Résoudre une équation du 1er
degré à une inconnue
Les équations du premier degré à une inconnue sont des équations dans
lesquelles on ne retrouve qu’
Exemples + 5 = 8 x 2 = 8 x = 8
a 2
+ 5 = 29 2x 4b = 51,2
2s + 5 = 3s - 29 =
x 2
4x + 5
12
Dans chacune de ces équations, il n’y a qu’une inconnue.
Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui
transformera l’équation en égalité.
une seule inconnue.
Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui
transformera l’équation en égalité.
Exemples
+ 5 = 8 x ici, x = 3 3 + 5 = 8 Égalité.
4b = 51,2 ici, b = 12,8 4 X 12,8 = 51,2 Égalité.
Certaines équations sont faciles à résoudre, d’autres sont plus difficiles,
mais elles répondent toutes aux mêmes règles algébriques.
=
x 2
4x + 5
12
8 = 8
51,2 = 51,2
ici, x = 2,5 =
2,5
2
4 X 2,5 + 5
12
Égalité.
1,25 = 1,25
Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut d’abord bien saisir les
termes de l’équation.
Exemples
Dans l’équation : x + 3 = 8
on retrouve 3 termes.
Chaque terme est séparé des autres par les signes d’addition ou de soustraction
et le signe d’égalité.
Dans l’équation : 15 - 7 = x + 6
on retrouve 4 termes.
Exemples
Dans l’équation : 2x = 8
on retrouve 2 termes.
Dans l’équation :
on retrouve 2 termes.
15 = 2
x
Remarque : 2x signifie 2 X x;
Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les
deux ne forment alors qu’un seul terme.
Remarque :
2
x
=
2
1
1
x
X
Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les
deux ne forment alors qu’un seul terme.
16 = 2 x 3x + 8
3 5
Exemple
Dans l’équation :
on retrouve 3 termes.
Remarque :
Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les
deux ne forment alors qu’un seul terme.
2 X 3x
3 7
=
6x 21
16 = 6x + 8
21
Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut aussi bien saisir ce qu’est une
équation.
Une balance est une image qui représente bien une égalité ou une équation.
=
On peut déposer les quantités que l’on veut de chaque côté, mais les
opérations doivent être équivalentes afin de garder l’équilibre de la balance.
Exemples
3 + 5 4 X 2 10 ÷ 2 2 + 3 2 X 6 12 x + 3 8 4x 28
Avec une égalité ou une équation, il faut donc toujours penser à garder
l’équilibre, c’est-à-dire, garder les mêmes quantités de chaque côté.
= 3 + 5 4 X 2 + 7 + 7 = 15 15
On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de
chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.
= 2 X 6 12 ÷ 2 ÷ 2 = 6 6
On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de
chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.
= x + 3 8 - 3 - 3
On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de
chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.
= x 5
= 4 x 28
4 4
= x 7
C’est le principe général pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue.
On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de
chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler
cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.
Attention Une inconnue est complètement isolée quand :
x
- le numérateur du coefficient est 1;
- le dénominateur du coefficient est 1;
- son exposant est 1;
- elle est positive.
1
1
1
+
On l’écrit alors simplement comme ceci : x
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler
cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.
Dans l’équation suivante : + 3 = 8, x quelle est la valeur de ? x
Cette équation signifie : quel est le nombre qui, augmenté de 3, donne 8 ?
Pour connaître ce nombre,
il faut donc diminuer l’expression
+ 3 = 8 x - 3 - 3
Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation
(la balance), on doit également soustraire la
même quantité de l’autre côté du signe égal.
Il en résulte que : x + 0 = 8 - 3
5 + 3 = 8 Égalité.
Validation :
soit x = 5
x + 3 = 8
Inconnue
isolée.
de 3.
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler
cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.
Dans l’équation suivante : - 4 = 9, x quelle est la valeur de ? x
Cette équation signifie : quel est le nombre qui, diminué de 4, donne 9 ?
Pour connaître ce nombre,
il faut donc augmenter l’expression
- 4 = 9 x + 4 + 4
Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation
(la balance), on doit également additionner
la même quantité de l’autre côté du signe
égal.
Il en résulte que : x + 0 = 9 + 4
13 – 4 = 9 Égalité.
Validation :
soit x = 13
x – 4 = 9
Inconnue
isolée.
de 4.
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler
cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.
Dans l’équation suivante : = 8, 2x quelle est la valeur de ? x
Cette équation signifie : quel est le nombre qui, multiplié par 2, donne 8 ?
Pour connaître ce nombre,
il faut donc diviser le terme
par 2. = 8 2x
Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation
(la balance), on doit également diviser la
même quantité de l’autre côté du signe égal.
Il en résulte que :
2 X 4 = 8 Égalité.
Validation :
soit x = 4
2x = 8
Inconnue
isolée.
2 2
2x = 8
2 2
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler
cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.
Dans l’équation suivante : quelle est la valeur de ? x
Cette équation signifie : quel est le nombre qui, divisé par 5, donne 30 ?
Pour connaître ce nombre,
il faut donc multiplier le terme
par 5.
Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation
(la balance), on doit également multiplier la
même quantité de l’autre côté du signe égal.
Il en résulte que :
Égalité.
Validation :
soit x = 150
Inconnue
isolée.
x = 30,
5
x = 30
5
5 X X 5
x = 30
5
5 X X 5
x = 30
5
150 = 30
5
1) On peut soit annuler un terme qui accompagne le terme contenant
l’inconnue.
2) On peut soit simplifier le terme contenant l’inconnue.
Pour isoler une inconnue dans une équation, deux situations peuvent se
produire.
En résumé
On le fait alors en utilisant les opérations : addition ou soustraction.
On le fait alors en utilisant les opérations : multiplication ou division.
+ 3 = 8 x - 3 - 3
x = 5
- 4 = 9 x + 4 + 4
x = 13
= 8 2x 2 2
x = 4
x = 30
5
5 X X 5
x = 150
Trouve la valeur de l’inconnue dans les équations suivantes.
x + 9 = 17 - 9 - 9
x = 8
x - 9 = 17 + 9 + 9
x = 26
x + 35 = 58 - 35 - 35
x = 23
3x = 24
3 3
x = 8
-2x = 20
-2 -2
x = -10
1,5x = 4,5
x = 3
Ici, il faut diviser
par -2, car x doit
être positif.
1,5 1,5
x = 23
2
X 2 2 X
x = 46
-x = 20
4
X -4 -4 X
x = -80
Ici, il faut multiplier
par -4, car x doit être
positif.
x
2,3
= 5,1 2,3 X X 2,3
x = 11,73
Maintenant, vers l’infini et plus loin encore !
2x + 6 = 24
Priorités d’exécution :
2x + 6 = 24 - 6 - 6
2x + 0 = 18
2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.
2x = 18
2 2
x = 9
Validation : 2x + 6 = 24
2 X 9 + 6 = 24 Égalité.
1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue.
24 = 24
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler
cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.
3x – 15 = 0
Priorités d’exécution :
3x + 0 = 15
3x = 15
3 3
x = 5
Validation : 3x - 15 = 0
3 X 5 - 15 = 0 Égalité.
3x – 15 = 0 + 15 + 15
0 = 0
2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.
1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue.
5a + 18 = 3
Priorités d’exécution :
5a + 0 = -15
5a = -15
5 5
a = -3
Validation : 5a + 18 = 3
5 X -3 + 18 = 3 Égalité.
5a + 18 = 3 - 18 - 18
3 = 3
2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.
1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue.
-9x - 21 = 6
Priorités d’exécution :
-9x + 0 = 27
-9x = 27
-9 -9
x = -3
Validation :
-9 X -3 - 21 = 6
Égalité.
-9x - 21 = 6 + 21 + 21
Ici, il faut
diviser par -9,
car x doit être
positif.
-9x - 21 = 6
6 = 6
2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.
1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue.
27 - 21 = 6
7x = 4x + 12
Règles :
3x = 0 + 12
2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.
3x = 12
3 3
x = 4
Validation :
7 X 4 = 4 X 4 + 12 Égalité.
1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver du même côté du signe =.
7x = 4x + 12 - 4x - 4x
7x = 4x + 12
28 = 28
Certaines situations créent des équations dans lesquelles l’inconnue se retrouve
de chaque côté du signe égal.
on annule le terme se trouvant de ce
côté.
Exemple :
Ici, on n’isole pas l’inconnue; Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation
(la balance), on doit également soustraire la
même quantité de l’autre côté du signe égal.
1) Les termes contenant l’inconnue doivent se retrouver du même côté du signe
égal
2x + 12 = 20
6x + 12 = 4x + 20
Règles :
2x + 0 = 8
2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.
2x = 8
2 2
x = 4
Validation :
6 X 4 + 12 = 4 X 4 + 20 Égalité.
- 12 - 12 6x + 12 = 4x + 20 - 4x - 4x
2x + 12 = 0 + 20
6x + 12 = 4x + 20
36 = 36
et de l’autre côté, les termes qui ne contiennent pas l’inconnue.
5x - 17 = x + 4
2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue.
4x = 21
4 4
x = 5,25
Validation :
5 X 5,25 – 17 = 5,25 + 4 Égalité.
9,25 = 9,25
5x - 17 = x + 4
4x - 17 = 4
4x + 0 = 21
+ 17 + 17 5x - 17 = x + 4 - x - x
4x - 17 = 0 + 4
et de l’autre côté les termes qui ne contiennent pas l’inconnue.
Règles :
1) Les termes contenant l’inconnue doivent se retrouver du même côté du signe =
3x + 10 = 5x + 6 3x + 10 = 5x + 6
3x + 0 = 5x - 4
- 10 - 10
- 5x - 5x
-2x + 0 = 0 - 4
Remarque
On peut regrouper les termes semblables d’un côté ou l’autre du signe =.
Ou transférer le terme 6 à gauche
et le terme 3x à droite.
0 + 4 = 2x + 0
On peut transférer le terme 10 à droite
et le terme 5x à gauche.
Puis, isoler l’inconnue.
4 = 2x
2 2
2 = x
Les deux démarches sont bonnes, puisqu’une équation est comme une balance.
Terme négatif. Terme positif.
Puis, isoler l’inconnue.
-2x = - 4
-2 -2
x = 2
Exemple
3x + 4 = 5x + 0
- 6 - 6
- 3x - 3x
Équation avec fractions
Exemple : 2x + 6 = 14
5
Les équations avec fractions semblent les plus difficiles à résoudre.
Cependant, en utilisant un procédé d’équivalence, on peut résoudre ces
équations facilement.
Voici la démarche :
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2x +
5
2x + 6 = 14
5
6
6
1
=
X 5
=
5
X 5 30
5
30
= 14
= 14
1
=
5 X 5
X 5 70
5
70
2) Enlever les dénominateurs. 2x + 30 = 70
Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change pas
l’équilibre de l’équation.
2x + 30 = 70 - 30 - 30
2x + 0 = 40
2x = 40
2 2
x = 20
2x + 6 = 14
5
2 X + 6 = 14
5
14 = 14
Preuve :
2x + 30 = 70
2 X + 30 = 70
40 + 30 = 70
70 = 70 40
5
+ 6 = 14
8 + 6 = 14
Les équations sont différentes, mais elles sont équivalentes, car la
valeur de l’inconnue est la même.
Validation :
20 20
L’équation 2x + 30 = 70 est équivalente à l’équation 2x + 6 = 14
5
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2) Enlever les dénominateurs.
Exemple
4
3
s - 2
5
= s + 4
15
20s - 6 = 15s + 4 3) Isoler l’inconnue. - 15s - 15s
Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change
pas l’équilibre de l’équation.
20s – 6 = 15s + 4
5s - 6 = 0 + 4 + 6 + 6
5s + 0 = 0 + 10
5s = 10
5 5
s = 2
20
15
s - 6
15
= s + 4
15
15
15
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2) Enlever les dénominateurs.
Problèmes
10a
20
+ 5a
20
+ = 95
20
4a
20
3) Isoler l’inconnue.
Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change
pas l’équilibre de l’équation.
10a + 5a + 4a = 95
a
2
+ a
4
+ = 19
4
a
5
19a = 95
19 19
a = 5
3 (t – 5) = 2 (t + 2)
Ici, il faut commencer par développer l’équation.
3t – 15 = 2t + 4
Effectuer une simple distributivité. 3 X t – 3 X 5 = 2 X t + 2 X 2
- 2t - 2t + 15 + 15
t = 19
Isoler l’inconnue.
3 (6b - 5) 2 (7b + 2)
(7b + 2)
3
(6b - 5)
2
=
2 (7b + 2)
6
3 (6b - 5)
6
=
Car, (7b + 2)
3
=
6
X 2
X 2
Car, (6b - 5)
2
=
6
X 3
X 3
2(7b + 2) = 3(6b - 5)
14b + 4 = 18b - 15
14b + 4 = 18b - 15 - 14b - 14b + 15 + 15
19 = 4b
4,75 = b
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2) Enlever les dénominateurs.
3) Effectuer une simple distributivité.
4) Isoler l’inconnue.
4 4
3 (2x + 1) 2 (5x + 6)
(5x + 6)
3
(2x + 1)
2
=
(5x + 6)
3
=
6
X 2
X 2
(2x + 1)
2
=
6
X 3
X 3
2 (5x + 6) + 24 = 3 (2x + 1)
10x + 12 + 24 = 6x + 3
10x + 36 = 6x + 3 - 6x - 6x - 36 - 36
4x = -33
x = - 8,25
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2) Enlever les dénominateurs.
3) Effectuer une simple distributivité.
4) Isoler l’inconnue.
4 4
+ 4
4
1
X 6
X 6
=
6
24
2 (5x + 6)
6
3 (2x + 1)
6
= +
6
24
10x + 36 = 6x + 3
X 2
Les mêmes principes algébriques s’appliquent lorsque l’on veut isoler une lettre
dans une formule.
Dans la formule pour calculer l’aire d’un triangle,
isole la base.
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2) Enlever les dénominateurs.
A = B X H
2
A = B X H
2
2 X A = B X H
2 2
2 X A = B X H
2A = BH
3) Isoler la base.
H H
2A
H
= B
A A
=
1
=
2 X 2
2A
Les mêmes principes algébriques s’appliquent lorsque l’on veut isoler une lettre
dans une formule.
V D
t
= Dans la formule pour calculer la vitesse
moyenne, isole la distance.
Vitesse : Distance
temps
V D
t
=
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2) Enlever les dénominateurs.
V t = D
t t
V t = D
X t V
V =
1
=
t X t
Vt
En électricité, la résistance (R) est égale à la tension (U) divisée par l’intensité (I).
R = U
I
Dans cette formule, isole I.
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2) Enlever les dénominateurs.
3) Isoler l’intensité.
I
I R = U
I
I R = U
R R
I = U
R
X I R
R =
1
=
I X I
I R
R = U
I
C = 2 π r A = π r2
Dans les formules calculant la circonférence et l’aire d’un cercle, isole le rayon.
2 π 2 π
C
2 π
= r
π π
π
A = r
2
= r π
A
2A = B + b
h
A = (B + b) X h
2
Dans la formule pour trouver l’aire d’un trapèze, isole la grande base (B).
1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur.
2) Enlever les dénominateurs.
A = (B + b) X h
2
2
2
2A = (B + b) X h
3) Isoler la grande base (B). 2A = (B + b) X h
h h
( )
2A
h
= B + b - b - b
2A
h
- b = B
Les parenthèses ne sont
plus nécessaires.
Isole x dans cette formule. y = ax + b
y = ax + b - b - b
y – b = ax
a a
y – b = x
a
Remarque
Il y a autant de façons d’écrire une formule qu’il y a de lettres qui la composent.
Exemple : V D
t
=
D = V t
Si on cherche la vitesse.
Si on cherche la distance.
D t
V
= Si on cherche le temps.
3 variables, donc 3 façons différentes d’écrire la même formule.
Il suffit d’isoler l’inconnue que l’on cherche.