Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD d’électrostatique no1
Champs et potentiels électrostatiques
Exercice 1 - Champ sur l’axe d’un doublet de charges opposées.
Deux charges ponctuelles opposées q et −q sont placées respectivement en A et B sur l’axe (Ox), à une distance a de
part et d’autre du point O. On note−→E (M) le champ électrostatique et V (M) le potentiel électrostatique créés par
ces deux charges en un point M de l’axe (Ox).
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (M) ?
2 . Donner l’expression du champ électrostatique−→E (M) en fonction de q, a et x.
3 . Donner l’expression du potentiel électrostatique V (M) en fonction de q, a et x.
4 . Retrouver l’expression du champ électrostatique−→E (M).
5 . Tracer l’allure des courbes V (x) et Ex(x).
6 . Analyser l’existence de positions d’équilibre pour une charge ponctuelle Q mobile sur l’axe (Ox).
xb
Ob
M(x)B
−q
A
q
2. Réponse : pour tout point M de l’axe (Ox) tel que |x| > a, on a−→E (M) =
q
4πǫ0
(
1
(x + a)2− 1
(x − a)2
)
−→ex
pour tout point M de l’axe (Ox) tel que 0 6 |x| < a, on a−→E (M) =
q
4πǫ0
(
1
(x + a)2+
1
(a − x)2
)
−→ex
3. Réponse : V (M) =q
4πǫ0
[
1
|x + a| − 1
|x − a|
]
pour x 6= ±a
6. Réponse : aucune position d’équilibre.
Exercice 2 - Charges placées aux sommets d’un polygone régulier.
Un ensemble de n charges ponctuelles identiques égales à q est réparti dans le plan (Oxy) sur les n sommets d’unpolygone régulier de centre O et de rayon R (sur la figure est représenté le cas d’un hexagone). On note V (M) lepotentiel électrostatique créé en un point M de l’axe (Oz) par cette distribution.
1 . Donner l’expression du potentiel électrostatique V (M) enfonction de n, q, R et z.
2 . En déduire l’expression du champ électrostatique−→E (M).
3 . Tracer l’allure des courbes V (z) et Ez(z).
4 . Existe-t-il des positions d’équilibre pour une charge ponctuelleQ mobile sur l’axe (Oz) ? Analyser leur stabilité.
y
z
x
O
× M(z)
S. Bénet 1
1. Réponse : V (M) =n q
4πǫ0(z2 + R2)1/22. Réponse :
−→E (M) =
n q z
4πǫ0(z2 + R2)3/2
−→ez
4. Réponse : la position z = 0 est une position d’équilibre, stable si Q et q sont de signes opposés.
Exercice 3 - Surface équipotentielle.
Une distribution de charge D est contenue dans un plan (Oxy). Elle est constituée par la charge −q placée au pointA(−1, 0) et par la charge 2q placée au point B(+1, 0). On note V (M) le potentiel électrostatique créé en un pointM(x, y).
1 . Quelle est la relation simple entre AM et BM pour tout point M de l’équipotentielle V = 0 ?
2 . Montrer que l’équipotentielle V = 0 est un cercle C. Déterminer la position de son centre C ainsi que de sonrayon.
1. Réponse : BM = 2 AM 2. Réponse : C(− 5
3, 0) et R = 4
3
Exercice 4 - Équilibre d’une boule chargée.
Deux boules identiques A et B sont distantes de D = 1 m et fixes. Elles portent initialement une même charge q. Onmet en contact avec la boule A une boule C identique aux deux autres, portant initialement une charge nulle.
1 . Quelle est la charge q′ acquise par la boule C ?
2 . Exprimer puis calculer la distance x0 entre la boule A et la boule C lorsque cette dernière est dans une positiond’équilibre.
3 . L’équilibre est-il stable ou instable ?
x
BA C
1. Réponse : q′ =1
2q
2. Réponse : x0 =D
1 +√
2
3. Réponse : il s’agit d’une position d’équilibre stable.
Exercice 5 - Électromètre.
Un électromètre est constitué de deux petites boules conductrices identiques demême masse m, suspendues à deux fils isolants de même longueur ℓ. Au repos- les boules n’étant pas chargées - les fils sont tous deux verticaux et les boulesse touchent. On transmet par contact une charge totale Q aux boules.
1 . Déterminer la relation vérifiée par l’angle α formé à l’équilibre par chacundes fils avec la verticale.
2 . En supposant que α ≪ 1 , calculer α.
bO
AB
αℓℓ
−→g
Données : Q = 10−8 C ; m = 1 g ; g = 9, 8 m · s−2 ;1
4πǫ0
= 9 · 109 N · m2 · C−2.
Réponse :sin3 α
cos α=
Q2
64πǫ0ℓ2mg
S. Bénet 2/4
Exercice 6 - Arc de cercle uniformément chargé.
Un arc de cercle de centre O, de rayon R et d’angle au sommet 2α porte une charge Q uniformément répartie sur sa
longueur. On note (Ox) sa bissectrice et−→E (O) le champ électrostatique créé au point O.
Un point P de la distribution de charges est repéré par l’angle θ indiqué sur la figure.
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (O) ?
2 . Exprimer le champ électrostatique élémentaire d−→E (O) créé en O
par la charge élémentaire portée par l’arc de cercle élémentaire centréP .
3 . En déduire l’expression du champ électrostatique−→E (O) en fonction
de Q, R et α.
4 . Analyser les cas α → 0 et α → π.
x
O
α
C
θ
P
Réponse :−→E (O) =
Q
4πǫ0R2
sin α
α−→ex
Exercice 7 - Demi-cercles portant des charges opposées.
Un cercle de centre O et de rayon R est découpé en deux demi-cercles C1
et C2, portant les charges opposées respectives Q et −Q uniformément
réparties. On s’intéresse au champ électrostatique−→E (O) créé au point
O par cette distribution.
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (O) ?
2 . Déterminer l’expression du champ électrostatique−→E (O) en fonction
de Q et R.
x
y
O
C1 C2
Réponse :−→E (O) =
Q
π2ǫ0R2
−→ex
Exercice 8 - Cercle non uniformément chargé.
Un cercle C de centre O et de rayon R est caractérisé par une densitélinéique de charge λ qui varie en fonction de la position du point P surle cercle, suivant la loi λ(θ) = λ0 cos θ, avec λ0 une constante.
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (O) ?
2 . Exprimer le champ électrostatique élémentaire d−→E (O) créé en O
par la charge élémentaire portée par l’arc de cercle élémentaire centréP .
3 . En déduire l’expression du champ électrostatique−→E (O) en fonction
de λ0 et R.
x
y
O
C
θ
P
Réponse :−→E (O) = − λ0
4ǫ0R−→ex
S. Bénet 3/4
Exercice 9 - Champ sur l’axe d’un segment chargé.
Un segment [A, B] de l’axe (Ox) est chargé uniformément et est caractérisé par sa densité linéique de charge λ, les
points A et B étant situés à une distance a du point O. On note−→E (M) le champ électrostatique et V (M) le potentiel
électrostatique créés en un point M de l’axe (Ox) et situé en dehors du segment chargé.
1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (M) ?
2 . En repérant la position d’un point P de la distribution de charge par son abscisse X , exprimer le champ
électrostatique élémentaire d−→E (M) créé en M par la charge élémentaire portée par l’élément de longueur élémentaire
centré en P .
3 . En déduire l’expression du champ−→E (M) en fonction de λ, a et x.
4 . En repérant la position d’un point P de la distribution par son abscisse X , déterminer l’expression du potentielélectrostatique V (M) en fonction de λ, a et x.
5 . Retrouver l’expression du champ électrostatique−→E (M).
6 . Tracer l’allure des courbes V (x) et Ex(x).
7 . Analyser le cas a ≪ x.
xb
Ob
M(x)
BA
2a
3. Réponse :−→E (M) =
λa
2πǫ0 (x2 − a2)−→ex
4. Réponse : pour x > a , on a : V (M) =λ
4πǫ0
ln
(
x + a
x − a
)
Exercice 10 - Expérience de Rutherford.
Une fine feuille d’or (Z = 79) est bombardée par des particulesα, c’est-à-dire des noyaux d’hélium . Ces particules sont projetéesavec une énergie cinétique E0 = 10 MeV . On constate qu’unefaible partie des particules incidentes est renvoyée dans la directionopposée, à cause de leur "rebond" sur les noyaux d’or.
Données : 1 eV = 1, 6 · 10−19 J, e = 1, 6 · 10−19 C,
mproton ≃ mneutron = 1, 6 ·10−27 kg ,1
4πǫ0
= 9 ·109N· m2 ·C−2.
bc bcbcbcbc
bcbc
AB
noyau
d
En traduisant la conservation de l’énergie mécanique entre la position initiale A des particules α et leur positiond’approche minimale B, exprimer la distance d’approche minimale d au noyau en fonction des données. Calculer d.
Réponse : d =2Ze2
4πǫ0 E0
S. Bénet 4/4