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Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
AutomatiqueDynamique et Contrôle des Systèmes
NICOLAS PETIT
Centre Automatique et SystèmesUnité Mathématiques et Systèmes
MINES [email protected]
25 mars 2009Amphi 6
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Plan de l’amphi 6
1 Stabilisation et placement de pôles
2 Optimisation de transitoires
3 Contrôleur LQ
4 Régulateur LQR
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Stabilisation et placement de pôles
ddt
x = Ax + Bu
x ∈ Rn, A: matrice n × n, B: matrice n ×mEn boucle ouverte: on peut trouver une loi horaire[0, tf ] 3 t 7→ u(t) amenant le système de tout pointx(0) = p à tout point x(tf ) = q sous hypothèse decommandabilité
C = (B,AB, . . .An−1B) est de rang n = dim(x)
En boucle fermée: on cherche à modifier le système parbouclage
u = Kx
en particulier à le stabiliser. (A + BK )
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Stabilisation et placement de pôles
ddt
x = Ax + Bu
x ∈ Rn, A: matrice n × n, B: matrice n ×mEn boucle ouverte: on peut trouver une loi horaire[0, tf ] 3 t 7→ u(t) amenant le système de tout pointx(0) = p à tout point x(tf ) = q sous hypothèse decommandabilité
C = (B,AB, . . .An−1B) est de rang n = dim(x)
En boucle fermée: on cherche à modifier le système parbouclage
u = Kx
en particulier à le stabiliser. (A + BK )
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Exemple de stabilisation
A =
1 2 3−1 4 01 2 2
, B =
010
A + BK = A + B (k1 k2 k3) =
1 2 3−1 + k1 4 + k2 k3
1 2 2
Valeurs propres souhaitées −1, −2, −3On identifie le polynôme caractéristiques3 + (−k2 − 7)s2 + (−2k1 + 3k2 − 2k3 + 13)s +−2k1 + k2 + 6 = 0à (s + 1)(s + 2)(s + 3) = s3 + 6s2 + 11s + 6 = 0
3 équations linéaires à 3 inconnues
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Exemple de stabilisation
A =
1 2 3−1 4 01 2 2
, B =
010
A + BK = A + B (k1 k2 k3) =
1 2 3−1 + k1 4 + k2 k3
1 2 2
Valeurs propres souhaitées −1, −2, −3On identifie le polynôme caractéristiques3 + (−k2 − 7)s2 + (−2k1 + 3k2 − 2k3 + 13)s +−2k1 + k2 + 6 = 0à (s + 1)(s + 2)(s + 3) = s3 + 6s2 + 11s + 6 = 0
3 équations linéaires à 3 inconnues
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Exemple de stabilisation
A =
1 2 3−1 4 01 2 2
, B =
010
A + BK = A + B (k1 k2 k3) =
1 2 3−1 + k1 4 + k2 k3
1 2 2
Valeurs propres souhaitées −1, −2, −3On identifie le polynôme caractéristiques3 + (−k2 − 7)s2 + (−2k1 + 3k2 − 2k3 + 13)s +−2k1 + k2 + 6 = 0à (s + 1)(s + 2)(s + 3) = s3 + 6s2 + 11s + 6 = 0
3 équations linéaires à 3 inconnues
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Si le système est commandable, on aura toujours une solution.Avec une seule commande: formule d’Ackermann
K = [0 ...0 1] C−1P(A)
où P est le polynôme caractéristique désiré, C la matrice decommandabilité
Placement de pôles
Si la paire (A,B) est commandable alors, pour toute matriceréelle F de taille n × n, il existe une matrice m × n, K (nonnécessairement unique si m > 1), telle que le spectre deA + BK coïncide avec celui de F
Comment choisir les valeurs propres? à parties réelles <0, trèsnegatives le système sera très rapide, éloignées des valeurspropres en boucle ouverte on trouvera des gains forts.
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Si le système est commandable, on aura toujours une solution.Avec une seule commande: formule d’Ackermann
K = [0 ...0 1] C−1P(A)
où P est le polynôme caractéristique désiré, C la matrice decommandabilité
Placement de pôles
Si la paire (A,B) est commandable alors, pour toute matriceréelle F de taille n × n, il existe une matrice m × n, K (nonnécessairement unique si m > 1), telle que le spectre deA + BK coïncide avec celui de F
Comment choisir les valeurs propres? à parties réelles <0, trèsnegatives le système sera très rapide, éloignées des valeurspropres en boucle ouverte on trouvera des gains forts.
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Si le système est commandable, on aura toujours une solution.Avec une seule commande: formule d’Ackermann
K = [0 ...0 1] C−1P(A)
où P est le polynôme caractéristique désiré, C la matrice decommandabilité
Placement de pôles
Si la paire (A,B) est commandable alors, pour toute matriceréelle F de taille n × n, il existe une matrice m × n, K (nonnécessairement unique si m > 1), telle que le spectre deA + BK coïncide avec celui de F
Comment choisir les valeurs propres? à parties réelles <0, trèsnegatives le système sera très rapide, éloignées des valeurspropres en boucle ouverte on trouvera des gains forts.
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Si le système est commandable, on aura toujours une solution.Avec une seule commande: formule d’Ackermann
K = [0 ...0 1] C−1P(A)
où P est le polynôme caractéristique désiré, C la matrice decommandabilité
Placement de pôles
Si la paire (A,B) est commandable alors, pour toute matriceréelle F de taille n × n, il existe une matrice m × n, K (nonnécessairement unique si m > 1), telle que le spectre deA + BK coïncide avec celui de F
Comment choisir les valeurs propres? à parties réelles <0, trèsnegatives le système sera très rapide, éloignées des valeurspropres en boucle ouverte on trouvera des gains forts.
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Liens avec la forme normale
ddt
x = Ax + Bu, (dim B = n × 1)
Changement de variables z = Mx , v = Ex + Nu mettant lesystème sous forme normale de Brunovsky
ddt
z1 = z2, . . . ,ddt
zn−1 = zn,ddt
zn = v
c.-à-d. dn
dtn z1 = vForme canonique
A1 =
0 1 0 ... 00 0 1 ... ...... ... ... ...0 ... 0 0 10 ... 0 0 0
,B1 =
00...1
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Liens avec la forme normale
ddt
x = Ax + Bu, (dim B = n × 1)
Changement de variables z = Mx , v = Ex + Nu mettant lesystème sous forme normale de Brunovsky
ddt
z1 = z2, . . . ,ddt
zn−1 = zn,ddt
zn = v
c.-à-d. dn
dtn z1 = vForme canonique
A1 =
0 1 0 ... 00 0 1 ... ...... ... ... ...0 ... 0 0 10 ... 0 0 0
,B1 =
00...1
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
En boucle fermée, v = K1z: on obtient A1 + B1K1
A1 + B1K1 =
0 1 0 ... 00 0 1 ... ...... ... ... ...0 ... 0 0 1k0 k1 ... ... kn−1
Polynôme caractéristique
sn − kn−1sn−1 − ...− k1s − k0 = 0
à identifier au polynôme désiré.Enfin, changement de variables inverse pour revenir dans lesvariables d’origine (x ,u)
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Optimisation de transitoires
Exemple: réentrée atmosphérique, optimisation d’unetrajectoire (loi horaire)
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
“Rebonds atmosphériques”, osc. phugoïde, Zhukovskii 1949
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Linéarisé tangent autour d’une trajectoire (xr(t), ur(t))
OptimisationLa trajectoire elle même est issue d’une optimisation
∆x(0) = ∆x0
ddt ∆x(t) =
(∂f∂x
(xr (t),ur (t))
)︸ ︷︷ ︸
A(t)
·∆x(t) +
(∂f∂u
(xr (t),ur (t))
)︸ ︷︷ ︸
B(t)
·∆u(t)
ddt
x = A(t)x + B(t)u(t)
Problème à résoudre
Étant donné un point de départ (perturbation), on cherche lesmeilleures corrections (autour de la trajectoire)
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Optimisation de dimension finie
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
- on rajoute des multiplicateurs de Lagrange λ = (λ1, ..., λp) ∈ Rp
- on introduit le Lagrangien
L(x , λ) = J(x) +
p∑i=1
λihi(x) = J(x) + λT h(x)
- on explicite les conditions de stationnarité du Lagrangien enfaisant comme si les variables x et λ pouvaient varier librement.Ces conditions sont δL = 0 pour toutes variationsinfinitésimales δx et δλ des variables x et λ
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Optimisation de dimension finie
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
- on rajoute des multiplicateurs de Lagrange λ = (λ1, ..., λp) ∈ Rp
- on introduit le Lagrangien
L(x , λ) = J(x) +
p∑i=1
λihi(x) = J(x) + λT h(x)
- on explicite les conditions de stationnarité du Lagrangien enfaisant comme si les variables x et λ pouvaient varier librement.Ces conditions sont δL = 0 pour toutes variationsinfinitésimales δx et δλ des variables x et λ
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Optimisation de dimension finie
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
- on rajoute des multiplicateurs de Lagrange λ = (λ1, ..., λp) ∈ Rp
- on introduit le Lagrangien
L(x , λ) = J(x) +
p∑i=1
λihi(x) = J(x) + λT h(x)
- on explicite les conditions de stationnarité du Lagrangien enfaisant comme si les variables x et λ pouvaient varier librement.Ces conditions sont δL = 0 pour toutes variationsinfinitésimales δx et δλ des variables x et λ
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Optimisation de dimension finie
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
- on rajoute des multiplicateurs de Lagrange λ = (λ1, ..., λp) ∈ Rp
- on introduit le Lagrangien
L(x , λ) = J(x) +
p∑i=1
λihi(x) = J(x) + λT h(x)
- on explicite les conditions de stationnarité du Lagrangien enfaisant comme si les variables x et λ pouvaient varier librement.Ces conditions sont δL = 0 pour toutes variationsinfinitésimales δx et δλ des variables x et λ
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Théorème de stationnaritéSi (x∗, λ∗) est un point stationnaire du LagrangienL(x , λ) = J(x) + λT h(x) (i.e. ∂L
∂x = 0, ∂L∂λ = 0, (n+p équations))alors x∗ est un point stationnaire de J sous les contraintes h,i.e. un candidat à être solution de
min x ∈ Rn
h1(x) = 0, . . . ,hp(x) = 0
J(x)
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Calcul des variations et adjoint
minx ,u
l(x(tf )) +
∫ tf
0L(x(t),u(t)) dt
[0, tf ] 3 t 7→ (x(t),u(t)) ∈ Rn × Rm
x(0) = x0
f1(x(t),u(t))− ddt x1(t) = 0, t ∈ [0, tf ]
...fn(x(t),u(t))− d
dt xn(t) = 0, t ∈ [0, tf ]
On introduit le Lagrangien
L(x ,u, λ) = l(x(tf )) +
∫ tf
0L(x(t),u(t)) dt
+n∑
i=1
∫ tf
0λi(t)
(fi(x(t),u(t))− d
dtxi(t)
)dt
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Le Lagrangien L est une fonctionnelle
On écrit les conditions de stationnarité de L pour toutesvariations
t 7→ δλ(t)t 7→ δu(t)t 7→ δx(t) (δx(0) = 0)
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Conditions de stationnarité (1)
Pour toute fonction t 7→ δλ(t) ∈ Rn on doit avoir
δL =
∫ tf
0δλT (t)
(f (x(t),u(t))− d
dtx(t)
)dt = 0
La seule possibilité 1 est qu’à chaque instant t ∈ [0, tf ],
f (x(t),u(t))− ddt
x(t) = 0
1On se reportera au lemme de du Bois-Reymond.
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Conditions de stationnarité (2)
Pour toute fonction t 7→ δu(t) ∈ Rm, on doit avoir
δL =
∫ tf
0
(∂L∂u
∣∣∣∣(x(t),u(t))
δu(t) + λT (t)∂f∂u
∣∣∣∣(x(t),u(t))
δu(t)
)dt = 0
En mettant δu en facteur on obtient
δL =
∫ tf
0
(∂L∂u
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ λT (t)∂f∂u
∣∣∣∣(x(t),u(t))
)δu(t) dt = 0
Ceci donne la condition de stationnarité sur u
∂L∂u
(x ,u) + λT ∂f∂u
(x ,u) = 0, t ∈ [0, tf ]
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Conditions de stationnarité (3)
Pour toute fonction t 7→ δx(t) ∈ Rn telle que δx(0) = 0, on doitavoir
0 = δL =∂l∂x
(x(tf ))δx(tf )+∫ tf
0
[∂L∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
δx(t) + λT (t)
(∂f∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
δx(t)− ddtδx(t)
)]dt
Intégration par partie
−∫ tf
0λT (t)
ddtδx(t) dt = −[λT δx ]tf0 +
∫ tf
0
ddtλT (t) δx(t) dt
= −λT (tf )δx(tf ) +
∫ tf
0
ddtλT (t) δx(t) dt
(car δx(0) = 0)
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Pour toute fonction t 7→ δx(t) telle que δx(0) = δx(tf ) = 0, on a∫ tf
0
[∂L∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ λT (t)∂f∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ddtλT (t)
]δx(t) dt = 0
On en déduit
∂L∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ λT (t)∂f∂x
∣∣∣∣(x(t),u(t))
+ddtλT (t) = 0
c.-à-d. (∂L∂x
)T
(x ,u)
+
(∂f∂x
)T
(x ,u)
λ+ddtλ = 0, t ∈ [0, tf ]
Enfin, avec δx(tf ) 6= 0 on obtient de δL = 0 la condition finale
λ(tf ) =∂l∂x
(x(tf ))
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Problème aux deux bouts
En somme, les conditions de stationarité sont, pour t ∈ [0, tf ]
ddt
x(t)= f (x(t),u(t))
ddtλ(t)= −
(∂f∂x
)T
(x(t),u(t))λ(t)−
(∂L∂x
)T
(x(t),u(t))
0=
(∂L∂u
)(x(t),u(t))
+ λT(∂f∂u
)(x(t),u(t))
avec comme conditions au bord
x(0) = x0, λ(tf ) =∂l∂x
(x(tf ))
Il s’agit d’un problème aux deux bouts, ce n’est pas unproblème de Cauchy
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Contrôleur LQ
En particulier, pour un système linéaire (instationnaire)
ddt
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u
et un coût quadratique à minimiser
12
xT (tf )Sf x(tf ) +12
∫ tf
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)compromis tolérance sur l’erreur d’état, effort sur la commandeSf , R sont sym. positives, Q est sym. définie pos.
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Problème aux deux bouts
f = Ax + Bu, L = 12(xT Rx + uT Qu) et l = 1
2xT Sf x
ddt
x(t) = A(t)x(t)− BQ−1BTλ(t)
ddtλ(t) = −Rx(t)− AT (t)λ(t)
avec les conditions limites bilatérales
x(0) = x0, λ(tf ) = Sf x(tf )
L’état adjoint λ est de la même dimension que x . Lacommande optimale est alors donnée par
u(t) = −Q−1BT (t)λ(t)
Solution explicite sous forme linéaire
λ(t) = S(t)x(t)
avec S(tf ) = Sf
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En substituant, on obtient
ddt
S(t)x(t) + S(t)A(t)x(t)− S(t)B(t)Q−1BT (t)S(t)x(t)
= −Rx(t)− AT (t)S(t)x(t)
Il suffit alors de choisir S solution de l’équation différentiellematricielle de Riccati en temps rétrograde (quadratique enl’inconnue S)
ddt
S(t) = −S(t)A(t) + S(t)B(t)Q−1BT (t)S(t)− R − AT (t)S(t)
S(tf ) = Sf
pour obtenir finalement la commande optimale
u(t) = −Q−1BT (t)S(t)x(t)
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Énoncé
Contrôleur LQ
Soit ddt x(t) = A(t)x(t) + B(t)u avec x(0) comme condition
initiale, et le critère à minimiser
J =12
xT (tf )Sf x(tf ) +12
∫ tf
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)dt
où A(t) est une matrice n × n, B(t) est une matrice n ×m, Sf etR sont symétriques positives, Q est symétrique définie positive.La solution à ce problème de minimisation est la loi de feedbackoptimal
u(t) = −Q−1BT (t)S(t)x(t)
où S est définie par l’équation différentielle deRiccati rétrograde, et la valeur du critère qui lui est associée estJopt = 1
2xT (0)S(0)x(0)
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Corrections optimales:
∆u(t) = −Q−1BT (t)S(t)∆x(t)
Coût total de la correction:
12
xT (0)S(0)x(0)
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Régulateur LQR
Passage à la limite tf → +∞ on va utiliser la commande LQ enfeedback, l’horizon étant naturellement glissant
∫ +∞
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)dt
où R est sym. positive, Q sym. définie positive et le systèmeest linéaire stationnaire
ddt
x(t) = Ax(t) + Bu
où l’état x ∈ Rn, la commande u ∈ Rm et les matrices A et Bsont de tailles n × n et n ×m
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Régulateur LQR
minu
∫ +∞
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)dt ,
ddt
x(t) = Ax(t) + Bu
i) (A,B) est commandable ii) R est sym. pos. iii) Q est sym. déf.pos. iv) ∃ une racine de R telle que (R1/2,AT ) est commandableSolution: loi de feedback optimal
u(t) = −Q−1BT S0x(t)
où S0 est l’unique solution symétrique stabilisante de l’équation deRiccati algébrique
0 = SA + AT S − SBQ−1BT S + R
et la valeur du critère qui lui est associée est xT (0)S0x(0)
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Preuve: construction d’une solution
1 comparaison avec un placement de pôles: exp. stabilisant,il fournit une intégrale convergente. t 7→ minu
∫ t0 est
majorée et croissante donc convergente. Limite:xT (0)Σ∞x(0)
2 Σ∞ est solution de l’équation de Riccati algébrique
0 = SA + AT S − SBQ−1BT S + R3 Σ∞ est sym. déf. pos. sous l’hypothèse de commandabilité4 V (x) = xT Σ∞x est fonction de Lyapounov. L’ensemble
ddt V (x) = 0 est donné par
R1/2x(0) = 0 = R1/2Ax(0) = ... = R1/2An−1x(0)
qui est réduit à {0}5 Unicité de la solution de l’éq. de Riccati stabilisante:
lemme d’algèbre linéaire6 Calcul du coût optimum
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
ExempleProblème
Considérons le système ddt x = −1
τ x + u et le critère quadratiqueà minimiser 1
2
∫ +∞0 (ax2 + bu2)dt où a ≥ 0, b > 0
SolutionL’équation (ici scalaire) de Riccati algébrique associée est
0 = −2τ
S − S2
b+ a
possède 2 solutions S± = −bτ ±
√b2
τ2 + ab. La commande
associée est u =(
1τ ∓
√1τ2 + a
b
)x . La commande optimale
correspond à S+
a→ +∞, max|u| → +∞
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Propriété de robustesse
minu
∫ +∞
0
(xT (t)Rx(t) + uT (t)Qu(t)
)dt ,
ddt
x(t) = Ax(t) + Bu
K (sI − A)−1B
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Lieu de Nyquist
K (sI − A)−1B = Q−1BT S0(sI − A)−1B
Lieu de Nyquist (s parcourt +ı∞→ −ı∞) (cas mono-entrée)
‖1 + K (sI − A)−1B‖2 = (1 + K (sI − A)−1B)T
(I + K (sI − A)−1B)
= 1 +1Q
(sI − A)−1TR(sI − A)−1
en utilisant l’équation de Riccati algébrique
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
‖1 + K (sI − A)−1B‖2 ≥ 1
Stabilisation et placement de pôles Optimisation de transitoires Contrôleur LQ Régulateur LQR
Résumé
1 Stabilisation et placement de pôles: sous hypothèse decommandabilité, direct sous la forme normale,
2 Optimisation de transitoires: problème aux deux bouts
3 Contrôleur LQ: solution explicite dans le cas linéairequadratique, feedback instationnaire, équation deRiccati différentielle
4 Régulateur LQR: cas limite tf → +∞, feedbackstationnaire, équation de Riccati algébrique. Le LQRrépond indirectement à la question, où placer les valeurspropres?