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05/03/2020
V – Mécanique des fluides
V.2 : Ecoulements de fluides
Chapitre V.2.1 : Dynamique des fluides parfaits
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Plan du cours
1 – Outils de description des écoulements
2 – Bilan d’énergie mécanique
• Définition d’un système fermé
• TEM
• Relation de Bernoulli
3 – Application
• Vidange d’un réservoir
• Mesure du débit d’un écoulement
• Mesure d’une vitesse d’écoulement
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1. Outils de description d’un écoulement
• Exemples d’écoulements étudiés : o Rivière o Sang dans les vaisseaux o Chute d’un objet dans un fluide o Avancée de glaciers…
• Deux approches :
o Lagrange : Suivre la trajectoire d’une particule de fluide
o Euler : Se placer à un endroit et y caractériser les vecteurs vitesse des particules de fluide à l’instant t.
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Doc 1 – Deux modes de description d’une circulation automobile
• Vitesse d’une particule de fluide :
« 𝑣𝑚𝑜𝑦 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =1
𝑁∑ 𝑣𝑖⃗⃗⃗ 𝑖 »
• Si 𝑣𝑚𝑜𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0⃗ : fluide au repos
• Si 𝑣𝑚𝑜𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ≠ 0⃗ : écoulement
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• Champ de vitesse �⃗⃗� (𝑴, 𝒕) : o Vitesse dépend a priori de position et temps o Champ de vitesse.
Doc 2 – Exemple de champ de vitesse
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• Ligne de courant, tube de courant :
o Ligne : courbe tangente en tt point au chp de vitesses. o Tube : lignes s’appuyant sur contour fermé.
Doc 3 – Exemples de lignes de courant et tube de courant
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• Ecoulement unidirectionnel ? unidimensionnel ?
o Unidirectionnel : Lignes de courant parallèles entre elles et de direction fixe.
o Unidimesionnel : Les grandeurs de description de l’écoulement ne dépendent que d’une seule variable d’espace (par exemple, x ou r)
Unidirectionnel Unidirectionnel Unidimensionnel Non Unidimensionnel
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• Débit massique :
Définition Masse de fluide traversant une surface Σ par unité de temps (unité SI : kg.s-1)
Sur une surface élémentaire d’aire dS
Débit élémentaire
𝒅𝑫𝒎 = 𝝆. 𝒗. 𝒅𝑺
Sur la surface entière Σ d’aire S
Débit total 𝑫𝒎 = ∫ 𝝆. 𝒗. 𝒅𝑺𝑺
Si vitesse uniforme sur Σ Débit total 𝑫𝒎 = 𝝆. 𝒗. 𝑺
Propriétés
Bilan de masse d’un SO : 𝒅𝒎𝑺𝑶
𝒅𝒕= 𝑫𝒎𝒆 − 𝑫𝒎𝒔
Le débit massique se conserve en régime stationnaire.
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• Débit volumique :
Définition Volume de fluide traversant une surface Σ par unité de temps (unité SI : m3.s-1)
Sur une surface élémentaire d’aire dS
Débit élémentaire
𝒅𝑫𝑽 = 𝒗. 𝒅𝑺
Sur la surface entière Σ d’aire S
Débit total 𝑫𝑽 = ∫ 𝒗. 𝒅𝑺𝑺
Si vitesse uniforme sur Σ Débit total 𝑫𝑽 = 𝒗. 𝑺
Propriété Le débit volumique se conserve en régime stationnaire à condition que le fluide soit également incompressible.
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2. Bilan d’énergie mécanique
2.1. Cadre de l’étude
• But : Appliquer le TEM à un fluide en écoulement
• Hypothèses pour appliquer le TEM :
o Référentiel galiléen o Nécessité de définir un système fermé
• Hypothèses concernant l’écoulement
o Ecoulement permanent (ou quasi-stationnaire) o Fluide incompressible o Ecoulement laminaire
(absence de tourbillon : les lignes de courant ne se croisent pas).
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2.2. Bilan d’énergie mécanique
• Système fermé fictif
• Travail des forces pressantes
• Travail utile : signes possibles
o Turbine ? o Compresseur ? o Frottements (viscosité) ?
• Application TEM
o Bilan d’énergie mécanique o Formulation massique ou en puissance
• Notion de charge
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2.3. Relation de Bernoulli
• Hypothèses :
o Référentiel galiléen o Ecoulement quasi-stationnaire et laminaire o Fluide incompressible et parfait o Absence de pièces mobiles
• S’applique le long d’une ligne de courant AB
𝑃𝐴
𝜌+
1
2𝑐𝐴2 + 𝑔𝑧𝐴 =
𝑃𝐵
𝜌+
1
2𝑐𝐵2 + 𝑔𝑧𝐵
• Conservation de la charge
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3. Applications de la relation de Bernoulli
3.1. Vidange d’un réservoir
Doc 4 – Vidange d’un réservoir
o Vitesse d’éjection o Equation différentielle vérifiée par z o Durée de vidange
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3.2. Mesure de débit
• Effet Venturi
• Applications :
o Trompe à eau o Autres
Doc 5 – Trompe à eau
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Doc 6 – Exemples d’illustrations de l’effet Venturi
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• Exercice : Montrer que la mesure de la dénivellation Δh au niveau d’un tube de Venturi permet de déterminer le débit volumique de l’écoulement.
Doc 6 – Tube de Venturi
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3.3. Mesure de vitesse d’écoulement
• Tube de Pitot
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• Exercice : Montrer que la dénivellation Δh dans un tube de Pitot permet de déterminer la vitesse de l’écoulement.
Doc 7 – Tube de Pitot