ds2 electronique - po1 - po2 -t2-t3 -...

Samedi 9 novembre 2013

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DS de physique n°2 Durée: 4h Instructions générales :

• Les candidats sont invités à porter une attention toute particulière à la qualité de la rédaction , de l’orthographe et des justifications .

• Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

• L’usage d’une calculatrice est autorisé pour cette épreuve. • Vous rendrez 3 copies : une pour la partie d'électronique, une pour la partie physique des ondes et

une pour la partie chimie. • Le sujet comporte 14 pages, le candidat prendra de vérifier qu'il possède toutes les pages.

PHYSIQUE

PARTIE ELECTRONIQUE (e3a PSI 2013)

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

• les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ;

• tout au long de l’énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d’aider à la compréhension du problème ;

• tout résultat fourni dans l’énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s’il n’a pas été démontré par le(la) candidat(e) ;

• les applications numériques, effectuées sans calculatrice, pourront supporter des arrondis ou simplifications judicieux.

Ce problème est consacré aux capteurs de proximité :

Les capteurs de proximité sont caractérisés par l’absence de liaison mécanique entre le dispositif de mesure et l’objet constituant la cible. L’interaction entre eux est réalisée par l’intermédiaire d’un champ électrique, d’un champ magnétique ou d’un champ électromagnétique.

Ces capteurs sont utilisés :

soit en mode analogique : l’amplitude du signal détecté est fonction de la distance relative entre capteur et cible (et surtout de ses variations) ;

soit en mode binaire : le signal ne peut avoir que deux niveaux (haut ou bas) selon l’absence ou la présence de l’objet à une distance fixée ou non du capteur.


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PREMIERE PARTIE

CAPTEUR DE PROXIMITE CAPACITIF

A / ETUDE DU CONDENSATEUR DE MESURE

Comme le montre la figure 1a ci-dessous, la tête de mesure de ce capteur est formée d’un conducteur cylindrique (A) et d’une enveloppe métallique coaxiale (B) réalisant un condensateur de capacité fixe Ce :

Le but de la mesure est de détecter la distance z entre la tête de mesure et la cible.

Lorsque la cible métallique s’approche de l’extrémité des conducteurs (A) et (B), ceux-ci constituent avec elle deux autres condensateurs :

• l’un, de capacité C(z), a pour armatures le disque externe du conducteur central cylindrique (A) de diamètre 2r et z est la distance qui le sépare de la cible ;

• l’autre est un condensateur parasite, de capacité Cp(z), formé par l’enveloppe extérieure (B) du capteur et la cible.

Le schéma électrique équivalent du capteur est représenté sur la figure 1b.

A1. Enoncer le théorème de GAUSS en électrostatique dans le vide de permittivité 0ε .

Considérons un condensateur plan dont les faces en regard sont distantes de d et de surfaces S ; le vide règne entre ces deux électrodes. La distance d est suffisamment faible pour supposer les surfaces infinies.

A2. Exprimer, en le justifiant, le champ électrique Eur

dans le condensateur en fonction de la charge Q qu’il emmagasine, de S et de 0ε ; en déduire sa capacité C.

Etudions maintenant un condensateur cylindrique de longueur infinie. Le rayon de son armature interne est r1 et le rayon de son armature externe est r2 ; 0ε est la permittivité du vide entre ces deux

électrodes et Q la charge d’une armature de longueur l .

A3. Exprimer, en le justifiant, le champ électrique Eur

dans le condensateur. En déduire la capacité C de ce condensateur pour une longueur commune l des électrodes. Ecrire le

résultat sous la forme : ( )2 1

Cln r / r

α= et identifier α .

A4. Ecrire l’expression de la capacité C(z) en fonction de 0ε , r et z, puis celle de la capacité Ce

en fonction de 0ε , l , r et e.

A5. Déterminer la capacité CAB de la tête de mesure en fonction de Ce, C(z) et Cp(z).

Figure 1a Figure 1b

Ce

z

2r

e

armature interne (A) B

A

armature externe (B)

cible métallique

A

B

Ce

C(z)

Cp(z)

Cp(z)

C(z)


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A6. Proposer une opération technique simple permettant de s’affranchir de la capacité parasite Cp(z) (ce qui sera le cas dans la suite du problème : →pC + ∞ ).

A7. Ecrire l’expression finale de la capacité CAB en fonction de 0ε , l , r, e et z, sachant que la distance e entre les armatures en regard est faible devant leurs rayons respectifs. (effectuer pour cela un développement limité au 1er ordre en e/r)

Le capteur fonctionne pour une distance cible-tête de mesure z variant d’une faible quantité ∆z à partir d’une valeur de référence z0 : 0z z Δz= + (avec l’approximation ∆z/z0 ≪ 1).

A8. Montrer que la capacité CAB peut s’écrire sous la forme : 0

0

ABC C 1 k∆

= +

z

z ; identifier C0 et

k, puis calculer de façon approchée leurs valeurs numériques à l’aide des données

suivantes: r 10 mm= , 10 mm=l , e 1mm= , 0z 2 mm= et 12 10 9.10 F.m− −ε ≅ .

B / CONDITIONNEMENT DU CAPTEUR

A la tension électrique ( )ω0v V cos t(t) = + φ peut être associée, en notation complexe, le

signal analytique ( )ω0v V exp j t(t) = où ( )0 0V V exp j = φ désigne l’amplitude complexe du signal et j

le complexe tel que 2j 1= − . Les amplificateurs opérationnels (AO) sont supposés idéaux et en fonctionnement linéaire. Le capteur de capacité CAB est inséré dans un circuit de mesure comportant deux blocs : un bloc amplificateur (Figure 2a) et un bloc de filtrage (Figure 2b).

B1. Exprimer les fonctions de transfert (ou transmittances) en boucle ouverte

1 2 1H ( ) V ( ) V ( )ω = ω ωj j j et 2 4 3H ( ) V ( ) V ( )ω = ω ωj j j en supposant chacun des blocs alimenté par une tension sinusoïdale. Préciser la nature du filtre de fonction de transfert

2H ( )ωj .

La borne de sortie de l’amplificateur est reliée à l’entrée du filtre et la borne de sortie du filtre est reliée à la borne non inverseuse de l’AO, de sorte que : 1 4v v= et 2 3 Sv v v= = .

B2. Quelle est l’expression de la fonction de transfert 1 2xH( ) H ( ) H ( )ω = ω ωj j j en régime

sinusoïdal ? En déduire l’équation différentielle à laquelle obéit la tension Sv (t) pour un

régime quelconque. Pour quelle valeur de R2, fonction de R1, C et CAB, des oscillations sinusoïdales stables peuvent-elles s’établir ? Quelle est alors la pulsation ω0 de ces oscillations ?

Fixons 0C C= et Ω1R R 100 k= = et supposons que Δz 0= .

B3. Déterminer les valeurs de la résistance R2 et de la pulsation ω0 de l’oscillateur.

CAB

C v1

v2 v3 v4

R2

R1

R

R

Figure 2a Figure 2b

filtrage amplification

∞

AO


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Dès que la tête du capteur se déplace par rapport à la cible, la capacité CAB varie. La résistance R2 garde la valeur obtenue dans la question précédente et C est fixée à C0.

B4. Réécrire, pour un faible déplacement de la cible (∆z/z0 ≪ 1), l’équation différentielle vérifiée par Sv (t) en faisant apparaître les paramètres k, C0, R et 0z z∆ .

Comment évolue alors Sv (t) pour un faible déplacement z∆ positif ou négatif de la cible ? La condition d’oscillation n’est plus vérifiée à chaque instant par une résistance R2 fixe car cette condition s’écrit en fonction de la capacité CAB variable ; la résistance R2 est remplacée par un montage approprié assurant les oscillations. Ce montage ne sera pas étudié ici.

B5. Pour une valeur adaptée de R2, quelle est l’expression de la pulsation ωOSC des oscillations

obtenues en fonction de ω0, k et 0

z

z

∆ ?

C / CONDITIONNEMENT DU SIGNAL

La tension 2 0v V sin((t) t)= ω est injectée dans une série de trois montages élémentaires A, B et C ne comportant que des composants idéaux (Figure 3).

C1. Ecrire les tensions e+ et e− mesurées par rapport à la masse de potentiel nul, respectivement aux entrées non inverseuse et inverseuse de l’AO en fonction des composants de l’étage A

et des tensions v2 et v5 ; en déduire la transmittance 5A

2

V ( )T ( )

V ( )

ωω =

ωj

jj

. Comparer les

amplitudes V5 et V2 puis exprimer le déphasage ϕ de v5 par rapport à v2. Préciser la fonction de cet étage.

E représente une tension continue délivrée par un générateur.

C2. Préciser le rôle joué par le bloc B. Exprimer la tension instantanée v6(t) en sortie de ce bloc, en fonction de l’amplitude V0, du déphasage ϕ , de la tension E, de la pulsation ω et de t.

Relation utilisable : = − − +2 sin(a) sin(b) cos(a b) cos(a b)

v6 v2 v5 vSC

R3

E R4

R3

R3

C3

C4

X

Z

Y

e+

e−−−−

Figure 3

A B C

∞

AO


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C3. Déterminer la fonction de transfert SCC

6

V ( )T ( )

V ( )

ωω =

ωj

jj

. En déduire le rôle de l’étage C ainsi

que sa pulsation caractéristique ωC. Montrer que, par un choix judicieux de ωC, la tension de sortie vSC est continue et « image » de ( )cos ϕ .

C4. Choisir la valeur particulière du produit R3C3 pour que la tension de sortie vSC du montage soit continue et proportionnelle à la variation ∆z de la distance entre la tête de mesure et la cible (au premier ordre non nul en 0z z∆ ). Donner son expression, notée VSC (car

indépendante du temps), en fonction de E, k, V0 et du rapport 0z z∆ .

Relation utilisable : −

=+

2

2

1 tan (a/2)cos(a)

1 tan (a/2)

C5. Proposer une définition de la sensibilité S de ce capteur ; l’exprimer en fonction de k, V0, E et z0, puis la calculer sachant que 0V 5,0 V= et E 0,50 V= .

C6. Citer les avantages et les inconvénients inhérents à l’utilisation de ce capteur capacitif.

PARTIE PHYSIQUE DES ONDES

Problème 1 : Vibrations d’une corde de piano fixée à ses deux extrémités (Centrale PSI 2013)


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7/14 DS 2 2013/2014

Problème 2 : Effet de réverbération (CCP PC 2006)

La partie 2) du sujet a été volontairement retirée.


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9/14 DS 2 2013/2014


10/14 DS 2 2013/2014

Problème 3 : Effet Doppler et ondes sonores (CCP PC 2010)

La partie II.1 du sujet a été volontairement retiré e.


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CHIMIE La pyrométallurgie du nickel (CCP PC 2010) La production du nickel provient de deux types de minerais : d’une part des minerais sulfurés (65 % de la production mondiale) et d’autre part des minerais oxydés. Dans cette partie, nous nous proposons d’étudier le prototype le plus simple d’oxyde stœchiométrique en nickel : NiO. L’obtention du métal implique alors une réduction du minerai.

La réaction de corrosion (ou d’oxydation) du nickel est donnée par l’équation suivante :

2 Ni(s) + O2(g) = 2 NiO(s) (1) avec ΔrG10(T) = – 490 + 0,19.T (kJ.mol–1)

Les températures de fusion sous P0 = 1 bar des deux solides sont d’une part Tf(Ni) = 1728 K et d’autre part Tf(NiO) = 2257 K.

I-1 Donner l’expression de la pression partielle en oxygène à l’équilibre P(O2)eq de la réaction (1) en fonction de T et de ΔrG1

0(T).

I-2 Comment s’exprime l’affinité A(T) de la réaction (1) en fonction notamment de ΔrG10(T) et de

la pression partielle en oxygène P(O2) ?

En déduire les sens d’évolution de la réaction (1) en fonction de P(O2).

I-3 A 300 K, l’application numérique donne P(O2)eq = 4.10–76 bar. Quelle est l’évolution attendue d’un barreau de nickel exposé dans ces conditions à l’air ? Ce phénomène n’est pas observé : proposer une explication.

On envisage la réduction de NiO par le monoxyde de carbone pour une température comprise entre 1000 K et 1700 K. Le couple CO/CO2 est décrit par l’équation suivante :

2 CO(g) + O2(g) = 2 CO2(g) (2) avec ΔrG20(T) = – 570 + 0,17.T (kJ.mol–1)

Les gaz sont supposés parfaits.

I-4 Ecrire l’équation de réduction de NiO par le monoxyde de carbone que l’on notera (3) : le coefficient stœchiométrique de NiO pour cette équation sera pris égal à 1.

I-5 Déterminer l’expression de l’enthalpie libre standard ΔrG30(T) de la réaction (3) en fonction

de ΔrG10(T) et ΔrG2

0(T).

I-6 Quelle est la variance de l’équilibre (3) ? Que peut-on déduire de cette valeur ?

I-7 Soit α le rapport des pressions partielles de gaz défini comme α = P(CO)/P(CO2). Donner l’expression de ce rapport à l’équilibre αeq en fonction de ΔrG3

0(T) et de T.

I-8 Quelle relation doit satisfaire α pour que la réaction (3) se déplace dans le sens de la réduction de NiO ?


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Le monoxyde de carbone est produit par la mise en présence de graphite et de dioxyde de carbone selon la réaction :

CO2(g) + C(s) = 2 CO(g) (4) avec ΔrG40(T) = 170 – 0,18.T (kJ.mol–1)

I-9 A-t-on intérêt à réaliser la réaction (4) à basse ou haute température pour favoriser la production de monoxyde de carbone ? Justifier.

I-10 Quelle est la variance de l’équilibre (4) ?

I-11 On introduit de façon isotherme et isobare une quantité dn de moles de monoxyde de carbone dans le système décrit par la réaction (4). Etablir l’expression de la variation d’affinité dA liée à cette perturbation en fonction de T, de dn, du nombre de moles nCO de monoxyde de carbone, et de la fraction molaire xCO en CO. En déduire le sens d’évolution du système.

On introduit dans le même réacteur à T = 1000 K, NiO(s), C(s) et CO2(g). NiO(s) et C(s) ne sont pas en contact si bien qu’aucune réaction n’est possible entre ces deux solides.

I-12 Justifier, en calculant la variance, que les deux équilibres (3) et (4) peuvent se produire simultanément dans le réacteur.

I-13 Déterminer l’expression de la pression totale de gaz Peq attendue à l’équilibre en fonction des constantes K3

0 et K40 des équilibres (3) et (4).

FIN DU SUJET

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