :
−→E (M) =
q0
4πε0r2−→er
Il vient
dC =−→E (M).d
−−→OM =
q0
4πε0
dr
r2= −d
(q0
4πε0r
)Sur le chemin AB (OA = r1, OB = r2)
C =
∫ABC =
∫AB
−→E (M).d
−−→OM =
∫ r2
r1
−d(
q0
4πε0r
)=
q0
4πε0
(1
r1− 1
r2
)On dit que la circulation du champ
−→E est conservative car elle ne depend pas du chemin suivi mais seulement
des etats initial et final. (analogie mecanique et force conservatives)
Remarque : Pour une courbe fermee : C =
∮(C)
−→E .−→dl = 0
c) Distribution quelconque
D’apres le principe de superposition cette propriete s’etend au champ−→E cree par une distribution de charges
quelconque.
Ý La circulation de tout champ electrostatique est conservative
II - 2 Potentiel electrostatique
a) Charge unique
On a vu dC = −d(
1r1− 1
r2
)et CAB = q0
4πε0
(1r1− 1
r2
)La circulation mesure la variation d’une grandeur scalaire, appelee potentiel electrostatique, notee V
V (r) =q0
4πε0r(+cst) CAB = VA − VB dC =
−→E .d−−→OM = −dV
Remarque : Le potentiel n’est connu qu’a une constante pres qu’on choisit nulle quand c’est possible (pas desources a l’infini donc V −→
r→∞0)
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b) Distribution de charges
Discrete
• V (M) =∑i
Vi(M) =∑i
qiPiM
(P1(q1), P2(q2)...)
Continue
• Lineique V (M) =1
4πε0
∫(r)
λdl
PM(dq = λdl)
• Surfacique V (M) =1
4πε0
∫∫(S)
σd2S
PM(dq = σdS)
• Volumique V (M) =1
4πε0
∫∫∫(V )
ρd3V
PM(dq = ρdV )
c) Relation locale champ/potentiel
On appelle gradient de f , l’operateur vectoriel−−→gradf defini par
df =−−→gradf.d
−−→OM
En coordonnees cartesiennes
Soit (O,−→ex,−→ey ,−→ez ) un repere orthonormal direct
d−−→OM = dx−→ex + dy−→ey + dz−→ez
Soit (x, y, z) 7−→ f(x, y, z) une fonction scalaire de 3 variablesLa differentielle de f s’ecrit
df =∂f
∂x |y,zdx+
∂f
∂y |x,zdy +
∂f
∂y |x,ydz
Ainsi
−−→gradf =
∂f
∂x−→ex +
∂f
∂y−→ey +
∂f
∂z−→ez
Interpretation graphique
df = 0 si−−→gradf ⊥ d
−−→OM
Le vecteur gradient est normal aux surface de f constant, le vecteur gradient est dirige vers les fcroissants.
Point mathematique : Le gradient
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Pour un potentiel electrostatique on a vu dC =−→E .d−−→OM = −dV
Or dV =−−→gradV.d
−−→OM
donc−→E = −
−−→gradV
−→E est un champ de gradient, il derive d’un potentiel VEn coordonnees cartesiennes :
Ex =∂V
∂x |y,z; Ey =
∂V
∂y |x,y; Ez =
∂V
∂z |x,y
Proprietes :
Ý−→E est orthogonal aux surfaces V = cst, les equipotentielles
Ý−→E est dirige vers les potentiels decroissants
II - 3 Exemples
a) Carre a 4 charges
On cherche a calculer V(M) puis−→E (M) pour M ∈ (Oz)
Determiner la distance r = AM
D’apres l’expression du potentiel cree par une charge et sachant que les potentiels sont additifs, determinerV(M)
En deduire−→E (M)
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b) Disque uniformement charge
On considere un disque de centre O, de rayon R, uniformementcharge en surface de densite surfacique de charge σ
On cherche V(M) et−−−→E(M) en un point M sur l’axe (Oz)
Pour calculer V(M) on isole une petite surface d’epaisseur dr situee a unedistance r de O.
Determiner la distance entre un point de cette surface et en deduire sa contribution au potentiel dV (M).
En deduire le potentiel V (M)
En deduire−→E (M) (on separera les cas en fonction de z)
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Tracer les fonction V (z) et E(z), que peut-on dire de la courbe de E(z) ?
Remarque : On peut verifier que−→E verifie bien les symetries et invariances
© Symetries : tout plan contenant Oz est un plan de symetrie donc−→E (M) = E(M)−→ez
© Invariances : Le systeme est invariant par rotation autour de Oz donc−→E (M) = E(z)−→ez
II - 4 Energie potentielle electrostatique
I Rappel de mecanique
Pour une force−→f conservative, on peut definir une energie potentielle Ep dont la force derive :
δW =−→f .d−−→OM = −dEp
−→f = −
−−→gradEp
I Energie potentielle electrostatique
Une charge q soumise a un champ−→E ext ressent une force
−→f = q
−→E ext
Le travail elementaire de cette force lors d’un deplacement d−−→OM est : δW =
−→f .d−−→OM = q
−→E ext.d
−−→OM
Or −→E ext = −
−−→gradVext donc δW = −q
−−→gradVext.d
−−→OM = −qVext
FinalementδW = −d(qVext)
Ý La force electrostatique est donc conservative et derive d’une energie potentielle electrostatique (definie aune constante pres)
Ep = qVext−→f = −
−−→gradEp
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III Flux et theoreme de Gauss
III - 1 Definition du flux electrostatique
Soit un vecteur champ electrostatique−→E et une surface orientee
par le vecteur unitaire normal −→n
On appelle vecteurs surface elementaire d−→S = dS−→n
On appelle flux elementaire a travers d−→S le produit scalaire dφ =
−→E .d−→S
A travers la surface (S) on a donc φ =
∫∫(S)
−→E .d−→S
Remarque : L’orientation de la surface est arbitraire mais on choisit conventionnellement la normale sortantedans le cas des surfaces fermees
III - 2 Theoreme de Gauss
a) Proprietes du flux de E
Le flux du champ−→E cree par une charge ponctuelle q0 a travers une surface (S) fermee s’ecrit
φ =v −→E .d−→S = q0
ε0si la surface contient q0
= 0 sinon
I Justification graphique
q0 interieur, tout les dφ ont le meme signeq0 exterieur, les dφ sont de signes opposes et s’annulentles uns les autres
Remarque : φ = q0ε0
est independant de la position de q0 dans la surface.
b) Enonce du theoreme
Grace au theoreme de superposition, on peut generaliser la propriete precedente au champ−→E cree par une
distribution quelconque
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Soit une distribution de charges creant un champ electrostatique−→E . Alors le flux de
−→E a travers
une surface fermee est
φ ={
(S)
−→E .d−→S =
Qintε0
Theoreme de Gauss
Distribution continue Distribution discrete
φ = Qint
ε0φ =
∑qint
ε0
Remarque : Toutes les charges de la distribution contribuent a−→E mais seules celles a l’interieur de (S)
contribuent au flux de−→E a travers (S)
III - 3 Calculs des champs
a) Principe
On applique le theoreme de Gauss dans les cas a hautes symetries ce qui permet un calcul facile des integrales
1. Choix du systeme de coordonnees
2. Analyse des invariants et des symetries
3. Choix de la surface de Gauss
— Passant par le point M ou l’on veut calculer le champ
— Telle que−→E//−→n (
−→E normal aux equipotentielles)
— Fermee— Telle que
−→E =
−→cst sur toute la surface
Ý Ce choix donne une expression simple du flux :
φ ={
(S)
−→E .d−→S =
{
(S)
E.dS = E(M){
(S)
dS = E(M).S
4. On calcule la charge interieur Qint a la surface (S)
5. On applique le theoreme de Gauss φ = Qint
ε0
Comme φ = E(M).S il vient
E(M) =Qintε0S
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b) La boule homogene
Soit une boule de entre O de rayon R uniformementchargee de densite de charge ρ
1. Systeme de coordonnees
2. Invariances et symetries
3. Surface de Gauss
4. Calcul de la charge interieure
5. Theoreme de Gauss
Remarque : Lorsque r > R on retrouve le champ d’une charge ponctuelle Qtot placee en O
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On trace l’allure de Er :
c) Cylindre infini charge en volume
Soit un cylindre infini d’axe (Oz) de rayon R portant une chargevolumique uniforme ρ
1. Systeme de coordonnees
2. Invariances et symetries
3. Surface de Gauss
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4. Calcul de la charge interieure
5. Theoreme de Gauss
d) Plan infini uniformement charge en surface
Soit un plan infini selon (Oyz) portant une charge surfaciqueuniforme σ
1. Systeme de coordonnees
2. Invariances et symetries
3. Surface de Gauss
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4. Calcul de la charge interieure
5. Theoreme de Gauss
Remarque : On trouve que la composante normale (suivant −→ex) est discontinue a la traversee d’un plan charge
III - 4 Le condensateur
a) Definition
Un condensateur est forme de deux armatures conductrices chargees en leur surface. C’est la quantite decharges ”en regard” qui va caracteriser le condensateur.
Dans un condensateur a l’equilibre les charges se repartissent uniformement a la surface.Les deux surfaces ont des charges opposees Q et -Q, on appelle Q la charge du condensateur
Il existe egalement une difference de potentiel entre les deux armatures : U = V1 − V2 avec V1 lie a Q1 = Qet V2 lie a Q2 = −Q
On definit la capacite par C =Q
U=
Q
V1 − V2
b) Cas du condensateur plan
On la modelise par deux armatures ”infinies” (dimensions grandes devant la distance inter-armature)Une plaque au potentiel V1 porte une charge surfacique σ, l’autre a V2, −σ
• Le champ−→E 1 cree par l’armature 1 est :
−→E1 = − σ
2ε0−→ex si x < 0
= + σ2ε0−→ex si x > 0
• Le champ−→E 2 cree par l’armature 2 est :
−→E2 = − σ
2ε0−→ex si x < e
= + σ2ε0−→ex si x > e
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Le champ total est donc donne par
−→E =
0 si x < 0σε0−→ex si 0 < x < e
0 si x > e
Le champ est nul en dehors de l’espace inter-armatures
Pour calculer la capacite C du condensateur on s’interesse a une portion de surface S decoupee sur l’armature,elle porte la charge Q = σS
En faisant circuler−→E d’une armature a l’autre on obtient
COA =
∫OA
−→E .d−−→OM =
∫OA−−−→gradV.d
−−→OM =
∫OA−dV = V1 − V2
D’autre part−→E =
σ
ε0
−→ex donc−→E .d−−→OM =
σdx
ε0
Ainsi
COA =
∫OA
−→E .d−−→OM =
∫ e
0
σdx
ε0=σe
ε0
En rassemblant les deux expressions calculees de COA on obtient σeε0
= V1 − V2
Finalement
C =Q
V1 − V2=Sε0e
III - 5 Analogie avec la gravitation
Gravitation Electrostatique
Source des champs masses
Relation Champ/force−→f = m
−→G
Champ pour une source ponctuelle−→G = −Gm0
r2−→er
Circulation conservative∮ −→E .d−−→OM = 0
Relation champ/potentiel−→E = −
−−→gradV et V = q0
4πε0r
Flux non conservatifv −→E .d−→S = Qint
ε0
Ý On pourra utiliser le theoreme de Gauss pour calculer le champ gravitationnel cree par une distribution demasse
Qint ←→Mint1
4πε0←→ −G
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IV Dipole electrostatique
IV - 1 Definition
Il s’agit d’une distribution de charges constituee de deux charges opposees {A(−q);B(+q)}
On definit le moment dipolaire par le vecteur oriente du vers le ⊕ : −→p , q−−→AB
[p] = C.m
Remarque : On en rencontre souvent en chimie lorsque le barycentre des charges negatives d’une moleculen’est pas confondu avec celui des charges positives.
En chimie on utilise une unite differente : le Debye, 1D ' 0, 3.10−29C.mon le note souvent −→µ
Exemple : µH2O = 1, 85 D, µNH3 = 1, 47 D, µCO2 = 0 D
IV - 2 Potentiel d’un dipole
On se place en un point M tres eloigne du dipole
M est repere par ses coordonnees spheriques, M(r, θ, ϕ)
De meme on a V (M) = V (r, θ, ϕ)
On va chercher V (M) pour en deduire ensuite−→E (M)
Invariances
Pour calculer V, on applique le theoreme de superposition
V (M) = VA(M) + VB(M) =
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On etudie le champ−→E loin du dipole (r � a), on effectue donc un developpement limite au premier
ordre non nul en ar
Approximation dipolaire
On essaye d’exprimer 1AM et 1
BM de facon simple en utilisant l’approximation dipolaire :
−−→BM =
−−→OM −
−−→OB
BM2 = OM2 − 2−−→OM.
−−→OB +OB2
BM2 = r2 − 2ra
2cosθ +
a2
4
BM2 = r2
(1− a
rcosθ +
a2
4r2
)On a donc 1
BM = 1r
(1− a
r cos θ + a2
4r2
)−1/2
Avec un developpement limite possible grace a l’approximation dipolaire, on obtient :
1
BM' 1
r
(1 +
a
2rcos θ
)De meme
1
AM' 1
r
(1− a
2rcos θ
)Ainsi
V (M) ' q
4πε0
(1
r+a cos θ
2r2− 1
r+a cos θ
2r2
)=qa cos θ
4πε0r2=p cos θ
4πε0r2
Finalement V (M) =−→p .−→er
4πε0r2
Remarque : La decroissance en 1r2
caracterise un potentiel qui diminue plus vite avec r que pour une chargeponctuelle.De plus comme on se place loin du dipole AM ' BM , le potentiel est donc plus faible que pour une chargeunique.
IV - 3 Champ lointain du dipole
Le champ−→E derive du potentiel V ,
−→E = −
−−→grad V
En coordonnees spheriques : Er = −∂V∂r |θ,ϕ, Eθ = −1
r∂V∂θ |r,ϕ, Eϕ = − 1
r sin θ∂V∂ϕ |r,θ
Sachant que V ne depend pas de ϕ Le champ−→E n’a pas de composante suivant −→eϕ
(Previsible car (M,−→er ,−→eθ ) = Π)
Er = −∂V∂r |θ,ϕ = 2p cos θ
4πε0r3
Eθ = −1r∂V∂θ |r,ϕ = p sin θ
4πε0r3
−→ −→E =2p cos θ−→er + p sin θ−→eθ
4πε0r3
20
Or −→p = p cos θ−→er − p sin θ−→eθ
On peut alors ecrire−→E =
(3−→p .−→r )−→r −−→p r2
4πε0r3cette formule a l’avantage d’etre independante du systeme de
coordonnees
Positions de Gauss
Ce sont des points en lesquels le champ−→E prend une forme particuliere.
G1 (θ = 0)
Er1 =
Eθ1 =
G2 (θ = π2 )
Er2 =
Eθ2 =
G3 (θ = π)
Er3 =
Eθ3 =
G4 (θ = 3π2 )
Er4 =
Eθ4 =
IV - 4 Actions d’un champ exterieur sur un dipole
a) Champ exterieur uniforme
C’est le cas usuel car le dipole est souvent de faibles dimensions par rapport a la longueur caracteristique desvariations du champ exterieur. On suppose le dipole rigide (AB = a = cst)
On note−→E0 le champ exterieur (uniforme)
Force resultante :−→F =
−→fA +
−→fB = −q
−→E0 + q
−→E0 =
−→0
−→F =
−→0
La somme des forces est nulle mais quand on les represente on comprend que leur action ne l’est pas.
L’action du champ−→E0 est un couple de force dont le moment est :
−→Γ =
−→OA ∧
−→fA +
−−→OB ∧
−→fB
−→Γ =
−→OA ∧ (−q
−→E0) +
−→OA ∧ (q
−→E0)
−→Γ = q(−
−→OA+
−−→OB) ∧
−→E0
−→Γ = q
−−→AB ∧
−→E0
21
−→Γ = −→p ∧
−→E0
L’action du couple est d’aligner le dipole sur la direction du champ jusqu’a la position d’equilibre (Γ = 0)
Ý −→p dans le sens de−→E0 : equilibre stable
Ý −→p dans le sens oppose a−→E0 : equilibre instable
b) Action d’un champ non-uniforme
Le dipole etant de faible dimension la variation du champ exterieur entre A et B est d’ordre 1. On peut ecrire :
−→E ext(B) =
−→E ext(A) + d
−→E ext
Ý Le moment resultant n’est quasiment pas modifie
−→Γ = −→p ∧
−→E ext(O)
Ý La resultante des forces n’est pas nulle et :
−→F = qd
−→E ext
L’action d’un champ non uniforme sur un dipole est :
© Ordre 0 : Alignement du dipole sur−→E ext
© Ordre 1 : Entrainement du dipole vers les zones de champ fort
c) Energie d’interaction
Le champ exterieur derive d’un potentiel Vext, on peut ecrire−→E ext = −
−−→grad Vext
Ep = qAVext(A) + qBVext(B)
Ep = q(Vext(B)− Vext(A))
Ep = q dV
Ep = q−−→gradVext.
−−→AB
Ep = −q−→E ext.
−−→AB
Finalement Ep = −−→p .−−→Eext
Cette energie potentielle est minimale si −→p et−→E ext sont dans le meme sens et si ||
−→E ext|| est maximum, c’est
la position d’equilibre stable
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