Stage Lasers Intenses 2008
STAGE LASERS INTENSESDu 4 au 8 février 2008
COURS
Introduction optique non Linéaire
Lionel Canioni
Université Bordeaux1, CPMOH [email protected]
Stage Lasers Intenses 2008
Optique Non linéaire ?
Lumière verte produite par un laser IR dans un cristal non linéaire.
Optique non linéaire permet de générer des nouvelles couleurs,
de changer la forme spatiale,
la forme temporelle d’une impulsion lumineuse…
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Polarisation induite• Hypothèses du milieu:
• Homogène• Localité • Causalité
– Expression de P:
– Dans l’espace réciproque
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Propagation linéaire
– Equations de Maxwell
– Propagation:
– Indice de réfraction
jijiji En 12
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Propagation milieu isotrope
• La susceptibilité est scalaire D et E colinéaires
• Solution: k()= n() /c
2Fréquence
Indi
ce d
e ré
frac
ton
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Equation de Fresnel milieu uniaxe
• Solution: avec s=k/k et k =n /c. Solution:
surfaces des indices.
• Uniaxe: no =nx=ny, ne=nz
• Onde ordinaire polarisé dans le plan orthogonal à z,k. Onde extraordinaire polarisé parallèlement au plan z, k
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Double réfraction
e
e
n
n
1
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Faisceau Gaussien
• Faisceau gaussien en z = 0
• Solution en z
• Avec
• Et les paramètres faisceaux
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Paramètres faisceau gaussien
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Propagation d’impulsion laser• Expression du champ:
• Equation de propagation premier ordre dans un milieu dispersif:
Vg=1/ko’
Deuxième ordre similaire propagation spatiale
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Effet non linéaire dans les atomes et molécules
Le potentiel devient plat loin du noyau et le mouvement electron peut être non linéaire!
Potentiel noyau
Noyau
En
erg
ie
Position
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Polarisation non linéaire• Régime perturbatif: champ laser << champ atomique• Développement perturbatif de la polarisation en puissance du champ P(r,t)=P(1)(r,t)+P(2)(r,t)+..
Hors résonance :
(1) (2) 2 (3) 30 ... P E E E
*
*2222
( ) ,
( )
exp( ) ex
2exp(2 ) exp(
p
2
(
)
)
E
E i t
i t E
E i t
i t
t
t E
E
E
Since
Pour le deuxième ordre par exemple:
2 = 2nd harmonique!
Comme
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Polarisation non linéaire induite
– Flèches vers le haut: photon absorbé, champ Ei .
– Fléches vers le bas: photons emmis et champ conjugué.
– Processus de mélange d’onde (ici 6) Plus l’ordre est élevé plus le processus est faible
*1 2 3 4 5P E E E E E
sig
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Malheureusement, peut ne pas correspondre à un faisceau de fréquence sig!
Si on satisfait ces deux equations en même temps: "phase-matching."
sigk
Loi de conservation pour l’optique non linéaire
1 2 3 4 5 sig
1 2 3 4 5 sigk k k k k k
Energie est conservée:
L’impulsion est aussi conservée:
sigk
sig
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Processus du deuxième ordre
Avec deux faisceaux de couleurs différentes:
*1 1 1 1
*2 2 2 2exp( ) e exp( ) exp( ) x (( )) pE i t E i t E i t E i tE t
* *1 2 1
* *1 2 1 2 1 2 1 2
2 *
2
2 2
1 2
2 1 2
2
2
1 2
2 2
21 1 1
2
*1
2
2 exp (
exp(2 ) exp(
2 exp (
exp(2 ) exp( 2 )
) 2 exp
) 2 ex
2 )
(
p
( )
)
(
2
)
2
E i t E
E
E E i t E E i t
i t
E
E i t E E i t
E t
E E
i t E i t
2nd-harmonique
2nd-harmonique
Somme freq
Diff-freq
Rectification
On a:
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Non linéarité du second ordre
• Symétrie: matériau de symétrie centro symétrique (milieu isotrope)
– propriétés physiques invariantes par rotation de 180° Pour la susceptibilité du deuxième ordre:
r -r alors, (2) (2) par ailleurs: P -P et E -EDonc P(2)(r,t) = (2)E1 E2
Nous avons : (2) = -(2) =0
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Propagation en régime non linéaire
• L’équation de propagation a un terme source en plus:
• Résolution simplifiée : on néglige la double réfraction, • Onde plane : • les équations à résoudre pour un processus non linéaire
sont couplées. (autant d’équation que de fréquences générées)
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Doublage de fréquence• Les polarisations qui nous intéressent oscillent à la fréquence double du
champ excitateur A1 et à la fréquence simple
• L’équation de propagation pour l’onde harmonique s’écrit:
• L’équation de propagation pour l’onde fondamentale:
• Avec k= 2k1-k2 est le désaccord de phase.
kzizAcn
i
dz
dA exp
24
2 21
)2(0
2
2
zikzAP 12
1
)2(0
2 2exp2
)2(
kzizAzAcn
i
dz
dA exp
24*12
)2(0
1
1
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Loi de conservation pour la SHG
Energie est conservée:
1 1 12sig sig
1 1 sigk k k
Impulsion est aussi conservée: (SHG Colinéaire)
1 1( ) (2 )n n
Le phase matching donne donc:
1 11 1
0 0
22 ( ) (2 )n nc c
Ene
rgie 1
1
sig
1k
1k
sigk
12sig
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Doublage de fréquence faible déplétion
• Solution périodique avec une période de 2 Lc. Avec Lc longueur de cohérence Lc= k
• Au delà de Lc, l’intensité de la seconde harmonique diminue.
)2
sin(2
exp24
2 21
)2(0
22
kzkziA
kicn
izA
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Faisceau incident
Génération seconde harmonique dans un cristalLoin de l’accord de phase
Plus proche du phase matching:
SHG crystal
Faisceau incident
SHG crystal
Faisceau doublé
Faisceau doublé
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Accord de phase critique
Onde fondamentale et harmonique de polarisation opposée
Problème• Acceptance angulaire• Acceptance spectrale
Doublage critique LiNbO3 ooe800 nm 31°, et walk off 16 mrad
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Accord de phase non critique
Problème:Température élévée: four. Moins sensible angulairement
Doublage non critique LiNbO3Pompe: 1064 nm, Oz, signal: Oy T= 150°C acceptance 26 mrad
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Puissance seconde harmonique
• Lorsque l’accord de phase est réalisé, la puissance varie comme z2:
• Expression valable pour des faibles conversion• Possibilité de réaliser un pseudo accord de phase:PPLN retournement de domaine ferroélectrique
zAkicn
izA 2
1
)2(0
22 24
2
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Type d’accord de phase
0
10
20
1 21 41 61 81
hors accord accord quasi accord
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Génération avec déplétion de la pompe
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
543210
1.0
0.5
0.0
-0.5
2.01.51.00.50.0
Champ harmonique et pompe (flux de photon droite), amplitude en fonction de z
Solution équations couplées: hyperbolique : Tanh, sech
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Différents processus paramétriques
1
1
3
2 = 3 1
Différence de fréquence
Oscillateur paramétrique (OPO)
3
2
"signal"
"idler"
convention:signal idler
1
3 2
Amplification Paramétrique (OPA)
1
1
3
2
Generation Paramétrique (OPG)
Différence de fréquence
mirroir mirroir
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Effet du troisième ordreindice non linéaire
2(1) (3)1n E
2 2(3) 2 (3)10 0 0 021 / / 2n n E n n E n
0 2n n n I (3)
2 0/ 2n n
Non linéarité du troisième ordre:
Pour un faible effet NL:
Effet Kerr Optique
Avec
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L’automodulation de phase conduit à une phase fn. temps qui est proportionnelle à l’ intensité fn. temps.
Auto modulation de phase & génération de continuum
0 0 0 2( , ) (0, ) exp ( )E z t E t ik n I t z
Distance de modulation.
L’effet de cette phase dépendant du temps est un élargissement spectral qui peut conduire à la génération d’un continuum
0 2( , ) ( )z t k n I t z La phase :
Intensité
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La fréquence instantané fn. Temps: SPM
0 2( , ) ( )z t k z n I t
0 2
( , ) ( )( )inst
z t I tt k z n
t t
Exemple: 10-fs, 800-nm, SPM de 1 radian.
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Continua créé par un pulse de 500-fs à 625nm dans 30 cm d’une fibre mono mode. (Alphano)
Faible
Energie
Energie
moyenne
Haute
Energie
Exemple de continuum généré dans une fibre