développement et validation d'un modèle aux éléments discrets de … · 2017. 1. 20. ·...

Developpement et validation d’un modele aux elements

discrets de comportement du beton sous chargement

dynamique

Ahmad Omar

To cite this version:

Ahmad Omar. Developpement et validation d’un modele aux elements discrets de comporte-ment du beton sous chargement dynamique. Materiaux. Universite Grenoble Alpes, 2015.Francais. <NNT : 2015GREAI014>. <tel-01179626>

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Submitted on 23 Jul 2015

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THÈSE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE

Spécialité : MATERIAUX, MECA, GENIE CIVIL, ELECTROCHIMIE

Arrêté ministériel : 7 août 2006

Présentée par

Ahmad OMAR Thèse dirigée par Laurent DAUDEVILLE codirigée par Philippe MARIN préparée au sein du Laboratoire Sols-Solides-Structures-Risques dans l'École Doctorale IMEP2

Développement et validation d'un modèle aux éléments discrets de comportement du béton sous chargement dynamique Thèse soutenue publiquement le 31 Mars 2015, devant le jury composé de :

Mr. Fabrice GATUINGT Professeur, Ecole Normale Supérieur de Cachan, Président

Mr. Alain MILLARD Ingénieur de Recherche, CEA, Rapporteur

Mr. Patrice COOREVITS Professeur, Université de Picardie Jules Verne, Rapporteur

Mr. Sergueï POTAPOV Ingénieur de Recherche, EDF, Examinateur

Mr. Laurent DAUDEVILLE Professeur, Université de Joseph Fourier, Directeur de thèse

Mr. Philippe MARIN Maître de conférence, INP Grenoble ; Co-encadrant

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Remerciements

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Comme le veut la tradition, je vais tenter de satisfaire au difficile exercice de la page des remerciements, peut-être la tâche la plus ardue de ces années de thèse. Il est l’heure de remercier tous les personnes en qui j’ai trouvé un soutien que ce soit les collègues de laboratoire et d’ailleurs par leurs remarques qui m’ont fait progresser, ou les amis qui sont une source de bonheur intense et nécessaire.

Tout d’abord, je tiens à remercier chaleureusement et exprimer ma reconnaissance à Laurent DAUDEVILLE et Philippe MARIN de m’avoir accompagné pendant ces années. Ils m’ont témoigné de leur confiance, de leur aide scientifique, et qui par leurs compétences m’aidé à accomplir ce travail....encore un grand merci !!

J’exprime aussi ma profonde gratitude à Monsieur Fabrice GATUINGT de m’avoir fait l’honneur de présider ce jury. Merci également à Monsieur Alain MILLARD et Monsieur Patrice COOREVITS pour avoir bien voulu accepter d’être rapporteurs.

Je remercie aussi Monsieur Serguei POTAPOV pour avoir accepté d’être examinateur de ce mémoire, ainsi pour son aide et son regard critique pendant ces trois années et qui ont permis de faire avancer le projet.

Merci à Vincent FAUCHER du CEA pour m’avoir aidé pour la programmation dans Europlexus, ainsi qu’à Aurélien MASUREL avec lequel j’ai fait un travail collaboratif de recherche.

J’adresse de chaleureux remerciements à tous les membres du laboratoire 3SR que j’ai côtoyé durant mon travail, permanents, doctorants ou stagiaires.

Mes remerciements vont aussi à des personnes qui m’ont vraiment marqué durant ma thèse. Un spécial merci à mon ami, collègue et voisin, Moustafa. Merci à Donia, Nouha, Marco, Sophie, Maxime, Stiven, Timos, Hashem, Victoria, Eleni, Audrey, Benjamin, Gustave, Florent, Stéphane, Cino, Frédéric, Abdallah, Karim. Merci pour les bons moments.

Cela va de soi, je remercie évidemment ma famille pour son irremplaçable et inconditionnel soutien. Ils ont été présents pour écarter les doutes, soigner les blessures et partager les joies.

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Résumé

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Ce travail concerne l'analyse de la vulnérabilité des structures de protection et des ouvrages sensibles en béton soumis à des actions dynamiques sévères (impacts, explosions) dues à des risques anthropiques d'origine accidentelle ou non. L'objet est la mise au point d'outils prévisionnels de simulation capables de décrire de manière objective le comportement dynamique du béton. Pour cela, une approche numérique novatrice reposant sur la méthode des Eléments Discrets (MED) est développée.

Une première partie de cette thèse concerne la simulation des essais quasi-statiques de compression et traction uniaxiales. Une loi de transfert de moment (LTM) a été introduite pour pallier au problème de fragilité en compression simple. Ensuite, la procédure d’identification des paramètres du modèle modifié a été optimisée pour bien reproduire le comportement macroscopique du béton. Enfin, le modèle a été validé en représentant correctement le comportement quasi-statique de plusieurs types de béton.

La deuxième partie du travail traite la simulation des essais de traction dynamique du béton aux barres de Hopkinson. Les résultats ont montré la nécessité de prendre l’effet de vitesse de déformation dû au matériau pour bien reproduire le comportement expérimental. Ensuite, Les paramètres du modèle permettant de reproduire cet effet de vitesse ont été identifiés. Enfin, des essais avec des taux de déformation très élevés ont été simulés et les résultats numériques ont été en accord avec le comportement observé expérimentalement.

Mots clés: Méthode des éléments discrets, béton, impact, dynamique, effet de

vitesse.

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Abstract

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This work concerns the analysis of the vulnerability of sensitive concrete structures subjected to severe dynamic actions such as impacts due to natural hazards or human factors. The object is to develop a numerical tool that can describe objectively the dynamic behaviour of concrete. Then, a 3D discrete element method (DEM) was developed and used to perform the analysis.

The first part of this thesis focuses on the simulation of quasi-static uniaxial compression and traction tests. A moment transfer law (MTL) was introduced to overcome the problem of brittle compressive behavior. Then, the identification procedure of the modified DEM model has been optimized in order to reproduce very well the macroscopic behaviour of concrete. Finally, the model has been validated by representing properly the real quasi-static behavior of different types of concrete.

The second part of the study deals with the simulation of the dynamic Hopkinson traction bar tests of concrete. The results showed that a local rate effect has to be introduced to reproduce the strain rate dependency, which would then be a material-intrinsic effect. Then, the parameters of the model have been identified. Finally, simulations were run at high strain rates and showed consistent results with respect to experimental behaviour.

Keywords: Discrete Element Method, concrete, impact, dynamic, strain rate dependency.

vii

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Table des matières

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Remerciements ............................................................................................................ i

Résumé......................................................................................................................... iii

Abstract .......................................................................................................................... v

Table des matières .................................................................................................. vii

Table des figures .......................................................................................................xi

Liste des tableaux .................................................................................................. xvii

Introduction ................................................................................................................. 1

CHAPITRE 1 - Etude bibliographique .................................................................. 5

1.1 Caractérisation des impacts en dynamique des structures .................................. 5

1.1.1 Classification des types d’impacts ......................................................................................... 5

1.1.2 Références expérimentales d’impact sur les ouvrages en béton .............................. 8

1.2 Béton ....................................................................................................................................... 14

1.2.1 Constituants ................................................................................................................................. 14

1.2.2 Comportement quasi-statique.............................................................................................. 15

1.2.2.1 Compression simple ........................................................................................................................... 15

1.2.2.2 Essais de traction ................................................................................................................................. 18

viii

1.2.2.3 Essai triaxial ........................................................................................................................................... 21

1.2.3 Comportement dynamique ....................................................................................................24

1.2.3.1 les essais de compression ................................................................................................................ 25

1.2.3.2 les essais de traction ........................................................................................................................... 27

1.2.3.3 L’effet de vitesse ................................................................................................................................... 34

1.3 Outils numériques .............................................................................................................. 39

1.3.1 Méthodes continues ..................................................................................................................39

1.3.2 Méthodes discrètes ....................................................................................................................41

2.3.3 Couplage ED/EF ..........................................................................................................................46

1.4 Synthèse ................................................................................................................................. 48

CHAPITRE 2 - Méthode des éléments discrets ............................................... 51

2.1 Principe de la méthode .................................................................................................... 51

2.2 Génération du maillage ED ............................................................................................. 53

2.2.1 Les méthodes de génération ..................................................................................................53

2.2.2 Vérification du maillage ...........................................................................................................57

2.3 Gestion des interactions .................................................................................................. 59

2.3.1 Types d’interactions ..................................................................................................................59

2.3.2 Recherche des interactions ....................................................................................................61

2.4 Les équations de la MED .................................................................................................. 62

2.4.1 Elasticité linéaire ........................................................................................................................62

2.4.2 Correction de la masse des ED ..............................................................................................65

2.4.3 Cycle de calcul de la MED ........................................................................................................65

2.4.4 Calcul des forces d’interactions locales .............................................................................67

2.4.5 Lois de comportement non linéaires locales ..................................................................70

2.4.6 Stabilité du schéma d’intégration temporelle ................................................................71

2.5 Conclusion ............................................................................................................................. 72

CHAPITRE 3 - Validation du modèle en quasi-statique .............................. 75

3.1 Choix d’une finesse représentative ............................................................................. 76

3.2 Pilotage des essais de compression et traction uniaxiales ................................. 78

ix

3.3 Elasticité ................................................................................................................................ 80

3.3.1 Coordinance ................................................................................................................................. 80

3.3.2 Calcul du coefficient de Poisson ........................................................................................... 81

3.3.2.1 Méthode globale ................................................................................................................................... 81

3.3.2.2 Méthode locale ...................................................................................................................................... 82

3.3.3 Résultats ........................................................................................................................................ 82

3.3.4 Identification des raideurs locales...................................................................................... 83

3.3.5 Conclusion .................................................................................................................................... 88

3.4 Non linéarité ........................................................................................................................ 88

3.4.1 Simulation d’un essai de compression simple ............................................................... 88

3.4.2 Augmentation de la coordinance ........................................................................................ 92

3.4.3 Loi de Transfert de Moment (LTM) .................................................................................... 94

3.4.3.1 Introduction ........................................................................................................................................... 94

3.4.3.2 Définition du roulement entre deux éléments ........................................................................ 96

3.4.3.3 Calcul du moment de roulement ................................................................................................... 99

3.4.3.4 Calcul de la raideur et du seuil plastique de roulement .................................................. 101

3.4.3.5 Identification linéaire du modèle ............................................................................................... 103

3.4.3.6 Identification non linéaire du modèle ..................................................................................... 105

3.4.3.7 Influence de la taille des éléments............................................................................................. 110

3.5 Conclusion...........................................................................................................................112

CHAPITRE 4 - Modélisation des essais de traction dynamqiue du béton .................................................................................................................................... 115

4.1 Données expérimentales ...............................................................................................117

4.2 Modélisation numérique des essais d’écaillage aux barres de Hopkinson ..119

4.2.1 Maillage ....................................................................................................................................... 119

4.2.2 Fréquence de coupure .......................................................................................................... 121

4.2.3 Résultats ...................................................................................................................................... 123

4.2.4 Modélisation de l’effet de vitesse en traction ............................................................... 127

4.3 Conclusion...........................................................................................................................137

Conclusions et Perspectives ............................................................................. 141

Bibliographie ......................................................................................................... 147

xi

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Table des figures

________________________________________________________________ _____

Figure ‎1.1 - système masse- ressort à deux degrés de liberté [CEB, 1988]................................... 6

Figure ‎1.2 - Impact mou [CEB, 88] .................................................................................................................. 6

Figure ‎1.3 - Impact dur [CEB, 1988] .............................................................................................................. 7

Figure ‎1.4 - Classification des impacts [Kœchlin et Potapov, 2009] ................................................ 8

Figure ‎1.5 - Configuration d’un impact accidentel sur une centrale nucléaire ............................ 9

Figure ‎1.6 - Fonction de chargement [Bangash, 1993] ....................................................................... 10

Figure ‎1.7 - Effets d’impact sur la dalle en béton armé, (a) Pénétration, (b) Fissuration en cône, (c) Cratérisation, (d) Fissuration radiale sur : i) face avant et ii) face arrière, (e) Ecaillage, (f) Perforation, (g) Réponse globale de la cible, [Kennedy, 1976] ...................... 12

Figure ‎1.8 - Scénario de perforation d’après les essais Meppen [Jonas et al., 1982] .............. 13

Figure ‎1.9 - Impact d’avion sur une dalle en béton armé [Sugano et al., 1993]........................ 14

Figure ‎1.10 - Microstructure du béton ...................................................................................................... 15

Figure ‎1.11 - Courbe contrainte/déformation d’un essai de compression simple [Vu, 2007] (à gauche) et formation des cônes de frettage lors de l’essai (à droite) ...................................... 16

Figure ‎1.12 - Principe de l’essai de compression simple (à gauche) et allure générale de la courbe contrainte déformation en compression simple (à droite) ............................................... 16

Figure ‎1.13 - Résultat d’un essai cyclique de compression uniaxiale [Alsulayfani, 1986] ... 18

Figure ‎1.14 - Essai de traction directe : (a) Principe de l’essai, (b) Rupture de l’éprouvette [Gabet, 2006] et (c) Courbe contrainte-déformation [Terrien, 1980] .......................................... 19

Figure ‎1.15 - Essai brésilien : (a) Principe de l’essai, (b) Rupture de l’éprouvette lors d’un essai réalisé au DGC de l’ENS Cachan [Leroux, 2012] ......................................................................... 20

Figure ‎1.16 - Essai de flexion trois points : (a) Principe de l’essai, (b) Courbe charge-déflexion de la poutre pour déterminer l’énergie de rupture 𝐺𝑓 ................................................... 20

Figure ‎1.17 - La transition du comportement du béton : d’un comportement fragile à la ductilité en fonction de la pression de confinement ............................................................................ 21

xii

Figure ‎1.18 - Différents trajets de chargement triaxiaux [Gabet, 2006] ......................................22

Figure ‎1.19 - Courbes contrainte/déformation obtenues lors des essais triaxiaux par [Jason et al., 2006]. (a) Essais à faible pression de confinement de 0 à 9 MPa (b) Essais à pression de confinement moyenne de 30 à 60 MPa .............................................................................23

Figure ‎1.20 - Comportement compactant du béton [Burlion, 1998] .............................................23

Figure ‎1.21 - Résultats des essais triaxiaux pour différentes pressions de confinement : (a) béton sec Sr =11%, (b) béton très humide Sr = 85% ..........................................................................24

Figure ‎1.22 - Gammes de taux de déformation [Bischoff et Perry, 1991 ; Brara, 1999] ......25

Figure ‎1.23 - (a) Principe de l’essai de compression aux barres d’Hopkinson (b) signaux de jauges typiques du même essai sur matériau fragile [Erzar, 2010] ...............................................26

Figure ‎1.24 - Schéma expérimentale d’écaillage (a) de [Landon et Quiney, 1923] et (b) de [Goldsmith et al., 1966] ....................................................................................................................................28

Figure ‎1.25 - (a) Dispositif aux barres de Hopkinson de Delft (b) une éprouvette instrumentée de jauges de LVDT [Vegt et al., 2006] ............................................................................29

Figure ‎1.26 - Configuration expérimentale de l’essai de traction aux barres de Hopkinson au JRC Ispra ...........................................................................................................................................................29

Figure ‎1.27 - Configuration expérimentale de Brara et Klepaczko [2001] .................................30

Figure ‎1.28 - Méthode de dépouillement utilisée par Klepaczko et Brara [Erzar et Forquin, 2009] ........................................................................................................................................................................31

Figure ‎1.29 - Signal de vitesse en face arrière au cours d’un essai d’écaillage [Erzar, 2010] ....................................................................................................................................................................................32

Figure ‎1.30 - Schéma du montage de l’essai de traction dynamique par écaillage [Erzar et Forquin, 2010]......................................................................................................................................................32

Figure ‎1.31 - Instrumentation d’une éprouvette de microbéton lors d’un essai de traction dynamique par écaillage [Erzar et Forquin, 2010] ...............................................................................33

Figure ‎1.32 - Evolution temporelle (a) des contraintes élastiques équivalentes et (b) des vitesses de déformation dérivée des signaux des jauges [Erzar, 2010] .......................................34

Figure ‎1.33 - Augmentation de la résistance à la compression en fonction de la vitesse de déformation [Bischoff et Perry, 1991] .......................................................................................................35

Figure ‎1.34 - Evolution de la résistance dynamique de traction en fonction du logarithme de la vitesse de déformation [Malvar L. et Crawford J., 1998] .........................................................35

Figure ‎1.35 - Explication schématique de l’effet de vitesse dû à l’effet Stefan [Toutlemonde, 1994] ........................................................................................................................................................................36

Figure ‎1.36 - Evolution de l’augmentation de résistance en fonction de la vitesse de chargement pour les bétons testés par Toutlemonde [1994]. .........................................................36

Figure ‎1.37 - Surface de rupture avec les granulats cassés dans les essais d’écaillage [Brara et Klepackzko, 2006] .........................................................................................................................................37

Figure ‎1.38 - (a) Simulation d’un impact de missile sur une dalle en béton armé [Teng et al., 2004] (b) Simulation d’un test de flexion trois points [Ortiz et Pandolfi, 1999] ..............40

Figure ‎1.39 - Simulation d’impact sur une plaque en béton avec la méthode SPH [Leppänen, 2006] ................................................................................................................................................41

Figure ‎1.40 - Réseau de nœuds (a) régulier et (b) irrégulier d’un Lattice Model ....................42

Figure ‎1.41 - Triangulation de Delaunay et création des cellules polyédriques utilisées pour le modèle LDPM ........................................................................................................................................43

Figure ‎1.42 - Méthodes discrètes avec différentes formes d’éléments : (a) un essai de cisaillement biaxial d’un milieu granulaire en 2D avec des éléments elliptiques [Ting et al., 1995], (b) Exemple d’éléments polyédriques [Azéma, 2007] .........................................................44

xiii

Figure ‎1.43 - Simulation de la chute de bloc rocheux sur une dalle en béton armé avec la méthode des éléments discrets sphériques [Hentz et al., 2005] .................................................... 45

Figure ‎1.44 - Simulation d’un essai d’arrachement d’armature par la méthode des éléments discrets [Rousseau, 2009] ........................................................................................................... 45

Figure ‎1.45 - Zone de recouvrement et paramètres de recouvrement [Frangin, 2008] ....... 46

Figure ‎1.46 - Simulation d’impact sur une enceinte de confinement nucléaire [Rousseau, 2009] ........................................................................................................................................................................ 47

Figure ‎2.1 - Réalisation d’un échantillon numérique (a) avant compaction (b) compacté par la méthode d grossissement des sphères [TRAN, 2011] ............................................................ 54

Figure ‎2.2 - Méthode de génération de maillage et détection des contacts par déposition balistique ................................................................................................................................................................ 55

Figure ‎2.3 - Procédure de génération de maillage discret développée par [Jerier, 2009] ... 56

Figure ‎2.4 - Exemple d’un engrenage conique maillé par l’algorithme de Jerier [Jerier et al., 2010] ........................................................................................................................................................................ 56

Figure ‎2.5 - Modélisation d’un essai d’impact sur une dalle en béton armé [Rousseau, 2009] ........................................................................................................................................................................ 57

Figure ‎2.6 - Maillage ED à partir d’un maillage EF avec 3 tétraèdres par petite côté ............ 58

Figure ‎2.7 - Distribution des rayons des éléments sur un échantillon de 8630 ED ................ 59

Figure ‎2.8 - Orientation des contacts dans les trois plans principaux .......................................... 59

Figure ‎2.9 - Variation du nombre de liens en fonction du rayon d’interaction ........................ 60

Figure ‎2.10 - Méthode de recherche des contacts par grille ............................................................. 61

Figure ‎2.11 - Méthode de tri par empilement avec des bandes ...................................................... 62

Figure ‎2.12 - Loi d’interaction élastique entre deux éléments ........................................................ 62

Figure ‎2.13 - Efforts d’interaction appliqués sur un ED ..................................................................... 66

Figure ‎2.14 - Etapes fondamentales du cycle de calcul de la MED ................................................. 67

Figure ‎2.15 - Paramètres d’interaction entre deux éléments .......................................................... 68

Figure ‎2.16 - Lois de comportement non linéaires locales................................................................ 71

Figure ‎3.1 - Distribution des orientations des contacts dans les plans xy, xz et yz des maillages ED correspondant à plusieurs finesses: (a) 3 tétraèdres par côté, (b) 5 tétraèdres par côté et (c) 7 tétraèdres par côté du maillage EF ............................................................................ 77

Figure ‎3.2 - Distribution des orientations des dans les plans xy, xz et yz du maillage ED choisi ........................................................................................................................................................................ 78

Figure ‎3.3 - Pilotage de l’essai de traction uniaxiale ............................................................................ 79

Figure ‎3.4 - Evolution du coefficient d’équilibre au cours des essais de compression-traction uniaxiales quasi-statiques pour V = 0.05 m/s ...................................................................... 79

Figure ‎3.5 - Suppression de la couche d’éléments aux bords pour le calcul de la coordinance........................................................................................................................................................... 80

Figure ‎3.6 - Mesure des déformations par la méthode locale .......................................................... 81

Figure ‎3.7 - Comparaison de l’évolution de ν analytique et la courbe de ν numérique obtenue par l’approche locale ....................................................................................................................... 84

Figure ‎3.8 - Comparaison de l’évolution de ν analytique et la courbe de ν numérique obtenue par l’approche globale .................................................................................................................... 85

Figure ‎3.9 - Evolution du rapport E/E0 analytique et de la courbe E/E0 numérique ........... 85

Figure ‎3.10 - Evolution due E en fonction de la finesse du maillage EF ....................................... 86

Figure ‎3.11 - Evolution de ν en fonction de la finesse du maillage EF .......................................... 87

xiv

Figure ‎3.12 - Différentes éprouvettes utilisées: (a) Eprouvette utilisée lors de l’identification linéaire - (b), (c), (d) et (e) représentent respectivement les éprouvettes 1,2,3 et 4 ..................................................................................................................................................................87

Figure ‎3.13 - (a) Courbe de compression simple et (b) l’endommagement de l’éprouvette ....................................................................................................................................................................................88

Figure ‎3.14 - Essai de (a) compression et (b) traction pour ζ=4, ζ=10 et ζ=30 .........................89

Figure ‎3.15 - Essai de (a) compression et (b) traction pour T=2.5 MPa et T=5 MPa ..............90

Figure ‎3.16 - Essai de (a) compression et (b) traction pour 𝑪𝟎 =4MPa et 𝑪𝟎=8 MPa ...........91

Figure ‎3.17 - Essai de (a) compression et (b) traction pour Ф𝒊 = 5° et Ф𝒊 = 10° .....................91

Figure ‎3.18 - Essai de (a) compression et (b) traction pour Ф𝒄 = 5° et Ф𝒄 = 10° ...................91

Figure ‎3.19 - Courbes contrainte-déformation de compression pour différentes coordinances. ........................................................................................................................................................93

Figure ‎3.20 - Courbes contrainte-déformation de traction pour différentes coordinances. ....................................................................................................................................................................................93

Figure ‎3.21 - Evolution du contact entre deux éléments A et B entre deux instants t et t+dt. ....................................................................................................................................................................................96

Figure ‎3.22 - Détermination du point de contact P_c pour une interaction de type lien ......97

Figure ‎3.23 - Modèle élasto-plastique pour le moment de roulement. ........................................99

Figure ‎3.24 - Analogie d’une poutre composée par les deux éléments en interaction ....... 102

Figure ‎3.25 - Etude de sensibilité des courbes de compression simple (a) au coefficient du seuil plastique de roulement η et (b) au coefficient de raideur de roulement 𝛽𝑟 ................ 107

Figure ‎3.26 - Influence de la LTM sur la courbe de traction simple ............................................ 107

Figure ‎3.27 - Procédure d’identification des paramètres du modèle ......................................... 108

Figure ‎3.28 - Courbes de (a) compression et de (b) traction uniaxiales identifiées pour le béton C50 ............................................................................................................................................................ 109

Figure ‎3.29 - Courbes de (a) compression et de (b) traction uniaxiales identifiées pour le béton R30A7 sec ............................................................................................................................................... 109

Figure ‎3.30 - Courbes de (a) compression et de (b) traction uniaxiales identifiées pour le béton R30A7 humide à 42%........................................................................................................................ 110

Figure ‎3.31 - Endommagement lors des essais de (a) compression et de (b) traction uniaxiales du béton R30A7 humide ......................................................................................................... 110

Figure ‎3.32 - Courbes contrainte-déformation lors d’un essai de traction simple pour différentes tailles d’éléments ...................................................................................................................... 111

Figure ‎3.33 - Création d’une fissure lors de l’essai de traction simple avec le maillage fin. ................................................................................................................................................................................. 112

Figure ‎4.1 - Champ de vitesse dans l’échantillon en béton à la rupture [Hentz, 2003] ..... 116

Figure ‎4.2 - Schéma du montage de l’essai de traction dynamique par écaillage [Erzar et Forquin, 2010]................................................................................................................................................... 117

Figure ‎4.3 - (a) Impulsions de vitesses appliquées sur la face avant de l’éprouvette en béton et (b) les vitesses mesurées sur le bout libre de l’éprouvette pour 4 essais d’écaillage ................................................................................................................................................................................. 118

Figure ‎4.4 - Orientation des interactions dans les trois plans principaux pour les deux maillages gros et fin de l’essai de traction aux barres de Hopkinson......................................... 120

Figure ‎4.5 - Choix des couches ED pour appliquer le chargement dynamique ...................... 120

Figure ‎4.6 - Analyse de la dispersion numérique dans le modèle ED ........................................ 121

Figure ‎4.7 - Détermination de la fréquence de coupure numérique du modèle .................... 122

xv

Figure ‎4.8 - Détermination de la fréquence de coupure numérique du modèle après réduction du diamètre de l’éprouvette ................................................................................................... 123

Figure ‎4.9 - Courbes de vitesses en face arrière au cours du temps pour les essais (a) A, (b) B, (c) C et (d) D .................................................................................................................................................. 124

Figure ‎4.10 - Champ d’endommagement pour l’essai A. ................................................................. 124

Figure ‎4.11 - Champ d’endommagement pour l’essai C. ................................................................. 125

Figure ‎4.12 - Courbe de vitesse en face arrière de l’essai C avec T = 4Ts = 8.4 MPa. ......... 126

Figure ‎4.13 - Champ d’endommagement pour l’essai C avec T = 4Ts = 8.4 MPa. ................. 126

Figure ‎4.14 - (a) Résultats expérimentaux sur l’effet de vitesse en traction et (b) la modification de la limite locale de traction du modèle en fonction de la vitesse de déformation de l’interaction ....................................................................................................................... 127

Figure ‎4.15 - Détermination de la borne supérieure de la limite locale de traction. ........... 129

Figure ‎4.16 - Evolution de la valeur absolue de la vitesse de déformation d’un lien interne au cours du temps dans (a) un gros maillage et dans (b) un maillage fin (essai B). ............ 130

Figure ‎4.17 - Evolution de la vitesse de déformation filtrée d’un lien interne au cours du temps dans un maillage fin (essai B). ...................................................................................................... 133

Figure ‎4.18 - Essai A : courbe de vitesse en face arrière ................................................................. 134

Figure ‎4.19 - Essai B : courbe de vitesse en face arrière ................................................................. 135

Figure ‎4.20 - Essai C : courbe de vitesse en face arrière ................................................................. 135

Figure ‎4.21 - Essai D : courbe de vitesse en face arrière ................................................................. 136

Figure ‎4.22 - Essai B : Comparaison des états d’endommagement dans le (a) gros maillage, (b) le maillage fin et (c) l’éprouvette réelle à t = 1.3 ms. ................................................................. 136

Figure ‎4.23 - Essai B : Champ des vitesses axiales dans l’échantillon à t = 1.3 ms du (a) gros maillage et du (b) maillage fin. ................................................................................................................... 137

xvii

_________________________________________________________________ ____

Liste des tableaux

________________________________________________________________ _____

Tableau ‎3.1 - Caractéristiques géométriques des maillages ED à plusieurs finesses ............ 77

Tableau ‎3.2 - Calcul de E et ν pour différentes finesses du maillage EF avec les erreurs relatives en % ....................................................................................................................................................... 86

Tableau ‎3.3 - Calcul de E et ν pour différentes éprouvettes ............................................................. 87

Tableau ‎3.4 - Jeu de paramètres utilisé dans l’étude de sensibilité ............................................... 89

Tableau ‎3.5 - Calcul du moment de roulement ................................................................................... 100

Tableau ‎3.6 - Mesures de E et ν avec les paramètres linéaires trouvés dans [3.9] et en tenant compte de la LTM .............................................................................................................................. 104

Tableau ‎3.7 - Erreurs sur E et ν mesurés pour différents coefficient de raideur 𝛽𝑟 ........... 104

Tableau ‎3.8 - Reproduction de E et ν pour différentes finesses du maillage EF ................... 105

Tableau ‎3.9 - Reproduction de E et ν pour différentes géométries ............................................ 105

Tableau ‎3.10 - Paramètres non-linéaires identifiés pour trois types de béton. .................... 106

Tableau ‎3.11 - Paramètres non-linéaires fixés pour l’étude de sensibilité aux coefficients de la LTM ............................................................................................................................................................. 106

Tableau ‎3.12 - Paramètres non-linéaires identifiés pour trois types de béton. .................... 109

Tableau ‎4.1 - Gammes des taux de déformation mesurées pour 4 essais d’écaillage ......... 117

Tableau ‎4.2 - Propriétés mécaniques du béton R30A7 humide ................................................... 117

Tableau ‎4.3 - Propriétés mécaniques du béton R30A7 humide ................................................... 119

Tableau ‎4.4 - Paramètres non-linéaires identifiés en quasi-statiques pour le béton R30A7 humide ................................................................................................................................................................. 121

Tableau ‎4.5 - Ordres de valeur des taux de déformation maximales expérimentales et numériques ........................................................................................................................................................ 129

Tableau ‎4.6 - Ordres de valeur des taux de déformation maximales numériques en fonction de la fréquence de filtrage (Essai A) ...................................................................................... 132

Tableau ‎4.7 - Ordres de valeur des taux de déformation maximales numériques en fonction de la fréquence de filtrage (Essai B) ...................................................................................... 132

1

_________________________________________________________________ ____

Introduction

________________________________________________________________ _____

La conception de certaines structures sensibles en génie civil nécessite la

prise en compte des risques extrêmes pouvant mener à la rupture de ces ouvrages

(barrages, centrales nucléaires, etc....). Parmi ces sollicitations extrêmes, on peut

citer les explosions, les impacts balistiques, les chutes d’avions et les séismes. Dans

notre étude, on s’intéresse au cas des centrales nucléaires soumises à des impacts

d’avions. Ce sujet fait partie du cahier des charges des concepteurs depuis plus de

30 ans. Cependant, depuis les événements de 11 Septembre 2001, la

problématique de chute d’avion est devenue primordiale lors de la conception

d’ouvrages nucléaires(1).

A l’échelle structurelle, les expérimentations sont très limitées notamment si

l’échelle est très large. C’est le cas des enceintes de confinement nucléaires ayant

des dimensions de quelques dizaines de mètres et une épaisseur de l’ordre du

mètre. Le recours à la modélisation numérique apparaît comme une nécessité pour

prédire le comportement de ces ouvrages et pour les différents types de risques

auxquels ils sont exposés. La prédiction des endommagements qui apparaissent

lors d’un évènement accidentel ou d’origine terroriste constitue toujours un enjeu

pour la recherche. En effet, la demande de sureté accrue des centrales nucléaires

exige de prendre en compte ces évènements extrêmes dès la phase de conception.

(1) Le décret n° 2007-534 du 10 avril 2007 autorisant la construction d’un réacteur nucléaire de type EPR sur le site de Flamanville requiert la prise en compte de chute d’un avion, civil ou militaire, sur le réacteur.

Introduction

2

L’objectif ultime de notre travail de thèse est de proposer un outil numérique

capable de prédire le comportement fortement endommagé d’une structure en

béton armé soumis à un impact d’avion. Les impacts entraînent l’apparition de

nombreuses discontinuités (fractures, fragments, ...). La modélisation de ces

phénomènes est facilitée par l’utilisation d’un modèle discret permettant de

représenter facilement l’apparition des discontinuités. Notre étude s’inscrit dans

un travail de recherche visant à développer un modèle numérique robuste et

capable de représenter d’une manière fiable le comportement du béton sous

sollicitations extrêmes. Un travail est réalisé en parallèle dans la thèse de Masurel

[2015] à EDF et complète le nôtre par les développements sur la liaison acier

béton. Les développements numériques liés aux deux thèses sont réalisés avec le

logiciel EUROPLEXUS, code d’expertise industriel développé conjointement par le

CEA (Commissariat à l’Energie Atomique), le JRC (Joint Research Center ISPRA),

EDF et l’ONERA. L’implantation numérique de la MED a été initiée par Rousseau

[2009].

Le modèle discret choisi n’est pas adaptée pour modéliser un ouvrage entier

en béton armé. En effet, la taille du modèle devient très importante et le coût de

calcul sera prohibitif : c’est la limitation du calcul aux éléments discrets. On peut

pallier à ce problème en modélisant la zone impactée par les ED, et le reste de la

structure par une autre approche continue comme la méthode des éléments finis.

Un couplage de ces deux méthodes a été proposé par plusieurs auteurs dans ce

contexte [Rousseau, 2009 ; Frangin, 2008]. La partie ED dans la zone d’impact doit

reproduire fidèlement le comportement réel du béton, c’est l’enjeu de la présente

thèse.

Ce mémoire comporte 4 chapitres. Le premier chapitre bibliographique

permet de définir le problème. La classification des impacts sur les structures en

béton armé est présentée. Cette classification permet de mettre en évidence les

phénomènes mis en jeu expérimentalement et qui doivent être modélisés. Y seront

détaillées les différentes techniques expérimentales pour caractériser le

comportement du béton sous chargement quasi-statique et dynamique. Une revue

des méthodes numériques existantes pour modéliser les structures en béton sous

impact nous permettra de justifier le choix de la MED et l’utilisation du couplage

ED/EF à l’échelle de la structure : ED dans la zone d’impact, et EF dans le reste de

la structure.

Introduction

3

Le chapitre 2 décrit la méthode aux éléments discrets utilisée ainsi que sa

méthode de discrétisation. Des interactions sont définies entre les éléments

sphériques de l’assemblage pour modéliser le comportement non linéaire du

béton. Un schéma d’intégration explicite des équations du mouvement permet de

connaître les positions des ED à chaque instant. Des précautions équivalentes à

celle de la condition de CFL (Courant Friedrichs Lewy) sont prises pour garantir la

stabilité du schéma d’intégration.

Le chapitre 3 traite la simulation des essais quasi-statiques de compression

et traction uniaxiales. La prédiction du comportement dynamique de béton

nécessite d’abord la caractérisation de son comportement quasi-statique. Le

modèle numérique développé est calibré et validé en se basant sur les travaux de

Hentz [2003]. La comparaison avec les résultats d’essais de laboratoire fait

apparaître la nécessité d’apporter des modifications importantes au modèle. Une

loi de transfert de moment (LTM) est proposée pour pallier à certains des

problèmes identifiés avec le modèle de Hentz.

Le quatrième et dernier chapitre de cette thèse porte sur la modélisation du

comportement dynamique en traction du béton. Le but est d’étendre la validation

du modèle ED tridimensionnel en simulant des essais de traction dynamique à

haut taux de déformation. Une étude réalisée par [Hentz et al., 2004] a confirmé,

d’une part, que l’effet de vitesse du béton en compression et à hautes vitesses de

déformation est un effet inertiel, c’est-à-dire que cela n’est pas un effet dû au

matériau. D’autre part, la même étude a validé l’hypothèse selon laquelle l’effet de

vitesse en traction est un effet dû au matériau. Suivant ces conclusions, nous avons

simulé des essais de traction dynamique aux barres de Hopkinson réalisés par

Erzar er Forquin [2010] à des taux de déformation variant de 30 à 115 s-1. La

comparaison des résultats expérimentaux et numériques nous permet d’identifier

les paramètres de la loi de comportement du béton permettant de reproduire

l’important effet de vitesse de déformation

Enfin, ce mémoire se clôture par des conclusions et des perspectives.

5

CHAPITRE 1

_________________________________________________________________ ____

Etude bibliographique

________________________________________________________________ _____

L’objectif de ce chapitre est de donner une brève revue bibliographique sur le

comportement des structures en béton soumises à des impacts dynamiques. A ce

titre, après avoir présenté les études déjà effectuées pour caractériser le

comportement dynamique sous impact à l’échelle structurelle, les différentes

techniques existantes pour étudier les comportements quasi-statique et

dynamique du béton à l’échelle macroscopique seront présentées.

1.1 Caractérisation des impacts en dynamique des

structures

1.1.1 Classification des types d’impacts

Dans le cas des impacts en dynamique des structures, la force d’impact

appliquée à la structure cible est fonction de plusieurs paramètres tels que les

échanges énergétiques qui se déroulent pendant le choc, la géométrie des deux

corps, leur rigidité, leur masse, etc. La compraraison de l’état avant et après le

choc et les phénomènes observés permettent de les classer. Cependant ce

classement n’est pas facile. Plusieurs travaux dans la littérature qui portent sur ces


6

impacts dans différents champs d’application montrent des résultats parfois

contradictoires.

On définit généralement deux types d’interactions : le choc mou et le choc

élastique appelé aussi choc dur [Brossard, 1997]. Considérons deux masses

ponctuelles m1 et m2 en collision. Lorsque les deux masses se lient l’une à l’autre

pour former un seul corps partant à une certaine vitesse, sans qu’il n’y ait aucun

rebond, le choc est mou. Au contraire, lorsqu’il s’agit d’un rebond parfait sans

dissipation d’énergie, le choc est considéré comme élastique.

Figure ‎1.1 - système masse- ressort à deux degrés de liberté [CEB, 1988]

D’autre part, les problèmes d’impact sur les structures en béton ont été

abordés par [Eibl, 1987] et [CEB, 1988]. Suivant ces travaux, l’impact est modélisé

par deux masses rigides 𝑚1 et 𝑚2, un ressort R2 entre les deux masses pour

simuler le contact entre le projectile et la cible, et un autre ressort R1 qui

caractérise la rigidité de la structure cible (Figure 1.1).

Figure ‎1.2 - Impact mou [CEB, 88]

Le cas où u2 est très grand par rapport à u1 est considéré comme impact mou

(«soft impact » en anglais). L’énergie cinétique est transformée totalement en

énergie de déformation du projectile, et la cible reste indéformable (Figure 1.2).


7

C’est le cas d’impact d’un avion sur une structure massive en béton armé. Dans ce

cas, le projectile s’écrase complètement et les déplacements et déformations de la

structure cible sont faibles par rapport aux déplacements et déformations de

l’avion [Sugano et al., 1993].

A l’opposé quand u2 est très faible par rapport à u1, ce cas est considéré

comme un impact dur (Figure 1.3) où le projectile compactant reste rigide et son

énergie cinétique est, en grande partie, absorbée par les déformations de la

structure.

Figure ‎1.3 - Impact dur [CEB, 1988]

D’après tout ce qui précède, on voit clairement la contradiction avec la

classification des impacts donnée par Brossard et Eibl. Prenons l’exemple des

essais d’impact d’un avion sur une structure en béton armé réalisés par [Sugano et

al., 1993]. Selon Brossard, ces essais sont considérés comme des impacts mous

puisqu’il n’y a pas eu de rebond du projectile. En revanche selon Eibl, comme le

déplacement de la structure cible n’est pas négligeable par rapport au projectile,

l’impact est alors considéré comme impact dur.

Outre cette contradiction, la classification d’Eibl et de la CEB ne prend pas en

compte les chocs durs où la cible est traversée par un projectile rigide. Cela montre

clairement que le déplacement de la structure cible et la rigidité des deux corps ne

représentent pas les seuls éléments clés pour classifier les impacts. Pour pallier ce

problème, [Kœchlin et Potapov, 2009] ont proposé une classification fondée sur les

travaux de [Riera, 1980] pour définir une limite entre le choc mou et le choc dur en

prenant en compte à la fois les seuils de rupture des matériaux et la vitesse du

projectile. L’approche de Riera a été spécialement conçue pour évaluer le

chargement dû à l’impact d’un projectile déformable sur une cible très rigide.

Koechlin a réécrit la formule de Riera en contrainte à l’instant initial du choc,

lorsque la cible est soumise à une contrainte qui a deux composantes, l’une venant

du matériau et l’autre de la vitesse :

𝜎 = 𝜎𝑝 + 𝜌𝑝𝑉02 [1.1]


8

c

pV

2

0

où :

- 𝜎𝑝 : la contrainte de rupture du projectile.

- 𝜌𝑝 : la masse volumique du projectile.

- 𝑉0 : la vitesse du projectile.

La limite entre un choc dur et un choc mou s’établit lorsque :

𝜎𝑝 + 𝜌𝑝𝑉02 = 𝜎𝑐 [1.2]

Où 𝜎𝑐 représente la contrainte de rupture du matériau constituant la cible.

On peut également écrire :

𝜎𝑝

𝜎𝑐+

𝜌𝑝𝑉02

𝜎𝑐= 1 [1.3]

Si la cible résiste et si le projectile s’écrase, on considère que c’est un choc

mou. Au contraire, lorsque le projectile pénètre la cible, c’est un choc dur. Selon le

critère défini par la formule [1.3], si le terme gauche est inférieur à 1, le choc est

qualifié de mou. En revanche, s’il est supérieur à 1, il est considéré comme choc dur

(Figure 1.4).

Figure 1.4 - Classification des impacts [Kœchlin et Potapov, 2009]

1.1.2 Références expérimentales d’impact sur les ouvrages en

béton

Le dimensionnement des structures soumises à un impact est de nos jours un

point dur et crucial dans les travaux de bureaux d’études et d’ingénierie. La

1

c

p

Impact dur

Impact mou

1


9

conception des structures en béton peut nécessiter une exigence de résistance à

des impacts de fortes énergies tels que la chute des blocs rocheux, les impacts des

missiles ou des avions sur des enceintes de centrale nucléaire (Figure 1.5). Dans le

cas de l’impact d’un avion sur une structure en béton armée, ce problème a été

depuis longtemps étudié par l’industrie des centrales nucléaires. Depuis les

événements du 11 Septembre 2001, la nature de l’acte terroriste a amené les

concepteurs de bâtiments sensibles comme les centrales nucléaires à intégrer au

cahier des charges la probabilité d’une chute d’avion.

Citons notamment le décret n° 2007-534 du 10 avril 2007 autorisant la

création de l'installation nucléaire de base dénommée Flamanville 3, comportant

un réacteur nucléaire de type EPR, sur le site de Flamanville (Manche). Ce décret

stipule dans l’article IV-2.1 intitulé « Le risque de chute accidentelle d'un aéronef »

que « la salle de commande principale et la station de repli du réacteur sont

protégés physiquement par une paroi externe en béton armé. Les cas de charge à

retenir pour la conception de cette paroi sont définis en considérant, d'une part, le

trafic de l'aviation générale et son évolution prévisible et, d'autre part, par

convention, la chute accidentelle d'un avion militaire ».

Figure ‎1.5 - Configuration d’un impact accidentel sur une centrale nucléaire

A partir des années 1970, l’industrie nucléaire s’est intéressée à l’étude des

enceintes de confinement soumises à l’impact de projectiles provenant d’un avion

comme la turbine ou l’alternateur. Le problème d’impacts d’avions complets sur

des structures en béton armé fait aussi l’objet de nombreux travaux, compte tenu

des enjeux de sûreté dans l’industrie nucléaire, l’objectif étant de déterminer la

force associée à l’impact de l’avion. Avec le développement des outils

informatiques et les capacités de calcul et de modélisation, les ingénieurs de


10

conception commencent de plus en plus à étudier le problème d’impact par des

simulations numériques.

Un impact dépend essentiellement du type de projectile et de ses

caractéristiques telles que sa masse voire la répartition de masse, sa rigidité et la

vitesse d’impact, il est indispensable d'intégrer ces paramètres dans le modèle.

L’une des méthodes les plus utilisées est le modèle développé par Riera [Riera,

1980].Ce modèle estime la fonction de chargement, évoluant au cours du temps,

d’un projectile à une vitesse donnée à partir de sa répartition de masse tenant

compte des vides de la structure et des forces de flambage. Plusieurs auteurs ont

utilisé cette approche dans leurs travaux [Mestat et al., 1999 ; Brara, 1999] (Figure

1.6). Lors d’un impact rigide avec un projectile très rigide et rapide, il y a d’autres

caractéristiques à prendre en compte comme la forme et le nez du projectile

[Berriaud et al., 1978 ; Li et al., 2002 ; Shiu et al., 2008]. Des lois de prédiction

empiriques ont pris en compte l’effet du nez de l’impacteur pour calculer la force

d’impact sur la dalle et la profondeur de pénétration [Adeli et Amin, 1985].

Figure ‎1.6 - Fonction de chargement [Bangash, 1993]

Les caractéristiques du projectile (forme du nez, rigidité, vitesse initiale)

ainsi que les caractéristiques de la dalle (épaisseur, déformabilité) ont une forte

incidence sur le mécanisme d’endommagement de la cible. En effet, l’impact ayant


11

lieu directement sur la dalle, les efforts de contact et l’énergie transmise dépendent

de la déformabilité de la dalle et du projectile. En faisant la comparaison entre les

fonctions de charge (Figure 1.6) d’un avion militaire (Phantom) et un autre avion

civil (Boeing 720), on trouve un comportement différent dans chaque cas.

Pour un avion militaire, sa rigidité élevée crée des forces d’impact très

grandes sur un intervalle de temps court (0.1 s). Tandis que pour un Boeing 720

qui est plus déformable, les forces engendrées sont plus faibles sur une période

plus longue. Le premier cas correspond à un choc dur et le deuxième à un choc

mou. Dans le cas de l’impact par un avion militaire rigide, les phénomènes locaux

et globaux sont découplés. En effet la durée d’impact est courte et par conséquent

les ondes n’ont pas le temps de se propager dans la structure et de revenir pour

changer le comportement local sous impact : Cet impact est considéré comme dur

[Shiu, 2008]. En revanche, dans le cas d’un avion de ligne déformable, l’impact dure

plus longtemps et les ondes ont le temps de se propager dans la structure et de

faire des retours pour modifier les comportements locaux, provoquant un couplage

entre les phénomènes locaux et le comportement structurel [Bailly, 2004 ;

Kœchlin, 2007].

Par conséquent, le comportement de la structure cible en béton armé se

manifeste de trois manières différentes et principales:

1. la réponse de la structure est limitée à la région locale de l’impact et la

majorité de l'énergie d'impact est absorbée par les mécanismes locaux

d’endommagement.

2. l'énergie d'impact est dissipée sous forme de déformations

structurelles (flexion, cisaillement...etc.) de la cible.

3. l'énergie d'impact est dissipée sous forme d’une combinaison des

mécanismes locaux d’endommagement et de déformations

structurelles.

Au fil des années, les chercheurs ont réalisés des essais d’impact sur des

structures simples en béton armé (poutres, dalles) dont l’objet est de mettre en

évidence un certain nombre de phénomènes locaux et globaux. Cela permet de

pallier aux problèmes de coûts élevés lors de la réalisation d’essais sur une grande

structure en béton armé. Ensuite, les résultats de ces essais ont été exploités pour

valider des modèles de comportement développés.


12

Dans un premier temps, plusieurs essais ont été réalisés pour caractériser les

impacts durs sur des plaques en béton armé. Des campagnes d’essais ont eu lieu

sur des dalles en béton armé, en France, « essais CEA-EDF » [Gueraud et al., 1977 ;

Berriaud et al., 1978]. A partir de ces essais, des formules ont été établies pour

calculer l’épaisseur de béton armé capable d’arrêter un projectile rigide donné en

tenant compte de l’influence de la forme du nez du projectile et du ferraillage.

D’autre part, dans les travaux de [Kennedy, 1976] on peut trouver une description

de la phénoménologie d’endommagement local d’une dalle en béton sous impact.

Sept phénomènes associés aux différents niveaux d’endommagement sont

observés (Figure 1.7) :

1. Pénétration : le projectile perce un tunnel dans la cible.

2. Fissuration en cône : sous effet de cisaillement, un cône se forme

dans la cible.

3. Cratérisation : éjection de petits morceaux de béton sur la face avant

de la cible.

4. Fissuration radiale : l’apparition des fissures globales à partir du

point d’impact sur les deux faces de la cible lors de la propagation de

ces fissures dans l’épaisseur de la dalle.

5. Ecaillage : éjection de fragments de béton en face arrière.

6. Perforation : le projectile passe complètement à travers la dalle, avec

ou sans vitesse résiduelle.

7. Réponse globale de la structure : Des endommagements en flexion

et en cisaillement apparaissent sur toute la dalle dus à une vibration

globale structurelle.

Figure ‎1.7 - Effets d’impact sur la dalle en béton armé, (a) Pénétration, (b) Fissuration en

cône, (c) Cratérisation, (d) Fissuration radiale sur : i) face avant et ii) face arrière,

(e) Ecaillage, (f) Perforation, (g) Réponse globale de la cible, [Kennedy, 1976]


13

[Li et al., 2005] ont donné une liste des formules de prédiction empiriques

pour la perforation et l’écaillage en fonction de la masse, la vitesse et la forme du

nez de projectile. Des chercheurs se sont également intéressés à la transition entre

projectiles déformables et durs [Kojima, 1991 ; Ohno et al., 1992].

Ensuite, les impacteurs utilisés pour les essais expérimentaux sont devenus

plus déformables, et on peut citer par exemple les essais Meppen réalisés en

Allemagne [Jonas et al., 1982]. Ces tests ont caractérisé le mode de rupture en cône

dans le cas des impacts mous sur des dalles en béton armé [Jonas et al., 1982]

(Figure 1.8). Juste après le contact entre le projectile et la cible, un cratère apparaît

sur la face avant de la dalle en béton armé, puis des fissures diagonales se forment

dans l’épaisseur de la dalle jusqu’à déboucher sur la face arrière en formant une

zone de fissuration. De plus, les fissures se développent le long du ferraillage

longitudinal arrière jusqu’au détachement d’écailles du béton de couverture en

face arrière. Puis un bouchon en forme de cône se désolidarise jusqu’à

désagrégation complète du cône. Si le projectile continue à pousser le cône, il

traverse la cible : c’est la perforation. Pendant l’impact, le projectile, considéré

comme déformable, s’est écrasé sur la face avant de la dalle.

Figure ‎1.8 - Scénario de perforation d’après les essais Meppen [Jonas et al., 1982]

A partir des années 1980, l’industrie nucléaire a commencé à utiliser des

projectiles plus représentatifs des avions, et des expérimentations ont été


14

développées en taille réelle au laboratoire SANDIA d’Albuquerque au Nouveau-

Mexique pour réaliser des impacts d’un avion militaire type F-4 [Sugano et al.,

1993] (Figure 1.9).

Figure ‎1.9 - Impact d’avion sur une dalle en béton armé [Sugano et al., 1993]

1.2 Béton

Le matériau béton est utilisé depuis deux mille ans à l’époque des romains

qui ont utilisé les premiers mortiers en mélangeant de la chaux avec de l’eau et des

pouzzolanes. Plus tard et à partir de 19ème siècle, des recherches approfondies ont

été faites pour découvrir les propriétés des mortiers de ciment par Smeaton et

Vicat. De nos jours, il est largement utilisé dans la construction des ouvrages de

génie civil tels que les bâtiments, les ouvrages d’art ou d’autres ouvrages sensibles.

Néanmoins, ses constituants et son comportement mécaniques sous

différents types de chargements font encore l’objet de recherches afin de l’adapter

aux besoins de génie civil. Pour leur utilisation optimale, il est nécessaire d’étudier

l’évolution de leur comportement jusqu’à la rupture. La fin des années 1980 voit

l'arrivée dans le monde des bétons à hautes performances (B.H.P.) : le béton fibré à

ultra-hautes performances (B.E.F.U.P.) ainsi que les bétons autoplaçants (B.A.P.).

1.2.1 Constituants

Le béton est un matériau composite constitué d’une matrice en ciment et

d’inclusions de granulats ou agrégats (sable, graviers, cailloux) dont la répartition


15

et la géométrie ne sont pas connues à priori et présentent souvent une dispersion

importante (Figure 1.10). Le ciment fait prise en présence de l’eau puis durcit

progressivement constituant ainsi le liant hydraulique. C’est le constituant

fondamental du béton puisqu’il permet la transformation d’un mélange sans

cohésion en un corps solide.

Figure ‎1.10 - Microstructure du béton

1.2.2 Comportement quasi-statique

Le béton que l’on peut observer dans différentes structures est homogène à

l’échelle macroscopique qui correspond à des dimensions de quelques centimètres

de côté pour un élément de volume représentatif. Au contraire, à l’échelle

mésoscopique l’hétérogénéité est mise en évidence par distinction des différents

constituants à l’aide de divers moyens d’observation.

Dans le cadre de notre étude, on vise à modéliser le comportement des

grandes structures en béton. Cependant ce calcul n’est pas faisable à l’échelle

microscopique ou même mésoscopique car il nécessite des coûts de calcul énormes

dans ce cas. Donc il faut réaliser la modélisation à l’échelle macroscopique

permettant de considérer le comportement comme homogène et isotrope. Par la

suite, on décrit les essais qui permettent de mettre de modéliser le comportement

macroscopique.

1.2.2.1 Compression simple

L’essai de compression simple est le plus aisé à mettre en œuvre et le plus

couramment utilisé. Il permet de caractériser la résistance du béton en

compression simple. Cette résistance représente la principale propriété du béton

destiné à travailler en compression.


16

Figure ‎1.11 - Courbe contrainte/déformation d’un essai de compression simple [Vu, 2007] (à

gauche) et formation des cônes de frettage lors de l’essai (à droite)

Le principe consiste à placer un échantillon cylindrique (160×320 mm) de

béton âgé de 28 jours entre deux plateaux de chargement. Le chargement est piloté

par le mouvement du plateau supérieur sous une vitesse de chargement

normalisée, tandis que le plateau inférieur reste fixe. Cependant, pour mieux

décrire la phase post-pic de la courbe de comportement du béton, il vaut mieux

utiliser un chargement par déplacement imposé (Figure 1.11).

Des capteurs LVDT (Linear Variable Displacement Transducer) et des jauges

de déformations permettent de mesurer les déformations axiales et radiales de

l’éprouvette au cours de l’essai. Puis en connaissant la déformation longitudinale,

l’effort axial au cours du temps et la section de l’éprouvette, les résultats de l’essai

seront représentés sur une courbe contrainte déformation (Figure 1.12). On en

déduit le module d’Young E, le coefficient de Poisson ν et la résistance à la

compression 𝜎𝑐.

Figure ‎1.12 - Principe de l’essai de compression simple (à gauche) et allure générale de la

courbe contrainte déformation en compression simple (à droite)


17

Plusieurs études dans la littérature [Wastiels, 1979 ; Mazars, 1984] ont

montré qu’il existe différentes phases dans le comportement du béton (Figure

1.12) :

- Phase 0 : jusqu’à 10% de 𝜎𝑐 (zone AB), le comportement correspond à une

phase de serrage et raidissement où les microfissures préexistantes se

ferment. Il est à noter que cette phase n’existe pas toujours.

- Phase1 : De 30% à 50% de 𝜎𝑐 (zone BC), le comportement est élastique

linéaire. Des microfissures apparaissent entre les granulats et la matrice

cimentaire. Le coefficient de Poisson et le module d’élasticité restent

constants.

- Phase 2 : De 70% à 90% de 𝜎𝑐 (zone CD), la non-linéarité et des

déformations irréversibles apparaissent. La raideur tangente diminue

légèrement mais le coefficient de Poisson reste constant. Dans cette phase, il

y a une propagation stable des microfissures aux interfaces.

- Phase 3 : jusqu’à 𝜎𝑐 (zone DE), les non-linéarités augmentent fortement, et

les fissures se propagent dans la matrice parallèlement à la direction de

chargement. Cette fois-ci la phase est caractérisée par un début

d’augmentation du volume apparent du matériau jusqu’à 𝜎𝑐 (dilatance) et on

a une variation anisotrope des caractéristiques mécaniques. La raideur

tangente diminue et le coefficient de Poisson devient très grand.

- Phase 4 : Au-delà de 𝜎𝑐 (zone E), on observe un comportement adoucissant

accompagné d’une création de macrofissures et une augmentation très

importante du volume apparent de l’échantillon.

Les conditions aux limites sur les faces contrôlent la forme du faciès de

rupture. En effet, dans la partie centrale de l’éprouvette, la déformation

transversale est libre alors qu’elle est bloquée ou limitée sur les extrémités. Il en

résulte des contraintes de traction perpendiculaires à la direction de compression.

Ces contraintes de traction provoquent la fissuration longitudinale de l’éprouvette

et la ruine en partie centrale, alors que les extrémités protégées par le frettage créé

par les plateaux (présence du frottement à l’interface plateau-éprouvette) ne sont

pas détruites. Par suite, deux cônes apparaissent aux extrémités de l’éprouvette

rompue (Figure 1.11). Pour limiter le frettage et ainsi avoir un état de contrainte


18

plus uniaxial le long de l’éprouvette, on peut graisser les zones de jonction

plateaux/éprouvettes.

Sous chargement cyclique, les essais de compression montrent des boucles

d’hystérésis durant le processus de chargement-déchargement (Figure 1.13), avec

une diminution du module élastique. Il y a également des non-linéarités lors des

décharges associées à de la dissipation. Les comparaisons effectuées entre essais

statiques et cycliques pour des cylindres de même composition montrent la

similitude entre la courbe statique et la courbe-enveloppe des cycles [Alsulayfani,

1986].

Figure ‎1.13 - Résultat d’un essai cyclique de compression uniaxiale [Alsulayfani, 1986]

1.2.2.2 Essais de traction

La résistance à la traction du béton, généralement moins de 10% de la

résistance à la compression, peut être obtenue par trois types d’essais : essai de

flexion, essai de fendage appelé aussi essai Brésilien et l’essai de traction directe.

Les deux premiers sont classés comme des essais de traction indirecte. On va

présenter ces essais dans la suite.

a- Traction directe

Cet essai est difficile à réaliser et n’est pas fréquemment utilisé au vu des

difficultés d’expérimentation. Il consiste à appliquer un effort de traction sur les

extrémités de l’éprouvette cylindrique à l’aide des plateaux collés (Figure 1.14a).

Afin d’obtenir la partie post-pic de la courbe contrainte-déformation, il est

nécessaire de piloter les plateaux en déplacement.


19

(a) (b) (c)

Figure ‎1.14 - Essai de traction directe : (a) Principe de l’essai, (b) Rupture de l’éprouvette

[Gabet, 2006] et (c) Courbe contrainte-déformation [Terrien, 1980]

Les essais réalisés par [Terrien, 1980] ont montré que le comportement est

élastique linéaire dans la partie pré-pic avec des non-linéarités qui apparaissent

après atteint 50 à 60% de la résistance en traction 𝜎𝑡 (Figure 1.14c) et jusqu’à 𝜎𝑡.

Le module d’Young diminue et des microfissures se développent

perpendiculairement au chargement dans la pâte de ciment. Au-delà de 𝜎𝑡, la

contrainte diminue fortement et la courbe devient plus ou moins plate jusqu’à la

rupture. Les microfissures coalescent pour former une surface de rupture unique

perpendiculaire à la direction de chargement (Figure 1.14b). Pour assurer

l’homogénéité des contraintes au sein de l’éprouvette, le collage des plateaux doit

être parfaitement centré et avoir une bonne rigidité.

b- Traction indirecte

Vu la difficulté de la réalisation des essais de traction directe, on fait souvent

appel à des essais indirects : l’essai de fendage et l’essai de traction par flexion. Le

premier, appelé aussi essai Brésilien, a été développé par Carneiro et Barcellos en

1953 pour étudier les matériaux rocheux, puis il a été proposé pour tester les

bétons. Il consiste à appliquer diamétralement une charge sur une éprouvette

cylindrique posée entre deux plateaux d’une presse (Figure 1.15). La rupture

s’obtient par traction le long du diamètre vertical, entraînant un fendage vertical

de l’éprouvette. L’essai brésilien présente l’avantage d’être économique et simple à

réaliser. Cependant, l’état de contrainte le long du diamètre de l’éprouvette est

hétérogène, ce qui limite l’interprétation des résultats de ces essais dans les calculs

d’application [Picandet, 2001].


20

(a) (b)

Figure ‎1.15 - Essai brésilien : (a) Principe de l’essai, (b) Rupture de l’éprouvette lors d’un

essai réalisé au DGC de l’ENS Cachan [Leroux, 2012]

Le deuxième, l’essai de flexion, est le plus fréquemment utilisé pour

déterminer la résistance en traction du béton. Il s’effectue sur une éprouvette

prismatique qui peut être fléchie sur trois ou quatre points. La figure 1.16a montre

un essai de flexion trois points avec un point de chargement et deux points d’appui.

Il permet aussi de caractériser l’énergie de rupture du béton 𝐺𝑓 qui correspond au

taux de restitution d’énergie nécessaire pour créer la séparation des lèvres des

fissures. Elle peut être déterminée expérimentalement par la méthode du travail

de rupture (Work of Fracture Frame - WFM) proposée par Hillerborg en 1985. Le

travail 𝑊𝐹 est pris comme l’aire limitée par la courbe «charge-déplacement » et

l’abscisse de déflexion de la poutre. Ensuite l’énergie de rupture est obtenue en

divisant le travail 𝑊𝐹 par la surface de la fissure créée (Figure 1.16b).

(a) (b)

Figure ‎1.16 - Essai de flexion trois points : (a) Principe de l’essai, (b) Courbe charge-

déflexion de la poutre pour déterminer l’énergie de rupture 𝑮𝒇

Généralement 𝐺𝑓 est déterminée par l’essai de flexion trois points au lieu des

essais de traction directe car sa détermination nécessite une stabilité lors de la


21

réalisation de l’essai, ce qui est difficile à contrôler dans les essais de traction

directe.

1.2.2.3 Essai triaxial

L’impact d’un missile sur un ouvrage en béton armé génère des sollicitations

triaxiales avec un niveau de confinement élevé dans la zone d’impact. Alors l’étude

de la vulnérabilité des structures en béton armé passe par la connaissance

approfondie du comportement des bétons à ces niveaux de contraintes d’autant

plus que le béton change significativement de comportement sous un fort

confinement. Le confinement provoque un frottement des lèvres de fissures ainsi

qu’une propagation plus stable de celles-ci, et par suite le comportement du béton

devient plus ductile avec une résistance plus élevée (Figure 1.17). A de très hauts

confinements, le comportement devient élasto-plastique avec écrouissage positif.

Figure ‎1.17 - La transition du comportement du béton : d’un comportement fragile à la

ductilité en fonction de la pression de confinement

Les essais triaxiaux peuvent être réalisés avec confinement actif ou passif. Le

premier consiste à placer l’éprouvette cylindrique dans une cellule triaxiale et à la

soumettre à une pression par l’intermédiaire d’un fluide et à une contrainte axiale

appliquée par un piston de chargement. Tandis que l’essai avec confinement passif,

appelé œdométrique, consiste à bloquer les déformations circonférentielles de

l’éprouvette cylindrique en l’insérant dans un tube métallique.

En général, les essais triaxiaux peuvent être réalisés en deux étapes via le

chemin de chargement : le chargement hydrostatique assuré par le chargement

latéral grâce à la montée en pression du fluide, et le chargement déviatoire axial

appliqué par un piston dont le déplacement est imposé à vitesse constante. On

appelle déviateur la différence entre le chargement axial et la pression radiale


22

induite par le fluide. Plusieurs combinaisons possibles de trajets de chargements

sont présentées dans la figure 1.18 [Gabet, 2006]:

le chargement hydrostatique: il consiste à appliquer une pression

latérale autour de l’éprouvette et qui augmente linéairement avec le

temps.

le chargement triaxial: il s’effectue en sollicitant l’échantillon de

façon hydrostatique jusqu’à une pression fixée par l’utilisateur, puis

on charge axialement cet échantillon par le piston en maintenant la

pression latérale de confinement constante.

le chargement proportionnel: on sollicite l’éprouvette axialement à

une vitesse de déplacement constante du piston, en maintenant la

pression latérale proportionnelle au déviateur axial.

le chargement œdométrique: on comprime axialement l’échantillon

en bloquant les déformations radiales. Cela permet d’atteindre des

pressions de confinements de l’ordre du millier de MPa.

le chargement en extension: ce type de chargement n’a pas

d’importance car les sollicitations mises en jeu dans ce cas sont peu

rencontrées dans les ouvrages en béton armé.

Figure ‎1.18 - Différents trajets de chargement triaxiaux [Gabet, 2006]

La plupart des expérimentations réalisées correspondent à des pressions de

confinement inférieures à 100 MPa [Jamet et al., 1984 ; Jason et al., 2006]. Ces

essais ont montré que le comportement adoucissant sous confinement nul devient

élasto-plastique avec écrouissage positif, voire durcissant (Figure 1.19).


23

(a) (b)

Figure ‎1.19 - Courbes contrainte/déformation obtenues lors des essais triaxiaux par [Jason

et al., 2006]. (a) Essais à faible pression de confinement de 0 à 9 MPa (b) Essais à pression de

confinement moyenne de 30 à 60 MPa

Ensuite, le progrès des équipements permettant de réaliser des essais

triaxiaux ont permis d’atteindre des pressions de confinement de l’ordre de

quelques centaines de MPa [Burlion et al., 1998 ; Gabet, 2006]. Ces essais

permettent de mettre en évidence le caractère compactant du béton sous fortes

pressions de confinement (Figure 1.20).

Figure ‎1.20 - Comportement compactant du béton [Burlion, 1998]

La compaction du béton est liée à deux phénomènes irréversibles parallèles :

l’endommagement de la matrice cimentaire et l’effondrement de la porosité du

béton. Burlion [Burlion, 1998] a présenté de manière plus précise ce phénomène.


24

Tout d’abord, le comportement du béton est élastique linéaire, puis la raideur

diminue avec l’endommagement structurel de la matrice cimentaire.

L’effondrement des pores tend à durcir le comportement (durcissement élastique),

et lorsque les pores sont complètement fermés, la raideur augmente de nouveau.

Le passage de la phase de durcissement élastique à la phase de durcissement

plastique correspond au point de compaction.

En revanche, Vu [Vu, 2007] a présenté une étude sur l’influence du degré de

saturation sur le comportement triaxial du béton (Figure 1.21). Ce travail a été

effectué sur la presse triaxiale de très haute capacité de chargement (GIGA) dont

dispose le laboratoire 3SR à Grenoble.

(a) (b)

Figure ‎1.21 - Résultats des essais triaxiaux pour différentes pressions de confinement : (a)

béton sec Sr =11%, (b) béton très humide Sr = 85%

1.2.3 Comportement dynamique

Les impacts sur les structures en béton armé impliquent des sollicitations

sévères permettant d’atteindre des vitesses de déformations très élevées au sein

du matériau béton. La maîtrise du comportement quasi-statique du béton ne suffit

pas pour un bon dimensionnement des ouvrages en béton dans le cas des

problèmes d’impact. En effet, à partir des années quarante plusieurs études ont

mis en évidence la dépendance du comportement du béton à la vitesse de

déformation. Les moyens expérimentaux mis en œuvre varient en fonction de la

vitesse à atteindre et nécessitent des dispositifs différents pour explorer une large

gamme de taux de déformation (Figure 1.22).


25

Figure ‎1.22 - Gammes de taux de déformation [Bischoff et Perry, 1991 ; Brara, 1999]

Par la suite, nous allons présenter les différentes études menées à partir

d’essais expérimentaux pour étudier la réponse du béton à de hautes vitesses en

compression et en traction. L’objectif principal de ces essais expérimentaux est de

fournir les réponses expérimentales du matériau béton soumis à de grandes

vitesses de déformations. Ensuite, il sera possible de poursuivre l’identification des

paramètres constitutifs des lois qui régissent ces phénomènes lors de la

modélisation numérique.

1.2.3.1 les essais de compression

Plusieurs études ont été conduites dans le but de caractériser la réponse du

béton à de hautes vitesses en compression [Bischoff et Perry, 1991]. Des essais ont

été réalisés avec des machines hydrauliques en faisant varier la vitesse de

sollicitation jusqu’à atteindre des taux de déformation de l’ordre de 10-1 s-1.

Cependant, ces essais sont limités en termes de contrôle et de raideur. D’autres

machines de même type utilisant un gaz sous pression, avec un système

pneumatique-hydraulique, permettent d’atteindre des vitesses de déformations

allant jusqu’à 1 s-1. Des essais Charpy ont été également réalisés et permettent de

recueillir des informations concernant les contraintes, les déformations et les

modes de ruptures jusqu’à des taux 1 s-1 [Gopalaratnam et al., 1996]. En outre, des

essais de masse-tombante (Drop Weight) utilisent des poids de 50 à 100 kg lâchés

à des hauteurs de 2 à 6 m pour obtenir des vitesses d’impacts de 6 à 10 m/s et

permettent d’atteindre 101 s-1 [Watstein, 1953].

Toutefois, les hautes vitesses de déformation allant jusqu’à plus de 102 s-1 ne

sont obtenues qu’avec la technique de la barre de Hopkinson (essai SHPB : Split

Hopkinson Pressure Bars) développée initialement en 1914 [Hopkinson, 1914]. Ce


26

dispositif a été amélioré par [Kolsky, 1953] et a conservé la même configuration

jusqu’à nos jours [Forquin et al., 2008].

L’essai SHPB est basé sur la théorie de la propagation unidimensionnelle des

ondes dans un échantillon cylindrique placé entre une barre d’entrée et une barre

de sortie toutes deux instrumentées de jauges de déformation. Une troisième barre

qui est le projectile est projetée sur la barre d’entrée avec une certaine vitesse

mesurée ce qui génère une onde incidente élastique de compression dans la barre

entrante. L’onde se propage jusqu’à l’interface barre-échantillon où elle est

partiellement réfléchie en une onde de traction le reste étant transmis. L’impulsion

transmis traverse l’échantillon en une onde de compression.

Figure ‎1.23 - (a) Principe de l’essai de compression aux barres d’Hopkinson (b) signaux de

jauges typiques du même essai sur matériau fragile [Erzar, 2010]

Des jauges de déformation permettent de mesurer les ondes incidentes,

réfléchies et transmises (Figure 1.23). Ces mesures sont transportées dans l’espace

et le temps aux faces de l’échantillon, et on en déduit les efforts et déplacements au

niveau des faces au niveau des faces. La jauge de la barre d’entrée doit être placée

au milieu de la barre et le projectile doit avoir une longueur inférieure à la moitié

de la barre pour éviter la superposition des signaux enregistrés. La jauge de la

barre de sortie doit être placée à une distance égale à dix fois le diamètre de la

barre pour éviter l’effet local de Saint Venant [Safa, 2008].

On préfère utiliser des barres longues qui permettent de faire une

approximation élastique unidimensionnelle car la situation devient trop complexe

pour être exploitable dans le cas 2D. Un autre élément auquel il faut prêter

attention est la lubrification des contacts barres-échantillons afin d’éviter des


27

frottements qui peuvent générer l’expansion radiale de l’éprouvette au cours de

l’essai. Il faut aussi que le transport dans l’espace prenne en compte l’effet de la

dispersion géométrique dans les barres [Gong et al., 1990 ; Zhao et al., 1996]. A

cela s’ajoute la nécessité d’avoir un nombre suffisant d’aller-retours d’ondes dans

l’éprouvette afin d’avoir un chargement de compression homogène ce qui oblige à

utiliser des échantillons de petites tailles [Erzar, 2010].

1.2.3.2 les essais de traction

Dans le but de caractériser le béton en traction dynamique, plusieurs

expériences ont été développées pour donner une meilleure compréhension des

propriétés du béton. Il existe principalement deux dispositifs pour faire ces

études : pour les essais lents, on a recours à des presses « relativement rapides »

permettant une montée en charge jusqu’à 100 GPa/s environ [Toutlemonde,

1994], et pour les essais à vitesses supérieures on utilise un dispositif aux barres

de Hopkinson modifiées.

Les presses hydrauliques sont généralement utilisées pour étudier les

matériaux fragiles tels que le béton en quasi-statique. Mais avec le développement

de ces presses, il est devenu possible de réaliser des essais rapides en traction

directe ou indirecte (flexion, fendage) à vitesses de déformation maintenues

constantes généralement. Cela permet d’étudier le comportement du béton à des

vitesses intermédiaires environ de 10−3 s−1 [Takeda et Tachikawa, 1971] ou à des

vitesses plus élevées jusqu’à 1 s−1 avec les machines hydrauliques-pneumatiques

[Gary et Klepaczko, 1992]. Généralement ces essais sont difficiles à réaliser dans le

cas de la traction directe en raison des précautions à prendre au cours de la

réalisation. Il faut éviter toute flexion parasite et les concentrations de contraintes

au niveau des fixations de l’échantillon. De plus, cet essai nécessite des mesures

très précises de contrainte ou de déplacement pour le pilotage ce qui n’est pas le

cas généralement en raison de la forte sensibilité des résultats obtenus à

l’appareillage utilisé et à l’état de microfissuration initiale du béton.

D’autre part, le développement de la technique des barres de Hopkinson et

son adaptation aux essais de traction a permis d’atteindre des vitesses de

chargement élevées. Le principe consiste à appliquer une impulsion de

compression sur l’une des faces d’un échantillon cylindrique en béton. Cette

impulsion se propage dans l’échantillon et l’onde de compression se réfléchie à


28

l’autre face libre en onde de traction qui peut mener à l’écaillage de l’éprouvette de

béton dès que la résistance à la traction du béton est atteinte. Cette technique a été

inaugurée par [Landon et Quiney, 1923] qui ont utilisé une charge explosive collée

à l’extrémité d’une barre en béton de 914 mm de longueur et de 76 mm de

diamètre (Figure 1.24a). L’explosion de la charge, entraînant la pulvérisation du

béton sur 130 mm du côté soumis à la détonation, crée une onde se propageant

dans l’échantillon et provoque l’éjection par écaillage de 4 fragments de 70 à 250

mm de longueur. Les vitesses d’éjection des fragments sont calculées à partir des

mesures des distances horizontales et verticales de projection et par la suite le

profil approximatif de pression initiale le long de la barre est déduit.

Figure ‎1.24 - Schéma expérimentale d’écaillage (a) de [Landon et Quiney, 1923] et (b) de

[Goldsmith et al., 1966]

La même technique fut utilisée plus tard par plusieurs auteurs [Goldsmith et

al., 1966 ; Mellinger et Birkimer, 1966] qui ont eu recours à des projectiles

sphériques en acier lancés par des canons à air comprimé sur des barres en béton

suspendues et qui sont instrumentées à l’aide de plusieurs jauges de déformation

(Figure 1.24b). Cet essai permet de mesurer la période des impulsions se

propageant dans l’échantillon et permet d’atteindre des vitesses de déformation

allant jusqu’à 25 s-1 à l’aide des temps de montée très courts (20 à 30 μs).

Plus récemment, les premiers essais en traction dynamique basée sur le

principe de la barre de Hopkinson ont été réalisés à l’Université Technique de Delft

[Zielinski et Reinhardt, 1982 ; Weerheijm et Reinhardt, 1989]. Le dispositif

expérimental est constitué de deux barres de Hopkinson en aluminium de

diamètre 74 mm qui sont disposées verticalement, et d’une éprouvette en béton de

même diamètre et de 100 mm de longueur collée entre les deux barres (Figure

1.25). La chute d’un marteau annulaire sur un épaulement de la barre inférieure

génère une impulsion de traction qui se propage vers le haut à travers l’échantillon

étudié provoquant sa rupture. Des jauges de déformations LVDT collées sur


29

l’éprouvette en béton permettent de mesurer les déformations au cours de l’essai.

L’intérêt de cet essai est de se rapprocher des conditions idéales de l’essai statique

de traction directe avec des déformations transversales pratiquement libres, un

effort centré sans flexion parasite et une homogénéité de la contrainte dans la

section de l’éprouvette. Avec ce dispositif, des vitesses de déformations jusqu’à 1.5

s-1 sont atteintes.

(a) (b)

Figure ‎1.25 - (a) Dispositif aux barres de Hopkinson de Delft (b) une éprouvette

instrumentée de jauges de LVDT [Vegt et al., 2006]

Un autre dispositif basé sur le principe des barres de Hopkinson a été

développé su Joint Research Center (JRC) d’Ispra et permet d’étudier le

comportement en traction ainsi qu’en compression dynamique du béton (Figure

1.26). L’immense montage (200 m) utilise l’énergie élastique stockée dans des

câbles tendus de 100 m de longueur et qui sont rapidement relâchés pour générer

l’impulsion de traction à travers les barres de Hopkinson instrumentées de jauges

de déformation jusqu’à atteindre l’échantillon de béton [Cadoni et al., 2006].

Figure ‎1.26 - Configuration expérimentale de l’essai de traction aux barres de Hopkinson au

JRC Ispra


30

En outre, Klepaczko et Brara [2001] ont réalisé des essais d’écaillage en

utilisant un montage dérivé de l’essai classique aux barres de Hopkinson et qui

n’utilise qu’une barre d’entrée et une éprouvette cylindrique de même diamètre

(40 mm) (Figure 1.27). Un projectile impactant la barre, génère une impulsion de

compression incidente dans celle-ci. Au niveau de l’interface barre-éprouvette, une

partie de l’onde se réfléchit dans la barre et l’autre partie est transmise à

l’éprouvette. L’impulsion transmise a une longueur d’onde supérieure à la

longueur de l’échantillon, l’avant du front de l’impulsion se réfléchit

progressivement en traction et se superpose avec la partie encore en propagation.

L’addition des deux parties génère une impulsion de traction croissante

conduisant à l’écaillage de l’éprouvette.

Figure ‎1.27 - Configuration expérimentale de Brara et Klepaczko [2001]

Les barres sont instrumentées de jauges de déformations dans le but de

mesurer les chargements incidents et réfléchis dans la barre. Par ailleurs, la vitesse

des fragments est déterminée à partir des photos prises par un système vidéo CCD

rapide. Deux méthodes de dépouillement des résultats ont été proposées par ces

auteurs. La première considère que la contrainte maximale à l’instant de la rupture

correspond à l’endroit de la séparation des fragments de l’éprouvette. L’impulsion

transmise au cylindre en béton est déterminée à partir des signaux incidents et

réfléchis des jauges et est utilisée pour reconstruire l’historique du chargement

dans l’échantillon avant l’endommagement en calculant la superposition des

impulsions incidente et réfléchie sur le bord libre (Figure 1.28). La deuxième

méthode de dépouillement consiste tout d’abord à déterminer la vitesse de

séparation des fragments 𝑉𝑠é𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 évaluée à partir des images capturées par le

dispositif CCD, et puis à calculer la résistance dynamique en se basant sur la

propagation des ondes élastiques :

𝜎𝑑𝑦𝑛 = 𝜌𝐶0𝑉𝑠é𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 [1.4]


31

où ρ et 𝐶0 représentent respectivement la masse volumique du béton (kg/m3) et la

célérité des ondes élastiques (en m/s) définie par la relation suivante :

𝐶0 = √𝐸

𝜌 , E = module d′Young du béton [1.5]

Figure ‎1.28 - Méthode de dépouillement utilisée par Klepaczko et Brara [Erzar et Forquin,

2009]

Une troisième formule de dépouillement a été proposée par [Schuler et al.,

2006] en se basant sur l’allure de la vitesse sur la face libre de l’éprouvette. Cette

face est instrumentée d’un accéléromètre qui enregistre le signal d’accélération à

cet endroit et ensuite par intégration, on obtient l’évolution de la vitesse requise.

La formule utilise une approximation acoustique linéaire introduite par [Novikov

et al., 1966] :

𝜎𝑑𝑦𝑛 = 1

2𝜌𝐶0∆𝑉𝑝𝑏 [1.6]

où ∆𝑉𝑝𝑏 appelé « pullback velocity » correspond à la différence entre la vitesse

maximale atteinte et la vitesse de rebond (Figure 1.29). Erzar et Forquin [2010]

ont présenté ensuite une discussion critique des trois méthodes détaillées ci-

dessus pour vérifier leur aptitude à évaluer la résistance dynamique d’écaillage.

Dans ce but, ils ont réalisé plusieurs simulations numériques afin d’apprécier la

capacité à évaluer la résistance dans le cas des ruptures localisées et d’un

endommagement diffus. Les résultats numériques ont aboutis au choix de la

formule de [Schuler et al., 2006] comme la meilleure méthode de dépouillement,


32

méthode qui permet de bien évaluer la résistance dynamique en traction que ce

soit pour un endommagement localisé ou diffus.

Figure ‎1.29 - Signal de vitesse en face arrière au cours d’un essai d’écaillage [Erzar, 2010]

D’ailleurs, un nouveau montage expérimental pour étudier le béton en

traction dynamique a été développé au LPMM (Laboratoire de Physique et

Mécanique des Matériaux) à Metz par Erzar et Forquin [2010]. Ce montage, basé

sur la configuration imaginée par Klepaczko et Brara [2001], consiste en un canon

composé de plusieurs éléments (réservoir d’un gaz sous pression, vanne rapide,

tube lanceur), un projectile cylindrique inséré au fond d’un tube lanceur et une

barre de Hopkinson. L’impact du projectile sur la barre génère une impulsion de

compression qui est transmise à l’éprouvette après propagation dans la barre et se

réfléchit en onde de traction au bord libre pour mener à l’écaillage du cylindre de

béton (Figure 1.30). Le projectile et la barre ont été réalisés en alliage d’aluminium

ayant une impédance très proche de celle du béton, ce qui limite la réflexion au

niveau de l’interface barre-éprouvette.

Figure ‎1.30 - Schéma du montage de l’essai de traction dynamique par écaillage [Erzar et

Forquin, 2010]


33

Le montage est bien instrumenté pour effectuer les différentes mesures

nécessaires. Des faisceaux de photodiodes permettent de déterminer la vitesse

d’impact du projectile sur la barre. Des jauges de déformation sont placées sur la

barre afin de mesurer les signaux incidents et réfléchis, et d’autres sont aussi

placées directement sur l’éprouvette ; toutes les jauges sont reliées à un

oscilloscope. Un extensomètre laser, basé sur l’effet Doppler, permet de déterminer

d’une manière très précise la vitesse en face arrière de béton sans contact avec

l’éprouvette. Pour mesurer l’impulsion de compression transmise à l’éprouvette,

un autre extensomètre laser est utilisé pointant sur un réflecteur collé sur la

surface extérieure proche de l’interface barre-éprouvette (Figure 1.31).

Figure ‎1.31 - Instrumentation d’une éprouvette de microbéton lors d’un essai de traction

dynamique par écaillage [Erzar et Forquin, 2010]

La célérité des ondes dans le béton peut être déterminée à partir de la

différence entre le temps correspondant à la valeur maximale enregistrée par une

jauge de déformation et celui correspondant à la valeur maximale de la vitesse

mesurée sur la face libre, et cela tout en connaissant la distance entre la jauge et la

face libre. Par conséquent, le module d’Young dynamique est déterminé par la

formule suivante :

𝐸𝑑𝑦𝑛 = 𝜌𝐶02 [1.7]

Ensuite, on relève sur le profil de vitesse en face arrière la valeur de

« pullback velocity » ∆Vpb et puis on peut évaluer la résistance dynamique de

l’éprouvette en béton testée à l’aide de la formule (2.8). Une contrainte élastique

équivalente est calculée pour chaque signal expérimental enregistré soit par les

jauges ou les lasers :

- σeq = Edyn ε(t) pour les jauges

- σeq = ρC0V1(t) pour le laser 1 (Figure 1.31)

- σeq = 1

2ρC0V2(t) pour le laser 2 (Figure 1.31)


34

En reportant la résistance dynamique calculée sur le graphe, on peut

déterminer l’instant de rupture correspondant qui peut être exploité afin

d’identifier la position du plan d’endommagement responsable du rebond de

vitesse en face arrière. Connaissant l’instant de rupture et la position de la jauge la

plus proche au plan d’endommagement, on peut évaluer la vitesse de déformation

atteinte dans la zone endommagée à l’instant de rupture (Figure 1.32).

Figure ‎1.32 - Evolution temporelle (a) des contraintes élastiques équivalentes et (b) des

vitesses de déformation dérivée des signaux des jauges [Erzar, 2010]

1.2.3.3 L’effet de vitesse

Précédemment on a vu la synthèse de différents résultats expérimentaux sur

le comportement dynamique du béton en compression et en traction. Le

comportement dynamique dans les deux cas montre un accroissement bilinéaire

de la résistance dynamique en fonction de la vitesse de déformation à l’échelle

logarithmique, néanmoins l’effet de vitesse est plus important en traction (Figure

1.34) qu’en compression (Figure 1.33).

Dans les deux cas, plusieurs auteurs ont mis en évidence l’influence de l’eau

libre sur l’accroissement de la résistance dans le premier régime linéaire lent

défini entre le régime quasi-statique et ε < 30 s-1 pour le cas de la compression, et

entre le régime quasi-statique et ε < 1 s-1 pour le cas de la traction [Rossi, 1991 ;

Toutlemonde, 1994 ; Cadoni et al., 2001].


35

Figure 1.33 - Augmentation de la

résistance à la compression en fonction

de la vitesse de déformation [Bischoff et

Perry, 1991]

Figure 1.34 - Evolution de la résistance

dynamique de traction en fonction du

logarithme de la vitesse de déformation

[Malvar L. et Crawford J., 1998]

Rossi [1991] a introduit une interprétation de ce phénomène en se basant sur

la présence de l’eau capillaire dans les pores du béton. Le béton a un

comportement fragile et sa rupture est due à la microfissuration interne. Sous

sollicitations dynamiques, les parois des pores mouillées tendent à être écartées

l’une de l’autre, cependant le film d’eau visqueux exerce une force de rappel qui

s’oppose à l’ouverture des pores. Elle est d’autant plus grande que la vitesse de

séparation est grande. Cette force, nommée aussi l’effet Stefan, est calculée en

considérant l’effet visqueux d’une couche de liquide de volume V et de viscosité η

située entre deux plaques infinies distantes de h:

𝐹 = 3𝜂 𝑉2

2𝜋 ℎ5

𝑑ℎ

𝑑𝑡 [1.8]

Les résultats des essais obtenus par les mêmes auteurs montrent que l’effet

Stefan est plus évident pour des bétons humides que secs. Le chargement

macroscopique appliqué au matériau béton est repris à l’échelle de la

microstructure d’une part par le squelette solide mais aussi par les effets visqueux

au sein du fluide. Cet effet permet d’expliquer à l’échelle microscopique

l’augmentation de la résistance dynamique, mais on ne peut pas faire un passage

quantitatif entre cette approche et les effets observés à l’échelle macroscopique

(Figure 1.35).


36

Figure ‎1.35 - Explication schématique de l’effet de vitesse dû à l’effet Stefan [Toutlemonde,

1994]

Une campagne expérimentale a été réalisée par Toutlemonde [1994] sur

plusieurs bétons en traction directe. Les résultats obtenus montrent une faible

influence du rapport eau sur ciment (e/c) sur l’augmentation de résistance, tandis

que l’augmentation de la résistance dépend bien du degré d’humidité du béton

avec une augmentation de résistance de 4 à 5 MPa pour les bétons humides et de 1

MPa pour le béton sec (Figure 1.36). D’autres ont attribué la différence entre les

résistances des bétons humides et secs en dynamique rapide à l’endommagement

du squelette dû au séchage qui provoque une microfissuration de la pâte de ciment

après évaporation de l’eau [Burlion, 2009]. En revanche, Erzar [2010] a confirmé

l’influence majoritaire de la viscosité de l’eau libre dans le béton en menant des

essais dynamiques sur des éprouvettes séchées puis ré-infiltrées à l’eau, et les

résultats obtenus ont montré des résistances similaires aux bétons humides.

Figure ‎1.36 - Evolution de l’augmentation de résistance en fonction de la vitesse de

chargement pour les bétons testés par Toutlemonde [1994].


37

Par contre, le second régime linéaire de l’effet de vitesse (ε > 30 s−1) ne peut

pas être expliqué par le seul effet Stefan en compression et en traction. En effet,

même si les bétons humides montrent une sensibilité plus importante à la vitesse

de chargement, un effet de vitesse existe bien pour les bétons secs dans le second

régime d’accroissement de résistance dynamique [Brara et Klepaczko, 2006].

En compression, plusieurs études numériques ont souligné l’importance d’un

confinement induit dans l’échantillon de béton qui a tendance à s’étendre

latéralement sous compression dynamique importante (effet structurel). Sous

chargement dynamique rapide, le béton n’a pas le temps de se décharger

latéralement par effet Poisson, ce qui génère des contraintes inertielles radiales

assurant un confinement latéral autour du noyau central du béton [Janach, 1976 ;

Bailly, 1994 ]. Ces effets d’inertie permettent d’accroître la résistance dynamique

et le degré de microfissuration. Des modèles numériques ont permis de confirmer

cette hypothèse inertielle et de reproduire l’effet de vitesse trouvée

expérimentalement [Donze F. et al., 1999]. Cet effet observé à fortes vitesses de

déformation n’est donc pas un effet dû au matériau mais dû au caractère non

homogène de l’état de contraintes et aux contraintes inertielles radiales qui

confinent l’échantillon.

Figure ‎1.37 - Surface de rupture avec les granulats cassés dans les essais d’écaillage [Brara et

Klepackzko, 2006]

En traction, l’augmentation de la résistance dans la gamme des vitesses de

déformation élevée (ε > 1 s−1) ne peut pas être expliquée de la même façon qu’en

compression par un effet structurel dû à l’apparition d’un état de contrainte non

homogène. En effet, le même principe d’effets inertiels en compression provoque

un état de contrainte similaire à de la traction triaxiale, ce qui n’entraîne pas une

augmentation de la résistance. Cela signifie que l’effet de vitesse dans cette gamme


38

de vitesse a une autre origine. La rupture en traction se caractérise généralement

par la propagation des microfissures dans la pâte de ciment qui a une résistance

plus faible que les granulats. Une explication possible est due à Zielinski [1982],

sous des vitesses de chargement importantes, les microfissures n’ont pas le temps

de choisir le chemin le moins résistant pour s’y propager et sont obligées de passer

à travers les granulats ce qui nécessite beaucoup plus d’énergie (Figure 1.37). Par

conséquent, cela engendre une augmentation de la résistance au niveau

macroscopique.

Dans le but de décrire l’effet de vitesse en traction, le CEB (Comité Euro-

International du Béton) a établi la formule empirique suivante :

𝐷𝐼𝐹 = 𝑓𝑡𝑓𝑡𝑠

=

{

(

𝜀

𝜀��)𝛿

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝜀 ≤ 1 𝑠−1

𝛽 (𝜀

𝜀��)1/3

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝜀 ≥ 1 𝑠−1

[1.9]

où :

- DIF = (Dynamic Increase Factor) est le rapport entre la résistance

dynamique ft et la résistance quasi-statique fts

- ft = la résistance de traction dynamique à ε

- fts = la résistance de traction simple quasi-statique à εs

- εs = la vitesse de déformation quasi-statique de référence (10-6 s-1)

- δ = 1/(1 + 8 fcs

fc0) , fcs = la résistance de compression simple quasi-statique

à εs

- log β= 6 δ - 2

- fc0 = 10 MPa

Cette loi empirique proposée par la CEB peut nous servir, dans sa forme

bilinéaire en échelle logarithmique, pour modéliser l’effet de vitesse intrinsèque au

matériau en traction. A l’opposé, en compression simple, l’effet de vitesse est un

effet de structure donc il n’y a pas besoin d’augmenter la résistance du matériau

avec la vitesse dans le modèle numérique.


39

1.3 Outils numériques

L’étude des problèmes d’impacts sur les ouvrages en béton fait appel à de

nombreuses méthodes de résolutions théoriques et d’analyses numériques. De nos

jours, grâce au développement des outils informatiques, la modélisation

numérique est devenue l’approche adoptée pour traiter ce type de problèmes. Elle

représente un outil bien économique par rapport au coût élevé des travaux

expérimentaux dans ce domaine d’études. L’objectif essentiel des simulations

numériques est de pouvoir prédire le comportement exact dans des zones

fortement sollicitées et présentant de grandes non-linéarités matérielles ou

géométriques et des phénomènes discontinus. Elles doivent prendre en compte

non seulement les phénomènes de fragmentations locales mais aussi les vibrations

à l’échelle structurelle. Plusieurs difficultés existent au niveau du choix de l’échelle

de modélisation et sa pertinence par rapport au problème posé. Dans la suite, on

présentera une liste des types de modélisation principales parmi lesquelles on

distingue les méthodes continues, les méthodes discrètes et plus récemment les

méthodes multi-échelles qui couplent les deux méthodes précédentes. Chaque type

de modélisation possède ses avantages ainsi que ses inconvénients.

1.3.1 Méthodes continues

Ce type de modélisation est le plus utilisé par les ingénieurs pour les calculs

des structures en bureaux d’études. Parmi les méthodes continues, on peut citer

tout d’abord la méthode des éléments finis [Zienkiewicz et Taylor, 1991] qui fait

partie des méthodes à maillage fixe. Cette méthode, qui est très couramment

utilisée pour l’analyse et le dimensionnement des ouvrages en béton armé, permet

de reproduire la complexité du comportement du béton en faisant appel à des

modèles de plus en plus complexes.

Dans notre étude, l’un des problèmes de la modélisation provient de la

nécessité de parvenir à représenter des fissurations et des fragmentations.

Certaines approches utilisent la notion de variable d’endommagement variant de 0

à 1 pour représenter un matériau intact ou rompu [Mazars, 1984]. Mais dans le cas

de fortes discontinuités, comme le cas de la fissuration ou de la fragmentation,

d’autres auteurs ont introduit un critère d’érosion qui consiste à supprimer chaque

élément qui a atteint un seuil de déformation plastique [Teng et al., 2004] (Figure


40

1.38a). Une autre méthode permet de suivre la propagation de la fissure en

introduisant des discontinuités aux interfaces entre les éléments finis [Ortiz et

Pandolfi, 1999]. Cependant, cette dernière méthode nécessite un coût de calcul

important et une adaptation de maillage (Figure 1.38b) ; cette dépendance au

maillage n’assure pas la conservation de l’énergie de rupture.

(b)

(a)

Figure ‎1.38 - (a) Simulation d’un impact de missile sur une dalle en béton armé [Teng et al.,

2004] (b) Simulation d’un test de flexion trois points [Ortiz et Pandolfi, 1999]

Plus récemment, une nouvelle méthode appelée XFEM (eXtended Finite

Element Method) a été introduite par [Sukumar et al., 2000] afin de suivre la

propagation des fissures. Elle est basée sur la création d’une discontinuité en

déplacement à l’intérieur de l’élément et permet d’éviter le remaillage en

découplant la géométrie de la fissure et le maillage des éléments finis. La méthode

XFEM a soulevé l’intérêt de plusieurs chercheurs qui ont fait des modélisations en

quasi-statique [Daux et al., 2000 ; Réthoré et al., 2005] mais elle est toujours en

plein développement et nécessite des améliorations pour être utilisable en

dynamique et avec de nombreuses discontinuités comme on peut le rencontrer

lors de la fragmentation. Les différentes méthodes exposées précédemment,

présentent toujours des difficultés pour prendre en compte les cycles d’ouverture

et fermeture des fissures lors d’un chargement dynamique présentant globalement

ou même localement des cycles de chargement/déchargement.

Par ailleurs, il existe des méthodes continues dites « sans maillage » dont la

plus connue est la méthode SPH (Smooth Particle Hydrodynamics) inspirée de la

mécanique des fluides et adaptée à la mécanique des solides [Fries et Matthies,

2003]. Cette méthode, dans laquelle les nœuds ne sont pas liés à la structure,

présente l’avantage de ne pas avoir besoin d’adapter le maillage pour suivre les

discontinuités, et donne de très bons résultats dans le cas d’impacts à grandes


41

vitesses [Leppänen, 2006] (Figure 1.39). Néanmoins, ces méthodes semblent peu

adaptées pour décrire la fissuration et le possible contact entre les lèvres des

fissures. Il existe d’autres méthodes « sans maillage » mais elles sont très peu

utilisées pour les calculs d’impacts à cause de leurs coûts de calcul élevés. Parmi

ces approches, on peut citer les méthodes Element-Free Garlekin [Nayroles et al.,

1992]].

Figure ‎1.39 - Simulation d’impact sur une plaque en béton avec la méthode SPH [Leppänen,

2006]

1.3.2 Méthodes discrètes

Dans le paragraphe précédent, on a vu les difficultés rencontrées par les

méthodes continues lors de la représentation des discontinuités dans les

matériaux. Dans le cas des problèmes d’impacts, les phénomènes de fragmentation

et de fracturation du matériau sont les aspects majeurs mis en jeu. Dans ce cadre,

plusieurs auteurs ont introduit des méthodes discrètes afin d’étudier le

comportement dynamique des milieux cohésifs tels que le béton [Hentz, 2003]. Ces

méthodes s’inspirent des méthodes discrètes initialement développées pour

étudier le comportement des milieux granulaires [Calvetti et al., 2003].

Généralement, les méthodes discrètes se divisent en deux types: les Lattices

Models et les Modèles Éléments Discrets.

La première famille de méthodes discrètes, les Lattice Models, consiste à

discrétiser un milieu par des éléments linéiques auxquels un comportement local

est affecté et qui peut être celui d’une poutre, d’une barre ou d’un ressort associé à

un critère de rupture : l’élément est supprimé dès que le critère est atteint. La

géométrie du système étudié est décrite par un réseau de nœuds reliés par les


42

éléments linéiques (Figure 1.40). Ce réseau peut être en 2D ou en 3D et il peut être

régulier ou irrégulier.

(a) (b)

Figure ‎1.40 - Réseau de nœuds (a) régulier et (b) irrégulier d’un Lattice Model

Cette approche permet de prendre en compte le caractère hétérogène du

béton en utilisant un réseau aléatoire de nœuds avec une certaine distribution de

propriétés physiques élastiques ou de rupture des éléments linéiques afin de

décrire la répartition des agrégats [Van Vliet, 2000]. Parmi les applications de cette

méthode, on peut citer l’étude du comportement des roches soumises à une

explosion en utilisant un modèle de nœuds reliés par des ressorts [Song et Kim,

1996], mais elle nécessite une capacité de calcul importante car la modélisation est

faite à une échelle très fine. Cependant, ces méthodes présentent plusieurs

limitations. On peut citer principalement l’influence de la répartition des nœuds

sur la direction de fissuration (direction privilégiée) et aussi la difficulté à gérer le

comportement post-rupture.

Plus récemment, un modèle de type Lattice a été proposé par Cusatis et

appelé Lattice Discrete Particle Model (LDPM). Ce modèle est basé aussi sur la

triangulation de Delaunay qui relie les centres des agrégats. Une tessellation du

domaine défini par les triangles créés permet de définir des cellules polyédriques

utilisées pour gérer les contacts à travers les facettes extérieures (Figure 1.41)

[Cusatis et al., 2011a ; Cusatis et al., 2011b]. Ce modèle a été calibré et validé sur

différents types de béton et dans différentes configurations quasi-statiques et

dynamiques : essais de compression et traction uniaxiaux, essais de compression

biaxiaux et triaxiaux, essais cycliques, essais d’impact et de pénétration....etc.


43

Figure ‎1.41 - Triangulation de Delaunay et création des cellules polyédriques utilisées pour

le modèle LDPM

La deuxième grande famille des méthodes discrètes est la Méthode des

Éléments Discrets (MED) initialement développée par Cundall et Strack [1979]

sous le nom de la méthode des éléments distincts pour traiter les milieux

granulaires. Le comportement du modèle résulte de l’interaction entre les

différents éléments suivant des lois constitutives simples. Généralement, le chemin

d’intégration utilisé est explicite et les interactions sont gérées par deux raideurs,

normale et tangentielle qui permettent de calculer les efforts locaux après calcul

des déplacements relatifs entre les éléments.

Plusieurs modèles inscrits sous le même titre ont été développés par

plusieurs auteurs. On peut citer d’abord la méthode de la dynamique moléculaire

développée par les physiciens pour étudier le comportement des fluides à l’échelle

atomique [Walton, 1984] où les éléments sont sphériques et rigides. D’autres

auteurs ont créé des modèles basés sur la méthode proposée par Cundall et Strack

[1979] en utilisant des éléments de différentes formes : elliptiques [Ting et al.,

1995] ou polyédriques [Azéma, 2007] (Figure 1.42). Ces méthodes ont l’avantage

de plus se rapprocher de la forme réelle des particules des géomatériaux par

rapport aux formes sphériques et de limiter également la rotation excessive dans

le cas des sphères qui peut affecter le comportement macroscopique du volume

étudié. Cependant, le processus de la détection des nouveaux contacts au cours du

calcul est très coûteux et limite son utilisation dans le cas des simulations à grande

échelle. Certains auteurs ont introduit une simple raideur dans le calcul du

moment en 2D pour limiter la rotation des éléments sphériques [Iwashita et Oda,

1998] en imposant une loi de comportement moment-rotation.


44

(a) (b)

Figure ‎1.42 - Méthodes discrètes avec différentes formes d’éléments : (a) un essai de

cisaillement biaxial d’un milieu granulaire en 2D avec des éléments elliptiques [Ting et al.,

1995], (b) Exemple d’éléments polyédriques [Azéma, 2007]

Dans le cas du matériau béton, la méthode des éléments discrets a été utilisée

pour modéliser les problèmes d’impact. [Sawamoto et al., 1998] ont utilisé cette

méthode en introduisant le critère de Mohr-Coulomb localement dans le but de

simuler l’impact dur sur une dalle en béton armé. La simulation a permis de

quantifier la force d’impact et de représenter la procédure de pénétration pendant

l’impact.

Plus récemment, Hentz [2003] a développé un modèle éléments discrets

utilisant des sphères rigides de différentes tailles. Il a introduit deux types

d’interactions : les interactions de contact et les interactions cohésives qui sont

contrôlées par un rayon d’interaction. Un critère de Mohr-Coulomb a été utilisé

localement et les paramètres ont été calibrés par des essais de compression et

traction quasi-statiques. La géométrie du système étudié est décrite dans ce cas

par un maillage créé en utilisant un processus de désordre appliqué sur un

assemblage régulier de sphères. Le modèle a montré sa capacité à modéliser les

essais aux barres de Hopkinson dynamiques [Hentz et al., 2004] et des essais de

chute de bloc rocheux sur une dalle en béton armé [Hentz et al., 2005] (Figure

1.43). Néanmoins, ce modèle présente un point de faiblesse représenté par le coût

de calcul important dans le cas de simulation d’impact à l’échelle structurelle. Le

même modèle a ensuite été repris par Frangin [2008] et Rousseau [2009] qui ont

utilisé une méthode de génération géométrique de maillage [Jerier et al., 2009].

Une procédure d’identification des paramètres linéaires et non-linéaires du

modèle a été introduite et validée en quasi-statique. Un modèle de l’interface acier-

béton dont les paramètres ont été calibrés moyennant des essais d’arrachement

d’armatures a également été développé (Figure 1.44).


45

Figure ‎1.43 - Simulation de la chute de bloc rocheux sur une dalle en béton armé avec la

méthode des éléments discrets sphériques [Hentz et al., 2005]

Figure ‎1.44 - Simulation d’un essai d’arrachement d’armature par la méthode des éléments

discrets [Rousseau, 2009]

Toutefois, l’application de ces méthodes sur des structures de grandes tailles

en 3D reste très difficile à réaliser. Une modélisation de tels ancrages nécessite un

très grand nombre d’éléments discrets et induit un temps de simulation très long.

Les méthodes de couplage discret-continu que l’on va présenter brièvement dans

la partie suivante peuvent apporter des solutions à ces problèmes.


46

2.3.3 Couplage ED/EF

Quoique très performants pour représenter les discontinuités dans le

matériau, les éléments discrets sont très couteux en temps de calcul, ce qui limite

leur utilisation à de petites structures. Il est donc très difficile d’étudier un ouvrage

complet soumis à des impacts par cette méthode. En revanche, la méthode des

éléments finis utilisée largement pour étudier la mécanique des structures

représente l’avantage d’un coût de calcul relativement faible par rapport à celui

des éléments discrets. Cependant la représentation des phénomènes de

fragmentation et des discontinuités par éléments finis reste difficile. Par

conséquent, une simulation des problèmes d’impacts sur des structures en béton

nécessite de modéliser la zone impactée, où des phénomènes singuliers se passent,

par les éléments discrets et le reste de la structure par la méthode des éléments

finis classique capable de déterminer la réponse structurelle (vibrations,

déformations....). La transition entre les deux domaines est réalisée par une zone

de recouvrement.

Figure ‎1.45 - Zone de recouvrement et paramètres de recouvrement [Frangin, 2008]

En ce qui concerne les méthodes de couplage, on peut d’abord citer la

méthode proposée par Belytschko [Belytschko et Xiao, 2003] dans laquelle une

approche de couplage avec recouvrement entre le milieu moléculaire et le milieu

continu est utilisée. Dans la zone de recouvrement, les degrés de libertés ont été

couplés moyennant des multiplicateurs de Lagrange. La même approche a été

reprise et modifiée par Frangin [Frangin et al., 2007] en utilisant dans la zone de

superposition (Figure 1.45) un hamiltonien, combinaison linéaire du hamiltonien

discret et du hamiltonien continu. Deux paramètres de recouvrement α et β ont été

introduits sur les nœuds EF volumique et les ED, paramètres variant de 0 à 1 le

long du recouvrement et constants dans l’épaisseur. Ce modèle peut provoquer


47

une réflexion des hautes fréquences au niveau de la zone de recouvrement sans

signification physique. Une solution a été proposée pour faire disparaître cette

réflexion en utilisant une méthode d’atténuation par relaxation. Des simulations

d’impacts sur une dalle en béton armé ont aussi été réalisées. Les résultats obtenus

ont montré la capacité du modèle couplé à décrire le comportement de l’ouvrage

dans son ensemble et à prédire le comportement local endommagé tout en

conservant un coût de calcul raisonnable.

Figure ‎1.46 - Simulation d’impact sur une enceinte de confinement nucléaire [Rousseau,

2009]

D’autre part, Rousseau [Rousseau et al., 2010] a proposé une méthode de

couplage entre les éléments discrets et les éléments finis de type coque basée sur

celle proposé par Frangin [Frangin et al., 2007]. Cette méthode a été utilisée pour

modéliser des structures minces telles que les enceintes de confinement nucléaires

soumises à des impacts. Ce modèle couplé a été validé sur des essais élémentaires

en quasi-statique et dynamique d’une part, et sur des essais d’impact sur des dalles

en béton armé (essais Meppen). Une simulation d’impact à l’échelle d’un ouvrage

entier a été aussi réalisée (Figure 1.46). Le modèle a montré la possibilité de

décrire à la fois le comportement local endommagé sous impact et la réponse

structurelle locale tout en maintenant un coût de calcul raisonnable.


48

1.4 Synthèse

L’objectif de notre étude est de modéliser les impacts d’avions sur les

structures en béton armé de géométries complexes. Ces impacts sont considérés

comme mous c’est-à-dire que le projectile est nettement moins rigide que la cible.

Dans ce cas, il y a un couplage entre les phénomènes d’endommagement locaux et

la propagation des ondes dans la structure.

L’outil numérique doit être capable de décrire correctement les phénomènes

de fragmentation et l’apparition des macro-fissures dans la structure. Il existe deux

familles de méthodes numériques : les méthodes continues et les méthodes

discrètes.

Les méthodes continues, d’une part, souvent utilisées dans les bureaux

d’études et la conception des structures, présentent des difficultés lors de la

représentation des discontinuités qui apparaissent dans la structure. Malgré cela,

elles sont très performantes dans le domaine continu.

D’autre part, les méthodes discrètes sont plus récentes et toujours en

développement pour obtenir un outil fiable et capable de décrire les discontinuités

dans le matériau constituant la structure sans préjuger du lieu et de la forme de

celles-ci. Cependant, le coût de calcul représente une contrainte sur l’utilisation de

cette méthode à l’échelle structurelle. En effet plus la discrétisation est fine, plus le

temps de calcul augmente en raison du processus très coûteux de détection des

contacts et du nombre élevé de degrés de liberté. Cette limitation est mise en relief

dans le cas des impacts mous où il est nécessaire de modéliser la structure entière

pour prendre en compte les allers-retours des ondes.

Pour pallier ce problème, un couplage entre la méthode des éléments discrets

et la méthode des éléments finis est nécessaire. La zone endommagée est

modélisée par les éléments discrets et le reste de la structure par les éléments

finis. Cela permet de bien réduire le coût de calcul et rend le calcul structurel

envisageable. Une méthode de couplage a été introduite et validée par Rousseau et

al. [2010]. Elle est implémentée dans le code Europlexus utilisé dans notre étude.

L’utilisation des éléments sphériques permet aussi de réduire le coût de calcul car

la recherche des contacts est facilitée.


49

Par la suite, une méthode aux éléments discrets sphériques tridimensionnels

sera présentée. Elle a été introduite par [Donzé et Magnier, 1997], puis a subi des

améliorations et fut validée dans les travaux de [Hentz, 2003] et [Rousseau, 2009].

La méthode fut validée sur des volumes élémentaires représentatifs de la structure

étudiée. Elle doit être capable de reproduire le comportement expérimental

observé à l’échelle macroscopique lors des essais de laboratoire quasi-statiques et

dynamiques. L’influence de la finesse de la discrétisation sur le comportement du

modèle discret a été étudiée, elle a permis d’identifier les paramètres locaux du

matériau en fonction de la finesse du maillage [Hentz, 2003 ; Rousseau, 2009].


50


51

CHAPITRE 2

______________________________________ _________________________________

Méthode des éléments discrets

____________________________________________ ___________________________

Dans ce chapitre, nous allons présenter la méthode des éléments discrets

utilisée pour étudier le comportement du béton sous sollicitation quasi-statique ou

dynamique. La méthode de maillage utilisée sera décrite dans un premier temps,

puis la définition des interactions entre les éléments et la résolution des équations

fondamentales de la dynamique seront présentées. Pour finir, l’étude de la stabilité

du schéma d’intégration sera traitée.

2.1 Principe de la méthode

Les méthodes numériques discrètes ont été inventées principalement pour

étudier le comportement mécanique des milieux granulaires de nature discrète.

Puis elles ont été étendues pour simuler le comportement des matériaux cohésifs

comme le béton ou les roches subissant des sollicitations provoquant des

discontinuités dans leurs structures. Traditionnellement leur comportement est

simulé via des méthodes continues peu adaptées à la représentation des

discontinuités matérielles présentes dans ces matériaux. Dans cette partie, on

s’intéresse particulièrement à la méthode aux éléments discrets (MED) qu’on


52

utilise pour simuler le comportement du béton dans le cas de grandes

déformations qui mènent à la fragmentation.

Notre méthode est inspirée de la méthode des éléments distincts développée

par Cundall et Strack [1979]. On veut modéliser le matériau béton en le

considérant comme homogène et isotrope par un assemblage d’éléments discrets

de tailles supérieures à la taille caractéristique de la microstructure du milieu afin

d’éviter des coûts de calcul élevés. La représentativité du modèle numérique va

dépendre de la méthode de création de l’assemblage, de la taille et de la forme des

éléments, de la porosité de l’assemblage et enfin des interactions locales et des lois

qui les régissent.

L’utilisation des éléments sphériques permet d’éviter des coûts de calcul trop

élevés lors de la recherche des contacts à chaque itération, recherche pouvant

limiter la réalisation des calculs à grande échelle. Le milieu est représenté par des

éléments sphériques rigides et le mouvement de chacun d’eux est régi par le

Principe Fondamental de la Dynamique.

La création de l’assemblage doit prendre en compte le caractère isotrope du

béton en agissant sur la méthode d’arrangement des éléments et la distribution de

leurs tailles. Dans un maillage régulier d’éléments sphériques, les contacts seront

orientés principalement suivant des directions particulières ce qui aboutit à une

propagation des fissures selon ces directions privilégiées : le modèle dans ce cas

est anisotrope. L’introduction d’un désordre dans cet assemblage est nécessaire

mais pas suffisante pour garantir l’isotropie de notre modèle. En effet, même avec

une distribution aléatoire des éléments de mêmes tailles, l’assemblage a tendance

à se réarranger d’une manière régulière [Donzé et al., 1994]. Il est donc nécessaire

de distribuer la taille des sphères dans une certaine fourchette en précisant le

rapport entre le rayon maximal et le rayon minimal. Des tailles variables des

éléments et un désordre introduit sont donc nécessaires pour l’isotropie du

modèle.

Le matériau béton étant modélisé à l’échelle macroscopique, la porosité

induite par l’assemblage polydisperse de sphères n’a aucun rapport avec la

porosité réelle du béton. Néanmoins, un assemblage le plus compact possible, c’est

à dire avec le nombre de liaisons le plus grand possible, est recherché afin de

représenter au mieux le caractère homogène et isotrope du milieu.


53

Quelle que soit la structure étudiée, il faut choisir la taille moyenne des

éléments en fonction de la capacité de calcul et de la précision voulue. Plus la taille

moyenne de l’assemblage est grande, plus la précision est augmentée et le temps

de calcul devient long. Donc il faut assurer un compromis entre ces deux facteurs.

La taille moyenne doit être suffisamment petite pour modéliser la géométrie, avoir

une précision suffisante et être capable de laisser passer les longueurs d’ondes

représentatives des phénomènes mis en jeu lors de la modélisation des impacts

dynamiques. Généralement, la taille moyenne des sphères est choisie en fonction

de la plus petite dimension de la structure de façon à avoir au minimum 8 à 10

éléments dans l’épaisseur.

D’autre part, les structures étudiées ont des formes quelconques.

L’algorithme de génération de l’assemblage doit être capable de modéliser par

exemple les angles des dalles et les volumes ayant une courbure tels que les formes

cylindriques. De plus, chaque élément doit avoir suffisamment d’interactions pour

garantir sa stabilité. Nous allons présenter par la suite les différentes méthodes de

génération de maillage.

2.2 Génération du maillage ED

2.2.1 Les méthodes de génération

Comme on l’a vu précédemment, la génération du désordre dans un

assemblage d’éléments discrets de différentes tailles est très importante pour

obtenir un maillage isotrope. Plusieurs méthodes de génération d’un modèle

discret existent dans la littérature et on peut les classer en deux familles : les

méthodes dynamiques et les méthodes géométriques. On va présenter brièvement

les principales méthodes utilisées dans les différents précédents travaux de

recherches.

Le principe des méthodes dynamiques consiste à réaliser l’assemblage en

utilisant des lois d’interactions entre les éléments et les équations de la

dynamique. Tout d’abord, on peut citer les méthodes de dépôt par gravité [Siiriä et

Yliruusi, 2007] qui déposent les éléments, de diamètres variables dans une plage

définie, sous effet de la gravité. D’autres méthodes utilisent la compression d’un

assemblage initialement désordonné par l’intermédiaire de parois avec un angle de


54

frottement nul, ce qu’on appelle compactage [Stroeven et Stroeven, 1999 ; Sibille,

2006]. Après ce processus, l’échantillon sera plus dense, mais le volume final de

l’assemblage sera plus petit que le volume initial. Deux moyens de contrôle

existent : soit on définit un volume initial plus grand que le volume final souhaité,

puis on compacte jusqu’à atteindre le volume final voulu, soit on procède par la

méthode de grossissement dynamique (Figure 2.1). Cette dernière consiste à créer

un désordre dans un assemblage initial, puis on applique des augmentations

successives des tailles des sphères jusqu’à la stabilité, définie la plupart du temps

par une porosité finale fixée [Potyondy et al., 1996].

(a) (b)

Figure ‎2.1 - Réalisation d’un échantillon numérique (a) avant compaction (b) compacté par

la méthode d grossissement des sphères [TRAN, 2011]

Les méthodes dynamiques permettent d’obtenir des maillages denses avec

une distribution isotrope des contacts. Cependant, elles nécessitent une simulation

de calcul dynamique qui est coûteuse dans le cas des problèmes à grande échelle

(modélisation des grands ouvrages). L’application du processus dynamique

(compaction avec les parois) est limitée également aux cas où le volume étudié est

prismatique ou lorsqu’il a des formes particulières simples.

D’autre part, les méthodes géométriques consistent à fabriquer des maillages

discrets à partir des fonctions mathématiques. Parmi ces méthodes, on peut citer

tout d’abord la méthode de grossissement développée par Jordey et Tory [1985] et

utilisée par plusieurs auteurs [Donzé, 2002]. Cette méthode est basée sur plusieurs

étapes : un réseau de sphères ordonné de type Cubique Faces Centrées (CFC) est

créé, puis un désordre est généré dans l’échantillon après application d’un facteur

de réduction aux tailles des sphères, et finalement un processus itératif de

grossissement et de remplacement des sphères est effectué jusqu’à atteindre le


55

rayon imposé de chaque sphère ou la densité souhaitée. Mais cet algorithme reste

proche des méthodes dynamiques en terme de coût de génération car la détection

des contacts à chaque itération induit un coût de calcul important. Ensuite, la

méthode de déposition balistique est apparue [Jullien et Meakin, 2000] et permet

de créer un empilement de sphères avec un temps de calcul très faible. Dans cette

méthode, chaque sphère est placée dans un container où elle cherche sa position

stable après création de plusieurs contacts avec d’autres éléments (Figure 2.2). Cet

algorithme permet d’obtenir des assemblages d’éléments discrets en un temps

faible comme il ne procède à aucune simulation dynamique, mais il nécessite

toujours des développements pour aboutir à des densités plus élevées.

a) 1 contact b) 2 contacts c) 3 contacts

Figure ‎2.2 - Méthode de génération de maillage et détection des contacts par déposition

balistique

La troisième méthode géométrique est la génération d’empilement de

sphères basée sur un maillage tétraédrique. Cette méthode développée par Jerier

[Jerier et al., 2009] est utilisée actuellement dans notre étude. La démarche

consiste à créer un maillage tétraédrique avec un mailleur éléments finis, puis la

méthode intègre plusieurs étapes de remplissage du volume par des sphères pour

élaborer l’assemblage discret voulu. Les étapes sont les suivantes (Figure 2.3) :

- On place les premières sphères au centre de chaque segment du maillage.

Leurs rayons sont calculés à partir de la longueur du segment divisé par 8 et

en respectant les valeurs de Rmin et Rmax imposées avec un rapport

Rmax/Rmin défini au début. Selon le problème étudié, la finesse du maillage

aux éléments finis est fixé et par suite Rmin et Rmax sont calculées à partir

de la taille moyenne des segments du maillage.

- De nouvelles sphères sont placées sur les sommets. Leur rayon est égal au

quart de la plus petite distance entre le sommet et le centre des premières

sphères placées.

- On place des sphères sur chaque face triangulaire du tétraèdre en contact

avec quatre sphères voisines grâce à une routine géométrique spécifique.


56

- Ensuite la démarche consiste à combler les vides proches du centre de

chaque tétraèdre et de chaque sommet.

- Une dernière étape de densification de l’échantillon est réalisée en

parcourant de façon itérative toutes les porosités qui ont un volume

supérieur ou égal à la plus petite sphère (respect de la valeur de Rmin).

Cette étape permet d’obtenir la compacité voulue qui est de l’ordre de 0.6

sans interpénétration.

Figure ‎2.3 - Procédure de génération de maillage discret développée par [Jerier, 2009]

Il faut noter que des améliorations ont été apportées à l’algorithme de Jerier.

Ces changements concernent le bon traitement des contours de l’objet et des

considérations géométriques pour la phase de densification. Cette méthode a

l’avantage de générer des échantillons numériques présentant une bonne isotropie

avec un coût de calcul faible. Le maillage discret est obtenu à partir d’un maillage

aux éléments finis, ce qui permet de l’appliquer sur des problèmes avec des

géométries beaucoup plus complexes contrairement aux méthodes dynamiques

limitées aux volumes prismatiques (Figure 2.4).

Figure ‎2.4 - Exemple d’un engrenage conique maillé par l’algorithme de Jerier [Jerier et al.,

2010]


57

Par ailleurs, cette méthode permet de mailler des structures en béton armé

en prenant en compte la présence des armatures en acier. Les éléments discrets

représentant la barre d’acier sont identiques et alignés. Ils ont le même diamètre

que les armatures utilisées dans l’ouvrage en béton armé réel. L’algorithme décrit

précédemment peut être adapté facilement pour traiter ce type de problèmes. Tout

d’abord, les armatures et le béton sont maillés à part, et ensuite on superpose les

deux maillages : les éléments béton qui sont interpénétrés seront supprimés, puis

une phase de densification est nécessaire pour combler les vides qui apparaissent

autour de l’armature à cause de la suppression de certains éléments en béton.

Cette méthode a été utilisée par plusieurs auteurs [Frangin, 2008 ; Rousseau,

2009] et a montré sa capacité de modéliser le comportement élastique et isotrope

du béton dans différentes configurations. La figure 2.5 montre un exemple d’une

dalle en béton armé soumise à un impact et modélisée par cette méthode.

Figure ‎2.5 - Modélisation d’un essai d’impact sur une dalle en béton armé [Rousseau, 2009]

2.2.2 Vérification du maillage

Dans le but de garantir la précision du calcul et la représentativité du

comportement réel du béton, il faut toujours vérifier deux critères essentiels dans

l’échantillon modélisé : l’isotropie du maillage et le coût de calcul. Ce dernier n’est

pas lié seulement à l’algorithme de discrétisation, mais dépend de la finesse du

maillage qui détermine le coût de calcul. Il faut trouver un compromis

précision/coût de calcul selon le type de problème étudié. En effet, il faut choisir

une finesse de maillage assurant une bonne isotropie, mais aussi, ne nécessitant

pas un coût de simulation trop élevée. Avec l’algorithme adopté, la finesse de la


58

discrétisation est fonction de deux paramètres : la taille moyenne des tétraèdres

du maillage EF et le rapport Rmax/Rmin, caractéristique du maillage ED.

Dans notre étude, le rapport Rmax/Rmin est choisi ni trop élevé, pour éviter un

maillage de très grande taille et un coût de calcul élevé, ni trop faible, pour assurer

la bonne isotropie du modèle et atteindre la compacité voulue. La valeur utilisée

pour notre travail est 3. Cela permet d’avoir suffisamment de sphères de petites

tailles pour combler les vides et assurer une bonne compacité du maillage obtenue

tout en gardant un temps de simulation raisonnable. Le paramètre qui reste à

choisir est la taille du maillage EF qui est le point de départ pour la construction du

maillage ED.

Figure ‎2.6 - Maillage ED à partir d’un maillage EF avec 3 tétraèdres par petite côté

La figure 2.6 présente le maillage ED d’un échantillon de taille 0.45×0.2×0.2

m3 comportant 8630 éléments en considérant 4 tétraèdres par petit côté du

volume prismatique. La compacité obtenue est de l’ordre de 0.6. Elle est calculée à

partir de la somme des volumes de toutes les sphères divisée par le volume de

l’échantillon. La répartition des tailles est présentée dans la figure 2.7 qui montre

que la majorité des éléments (61%) sont plus petits que le rayon moyen de

l’échantillon (0.6 cm). Le rayon minimal est 0.38 cm et le rayon maximal est 1.14

cm. Par ailleurs, l’isotropie est vérifiée en calculant la répartition des contacts dans

toutes les directions, puis en les projetant sur les plans principaux xy, yz et xz. La

figure 2.8 montre une répartition assez homogène (circulaire) des contacts de

l’échantillon maillé et par la suite l’isotropie est considérée comme satisfaisante.


59

Figure ‎2.7 - Distribution des rayons des éléments sur un échantillon de 8630 ED

Figure ‎2.8 - Orientation des contacts dans les trois plans principaux

2.3 Gestion des interactions

2.3.1 Types d’interactions

La première étape de la modélisation est la création du maillage initial. Après

il faut définir les types d’interactions à mettre en œuvre. On utilise deux types

d’interactions: les interactions cohésives et les interactions de type contact. Les

interactions cohésives sont des liens à distance créées à l’instant initial. Cette


60

interaction cohésive est définie entre deux éléments a et b si la condition [2.1] est

satisfaite. Ces interactions à distance ont une certaine résistance à la traction, ce

qui permet de représenter le caractère cohésif du béton.

𝜆(𝑅𝑎 + 𝑅𝑏) ≥ 𝐷𝑎,𝑏 [2.1]

Où :

- Ra et Rb représentent les rayons des éléments

- Da,b est la distance entre les centres des deux éléments

- λ est le rayon d’interaction (λ ≥ 1)

Les interactions de type contact peuvent être créées en cours du calcul entre

deux éléments dont le lien cohésif est rompu si le contact strict est assuré entre les

deux sphères. Dans ce dernier cas, on tient compte du rayon d’interaction lors de la

vérification du contact. Si les deux éléments s’écartent et qu’il n’y a plus de contact,

on considère que le lien est rompu. Ces liens travaillent en compression et sont de

résistance nulle à la traction.

Figure ‎2.9 - Variation du nombre de liens en fonction du rayon d’interaction

Le rayon d’interaction permet de contrôler le nombre moyen d’interactions

par ED (Figure 2.9) appelé aussi coordinance qui peut être défini par le rapport

entre le nombre total des liens dans l’échantillon et le nombre total des éléments.

Des études précédentes ont montré l’importance de ce paramètre dans la

détermination du comportement élastique du modèle [Rousseau, 2009]. En effet,

lorsque le nombre d’interactions augmente, chaque élément devient plus stable,

c’est-à-dire qu’il dispose de suffisamment d’interactions pour éviter les

mouvements erratiques. Dans ce cas, l’échantillon devient plus rigide en raison de

l’augmentation linéaire du module d’Young avec la coordinance. Cependant, la

coordinance doit être choisie de manière à avoir un modèle numérique qui

représente bien le comportement élastique du béton. Une valeur empirique égale à


61

12 a été choisie pour notre modèle, elle correspond à une disposition Cubique-

Face-Centrée d’un maillage régulier.

2.3.2 Recherche des interactions

Une fois la position des éléments et leurs tailles connues après la création du

maillage, il faut chercher les interactions entre les éléments. Cette étape est

réalisée initialement pour définir les interactions cohésives. Puis elle sera activée à

chaque itération pour prendre en compte les nouveaux contacts. Ainsi, elle

nécessite un temps de simulation numérique très important et il faut utiliser un

algorithme qui accélère la procédure de recherche. Certains auteurs ont développé

des méthodes spécifiques pour la recherche des interactions de contact. Une liste

de ces méthodes a été présentée par Hentz [Hentz, 2003]. Deux méthodes sont

généralement utilisées: la méthode de subdivision par grilles et la méthode de tri

par empilement.

Figure ‎2.10 - Méthode de recherche des contacts par grille

La méthode de subdivision par grilles [Allen et Tildesley, 1987] consiste à

discrétiser tout d’abord l’espace du maillage en cellules rectilignes uniformes

(Figure 2.10). Ensuite, on associe à chaque cellule les éléments qu’elle contient ou

qui n’ont pas d’intersection avec ses frontières. Puis dans chaque cellule, on

s’intéresse à chaque élément et on détermine s’il est capable d’être en contact avec

les autres éléments contenus dans la même cellule ou dans les cellules adjacentes.

Le temps de simulation est fonction de la taille des cellules et donc leur nombre, la

taille des éléments ainsi que leur distribution.

La deuxième méthode est le tri spatial par empilement [O’connor, 1996] qui

place les éléments dans une liste chaînée et les classe en fonction des coordonnées

extrêmes de chaque élément dans chaque direction (Figure 2.11). Les éléments


62

voisins de chaque ED sont déterminés en parcourant une bande définie dans

chaque direction et limitée par les coordonnées extrêmes de l’élément considéré.

Le coût de calcul de cette méthode dépend de la répartition de tailles du maillage.

Le critère qui contrôle notre choix de la méthode de recherche des contacts

est le coût de calcul qui représente une limitation lors de la modélisation à grande

échelle. Mais comme notre algorithme de maillage génère des échantillons denses

(compacité de l’ordre de 0.6) et que la dispersion des tailles n’est pas grande

(Rmax/Rmin = 3), alors il est préférable d’utiliser la subdivision par grilles. Le tri par

empilement convient plus pour les assemblages discrets très dispersés.

Figure ‎2.11 - Méthode de tri par empilement avec des bandes

2.4 Les équations de la MED

2.4.1 Elasticité linéaire

On va considérer deux éléments en interaction a et b, de rayons respectifs Ra

et Rb. L’interaction entre les deux grains est définie par deux ressorts élastiques

linéaires : l’un normal de raideur Kn et l’autre tangentiel de raideur Ks (Figure

2.12).

Figure ‎2.12 - Loi d’interaction élastique entre deux éléments


63

A l’échelle microscopique on a différents constituants avec différentes

caractéristiques mécaniques, mais à l’échelle macroscopique le comportement

élastique du béton supposé homogène est fonction de deux paramètres élastiques :

le module d’Young E et le coefficient de Poisson ν. Ce sont des paramètres d’entrée

qui doivent être exploités dans des relations micro-macro pour définir les raideurs

locales entre les grains sphériques. Dans le but de respecter l’analogie avec la pâte

cimentaire qui lie deux granulats de différentes tailles, il faut avoir une certaine

distribution de raideurs dans l’assemblage numérique. L’idée de notre modèle est

de définir une relation de changement d’échelle permettant de lier E et ν aux

raideurs locales via des paramètres à calibrer et les caractéristiques géométriques

des éléments en interaction. Ce processus est une « homogénéisation » des

propriétés mécaniques en passant de l’échelle microscopique à l’échelle

macroscopique qui nous concerne dans notre étude.

Une étude établie par Huang [1999] a montré que le comportement élastique

d’un échantillon en ED est régi par le rapport 𝐾𝑠

𝐾𝑛 pour un assemblage des éléments

de taille unique. Dans la littérature, on trouve deux modèles d’homogénéisation

proposés pour le cas d’assemblages d’éléments sphériques de même rayon r et

avec N le nombre d’éléments total: le modèle de Voigt [Cambou et al., 1995] et le

modèle de la meilleure approximation (best-fit) de Liao [Liao et al., 1997] :

- Modèle de Voigt :

{

𝐸 =

4𝑁𝑟2

3 𝐾𝑛

2 + 3𝐾𝑠

𝐾𝑛

4 +𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝜈 = 1 −

𝐾𝑠

𝐾𝑛

4 +𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝜈 ∈ [0;1

4] [2.2]

- Modèle de Liao :

{

𝐸 =

20𝑁𝑟2

3 𝐾𝑛

𝐾𝑠

𝐾𝑛

2 + 3𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝜈 = 1 −

𝐾𝑠

𝐾𝑛

2 + 3𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝜈 ∈ [0;1

2] [2.3]


64

Ces formules ne prennent pas en compte les assemblages avec une distribution

variable des tailles des éléments. Plus récemment, une formule, inspirée des deux

formules précédentes, a été proposée par Donzé [Donzé, 2001] et est applicable

aux maillages polydisperses :

{

𝐸 =

𝐷𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑏

𝑆𝑖𝑛𝑡 𝐾𝑛

𝛽 + 𝛾𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝛼 +𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝜈 = 1 −

𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝛼 +𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝜈 ∈ [0;1

𝛼] [2.4]

Dans cette formule, interviennent trois paramètres α, β et γ à identifier ; ces

paramètres changent en fonction de la coordinance fixée et du procédé de maillage

EF utilisé pour générer un échantillon ED. Le terme 𝑆𝑖𝑛𝑡 correspond à la surface

d’interaction définie par la surface minimale des deux ED en interaction :

𝑆𝑖𝑛𝑡 = 𝑚𝑖𝑛(𝜋𝑅𝑎 2 , 𝜋𝑅𝑏

2) [2.5]

On verra dans le chapitre 3 la procédure d’identification de ces paramètres

afin de reproduire le comportement élastique du béton à l’échelle macroscopique.

Il faut noter que dans le cas d’interaction entre deux éléments a et b, de

caractéristiques élastiques différentes (𝐸𝑎 , 𝜈𝑎) et (𝐸𝑏 , 𝜈𝑏), on calcule des

propriétés élastiques moyennes :

{

𝐸𝑎𝑏 = 2

𝐸𝑎𝐸𝑏

𝐸𝑎 + 𝐸𝑏

𝜈𝑎𝑏 = 2𝜈𝑎𝜈𝑏

𝜈𝑎 + 𝜈𝑏

[2.6]

L’inversion de l’équation 2.6 donne l’expression des raideurs en fonction des

propriétés élastiques :

{

𝐾𝑛

𝑎𝑏 = 𝐸𝑎𝑏𝑆𝑖𝑛𝑡

𝐷𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑏

1 + 𝛼

𝛽(1 + 𝜈) + 𝛾(1 − 𝛼𝜈)

𝐾𝑠𝑎𝑏 = 𝐾𝑛

𝑎𝑏 1 − 𝛼𝜈

1 + 𝜈

[2.7]


65

2.4.2 Correction de la masse des ED

La masse volumique ρ du béton est une variable d’entrée dans le modèle ED.

La masse de chaque ED est égale au produit du volume sphérique par la masse

volumique. Cependant la somme des masses de tous les ED est inférieure à la

masse de l’échantillon dans la réalité à cause de la porosité de l’assemblage. Par la

suite, il faut tenir compte de la compacité c pour corriger la masse de chaque

sphère, afin d’obtenir la masse réelle de l’échantillon :

𝑚𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔é = 𝜌

𝑐

4

3𝜋𝑟3 [2.8]

2.4.3 Cycle de calcul de la MED

Après la création du maillage ED et l’introduction des propriétés matérielles

et mécaniques du béton, on passe au calcul ED. Chaque élément a six degrés de

libertés : trois translations et trois rotations. L’équation du mouvement de chaque

ED est donnée en utilisant le principe fondamental de la dynamique. Le système

d’équations différentielles obtenu est résolu de façon approchée par une

discrétisation temporelle avec la méthode aux différences finies centrées. La

boucle de calcul se fait en plusieurs étapes décrites comme suit:

1. Recherche des interactions entre les éléments à l’instant t en utilisant

l’algorithme de recherche par grilles que l’on a décrit précédemment.

2. Calcul des forces d’interaction 𝐹𝑙𝑜𝑐 appliquées sur chaque élément i

par ses voisins avec lesquels il est en interaction. Chaque force est la

résultante de la composante normale et la composante tangentielle

(Figure 2.13). Cette étape sera détaillée dans la suite.

3. Calcul de la force résultante d’interaction appliquée sur chaque

élément. Elle correspond à la somme des forces d’interaction locales

appliquées sur l’élément i:

𝐹𝑖 = ∑ 𝐹𝑙𝑜𝑐

𝑛𝑏 𝑙𝑖𝑒𝑛𝑠

[2.9]

4. Application des forces externes 𝐹𝑒 .


66

Figure ‎2.13 - Efforts d’interaction appliqués sur un ED

5. Calcul des accélérations de chaque ED à l’instant t+Δt en utilisant le

Principe Fondamental de la Dynamique connaissant les forces locales

et externes appliquées et la masse de l’élément:

��𝑛+1 = 𝐹𝑒 − 𝐹𝑖

𝑚 [2.10]

6. Intégration par un schéma explicite aux différences finies centrées

pour calculer les vitesses et les vecteurs positions. A la fin de cette

étape, il faut prendre en compte les conditions aux limites en

déplacement. L’intégration est présentée dans les équations 2.11 :

{��𝑛+1 = ��𝑛 +

∆𝑡

2(��𝑛 + ��𝑛+1)

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ∆𝑡(��𝑛 +∆𝑡

2��𝑛)

[2.11]

7. Après la mise à jour des positions des éléments, on recommence la

boucle de calcul de nouveau. Un schéma décrivant les étapes du cycle

de calcul MED est présenté dans la figure 2.14.


67

Figure ‎2.14 - Etapes fondamentales du cycle de calcul de la MED

L’implantation de la MED dans le code de dynamique rapide Europlexus a été

initiée dans la thèse de Rousseau [2009]. Tous les développements associés à notre

travail dans la MED ont été implantés dans le même code développé depuis 1999

conjointement par le Commissariat à l’Energie Atomique en France (CEA), Joint

Research Center ISPRA, EDF et l’ONERA.

2.4.4 Calcul des forces d’interactions locales

Considérons deux éléments discrets a et b en interaction, de type cohésif, de

rayons respectifs Ra et Rb, et de centres d’inertie respectifs Ga et Gb . On va noter

Dab la distance entre les deux éléments à l’instant t et Deq la distance à l’instant

initial. On va considérer le cas de deux éléments interagissant à distance comme

présenté dans la figure 2.15. Un point de contact fictif 𝑃𝑐 est défini au milieu de

l’intervalle entre les surfaces des deux sphères. En ce point, l’action mécanique

d’interaction est exprimée, et on définit une normale unitaire �� orientée de a vers

b.

𝐺𝑎𝑃𝑐 = (𝑅𝑎 +

1

2((𝐷𝑎𝑏 − (𝑅𝑎 + 𝑅𝑏))) . �� [2.12]


68

Figure ‎2.15 - Paramètres d’interaction entre deux éléments

La force d’interaction de a sur b est composée d’une partie normale 𝐹𝑛 et

d’une partie tangentielle 𝐹𝑠:

𝐹𝑎→𝑏 = 𝐹𝑛 + 𝐹𝑠 [2.13]

Connaissant la raideur normale, la force normale s’écrit:

𝐹𝑛 = −𝐾𝑛(𝐷𝑎𝑏 − 𝐷𝑒𝑞) �� [2.14]

Pour calculer l’effort tangentiel 𝐹𝑠(𝑡) à l’instant t, on procède d’une façon

incrémentale [Hart et al., 1988]:

𝐹𝑠(𝑡) = 𝐹𝑠𝑟𝑜𝑡2 + ∆𝐹𝑠 [2.15]

où ∆𝐹𝑠 est l’incrément d’effort tangentiel à l’instant t, et 𝐹𝑠𝑟𝑜𝑡2 est la mise à

jour du vecteur force au pas du temps précédent 𝐹𝑠 (𝑡 − ∆𝑡) tenant compte du

mouvement de l’interaction. 𝐹𝑠𝑟𝑜𝑡2 est calculé en deux temps. Dans un premier

temps, on tient compte du changement de la direction de la normale �� :

𝐹𝑠𝑟𝑜𝑡1 = 𝐹𝑠 (𝑡 − ∆𝑡) − 𝐹𝑠 (𝑡 − ∆𝑡) ˄ �� (𝑡 − ∆𝑡)˄ �� (𝑡) [2.16]

Puis on prend en compte la vitesse de rotation moyenne de a et b, Ω selon la

nouvelle normale:


69

𝐹𝑠𝑟𝑜𝑡2 = 𝐹𝑠

𝑟𝑜𝑡1 − 𝐹𝑠𝑟𝑜𝑡1 ˄ ∆𝑡 Ω [2.17]

où Ω est calculé de la manière suivante :

Ω = ( 1

2(𝛺𝑎 + 𝛺𝑏

). �� (𝑡) ) �� (𝑡) [2.18]

De plus, l’incrément d’effort tangentiel est calculé connaissant la raideur

tangentielle de l’interaction:

∆𝐹𝑠 = −𝐾𝑠 ∆𝑈𝑠 [2.19]

où ∆𝑈𝑠 est l’incrément de déplacement tangentiel qui est initialisé à zéro au

moment de création de l’interaction. Il est calculé à partir de la vitesse relative de

glissement 𝑉𝑠𝑐 entre les deux éléments au point de contact 𝑃𝑐:

∆𝑈𝑠 = ∆t 𝑉𝑠

𝑐 [2.20]

𝑉𝑠𝑐 = 𝑉𝑏/𝑎

𝑐 − (𝑉𝑏/𝑎𝑐 . �� (𝑡)) �� (𝑡) [2.21]

où 𝑉𝑏/𝑎𝑐 est la vitesse relative de l’élément b par rapport à l’élément a au point

de contact 𝑃𝑐 . Elle est calculée de la manière suivante:

𝑉𝑏/𝑎𝑐 = 𝑉𝑏

𝑐 − 𝑉𝑎𝑐 = 𝑉𝑏

𝐺𝑏 + 𝑃𝑐𝐺𝑏 ˄𝛺𝑏

− 𝑉𝑎𝐺𝑎 − 𝑃𝑐𝐺𝑎

˄𝛺𝑎 [2.22]

A partir des valeurs de l’effort normal et de l’effort tangentiel, on peut calculer

l’effort total appliqué par l’élément a sur b en faisant la somme des deux

composantes. Notons que l’effort normal est pris négatif en traction et positif en

compression. D’autre part, dans le cas d’une interaction de type contact, les

équations précédentes restent valables mais en ajoutant en plus une condition de

non négativité de la force normale (résistance nulle en traction) et qui s’écrit alors

comme suit:

{𝐹𝑛 = (max(0, −𝐾𝑛(𝐷𝑎𝑏 − 𝐷𝑒𝑞)) ��

𝐹𝑠 = 0 𝑠𝑖 𝐹𝑛 = 0 [2.23]


70

2.4.5 Lois de comportement non linéaires locales

Dans notre modèle, on utilise un critère de Mohr-Coulomb classique pour la

modélisation du comportement non linéaire du béton. Ce critère a été utilisé par

plusieurs auteurs comme [Camborde et al., 1999] et [Hentz et al., 2003].

Dans le cas d’interaction cohésive, ce critère est constitué de deux fonctions

seuils (Figure 2.16): 𝑓1(𝐹𝑛, 𝐹𝑠) qui est défini en utilisant deux paramètres, un angle

de frottement interne Φ𝑖 et la cohésion 𝐶0 (équation 2.24), et 𝑓2(𝐹𝑛, 𝐹𝑠) qui est

introduit pour prendre en compte la fragilité du béton en extension et l’ouverture

des fissures en mode sous traction ; 𝑓2 est définie par une contrainte limite locale

en traction T (équation [2.25]) :

𝑓1(𝐹𝑛, 𝐹𝑠) = 𝐹𝑠 − 𝑡𝑎𝑛(𝛷𝑖) 𝐹𝑛 − 𝑆𝑖𝑛𝑡𝐶0 [2.24]

𝑓2(𝐹𝑛, 𝐹𝑠) = −𝑆𝑖𝑛𝑡𝑇 − 𝐹𝑛 [2.25]

où 𝐹𝑠 et 𝐹𝑛 représentent les normes respectives des vecteurs 𝐹𝑛 et 𝐹𝑠 .

Autrement dit, les critères s’écrivent comme suit :

- Si 𝑓2 ≤ 0 alors l’interaction est cohésive et élastique.

- Si 𝑓1 ≥ 0 𝑒𝑡 𝑓2 < 0 alors le critère de cisaillement est atteint et l’effort

tangentiel est limité à sa valeur maximale 𝐹𝑠 = tan(Φi) 𝐹𝑛 + 𝑆𝑖𝑛𝑡𝐶0 .

- Si 𝑓2 > 0 alors une phase d’adoucissement apparaît en traction avant

d’atteindre la rupture de la liaison (𝐹𝑛 = 𝐹𝑠 = 0).

La dispersion des tailles de l’assemblage ED est toujours prise en compte par

le paramètre 𝑆𝑖𝑛𝑡 tout en gardant les paramètres de la fonction seuil homogènes

dans le modèle. En traction, un paramètre d’adoucissement ζ est introduit [Hentz,

2003] pour deux raisons : d’une part ne pas perdre l’aspect cohésif du béton qui a

une résistance en traction, même si celle-ci est faible, et d’autre part pouvoir

reproduire l’adoucissement macroscopique. Cela permet d’atténuer la force

normale jusqu’à zéro lorsque la limite de la traction locale est atteinte. Dans cette

phase d’adoucissement, si on décharge, on n’a aucune déformation résiduelle

(Figure 2.16), ce qui correspond au comportement expérimental du matériau

béton soumis à un déchargement. Les équations qui décrivent cette phase sont les

suivantes :


71

Phase d’adoucissement

{

𝐹𝑛 =

𝐾𝑛

𝜁(𝐷𝑎𝑏 − 𝐷𝑚𝑎𝑥)

𝐷𝑚𝑎𝑥 = 𝐷𝑒𝑞 + (1 + 𝜁)𝑆𝑖𝑛𝑡𝑇

𝐾𝑛

𝐾𝑛2=

𝐹𝑛𝐷𝑎𝑏 − 𝐷𝑒𝑞

[2.26]

Décharge : 𝐹𝑛 = −𝐾𝑛2(𝐷𝑎𝑏 − 𝐷𝑒𝑞) [2.27]

Dans le cas d’interaction contact, on utilise le même critère mais sans

résistance en traction (T = 0) et sans cohésion (𝐶0 = 0).

Figure ‎2.16 - Lois de comportement non linéaires locales

2.4.6 Stabilité du schéma d’intégration temporelle

Dans Europlexus, le schéma d’intégration utilisé est explicite, ce qui nécessite

de choisir un pas de temps suffisamment petit pour garantir la stabilité du schéma.

Dans notre modèle composé d’éléments discrets, on applique le principe

fondamental de la dynamique à chaque élément. Le modèle est similaire à un

assemblage de systèmes masse-ressort à un degré de liberté. Chaque système a

une pulsation propre 𝜔 = √𝐾

𝑚 où K est la raideur et m est la masse. La condition de

stabilité du schéma d’intégration dans le cas d’un schéma aux différences centrées,

appelée aussi condition de Courant [Courant et al., 1928], pour un système à un

degré de liberté non amorti s’écrit :

∆𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 ≤2

𝜔 [2.28]


72

Donc il faut choisir la plus grande pulsation propre du système. Cette

condition n’est pas facile à mesurer dans le cas où on a un grand nombre

d’éléments discrets dont chacun est soumis à plusieurs interactions. Une solution

alternative existe : elle consiste à assimiler chaque élément, de masse m et soumis

à plusieurs interactions, à un oscillateur de raideur équivalente 𝐾𝑒𝑞, puis à

appliquer la condition de Courant en tenant compte de celle-ci. Cette raideur

équivalente est calculée à partir de toutes les interactions agissant sur cet élément

Pour chaque interaction, en faisant la projection sur les trois axes principaux du

repère global, on détermine pour chaque élément 6 raideurs équivalentes : 3

translations et 3 rotations. Ensuite pour chaque direction, on calcule le pas de

temps critique, puis on choisit la valeur la plus faible parmi les 6 pas de temps

calculés: c’est le pas de temps critique de l’élément. Ce pas de temps est calculé

pour tous les ED et on conservera sa plus petite valeur. Un coefficient de sécurité p

est introduit pour tenir compte des non linéarités dans ce calcul (0 < p < 1) :

∆𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝑝

𝜔= 𝑝√

𝑚

𝐾𝑒𝑞 [2.29]

2.5 Conclusion

Le comportement du modèle aux éléments discrets présenté dans ce chapitre

est fonction de plusieurs paramètres. Tout d’abord le facteur géométrique

représenté par la finesse de l’assemblage, ensuite la masse volumique du matériau

ρ qui permet de calculer la masse de chaque ED (masse devant être corrigée pour

compenser la porosité de l’assemblage des ED) puis les caractéristiques élastiques

E et ν qui régissent le comportement élastique et sont liés au rayon d’interaction λ,

et enfin les paramètres qui caractérisent le comportement non linéaire au niveau

des interactions (T, 𝐶0, ζ, Ф𝑖 et Ф𝑐). Dans le chapitre suivant, on va présenter la

procédure d’identification de tous ces paramètres en validant des essais quasi-

statiques réalisés sur le béton.


73

75

CHAPITRE 3

_______________________________________________________ ________________

Validation du modèle en quasi-statique

________________________ _______________________________________________

L’objectif principal de notre travail est d’avoir un modèle aux éléments

discrets capable de prédire le comportement endommagé des structures en béton

soumis à des impacts. Le béton utilisé dans les structures a des caractéristiques

macroscopiques connues et déterminées à partir d’essais de laboratoire. On

s’intéresse dans ce chapitre aux essais uniaxiaux quasi-statique du béton.

Expérimentalement, on utilise des éprouvettes de béton de même type que

dans la réalité. Les dimensions de ces éprouvettes sont standards et elles sont

utilisées pour réaliser des essais de compression et traction uniaxiales en quasi-

statique. Les résultats de ces essais nous permettent de caractériser le

comportement macroscopique du béton dans les domaines élastique et non

linéaire.

Dans ce chapitre, on va modéliser numériquement une éprouvette ayant les

mêmes dimensions que celles utilisées expérimentalement. Les caractéristiques

élastique (E , ν) du béton étudié seront utilisées pour calculer les raideurs locales

au niveau de chaque lien. Pour cela, il faut d’abord identifier les paramètres

linéaires locaux du modèle ED afin de bien représenter le comportement

macroscopique élastique du béton.


76

De plus, dans la méthode des éléments discrets utilisée, plusieurs choix ont

été adoptés et dépendent de la méthode d’empilement des éléments. Parmi ces

choix, on peut citer le calcul des raideurs locales en fonction des caractéristiques

géométriques des sphères et la recherche des contacts dans l’assemblage. Ainsi, il

faut d’abord choisir une finesse de maillage ED représentative du comportement

macroscopique du béton. Pour ce maillage, les paramètres locaux du modèle

seront identifiés et la reproductibilité de la procédure sera vérifiée pour plusieurs

finesses du maillage et différentes géométries. Et finalement, les paramètres

régissant le comportement non-linéaire du modèle seront identifiés afin de

reproduire les courbes contrainte/déformation des essais expérimentaux

uniaxiaux.

3.1 Choix d’une finesse représentative

Pour chaque problème étudié et suivant les capacités de calcul informatiques

il faut choisir une finesse du maillage d’une manière à avoir une solution

représentative du comportement du modèle réel. Dans tous les cas un compromis

précision-coût de calcul doit être respecté. On vise à valider notre modèle avec un

maillage le plus gros possible pour que ça soit transposable à l’échelle de la

structure entière sans besoin de ressources informatiques énormes. La validation

sera faite alors à l’échelle macroscopique sur un échantillon représentatif de la

structure.

L’échantillon utilisé est un parallélépipède rectangulaire de dimensions

0.45×0.2×0.2 m3 et qui va être maillé avec différentes finesses. Afin de simuler les

essais de compression et traction uniaxiales, on ajoute une couche d’éléments sur

chaque extrémité d’épaisseur égale environ 4×𝑅𝑚𝑜𝑦 et puis on applique les

sollicitations et les conditions aux limites sur ces deux couches. La finesse de

maillage est changée en faisant varier le nombre de tétraèdres placés par petite

côté du parallélépipède (0.2 m) dans le maillage EF servant de point de départ

pour la génération du maillage ED avec la méthode adoptée (cf. chapitre 2). La

figure 3.1 montre quelques maillages ED créés pour différentes finesses de

maillage EF avec les orientations des contacts entre les éléments projetées sur les

trois plans principaux. Les maillages sont réalisés avec la plate-forme SALOME-

MECA dédiée à la simulation en mécanique.


77

Figure ‎3.1 - Distribution des orientations des contacts dans les plans xy, xz et yz des

maillages ED correspondant à plusieurs finesses: (a) 3 tétraèdres par côté, (b) 5 tétraèdres

par côté et (c) 7 tétraèdres par côté du maillage EF

Nombre de tétraèdres

par côté

Nombre total des ED

Compacité Rayon

minimal (cm) Rayon

maximal (cm)

Rayon moyen

(cm)

3 3384 0.583 0.52 1.56 0.81

4 8630 0.601 0.38 1.14 0.60

5 16405 0.605 0.31 0.93 0.48

6 24426 0.607 0.27 0.81 0.42

7 48243 0.611 0.22 0.66 0.34

Tableau ‎3.1 - Caractéristiques géométriques des maillages ED à plusieurs finesses

L’isotropie du maillage doit être bien vérifiée : en regardant les projections

des contacts sur les plans principaux, il ne faut avoir aucune direction privilégiée

d’orientation des interactions. D’après la figure 3.1, on remarque que lorsque le

maillage devient de plus en plus fin, l’isotropie s’améliore mais elle est déjà


78

correcte pour le maillage le plus grossier. Les caractéristiques des différents

maillages sont présentées dans le tableau 3.1. Dans le but d’avoir un modèle

numérique qui reproduit bien le comportement du béton, il faut tout d’abord

choisir une finesse de maillage ayant une isotropie satisfaisante. Cependant, il faut

faire un compromis entre la taille de maillage, qui détermine le coût de calcul, et

l’isotropie. Le choix adopté finalement correspond à un maillage ED réalisé en

utilisant 4 tétraèdres par côté du maillage EF (Figure 3.2). La répartition des

interactions dans la rosace de leurs projections suivant les trois plans XY, XZ et YZ

est quasiment circulaire, et par suite l’échantillon est considéré comme

suffisamment isotrope. Ce maillage comporte 8630 éléments discrets avec un

rayon moyen de 0.6 cm.

Figure ‎3.2 - Distribution des orientations des dans les plans xy, xz et yz du maillage ED choisi

3.2 Pilotage des essais de compression et traction

uniaxiales

On souhaite appliquer un chargement uniaxial sur des éprouvettes

parallélépipédiques. L’essai est réalisé en pilotant directement les éléments

discrets de l’échantillon sans utiliser des plateaux extérieurs (Figure 3.3).

L’épaisseur de la couche d’éléments pilotés correspond à 4 fois le rayon moyen des

éléments de l’échantillon. Un déplacement imposé est appliqué sur l’une des

couches, et l’autre est encastrée. La vitesse de déplacement doit être suffisamment

lente pour garder un état proche de l’équilibre. La force uniaxiale totale appliquée

sur l’échantillon au niveau de l’encastrement est déterminée à partir de la

sommation des réactions sur les éléments à déplacement imposé.


79

Figure ‎3.3 - Pilotage de l’essai de traction uniaxiale

Il faut bien vérifier l’état d’équilibre dans l’éprouvette qui est soumise à des

forces axiales d’un côté tandis que l’autre bout est fixe. On définit un coefficient

d’équilibre 𝐶𝑒𝑞 (exprimé en %) représentant cet état et qui doit être proche de 0

pour que l’on puisse se considérer en quasi-statique (Figure 3.4):

𝐶𝑒𝑞 = 100𝐹𝑝𝑖𝑙𝑜𝑡é + 𝐹𝑒𝑛𝑐𝑎𝑠𝑡𝑟é

𝐹𝑝𝑖𝑙𝑜𝑡é [3.1]

où 𝐹𝑝𝑖𝑙𝑜𝑡é et 𝐹𝑒𝑛𝑐𝑎𝑠𝑡𝑟é représentent respectivement la force résultante longitudinale

sur le plateau piloté et celle sur le plateau encastré.

Figure ‎3.4 - Evolution du coefficient d’équilibre au cours des essais de compression-traction

uniaxiales quasi-statiques pour V = 0.05 m/s

Dans le cas des simulations quasi-statiques avec un code explicite, on ne peut

pas envisager des vitesses de chargement du même ordre de grandeur que celles

utilisées lors des expérimentations (quelques mm/s). Le modèle ED utilisé et

l’utilisation d’un schéma explicite impose l’utilisation de pas de temps très faibles

et avec de telles vitesses de chargement, la durée de calcul serait prohibitive.


80

Toutefois, pour avoir un comportement assimilable à un comportement

quasi-statique, il faudra que la vitesse de déplacement imposé ne soit pas trop

élevée pour éviter les effets dynamiques. On peut introduire également de

l’amortissement visqueux pour atténuer la vitesse de chaque élément. La force

d’amortissement est proportionnelle à la masse et la vitesse de chaque élément :

𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟 = − κ 𝑚𝑖𝑣𝑖 [3.2]

3.3 Elasticité

3.3.1 Coordinance

La coordinance, ou le nombre moyen d’interaction par élément discret, a une

influence importante sur la rigidité de l’échantillon et le module d’Young mesuré.

En effet, lorsque le nombre d’interactions moyen par élément augmente, au niveau

macroscopique l’éprouvette devient plus rigide et le module d’Young augmente

linéairement avec la coordinance [Rousseau, 2009] pour des coefficients Ks et Kn

constants. Comme déjà vu dans le paragraphe 2.3.1, le rayon d’interaction est réglé

pour avoir une coordinance égale à 12.

Le calcul du nombre moyen d’interactions par ED se fait sur les éléments

intérieurs en supprimant les éléments proches des bords ayant peu d’interactions

(Figure 3.5). Il faut noter que le nombre minimum d’interactions par élément

discret est fixé à 3 c’est-à-dire pour les éléments ayant moins que trois interactions

on augmente leur zone d’interaction jusqu’à respecter la condition du nombre

minimum d’interactions.

Figure ‎3.5 - Suppression de la couche d’éléments aux bords pour le calcul de la coordinance


81

3.3.2 Calcul du coefficient de Poisson

Le coefficient de Poisson ν peut être calculé par deux méthodes : la méthode

globale et la méthode locale.

3.3.2.1 Méthode globale

Cette méthode consiste à mesurer les variations de la longueur et la hauteur

globales de l’échantillon, et puis à calculer les déformations longitudinales et

transversales comme suit :

𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔 = ∆𝑙

𝑙0=

𝑙1 − 𝑙0𝑙0

𝜀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = ∆ℎ

ℎ0=

ℎ1 − ℎ0

ℎ0 [3.3]

Pour calculer 𝑙1 et ℎ1, on cherche respectivement les éléments discrets qui

ont les coordonnées maximales et minimales suivant la direction longitudinale (𝑥 )

et la direction transversale (𝑦 𝑒𝑡 𝑧 ) (Figure 3.6). On calcule alors les longueurs

initiales et finales. Le coefficient de Poisson est alors déduit pour chaque direction

transversale :

𝜈 = −𝜀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠

𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔 [3.4]

Figure ‎3.6 - Mesure des déformations par la méthode locale


82

3.3.2.2 Méthode locale

Cette méthode consiste à tenir compte du déplacement de chaque élément du

maillage pour calculer les déformations moyennes longitudinales et transversales.

Pour faire ce calcul tout en conservant la stabilité, il faut choisir des éléments

éloignés des bords du maillage où les déformations radiales sont très grandes car

les éléments sont peu stables. De même, il faut éviter de sélectionner les éléments

proches de l’axe neutre de l’éprouvette où les déplacements transversaux des

éléments sont très faibles et proches de zéro (Figure 3.6).

On sélectionne 4 boîtes parallélépipédiques distant de 2𝑅𝑚𝑎𝑥 par rapport à

l’axe neutre de l’échantillon et de 𝑅𝑚𝑎𝑥 par rapport aux bords. On parcourt ensuite

les 4 boîtes, et pour chaque élément i on calcule les déformations dans les trois

directions (1 longitudinal et 2 transversales) entre les instants 𝑡0 et 𝑡𝑛 :

{

𝜀𝑥𝑥

𝑖 = 𝑥𝑛

𝑖 − 𝑥0𝑖

𝑥0𝑖

𝜀𝑦𝑦𝑖 =

𝑦𝑛𝑖 − 𝑦0

𝑖

𝑦0𝑖

𝜀𝑧𝑧𝑖 =

𝑧𝑛𝑖 − 𝑧0

𝑖

𝑧0𝑖

[3.5]

Ensuite, on calcule la moyenne de ces déformations sur tous les éléments.

Ainsi, on obtient une déformation longitudinale moyenne (𝜀��𝑥) et deux

déformations transversales moyennes (𝜀��𝑦 et 𝜀��𝑧). La valeur de ν est alors calculée

dans les deux directions transverses comme suivant :

𝜈 = −𝜀��𝑦

𝜀��𝑥 ou 𝜈 = −

𝜀��𝑧

𝜀��𝑥 [3.6]

3.3.3 Résultats

Le comportement macroscopique du béton est fonction des paramètres α, β

et γ qui interviennent dans les relations micro-macro (paragraphe 2.4.1). Un jeu de

ces paramètres a été identifié dans la thèse de [Rousseau, 2009] sur le même

modèle en utilisant le même algorithme de maillage de Jerier mais avec une


83

version améliorée et assez fortement modifiée, et à partir d’un maillage éléments

finis généré par un mailleur différent:

{𝛼 = 3.7 𝛽 = 2.198 𝛾 = 3.79

[3.7]

En réalisant un essai de compression élastique avec E=30 GPa et ν=0.2, on

obtient un module d’Young de l’ordre de 41 GPa, ce qui est très loin de la valeur

visée. Le calcul du coefficient de Poisson par l’approche globale donne ν=0.183, et

avec la méthode locale on obtient ν=0.17. On constate qu’en changeant l’algorithme

de génération du maillage ED, et pour des rapports Rmax/Rmin différents, on aura

besoin de réidentifier les paramètres α, β et γ. Cela est nécessaire afin de

reproduire les caractéristiques élastiques imposées dans le jeu de données initial

et qui entrent dans le calcul des raideurs locales au niveau des interactions.

3.3.4 Identification des raideurs locales

Cette procédure est réalisée dans le but de calibrer les paramètres α, β et γ

pour une coordinance fixée à 12. Les équations 2.7 montrent que les raideurs

locales dépendent de la taille des éléments (𝐷𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑏 ). On vérifiera également la

nécessité de réidentifier du jeu de paramètres pour chaque finesse du maillage.

Les équations 2.4 (cf. paragraphe 2.4.1) montrent que le coefficient de

Poisson ν est fonction du rapport 𝐾𝑠/𝐾𝑛, alors que le module d’Young E dépend

non seulement de ce rapport mais aussi de la raideur normale 𝐾𝑛. Par la suite on

va définir le module d’Young 𝐸0 obtenu pour 𝐾𝑠/𝐾𝑛= 1. Le rapport entre E et 𝐸0

sera écrit pour adimensionner le module d’Young E pour qu’il soit fonction du

rapport entre 𝐾𝑠 et 𝐾𝑛 seulement :

{

𝐸

𝐸0=

𝛼 + 1

𝛼 +𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝛽𝛾 +

𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝛽𝛾 + 1

𝜈 = 1 −

𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝛼 +𝐾𝑠

𝐾𝑛

𝑜ù 𝐸0 = 𝐷𝑖𝑛𝑖𝑡

𝑎𝑏

𝑆𝑖𝑛𝑡 𝐾𝑛

𝛽 + 1

𝛼 + 1 [3.7]


84

En faisant varier le rapport entre 𝐾𝑠 et 𝐾𝑛 de 0 à 1 avec un pas de 0.1, on

lance une simulation de compression simple pour chacune de ces valeurs. Ensuite,

on traite les résultats pour déterminer :

- le coefficient de Poisson par les deux approches : locale (Figure 3.7) et

globale (Figure 3.8).

- le module d’Young en calculant la pente de la courbe contrainte déformation

(Figure 3.9).

Ensuite, on reporte sur une courbe l’évolution du rapport E/𝐸0 et du

coefficient de Poisson calculés en fonction du rapport 𝐾𝑠/𝐾𝑛 et on les compare à

leur évolution suivant les formules analytiques présentées dans l’équation 3.7. La

stratégie de calibration est la suivante :

- le paramètre α détermine seul l’allure de la courbe de ν.

- le rapport 𝛽/𝛾 est ajusté pour que l’évolution numérique du rapport 𝐸/𝐸0

soit le plus proche de son évolution analytique. Puis on détermine le couple (β, γ)

qui permet de reproduire le module d’Young fixé dans le jeu de donné.

Figure ‎3.7 - Comparaison de l’évolution de ν analytique et la courbe de ν numérique obtenue

par l’approche locale


85

Figure ‎3.8 - Comparaison de l’évolution de ν analytique et la courbe de ν numérique obtenue

par l’approche globale

Figure ‎3.9 - Evolution du rapport E/E0 analytique et de la courbe E/E0 numérique

On obtient le jeu de paramètres suivant avec l’approche locale:

{

𝛼 = 4.24 𝛽 = 3.4524𝛾 = 5.04

[3.8]

Et avec l’approche globale on obtient:


86

{𝛼 = 4.0 𝛽 = 3.1552𝛾 = 4.93

[3.9]

On remarque d’après les figures 3.7 et 3.8 que le calcul du coefficient de

Poisson par l’approche locale donne des valeurs très proches dans les deux

directions transverses y et z. Tandis qu’avec l’approche globale, le coefficient de

Poisson dépend de la direction transverse choisie. Pour la suite, on a adopté les

paramètres identifiés par l’approche locale pour réaliser les essais de

compression-traction simples.

Dans le but de valider ce jeu de paramètres, le même essai de compression

simple a été refait avec tous les maillages présentés dans le tableau 3.1. Ensuite on

a déterminé les valeurs de E et ν numériques pour des valeurs d’entrée : E=30 GPa

et ν=0.2. Les résultats sont présentés dans le tableau 3.2 et les figures 3.10 et 3.11.


par côté

Nombre total des ED

ν (local) moyen

E numérique (GPa)

Erreur relative

sur ν (%)

Erreur relative

sur E (%)

3 3384 0.1956 29.22 2.2 2.6

4 9218 0.2001 30.27 0.03 0.9

5 16405 0.1996 31.05 0.23 3.5

6 24426 0.1972 31.55 1.4 5.17

7 48243 0.1992 31.78 0.43 5.93

Tableau ‎3.2 - Calcul de E et ν pour différentes finesses du maillage EF avec les erreurs

relatives en %

Figure ‎3.10 - Evolution due E en fonction de la finesse du maillage EF


87

Figure ‎3.11 - Evolution de ν en fonction de la finesse du maillage EF

Après avoir identifié les paramètres α, β et γ, il faut vérifier le comportement

élastique pour des éprouvettes de différentes dimensions et formes (Tableau 3.3)

Leurs maillages sont représentés dans la figure 3.12. Les mesures de E et ν

montrent une bonne reproductibilité des valeurs mises en jeu : E=30 GPa et ν=0.2.

En effet, l’erreur maximale relative sur la mesure de E est inférieure à 5% et celle

de ν est inférieure à 6%, ce qui représente une bonne reproductibilité des

caractéristiques élastiques pour différentes géométries avec différentes

dimensions.

N°

éprouvette

Hauteur

(m)

Longueur

(m)

Largeur

(m) ν

E

(GPa)

Erreur

relative

sur ν (%)

Erreur

relative

sur E (%)

1 0.6 0.3 0.3 0.2081 31.14 4.05 3.8

2 0.4 0.4 0.4 0.2097 31.38 4.85 4.6

3 0.25 0.5 0.5 0.1969 30.73 1.55 2.43

4 0.25 0.25 0.25 0.2123 29.06 5.9 3.13

Tableau ‎3.3 - Calcul de E et ν pour différentes éprouvettes

(a) (b) (c) (d) (e)

Figure ‎3.12 - Différentes éprouvettes utilisées: (a) Eprouvette utilisée lors de l’identification

linéaire - (b), (c), (d) et (e) représentent respectivement les éprouvettes 1,2,3 et 4


88

3.3.5 Conclusion

Avec la procédure d’identification, le nouveau jeu de paramètres α, β et γ

trouvé permet de reproduire les caractéristiques élastiques fixées pour le béton.

Elle est réalisée sur une éprouvette dont le maillage est suffisamment isotrope

avec une taille choisie la plus petite possible. Ensuite, l’identification a été validée

pour différentes finesses et les erreurs obtenues lors de calcul du module d’Young

et du coefficient de Poisson sont faibles. De même, on observe une très bonne

reproductibilité en calculant les caractéristiques élastiques pour différentes

éprouvettes de différentes formes et dimensions. Par suite, le modèle ED permet

de reproduire le comportement élastique réel du béton à différentes échelles et

particulièrement à l’échelle d’une grande structure en béton.

3.4 Non linéarité

3.4.1 Simulation d’un essai de compression simple

Les travaux de (Rousseau, 2009] ont montré que les paramètres locaux du

modèle qui influencent le comportement non linéaire macroscopique sont : la

cohésion 𝐶0, la limite locale de traction T et l’adoucissement ζ (paragraphe 2.4.5).

En utilisant les valeurs recommandées par ces travaux pour ces paramètres, on a

simulé le comportement non linéaire en compression simple sur la même

éprouvette utilisée pour identifier les paramètres élastiques.

(a) (b)

Figure ‎3.13 - (a) Courbe de compression simple et (b) l’endommagement de l’éprouvette


89

Les résultats présentés dans la figure 3.13 montrent une forte chute de la

courbe contrainte-déformation dans la partie post-pic. Cela signifie que le

comportement du modèle ED est trop fragile en compression. Dans ce dernier cas,

la rupture de l’éprouvette a lieu par effet de Poisson dans la direction transverse :

des contraintes de traction transversales apparaissent entrainant

l’endommagement et la rupture de l’éprouvette. Il faut noter que dans notre

modèle, l’endommagement est défini comme le nombre de liens cassés sur le

nombre de liens initialement créés.

Localement au niveau de l’interaction cohésive entre deux éléments discrets,

le paramètre ζ contrôle le caractère adoucissant du comportement en traction

(paragraphe 2.4.5). L’augmentation de ζ permet au lien d’atteindre la même limite

locale de traction T mais il met plus de temps à rompre. Donc on peut augmenter

sa valeur afin d’avoir un comportement suffisamment ductile en compression.

Pour vérifier cela, une étude de sensibilité au paramètre ζ du comportement non

linéaire en compression et traction simples a été réalisée. On a utilisé un jeu de

paramètres fixe mais arbitraire (Tableau 3.4) notre objectif n’étant pas de

représenter un béton particulier mais juste d’étudier l’influence de chaque

paramètre individuellement. En changeant la valeur de chaque paramètre, on peut

voir son influence sur la forme de la courbe contrainte déformation.

E ν T 𝑪𝟎 ζ Ф𝒊, Ф𝒄

30 GPa 0.2 2.5 MPa 4 MPa 4 5°

Tableau ‎3.4 - Jeu de paramètres utilisé dans l’étude de sensibilité

Figure ‎3.14 - Essai de (a) compression et (b) traction pour ζ=4, ζ=10 et ζ=30


90

La figure 3.14 montre qu’en augmentant la valeur de ζ de 4 jusqu’à 30, la

courbe contrainte-déformation change autant en compression qu’en traction. En

effet, la partie post-pic de la courbe de compression devient plus douce pour un

adoucissement élevé, et la contrainte limite de compression augmente d’une façon

importante. En traction, la contrainte limite augmente d’un facteur 2 mais un

comportement plastique apparaît dans la partie de la courbe avant le pic. On peut

donc avec ce paramètre augmenter la ductilité en compression cependant le

résultat n’est pas en accord avec le comportement expérimental du béton en

traction simple.

L’étude de sensibilité sur les différents paramètres des lois d’interactions

non-linéaires locales est présentée dans les figures 3.15, 3.16, 3.17 et 3.18. Les

résultats sont les suivants :

- En passant de T=2.5 MPa à T=5 MPa, la contrainte limite de traction est

doublée (Figure 3.15). De même en compression, le pic de compression augmente

de 70% avec un très léger changement de la phase post-pic. Dans les deux cas,

l’allure de la courbe reste inchangée.

- En doublant la valeur de la cohésion 𝐶0 (de 4 MPa à 8 MPa), on observe que

la courbe de traction reste inchangée ce qui parait logique puisque le critère de

cisaillement n’est pas activé dans cet essai. En revanche, la courbe de compression

est légèrement changée avec une augmentation de 5% de la contrainte limite de

compression, et la phase post-pic semble faiblement changée (Figure 3.16).

- Les figures 3.17 et 3.18 montrent que les angles de frottement interne Ф𝑖 et

de contact Ф𝑐 n’ont aucune influence visible sur le comportement en compression

et en traction.

Figure ‎3.15 - Essai de (a) compression et (b) traction pour T=2.5 MPa et T=5 MPa


91

Figure ‎3.16 - Essai de (a) compression et (b) traction pour 𝑪𝟎 =4MPa et 𝑪𝟎=8 MPa

Figure ‎3.17 - Essai de (a) compression et (b) traction pour Ф𝒊 = 5° et Ф𝒊 = 10°

Figure ‎3.18 - Essai de (a) compression et (b) traction pour Ф𝒄 = 5° et Ф𝒄 = 10°


92

D’après les tests de sensibilités, on peut conclure que l’adoucissement ζ et la

limite locale de traction T ont une grande influence sur le comportement en

compression et en traction, tandis que la cohésion 𝐶0 n’a d’influence qu’en

compression. Cependant ces paramètres ne permettent pas de reproduire la

ductilité de la phase post-pic obtenue expérimentalement. Le but final est de

pouvoir trouver un jeu de paramètres avec lesquels on peut reproduire le

comportement de traction et de compression en même temps.

La seule possibilité est d’agir sur le paramètre d’adoucissement ζ en

l’augmentant afin d’assurer un comportement assez ductile en compression.

Cependant, en traction la contrainte limite augmente et le comportement devient

très plastique, ce qui n’est pas en accord avec le comportement expérimental du

béton. De même il faut avoir un modèle ED capable de bien reproduire le rapport

entre les contraintes limites locales de compression et de traction 𝜎𝑐/𝜎𝑡, et dans le

cas de bétons à faible coefficient de Poisson ce rapport peut atteindre une valeur

de 10. Avec le modèle actuel, on ne peut pas trouver un jeu de paramètres

permettant d’obtenir à la fois ce rapport et une ductilité en compression suffisante.

Nous allons proposer et tester par la suite deux méthodes pour pallier à ce

problème: l’augmentation de la coordinance et l’introduction de la Loi de Transfert

de Moment entre les ED en interaction.

3.4.2 Augmentation de la coordinance

On a vu dans le paragraphe 2.3.1 que la coordinance, ou le nombre moyen

d’interactions par ED intervient sur les coefficients à utiliser pour obtenir le

comportement élastique du béton. Nous allons également chercher à déterminer

l’influence de la coordinance sur le comportement non-linéaire du modèle. Pour

réaliser cette étude, on a simulé deux essais de compression simple avec des

caractéristiques élastiques constantes E=30 GPa et ν=0.2: la première avec une

coordinance égale à 12, et la deuxième avec une coordinance égale à 24. Le

coefficient d’interaction λ est ajusté à chaque fois pour avoir la valeur désirée de la

coordinance mesurée sur les éléments intérieurs du maillage. Les résultats sont

présentés dans la figure 3.19.


93

Figure ‎3.19 - Courbes contrainte-déformation de compression pour différentes

coordinances.

On remarque une augmentation importante du pic de contrainte 𝜎𝑐 qui passe

de 35 MPa à 112 MPa en augmentant la coordinance de 12 à 24. De même la pente

post-pic devient moins abrupte ce qui signifie une amélioration de la ductilité du

modèle. Physiquement, lors du comportement fragile correspondant à une

coordinance égale à 12, la propagation des fissures est brusque entrainant la chute

de la contrainte axiale et par suite on obtient une pente raide dans la phase post-

pic. D’autre part, lorsqu’on définit une coordinance double, la propagation de

l’endommagement est moins rapide comme chaque élément discret est tenu par un

grand nombre d’interactions et par conséquent, le temps pour atteindre des

grandes valeurs d’endommagement proches de 1 est plus grand.

Figure ‎3.20 - Courbes contrainte-déformation de traction pour différentes coordinances.


94

Ceci peut expliquer l’influence de la coordinance qui se traduit par

l’augmentation du pic de compression et la diminution de la pente de la phase

post-pic. Cependant doubler le nombre d’interactions total augmente d’une façon

très importante le coût de calcul : le temps CPU a augmenté d’un facteur 3 sur

l’exemple traité en doublant la coordinance de 12 à 24. Cela paraît très coûteux en

termes de temps de calcul lors de la réalisation des simulations sur des structures

en béton. Notre objectif final est d’avoir un modèle numérique discret capable de

prédire le comportement dynamique des structures en béton. Cela est envisagé

tout en gardant le compromis qualité des résultats/coût de calcul. On constate que

les contraintes-limites en traction 𝜎𝑡 et de compression 𝜎𝑐 augmentent d’environ 3

fois en doublant la coordinance (Figures 3.19 et 3.20), ce qui garde toujours le

rapport 𝜎𝑐/𝜎𝑡 constant. Il suffit donc pour récupérer les pics initiaux de contrainte

de diviser par ce même rapport la cohésion 𝐶0 et la limite locale de traction T.

Cependant, l’augmentation de la coordinance nous semble une solution trop

coûteuse pour reproduire le bon comportement du béton.

3.4.3 Loi de Transfert de Moment (LTM)

3.4.3.1 Introduction

Comme on a vu précédemment, la méthode aux éléments discrets a été

conçue essentiellement pour modéliser le comportement des milieux granulaires.

Les éléments sphériques, comme dans notre cas, sont les plus utilisées en raison de

la facilité pour détecter les contacts et les interactions au cours du calcul. Le

comportement de l’assemblage discret est régi par les forces locales agissant aux

points de contact, et les vitesses de rotations des éléments sont uniquement

modifiées par les efforts tangentiels. Cela aboutit à une résistance au cisaillement

clairement inférieure à celle des matériaux granulaires réels [Bardet, 1994 ;

Chareyre, 2003].

Plusieurs auteurs ont proposé des solutions pour pouvoir reproduire la

résistance au cisaillement réel. On peut citer Potyondi et Cundall [1999] qui ont

proposé l’utilisation de groupes d’éléments collés appelés « clusters » qui ont

comme effet de limiter la rotation des éléments. D’autres comme [Calvetti et al.,

2003] ont bloqué les rotations des éléments dans le but d’obtenir un angle de


95

frottement macroscopique plus grande et réaliste en même temps tout en gardant

la forme sphérique des éléments.

Pour les matériaux cohésifs comme le béton, on peut se demander si la forme

sphérique des éléments pose un problème de roulement excessif non représentatif

de la réalité. En s’inspirant, des travaux réalisés pour les milieux granulaires, on

peut tester l’effet de ces solutions limitant le roulement sur la ductilité du béton.

La première option consiste à utiliser des éléments discrets de formes

complexes polyédriques voire des clusters pour les limiter les rotations des

éléments. Mais cette solution nécessite des développements importants sur le code

que nous utilisons actuellement et surtout elle engendre des coûts de calcul

beaucoup plus importants.

La deuxième proposition consiste à bloquer les rotations des éléments

discrets. Hentz [2003] a montré l’efficacité du blocage des rotations dans

l’augmentation du rapport entre les contraintes limites de compression et de

traction tout en assurant un comportement suffisamment ductile en compression.

Les résultats obtenus sont corrects à l’échelle de la structure ([Hentz, 2003],

[Plassiard et al., 2004]) mais le phénomène de cisaillement n’est alors contrôlé

localement que par le phénomène de glissement. Cet aspect peut donner lieu à des

résultats non réalistes pour les matériaux cohésifs lors de la modélisation d’une

poutre de béton [Hentz 2003] ou lors de simulations d’essais triaxiaux sur

matériaux pulvérulents [Iwashita et Oda 1998].

Une troisième option consiste à rajouter une action mécanique s’opposant au

roulement entre les éléments sphériques. Une loi de transfert de moment (LTM) a

été proposée par Plassiard [2007], loi assez similaire à celle proposée par Iwashita

et Oda [1998] dans le cas des milieux granulaires. En effet, le phénomène de

cisaillement n’est plus contrôlé que par le phénomène de glissement entre les

éléments, mais aussi par le mouvement de roulement [Oda, 1982]. Nous allons

retenir pour la tester cette option qui conserve la forme sphérique des ED. La loi de

comportement devra être modifiée en tenant compte d’un moment opposé au

roulement afin de la limiter. La loi de transfert de moment (LTM) qu’on a

implantée dans notre modèle béton est inspirée de celle proposée par Plassiard, et

sera détaillée dans la suite.


96

Il faut noter aussi qu’il est indispensable d’introduire la LTM pour modéliser

les éléments d’armatures lors du chargement dans les structures en béton armé.

En effet, ces armatures sont modélisées avec une rangée d’éléments discrets et

pour être capable de reproduire le comportement en flexion de cette armature, il

est nécessaire d’utiliser cette loi. Des travaux sur le modèle ED de l’acier ont été

réalisés dans la thèse de Rousseau [2009].

3.4.3.2 Définition du roulement entre deux éléments

Au niveau du lien, le roulement dépend de la rotation relative entre deux

éléments discrets. Dans le cas le plus simple où les deux éléments sont de même

taille, le roulement est obtenu par la rotation différentielle entre les deux éléments

en interaction. Ce n’est pas notre cas car la distribution des tailles est polydisperse.

Figure ‎3.21 - Evolution du contact entre deux éléments A et B entre deux instants t et t+dt.

On va exprimer les équations ci-dessous dans le repère global G afin de

formuler les relations correspondant aux modifications des lois constitutives par la

loi de transfert de moment (LTM). On considère deux éléments A et B en

interaction pouvant être de type contact ou de type lien cohésif. Les calculs sont

ramenés aux points de contact : point C pour l’interaction contact (Figure 3.21), et

le point Pc pour le lien cohésif (Figure 3.22).


97

Figure ‎3.22 - Détermination du point de contact P_c pour une interaction de type lien

Les deux éléments A et B ont des rayons respectifs 𝑟𝐴 et 𝑟𝐵. Dans le repère

global, à l’instant t, leur position est définie par les vecteurs positions 𝑥𝐴 et 𝑥𝐵 , et

les vecteurs rotations notées 𝜔𝐴 et 𝜔𝐵 . Les vecteurs vitesses de rotations sont

nommées ��𝐴 et ��𝐵

, alors que les incréments de rotation durant un pas de temps dt

sont donnés par 𝑑𝜔𝐴 et 𝑑𝜔𝐵

. Le vecteur normal de contact au point C au temps t

est défini par �� dirigé de A vers B. Dans la configuration à t+dt, le nouveau point de

contact est au point C’ et le nouveau vecteur normal de contact est nommé 𝑛′ .

Pour calculer le roulement, il faut calculer les deux parties qui interviennent

dans ce phénomène : la rotation et le glissement. On considère les deux points 𝐶𝐴 et

𝐶𝐵 définie de la manière suivante dans la configuration à t+dt (Figure 3.22):

{𝐴′𝐶𝐴 = 𝐴𝐶

𝐵′𝐶𝐵 = 𝐵𝐶 [3.10]

Les vecteurs 𝐶′𝐶𝐴 et 𝐶′𝐶𝐵 correspondent au mouvement de translation et au

glissement pour chaque sphère :

{𝐶′𝐶𝐴 = 𝑟𝐴(�� − 𝑛′ )

𝐶′𝐶𝐵 = 𝑟𝐵(𝑛′ − �� ) [3.11]

Chaque élément est repéré par un point matériel au cours de son

mouvement. Au temps t, le point matériel des deux éléments est le même et se


98

situe au point C. Au temps t+dt, et après rotation de chaque élément, les points

matériels de A et B se trouvent respectivement aux points 𝑀𝐴 et 𝑀𝐵 déterminés

par les vecteurs suivants :

{𝐶𝐴𝑀𝐴 = 𝑟𝐴 𝑑𝑡 ��𝐴

˄ ��

𝐶𝐵𝑀𝐵 = −𝑟𝐵 𝑑𝑡 ��𝐵

˄ �� [3.12]

Par suite, on peut calculer les positions de MA et MB par rapport au point de

contact C’ :

{𝐶′𝑀𝐴 = 𝐶′𝐶𝐴 + 𝐶𝐴𝑀𝐴

= 𝑟𝐴((�� − 𝑛′ ) + 𝑑𝑡 ��𝐴 ˄ �� )

𝐶′𝑀𝐵 = 𝐶′𝐶𝐵 + 𝐶𝐵𝑀𝐵

= 𝑟𝐵((𝑛′ − �� ) − 𝑑𝑡 ��𝐵 ˄ �� )

[3.13]

Dans le cas particulier d’un assemblage monodisperse où tous les éléments

sont de même taille, on a 𝑟𝐴= 𝑟𝐵 = r. Dans ce cas, le vecteur de roulement

incrémental dUr s’écrit d’une manière simplifiée :

𝑑𝑈𝑟 = 𝐶′𝑀𝐴 + 𝐶′𝑀𝐵

2=

𝑟

2(��𝐴 + ��𝐵

)˄�� 𝑑𝑡 [3.14]

En revanche, dans notre cas l’assemblage est polydisperse avec un rapport

maximal égal à 3 entre le rayon maximal et le rayon minimal de l’assemblage. En

considérant que la dispersion des rayons n’est pas trop importante, on peut

considérer que le vecteur incrémental de roulement peut être calculé toujours par

la moyenne des deux vecteurs C′MA et 𝐶′𝑀𝐵

pour un modèle bidimensionnel

[Iwashita et Oda, 1998]. On supposera par la suite que cette hypothèse reste

valable pour notre modèle tridimensionnel :

𝑑𝑈𝑟 = 𝐶′𝑀𝐴 + 𝐶′𝑀𝐵

2=

1

2[ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵)(�� − 𝑛′ ) + 𝑑𝑡 (𝑟𝐴��𝐴

− 𝑟𝐵��𝐵 )˄�� ] [3.15]

Comme le roulement est lié à la rotation relative des éléments, on peut

déduire le vecteur angulaire de roulement incrémental 𝑑𝜃𝑟 à partir du vecteur

incrémental de roulement:

𝑑𝜃𝑟 =

‖𝑑𝑈𝑟 ‖

𝑟 𝑛𝑑𝜃𝑟 [3.16]

où r représente le rayon moyen des deux éléments et 𝑛𝑑𝜃𝑟 est le vecteur unitaire

portant la direction du vecteur 𝑑𝜃𝑟 :


99

𝑟 = 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵

2 [3.17]

𝑛𝑑𝜃𝑟 =

𝑛′ ˄ 𝑑𝑈𝑟

‖𝑛′ ˄ 𝑑𝑈𝑟 ‖ [3.18]

Le vecteur angulaire de roulement 𝜃𝑟 est donc calculé en faisant la somme

des incréments 𝑑𝜃𝑟 depuis la création du contact, et à partir de ce vecteur on va

exprimer le vecteur moment appliqué pour limiter le roulement :

𝜃𝑟 = ∑𝑑𝜃𝑟

[3.19]

Il faut noter que le mouvement de pivotement est négligé c.à.dire qu’il n’y a

pas de moment appliqué dû à la rotation relative autour de la normale �� .

3.4.3.3 Calcul du moment de roulement

La LTM introduite utilise un modèle élasto-plastique présenté dans la figure

3.23. La partie élastique correspond au contrôle de la raideur du roulement par la

LTM, et la deuxième partie est liée à une valeur limite imposée au moment de

roulement.

Figure ‎3.23 - Modèle élasto-plastique pour le moment de roulement.

Le modèle de roulement est constitué de deux phases chacune décrite par un

paramètre : l’élasticité par la raideur de roulement 𝐾𝑟 , et la plasticité par le


100

moment plastique limite de roulement 𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠. Le déchargement dans la partie

plastique se fait linéairement avec un roulement irréversible jusqu’au point C

suivant une pente égale à 𝐾𝑟 . Pour tenir compte des cycles de chargement-

déchargement, le modèle doit tenir compte du roulement dans le sens inverse

(partie CD). Un modèle similaire a été utilisé et validé par [Ai et al., 2011] dans le

cadre d’étude du comportement des milieux granulaires. Le modèle doit être

capable de reproduire les phénomènes cycliques mis en jeu dues aux charges

cycliques lors des impacts dynamiques sur les structures.

Pour calculer le moment de roulement 𝑀𝑟 , on n’utilise que la partie

correspondant au roulement du vecteur 𝜃𝑟 et on ne tient pas compte du

pivotement. En d’autres termes, dans le modèle de comportement associé au

roulement, la valeur de 𝜃𝑟𝐿 correspond au vecteur 𝜃𝑟

projeté sur le plan

perpendiculaire au vecteur normal 𝑛′ :

𝜃𝑟𝐿 = ‖𝜃𝑟

− (𝜃𝑟 . 𝑛′ )𝑛′ ‖ [3.20]

Une fois la valeur de 𝜃𝑟𝐿 connue, nous pouvons calculer la norme du moment

produit par le roulement sous l’hypothèse d’écrouissage isotropique dans le plan

de contact. Le moment 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝐿 est lors calculé comme suivant :

𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝐿 = 𝐾𝑟(𝜃𝑟

𝐿 − 𝜃𝑝) [3.21]

où 𝜃𝑝 représente les irréversibilités angulaires de roulement dans la phase

plastique.

𝑠𝑖 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝐿 > 0

{

𝑠𝑖 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡

𝐿 < 𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑀𝑟 = 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝐿

𝑠𝑖 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝐿 > 𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 {

𝑀𝑟 = 𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠

𝜃𝑝 = 𝜃𝑟𝐿 −

𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠

𝐾𝑟

𝑠𝑖 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝐿 < 0

{

𝑠𝑖 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡

𝐿 > −𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑀𝑟 = 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝐿

𝑠𝑖 𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝐿 < −𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 {

𝑀𝑟 = 𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠

𝜃𝑝 = 𝜃𝑟𝐿 +

𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠

𝐾𝑟

Tableau ‎3.5 - Calcul du moment de roulement


101

L’irréversibilité signifie que les deux éléments discrets en interactions ne

peuvent pas revenir à leur configuration initiale même si l’énergie élastique de

roulement est entièrement restituée. La valeur de 𝜃𝑝 est initiée à zéro, mais à

chaque itération on vérifie si le comportement devient plastique pour calculer la

valeur de l’irréversibilité angulaire comme présenté dans le tableau 3.5.

Le vecteur moment de roulement 𝑀𝑟 est déterminé à partir de la valeur 𝑀𝑟

calculée et du vecteur unitaire 𝑛𝑀𝑟 qui porte la direction du moment comme

suivant :

𝑀𝑟 = 𝑀𝑟 𝑛𝑀𝑟

[3.22]

𝑛𝑀𝑟 =

𝜃𝑟 − (𝜃𝑟 . 𝑛′ )𝑛′

‖𝜃𝑟 − (𝜃𝑟 . 𝑛′ )𝑛′ ‖

[3.23]

Il nous reste d’exprimer la raideur 𝐾𝑟 et le seuil plastique 𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠 en fonction

des caractéristiques géométriques de l’interaction et des propriétés élastiques et

non-linéaires des lois de comportement locales. Cela sera détaillé dans le

paragraphe suivant.

3.4.3.4 Calcul de la raideur et du seuil plastique de roulement

Pour définir la raideur de roulement 𝐾𝑟 , on va se servir de l’analogie d’une

poutre équivalente entre les deux éléments au point de contact (Figure 3.24) pour

proposer une expression. On va considérer le cas général d’une interaction

cohésive entre deux éléments A et B, et on va calculer les rayons fictifs 𝑟′𝐴 et 𝑟′𝐵

des sphères tenant compte du nouveau point de contact 𝑃𝑐 .

{𝑟′𝐴 = 𝑟𝐴 +

1

2 (𝐷𝑎𝑏 − (𝑟𝐴 + 𝑟𝐵)

𝑟′𝐵 = 𝑟𝐵 + 1

2 (𝐷𝑎𝑏 − (𝑟𝐴 + 𝑟𝐵)

[3.24]


102

Figure ‎3.24 - Analogie d’une poutre composée par les deux éléments en interaction

On considère que la rigidité de roulement est assurée par une poutre

circulaire de rayon R = min(𝑟𝐴, 𝑟𝐵). En faisant le calcul de moment fléchissant

autour de l’axe z, et dans l’hypothèse des petites déformations, on obtient :

𝑀𝑓 = 𝐸 𝐼𝑧𝑧 𝑦’’ = 𝐸 𝐼𝑧𝑧 𝑑𝑦′

𝑑𝑥 = 𝐸 𝐼𝑧𝑧

𝑦𝐴′ − 𝑦𝐵

′

𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 [3.25]

Où E est le module d’Young et 𝐼𝑧𝑧 le moment quadratique de la poutre de

section circulaire :

𝐼𝑧𝑧 = 𝜋𝑅4

4 [3.26]

En faisant l’analogie entre la déformation de la poutre et la rotation relative

des deux éléments, on peut considérer le terme 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 comme équivalent à la

distance 𝐷𝑎𝑏 et le terme 𝑦𝐴′ − 𝑦𝐵

′ est équivalent à la rotation relative entre les deux

sphères 𝑑𝜃 = 𝑑𝜃𝐴 − 𝑑𝜃𝐵 . Le moment fléchissant s’écrit alors comme suivant:

𝑀𝑓 = 𝐸 𝐼𝑧𝑧 𝑑𝜃

𝐷𝑎𝑏 [3.27]

On va considérer que le moment de roulement 𝑀𝑟 est proportionnel à ce

moment fléchissant 𝑀𝑓 par l’intermédiaire d’un coefficient de roulement


103

adimensionnel 𝛽𝑟 qui permet de régir la rigidité de roulement 𝐾𝑟 . Le paramètre 𝛽𝑟

est positif pour respecter le sens physique. 𝑀𝑟 et 𝐾𝑟 s’écrivent alors:

𝑀𝑓 = 𝛽𝑟𝑀𝑓 = 𝛽𝑟 𝐸 𝐼𝑧𝑧 𝑑𝜃

𝐷𝑎𝑏 [3.28]

𝐾𝑟 = 𝛽𝑟 𝐸 𝐼𝑧𝑧𝐷𝑎𝑏

[3.29]

D’autre part, le seuil plastique de roulement est calculé en considérant la

limite locale de traction T comme la résistance maximale de la section

correspondant au moment plastique 𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠. On va incorporer au modèle un

coefficient pondérateur adimensionnel nommé η pour contrôler la valeur du seuil

plastique de roulement en fonction du béton dont on veut reproduire le

comportement. Le seuil de roulement plastique est calculé tel que :

𝑀𝑝𝑙𝑎𝑠 = 𝜂 𝑇𝐼𝑧𝑧𝑟

[3.30]

La loi de transfert de moment au niveau de l’interaction est alors régie par le

couple de valeurs (𝛽𝑟 ; 𝜂). Suivant le matériau béton qu’on va modéliser, il faut

caler ces deux paramètres . Dans notre modèle, on a au total 5 paramètres à caler,

paramètres qui déterminent le comportement non-linéaire du béton : T, 𝐶0, 𝜁, 𝛽𝑟et

𝜂. Il faut signaler qu’il va falloir refaire l’identification linéaire du modèle c.à.dire

caler les paramètres α, β et γ en tenant compte de la LTM qui influence également

le comportement élastique.

3.4.3.5 Identification linéaire du modèle

Comme le coefficient de raideur de roulement 𝛽𝑟 intervient en élasticité, alors

il faut recaler les paramètres linéaires en tenant compte de la LTM. Le deuxième

paramètre de roulement 𝜂 lui n’aura aucune influence tant que le chargement reste

suffisamment faible pour rester dans la partie élastique. Il faut donc refaire une

étude de sensibilité des paramètres linéaires α, β et γ en fonction de 𝛽𝑟. Au début,

on va identifier ces paramètres pour 𝛽𝑟= 1, puis on va vérifier la modification du

module d’Young et du coefficient de Poisson pour des valeurs croissantes de 𝛽𝑟.


104

Tout d’abord, un essai de compression simple élastique est simulé en

utilisant comme paramètres linéaires ceux trouvés dans [3.9]. On a fixé 𝛽𝑟= 1 avec

des caractéristiques élastiques d’entrée E=30 GPa et ν = 0.2. Les résultats sont

indiqués dans le tableau 3.6, et montrent une grande erreur sur la mesure du

coefficient de Poisson. Cela signifie qu’on a besoin de reidentifier les paramètres

linéaires locaux du modèle pour tenir compte de l’influence de la LTM sur la

limitation de roulement des éléments discrets. Dans le cas de compression simple,

l’effet de roulement est surtout important dans la direction transverse, et la LTM

qui limite ce roulement change le coefficient de Poisson mesuré.

𝑬𝒎𝒆𝒔𝒖𝒓é (GPa) 𝝂𝒎𝒆𝒔𝒖𝒓é Erreur relative sur E

(%) Erreur relative sur

ν(%)

29.6 0.1585 1.33 20.75

Tableau ‎3.6 - Mesures de E et ν avec les paramètres linéaires trouvés dans [3.9] et en tenant

compte de la LTM

La stratégie consiste à identifier les paramètres linéaires locaux du modèle

pour 𝛽𝑟=1, et puis à déterminer la gamme de valeur de 𝛽𝑟 pour laquelle les erreurs

relatives sur les caractéristiques élastiques mesurées restent négligeables. Les

résultats de la procédure d’identification sont présentés dans le tableau 3.7. Ils

montrent que le jeu de paramètres locaux identifié α, β, γ est valide pour une

gamme de valeurs de 𝛽𝑟 allant de jusqu’à 50. Au-delà de 50, les erreurs relatives

sur E et ν deviennent très importantes, et on a besoin de reidentifier de nouveau

les paramètres à chaque fois qu’on change la valeur de 𝛽𝑟. On verra dans la suite

qu’on aura besoin d’une valeur de 𝛽𝑟 beaucoup plus petite que 50 afin de

reproduire le comportement macroscopique expérimental du béton.

Paramètres locaux identifiés

α = 4.4 β = 3.3361 γ = 4.57

𝜷𝒓 Erreur sur E (%) Erreur sur ν (%)

1 0.07 0.31

10 0.13 1.5

20 0.38 1.05

30 0.85 1.1

40 0.96 2.45

50 0.91 2.45

60 9.88 27.8

Tableau ‎3.7 - Erreurs sur E et ν mesurés pour différents coefficient de raideur 𝜷𝒓


105

De même, on vérifie la reproductibilité de E et ν en fonction de la finesse du

maillage (Tableau 3.8) et de la géométrie (Tableau 3.9). On trouve que l’erreur

maximale sur la mesure de ces paramètres élastiques est de moins de 6%, ce qui

est acceptable et montre une bonne reproductibilité de E et ν.


par côté

Nombre total des ED

ν (local) moyen

E numérique (GPa)

Erreur relative sur

ν (%)

Erreur relative

sur E (%)

4 9218 0.2002 30.01 0.1 0.03

5 16405 0.2016 29.8 0.8 0.67

6 24426 0.1978 30.3 1.1 1

7 48243 0.2008 31 0.4 3.33

Tableau ‎3.8 - Reproduction de E et ν pour différentes finesses du maillage EF

N°

éprouvette

Hauteur

(m)

Longueur

(m)

Largeur

(m) ν

E

(GPa)

Erreur

relative

sur ν (%)

Erreur

relative

sur E (%)

1 0.6 0.3 0.3 0.1977 31.1 1.15 3.67

2 0.4 0.4 0.4 0.2005 31.3 0.25 4.33

3 0.25 0.5 0.5 0.2034 29.1 1.7 3.0

4 0.25 0.25 0.25 0.189 30.8 5.5 2.67

Tableau ‎3.9 - Reproduction de E et ν pour différentes géométries

3.4.3.6 Identification non linéaire du modèle

a- Types de bétons à identifier

Dans la suite, le comportement uniaxial non-linéaire de trois types de béton

sera identifié : le béton R30A7 sec, le béton R30A7 humide à 42% et le béton C50

(Tableau 3.10). Le béton R30A7 ordinaire de référence est caractéristique de la

majorité des ouvrages existants, y compris les ouvrages sensibles (barrages,

centrales nucléaires…). Ce béton est formulé pour avoir une résistance en

compression simple à 28 jours de l’ordre de 30 MPa [Gabet, 2006 ; Vu, 2007].

D’autre part, le béton C50 est un BHP fabriqué par le laboratoire VTT (Technical

research center of Finland) dans le cadre du projet IRIS (IRIS, 2010-2012) [Vu,

2013].


106

Toutefois, en traction les informations sont limitées à une valeur de la

contrainte limite de traction 𝜎𝑡 déterminée à partir d’un essai de traction par

fendage. L’allure de la courbe contrainte-déformation n’est pas connue dans ce cas,

et donc on est obligé à faire des hypothèses sur le caractère ductile-fragile. Alors,

on va essayer de reproduire la contrainte limite en traction avec un comportement

assez fragile.

Béton E (GPa) ν 𝝈𝒄 (MPa) 𝝈𝒕 (MPa)

C50 30 0.2 67 4.7

R30A7 sec 26 0.16 42 3.8

R30A7 humide 42% 25 0.16 33.8 3.0

Tableau ‎3.10 - Paramètres non-linéaires identifiés pour trois types de béton.

b- Essais de sensibilité

Ces essais ont été réalisés sur le béton C50 déjà présenté. Il y a cinq

paramètres qui régissent le comportement non-linéaire du modèle : trois

paramètres des lois d’interactions locales (𝐶0, T, ζ) et deux coefficients

caractérisant la LTM (𝛽𝑟, η). On va choisir tout d’abord des valeurs pour les trois

premiers paramètres et les fixer (Tableau 3.11). Ensuite, on va étudier l’influence

des paramètres 𝛽𝑟 et η contrôlant la LTM sur le comportement macroscopique

ductile du béton en compression. Il faut trouver une couple de valeurs (𝛽𝑟, η)

assurant la bonne ductilité en compression. Une fois les valeurs de 𝛽𝑟 et η fixées,

on procède à l’identification des trois paramètres 𝐶0, T et ζ par des essais de

compression-traction uniaxiaux.

T (MPa) C0 (MPa) ζ

4 12 12

Tableau ‎3.11 - Paramètres non-linéaires fixés pour l’étude de sensibilité aux coefficients de

la LTM

La figure 3.25a montre les résultats des essais de compression simple pour

une valeur fixe du coefficient de raideur de roulement 𝛽𝑟 égale à 10 et pour

différentes valeurs du coefficient de roulement plastique η. On trouve que pour des

valeurs croissantes de η allant de 0.1 jusqu’à 25, le pic de contrainte augmente de

60 MPa jusqu’à 86 MPa et la pente post-pic devient de moins en moins abrupte. Par


107

suite, le coefficient η nous permettra de contrôler la pente post-pic pour une valeur

fixe de 𝛽𝑟.

Figure ‎3.25 - Etude de sensibilité des courbes de compression simple (a) au coefficient du

seuil plastique de roulement η et (b) au coefficient de raideur de roulement 𝜷𝒓

D’autre part, on a étudié l’influence de 𝛽𝑟 sur le pic de compression comme

présenté dans la figure 3.25b. On trouve que pour chaque valeur 𝛽𝑟 il y a une

valeur de η permettant d’obtenir la ductilité maximale du comportement c.à.dire

avoir la pente post-pic la moins raide. De même, le pic de contrainte augmente avec

la valeur de 𝛽𝑟 et on s’approche de la courbe correspondant au blocage des

rotations des éléments discrets du modèle. Cependant, on n’a pas tracé les courbes

au-delà de 𝛽𝑟=50 car cela nécessiterait de réidentifier les paramètres élastiques du

modèle à chaque fois.

Figure ‎3.26 - Influence de la LTM sur la courbe de traction simple


108

Il nous faut également vérifier l’influence de la LTM en traction (Figure 3.26).

On trouve qu’avec la LTM le pic de traction augmente avec une rupture légèrement

moins fragile. Cette faible modification peut être due au fait que sous un

chargement de traction, les éléments discrets ne roulent pas trop au contraire du

cas de compression simple où les éléments ont tendance à bien rouler et glisser.

La LTM maintient la ductilité du comportement et permet de reproduire un

rapport élevé entre la contrainte limite de compression 𝜎𝑐 et celle de traction 𝜎𝑡.

Nous avons pensé à trouver des valeurs conseillées de 𝛽𝑟 et 𝜂, et qui seront

fixes pour n’importe quelle type de béton et permettant d’assurer la ductilité

suffisante du comportement en compression. Par suite, il reste à caler que trois

paramètres : T, 𝐶0 et 𝜁. D’après les résultats présentés dans les figures 3.25 a et b,

on a choisi une couple de valeurs (𝛽𝑟, η) convenable pour reproduire le

comportement macroscopique ductile du béton, soit 𝛽𝑟=5 et η=5.

La procédure d’identification (Figure 3.27) consiste à identifier

l’adoucissement ζ et la limite locale de traction T sur un essai de traction simple,

puis on peut identifier le paramètre de cohésion 𝐶0 sur un essai de compression

simple. Les paramètres de frottement Ф𝑖 et Ф𝑐 n’ont pas beaucoup d’influence sur

le comportement du béton soit en compression ou en traction simple.

Figure ‎3.27 - Procédure d’identification des paramètres du modèle

Le tableau 3.12 présente les résultats de la procédure d’identification des

trois bétons avec les propriétés mécaniques reproduites. Les courbes contrainte-

déformation correspondant en compression et en traction à chaque béton sont

montrés dans les figures 3.28, 3.29 et 3.30.


109

Béton E

(GPa) ν

𝝈𝒄 (MPa)

𝝈𝒕 (MPa)

T (MPa)

𝑪𝟎 (MPa)

ζ

C50 30 0.2 67 4.7 3.65 14 13

R30A7 sec 26 0.16 42 3.8 2.3 4.5 6

R30A7 humide 42%

25 0.16 33.8 3.0 2.1 4.0 4

Tableau ‎3.12 - Paramètres non-linéaires identifiés pour trois types de béton.

Figure ‎3.28 - Courbes de (a) compression et de (b) traction uniaxiales identifiées pour le

béton C50


béton R30A7 sec


110


béton R30A7 humide à 42%

L’endommagement du béton numériquement correspond à celui d’un béton

réel : en compression des bandes de cisaillement apparaissent (Figure 3.31a), et en

traction on trouve un plan de rupture (Figure 3.31b).

Figure ‎3.31 - Endommagement lors des essais de (a) compression et de (b) traction

uniaxiales du béton R30A7 humide

La procédure d’identification non-linéaire a montré la capacité du modèle

élément discret à représenter le comportement réel du béton en compression et en

traction simples. La loi de transfert de moment (LTM) permet d’assurer la ductilité

en compression et de reproduire un rapport entre les contraintes limites de

compression et de traction élevé comme dans le cas du béton C50.

3.4.3.7 Influence de la taille des éléments

L’une des caractéristiques intrinsèques du béton est l’énergie de rupture 𝐺𝑓

qui est définie par l’énergie dissipée par unité de surface de la fissure.

Généralement, elle est déterminée à partir de l’essai de flexion trois points sur une

petite poutre entaillée (voir paragraphe 1.2.2.2). Une étude réalisé par Rousseau


111

[Rousseau, 2009] avec le modèle sans LTM trouvait que l’énergie de rupture est

proportionnelle à 𝑅3 où R est le rayon moyen du maillage, et qu’il fallait recaler le

paramètre d’adoucissement ζ pour garder l’énergie de rupture bien reproduite.

Cela pose un problème de reproduction du comportement macroscopique du

béton et notamment 𝐺𝑓 en fonction du maillage. Nous allons vérifier cette

influence de la taille du maillage, avec le modèle utilisant la LTM, sur la courbe

contrainte déformation du béton en traction simple.

Figure ‎3.32 - Courbes contrainte-déformation lors d’un essai de traction simple pour

différentes tailles d’éléments

La figure 3.34 montre l’essai de traction simple sur le béton R30A7 simulé

avec deux maillages : le premier considéré comme gros contient 8630 éléments de

rayon moyen 0.6 cm, et le deuxième très fin contient 48243 éléments et de rayon

moyen 0.34 cm. Les paramètres non-linéaires sont ceux déjà identifiés et indiqués

dans le tableau 3.12.

On remarque bien que la courbe contrainte-déformation reste quasiment le

même en changeant la taille des éléments du maillage. Cela montre bien la capacité

du modèle à reproduire l’énergie de rupture, qui est proportionnelle à l’aire sous la

courbe, indépendamment de la taille des éléments. La figure 3.33 montre

l’endommagement lors de l’essai de traction simple avec le maillage fin. En le

comparant avec celui du gros maillage (Figure 3.31), on trouve qu’on a un plan de

rupture dans les deux cas. En revanche, au contraire du gros maillage, le plan de

rupture est exactement au milieu dans le cas de maillage fin. Cela est dû à la

différence d’isotropie entre les deux maillages : quand l’isotropie est meilleure,


112

aucune direction de fissuration n’est privilégiée et la rupture aura lieu au niveau

du plan de symétrie.

Figure ‎3.33 - Création d’une fissure lors de l’essai de traction simple avec le maillage fin.

3.5 Conclusion

Dans ce chapitre, le comportement quasi-statique du notre modèle ED a été

étudié sur une éprouvette en béton à l’échelle macroscopique. Tout d’abord, il est

vu qu’en apportant des améliorations à l’algorithme de Jerier et en changeant le

rapport Rmax/Rmin, le jeu de paramètres élastiques du modèle identifié par

Rousseau [2009] n’est plus convenable. Un nouveau jeu de paramètres a été

identifié en réalisant des essais de compression uniaxiale quasi-statique sur un

maillage suffisamment isotrope. Une étude de reproductibilité a été montrée en

fonction de la finesse, la forme et les dimensions du volume maillé.

D’autre part, le comportement non linéaire du modèle présente une fragilité

très remarquable en compression simple. Le roulement des éléments sphériques

sous des efforts de cisaillement peut entraîner une propagation rapide de

l’endommagement et par suite aboutir à une rupture macroscopique fragile.

Ensuite, la loi de transfert de moment (LTM) a été introduite dans le modèle pour

limiter le roulement des éléments. Cette loi fait intervenir deux nouveaux

paramètres dans le modèle : une rigidité de roulement et une limite plastique du

roulement. Une étude de sensibilité sur ces deux paramètres a montré qu’on peut

adopter un jeu de valeurs et la fixer dans le modèle pour n’importe quel type de

béton.

Finalement, les comportements de trois types de béton en compression et en

traction uniaxiales ont été reproduits en identifiant les paramètres non-linéaires

du modèle. Les résultats montrent une très bonne ductilité en compression simple


113

et que le modèle est capable, après l’introduction de la LTM, de reproduire des

rapports élevés de la résistance en compression simple sur la résistance en

traction simple.

Dans le chapitre 4 suivant, le modèle sera validé en dynamique rapide en

simulant des essais expérimentaux d’écaillage utilisant la barre de Hopkinson.

Plusieurs essais mettant en évidence plusieurs niveaux de vitesses de déformation

seront simulés. L’objectif est de reproduire numériquement avec notre modèle

l’effet de vitesse trouvé expérimentalement.


114

115

CHAPITRE 4

_____________________________________________________________ __________

Modélisation des essais de traction dynamique du béton

__________________________ _____________________________________________

Dans le chapitre précédent, on a validé le modèle aux éléments discrets 3D

sur des essais quasi-statiques. Cependant, le domaine de nos applications concerne

le comportement dynamique des structures en béton armé sous des impacts

sévères. On a besoin alors de valider notre modèle sur des essais dynamiques à

l’échelle intermédiaire du laboratoire avant de passer à l’échelle structurelle.

Dans le chapitre 1, on a explicité le comportement du béton sous chargement

dynamique. Les résistances apparentes à la traction et à la compression dépendent

du taux de déformation.

Dans le cas de compression, Hentz [2003] a montré la capacité du modèle aux

éléments discrets à reproduire l’augmentation de la résistance dynamique avec

l’augmentation du taux déformation sans recourir à l’utilisation d’une quelconque

viscosité ou d’un temps caractéristique. Autrement dit, il a montré

numériquement que l’augmentation de résistance à la compression dynamique

résulte d’un effet structure. Cela correspond bien à l’hypothèse inertielle proposée

par Janach [1976]: en compression , le passage d’un état de déformation uniaxial à

un état de contrainte uniaxiale est accompagné d’un effet Poisson radial qui donne

lieu à des forces d’inertie confrontées par un confinement. Ce dernier est assuré

par la zone extérieure qui empêche le déchargement radial de la zone intérieure.


116

Dans le cas de traction, il reste à vérifier l’origine de l’effet de vitesse. Cet effet

a été considéré par plusieurs auteurs comme une propriété du matériau : pour

des taux de déformation inférieurs au seuil 𝜀 = 1 s−1, l’augmentation de la

résistance est due à l’effet visqueux de l’eau libre dans les micropores [Rossi,

1991], et au-delà de ce seuil l’augmentation est due à la propagation des

microfissures à travers les zones les plus raides [Zielinski, 1982]. Hentz [2003] a

simulé avec la méthode des éléments discrets des essais de traction dynamique et

a proposé un changement de la loi de comportement de traction en s’inspirant des

recommandations de la CEB. Il a validé le modèle en se basant sur la position des

plans de ruptures par rapport à la surface libre (Figure 4.1). Néanmoins, les

travaux réalisés par Erzar et Forquin [2010] ont montré que la fissuration de

l’échantillon est un caractère aléatoire et ne peut pas être prise comme critère

fiable de validation numérique. En effet, elle dépend fortement de la

microstructure et des défauts existants au niveau microscopique.

Figure ‎4.1 - Champ de vitesse dans l’échantillon en béton à la rupture [Hentz, 2003]

Dans la suite, nous allons présenter la modélisation des essais de traction

dynamique aux barres de Hopkinson sur le béton R30A7 humide. Deux parmi ces

essais ont été réalisés par Erzar et Forquin [2010] au LPMM à Metz, et deux autres

ont été réalisés dans le cadre de stage de Master de Antoniou [2014] que nous

avons encadré en collaboration avec Forquin au laboratoire 3SR à Grenoble. L’effet

de vitesse sera pris en compte en changeant la loi de comportement localement au

niveau de chaque interaction en se basant sur les recommandations de la CEB.

Ensuite les résultats seront comparés à ceux obtenus expérimentalement.


117

4.1 Données expérimentales

Le principe des essais d’écaillage a été présenté en détails dans le

paragraphe 1.2.3.2. Il consiste à utiliser un montage dérivé de l’essai classique aux

barres de Hopkinson. Lorsqu’un projectile impacte une barre d’entrée en alliage

d’aluminium, une impulsion de compression est générée dans la barre et se

propage jusqu’à l’interface barre-échantillon où une partie de l’onde est transmise

à l’éprouvette en béton et l’autre partie est réfléchie dans la barre. Des jauges de

déformations dans la barre permettent de mesurer les ondes incidentes et

réfléchies dans la barre ce qui permet de déduire l’onde de compression transmise

à l’éprouvette (Figure 4.2). Ensuite, l’impulsion de compression se propage dans

l’éprouvette jusqu’au bord libre où elle va se réfléchir en une onde de traction

croissante au cours du temps. La superposition de la partie réfléchie de l’onde avec

la partie encore en propagation conduit à l’écaillage de l’éprouvette.

Figure ‎4.2 - Schéma du montage de l’essai de traction dynamique par écaillage [Erzar et

Forquin, 2010]

Essai 𝜺 (𝒔−𝟏)

A 30

B 105

C 115

D 50

Tableau ‎4.1 - Gammes des taux de déformation mesurées pour 4 essais d’écaillage

Béton E

(GPa) ν

𝝈𝒄 (MPa)

𝝈𝒕 (MPa)

ρ (Kg/m3)

R30A7 humide 42% 25 0.16 33.8 3.0 2390

Tableau ‎4.2 - Propriétés mécaniques du béton R30A7 humide


118

Les essais réalisés correspondent à quatre gammes de vitesses de

déformation mesurées au cours des essais (Tableau 4.1). Le béton utilisé est le

béton R30A7 humide dont les propriétés mécaniques sont présentées dans le

tableau 4.2. Les éprouvettes sont cylindriques de diamètre 46 mm et de de

longueur 140 mm. Des jauges de déformations sont aussi placées directement sur

l’éprouvette, et reliées à un oscilloscope. De même, un extensomètre laser permet

de déterminer d’une manière très précise la vitesse en face arrière de béton au

cours du temps (Figure 4.3b). Les impulsions de vitesses transmises aux

éprouvettes sont déterminées à partir d’essais préliminaires (Figure 4.3a).

(a) (b)

Figure ‎4.3 - (a) Impulsions de vitesses appliquées sur la face avant de l’éprouvette en béton

et (b) les vitesses mesurées sur le bout libre de l’éprouvette pour 4 essais d’écaillage

Chaque impulsion de vitesses de la figure 4.3a est appliquée sur la face de

l’éprouvette en contact avec la barre d’entrée. L’intensité de l’impulsion doit être

telle que l’éprouvette ne soit pas détériorée en compression lors de la propagation

de l’onde incidente, et qu’elle soit endommagée en traction après la réflexion de

l’onde incidente sur le bord libre de l’échantillon. Au niveau du bord libre, la

vitesse de l’impulsion d’entrée est doublée. En d’autres termes, si on regarde la

figure 4.3b (instant t’m), on voit que la vitesse augmente progressivement jusqu’à

atteindre une valeur maximale en face arrière égale au double de la vitesse

maximale en face avant (figure 4.3a). Jusqu’à cet instant t’m, aucun

endommagement de compression dans l’éprouvette n’existe. Ensuite, la vitesse

diminue jusqu’à avoir la rupture par traction au moment où on a une vitesse de

rebond à l’instant t’n. Notons que si l’amplitude du signal de chargement n’est pas

suffisante pour que le signal réfléchi atteigne la résistance en traction de

l’échantillon, alors l’échantillon reste intact et le profil de vitesse sur la face arrière


119

sera le même que celui de la face d’entrée mais doublée tout en gardant la même

durée.

Dans la suite, afin de valider notre modèle, on a utilisé comme critères les

courbes de vitesse expérimentales enregistrées sur le bord libre de l’éprouvette en

béton. En effet, plusieurs raisons nous ont amenés à adopter ce choix :

- Les mesures effectuées par l’intermédiaire de l’extensomètre laser sont très

précises et fiables.

- Ces courbes tiennent compte de tous les phénomènes de réflexion et

superposition des ondes dans l’éprouvette qui amène à la rupture par écaillage. La

reproduction de ces courbes permet de valider le modèle tout en prenant en

compte tous ces phénomènes.

- La position des plans de rupture par rapport au bord libre est aléatoire et

dépend fortement des défauts de la microstructure de l’éprouvette du béton. Alors

elle ne peut pas être prise comme critère de validation de notre modèle.

4.2 Modélisation numérique des essais d’écaillage aux

barres de Hopkinson

4.2.1 Maillage

On a réalisé deux maillages : l’un est gros en gardant la notion de 4 tétraèdres

par diamètre du maillage aux éléments finis, et l’autre utilise 10 tétraèdres par

diamètre du maillage aux éléments finis. Les caractéristiques des deux maillages

sont décrites dans le tableau 4.3.

Maillage n° Nombre total

des ED Rayon moyen

(mm) Compacité

1 (gros) 6744 1.5 0.58

2 (fin) 60233 0.7 0.62

Tableau ‎4.3 - Propriétés mécaniques du béton R30A7 humide


120

Pour chacun des maillages, on règle le rayon d’interaction pour avoir une

coordinance égale à 12 et on vérifie l’isotropie (Figure 4.4).

Figure ‎4.4 - Orientation des interactions dans les trois plans principaux pour les deux

maillages gros et fin de l’essai de traction aux barres de Hopkinson

Le chargement vitesse est appliqué sur une couche d’éléments discrets

d’épaisseur 1.2𝑅𝑚𝑎𝑥 du côté avant (3 mm pour le gros maillage et 2 mm pour le

maillage fin), et une deuxième couche d’éléments discrets de même épaisseur est

choisie sur la face arrière de l’éprouvette pour la mesure de la vitesse (Figure 4.5).

Les impulsions de vitesses sont appliquées sur la couche du côté impacté et on

calcule à chaque pas de temps la vitesse moyenne de la couche sélectionnée sur le

côté libre. Ainsi, on obtient l’évolution au cours du temps de la vitesse de la face

arrière. Les essais d’identification quasi-statiques déjà réalisés sur le béton R30A7

humide nous donnent les paramètres locaux présentés dans le tableau 4.4.

Figure ‎4.5 - Choix des couches ED pour appliquer le chargement dynamique


121

T (MPa) 𝑪𝟎 (MPa) ζ Ф𝒊, Ф𝒄

2.1 4.0 4 10°

Tableau ‎4.4 - Paramètres non-linéaires identifiés en quasi-statiques pour le béton R30A7

humide

4.2.2 Fréquence de coupure

Dans le domaine des impacts dynamiques, des erreurs numériques peuvent

apparaître et sont dues aux problèmes de dispersion numérique lors de la

propagation d’ondes. La réponse d’un modèle numérique dépend fortement de la

taille des éléments. Pour chaque maillage de taille définie, il y a une fréquence de

coupure considérée comme la plus haute admissible par le maillage ou la plus

grande fréquence représentée par le modèle sans provoquer des erreurs

numériques trop importantes. Des études sur des maillages éléments finis ont été

réalisés par plusieurs auteurs [Semblat J. F., 2005 ; Bamberger A. et al., 1980 ;

Ihlenburg F. et Babuška I., 1995] et ont caractérisé la dispersion numérique dans

un modèle aux éléments finis en fonction de la taille des éléments. Ces travaux

recommandent l’utilisation d’une taille caractéristique du maillage cinq à dix fois

plus petites que la longueur d’onde λ afin d’avoir un signal inchangé par la

discrétisation.

Dans notre cas, pour notre modèle discret, on envisage de déterminer la

fréquence de coupure de chacun des deux maillages réalisés. On veut vérifier que

la fréquence de coupure est suffisamment grande pour pouvoir simuler les essais

de traction dynamique et mettre en jeu une large gamme de fréquences. Cela nous

permet de s’assurer qu’on pourra reproduire numériquement la propagation des

ondes correspondant à la gamme de fréquences caractéristique du comportement

expérimental.

Figure ‎4.6 - Analyse de la dispersion numérique dans le modèle ED


122

Dans cette étude, les même maillages de l’échantillon ont été utilisés. On

applique un signal de vitesse comme celui décrit dans la figure 4.6 sur la face avant

du maillage avec une amplitude très faible 0.01 m/s pour avoir un comportement

élastique et éviter les dispersions dues à l’endommagement de l’éprouvette. L’onde

va se propager dans le maillage et on va mesurer le signal de vitesse sur la face

arrière dont l’amplitude doit être le double (0.02 m/s) de celui de la face avant si

aucune dispersion n’existe. Le signal de vitesse appliqué est caractérisé par sa

période T qu’on fait varier pour changer la fréquence du signal. On trace

l’évolution du rapport des amplitudes des deux signaux, arrière et avant, en

fonction de la fréquence appliquée (Figure 4.7).

Figure ‎4.7 - Détermination de la fréquence de coupure numérique du modèle

Dans la figure 4.7, on remarque que, pour chaque maillage, on a deux zones

de dispersions 1 et 2. La zone 1 est commune pour les deux maillages et

correspond à une fréquence de coupure de 35 KHz pour les deux maillages. En

revanche, la zone 2 correspond à une fréquence de coupure beaucoup plus grande

et de l’ordre de 100 KHz pour le gros maillage et de 200 KHz pour le maillage fin.

La dispersion durant la propagation de l’onde peut être due à un effet numérique

en relation avec la taille du maillage, mais aussi à une atténuation géométrique. En

effet, il existe une dispersion radiale, même faible, dans l’échantillon de béton. Cet

effet est appelé effet Pochhammer-Chree. Comme la zone 1 est commune pour les

deux maillages, on a constaté qu’elle peut correspondre à une dispersion radiale.

Pour vérifier, on a réalisé deux maillages, gros et fin, de même finesse que ceux

réalisés au début mais avec un diamètre de 23 mm au lieu de 46 mm. On refait la

même étude sur les deux nouveaux maillages de diamètre réduit et on trace


123

l’évolution des rapports des amplitudes des signaux en arrière et en avant de

l’éprouvette (Figure 4.8). On trouve que la zone de dispersion 1 est disparue, ce qui

signifie qu’elle était due à un effet Pochhammer-Chree dans le sens radial de

l’éprouvette. On en déduit aussi que la fréquence de coupure caractéristique du

gros maillage est environ 150 KHz et que celle du maillage fin est de l’ordre 250

KHz. Cela montre bien que la dispersion numérique est d’autant plus importante

que la taille de maille est grande.

Figure ‎4.8 - Détermination de la fréquence de coupure numérique du modèle après

réduction du diamètre de l’éprouvette

Une étude du spectre des fréquences de Fourier de chacune des impulsions

de vitesses a été réalisée par Erzar et Forquin [2010] et a montré que les

fréquences mises en jeu expérimentalement ne dépassent pas le 50 KHz. Par suite,

les deux maillages, gros et fin, permettent de représenter toute la gamme de

fréquence expérimentale lors de la modélisation des essais d’écaillage qu’on va

présenter dans la suite. Le modèle sera validé sur le gros maillage comme on vise à

réduire le coût de calcul et puis on étudiera l’influence de la finesse du maillage sur

le comportement dynamique.

4.2.3 Résultats

Nous avons simulé quatre essais d’écaillage aux barres de Hopkinson

correspondant aux quatre impulsions (Figure 4.3). On a obtenu les signaux de

vitesse en face arrière de l’éprouvette et on les a comparés avec les résultats


124

expérimentaux (Figure 4.9). Les états d’endommagement correspondant aux essais

A et C sont montrés dans les figures 4.10 et 4.11.

Figure ‎4.9 - Courbes de vitesses en face arrière au cours du temps pour les essais (a) A, (b) B,

(c) C et (d) D

Figure ‎4.10 - Champ d’endommagement pour l’essai A.


125

Figure ‎4.11 - Champ d’endommagement pour l’essai C.

La limite locale de traction T est égale à sa valeur statique 2.1 MPa inchangée.

D’après la figure 4.10, on trouve que les courbes de vitesses en face arrière n’ont

pas une bonne correspondance avec les courbes expérimentales. Plus le niveau de

sollicitation et la vitesse de déformation sont grandes, plus les résultats

numériques sont loins du comportement expérimental. Les deux essais A et C

correspondent à des vitesses de déformation expérimentales respectives de 30 s-1

et 115 s-1. Ces valeurs correpondent à deux niveaux de sollicitations dynamiques

très différentes. Dans la figure 14.11, on remarque qu’au moment où la vitesse

maximale de la courbe est atteinte (t = 65 μs pour l’essai A et t = 77 μs pour l’essai

C), l’éprouvette est endommagée. Le niveau d’endommagement maximal dans le

cas de l’essai A (0.35) est beaucoup plus faible que celui de l’essai C (1) où il y a des

éléments qui sont totalement endommagés et dont toutes les interactions sont

rompues. L’endommagement dans l’essai C est très diffus et étendu. Cela montre

que la propagation de l’onde de compression incidente a provoqué

l’endommagement de l’éprouvette qui est écrasée après atteinte de sa résistance

limite en compression. Cela entraîne la dispersion de l’onde incidente avant qu’elle

n’atteigne le bord libre et se réfléchisse en une onde de traction. La valeur de la

vitesse maximale atteinte sur la face arrière est inférieure à celle expérimentale

qui est égale au double de la valeur maximale de l’impulsion appliquée en avant.

D’après ce qui précède, on conclut que la résistance du béton simulé est trop

faible, ce qui entraîne la rupture des interactions très tôt. Pour le tester, on a

augmenté d’un facteur quatre la limite locale de traction T identifiée en quasi-

statique : T = 4Ts = 8.4 MPa. Les figures 4.12 et 4.13 montrent respectivement la

courbe de vitesse en face arrière et les champs d’endommagements dans


126

l’éprouvette du béton. La courbe de vitesse obtenue est très proche de celle de la

courbe expérimentale et au niveau de pic de vitesse l’endommagement dû à l’onde

incidente de compression est très faible ce qui permet à l’onde d’atteindre le bord

libre sans être trop atténuée par l’endommagement. Au moment de la rupture (t =

92 μs), cinq plans d’endommagement discrets apparaissent le long de l’éprouvette.

Figure ‎4.12 - Courbe de vitesse en face arrière de l’essai C avec T = 4Ts = 8.4 MPa.

Figure ‎4.13 - Champ d’endommagement pour l’essai C avec T = 4Ts = 8.4 MPa.

Ces résultats montrent que sans effectuer des changements dans le modèle

on peut pas avoir le bon comportement en traction dynamique. L’augmentation

artificielle de la limite locale de traction est suffisante pour reproduire

correctement le comportement expérimental. De même, l’endommagement de

l’éprouvette devient plus réaliste sous forme des plans de rupture en accord avec

les observations expérimentales souvent rencontrées lors des essais d’écaillage. En

revanche, le passage à des niveaux élevés du taux de déformation a montré que

l’inertie n’a pas de rôle dans la reproduction de l’effet de vitesse. On a besoin


127

d’augmenter la résistance locale en traction afin de reproduire cet effet trouvé

expérimentalement. Il semble nécessaire d’introduire une loi de dépendance de la

limite locale de traction au taux de déformation dans le but de bien reproduire le

comportement dynamique macroscopique du béton. Dans le paragraphe suivant,

on va présenter l’introduction de l’effet de vitesse en traction au niveau de chaque

interaction.

4.2.4 Modélisation de l’effet de vitesse en traction

Dans le paragraphe 1.2.3.2, on a présenté la formulation proposée par la CEB

pour décrire l’effet de vitesse en traction. Cette formulation est basée sur des

résultats récoltés pour différents type de béton et pour des essais de traction

dynamique avec différents taux de déformation (Figure 4.14a) Il faut noter que les

résultats expérimentaux sont très dispersés notamment dans le domaine des taux

de déformations élevés (> 1s-1). Cela est dû à plusieurs causes telles que les fautes

de mesures, des méthodologies erronées, différents types de béton utilisés.....etc.

De plus, peu de résultats ont montré des valeurs de DIF plus grande que 5 où le DIF

(Dynamic Increase Factor) représente le rapport entre la résistance dynamique de

traction et la résistance statique.

(a) (b)

Figure ‎4.14 - (a) Résultats expérimentaux sur l’effet de vitesse en traction et (b) la

modification de la limite locale de traction du modèle en fonction de la vitesse de

déformation de l’interaction

La limite locale de traction au niveau de chaque lien sera changée suivant la

formulation 4.1 inspirée de celle de la CEB modifiée :


128

𝐷𝐼𝐹 = 𝑇𝑡𝑑

𝑇𝑡𝑠= {

1 𝑠𝑖 𝜀 < 𝜀��𝑡𝑎𝑡

(𝜀 /𝜀��𝑡𝑎𝑡)𝑎𝛿1 𝑠𝑖 𝜀��𝑡𝑎𝑡 < 𝜀 ≤ 1 𝑠¯¹

𝜃 (𝜀 /𝜀��𝑡𝑎𝑡)𝛿2 𝑠𝑖 𝜀 > 1 𝑠¯1

[4.1]

où :

- 𝑇𝑡𝑠 et 𝑇𝑡𝑑 sont respectivement les limites locales de traction statique et

dynamique

- 𝜀 est la valeur absolue du taux de déformation de l’interaction

- 𝜀��𝑡𝑎𝑡 = 1.10−6 log(θ) = 6δ1 – 2 où δ1 = 1

28

- a = 1.4667 et δ2 = 0.35 sont des valeurs recommandées mais à calibrer s’il y

a besoin pour reproduire le comportement expérimental.

Le DIF est limité à une valeur maximale égale à 5 comme indiqué dans la

figure 4.14b. En considérant deux éléments discrets a et b en interaction cohésive,

de vecteurs vitesses 𝑉𝑎 et 𝑉𝑏 et de vecteurs position 𝑋𝑎

et 𝑋𝑏 , le taux de

déformation discret 𝜀 est donné par la formule suivante :

𝜀 = |(𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 )( 𝑋𝑏

− 𝑋𝑎 )

‖ 𝑋𝑏 − 𝑋𝑎

‖2 | = |

𝑉𝑏 − 𝑉𝑎

‖ 𝑋𝑏 − 𝑋𝑎

‖ �� | [4.2]

Le changement de la loi de comportement non linéaire en traction consiste à

augmenter ou diminuer la limite locale de traction T suivant la valeur du taux de

déformation de l’interaction cohésive. La valeur de T doit être bornée entre deux

valeurs limites :

- la valeur minimale qui est la valeur quasi-statique 𝑇𝑡𝑠.

- la valeur maximale 𝑇𝑙𝑖𝑚 telle que la norme de l’effort tangentiel ne devient pas

négatif (Figure 4.15) dans la critère de Mohr-Coulomb. La limite locale de traction

est bornée telle que :

{

𝑇𝑙𝑖𝑚 = 𝐶0

tan (Ф𝑖)

𝐷𝐼𝐹𝑙𝑖𝑚 =𝑇𝑙𝑖𝑚

𝑇𝑡𝑠=

𝐶0

𝑇𝑡𝑠tan (Ф𝑖)

[4.3]


129

Figure ‎4.15 - Détermination de la borne supérieure de la limite locale de traction.

Le calcul de la valeur de DIFlim pour le béton à identifier donne 10 comme

valeur limite à ne pas dépasser. Or on a déjà limité la valeur maximale de DIF à 5

comme décrit précédemment dans la figure 4.14b, en se basant sur les résultats

expérimentaux, alors on est évidemment sous la valeur limite de DIF. Cela est dû

au faible angle de frottement interne utilisé (Ф𝑖 = 10°) et qui apparaît dans le

dénominateur de la formule donnant DIFlim.

La modification de la loi de comportement locale en traction est régie

entièrement par la valeur du taux de déformation discret 𝜀. Pour comparer l’ordre

de valeur du taux de déformation maximal dans le modèle à celui trouvé

expérimentalement, on a déterminé l’ordre de valeur du taux de déformation

maximal qui apparaît lors du calcul. Après avoir parcouru tous les liens cohésifs à

chaque pas de temps, les ordres de valeurs maximales peuvent être déterminés

pour les quatres essais (Tableau 4.5).

Essai ��𝒎𝒂𝒙 expérimental (s-1) ��𝒎𝒂𝒙 numérique (s-1)

A 30 120

B 110 260

C 115 280

D 50 140

Tableau ‎4.5 - Ordres de valeur des taux de déformation maximales expérimentales et

numériques


130

La comparaison des ordres de valeur maximaux des taux de déformations

numériques (en valeur absolue) et expérimentales montre que les premiers sont

beaucoup plus grands que ceux mis en jeu expérimentalement. Pour comprendre

qu’est ce qui se passe localement, on a choisi un lien cohésif proche du centre de

l’échantillon pour tracer l’évolution du taux de déformation discret en valeur

absolue au cours du temps pendant l’essai B (Figure 4.16a). On évite les liens

proches de la périphérie où on risque d’avoir des instabilités non physiques. On

trouve que l’évolution du taux de déformation de ce lien est très chahutée au cours

du temps. Des phénomènes d’oscillations locales apparaissent au niveau du lien à

un certain moment et d’une manière périodique avec une période qui varie. Les

valeurs varient entre 0 et 230 s-1, ce qui n’est pas en accord avec les valeurs

expérimentales et en même temps les oscillations ne représentent pas des

phénomènes physiques observés expérimentalement.

(a) (b)

Figure ‎4.16 - Evolution de la valeur absolue de la vitesse de déformation d’un lien interne au

cours du temps dans (a) un gros maillage et dans (b) un maillage fin (essai B).

Pour vérifier si ce comportement est un problème numérique ou pas, on a

tracé l’évolution de la vitesse de déformation d’un lien interne du maillage fin. Les

oscillations apparaissent aussi et les valeurs des vitesses de déformations sont

chahutées entre 0 et 220 s-1 (Figure 4.16b). Donc on peut dire que ces oscillations

résultent des phénomènes locaux au niveau du lien cohésif et non à des problèmes

de précision numérique.

Le même comportement a été observé sur plusieurs liens, ce qui montre que

le phénomène n’est pas dû à une instabilité localisée au niveau de quelques liens

mais qu’il existe dans une grande proportion des liens. Cela peut causer une

dispersion importante de la propagation des ondes au cours des essais. Une

solution à laquelle on a pensé pour lisser l’évolution du taux de déformation au


131

cours du temps est le filtrage. Deux types de filtrages existent : le filtrage spatial et

le filtrage temporel.

Le premier consiste à considérer les deux éléments en interactions et calculer

pour chaque élément une valeur de vitesse de déformations équivalente à partir

des autres interactions attribuées au même élément. Puis on calcule une valeur du

taux de déformation du lien à partir de ceux des éléments. Cependant, cette

méthode est très coûteuse comme on parcours les interactions autour de chaque

élément à chaque pas de temps, et de plus on ne sait pas quel critère à utiliser pour

calculer une valeur du taux de déformation équivalente à partir d’interactions dont

les directions sont différentes.

La deuxième méthode est plus simple à mettre en œuvre et consiste à filtrer

temporellement la valeur de la vitesse de déformation. La valeur instantanée du

taux de déformation n’est pas utilisable dans le cas de la propagation d’ondes car

on observe d’importantes oscillations à hautes fréquences dans le cas de chocs.

Dans notre modèle, on a utilisé le filtrage temporel suivant qui est déjà utilisé dans

le logiciel de calcul éléments finis RADIOSS [2009]:

𝜀��,𝑛 = (1 − 𝛼) 𝜀��,𝑛−1 + 𝛼 𝜀�� [4.3]

Où :

- 𝜀��,𝑛 est la vitesse de déformation filtrée calculée à l'instant 𝑡𝑛

- 𝜀��,𝑛−1 est la vitesse de déformation filtrée calculée à l'instant 𝑡𝑛−1

- 𝜀�� est la vitesse de déformation non filtrée calculée à l’instant 𝑡𝑛

- 𝛼 = 2𝜋 𝑑𝑡 𝐹𝑓 où α est le facteur de lissage compris entre 0 et 1 𝐹𝑓 est

la fréquence de filtrage avec dt le pas de temps

Lorsque α vaut 1, il n’y a pas de lissage temporel de la vitesse de déformation.

Dans le cas où ce coefficient est nul, la vitesse de déformation est nulle. Il n’y a pas

de règle précise concernant la valeur de α à prendre pour les calculs. Dans

RADIOSS, il est préconisé d’utiliser des valeurs de ce coefficient autant plus petites

que le maillage est fin. Cette formulation de lissage temporel permet d’obtenir une

vitesse de déformation « moyenne » après plusieurs pas de temps et ainsi

d’éliminer les variations trop rapides de 𝜀 qui se traduisent dans les calculs par des

oscillations importantes des entités en dépendant. Les valeurs de 𝐹𝑓

recommandées par RADIOSS sont de l’ordre de quelques dizaines de KHz. Pour


132

déterminer les ordres de valeurs de 𝐹𝑓 qui assurent un bon filtrage des oscillations

du taux de déformation, on a réalisé une étude de sensibilité des valeurs

maximales du taux de déformation filtré en fonction de la fréquence de filtrage 𝐹𝑓

correspondant aux essai A (tableau 4.6)et B (tableau 4.7).

��𝒎𝒂𝒙 𝐞𝐱𝐩é𝐫𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐥 105 s-1

��𝒎𝒂𝒙 Sans filtrage 350 sˉ¹

𝑭𝒇 (KHz) ��𝒎𝒂𝒙 (gros maillage) ��𝒎𝒂𝒙 (maillage fin)

10 61 sˉ¹ 97 sˉ¹

20 98 sˉ¹ 112 sˉ¹

50 105 sˉ¹ 200 sˉ¹

100 130 sˉ¹ 250 sˉ¹

200 154 sˉ¹ 300 sˉ¹

Tableau ‎4.6 - Ordres de valeur des taux de déformation maximales numériques en fonction

de la fréquence de filtrage (Essai A)

��𝒎𝒂𝒙 𝐞𝐱𝐩é𝐫𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐥 30 s-1

��𝒎𝒂𝒙 Sans filtrage 330 sˉ¹

𝑭𝒇 (KHz) ��𝒎𝒂𝒙 (gros maillage) ��𝒎𝒂𝒙 (maillage fin)

10 24 sˉ¹ 28 sˉ¹

20 29 sˉ¹ 33 sˉ¹

50 34 sˉ¹ 43 sˉ¹

100 36 sˉ¹ 70 sˉ¹

200 86 sˉ¹ 92 sˉ¹

Tableau ‎4.7 - Ordres de valeur des taux de déformation maximales numériques en fonction

de la fréquence de filtrage (Essai B)

On remarque, comme cela était prévisible, que pour les deux maillages, gros

et fin, que plus 𝐹𝑓 est grand moins le lissage a d’effets et que l’on s’éloigne du taux

de déformation maximal obtenu expérimentalement. Pour le gros maillage, l’ordre

de grandeur de 𝐹𝑓 qui permet de reproduire le comportement expérimental de 𝜀

est dans l’intervalle [20 KHz ; 50 KHz], et pour le maillage fin dans celui [10 KHz ;

20 KHz]. Cela confirme que le coefficient α doit être d’autant plus petit que le

maillage est fin comme α est proportionnel à 𝐹𝑓 . On a fixé la valeur de 𝐹𝑓 à 20 KHz,

et on a tracé l’évolution du taux de déformation du même lien déjà étudié dans la


133

figure 4.16b en tenant compte du filtrage temporel lors de la simulation de l’essai B

(Figure 4.17). En comparant la figure 4.17 avec la figure 4.16b, on trouve que la

vitesse de déformation est bien lissée tout en gardant la forme globale de son

évolution. Les oscillations sont éliminées et les ordres de valeur de 𝜀 deviennent

comparables à ceux trouvés expérimentalement.

Figure ‎4.17 - Evolution de la vitesse de déformation filtrée d’un lien interne au cours du

temps dans un maillage fin (essai B).

On a refait les calculs numériques correspondant aux quatre essais tout en

tenant compte du lissage temporel. Ainsi dans la figure 4.18, on montre les courbes

des vitesses en face arrière au cours du temps pour les quatre essais obtenus avec

les deux maillages de finesses différentes. On trouve que les courbes numériques

sont en très bon accord avec les courbes expérimentales. De même, les courbes

sont très semblables en passant d’un gros maillage (6000 ED environ) à un

maillage très fin (60000 ED environ). Cela signifie que le modèle est capable de

reproduire le comportement expérimental pour différentes finesses de maillage.

Dans le cas de l’essai A (Figure 4.18), le pic de vitesse expérimental est bien

reproduit par le modèle. La vitesse au moment de la rupture (1.4 m/s pour le

maillage fin et 1.5 m/s pour le gros maillage) est inférieure à la valeur

expérimentale (1.85 m/s). L’erreur relative de reproduction est de l’ordre de 20%.

D’ailleurs, il faut noter que pendant les essais au laboratoire, des erreurs

d’expérimentation pouvaient exister comme le décollement du réflecteur de la

surface du béton (Figure 1.37). Le profil de vitesse expérimental sur la face arrière

après la rupture est ascendant et oscillant. Cela est dû au fait qu’il n’y a pas un plan

de rupture complet qui est créé et qui a séparé l’échantillon en deux pièces et par

suite les ondes continuaient à faire des allers et des retours dedans.


134

Dans les essais B, C et D, les erreurs relatives de reproduction de la vitesse à

la rupture sont respectivement 4.4% ; 6.2% et 8.8% (Figures 4.19, 4.20 et 4.21).

Après la rupture, le profil de vitesse est constant, ce qui signifie que des plans de

rupture entiers sont créés et ont séparé l’échantillon en deux pièces.

Par ailleurs, on peut comparer les états d’endommagement avec ceux

obtenus expérimentalement. La position des plans de rupture n’est pas un critère

très fiable pour valider le modèle comme on l’a déjà cité, mais c’est bien de voir si

on obtient un état d’endommagement comparable avec les observations

expérimentales. On va prendre le cas de l’essai B dont on tracé le champ

d’endommagement dans l’éprouvette à t = 1.3 ms (Figure 4.22). La densité de

fissuration dans le maillage fin (Figure 4.22b) est plus grande que celle figurée

dans le cas du gros maillage (Figure 4.22a). Cela signifie que l’énergie dissipée dans

le maillage fin est plus grande que celle dissipée dans le gros maillage.

Figure ‎4.18 - Essai A : courbe de vitesse en face arrière


135

Figure 4.19 - Essai B : courbe de vitesse en face arrière

Figure 4.20 - Essai C : courbe de vitesse en face arrière


136

Figure 4.21 - Essai D : courbe de vitesse en face arrière

Figure ‎4.22 - Essai B : Comparaison des états d’endommagement dans le (a) gros maillage,

(b) le maillage fin et (c) l’éprouvette réelle à t = 1.3 ms.


137

Figure ‎4.23 - Essai B : Champ des vitesses axiales dans l’échantillon à t = 1.3 ms du (a) gros

maillage et du (b) maillage fin.

Dans les cas des deux maillages, gros et fins, des microfissures sont créées et

ouvertes dans la zone sollicitée en traction dynamique notamment au milieu de

l’éprouvette. Ces microfissures se propagent et coalescent pour créer des plans de

rupture comme indiqué dans les figures 4.22a et 4.22b où on trouve un plan

d’écaillage qui sépare l’éprouvette en deux morceaux durant l’essai B. La même

observation est remarquée dans les essais C et D, tandis que pour l’essai A on ne

trouve pas un plan de rupture complet. Dans les quatre essais, d’autres grandes

fissures apparaissent mais ne séparent pas l’échantillon en deux. Cela est en accord

avec l’endommagement expérimental (Figure 4.22c) où un plan d’écaillage

apparaît mais où il existe aussi d’autres grandes fissures n’entrainant pas un plan

complet de rupture dans la zone sollicitée en traction. Notons que les éprouvettes

utilisées dans les essais expérimentaux ont été infiltrées en post mortem avec une

résine hyperfluide puis découpées le long d’une génératrice afin d’étudier leur

faciès de rupture. Le champ des vitesses axiales dans l’éprouvette montre la

position du plan d’écaillage apparu qui la sépare en deux grands morceaux (Figure

4.23).

4.3 Conclusion

Dans ce chapitre, on a montré que la reproduction du comportement du

béton en traction dynamique est assurée d’une manière adéquate avec notre

modèle éléments discrets tridimensionnel. Dans le cas de compression dynamique,

l’inertie structurelle permet de reproduire l’effet vitesse macroscopique [Hentz,

2003]. Au contraire, dans le cas de traction dynamique il est nécessaire de changer


138

la loi de comportement locale au niveau des liens cohésifs pour reproduire l’effet

de vitesse : c’est purement un effet matériau qui régit le comportement

macroscopique. En effet, le modèle discret inchangé reste incapable de bien

représenter le comportement dynamique expérimental du béton en traction.

L’augmentation de la limite locale de traction des liens cohésifs assure un bon

comportement mais évidemment n’est pas une bonne solution.

Ensuite, on a introduit une formulation locale qui permet d’augmenter la

limite locale de traction en fonction du taux de déformation discret du lien. Cette

augmentation a deux limites qu’on ne peut pas dépasser: la valeur de DIF est

limitée à 5 en se basant sur les observations expérimentales qui montrent peu de

résultats dépassant cette valeur et une valeur de DIF limite imposée par le critère

de Mohr-Coulomb pour que la force tangentielle ne change pas de signe. Ensuite,

on a remarqué des oscillations à hautes fréquences au niveau des liens dans

l’évolution du taux de déformation discret. Un lissage temporel a été utilisé pour

filtrer ces oscillations et avoir des ordres de grandeurs des taux de déformation

comparables à ceux mesurés expérimentalement. Les simulations de quatre essais

sur une gamme de vitesses de déformation allant de 30 s-1 à 115 s-1 montrent des

résultats identiques au comportement expérimental à la fois en terme de profil de

vitesse sur le bord libre ou en terme de champs d’endommagement.


139


140

Conclusions et Perspectives

141

_________________________________________________________________ ____


________________________________________________________________ _____

Conclusions

L’objectif du travail présenté dans ce manuscrit était de développer un

modèle numérique aux éléments discrets capable de simuler l’impact des

structures en béton armé. Le modèle est capable de simuler le comportement du

béton pour différents types de chargement, aussi bien en quasi-statique qu’en

dynamique.

L’étude bibliographique nous a permis de constater les principaux

phénomènes physiques mis en jeu lors d’un impact sur une structure en béton

armé (pénétration, perforation, écaillage, allers-retours d’onde dans la structure,

etc.). La fracturation n’apparaît que localement dans la zone d’impact. Une

méthode de couplage ED/EF est alors performante et nécessaire dans ce cas afin

de modéliser la structure entière tout en gardant un bon compromis

précision/coût de calcul. La zone d’impact sera modélisée en ED et le reste de la

structure en EF.

Il est nécessaire de simuler numériquement d’une manière fiable le

comportement dynamique du béton dans la zone d’impact, et de pouvoir

reproduire tous les phénomènes d’endommagement observés dans la structure

réelle. La validation du modèle numérique n’est pas faisable à l’échelle structurelle.


142

Les paramètres du modèle sont calibrés en simulant des essais de laboratoire à

l’échelle macroscopique, et la validité de l’approche numérique est alors vérifiée.

Amélioration significative de la loi de comportement du béton

La méthode aux éléments discrets utilisée dans notre étude est issue

principalement du travail de [Hentz, 2003] repris et amélioré par [Rousseau,

2009].

Une procédure d’identification des paramètres locaux a été proposée dans

ces études afin de reproduire le comportement macroscopique du béton.

Cependant, dans notre étude diffère de celle de Rousseau [2009] par la procédure

d’empilement des éléments lors de la création de l’assemblage. En effet, plusieurs

changements sur l’algorithme de Jerier [2009] ont été réalisés en ce qui concerne

le rapport Rmax/Rmin, l’algorithme de densification géométrique et le traitement des

bords. Ces changements entraînent une variation dans la répartition des tailles des

éléments dans l’assemblage où le nombre de sphères de petites tailles augmente

d’une façon assez importante. Ce changement a une influence sur le comportement

macroscopique du béton, et par la suite il est nécessaire de réidentifier les

paramètres locaux du modèle.

D’une part, les paramètres locaux régissant le comportement élastique ont

été identifiés par des essais de compression uniaxiale sur une éprouvette en béton.

Comme la procédure d’identification demande trop de calculs, le maillage est alors

choisi en gardant un compromis entre le coût de calcul et la précision voulue. La

reproductibilité a été vérifiée également pour différentes finesses et géométries du

maillage.

D’autre part, le comportement non linéaire du modèle a été exploré et une

fragilité trop grande en compression simple a été observée. Nous avons proposé

deux solutions : l’augmentation de la coordinance et l’introduction d’une rigidité de

roulement. La première présente l’inconvénient d’augmenter le coût de calcul, ce

qui présente une limitation pour la modélisation à l’échelle structurelle. La

deuxième, qui a finalement été adoptée pour notre modèle, consiste à appliquer

une loi de transfert de moment (LTM) entre les éléments pour limiter le

roulement. En effet, le roulement des éléments sphériques sous des efforts de

cisaillement peut entraîner une propagation rapide de l’endommagement et par

suite aboutir à une rupture macroscopique fragile. Cette loi fait intervenir deux


143

nouveaux paramètres: une rigidité de roulement et une limite plastique du

roulement. Nous avons réalisé une étude de sensibilité sur ces deux paramètres et

nous avons fixé un jeu de valeurs dans le modèle pour n’importe quel type de

béton.

Ensuite le modèle est validé en reproduisant le comportement en

compression et traction uniaxiales pour trois types de béton différents. Pour

chaque type, on identifie le jeu de paramètres non-linéaires afin de reproduire les

courbes contrainte-déformation. La LTM assure une très bonne ductilité en

compression simple et permet de reproduire des rapports élevés de la résistance

en compression simple sur la résistance en traction simple.

Validation du modèle en traction dynamique

Ces essais ont été modélisés par Hentz [2003] et le modèle ED a montré son

aptitude à reproduire l’effet de vitesse observé expérimentalement. Les critères de

validation du modèle étaient la position des plans de rupture et les contraintes à la

rupture. Cependant, ces critères ne peuvent pas être considérés comme des

critères très fiables pour juger le bon fonctionnement du modèle en traction

dynamique. En effet, la position du plan de rupture est très aléatoire et dépend

fortement de la microstructure du béton utilisée et la présence des fissures et des

défauts préexistants. Nous avons choisi de valider le modèle en reproduisant la

courbe de vitesse sur la face libre de l’échantillon. Le mécanisme des allers-retours

d’ondes dans l’échantillon et l’apparition de la rupture en traction est traduit par

cette courbe. Donc il est considéré comme un critère très fiable pour juger notre

modèle.

Ensuite, nous avons simulé quatre essais de traction dynamique aux barres

de Hopkinson pour des vitesses de déformation variant de 30 s-1 à 115 s-1. Le

modèle inchangé est incapable de bien représenter le comportement dynamique

expérimental du béton. Alors, on a introduit une loi de dépendance, inspirée de la

formulation de la CEB [1990], entre la limite locale de traction et la vitesse de

déformation au niveau de l’interaction entre deux éléments discrets. Un lissage

temporel est nécessaire pour filtrer les oscillations à hautes fréquences qui

apparaissent dans l’évolution du taux de déformation de chaque lien. Les résultats

expérimentaux et numériques montrent un très bon accord. Par suite, l’effet de


144

vitesse en traction est alors un effet matériau dû à des effets visqueux dans la

réalité (effet Stefan).

Perspectives

Introduction d’un modèle de compaction du béton

Sous des sollicitations extrêmes, le phénomène de compaction est mis en

évidence suite à l’apparition de forts confinements au sein du béton. Plus le

confinement est élevé, plus la résistance du béton devient importante. C’est le

durcissement dû l’effondrement de la porosité dans la matrice cimentaire. Ce cas

est rencontré dans le cas d’impact dur sur une structure cible ayant une épaisseur

importante [Shiu, 2008]. Une presse GIGA existe dans le laboratoire 3SR et permet

d’explorer le comportement du béton sous des chargements extrêmes et pour de

forts niveaux de confinement [Gabet, 2006 ; Vu, 2007].

Il faudrait calibrer les paramètres du modèle en simulant des essais triaxiaux

à des hauts niveaux de confinement. Le modèle devrait reproduire correctement le

comportement expérimental obtenu avec la presse GIGA. Une fois le modèle

calibré, il serait nécessaire de simuler des essais d’impact d’un projectile rigide sur

des dalles épaisses. La comparaison de l’évolution de plusieurs grandeurs au cours

du temps (profondeur de pénétration, vitesse et accélération du projectile) permet

de valider le bon fonctionnement du modèle.

Simulation d’impacts d’avion

La simulation d’impact d’avion sur une enceinte de confinement nucléaire est

visée et envisageable par notre modèle aux éléments discrets. Notre travail a validé

le modèle élément discret proposé dans la représentation du comportement

dynamique du béton. Une deuxième thèse accomplie à EDF, en parallèle à notre

travail, par Masurel [2015] traite le développement et la validation d’un modèle

d’interface acier-béton dans le code EUROPLEXUS. Suite à ces développements, le

modèle est capable de simuler un problème d’impact sur une structure en béton

armé. Le couplage ED/EF développé par Rousseau [2009] rend le calcul structurel

possible avec un coût de calcul raisonnable.


145

L’étude traitait le comportement de la structure cible en béton armé. Tandis

que le projectile est substitué par la force de Riera. Il serait très intéressant de

modéliser la géométrie du projectile. Le modèle éléments finis du projectile devrait

permettre la modélisation de son écrasement dans le cas où il est déformable. Une

méthode de recherche de contact entre les éléments finis et les éléments discrets

est déjà implémentée dans Europlexus pour pouvoir appliquer le chargement à la

structure.


146


147

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