dwi nurul huda, st · gerbang logika metode peta karnaugh production 2014 dwi nurul huda, st . kata...

Pengenalan Logika Matematika Himpunan Aljabar Boolean Tabel Kebenaran Konsep Dan Notasi Kalkulus Proposisi Bentuk Kanonik Gerbang Logika Metode Peta Karnaugh

PRODUCTION

2014

Dwi Nurul Huda, ST

KATA PENGANTAR

Bismillahirahmanirahim,

Logika Matematika merupakan cabang ilmu logika dan matematika yang

mengandung kajian logika didalamnya termasuk kajian yang berhubungan dengan

matematika dan bidang-bidang lainnya. Logika Matematika merupakan matakuliah

wajib yang ditawarkan pada beberapa jurusan yang mengandung “ilmu komputer“

didalamnya. Logika Matematika mengajarkan seseorang untuk berfikir logis, sesuai

dengan argumen yang dapat dibuktikan kebenarannya.

Penulis memahami bahwa pembuatan handout ini masih jauh dari kesan

sempurna karena ilmu dan sumber-sumber yang penulis miliki dan peroleh masih

relatif sedikit, sehingga apabila pembaca menemukan kesalahan atau kekeliruan

pada penulisan ataupun penjelasan materi dalam handout ini, pembaca dapat

mengirimkan pemberitahuan kesalahan tersebut ke alamat email ke :

[email protected] agar penulis dapat merevisi kesalahan ataupun

kekeliruan tersebut.

Akhir kata, penulis ucapkan beribu terimakasih kepada pihak-pihak yang

telah membantu terselesaikannya handout ini. Penulis berharap handout ini dapat

berguna bagi para pembaca. Selamat Belajar, semoga ilmu anda bermanfaat bagi

anda dan lingkungan anda. Salam.

Tanjungpinang, 24 Oktober 2014 Penulis,

mailto:[email protected]

PENGENALAN LOGIKA MATEMATIKA

Logika (logic) berasal dari bahasa Yunani kuno “Logos” yang berarti hasil

pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam

bahasa. Dalam bahasa Inggris istilah logika sering disebut “word”, ”speech” lebih

dekat lagi dengan istilah “reason”. Beberapa definisi tentang logika :

Beberapa ahli logika memiliki pengertian yang berbeda tentang definisi dari

logika, tetapi mereka setuju bahwa logika merupakan studi tentang kriteria-kriteria

untuk mengevaluasi argumen-argumen dengan cara membuktikan mana argument

yang valid dan mana argumen yang tidak valid.

Ilmu logika bukan hanya dipelajari sebagai salah satu cabang ilmu filsafat saja

tetapi sudah merambah ke bidang ilmu matematika dan kini merambah lagi ke

bidang ilmu komputer. Contoh nyata pengaplikasian logika pada soal berikut :

Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST

1

BAB I

“ Logika adalah ilmu yang mempelajari kecakapan untuk berpikir lurus, tepat

dan teratur “

“ Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan

dengan prinsip-prinsip dari penalaran argument yang valid “

“ Logika adalah salah satu cabang filsafat (studi tentang seluruh fenomena

kehidupan dan pemikiran manusia secara kritis dan dijabarkan dalam konsep

mendasar) “

Coba Pikirkan :

Jelaskan menggunakan argument anda [benar/salah]:

1+1 = 2

1+1 = 1

HIMPUNAN A. PENDAHULUAN

Himpunan merupkan konsep dasar dalam matematika. Definisi himpunan

sendiri ialah kumpulan objek yang didefinisikan secara jelas. Penulisan himpunan

sendiri tidak harus selalu berurutan (boleh sembarang). Objek yang berada didalam

suatu himpunan disebut sebagai anggota atau elemen himpunan. Beberapa aturan

dalam penulisan suatu himpunan :

1. Himpunan dapat dinotasikan menggunakan huruf kapital

2. Anggota atau elemen suatu himpunan dapat dinotasikan menggunakan

huruf kecil

3. Anggota atau elemen suatu himpunan dapat ditulis didalam tanda kurung

kurawal buka dan diakhiri kurung kurawal tutup

B. CARA PENYAJIAN HIMPUNAN

Ada 4 cara penyajian himpunan, yaitu :

1. Enumerasi, dapat dilakukan dengan cara mendaftar semua elemen

anggotanya. Cara inilah yang biasa atau seringkali kita lihat pada contoh

penulisan himpunan. Contoh penulisan menggunakan enumerasi :

• Himpunan A terdiri dari bilangan yang habis dibagi 2 dan kurang dari 10.

Dapat ditulis : A = {2,4,6,8}

• Himpunan J adalah himpunan nama-nama buah yang dimulai dari huruf

awalan m. Dapat ditulis : J = {manggis, mangga, markisa, melon}

2. Simbol-Simbol Baku, penulisan dalam bentuk simbol baku seringkali

berbeda antara sumber yang satu dengan sumber yang lain. Berikut simbol-

simbol yang sudah disepakati sebagai simbol baku :

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 0,1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, ... }


2

BAB II

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,2,3,… }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan real

C = himpunan bilangan kompleks

U = himpunan semesta/universal

Himpunan semesta atau universal merupakan himpunan keseluruhan yang

sedang dibicarakan. Contoh : Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah

himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan, suatu aturan yang merupakan batasan dalam

anggota-angota suatu himpunan. Notasinya dapat dituliskan sbb :

Contoh :

1. Himpunan A adalah himpunan yang elemennya merupakan bilangan

genap. Dapat ditulis : A = {x|x genap}

2. Himpunan A adalah himpunan yang elemennya merupakan bilangan

genap dan kurang dari 10. Dapat ditulis : A = {x|x genap, x < 10}

4. Diagram Venn, merupakan penyajian yang sering juga digunakan dalam

penyajian suatu himpunan. Diagram venn akan memetakan himpunan yang

dibuat dalam bentuk gambar. Contoh :

U = {1, 2, …, 7, 8}

A = {1, 2, 3, 5}

B = {2, 5, 6, 8}

Maka apabila digambarkan kedalam bentuk diagram venn akan menjadi :


3

A = { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

U

1 2

53 6

8

4

7A B

C. KARDINALITAS

Kardinalitas merupakan jumlah elemen atau anggota yang terdapat dalam

suatu himpunan. Penulisan notasi kardinalitas sbb :

Contoh :

(1) Terdapat himpunan A dengan elemen A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},

maka |A| = 10

(2) B = {Jambu, Mangga, Rambutan, Durian}, maka |B|= 4

D. JENIS-JENIS HIMPUNAN

Terdapat beberapa himpunan yang harus anda ketahui, yaitu :

1. Himpunan Semesta

Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal merupakan

Himpunan keseluruhan yang sedang dibicarakan. Notasi: U.

Contoh :

U merupakan himpunan sistem operasi yang diproduksi oleh Microsoft.

Maka : U = { windows 95, windows 98, windows xp, windows Vista, windows

7, windows 8}

A = {windows xp, windows Vista, windows 7}

B = {windows 98,windows xp, windows 7, windows 8}

Kesimpulan : Seluruh elemen/anggota yang berada didalam himpunan A

dan B merupakan elemen/anggota dari himpunan U

2. Himpunan Kosong

Himpunan kosong (nullset) merupakan suatu himpunan yang tidak memiliki

elemen/anggota. Himpunan kosong memiliki kardinalitas 0, dikarenakan

tidak memiliki elemen/anggota satupun. Notasi : atau {}

3. Himpunan Bagian/ Subset

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya


4

Notasi : n(A) atau |A|

jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. himpunan bagian dapat

dinotasikan : A B

Contoh :

(i) Terdapat Himpunan A : { 1, 2, 3} dan Himpunan B : {1,2,3,4,5}, maka :

{1,2,3 } {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) Terdapat Himpunan A : {1,2,3 } dan Himpunan B : {1,2,3}, maka :

{1, 2, 3} {1, 2, 3}

Kesimpulan : seluruh elemen/anggota yang ada pada himpunan A ada juga

pada himunan B, sehingga himpunan A merupakan himpunan bagian dari B

atau dengan kata lain A B.

4. Himpunan Bagian Sebenarnya / Proper Subset

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya

jika setiap elemen A merupakan elemen dari B tetapi A tidak sama dengan B

Himpunan bagian sebenarnya dapat dinotasikan : A B

Contoh :

(i) Terdapat Himpunan A : {1} dan Himpunan B : {1,2,3}, maka :

{1} {1, 2, 3}

(ii) Terdapat Himpunan A : {2,3 } dan Himpunan B : {1,2,3}, maka :

{2, 3} {1, 2, 3}

Kesimpulan : seluruh elemen/anggota yang ada pada himpunan A ada juga

pada himunan B tetapi elemen/anggota pada himpunan A tidak sama

dengan himpunan B, sehingga himpunan A merupakan himpunan bagian

sebenarnya dari B atau dengan kata lain A B.

5. Himpunan Yang Sama

Dikatakan sebagai himpunan yang sama jika elemen/anggota himpunan A

sama dengan elemen/anggota himpunan B dan sebaliknya setiap

elemen/anggota himpunan B merupakan elemen/anggota himpunan A. Jika

tidak demikian, maka A B. himpunan yang sama dapat dinotasikan

kedalam : A = B A B dan B A


5

Contoh :

(i) Jika A = {1,2,3} dan B = {1,2,3}, maka A = B

(ii) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B

6. Himpunan Ekuivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

kardinalitas dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh :

A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka :

A ~ B , karena A = B yaitu 4

7. Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak

memiliki elemen/anggota yang sama.

Notasi : A // B

Contoh :

Jika A = { x | x Є P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Alasannya karena A = { 1,2,3,4,5,6,7 } dan B = { 10, 20, 30}, sehingga tidak

ada keterhubungan antara himpunan A dan himpunan B.

8. Himpunan Kuasa/Power Set

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A merupakan suatu himpunan

yang elemennya/anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A,

termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri.

Notasi : P(A) atau 2A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh :

(1) Jika A = { 1, 2 }, maka

P(A) = { { }, { 1 }, { 2 },{ 1, 2 }}


6

(2) Jika A = { 1, 2, 3 }, maka

P(A) = { { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1,3}, { 2,3}, {1,2,3}}

E. OPERASI TERHADAP HIMPUNAN

Terdapat beberapa operasi yang dapat dilakukan didalam himpunan, yaitu :

1. Irisan (Intersection), merupakan suatu himpunan yang elemen/anggotanya

berada di antara himpunan yang sedang dibicarakan selain himpunan

universal/semesta.

Notasi : A B = { x x A dan x B }

Apabila digambarkan ke dalam bentuk Diagram Venn :

Contoh :

Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan

B = {4, 10, 14, 18},

Maka A B = {4, 10}

2. Gabungan (Union), merupakan gabungan dari seluruh himpunan yang

sedang dibicarakan tidak termasuk himpunan universal/ semesta.

Notasi : A B = { x x A atau x B }

Apabila digambarkan kedalam bentuk Diagram Venn :


7

Contoh :

Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 2,7, 5, 22 },

Maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

3. Komplemen

Notasi : = { x x U, x A }

Contoh :

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka :

A = {2, 4,5, 6, 8}

4. Selisih, merupakan himpunan yang elemennya/anggotanya hanya menjadi

anggota himpunan A tetapi tidak termasuk anggota himpunan B.

Notasi : A – B

Contoh :

A = {1,3,5}

B = {1,2,3}

Maka : A – B = { 5 }

B – A = { 2 }

5. Beda Setangkup, yaitu suatu himpunan yang elemennya/anggotanya ada

pada himpunan A atau B, tetapi tidak ada pada keduanya .

Notasi: A B

Contoh :

Jika A = { 2, 4, 6 }

B = { 2, 3, 5 }, maka :

A B = { 3, 4, 5, 6 }


8

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan himpunan berikut dalam enumerasi ( sebutkan 5 elemen saja):

a. A= { x | x Є P, x mod 3 = 0 }

b. B= { x | x Є P, x < 10 }

2. Misalkan himpunan semesta adalah himpunan { 1, 2, 3, ... 10} dan himpunan

himpunan lainnya dinyatakan oleh:

A = { 1, 2, 4}

B= { 3, 4, 5,6, 7}

C=(1,6, 7 , 8}

Carilah: a. ((A B) - B) C

b. ( A B )- C

c. ( B-C) A

d. (A-B) C’

e. 2C


9

ALJABAR BOOLEAN A. HUKUM ALJABAR BOOLEAN

1. Komutatif

A B = B A

A B = B A

2. Asosiatif

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

3. Distributif

A (B ∩ C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) ∪ (A C)

4. Identitas

A φ = A

A U = A

5. Ikatan (Bound Law)

A U = U

A φ = φ

6. Idempoten

A A = A

A A = A

7. De Morgan (A B)’ = B’ B’

(A B)’ = B’ B’

8. Komplemen A A’ = U

A A’ = φ

(A’)’ = A

U’ = φ

φ’ = U


10

BAB III

B. PRINSIP DUALITAS

Mempertukarkan , dan U serta φ dalam setiap pernyataan mengenai himpunan,

maka pernyataan baru tersebut dinamakan dual dari pernyataan aslinya.

Contoh :

Dual dari (U B) (A φ) = A , adalah (φ B) (A U) = A


11

Contoh

Buktikanlah bahwa jika A B = B A !

Solve :

A = {1,2,3} dan B = {8,9,10} , maka

A B = {1,2,3,8,9,10}

B A = {1,2,3,8,9,10} , Sehingga, A B = B A

LATIHAN SOAL

1. Tuliskan dual dari setiap persamaan berikut :

a) A (A B) = A

b) (A U) (A φ) = φ

c) (A B) (B C) = (A C) B

2. Buktikanlah bahwa :

a). A (A’ B) = A B

b). A (A’ B) = A B


12

TABEL KEBENARAN A. PENDAHULUAN

Tabel kebenaran merupakan sebuah tabel yang memuat nilai kebenaran dari

suatu pernyataan/premis. Suatu tabel kenaran dapat digunakan untuk menyatakan

kebenaran suatu pernyataan atapun fungsi.

B. OPERATOR DALAM TABEL KEBENARAN

Dalam suatu tabel kebenaran terdapat beberapa operator inti yang biasa

digunakan, yaitu :

1. OPERATOR OR

p q p q p + q

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

2. OPERATOR AND

p q p q p.q

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1


13

BAB IV

3. OPERATOR NOT


14

p ~p p

0 1 1

1 0 0

Buat tabel kebenaran dari : (p q) (~p q)

Solve :

p q ~p p q ~p q (p q) (~p q)

0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 1

Contoh (1)


15

Contoh (2)

Buat tabel kebenaran dari : f(x,y)= (x . y) + ( x . y)

Solve :

x y x x.y x.y f(x,y)= (x . y) + ( x . y)

0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 1

LATIHAN SOAL

Buat Tabel kebenaran dari soal berikut:

1. f(x,y,z)= (x+y+z)(x.y.z)(x+y+z)

2. f(x,y,z)= (x+y+z) +(x+y+z)+(x.y.z)

3. (p ~q) (q r)

4. (~p ~q) (q ~r)


16

KONSEP DAN NOTASI DASAR KALKULUS PROPOSISI A. PENDAHULUAN

Ilmu logika berhubungan dengan suatu argumen. Tujuandari ilmu logika adalah

untuk memberikan aturan-aturan sehingga seseorang dapat menentukan

apakah suatu kalimat bernilai benar.

B. KONSEP DAN NOTASI DASAR

Kalkulus proposisi merupakan metode untuk kalkulasi menggunakan suatu

proposisi/kalimat. Kalkulus proposisi dapat ditinjau dari :

1. Nilai suatu kalimat yaitu (True/False)

2. Metode panggabungan kalimat

3. Penarikan kesimpulan berdasarkan kalimat tersebut

Suatu kebenaran dari kalimat dapat ditentukan dari struktur kalimat itu sendiri

dan tanpa melihat apakah unsur-unsur pokoknya benar atau salah atau sesuai

dengan kenyataan yang ada di alam.


17

BAB V

Contoh :

Jika kita tidak mengetahui bahwa di Planet Mars sebenarnya ada kehidupan

atau tidak, maka kalimat berikut :

Ada makhluk hidup tinggal di Planet Mars

Atau

Tidak ada makhluk hidup tinggal di Planet Mars

Adalah BENAR.

P

OR

NOT (P)

C. PROPOSISI

Proposisi (statement) sendiri merupakan sebuah kalimat yang memiliki tepat

satu kebenararan , yaitu bisa bernilai True atau False.

Proposisi sendiri di bagi menjadi beberapa macam, yaitu :

1. Proposisi Primitif : suatu proposisi yang tidak menggunakan kata

penghubung

Contoh : Monas berada di Jakarta

2. Proposisi Majemuk : suatu proposisi yang menggunakan kata

penghubung(connectives)

Contoh : Bunga Citra Lestari adalah seorang pemain film dan penyanyi

Kata penghubung (connectives) yang biasa dipergunakan untuk

mengkombinasikan kalimat proposisi adalah :


18

Nama Simbol Contoh Bentuk

Negasi a tidak…

Konjungsi a b … dan …

Disjungsi a b … atau …

Implikasi → a → b Jika … maka …

Biimplikasi ↔ a ↔ b … jika dan hanya jika …

Contoh Proposisi :

Monas berada di Jakarta Kalimat tersebut bernilai TRUE.

Contoh Bukan Proposisi :

Siapa Namamu ?

Kalimat tersebut bukan merupakan proposisi karena nilai kebenaran kalimat

tersebut tidak dapat ditentukan dengan TRUE atau FALSE.

Contoh pengaplikasian kata penghubung dalam suatu proposisi :

Diketahui proposisi berikut :

P : hari ini hujan

Q : murid-murid di liburkan dari sekolah

Maka :

D. HUBUNGAN DENGAN TABEL KEBENARAN

Tabel kebenaran digunakan untuk mengevaluasi apakah sebuah proposisi

majemuk bernilai benar atau salah

Contoh :

P Q Q P ^ Q P v Q P → Q P ↔ Q

B B S B B B B

B S S S B S S

S B B S B B S

S S B S S B B


19

Nama Simbol Bentuk Proposisi Majemuk

Negasi P Hari ini tidak hujan

Konjungsi P Q Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari

sekolah

Disjungsi P Q Hari ini hujan atau murid-murid di liburkan dari

sekolah

Implikasi P → Q Jika hari ini hujan, maka murid-murid diliburkan dari

sekolah

Biimplikasi Q ↔ P murid-murid diliburkan dari sekolah jika dan hanya

jika Hari ini hujan

LATIHAN SOAL

1. Periksa apakah kalimat berikut merupakan proposisi atau bukan :

a. Mudah-mudahan ujian hari ini mendapat nilai 100

b. 2000 ≤ 2000

c. Satu tahun samadengan 12 bulan

d. Telephone ditemukan oleh Alexander Graham Bell

2. Buatlah studi kasus 3 buah pengaplikasian kalimat proposisi majemuk, gunakan

kata penghubung berikut didalamnya :

a. Konjungsi

b. Disjungsi

c. Negasi

d. Implikasi

e. Biimplikasi


20

BENTUK KANONIK Bentuk kanonik digunakan untuk menyederhanakan suatu fungsi boolean. Bentuk

Kanonik dapat juga di gunakan untuk menentukan apakah dua ekspresi merupakan

fungsi yang sama. Suatu fungsi Boolean yang dinyatakan tabel kebenaran dapat

dikonversi menjadi bentuk aljabar.

Bentuk kanonik terbagi menjadi dua macam, yaitu :

1. SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali), dibentuk dari dua atau

lebih fungsi AND yang di OR kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda

kurung tersebut bisa terdiri dari dua atau lebih variable. Tiap suku dalam

SOP disebut sebagai minterm.

Contoh : f (x, y, z) = (x’y’z) + (x’y’z’) + (xyz)

2. POS (Product Of Sum – perkalian dari hasil jumlah), dibentuk dari dua atau

lebih fungsi OR yang di AND kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda

kurung tersebut bisa terdiri dari dua atau lebih variable. Tiap suku dalam

SOP disebut sebagai maxterm.

Contoh : f (x, y, z) = (x’+y’+z)( x’+y’+z’)(x+y+z)

Berikut contoh table SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali) dan POS

((Product Of Sum – perkalian dari hasil jumlah) untuk dua buah variable:


21

X

Y

Minterm Maxterm

Suku Lambang Suku Lambang

0 0 x’y’ mo x y Mo

0 1 x’y m1 x y’ M1

1 0 xy’ m2 x’y M2

1 1 xy m3 x’y’ M3

BAB VI

Berikut contoh table SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali) dan POS

((Product Of Sum – perkalian dari hasil jumlah) untuk tiga buah variable:

1. Diberikan sebuah fungsi boolean berikut :

f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

buat kedalam bentuk kanonik fungsi diatas tersebut.

Penyelesaian :

Langkah 1 : buat tabel kebenarannya


22

X

y

z

Minterm Maxterm

Suku Lambang Suku Lambang

0 0 0 x’y’z’ mo x+y+z Mo

0 0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1

0 1 0 x’yz’ m2 x+y’+z M2

0 1 1 x’yz m3 x+y’+z’ M3

1 0 0 xy’z’ m4 x’+y+z M4

1 0 1 xy’z m5 x’+y+z’ M5

1 1 0 xyz’ m6 x’+y’+z M6

1 1 1 xyz m7 x’+y’+z’ M7

x y z x’y’z’ xy‘z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

CONTOH SOAL :

Langkah 2 : tentukan SOP dan POS nya


23

x y z x’y’z’ xy‘z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

SOP

SOP

POS

POS

POS

POS

POS

POS

CARA MENCARI SOP :

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1. Contoh

pada table tersebut ada pada :

x y z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

0 0 0 1

0 1 1 1

000 dan 011, maka :

f(x, y, z) = (x’y’z’) + (x’yz)

atau (dengan menggunakan lambang minterm) :

f(x, y, z) = m0 + m3 = (0,3)

mo

M7

M6

M5

M4

m3

M2

M1

Lihat yang hasilnya

bernilai 1

MENYATAKAN SOP & POS DARI FUNGSI BOOLEAN

Untuk menyatakan fungsi boolean SOP atupun POS dapat dilakukan dengan cara

melengkapi literalnya. Terdapat beberapa hukum aljabar boolean yang digunakan

dalam melengkapi literalnya.

1. Hukum Identitas :

(i) a + 0 = a

(ii) a . 1=a

2. Hukum Distributif :

(i) a + (b . c) = (a+b) . (a+c)

(ii) a . (b + c) = a . b + a. C

3. Hukum Komplemen :

(i) a + a‘ = 1

(ii) a . a = 0

4. Hukum De Morgan :

(i) (a + b)‘ = a‘. c‘

(i) (a . b)‘ = a‘ + b‘


20

CARA MENCARI POS :

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0. Contoh

pada table tersebut ada pada :

x y z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

001, 010, 100, 101, 110 dan 111, maka :

f(x, y, z) = (x+y+z’) + (x+y’+z) + (x’+y+z) + (x’+y+z’) + (x’+y’+z) + (x+y+z)

atau (dengan menggunakan lambang minterm) :

f(x, y, z) = M1 M2 M4 M5 M6 M7 = π (1,2,4,5,6,7)

Lihat yang

hasilnya bernilai 0

CONTOH

2. Nyatakan fungsi boolean f(a,b,c) = a + b’c dalam bentuk kanonik SOP dan POS !

PENYELESAIAN :

a. SOP (Sum Of Product)

Lengkapi literal fungsi booleannya dahulu :

f(a,b,c) = a + b’c

f(a,b,c) = ab + ab’+ b’c

f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’+ b’c

f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ b’c


25

a = a .1 Hukum Identitas = a . (b + b’) Hukum Komplemen = (a . b) + ( a . b’) Hukum Distributif = ab+ ab’

ab = ab .1 Hukum Identitas = ab . (c + c’) Hukum Komplemen = (a . b. c) + ( a . b . c‘) Hukum Distributif = abc + abc‘

ab‘ = ab‘ .1 Hukum Identitas = ab‘ . (c + c’) Hukum Komplemen = (a . b‘. c) + ( a . b‘ . c‘) Hukum Distributif = ab‘c + ab‘c‘

b‘c = b‘c .1 Hukum Identitas = b‘c . (a + a’) Hukum Komplemen = (a . b‘. c) + ( a‘ . b‘ . c) Hukum Distributif = ab‘c + a‘b‘c

CONTOH SOAL :

berdasarkan pengerjaan melengkapi literal diatas , maka diperoleh :

f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ ab’c + a’b’c

Sehingga diperoleh SOP :

f(a,b,c) = a + b’c

= abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ a’b’c

= m7+m6+m5+m4+m1

= Σ (1,4,5,6,7)

b. POS (Product Of Sum)

Lengkapi literal fungsi booleannya dahulu :

f(a,b,c) = a + b’c

f(a,b,c) = (a+b’)(a+c)

f(a,b,c) = (a+b’+c)+ (a+b’+c’)(a+c)

berdasarkan pengerjaan melengkapi literal diatas , maka diperoleh :

f(a,b,c) = (a+b’+c)+ (a+b’+c’)+ (a+b+c) + (a+b’+c)


26

NB . Jika terdapat satu suku yang bentuk literalnya sama, maka cukup dituliskan satu kali saja

a + b’c = a + (b’c)

= (a+b’)(a+c) Hukum Distributif

a+ b’ = a + b’ + 0 Hukum Identitas = a + b‘ + (c .c’) Hukum Komplemen = (a+b’+c) (a+b’+c’) Hukum Distributif

NB . Jika terdapat satu suku yang bentuk literalnya sama, maka cukup dituliskan satu kali saja

a+ c = a +c + 0 Hukum Identitas = a + c + (b .b’) Hukum Komplemen = (a+b+c) (a+b’+c) Hukum Distributif

Sehingga diperoleh POS :

f(a,b,c) = a + b’c

= (a+b’+c) + (a+b’+c’) + (a+b+c)

= M2.M3.M0

= π (0,2,3)


27

LATIHAN SOAL

Rubah kedalam bentuk kanonik SOP dan POS soal berikut :

1. f(x,y,z) = xy‘z+xyz‘+xyz

2. f(x,y,z) = xyz+x’y’z‘

3. f(a,b,c) = abc+bc‘

4. f(a,b,c) = a‘c+bc‘

5. f(a,b,c) = b+ac‘


28

I GERBANG LOGIKA

Aljabar Boole merupakan cabang ilmu matematika yang diperlukan untuk

mempelajari logika pada suatu sistem digital. Aljabar Boole pertama kali

dikembangkan oleh George Boole pada tahun 1847 untuk memecahkan

permasalahan logika matematika. Aljabar Boole banyak digunakan pada jaringan

yang hanya mengenal 2 keadaan – ex. Saklar. Beberapa jenis penggambaran saklar :

1. Saklar Terbuka (Nilai 0)

2. Saklar Tertutup (Nilai 1)

Dalam suatu saklar terdapat pula beberapa penggambaran rangkaian, yaitu :

1. Rangkaian Seri (AND)

2. Rangkaian Pararel (OR)

Suatu fungsi boolean yang diekspresikan dengan menggunakan AND, OR, NOT NOR,

NAND dan XOR dapat dengan mudah diimplementasikan kedalam bentuk gerbang

logika. Faktor utama dalam pembentukan gerbang logika adalah sebagai berikut :

1. Kemudahan pembentukan gerbang dengan komponen fisik


29

BAB VII

2. Pertimbangan ekonomis dalam fabrikasi komponen fisik

3. Kemungkinan perluasan gerbang dengan dua buah inputan atau lebih

4. Sifat-sifat dasar dari operator biner seperti komutatif dan asosiatif

Komutatif

A B = B A

A B = B A

Asosiatif

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

5. Kemampuan gerbang untuk mengimplementasikan fungsi boolean atau

konjungsi dengan gerbang-gerbang lainnya

Berikut simbol-simbol yang dapat digunakan dalam gerbang logika :

NAMA GERBANG SIMBOL PENULISAN FUNGSI ALJB

AND

Y = A . B

TABEL KEBENARAN

A B Y = A . B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1


30


OR

Y = A + B

TABEL KEBENARAN

A B Y = A + B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


NOT

Y = A’

TABEL KEBENARAN

A Y = A‘

0 1

1 0


31


NAND

Y = (A. B)’

TABEL KEBENARAN

A B Y = A + B

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0


NOR

Y = (A + B)’

TABEL KEBENARAN

A B Y = (A + B)‘

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0


32


XOR (Exclusive – OR)

Y = AB’ + A’B

TABEL KEBENARAN

A B Y = AB’ + A’B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0


Exclusive – NOR

Y = AB + A’B’

TABEL KEBENARAN

A B Y = AB + A’B’

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


33

LATIHAN SOAL

Buat Gerbang Logika dari soal berikut:

1. f(x,y,z)= (x’+y’+z’)(x.y.z)(x’+y’+z)

2. (p q) (q r)


34

I METODE PETA KARNAUGH A. PENDAHULUAN

Suatu metode pemetaan dapat meminimisasi fungsi yang kompleks. Karnaugh

memperkenalkan Peta Karnaugh sebagai metode pemetaan untuk

meminimasisasi fungsi yang kompleks seperti suatu rangkaian logika digital yang

kompleks.

Peta Karnaugh digambarkan dengan kotak bujur sangkar. Setiap kotak

merepresentasikan minterm. Jumlah kotak bujur sangkar tergantung pada

jumlah variabel dari suatu fungsi boolean. Rumus untuk menentukan jumlah

kotak bujur sangkar dapat diketahui dengan menggunakan rumus :

Peta karnaugh dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean hingga

lebih dari empat variabel,hanya pada modul ini saya hanya akan membahas

penyederhanaan menggunakan peta karnaugh hingga empat variabel saja.

B. PETA KARNAUGH DUA VARIABEL Peta Karnaugh dua variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean yang

terdiri dari dua buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk dua buah variabel :


35

BAB VIII

2𝑛 , dimana n merupakan jumlah variabel

Apabila : Suatu variabel bernilai 0 maka variable tersebut

diberikan tanda aksen

Terdiri dari 4 buah kotak bujur sangkar. Jumlah kotak di peroleh dari rumus 2𝑛 ,

dimana n merupakan jumlah variabel.

C. PETA KARNAUGH TIGA VARIABEL

Peta Karnaugh tiga variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean yang

terdiri dari tiga buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk tiga buah variabel :


dimana n merupakan jumlah variabel. Perhatikan tabel bujur sangkar diatas,

aturannya berbeda dengan yang dua buah variabel, sehingga setelah m1

langsung m3 baru kemudian m2. Begitu pula baris selanjutnya m5-m7-m6.

Pengaturan tempat tersebut jangan sampai tertukar.

D. PETA KARNAUGH EMPAT VARIABEL

Peta Karnaugh empat variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean yang

terdiri dari empat buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk empat buah

variabel :


dimana n merupakan jumlah variabel. Perhatikan tabel bujur sangkar diatas,

aturannya berbeda dengan yang dua buah tetapi hampir sama dengan tiga buah


36

variabel. Dapat dilihat di tabel sebelah kiri, aturan penulisan untuk empat buah

variabel. Sudah terlihat Perbedaannya ???

Sederhanakan fungsi boolean berikut menggunakan peta karnaugh : (study kasus 3 buah

variabel)

f(x,y,z) = x’y’z‘ + x’yz‘

Penyelesaian.

1. Buat Tabel kebenaran dari fungsi boolean tersebut

x y z x’y’z‘ x’yz‘ f(x,y,z) = x’y’z‘ + x’yz‘

0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

2. Lihat hasil yang bernilai 1, kemudian konversikan menggunakan tabel

bujur sangkar peta karnaugh 3 buah varaibel

1 0 0 1

0 0 0 0


37

CONTOH SOAL

m0

m2

Konversikan menggunakan table 3

buah variable yang sebelah kanan

3. Sederhanakan, dengan melihat tabel 3 buah variabel yang sebelah kanan

(konversi ke tabel tersebut ). Untuk jenis variabel yang bentuknya (a‘ + a),

(b+b‘) ataupun jenis variabel lainnya dapat dihilangkan.

f(x,y,x) = x’y’z‘ + x’yz‘

f’(x,y,x) = x’z‘ + (y+y’)

f’(x,y,x) = x’z‘ (Hasil penyederhanaannya )


38

LATIHAN SOAL

Sederhanakan menggunakan peta Karnaugh soal berikut:

1. f(x,y)= (x’+y ) + (x’+y’)

2. f(x,y,z)= (x’+y’+z’)(x.y.z)(x’+y’+z)

3. f(a,b,c,d)= (a+b‘+c‘+d)(a.b.c.d)a’+b’+c+d)


39

DAFTAR PUSTAKA

Hendrowati, Retno. Hariyanto, Bambang. Logika Matematika. Informatika. 2002 Soesianto, F. Dwijono, Djoni. Logika Matematika untuk Ilmu Komputer. Andi. Logika Matematika, <http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika/> [diakses 19 Juni 2014]


40

dwi nurul huda, st · gerbang logika metode peta karnaugh production 2014 dwi nurul huda, st . kata...

Documents