Économie pour les ingénieurs chapitre 2 les formules déquivalence et dintérêt
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Économie pour les ingénieurs
Chapitre 2
Les formules d’équivalence et d’intérêt
Plan du chapitre
• L’intérêt : le loyer de l’argent• L’équivalence économique• L’élaboration des formules d’intérêt• Les calculs d’équivalence non classiques• Les calculs par ordinateur
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.1 L’intérêt : le loyer de l’argent
• Les décisions en ingénierie impliquent souvent un arbitrage entre les bénéfices et les coûts qui sont réalisés à des périodes différentes dans le temps.
• Typiquement, on investit aujourd’hui dans un projet pour en tirer des bénéfices dans l’avenir.
• Ce chapitre examine comment on peut faire des comparaisons entre des bénéfices et des coûts qui sont réalisés à différentes périodes dans le temps.
• La clé de ces comparaisons est le taux d’intérêt.
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.1 L’intérêt : le loyer de l’argent
• La valeur temporelle de l’argent
– L’argent possède un potentiel de profit dans le temps.
– Un dollar reçu aujourd’hui a plus de valeur qu’un dollar reçu à une date ultérieure.
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.1 L’intérêt : le loyer de l’argent
• Les éléments des transactions à intérêt– Capital (P)– Taux d’intérêt (i)– Période d’intérêt – Nombre de périodes d’intérêt (N)– Plan des recettes ou des débours
(paiements) (A)– Somme capitalisée (F)
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Un diagramme de flux monétaire et la convention de fin de période
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Les méthodes de calcul et l’intérêt
• L’intérêt simple
IS = iPN
F = P + I = P + iPN = P(1 + iN)• L’intérêt composé
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Les méthodes de calcul et l’intérêt
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
+ = P(1 + i)2 + P(1 + i)2 i = P(1 + i)3 P(1 + i)2 iP(1 + i)23
+ = P(1 + i) + P(1 + i) i = P(1 + i)2 P(1 + i) iP(1 + i)2
+ = P + P i = P(1 + i)P iP1
Montant de la dette à la fin de la périodeMontant des intérêts
Montant du prêt
Début de période
+ = P(1 + i)N [P(1 + i)N-1] iP(1 + i)N-1N
...
...
...
Exemple
• Prêt de 1000 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt simple de 5 %/an. Combien sera remboursé à la fin de trois ans ?
• Solution– Intérêt par année = 1000(0,05) = 50 $– Intérêt total sur trois ans = 1000(3)(0,05) =
150 $– Montant à rembourser à la fin de trois ans
= 1000 + 150 = 1150 $
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Exemple
• Prêt de 1000 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt composé de 5 %/an. Combien sera remboursé à la fin de trois ans ?
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Exemple
• Solution– n = 1 : 1000,00(0,05) = 50,00 $– Dette à la fin n = 1 : 1000 + 50 = 1050 $– n = 2 : 1050,00(0,05) = 52,50 $– Dette à la fin n = 2 : 1050 + 52,50 = 1102,50
$– n = 3 : 1102,50(0,05) = 55,13 $– Dette à la fin n = 3 : 1102,50 + 55,13 =
1157,63 $
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Exemple
• Solution (méthode plus rapide)– n = 1 : 1000,00(1,05) = 1050,00 $– n = 2 : 1000,00(1,05)2 = 1102,50 $– n = 3 : 1102,50(0,05)3 = 1157,63 $
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Commentaires
• La divergence entre l’intérêt simple et l’intérêt composé croît à chaque année.
• Avec les paramètres précédents:– Sur 10 ans la différence est de 128,90 $– Sur 20 ans la différence est de 653,30 $
• Manhattan • Intérêt simple = capital x nombre de périodes x taux
d’intérêt• Intérêt composé = (capital + intérêt couru) x taux
d’intérêt
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.2 L’équivalence économique
• Différentes sommes d’argent à différents moments peuvent avoir la même valeur économique.
• Pris ensemble, la valeur temporelle de l’argent et le taux d’intérêt permettent de développer le concept de l’équivalence économique.
• Pour un taux d’intérêt de 6 %/an, 100 $ aujourd’hui et 106 $ dans un an sont équivalents.
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.2 L’équivalence économique
• On peut aussi examiner l’équivalence pour les années antérieures en appliquant la même logique.
• La somme de 100 $ aujourd’hui est équivalente à 94,34 $ (100$/1,06) il y a un an pour un taux d’intérêt de 6 % par année.
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.2 L’équivalence économique
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.2 L’équivalence économique
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3 L’élaboration des formules d’intérêt
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3 L’élaboration des formules d’intérêt
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
• Les tables d’intérêt
F = 20 000 $(1 + 0,12)15 = 109 472 $
Annexe C
(1,12) 15 = 5,4736
• La notation des facteurs
F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N)
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3 L’élaboration des formules d’intérêt
• Facteur de capitalisation– Si une somme actualisée, P, est investie
pendant N périodes d’intérêt à un taux, i, quelle somme sera accumulée à la fin de N périodes ?
– F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N)
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2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques
• Facteur d’actualisation– Pour trouver un montant actualisé, P, si un
montant, F, est fourni à un taux, i.
– P = F(1 + i)-N = F(P/F, i, N)
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.3 Les flux monétaires irréguliers
2.3.3 Les flux monétaires irréguliers
• P = 25 000 $(P/F, 10%, 1) + 3 000 $(P/F, 10%, 2) + 5 000 $(P/F, 10%, 4)
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2.3.4 Les annuités
• Facteur de capitalisation d’une annuité - Trouver F, étant donné A, i, N.
• Facteur d’amortissement - Trouver A, étant donné F, i, N.
• Facteur de recouvrement du capital - Trouver A, étant donné P, i, N.
• Facteur d’actualisation d’une annuité - Trouver P, étant donné A, i, N.
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.4 Les annuités
• Facteur de capitalisation d’une annuité
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.4 Les annuités
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
F = A(1 + i)N-1 + A(1 + i)N-2 + … + A(1 + i) + A
F = A + A(1 + i) + A(1 + i)2 + … + A(1 + i)N-1
(1 + i)F = A(1 + i) + A(1 + i)2 + … + A(1 + i)N
F(1 + i) - F = - A + A(1 + i)N
= A(F/A, i, N)F = (1+i)N - 1
iA
2.3.4 Les annuités
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.4 Les annuités
• Facteur d’amortissement
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
= F(A/F, i, N)F (1 + i)N - 1
iA =
2.3.4 Les annuités
• Facteur de recouvrement du capital
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
(1 + i)N - 1
iA = PP
(1 + (1 + ii))NN
= P (A/P, i, N)
2.3.4 Les annuités
• Facteur d’actualisation d’une annuité
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
(1 + i)N - 1P = AA
i (1 + (1 + ii))NN= A (P/A, i, N)
2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire
• Facteur d’actualisation
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
P =G
(1+ i)N −iN −1i2(1+ i)N
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=G(P / G, i,N)
2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire
• Facteur de conversion du flux monétaire d’un gradient en annuité
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
A =G(1+ i)N −iN −1
i (1+ i)N −1⎡⎣ ⎤⎦
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥=G(A / G, i,N)
2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire
• Facteur de capitalisation
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
F =
Gi
(1+ i)N −1i
−N⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=G(F / G, i,N)
2.3.6 Le flux monétaire d’un gradient géométrique
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.6 Le flux monétaire d’un gradient géométrique
• Facteur d’actualisation
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.3.6 Le flux monétaire d’un gradient géométrique
• Facteur de capitalisation
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.4 Les calculs d’équivalence non classiques
• Les flux monétaires composés
• La détermination d’un taux d’intérêt pour établir une équivalence économique
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.4 Les calculs d’équivalence non classiques
00 11 44 5533 6622
50$50$
100$100$
150$150$200$200$
100$100$ 100$100$
150$150$ 150$150$ 150$150$
77 88 99
543,72$543,72$
Calcul avec la méthode 1 :Calcul avec la méthode 1 : [50$(P/F,15%,1) = 43.48$] + [100$(P/F,15%,2) = 75.61$] + [100$(P/F,15%,3) = 65.75$] + [100$(P/F,15%,4) = 57.18$] + [150$(P/F,15%,5) = 74.58$] + [150$(P/F,15%,6) = 64.85$] + 150$(P/F,15%,7) = 56.39$ + [150$(P/F,15%,8) = 49.04$] + [200$(P/F,15%,9) = 56.85$] = 543.72$543.72$
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
00 11 44 5533 6622
50$50$
100$100$
150$150$200$200$
100$100$ 100$100$
150$150$ 150$150$ 150$150$
77 88 99
Groupe 1Groupe 1Groupe 2Groupe 2
Groupe 3Groupe 3 Groupe 4Groupe 4
50$(P/F,15%,1) = 43.48$
100$(P/A,15%,3)(P/F, 15%,1) = 198,54$
150$(P/A,15%,4)(P/F,15%,4) = 244.45$
200$(P/F,15%,9) = 56.85$
Calcul avec la méthode 2 :Calcul avec la méthode 2 :
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.4 Les calculs d’équivalence non classiques
F F 11= ? = ?
1321 30 654 127 1098 11 17161514 18 19 20
Stratégie 1Stratégie 1
100 000$100 000$
F F 22= ? = ?
1321 30 654 127 1098 11 17161514 18 19 20
Stratégie 2Stratégie 2
100 000$100 000$
FF1 1 = 100 000$(F/A,7%,7)(F/P,7%,13) = 2 085 485 $= 100 000$(F/A,7%,7)(F/P,7%,13) = 2 085 485 $
FF2 2 = 100 000$(F/A,7%,13) = 2 014 064 $= 100 000$(F/A,7%,13) = 2 014 064 $
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.4 Les calculs d’équivalence non classiques
FF11 = ? = ?
1321 30 654 127 1098 11 17161514 18 19 20
Stratégie 1Stratégie 1
100 000$100 000$
FF22 = ? = ?
1321 30 654 127 1098 11 17161514 18 19 20
Stratégie 2Stratégie 2
100 000$100 000$
V7 = 100 000$(F/A, i, 7)
V7 = 100 000$(P/A, i, 13)
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.4 Les calculs d’équivalence non classiques
Pour assurer l’équivalence : 100 000$(F/A, i, 7) = 100 000$(P/A, i, 13)
Essaie et erreur…
Si i = 6 %… = 0,9482Si i = ? %… = 1Si i = 7 %… = 1.0355
i = 6% + (7% - 6%)
1 - 0,9482
1.0355 - 0,9482
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥= 6,5934%
(F/A, i, 7)
(P/A, i, 13)= 1
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt
2.4 Les calculs d’équivalence non classiques
i
(F/A, i, 7)/(P/A, i, 13)
6,5934%
1,0000
7%
1,0355
6%
0,9482
Fin du chapitre
Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt