1Séquence 1 – MA11
Séquence 1
Second degré
Sommaire
Pré-requis
Différentes formes d’une fonction polynôme de degré 2
équation du second degré
Signe du trinômeSynthèse du cours
Exercices d’approfondissement
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3Séquence 1 – MA11
1 Pré-requisFonction polynôme de degré 2
Définitions
La fonction f définie sur � par f x ax bx c: � 2 + + avec a ≠ 0 est une fonction polynôme de degré 2 ou fonction trinôme.
Propriété
La courbe représentative de la fonction f x ax bx c: � 2 + + avec a ≠ 0 est une parabole qui a l’allure suivante :
Si a > 0
f est décroissante puis croissante.La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
Allure :
S
b2a
Le point d’intersection de la parabole avec son axe de
symétrie est le sommet de la parabole.
Le sommet de la parabole a pour abscisse −b
a2 ;
f atteint un minimum en ce point qui vaut fb
a−
2
.
Si a < 0
f est croissante puis décroissante.La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
Allure :
S
b2a
Le point d’intersection de la parabole avec son axe de
symétrie est le sommet de la parabole.
Le sommet de la parabole a pour abscisse − ba2
;
f atteint un maximum en ce point qui vaut fba
−
2
.
A
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4 Séquence 1 – MA11
On obtient le tableau de variation suivant :
x –∞ −b
a2+∞
variation de ff
b
a−
2
On obtient le tableau de variation suivant :
x –∞ −b
a2+∞
variation de ff
b
a−
2
Résoudre une équation
a) Equation du 1er degré
Résoudre :
1 3 – 4=0x 2 − + =2 5 4x
1 3 – 4=0
3 = 4
=43
xx
x
S =
43
2 − + =− = −− = −
= −−
=
=
2 5 4
2 4 5
2 1
12
12
12
xxx
x
S
b) Equation produit
Résoudre : (2x + 3)(-4x + 7)=0
(2 + 3)( 4 + 7)=0
2 + 3 = 0 ou 4 + 7=0
2
x xx xx
−−
= 3 ou 4 = -7
=3
2ou
− −−
x
x x ==74
=74
32
;74
−−
= −
S
B
E Exemple
E Solution
E Solution
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5Séquence 1 – MA11
c) Quelques équations du second degré
Résoudre :
1 3 4 02x x− = 2 x 2 25 0− =
1 3 4 0
3 4 0
0 3 4 0
043
0
2x xx xx x
x x
S
− =− =
= − =
= =
=
( )
;
ou
ou
443
2 x
xx x
x xx
2
2 2
25 0
5 0
5 5 0
5 0 5 0
5
− =
− =− + =
− = + ==
( )( )
ou
ou xx
S
= −= −{ }
5
5 5 ;
E Solution
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6 Séquence 1 – MA11
2 Différentes formes d’une fonction polynôme de degré 2
Activité
étude d’un exemple
On considère la fonction f définie sur� par f x x x( ) = + −2 5 32 (*)
1 Déterminer une nouvelle écriture de f
Factorisons : 2 5 3 252
32
254
54
2 2
2
x x x x
x
+ − = + −
= +
−
22
2
32
254
2516
2416
2
−
= +
− −
=
x
x ++
−
= +
−
54
4916
254
498
2
2
x (**)
(*) est la forme développée de f
(**) est la forme canonique de f ( x n’apparaît qu’une seule fois dans l’expression).
A
Activité 1
Regardons x x2 52
+ comme le
début du développement d’un carré
( ...)x + 2
Ce résultat peut être obtenu avec la fonction forme_cano-nique du logiciel Xcas :
Remarque
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7Séquence 1 – MA11
2 Calculer : etα β= − = − +ba
b aca24
4
2
et
et
α β
α β
= −×
= − + × × −×
= − = −
52 2
5 4 2 34 2
54
498
2 ( )
3 Montrer que f admet un minimum en x = −54
et donner la valeur de ce minimum.
f
f x f x
−
= −
− −
= − − +
54
498
54
254
498
492( ) ( )88
54
254
2 0
2f x f x
x
( ) ( )− −
= −
> ≠Comme et, pour−− −
>
≠ − − −
54
54
0
54
54
2
, on a :
Pour
x
x f x f
,
, ( )
> > −
05
4soit f x f( )
f admet un minimum en x = −54
qui vaut f−
= −54
498
Ceci correspond au sommet S− −
54
498
; de la parabole.
4 Conclusion : Dans cet exemple, la forme canonique de f est donnée par :
f x a xba
b aca
( ) ( )= − + = − = − +α β α β22
24
4avec et
Ce résultat se généralise à toute fonction polynôme de degré 2.
Cours
1 Forme développée et forme canonique
B
Théorème 1
Toute fonction trinôme f définie par f x ax bx c( )= + +2 s’écrit sous la
forme f x a xba
b aca
( ) ( )= − + = − = − +α β α β22
24
4avec et
f x ax bx c( )= + +2 est la forme développée de f .
f x a x( ) ( )= − +α β2 est la forme canonique de f .
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8 Séquence 1 – MA11
Démonstration
Soit f x ax bx c( )= + +2 avec a ≠ 0
f x a xbax c
a xba
ba
c
a xb
( ) ( )
( ) ( )
(
= + +
= + −
+
= +
2
2 22 2
22 4
2 4
2
22
2
22
2
ab
ac
a xba
ba
c
a xba
)
( )
( )
−
+
= + − +
= + + −− +
= + + − +
ba
aca
a xba
b aca
2
22
444
24
4( )
Posons α β= − = − +ba
b aca24
4
2et , on a bien f x a x( ) ( )= − +α β2
2 Sommet de la parabole
Démonstration
f a( ) ( )α β β= + =0 2
Montrons que f réalise un extremum en α :
f x f a x
a x
( ) ( ) ( )
( )
− = − + −
= −
α α β β
α
2
2
Si a > 0
Pour
Ainsi, a et
x x
x f x f
≠ − >
− > − >
α α
α α
,( )
( ) ( ) ( )
2
2
0
0 00
f fréalise un minimum en qui vautα α( ).
Si a < 0
Pour
Ainsi, a et
x x
x f x f
≠ − >
− < − <
α α
α α
,( )
( ) ( ) ( )
2
2
0
0 00
f fréalise un maximum en qui vautα α( ).
Théorème 2Avec les notations du théorème 1 : La parabole associée à f admet pour sommet le point S de coordonnées ( ; )α β
f ( )α β=
Remarque
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9Séquence 1 – MA11
Exercices d’apprentissage
Soit f x x x g x x x( ) ( )= − + = − − −3 30 83 8 152 2et
a) Déterminer les coefficients a, b et c du trinôme ax bx c2 + + associés aux
fonctions f et g .
b) Vérifier que f x x( ) ( )= − +3 5 82 et g x x( ) ( )= − + +4 12 .
c) Donner les coordonnées du sommet de la parabole associée à f puis à g .
Soit f x x g x x( ) ( ) ( ) ( )= + − = − + +3 7 2 2 4 52 2et
a) Déterminer la forme développée de f puis de g .
b) Donner le tableau de variations def puis de g .
c) Donner les coordonnées du sommet de la parabole associée à f puis à g .
Soit f x x x( ) = − +2 8 82
Donner le tableau de variations de f
Soit f x x x( ) = + +2 3 12
a) A l’aide de la calculatrice, conjecturer les variations de f .
b) Donner le tableau de variations de f .
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f x x( ) ( )= + −3 252 (Forme A).
1 Vérifier que f peut aussi s’écrire sous la forme
a) f x x x( ) = + −2 6 16 (Forme B).
b) f x x x( ) ( )( )= − +2 8 (Forme C).
2 a) Mettre une croix dans la case correspondant à la forme la plus adaptée
pour calculer f f f( ) ; ( ) ( ).0 3 2− et
Forme A Forme B Forme C
f ( )0 f ( )−3 f ( )2
b) Effectuer les calculs.
C
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
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10 Séquence 1 – MA11
3 a) Mettre une croix dans la case correspondant à la forme la plus adaptée pour résoudre f x f x f x( ) ; ( ) ( )= = = −0 11 16et
Forme A Forme B Forme C
f x( )= 0
f x( ) = 11
f x( ) = −16
b) Résoudre ces équations.
Un carré ABCD a un côté de longueur 4. M est un point du segment [AB].
On dessine dans le carré un carré de côté [AM] et un triangle isocèle rectangle de base [MB].
On s’intéresse à l’aire du motif constitué par le carré et le triangle.
On note x la longueur AM.
D C
A BM
H
FG
90°
a) Modéliser cette situation à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique (par exemple Geogeba). M sera un point mobile du segment [AB]. Conjecturer s’il est possible de rendre l’aire du motif minimale ? Si oui, dans quel(s) cas ?
Utiliser la fonctionnalité « Aire » ou le tableur de Geogebra.
b) Démontrer ce résultat :
1. Exprimer la longueur MB en fonction de x .
2. Déterminer l’aire du motif constitué par le carré et le triangle.
3. Démontrer la conjecture.
Exercice 6
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11Séquence 1 – MA11
3 équationdu second degré
ActivitéConjecture du nombre de solution(s) d’une équation du type
ax bx c2 0+ + =
Soient les fonctions f g h i j k, , , , et définies sur � par :
f x x x
g x x x
h x x x
( )
( )
( )
= − −
= + +
= − +
2 5 3
1
9 12 4
2
2
2
i x x x
j x x x
k x x x
( ) –
( )
( )
= + +
= − − −
= + +
3 6 72
2 1
6 20 20
2
2
2
1 On rappelle que, pour une fonction polynôme de degré 2, f x ax bx c( ) ,= + +2
− = −β b aca
2 44
.
Pour chacune des fonctions précédentes, calculer le nombre ∆ = −b ac2 4 appelé discriminant du trinôme (lié au numérateur de β ) ; l’indiquer dans le tableau ci-dessous :
Fonctions f g h i j k
∆ = −b ac2 4
2 Indiquer les réponses dans le tableau ci-dessous.
a) Pour chacune des fonctions précédentes, indiquer le signe de ∆ .
b) Représenter les fonctions f g h i j k, , , , et sur l’écran de votre calculatrice puis :
– Conjecturer l’existence de solutions aux équations :
f x g x h x i x j x k( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; (= = = = =0 0 0 0 0 xx ) .= 0
– Dans le cas où des solutions existent, indiquer leur nombre.
Fonctions f g h i j k
Signe de ∆ (+ ; – ou 0)
Existence de solution(s) (oui ou non)
Si oui, nombre de solution(s)
émettre une conjecture liant le signe du discriminant ∆ et le nombre de solutions des équations du type f x( ) .= 0
AActivité 2
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12 Séquence 1 – MA11
Cours
1 Discriminant
Définition
Soit f une fonction trinôme définie par f x ax bx c( )= + +2 .
b ac2 4− est appelé discriminant du trinôme ax bx c2 + + . On le note ∆ .
2 Théorème
Résolution dans � de l’équation ax bx c2 0+ + = et forme factorisée.
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
Solutions
2 solutions :
xb
a1 2= − − ∆
; x
ba2 2
= − + ∆1 solution double :
α = − ba2
Pas de solutions dans �
Forme factorisée
a x x x x( )( )− −1 2 a x( )− α 2 Pas de factorisation dans �
Allure graphique
Deux points d’intersection entre la parabole et l’axe des abscisses
x1 x2
ou
x1 x2
Un point d’intersection entre la parabole et l’axe des abscisses
α
ou
α
Pas de point d’intersection entre la parabole et l’axe des abscisses
ou
Les solutions de l’équation ax bx c2 0+ + = sont aussi appelées racines de ax bx c2 + + .
Remarque
B
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13Séquence 1 – MA11
Démonstration
Dans le chapitre 2, on a vu que f x ax bx c( )= + +2 pouvait s’écrire sous la forme
f x a x( ) ( )= − +α β2 .
On a donc f x a xa
( ) ( )= − −α 24∆
soit f x a xa
( ) ( )= − −
α 2
24
∆ avec a ≠ 0 .
E Si ∆> 0 alors ∆ ∆= ( )2
f x a xa
a xa
( ) ( )( )
( )
= − −
= − −
α
α
22
2
22
4
2
∆
∆
= − −
− +
= − − +
a xa
xa
a xb
α α∆ ∆
∆
2 2
22 2ax
ba
− − −
∆
l’équation f x( ) = 0 admet pour solutions xb
ax
ba1 22 2
= − + = − −∆ ∆et
f se factorise sous la forme : f x a x x x x( ) = −( ) −( )1 2
E Si ∆= 0,
Alors f x a x( ) ( )= − α 2 : l’équation f x( ) = 0 admet pour solution double la valeur
α et f se factorise sous la forme f x a x( ) ( )= − α 2 .
E Si ∆ < 0,
alors − ∆4a
>0 donc ( )xa
− −α 224
∆>0 : l’équation f x( ) = 0 n’admet pas de
solution dans � et on ne peut pas factoriser f .
Résoudre dans � l’équation 2 5 3 02x x− − =
On calcule le discriminant ∆ :
∆ = −
= − − × × −= +=
b ac2
2
4
5 4 2 3
25 24
49
( ) ( )
∆ = =49 7
E Exemple
E Solution
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14 Séquence 1 – MA11
∆ > 0 donc cette équation admet deux solutions distinctes :
xb
a1 25 72 2124
3
= − +
= +×
= =
∆
et
xb
a2 25 72 2
24
12
= − −
= −×
= − = −
∆
S =
–12
; 3
Résoudre dans � l’équation x2 + + =x 1 0
On calcule le discriminant ∆ :
∆ = −
= − × ×= −= −
b ac2
2
4
1 4 1 1
1 4
3
∆ < 0 donc cette équation n’admet pas de solution.
Résoudre dans � l’équation 9 12 4 0x2 − + =x
On calcule le discriminant ∆ :
∆ = −
= − − × ×= −=
b ac2
2
4
12 4 9 4
144 144
0
( )
∆ = 0 donc cette équation admet une solution double :
α = − =×
ba2
122 9
α = =1218
23
S =
23
E Exemple
E Solution
E Exemple
E Solution
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15Séquence 1 – MA11
Algorithme
L’algorithme qui suit calcule le discriminant ∆ du trinôme ax bx c2 + + et
indique le nombre de solution de l’équation ax bx c2 0+ + =
1 Langage « naturel »
Entrées : a b c, et (coefficients du trinôme ax bx c2 + + )
Traitement :
– « ∆ = »
Mettre b ac2 4− dans ∆
Afficher ∆
– « Nombre de solutions : »
Si ∆ > 0 alors afficher « 2 solutions »
Si ∆ = 0 alors afficher « 1 solution »
Sinon afficher « pas de solution »
FinSi
Fin de l’algorithme
2 Langage « calculatrice »
Texas Instrument Casio
C
On peut remplacer le « sinon » ∆ < 0
Remarque
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16 Séquence 1 – MA11
Exercices d’apprentissage
Dans chacun des cas suivants, résoudre dans � l’équation f x( ) = 0 et, si pos-
sible, factoriser f x( )
a) f x x( ) , ,= − + +0 5 2 5 3x2
b) f x x( ) = − + −2 12 18x2
c) f x x( ) , ,= − + −0 5 3 9 5x2
d) f x x( ) = + +5 12 3x2
Résoudre dans � les équations suivantes sans utiliser le calcul du discriminant
a) x 2 25 0− =
b) 3 4 02x x+ =
c) x 2 7 0+ =
d) x x2 2 1 0− + =
e) 9 4 02x − =
Résoudre dans � les équations suivantes.
a) 3 5 2 2 42 2x x x x+ = − +
b) ( )2 4 3 52x x+ = +
1 Ecrire, en « langage naturel », un algorithme qui permet de :
– calculer le discriminant ∆ associé au trinôme ax bx c2 + +
– donner les valeurs des solutions éventuelles de l’équation ax bx c2 0+ + = ; indiquer « pas de solution » lorsqu’il n’y en a pas.
2 Programmer cet algorithme sur la calculatrice ou un logiciel.
3 Tester cet algorithme avec les équations de l’exercice 7.
D
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
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17Séquence 1 – MA11
Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) = − − +2 9 360 et représentée graphiquement par la parabole P.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de P avec l’axe des abscisses.
Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) = − + +2 22 1252 et représentée graphiquement par la parabole P.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de P avec la droite
d’équation y = 5 .
Soient f et g les fonctions définies sur � par f x x x( ) = + +4 3 22 et
g x x x( ) = + +5 2 12 et représentées graphiquement par les paraboles Pf et Pg
respectivement.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Pf et Pg .
Offre et demande
Les fonctions d’offre et de demande de la pomme de terre sur les marchés, exprimées en € par tonne, sont données par :
O q q q D q q q q( ) , ( ) , .= + + = − + <2 1 5 17 20 110 102 2et pour
où q désigne la masse de pomme de terre exprimée en tonne.
1 a) Pour quelle masse l’offre est-elle de 43 € ?
b) Pour quelle masse la demande est-elle de 26 € ?
2 a) Dresser le tableau de variation des fonctions offre et demande sur l’intervalle [1 ; 10].
b) Représenter ces deux fonctions dans un même repère.
Unités : en abscisse, 2 cm pour une unité ; en ordonnée, 1 cm pour 10 unités.
3 a) Résoudre graphiquement l’équation O q D q( ) ( )= .
La solution de cette équation est appelée quantité d’équilibre du marché.
b) Par un calcul, déterminer la valeur exacte puis la valeur approchée à 0,01 tonne près de la quantité d’équilibre du marché. Quel est alors le prix d’équilibre du marché, arrondi au centime près ?
Une partie de volley
Dans tout l’exercice, on assimilera la balle à un point matériel. On prendra
g m s= 10 2. - .
Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
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18 Séquence 1 – MA11
Au volley-ball, le joueur qui effectue le service frappe la balle à la hauteur h du sol et à la distance L du filet (voir figure ci-dessous).
A
O
No
L
hH
DD
α
La hauteur du filet est H = 2 43, m. La ligne de fond du camp adverse est à
D = 9 m du filet. Pour que le service soit bon, il faut que la balle passe au-dessus
du filet et touche le sol dans le camp adverse entre le filet et la ligne de fond. Pour
simplifier, on supposera que la trajectoire de la balle est située dans le plan de
figure (orthogonal au filet) et on négligera la résistance de l’air. Dans cet exercice,
nous allons étudier le service. Pour cela, le joueur placé en O saute verticalement
et frappe la balle en A pour lequel h = 3 5, m et L = 12 m. Le vecteur vitesse
initiale de la balle v0
��� fait un angle α = °7 vers le haut avec l’horizontale (voir
figure) et a pour normev m s0118= −. .
D’après les lois de la physique, la trajectoire de la balle est régie par l’équation :
yg
vx x h= − + × +1
202 2
2
(cos( ))( ) .
ααtan
1 La balle passe-t-elle au-dessus du filet ?
2 Si elle n’est pas interceptée, à quelle distance de O se trouve la balle lorsqu’elle touche le sol ? Le service est-il bon ?
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19Séquence 1 – MA11
4 Signe du trinômeConjecturer le signe d’un trinôme
Soit P la parabole représentée dans le repère ci-dessous et associée à la fonction
trinôme f x ax bx c( )= + +2 .
à partir du graphique, compléter le tableau suivant :
Graphique
P coupe-t-elle l’axe des abscisses ?Si oui, quel est le nombre de point(s) d’intersection ?
Signe de a
Signe de ∆ Tableau de signe
x1 x2Oui
2 points d’intersec-tion
a < 0 ∆ > 0
x –∞ x1 x2 +∞
signe de f
– 0 + 0 –
x1 x2
α
α
AActivité 3
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20 Séquence 1 – MA11
Ce tableau résume les différents cas de figure pour l’étude du signe de f .
Il dépend :
– de l’existence de solution à l’équation f x( ) = 0 – du nombre de solution
– de l’orientation de la parabole i.e. du signe de a .
Le théorème qui suit résume ces différentes situations.
Cours
1 Signe du trinôme
Théorème 4
Signe de f x ax bx c( )= + +2
▶ si ∆ < 0 , f est de signe constant, celui de a .
▶ si ∆ = 0 , f est de signe constant, celui de a , sauf en la racine −b
a2 où f s’annule.
▶ si ∆ > 0 , f s’annule en les racines x x1 2et , est du signe de a sur
] ; [ ] ; [− ∞ ∪ + ∞x x1 2 et est du signe contraire de a sur ] ; [x x1 2 .
BOn peut retenir que le tri-nôme du second degré ax bx c a2 0+ + ≠avec est du signe de a sauf entre les racines, si elles existent.
Remarque
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21Séquence 1 – MA11
2 Exemple
Dresser le tableau de signe de la fonction f définie sur � par f x x x( ) = − + −2 3 12
On calcule le discriminant ∆ :
∆ = −
= − × − × −= −=
b ac2
2
4
3 4 2 1
9 8
1
( ) ( )
∆ = =1 1
∆ > 0 donc f a deux racines distinctes :
xb
a1 23 1
2 224
12
= − +
= − +× −
= −−
=
∆
( )
et
xb
a2 23 1
2 244
1
= − −
= − −× −
= −−
=
∆
( )
a = –2 < 0
On obtient le tableau de signe suivant :
x –∞ 1
21 +∞
signe de f
– 0 + 0 –
Exercices d’apprentissage
étudier le tableau de signe de la fonction f définie sur � par
a) f x x x( ) = + +2 3 12
b) f x x x( ) = + +2 3 4
c) f x x x( ) = − + −2 12 182
E Exemple
E Solution
C
Exercice 16
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22 Séquence 1 – MA11
Résoudre sur � les inéquations suivantes :
a) 2 3 4 02x x− + ≥
b) − + − <3 30 75 02x x
c) 7 2 4 02x x+ − <
Résoudre sur � les inéquations suivantes :
a) 2 3 4 5 62x x x− + ≥ +
b) − + − > +x x x2 28 7 3 1
Une entreprise fabrique et commercialise des bâches carrées destinées aux voiles de bateau. La taille maximale d’une bâche produite par l’usine est 30 m de côté.
On note x la dimension du côté d’une bâche. Le coût de production C , exprimé euros, pour fabriquer une bâche de x mètres de côté est donné par
C x x( ) = +2 200 .
On note R la recette et B le bénéfice, exprimés euros, réalisés par la vente d’une bâche de x mètre de côté.
a) Une bâche d’un mètre carré est vendue 34 €. Sachant que le prix de vente est proportionnel à la longueur du côté de la bâche, donner une expression de R en fonction de x .En déduire B .
b) Dresser le tableau de variation de B . En déduire pour quelle valeur de x le bénéfice réalisé est maximal.
c) Pour quelles valeurs de x le bénéfice est-il nul ?
Exercice 17
Exercice 18
Exercice 19
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23Séquence 1 – MA11
5 Synthèse du cours1 Fonction polynôme de degré 2
La fonction f définie sur � par f x ax bx c: � 2 + + avec a ≠ 0 est une fonction polynôme de degré 2 ou fonction trinôme.
Sa courbe représentative est une parabole.
Son tableau de variation est le suivant :
Si a > 0 x –∞ − ba2
+∞ Si a < 0 x –∞ − ba2
+∞
variation de f
fba
−
2
variation de f
fba
−
2
2 Discriminant
ax bx c a2 0+ + ≠avec est appelé trinôme
∆ = −b ac2 4 est appelé discriminant du trinôme
3 Solution de l’équation ax bx c2 0+ + =et signe du trinôme
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
Solutions
2 solutions :
xb
a1 2= − − ∆
; xb
a2 2= − + ∆
1 solution double :
α = − ba2
Pas de solution dans �
Forme factorisée
a x x x x( )( )− −1 2 a x( )− α 2
Pas de factorisation dans �
Signe Celui de a à l’extérieur des racinesCelui de −a entre les racines
Celui de a Celui de a
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24 Séquence 1 – MA11
6 Exercices d’approfondissement
1 Déterminer la fonction trinôme f dont les racines sont -2 3et et telle que
f ( )0 30= − .
Donner l’allure de la représentation graphique d’une fonction trinôme f qui vérifie les conditions suivantes :
▶ f a deux racines négatives
▶ f est de signe positif entre les racines
Une personne dépose chaque année sur son compte 1000 €, ce compte étant rémunéré à taux fixe et à intérêts composés (les intérêts s’ajoutent au capital à la fin de chaque année).
Au bout de deux ans le capital disponible est de 3209,60 €. A combien a-t-il placé son argent ?
Le but de cet exercice est de résoudre l’équation (E) x x4 25 6 0− + =
Cette équation n’est pas du second degré mais on peut s’y ramener en effectuant un changement d’inconnue :
Posons X x= 2 .
a) Que vaut X 2 ?
b) Remplacer x par X dans l’équation (E) pour obtenir une équation (E’).
c) Résoudre l’équation (E’).
d) Pour chaque solution X de l’équation (E’), déterminer les valeurs de x correspondantes.
Etudier le signe de la fonction f définie sur � \ { , }−2 5 par : f xx x
x( ) = + −
+
2 3 42 5
■
Exercice I
Exercice II
Exercice III
Exercice IV
Exercice V
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