Limitations du choix de l’angle de frottementpour le critère de plasticitéde Drucker-Prager

Jacques Desrues

Laboratoire 3S (CNRS - INPG - UJF)B.P. 53F-38041 Grenoble cedex 9

Jacques.Desrues@inpg.fr

RÉSUMÉ.Le modèle de Drucker-Prager est très répandu dans les codes de modélisation numé-rique aux éléments finis, en particulier ceux qui visent des applications à la géomécanique età la géotechnique. En effet, ce modèle représente une première approche simple du compor-tement des milieux à frottement interne, cohérents ou non (sols, roches, mais aussi poudres etmatériaux granulaires divers). Cependant, ce modèle ne doit pas être utilisé sans certaines pré-cautions concernant le choix de l’angle de frottement. Ces limitations ne sont pas nouvelles,mais elles paraissent un peu méconnues, et une certaine confusion est parfois constatée sur lecas des milieux granulaires avec cohésion.

ABSTRACT. Drucker-Prager model is available in most finite element codes used in civil engi-neering field, especially those devoted more specifically to geotechnical applications. Indeed,this model is a simple first idealization of the behaviour of frictional-cohesive materials, likesoils, rocks, and other granular materials. However, this model must be used with care with re-spect to the choice of the friction angle. The paper presents a discussion of the validity domainfor this parameter, in the context of both purely frictional and cohesive-frictional materials.

MOTS-CLÉS :loi de comportement, critère de plasticité, modélisation numérique, géotechnique,géomécanique.

KEYWORDS:Constitutive model, plasticity criterion, numerical modeling, geotechnical enginee-ring, geomechanics.

RFGC - 6/2002. COSS’01, pages 853 à 862

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1. Introduction

Le critère de Drucker-Prager est une généralisation du critère de von Misès pourles matériaux à frottement interne ([DRU 52]). La surface représentant le critère devon Misès est un cylindre parallèle à la trisectrice de l’espace des contraintes princi-pales, et celle représentant le critère de Drucker-Prager est un cône à section circulaireadmettant le même axe pour axe de symétrie (figure 1). Ainsi le déviateur admissiblepour un état de contrainte dépend de la contrainte moyenne, ou en d’autres mots dupremier invariant de cet état, ce qui est caractéristique de la notion de frottement. Lecritère de Drucker-Prager est une première option simple pour qui veut modéliser desmatériaux à frottement interne ; en effet, la symétrie de révolution de la surface offrecertaines facilités d’implémentation numérique notamment. Ce modèle est un standardqu’on trouve dans pratiquement tous les codes de calcul aux Éléments Finis, commepar exemple ABAQUS, ANSYS, CASTEM 2000. . . Cependant, il faut prendre gardeaux limites de validité du critère par rapport au choix des angles de frottement. C’estla question qui est discutée dans cet article.

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FIG . 1 Critère de Drucker-Prager dans l’espace des contraintes principales

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2. Limites de validité du critère

En effet, n’importe quel cône n’est pas admissible physiquement pour représen-ter un matériau frottant : à partir d’un certain angle au sommet, le cône centré sur latrisectrice intersecte les plans de coordonnées principales et le critère admet alors destractions. Cette situation est illustrée par la figure 2, dans laquelle les zones grisées tra-versent les plans définis parσk = 0, k=1,3 avecσ1, σ2, σ3 les contraintes principales.Clairement, cette situation n’est pas acceptable physiquement pour des milieux pulvé-rulents, c’est-à-dire complètement dépourvus de cohésion : ils ne sauraient supporterdes tractions.

On peut penser que ceci n’est choquant que pour des matériaux pulvérulents commeles sables ou les graviers, mais devient physiquement admissible pour représenter desmatériaux cohérents et frottants à la fois. En fait cet argument n’est pas valide, carle propre d’un matériau cohérent est de présenter une résistance au cisaillement àcontrainte isotrope nulle ; alors que le critère obtenu pour un angle au sommet tropgrand, tel que le cas illustré sur la figure 2, ne présente aucune résistance àσm = 0.

Il est bien connu que la forme circulaire du critère de Drucker-Prager est assezmal adaptée pour représenter le comportement des milieux granulaires réels, qui serapproche plutôt d’un critère de Mohr-Coulomb généralisé –comme l’a montré expé-rimentalement Lanier sur le triaxial vrai de Grenoble ([LAN 76, LAN 88]). Ces résul-tats comme ceux d’autres expérimentateurs (par exemple Lade [LAD 88]) indiquentqu’en réalité, les angles de frottement en compression triaxialeϕC et ϕE ne sont pastrès différents, de quelques degrés au plus. La comparaison Drucker-Prager / Coulombs’améliore cependant quand les angles de frottement sont très faibles (typiquementinférieurs à20 degrés) car alors le critère de Mohr-Coulomb et le critère de Drucker-Prager deviennent très proches. La médiocre pertinence du critère de Drucker-Prageraux grands angles de frottement est reconnue par de nombreux auteurs, par exempleVermeer et de Borst [VER 84].

Mais l’existence d’une limitation intrinsèque de l’angle du cône est trop souventignorée par les utilisateurs de ce modèle. Il est vrai qu’elle n’a pas échappé à certainsauteurs, par exemple Loret [LOR 86, p.156] qui évoque brièvement une condition enrelation avec la cohésion ou Vardoulakis et Sulem [VAR 95, p.217], ou encore Barni-chon dans sa thèse [BAR 98], qui présente en outre une discussion détaillée des consé-quences rencontrées dans un calcul aux éléments finis lorsqu’on force cette limitation.Dans un article tiré de ces travaux, Barnichon et al. [BAR 99] font mention briève-ment de la relation entre les angles de frottement dans le critère de Drucker-Prager.Mestat [MES 97] présente un tableau donnant l’expression des paramètres du critèrede Drucker-Prager en fonction de ceux du critère de Mohr-Coulomb pour divers che-mins de contrainte : chemin triaxial axisymétrique de compression, d’extension, dé-formation plane. En dépit de ces références, on peut considérer que l’existence d’unerelation est trop rarement mise en valeur, entre l’angle au sommet du cône, l’anglede frottement interne au sens de Coulomb défini à partir d’essais de compression axi-symétrique, et son corollaire défini à partir d’essais d’extension axisymétriques. En

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FIG . 2 Lorsque l’angle au sommet est trop grand, le cône intersecte le plan(σ2, σ3),ce qui n’est pas admissible puisque cela autoriserait des tractions enσ1 dans unmilieu non cohérent (resp.(σ1, σ3) , σ2 et (σ1, σ2) , σ3)

effet, la définition même du critère de Drucker-Prager impose, pour le matériau censéêtre représenté par ce modèle, une relation entre les angles de frottement de Coulomben extension et en compression triaxiale, et l’angle au sommet du cône de Drucker-Prager. Ces relations montrent, qu’à partir d’un certain angle au sommet du cône, onobtient des angles de Coulomb sans signification physique. On discute dans la suiteces relations, et les limitations qui en découlent dans le choix de l’angle de frottement.

3. Relations entre les angles de frottement

Soientσ1, σ2, σ3 les contraintes principales d’un état de contrainteσ vérifiant lecritère. Le premier invariant est :

Iσ = σ1 + σ2 + σ3

et la contrainte moyenne est :

σm =Iσ

3

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Dans l’espace des contraintes principales (figure 1), le premier invariant est direc-tement lié à la longueur de la projection du vecteur

−→OS représentatif deσ, sur l’axe

du cône, première trisectrice des axes :

L =1√3

Iσ

Le rayonR de la surface peut se calculer par :

R2 = S2 − L2 [1]

avec :S2 = σ2

1 + σ22 + σ2

3

et :L2 = 1/3 (σ1 + σ2 + σ3)2

On utilisera lerayon réduitr, défini par :

r =R

L[2]

qui est la tangente du demi-angle au sommet du côneα :

α = arctan(r) [3]

Dans le cas d’états de contrainte de compression axisymétrique, on aσ1 = σA

contrainte axiale majeure etσ2 = σ3 = σl contrainte latérale mineure. En exprimantR et L en fonction deσA et σl via [1], on montre que, dans le cas de la compression,r s’écrit :

rC =√

2(σA − σl)

(σA + 2 σl)[4]

Dans le cas d’états de contrainte d’extension axisymétrique, on aσ1 = σa contrainteaxiale mineure etσ2 = σ3 = σL contrainte latérale majeure. On a alors pour le rayonréduit r :

rE =√

2(σL − σa)

(σa + 2 σL)[5]

Les angles de frottement déduits respectivement de l’essai de compression axisy-métrique et de l’essai d’extension axisymétrique sont définis dans le plan de Mohr, ilss’expriment respectivement par :

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sinϕC =σA − σl

σA + σl

et :

sinϕE =−σa + σL

σa + σL

d’où on déduit :

rC =√

22 sinϕC

3− sinϕC[6]

et :

rE =√

22 sinϕE

3 + sin ϕE[7]

Comme la surface de Drucker-Prager a une section circulaire dans le plan dévia-toire, on a nécessairement, pour les états de contrainte de compression et d’extensionaxisymétrique situés sur la surface

rC = rE = r

d’où : √2

2 sinϕC

3− sinϕC=√

22 sinϕE

3 + sin ϕE

soit finalement :

sinϕE =3 sinϕC

3− 2 sinϕC

La courbe de la figure 3 présente l’évolution de l’angle d’extension triaxiale en fonc-tion de l’angle de compression, et illustre les limitations qui sont discutées ci-après.

4. Valeurs limites des angles de frottement

La limite supérieure admissible poursinϕE est évidemment 1, donc la limite su-périeure admissible poursinϕC est donnée par :

3 sinϕC

3− 2 sinϕC= 1

d’où :sinϕC = 3/5

soit encore :ϕC ' 36, 8 degrés

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FIG . 3 Evolution desinϕE en fonction desinϕC

On peut déduire aussi en utilisant [6] quer =√

2/2 , d’où pour le demi-angle ausommet du cône :

α ' 35, 3 degrés

Cet angle correspond au cas où le cône devient tangent aux plans(σ2, σ3), (σ1, σ3),(σ1, σ2), (voir figure 2) ce qui se produit bien avant qu’il ne devienne tangent à l’axeσ1 car la trisectrice, bien qu’incluse dans le plan bisecteur défini parσ2 = σ3, n’estpas orientée à45 degrés dans ce plan. On vérifie en considérant les états de contraintecorrespondant à la génératrice du cône qui tangente le plan (ce sont des états d’exten-sion axisymétrique) quer = rE =

√2/2 : il suffit de reporterσa = 0 dans l’équation

[5]. Au-delà de l’angle au sommet critique, le cône permet des tractions axiales pourun milieu non cohérent, ce qui n’est pas admissible, comme on l’a discuté au para-graphe 1.

5. Cas des milieux cohérents et frottants

Dans le cas de milieux cohérents et frottant en même temps, la situation n’est pasdifférente dans son principe, la limitation sur l’angle du cône continue à s’appliquer.Le théorème des états correspondants, formulé par Caquot et Kerisel [CAQ 66, p.214],

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indique que "les conditions d’équilibre limite d’un milieu cohérent peuvent être cal-culées comme si le milieu était pulvérulent, de même forme, soumis aux mêmes forcesextérieures et soumis de plus(à des)contraintes de compression H sur toute la surfaceextérieure". Dans l’esprit des auteurs, H représente la moyenne des tractions internesexercées par l’eau adsorbée sur les feuillets d’argile.

Cette proposition revient à ajouter virtuellement une contrainte isotropeH =c cotg(ϕ) à l’état de contrainte en tout point du domaine,c étant la cohésion etϕl’angle de frottement interne du matériau. Ceci peut se faire directement au niveau dela loi de comportement : ainsi, le milieu frottant cohérent sera représenté par un milieufrottant pur, soumis à un état de contrainteσ∗ = σ + c cotg(ϕ) 1.

Le principe d’équivalence proposé peut être utilisé conjointement avec de nom-breuses lois de comportement. Notons cependant que si l’angle de frottement de Cou-lombϕ est différent en compression et en extension axisymétrique, ou plus générale-ment lorsque cet angle dépend de l’angle de Lode – ce qui est le cas pour tous les cri-tères autres que le critère de Mohr-Coulomb précisément –, alors la cohérence imposeque la contrainte additionnelleH = c cotg(ϕ) 1 reste une constante. En particulier ondevra vérifier la relation :

cC cotg(ϕC) = cE cotg(ϕE) [8]

Revenant au cas des modèles utilisant un critère de Drucker-Prager, la limite éta-blie plus haut concernant les angles de frottement admissibles devra être respectéede la même façon pour le matériau équivalent au sens du principe de Caquot, fautede quoi on mènerait des calculs avec un milieu non cohérent équivalent souffrant del’inconsistance discutée au paragraphe 1. On peut s’en assurer en écrivant l’égalitéexprimée par l’équation [8] pour le cas où l’angle au sommet du cône atteint la valeurde35, 3 degrés discutée plus haut : on alorsϕC = 36, 8 degrés etsin(ϕE) = 1 soitϕE = 90 degrés, ce qui donne à partir de [8] :

cC cotg(ϕC) = 0

aveccotg(ϕC) 6= 0 d’où cC = 0. Ainsi la cohésion doit s’annuler lorsque le cônede Drucker-Prager atteint son ouverture maximale admissible. Au-delà de la limite,on ne peut plus rien dire puisque la relation sur les cohésions fait intervenir un anglede frottementϕE dont le sinus est supérieur à 1. Ceci revient à dire que la limitationdiscutée dans cet article s’impose à l’angle de frottement retenu pour le critère, que lemilieu soit cohérent ou purement frottant.

Cette conclusion rejoint celle d’une approche différente, aimablement communi-quée par Philippe Mestat. L’approche de Mestat [MES 02] est basée sur l’écriturecomparée des critères de Mohr-Coulomb et de Drucker-Prager, pour les états limitestriaxiaux axisymétriques de compression et d’extension, avec cohésion. Comme dansnotre discussion du paragraphe 3, il découle du rapprochement des cas de compressionet d’extension une relation sur les angles de frottement (la même que la nôtre) et uneautre relation sur les cohésions. Cette dernière conduit à la même conclusion, à savoir

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que dans le cas de l’angle au sommet limite35, 3 degrés, nécessairement la cohésionCc doit être nulle.

6. Conclusion

Dans une simulation d’un problème aux limites, si le modèle de comportementpour le matériau utilise le critère de Drucker-Prager, un choix de paramètres telsque l’angle de frottement de compression triaxiale axisymétrique serait supérieur à36, 8 degrés (ou le demi-angle du cône supérieur à35, 3 degrés) conduira à prédiredes tractions dans un milieu non cohérent, ce qui est clairement irréaliste. Dans un mi-lieu cohérent, l’existence de tractions est admissible, aussi pourrait-on considérer quela restriction sur les angles ne s’applique plus. Cependant, on a montré ici que lorsquel’angle du cône tend vers la limite définie pour le milieu non cohérent, la cohésionadmissible pour l’extension tend vers zéro. Au-delà de la limite, on ne peut plus riendire, les angles de frottement n’étant plus définis. Dans ces conditions il paraît raison-nable de limiter l’usage du critère de Drucker-Prager, en milieu cohérent ou non, à desangles de frottement inférieurs aux limites énoncées.

Remerciements

L’auteur remercie Robert Charlier pour les discussions qui ont mené à cette ré-flexion, et aussi Jack Lanier, Gioacchino Viggiani, Claudio Tamagnini, ainsi que RenéChambon et Denis Caillerie pour leurs remarques et leurs suggestions sur le présenttexte, et enfin Philippe Mestat pour la communication personnelle [MES 02] tout àfait pertinente.

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