Economie de l’Incertain

CHAPITRE 1

Comportements individuels quand le risque estobjectivement defini

-Universite de Tours - L3 ECO - Arnold Chassagnon - Hiver 2017

Plan

1 Representations du risque

2 Evaluations du risque

3 Instruments de mesure de l’aversion pour le risque

1

Representations du risque

- distributions discretes et continues

- Statistiques sur les distributions

Trois niveaux de risque

A la suite de Frank Knight, on peut distinguer trois degres dans laconnaissance imparfaite d’un agent soumis a l’alea :

1. l’incertain

2. le risque

3. l’expertise.

L’incertitude

On dira un agent dans l’incertitude en l’absence de touteconnaissance positive d’une distribution de l’alea. Il connaıt lesdifferents etats de la nature, mais ne peut y associer de probabilite.A ce stade, les opportunites d’echange mutuellement avantageusessont limitees et la rationalite qui les supporte, rudimentaire.

Le risque

Au second degre, la connaissance d’une distribution permet al’agent de se representer le risque auquel il est soumis par desindicateurs comme la moyenne ou la variance d’un choc et d’etablirdes echelles de comparaison avec d’autres risques associes auxmemes etats de la nature. Ceci est le point de depart de la theoriede l’assurance.

L’expertise

Enfin, il est possible que d’autres agents aient une connaissanceplus fine du vrai etat de la nature (mais possiblement imparfaite).C’est alors que le cadre economique peut integrer, par unmecanisme d’echange elabore, une reduction de cette asymetrie del’information.

Probabilites et distributionsCardan (1501-1576) : � le joueur savant �.

Probabilite d’un evenement = ] resultats favorables /] evenements possibles.

� Pile � a une probabilite de 1/2.Probabilite[obtenir un six au moins une fois en 3 lances]≥1/2 ? c’est = 1− (5/6)3 = 04213 (de Mere).

Remarque : On aurait pu penser que comme en un lance, laprobabilite de voir apparaıtre 6 est de 1/6, en trois lances, elleest trois fois plus grande (parce qu’on additionne la probabilited’apparaitre au premier tour, puis la probabilite d’apparaitre ausecond tour et la proba d’apparaıtre au 3e tour. En fait, c’estmeconnaıtre le fait que si 6 n’est pas apparu au premier tour,la probabilite qu’il apparaisse au second tour doit etre declasseedu fait qu’il n’est pas apparu au premier tour. Puis que si le 6n’est pas apparu au 1er et 2e tour, sa probabilite d’apparaıtre autroisieme tour doit etre deflatee du fait de ne pas etre apparu au1er et au 2e tour. En d’autres termes : La probabilite d’avoir 6au moins une fois en trois lances est : 1

6+ 5

6∗ 1

6+(

56

)2 ∗ 16< 1

2.

Distributions du risque

Distributions discretesIl y a un nombre fini d’evenements possibles i ∈ I, chacun avecprobabilite pi . Cette association a chaque evenement de saprobabilite, c’est ce qu’on appelle la distribution des risque. Cettedistribution satisfait toujours la contrainte

∑i∈I

pi = 1

100

50

0

1/3

1/2

1/6

Distributions continuesIl y a un nombre infini, voire continu d’evenements possibles :chacun, pris isolement apparaıt avec une probabilite nulle. Lafonction de repartition decrit le poids relatif des evenements defaible gain par rapport aux evenements de gains plus eleves.

F (x) = Prob(X ≤ x)

Fonctions de repartition

1

x

F (x)

u0

p

Figure – deux fonctions de repartitions : F et G

Statistiques

Moyenne∑

i probabilites * richessesdans l’exemple precedent, moyenne=50

Variance une mesure de la distance a la moyenne.exemple : la distribution A a une plus grande varianceque la distribution B.

75

25

100

0VAR(B) ≤ VAR(A)

1/2

1/2

1/2

1/2

Modes represente le/les evenements avec la plus grande pro-babilie

Fractiles Divise la population en classes egales, representees parune richesse pivot.

Statistiques - Pour aller plus loin

Il y a en fait deux familles de statistiques :

les statistiques de position dont l’objectif est de donner un ordre degrandeur des valeurs observees

les statistiques de dispersion qui evaluent le niveau d’etalement dela serie autour de la valeur centrale.

Les parametres de position (ou valeurs centrales) sont des valeursnumeriques qui � resument � une serie statistique en caracterisantl’ordre de grandeur des observations. Ils s ?expriment dans la memeunite que les observations. Les parametres de position permettentde situer la position de plusieurs series comparables. Lorsque ladistribution est parfaitement symetrique, mode, moyenne etmediane sont confondues.

x

n

Figure – Les deux courbes ont la meme allure, mais ne se positionnentpas du tout au meme endroit sur l’axe des valeurs (des modalites). Lesparametres de position le mettent clairement en evidence.

Moyenne arithmetique d’un ensemble de N nombres

DefinitionLa moyenne arithmetique de N nombres est egale a la somme deces nombres divisee par leur nombre.

x =1

N

∑i

xi

Exemple simple

3 individus, gagnent respectivement 10.000 euros, 20.000 euros et30.000 euros. La moyenne de leur revenu est 20.000 euros.

Remarque

La moyenne arithmetique est exactement la quantite qui pourraitetre identiquement distribuee a chaque individu. En effet, la

consequence directe de la definition de x est : N x =1

N

∑i xi .

Moyenne arithmetique d’une distributionDans le cas d’une distribution, il faut prendre en compte lafrequence d’apparition de chacune des realisations.

Cas discret : a partir du tableau de frequences

Une variable X prend les valeurs xi avec la frequence fi pouri = 1, . . . ,N. La moyenne de cette variable est

X =∑i

fi xi

la comparaison avec la formule du transparent

precedent est immediate.1

Nest remplace par la

frequence (individualisee) de chaque realisation fi .

Cas continu : a partir de la fonction de distribution

Un variable X est definie par sa fonction de distribution f (x), samoyenne est

X =

∫ +∞

−∞x f (x)dx

Distribution representee comme un bruit blanc autourd’une moyenne

Quand il n’y a pas trop de dispersion autour de la moyenne, il estassez naturel de representer une distribution comme etant unevaleur certaine autour de laquelle il y a un bruit blanc.

Definition Un bruit blanc est une variable aleatoire ε dont lamoyenne est nulle (E (ε) = 0) dont les realisations sont faibles enregard de la valeur (de position) x .

Exemple Soit la variable aleatoire A suivante, on peut la representercomme la somme de sa moyenne et du bruit blanc ε = A− E [A] :

50, 3

50, 1

1/2

1/2

= 50, 2 +0, 1

−0, 1

1/2

1/2

A ε

Tout se passe comme si un agent qui etait expose au risque representepar A recevait la valeur sure 50,2, dans un premier temps, cad lamoyenne, et qu’avec egale probabilite, il perde (ou il gagne) a partir decette valeur sure -0,1 (ou +0,1).

Le mode, defini pour toute variable aleatoireLe mode d’une variable qualitative ou quantitative discrete :modalite dont la frequence (absolue ou relative) est la plus elevee.Dans le cas ou une variable continue a ete regroupee en classes, lemode est la classe dont la frequence est la plus elevee.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1 2 3 41.9

Dans l’exemple ci-dessus, le mode de la variable discrete est 2, celui de lavariable continue, 1.9.

Les quantiles : separer une distribution en parts egalesLorsque la variable est ordonnee, si elle est continue, et parfoismeme quand elle est discrete ordonnee, on cherche a representerles differentes parties d’une distribution. On nomme quantiles lesvaleurs qui permettent de separer la distribution en parts egales.L’operation varie avec le nombre de parts.

Dans le cas d’une separation enquatre, les quartiles sont les va-leurs qui partagent la distibutionen 4 parties de 25%.

Dans le cas d’une separation endeux, la mediane est la valeur quipartagent la distibution en 2.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Q2Q1 Q3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Me

Le quantile, defini pour les variable ordonnees

Definitionles quantiles sont les valeurs de la variable partageant la serieclassee par ordre croissant de la variable en k sous-ensemblesegaux.

k = 2 c’est la mediane Me

k = 4 c’est les quartiles Q1,Q2,Q3

k = 10 c’est les deciles D1,D2,. . .,D9

k = 100 c’est les centiles C1,C2,. . .,C99

Calcul du nieme quantile (n < k)

I Classer les donnees en ordre croissant, et calculer lesfrequences cumulees F (x)

I Si ∃xi / F (xi ) = n/k : le nieme quantile est xi .

I Si ∃xi−1, xi / F (xi−1) < n/k < F (xi ) : le nieme quantile estxi . On peut parfois considerer l’intervalle ]xi−1, xi ] ou en fairela moyenne de xi−1, xi (dans le cas de la mediane, on parled’intervalle median).

Exemple

Modalite Effectifs Frequences Freq. cumulees Qi

2 1 0.1 0.1

3 3 0.3 0.4 0.25

4 4 0.4 0.8 0.5 ; 0.75

6 2 0.2 1

Total 10 1

Dans la pratique, il faut trouver les modalites dont la frequence cumuleeest “juste au-dessus” de 0.25, 0.5, 0.75

Prouver dans l’exemple suivant que le nombre d’enfants median est 2

nb enfants 0 1 2 3 + de 3Effectifs 2 1 4 2 1

2

Evaluations du risque

Comparaisons - FSDCertaines comparaisons admises par tous sont robustes. Ainsi, onpreferera la loterie B a la loterie A si l’utilite des agents estcroissante avec la richesse dans chaque etat de la nature.

175

25

100

0B A

1/2

1/2

1/2

1/2

Definition : On dira qu’une distribution domine une autredistribution suivant le critere de dominance stochastique de premierordre si cette distribution remunere plus tous les etats de la nature.

cependant, ce critere est loin de permettre de classer toutes lesloteries. Ainsi, il sera implossible d’etablir suivant ce critere unordre de preference entre la loterie B et le revenu certain de 50.

Recherche d’un Critere de preference

Pour comprendre le comportement d’un agent, et plus precisementles choix qu’il fait lorsqu’il doit choisir entre plusieurs loteries A etB, on essaye d’etablir un critere de notation des differentes loteries.

Selon quels types de criteres les agentseconomiques classent-ils les loteries ?

Critere Moyenne - Variance

Critere lexicographique

Une plus grande esperance de revenu satisfait l’agent

Une moins grande variance de revenu satisfait l’agent

U(X ) = E (X )− β

αV (X )

Esperance d’utilite

DefinitionPlutot que de prendre l’esperance de la lotterie, tout se passecomme si l’agent appreciait les differents revenus a travers unfiltre. Ainsi, l’agent voit le revenu x a travers son utilite ressentieu(x). Son critere d’evaluation est l’esperance de ces utilites.

U

x

y

z

1/3

1/2

1/6

=1

3u(x) +

1

2u(y) +

1

6u(z)

(EU suite) Utilite marginale decroissante pour la richesseEn general, on estime que la fonction u(x) Von NeumannMorgerstern est concave.

Cette fonction d’utilite VNM permet de representer ce que l’onobserve souvent a travers les choix des agents, a savoir l’utilitemarginale decroissante pour la richesse

x u(x) =√x u(x) = ln(x)

100 10 2,301000 31,63 4,6010.000 100 6,91100.000 316,23 9,21106 1000 11,51

Un accroissement de richesse genere un accroissement d’utilite quiest en relation inverse de la richesse deja accumulee.

Equivalent Certain

Definition : On appelle equivalent certain d’une loterie, la sommed’argent detenue de maniere certaine qui donne la meme utiliteque la loterie

Il est a noter que ce l’equivalent certain definit un critere universelde classement des loteries. Mais la encore, connaıtre l’equivalentcertain donne moins d’information que la connaissance de ladistribution elle-meme.

2 remarques :

- L’equivalent certain d’une loterie peut-etre calcule quand onconnait la forme des preferences d’un individu.- Les parametres des preferences d’un individu donne peuvent etrescalcules quand on connait l’equivalent certain de quelques loteriespour cet individu.

Prime pour le risqueCette fonction d’utilite VNM permet de mesurer ce que l’agent estpret a payer pour echapper au risque. Ce que l’on appelle la primede risque, c’est a dire la difference entre le gain espere, etl’equivalent certain (ou monetaire) de la lotterie.

π = E (L)− EC

Exemple

Supposons que la VNM d’un agent soit u(x) =ln(x) et que cet agent soit expose a la lotterie

150

50

1/2

1/2

Sa richesse esperee est 100

Son utilite est1

2ln(150) +

1

2ln(50) = 4, 661

Or 4, 661 = ln(76, 6)

Sa prime de risque est donc 100− 76, 6 = 13, 4.

Que se passe t’il quand le risque est petit ?

Que signifie un petit risque ou plus communement valeur connue a

quelque perturbation pres ? Il s’agit de situations ou une variable future

n’a pas une realisation x connue de maniere sure, mais une valeur x + ε

ou ε est une petite perturbation autour de x . En toute logique, on

represente cette situation avec ε dont la moyenne est nulle et ou les

realisation de ε sont petites.

Definition Un bruit blanc est une variable aleatoire ε dont lamoyenne est nulle (E (ε) = 0) et dont les realisations sont faiblesen regard de la valeur (de position) x .

Prime pour le risque quand le risque est petitIl est possible de faire une approximation de la prime pour le risquequand le risque est petit.

Proposition La prime de risque associe a un bruit blanc ε devariance σ2, lorsque la valeur principale (ou moyenne) est x peut

etre approximee par η = 12A(x)σ2, ou A(x) = −u′′(x)

u′(x)designe le

coefficient d’aversion absolue pour le risque.

Remarquer que selon cette formule le calcul de la primede risque est simple : la prime est lineaire avec lavariance du risque

Remarquer que plus A(x) est grand, plus la prime derisque est elevee

Remarquer enfin que A(x) depend de la derivee se-conde de la VNM, cad de la curvature de la VNM :plus la fonction est concave, (plus elle aplatit les hautrevenus), plus la prime de risque est elevee

Approximation de la prime de risque quand le risque estpetit (PREUVE de la proposition precedente)

Nous allons faire des approximations de l’utilite d’un agent exposeau risque “autour de x”

(1) Si η est la prime de risque : u(x − η) ≈ u(x)− η u′(x)

(2) Pour toute realisation de ε = u(x+ε) ≈ u(x)+εu′(x)−12 (ε)2u′′(x)

(3) En moyenne donc : E [u(x + ε)] ≈ u(x) + E [ε]u′(x)−12E [(ε)2]u′′(x) = u(x)− 1

2σ2u′′(x)

et donc, si on egalise l’equation (1) et l’equation (3)on trouve :

(4) η = 12

−u′′(x)

u′(x)σ2

Degre d’aversion au risque

Vous disposez d’une richesse de 100 et faites face au risque degagner ou perdre 50 avec egale probabilite. Soit π ce que vous etespret a payer pour echapper au risque.

Degre d’AR π0 00.01 13.44 37.8

10 46.0

Decrire les positions risquees que vous avez si vous contractez uneassurance au prix de la prime de risque.

Coefficient d’aversion absolue pour le risque

Comme il a ete defini plus haut, l’AVERSION ABSOLUE POURLE RISQUE au sens de ARROW-PRATT est un coefficient quidepend de l’ordre de grandeur du risque que l’on subit. Il se definitcomme :

A(x) =−u′′(x)

u′(x)

Remarquer que ce coefficient est POSITIF quand lafonction u(·) est concave

Remarquer que ce coefficient varie avec x : cela signifieque quand la richesse varie, le comportement face aurisque varie.

Dans les exemples standards, on verra que A(x) estdecroissante avec x : plus les agents sont riches, moinsils sont averses au risque.

Aversion decroissante avec la richesse

Exemple

Supposons que la VNM d’un agent soit u(x) =ln(x) et que cet agent soit expose a la lotterie

150

50

1/2

1/2

Comment votre prime de risque evolue si votre richesse initiale estde 1000 ?

Comment votre prime de risque liee au risque de gagner ou perdre50 avec egales probabilites evolue si votre richesse passe de 100 a1000 ?

Il est communement accepte que celle-ci decroıt.

CARA : Aversion constante avec la richesse

Un exemple important etudie par la literature est CARA : ConstantAbsolute Risk Aversion. C’est par definition lorsque

−u”(x)

u′(x)= α ∀x

en integrant, il vient

ln(u′(x)) = −αx + ln(β) ⇐⇒ u′(x) = β exp(−αx)

ce qu’on integre sous la forme

u(x) = γ(1− exp(−αx))

avec la condition u(x) = 0 et γα = β, α, β et γ etant desconstantes.