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LA MAINTENANCE PRÉVISIONNELLE méthodes et outils
Intervenants
1. Zineb SIMEU-ABAZI (GSCOP) 2. Daniel NOYES (LGP)3. Benoît IUNG (CRAN), Eric LEVRAT (CRAN)4. Brigitte CHEBEL MORELLO (FEMTO), Rafaël GOURIVEAU (FEMTO)5. Kondo ADJALLAH (LGIP), Eric LEVRAT (CRAN), A. VOISIN (CRAN)
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Optimisation de la maintenance (Zineb SIMEU-ABAZI du Laboratoire G-SCOP)
� Introduction� Les missions de la fonction maintenance
� L’évolution des besoins
� Optimisation de la maintenance
� Méthodes et outils d’évaluation
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Maintenance coopérative et distribuée (Daniel
NOYES – François PERES)
� Définition des notions de coopération et collaboration
� Déploiement de la collaboration dans les processus de maintenance
� Modélisation des mécanismes de Collaboration/Distribution
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De la maintenance à la e-maintenance (Benoît
IUNG, Eric LEVRAT, Alexandre VOISIN)
� L’évolution de la maintenance vers la e-maintenance – définitions
� Les composants technologiques supportant la coopération et la collaboration
� Impacts de ces technologies sur les processus et services de maintenance
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Ingénierie des connaissances (Brigitte CHEBEL MORELLO - Rafaël Gouriveau)
� Définition des données d’information, de connaissance et compétence
� Informatisation des procédures de maintenance, processus d’extraction des connaissances
� Intégration de modules intelligents en architecture de maintenance
� Principes de capitalisation de la connaissance
� Illustration sur la plateforme de e-maintenance
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Diagnostic – Pronostic(Kondo ADJALLAH - Eric LEVRAT- Alexandre VOISIN)
� Techniques de surveillance des installations industrielles
� Méthodes de diagnostic et pronostic des défaillances et des dégradations
� Plateforme de e-maintenance Telma–démonstration à distance et web service
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OPTIMISATION DE LA MAINTENANCE
Zineb SIMEU-ABAZI
Laboratoire G-SCOP
Polytech’Grenoble
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Les missions générales de la fonction maintenance
La maintenance est l’ensemble des activités destinées à maintenir ou rétablir un bien dans un état ou dans les conditions données de sûreté de fonctionnement pour assurer une fonction requise.
ACTIONS PREVENTIVES ACTIONS CORRECTIVES
GARANTIRFIABILITE, DISPONIBILITE, SECURITE
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Les politiques de maintenance
CORRECTIVE PRÉVENTIVE
Systématique PrévisionnelleCurativePalliative
Conce
pt d
e
mai
nten
ance
Evén
emen
t
Opé
ratio
n de
mai
nten
ance
Défaillance
Dépannage Réparation
Prédictive
Echéancier seuils Evolution des
prédéterminés paramètres
Inspection Visite Contrôle
MIXTE
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L’évolution de la maintenance
60
Correctif
70
Préventif
80
Prédictif
90
Proacti f
2000
Télémaintenance
2005
e-Maintenance
Concepts de fiabilité et durée de vie pris en compte de manière intuitive et se limitaient à l’expérience acquise par les concepteurs.
Electricité: redondance Aéronautique: probabiliste
•Naissance de la revue “ IEEE Transaction on Reliability ”• En France, c’est en 1962 que le mot même de fiabilité a été admis par l’académie des Sciences.• Vers 1965, est introduite une caractéristique à laquelle on attache de plus en plus d’intérêt : la maintenabilité.
Aux préoccupations initiales de fiabilité et de sécurité se sont rajoutées celles de disponibilitéet de maintenabilité donnant ainsi naissance à une véritable science de l’ingénieur nommée:“ Sûretéde Fonctionnement ” (SdF)
Maintenance d'une unité fonctionnelle, assuré par télécommunication directe entre cette unité et un centre spécialisé.
E-maintenanceC’’est un concept lié au principe de web-services, de coopération et de partage des connaissances.
Maintenance Prévisionnelle subordonnée à l’analyse de l’évolution surveillée de paramètres significatifs de la dégradation du bien, permettant de retarder et de planifier les interventions.
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Un seul et même objectif :Assurer un bon fonctionnement
FIABILITE
LA SURETE DE FONCTIONNEMENT
QUALITEDISPONIBILITE
CINDYNIQUE
ALEATIQUE
PRODUCTIVITE
Etc.
MAINTENABILITE SECURITE
LA SCIENCE DES DÉFAILLANCES
Ensemble de méthodes et outils permettant d’améliorer les performances d’un système face à l’occurrence
d’une défaillance
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Relations entre fiabilité, maintenabilité, disponibilité et sécurité
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E/S de la maintenance
MAINTENANCE� Entretien� Réparation� Rénovation� Amélioration� …
➤ Fiabilité
➦Coûts
➤Disponibilité
➤ Qualité
Lois de dégradation
Lois de survie
Politique et stratégie
Modélisation ���� Analyse ���� Evaluation ���� Décision
Objectifs (coût, délai,qualité, efficacité, ...)
Evénements (aléas,perturbations , ... )
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PLAN
1. La sûreté de fonctionnement 2. Les méthodes d’analyse 3. Les lois de survie 4. Les processus stochastiques 5. La maintenance des systèmes
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PLAN
1. La sûreté de fonctionnement 2. Les méthodes d’analyse 3. Les lois de survie 4. Les processus stochastiques 5. La maintenance des systèmes
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La sûreté de fonctionnement
La sûreté de fonctionnement = Confiance
Sécurité
Fiabilité
MaintenabilitéFiabilité + Maintenabilité⇓
Disponibilité
Aptitude à assurer un service spécifié: l ’absence ou évitement de danger, l’aptitude à se comporter sans erreur, le niveau de confiance
Aptitude à ne présenter aucun danger pour les personnes, les biens et l ’environnement
Aptitude à ne pas présenter de défaillance dans une durée déterminée
Aptitude à être remis en service dans une durée donnéeAptitude à être en état de marche à un
instant donnéou pendant un intervalle de temps donné
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Concepts liés à la SdF
�Faute, défaut, erreur, défaillance, �erreur humaine, panne, ...
� Éviter ou absorber les fautes ⇒ Construire� Éliminer ou prévenir les erreurs ⇒ Maintenir� Gérer ⇒ Surveiller/ Superviser
� Sécurité� Disponibilité ⇒ Fiabilité
⇒ Maintenabilité
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Terminologie: faute erreur et défaillance*
Evènement : Défaillance
Changement d ’état : Erreur
Origine de l’erreur : Faute
Matériel: Carte
X Faute
Erreur
Défaillance
LogicielInstruction 1Instruction 2Instruction 3…If αααα = 3 thenJump Instruction iIf a = 1 then …..…..Instruction iInstruction kInstruction l….end
�faute
�erreur
� Défaillance
Faute corrosion interne dans un composant
⇓
Erreur court-circuit entre deux broches
⇓Défaillance délivrance d’un ordre erroné
* J.C. LAPRIE, "Sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques et tolérance aux fautes : concept de base", TSI, 4, n°5, 419-429, 1985.
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Définitions de la SdF
Sûreté de fonctionnementAptitude à assurer un service spécifié: l ’absence ou évitement de danger, l’aptitude à se comporter sans erreur, le niveau de confiance
+Sécurité Disponibilité
Aptitude à ne présenter aucun danger pour les personnes, les biens et l ’environnement
Aptitude à être en état de marche à un instant donnéou pendant un intervalle de temps donné
Fiabilité MaintenabilitéLogistique de maintenance
+ +
Aptitude à ne pas présenter de défaillance dans une durée déterminée
Aptitude à être remis en service dans une durée donnée
Politique et moyens de maintenance
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Risque2 Dimensions
Probabilité Conséquencex
Risque d'accident
Risque économique
Définition Très générale
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BC
Risque Global
10-110-210-310-410-510-6
Gravité
Probabilité
A Modification impérative
DRien à changer
mineur
significa
tif
critique
catastro
phique
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Exemple On considère un système qui fournit l’alimentation électrique de 2 calculateurs en redondance active.
source
disjoncteur
Transformateur 1 et 2
alimentation de 2 calculateurs en redondance
*Alain VILLEMEUR. — Sûreté de fonctionnement des systèmes industriels, Fiabilité - Facteurs Humains - Informatisation, Édition Eyrolles, Paris, 1988.
Probabilité
Conséquence
Risques
défaillance des éléments sensibles
(dimensionnement du fusible)
étude des conséquences dues àl’échauffement du fusible
(mineur, significatif, critique,…)
fusible
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prêt à l'utilisation
DISPONIBILITE
continuité
FIABILITE
Rétablissement et Prévention
MAINTENABILITE
évitement deconséquencescatastrophiques
SECURITE
SdF
Attributs de la
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Les besoins de sûreté
Systèmes à mission de sauvegarde
Systèmes dangereux à mission unique
Systèmes industriels àmission prolongée
Fiabilité absolueou à défaut
Sécurité positive( sécurité orienté vers
l ’alarme: très sûr mais non fiable)
(systèmes de détection : d ’incendie, toxique) (Fusée, missiles, ...) (systèmes de production)
Sécurité hors mission
(ne pas exploser !…)
+Fiabilité mission
( fonctionner à la demande car non
réparable en mission)
Sécurité (/personnes, biens et environnement)
+ Disponibilité(fiabilité + maintenabilité)
•Systèmes tolérants les arrêts : réparables
•Systèmes à très haute disponibilité(tolérants les pannes)
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Classification des défaillances
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Quantification : Temps moyensFIABILITE aptitude à accomplir une fonction
pendant une durée donnéeQuand ? Jusqu'à la défaillanceMesure MTTF
1èredéfaillance
2èmedéfaillance
remise en service
MTTFMTTR
MDT MUTMTBF
t=0 temps
Mean Time To Failure
Mean Time To Repair
MeanDownTime
Mean Up Time
Mean Time BetweenFailure ≠≠≠≠
Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement
MAINTENABILITE aptitude à être rétablieQuand ? Pendant la
défaillanceMesure MTTR
DISPONIBILITE aptitude à être en état à un instant
donné.Quand ? Durant le cycle de vieMesure MUT
MUT/ MTBF Moyenne des Temps de
Bon Fonctionnement (MTBF)
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Quantification : Probabilités
� LA FIABILITE (Reliability)C'est l'aptitude d'un élément E à accomplir une fonction requise dans des conditions
données, pendant une durée donnée.R(t) = Pr[ E non défaillant sur [0, t]]
� LA MAINTENABILITE (Maintenability)C'est l'aptitude d'un élément E à être rétablie dans un état dans lequel il peut accomplir une
fonction requise.M(t) = Pr[ E est réparé sur [0, t]]
� LA DISPONIBILITE (Availability)C'est l'aptitude d'un élément E à être en état d'accomplir une fonction requise dans des
conditions données, et à un instant donné.A(t) = Pr[ E non défaillant à l'instant t]
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PLAN
1. La sûreté de fonctionnement2. Les méthodes d’analyse 3. Les lois de survie 4. Les processus stochastiques 5. La maintenance des systèmes
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Des méthodes et Outils
AnalysesQualitative
&Quantitative
• ANALYSE FONCTIONNELLE• ANALYSE PRELIMINAIRE DES RISQUES• AMDE(C)• HAZOP• BLOCS DIAGRAMMES FIABILITE• ARBRES DE DEFAILLANCES• APPROCHE MARKOVIENNE• RESEAUX DE PETRI• METHODES FORMELLES• …..
Traitement des Données
• REX• EXPLOITATION DE DONNÉES STATISTIQUES• METHODES BAYESIENNES• …..
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Analyse des modes de défaillances et de leurs effets (AMDE)
Objectif� Identifier les modes de défaillances ayant d ’importants effets sur la
disponibilité, la fiabilité, la maintenabilité ou la sécurité de ce système.
� Évaluer les effets de chaque mode de défaillance des composants d’un système sur les différentes fonctions de ce système
Elaboration� Définition du système, de ses fonctions et de ces composants.� Établissement des modes de défaillance - de leurs causes- des
composants.� Étude des effets des modes de défaillance� Conclusions et recommandations.
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Extension AMDE ➙➙➙➙ AMDEC
AMDEC : Analyse des Modes de Défaillance, de leurs Effets et de leur Criticité
Elaboration : AMDE + l’analyse de criticité (couple probabilité - gravité)
moyenne
Probabilité
Très faible faible fortegravité
Effets mineurs
Effets critiques
Effets significatifs
Effets catastrophiques
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AMDE
Système __________________ Sous-système ____________________
Ref. Type Fonction Modede Déf.
Causes
Conséquences
Syst. Envir°Détection Commentaires
P G
Cause Effets
AMDEC
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Exemple d ’application - AMDEUn systUn systUn systUn systèèèème permet me permet me permet me permet àààà un opun opun opun opéééérateur de commander rateur de commander rateur de commander rateur de commander àààà distance le fonctionnement du moteur distance le fonctionnement du moteur distance le fonctionnement du moteur distance le fonctionnement du moteur àààà courant courant courant courant continu. Lcontinu. Lcontinu. Lcontinu. L’’’’opopopopéééérateur appuie sur le bouton poussoir BP provoquant ainsi lrateur appuie sur le bouton poussoir BP provoquant ainsi lrateur appuie sur le bouton poussoir BP provoquant ainsi lrateur appuie sur le bouton poussoir BP provoquant ainsi l’’’’excitation du relais, la excitation du relais, la excitation du relais, la excitation du relais, la fermeture du contact associfermeture du contact associfermeture du contact associfermeture du contact associéééé et let let let l’’’’alimentation alimentation alimentation alimentation éééélectrique du moteur. Lorsque llectrique du moteur. Lorsque llectrique du moteur. Lorsque llectrique du moteur. Lorsque l’’’’opopopopéééérateur relâche le rateur relâche le rateur relâche le rateur relâche le bouton poussoir, le moteur sbouton poussoir, le moteur sbouton poussoir, le moteur sbouton poussoir, le moteur s’’’’arrête. Un fusible permet de protarrête. Un fusible permet de protarrête. Un fusible permet de protarrête. Un fusible permet de protééééger le circuit ger le circuit ger le circuit ger le circuit éééélectrique contre tout lectrique contre tout lectrique contre tout lectrique contre tout courtcourtcourtcourt----circuit. On suppose que le fil AB traverse une zone ocircuit. On suppose que le fil AB traverse une zone ocircuit. On suppose que le fil AB traverse une zone ocircuit. On suppose que le fil AB traverse une zone oùùùù se trouve des vapeurs inflammables : on se trouve des vapeurs inflammables : on se trouve des vapeurs inflammables : on se trouve des vapeurs inflammables : on admet quadmet quadmet quadmet qu’’’’une APD a montrune APD a montrune APD a montrune APD a montréééé que lque lque lque l’é’é’é’évvvvéééénement indnement indnement indnement indéééésirable sirable sirable sirable àààà ééééviter est la surchauffe du fil AB. Le viter est la surchauffe du fil AB. Le viter est la surchauffe du fil AB. Le viter est la surchauffe du fil AB. Le systsystsystsystèèèème est conme est conme est conme est conççççu pour faire fonctionner le moteur pendant un temps tru pour faire fonctionner le moteur pendant un temps tru pour faire fonctionner le moteur pendant un temps tru pour faire fonctionner le moteur pendant un temps trèèèès court; on admet ainsi s court; on admet ainsi s court; on admet ainsi s court; on admet ainsi ququququ’’’’un fonctionnement prolongun fonctionnement prolongun fonctionnement prolongun fonctionnement prolongéééé de ce moteur peut entrade ce moteur peut entrade ce moteur peut entrade ce moteur peut entraîîîîner sa destruction par suite dner sa destruction par suite dner sa destruction par suite dner sa destruction par suite d’’’’un un un un ééééchauffement du moteur et de lchauffement du moteur et de lchauffement du moteur et de lchauffement du moteur et de l’’’’apparition dapparition dapparition dapparition d’’’’un court circuit. On admet un court circuit. On admet un court circuit. On admet un court circuit. On admet éééégalement qugalement qugalement qugalement qu’’’’apraprapraprèèèès s s s llll’’’’apparition dapparition dapparition dapparition d’’’’un courant un courant un courant un courant éééélevlevlevlevéééé dans le circuit ddans le circuit ddans le circuit ddans le circuit dûûûû àààà un courtun courtun courtun court----circuit, le contact du relais reste collcircuit, le contact du relais reste collcircuit, le contact du relais reste collcircuit, le contact du relais reste colléééémême aprmême aprmême aprmême aprèèèès ds ds ds déééésexcitation du relais. Dans un soucis de simplification, on ne tsexcitation du relais. Dans un soucis de simplification, on ne tsexcitation du relais. Dans un soucis de simplification, on ne tsexcitation du relais. Dans un soucis de simplification, on ne tient pas compte des ient pas compte des ient pas compte des ient pas compte des sources dsources dsources dsources d’é’é’é’énergie et de leurs nergie et de leurs nergie et de leurs nergie et de leurs ééééventuelle dventuelle dventuelle dventuelle dééééfaillances. De même lfaillances. De même lfaillances. De même lfaillances. De même l’’’’analyse ne porte que sur le bouton analyse ne porte que sur le bouton analyse ne porte que sur le bouton analyse ne porte que sur le bouton poussoir, le relais, le fusible et le moteur et on ne considpoussoir, le relais, le fusible et le moteur et on ne considpoussoir, le relais, le fusible et le moteur et on ne considpoussoir, le relais, le fusible et le moteur et on ne considèèèère pour ces composants qure pour ces composants qure pour ces composants qure pour ces composants qu’’’’un ou deux un ou deux un ou deux un ou deux modes de dmodes de dmodes de dmodes de dééééfaillance.faillance.faillance.faillance.
Moteur
filVapeurs inflammables
Batterie
B.P. Batterie Fusible
MRelais
A B
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AMDE
Moteur
Fusible
Relais
Bouton poussoir
(B.P)
EffetsCausesMode de défaillanceComposants
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Analyse Préliminaire des Risques ou Dangers (APR ou APD)
Objectif � Identifier les dangers (risques) d’une installation industrielle et ses causes
� Evaluer la gravité des conséquences liées aux situations dangereuses et aux accidents.
Cette méthode peut-être orientée vers les aspects liés à la sécurité des installations. Elle permet de définir des entités à analyser en détail ou des événements indésirables dont il faut rechercher les causes.
Système ou fonction
Phase
Identifica
tion de l ’ensem.
Modes d’utilisation
Entitédangereuse
identification
Evt causant une situation dang
Evénement
indésirable
situation dangereuse
Evt causant
un accident
potentiel
Accident
potentiel
Effets ou
conséquencesClassif
icationMesures préventives
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APR ou APDSous-système ou fonction ________________ Phase _______________
Elément dangereuxCause
Effets
Evénement causant une situation dangereuse
Situation dangereuse
Evénement causant un accident potentiel
Accident potentiel
Conséquences Gravité
Mesures préventives
Application des mesures préventives
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HAZOPSystème ______________________Sous-système ____________________
ParamètreCause
Effets
Déviation
Cause de la déviation
Conséquences
Détection
Action correctrice
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Cause Effets
Au généralDu particulier
Raisonnement INDUCTIF
Beaucoup derésultats
triviaux ou parasites
Explosion combinatoire
Défaillances simples uniquement
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Effet Causes
Au ParticulierDu Général
Résultats focalisés sur ce que l'on cherche
Explosion combinatoire
maîtrisée
Combinaisons de défaillancesAdD
Raisonnement DEDUCTIF
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Méthode de l'Arbre des Défaillances (AdD)
� C’est une des représentations de plus en plus utilisée de la logique d’un système. Elle est connue aussi sous les noms d’arbre des défauts, d’arbre des causes ou d’arbre des fautes.
� On part d’un événement indésirable unique et bien défini qui correspond au non fonctionnement d’un système et l’arbre de défaillance représentera graphiquement les combinaisons d’événements qui conduisent à la réalisation de cet événement indésirable (méthode déductive).
X2
X4
E S
X1
X3
AdD
X2X1 X3 X4
ou
E1
ET
E3
ou
E2
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Exemple 1On considère un système qui fournit l’alimentation électrique de 2 calculateurs en redondance active.Événement indésirable: non alimentation simultanée des 2 calculateurs.
source
disjoncteur
Transformateur1 et 2
alimentation des 2 calculateurs en redondance
AdD
A2A1
Panne de la source
Panne du disjoncteur
Panne du transformateur 2
A3 A4
Panne du transformateur 1
Non alimentation simultanée des 2 calculateurs
TransformateursNon alimentés
Panne des 2 transformateurs
*Alain VILLEMEUR. — Sûreté de fonctionnement des systèmes industriels, Fiabilité - Facteurs Humains - Informatisation, Édition Eyrolles, Paris, 1988. JD -MACS– ANGERS 2009
Exemple 2Circuit de Pompage
V1
Entrée Sortie
P1 (50%)
V2P2 (50%)
Ligne 1
P3 (100%)
V3
Ligne 2
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DEBIT< 100 %Evénement indésiré
1
Effet
ARBRE DE DEFAILLANCES -(AdD)-
2
Causes
Porte OU
V1 Défaillante fermée Lignes Défaillantes
Direction de l' analyses
3 Ligne 2 DéfaillanteLigne 1 Défaillante
Porte ET
4
P3 Défaillante
V3 Défaillante fermée
V2 Défaillante fermée
P2 Défaillante
P1 Défaillante
5
V1
Ent
rée
Sort
ie
P1 (5
0%)
V2
P2 (5
0%)
Lign
e 1
P3 (1
00%
)
V3Li
gne
2
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AdD – analyse quantitative
DEBIT< 100 %Evénement
indésiré
V1 Défaillante fermée Lignes Défaillantes
Ligne 2 DéfaillanteLigne 1 Défaillante
P3 Défaillante
V3 Défaillante fermée
V2 Défaillante fermée
P2 Défaillante
P1 Défaillante
Evaluation
Données: λλλλ pompes = 10-3
λλλλ vannes = 10-5
10-5
101.10-5
10-3
10-5
10-5
10-3
10-3
201.10-5
2.10-6
1,2.10-5
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Exemple 3
V2 V1LSH
LSHH
V3
évacuation
services
consommateurs
source
réservoir
Évènement indésirable : débordement du réservoirJD -MACS– ANGERS 2009
Diagramme de fiabilitéC’est la représentation la plus naturelle de la log ique de fonctionnement d’un système. Dans cette représentation, les blocs représentant des éléments (matériels ou événements) ou des fonctions dont la défaillance entraîne la défaillance du syst ème sont placées en série, ceux dont la défaillance ne provoque la défaillance du système q u’en combinaison avec d’autres blocs sont disposés en parallèle sur ces derniers.
Le système fonctionne s’il existe un chemin de succèsentre l’entrée et la sortie du diagramme de fiabilité. La liste des chemins de succès permet donc de représenter l’ensemble des états de marche du système.
E1 E2
E Sa- Diagramme série
E1
E2ES
b- Diagramme parallèle
E3
E5
E S
E1
E2
E4
c- Diagramme complexe
Une coupeest un ensemble d'éléments dont la défaillance entraîne la panne du système. Une coupe minimaleest une coupe ne contenant aucune autre coupe.
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Entrée SortieV1
P3 V3
P2 V2P1
Diagramme de fiabilité - Coupes
Coupe non minimale Coupe minimale
Analyse Qualitative {V1}Ordre 1
{P1.P3, P2.P3, V2.V3 , P1.V3, P2.V3, P3.V2}Ordre 2
V1
Entrée SortieP1 (50%)
V2P2 (50%)
Ligne 1
P3 (100%)
V3
Ligne 2
D.D.F.
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Exemple d’application
La figure ci-dessous représente un schéma simplifiéd’une alimentation électrique*. L’alimentation principale (380kV) peut-être secourue en cas de défaillance par le réseaux auxiliaire (220kV) et par les deux diesels. On dira que l’on a la fonction alimentation électrique si l’un des deux jeux de barres HA ou HB est sous tension.
Transformateurprincipal Transformateur
auxiliaire
Alimentation principale(380kV)
Réseau auxiliaire(220kV)
~ ~
GA GB GCGD
Diesel 1 Diesel 2
HB
HASchéma d’une alimentation électrique
* A. PAGÈS, M. GONDRAN. —Fiabilité des Systèmes., Édition Eyrolles, 1980,
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Schéma d ’une alimentation électrique
Transformateurprincipal Transformateur
auxiliaire
Alimentation principale(380kV)
Réseau auxiliaire(220kV)
~ ~
GA GB GCGD
Diesel 1 Diesel 2
HB
HA
12
12
65
43
11
109
87
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Diagramme de fiabilité: Exemple
1
9
8675
43 2
1211
10
E
S
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Cas de dépendance des éléments: panne commune
Élément fictifs
1
9
8675
43
2
1211
10
E
S
13
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Autre dépendance entre les éléments
1
9
8675
43
2
1211
10
E
S
Défaillance de l’élément 1 si l’élément 11 est défaillant
11
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Coupes minimales
E3
E5
E S
E1
E2
E4
Chemins de succès :E1 E3, E1E4, E2E5, E2E4
010104
100103
010012
001011
54321chemins EEEEE
Coupes minimales :E1 E2, E3E4E5, E1E4E5 , E2E3E4
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Du DdF à l’AdD
X2
X4
E S
X1
X3
AdD
X2X1 X3 X4
ou
E1
et
E3
ou
E2
( )( )43.213 XXXXE ++=
( )4.24.13.23.13 XXXXXXXXE +++=Coupes minimales :X1X3, X1X4, X2X3 , X2X4
11002
00111
4321min XXXXsche
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Calcul de la disponibilité
• Cas simples - systèmes cohérents
E1 E2
q1(t) q2(t) q3(t) = q1(t) . q2(t)
E3⇒
(t)q2 . (t)q1 (t)q3 =
E1
E2
q1(t)
q2(t)
E3⇒
1 – q3(t) = (1 – q1(t))(1 – q2(t)
)t()t()t(1)t(11)t().t(1)t( qqqqqqq2121213
+≈
−
−−=−=
Définition : Un système est dit cohérent si :• la panne de tous les composant entraîne la panne du système,• le fonctionnement de tous les composants entraîne le fonctionnement du système,• lorsque le système est en panne, aucune défaillance supplémentaire ne rétablit le fonctionnement du système,• lorsque le système est en fonctionnement, aucune réparation n'induit la panne du système,
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1 210 11
13
12
1421
15
16
19
17 18
20
3 4 59
7
8
6
E
S
Evaluer la disponibilité de ce système sachant que l’indisponibilité de chaquecomposant est la suivante
(1,2) =10-7 ; (5,7,16,17,19) = 3 10-3 ; (3,4,6,8,11,14,15,20,21)= 10-3; (9,10,12,18 ) = 10-2; (13)= 10-1;
Example : Diagramme de fiabilité
10-7 10-7
3.10-3
3.10-3
3.10-3
3.10-3
3.10-3
10-3
10-3
10-3
10-3
10-3 10-3
10-3
10-3
10-2
10-2
10-1
10-2
10-2
10-3
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Calcul de la disponibilité
• Cas complexes
E3
E5
E S
E1
E2
E4
Chemins de succès :E1 E3, E1E4, E2E5, E2E4
010104
100103
010012
001011
54321chemins EEEEE
)t()t().t()t()t().t()t()t().t()t().t()t(Q qqqqqqqqqqq 43254154321+++=
Coupes minimales :E1 E2, E3E4E5, E1E4E5 , E2E3E4
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• Cas complexes
E3
E5
E S
E1
E2
E4
)t()t().t()t()t().t()t()t().t()t().t()t(Q qqqqqqqqqqq 43254154321+++=
Calcul de la disponibilité
E1
E3 E4
E2
F: défaillance
E5E4
F = E1 E2 ou E3E4E5 ou E1E4E5 ou E2E3E4
Coupes minimales
F= (E1+E3.E4). (E2+E5.E4)Chemins de succès :E1 E3, E1E4, E2E5, E2E4
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Fiabilité d’un système en fonction de celles de ses composants(1)
• Système à structure sérieE1 En
E SE2 E2
On note Mi(t) l'événement "l'élément i fonctionne à l'instant t", la fiabilité R(t) du système s'écrit : R(t) = Pr[M1(t) ∩ M2(t) ∩ M3(t) ∩ … ∩ Mn(t))
Lorsque les événements Mi(t) sont indépendants :
Si l'on considère l'événement Pi(t) / "l'élément i est défaillant à l'instant t", la fiabilité R(t) du système s'écrit : R(t) = 1 - Pr[P1(t) ∪ P2(t) ∪ P3(t) ∪ … ∪ Pn(t))
)t(R)t(Rn
1ii∏∏∏∏
========
[[[[ ]]]]∏∏∏∏∏∏∏∏========
−−−−−−−−====−−−−====n
1ii
n
1ii )t(F11)t(R1)t(Fdonc
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Fiabilité d’un système en fonction de celles de ses composants(2)
• Système à structure parallèle
R(t) = Pr[M1(t) ∪ M2(t) ∪ M3(t) ∪ … ∪ Mn(t))
Ou
R(t) = 1 - Pr[P1(t) ∩ P2(t) ∩ P3(t) ∩ … ∩ Pn(t))
[[[[ ]]]]∏∏∏∏∏∏∏∏========
−−−−−−−−====−−−−====n
1ii
n
1ii )t(R11)t(F1)t(R
E1
E2
E
S
En
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Fiabilité d’un système en fonction de celles de ses composants(3)
• Cas des systèmes à configuration mixte
E1
E2
En
E1
E2
En
E2
En
Etage 1:P1 élémentsen redondance
Etage 2:P2 élémentsen redondance
Etage n:Pn élémentsen redondance
∏ ∏= =
−−=
n
1i
P
1jij
i)t(R11)t(R Rij représente la fiabilité du j-ième
élément de l'étage i.
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Fiabilité d’un système en fonction de celles de ses composants(4)
• Cas des systèmes à configuration mixte
Rij représente la fiabilité du j-ièmeélément de la branche i.
Chacune des p branches comporte ni éléments en série.
(((( ))))∏∏∏∏ ∏∏∏∏==== ====
−−−−−−−−====
p
1i
n
1jij
i
)t(R11)t(R
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Exemple d’application
Soit un système constitué de 5 composants, suivant le schéma ci-contrede fiabilité Ri(t) (i=1,…,5). Quelle est la fiabilité de ce système?
1
2
3
5
4
31
52
4
1
2
Rb1 = R1.R3
Rb3 = R2.R5
Rb2 = R4.(1-(1-R1 )(1-R2))
� R(t)= 1-(1-Rb1 )(1-Rb2) )(1-Rb3)
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PLAN
1. La sûreté de fonctionnement 2. Les méthodes d’analyse3. Les lois de survie 4. Les processus stochastiques 5. La maintenance des systèmes
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Exploitation des données statistiques� Pour évaluer la fiabilité d'un produit, il est nécessaire de savoir
comment il devient défaillant dans le temps
LA LOI DE SURVIE
ou
FONCTION DE DÉFAILLANCE� Le comportement d'un dispositif d'un âge donné dans le futur immédiat
LE TAUX DE DEFAILLANCEJD -MACS– ANGERS 2009
Les indicateursLe taux de défaillance(λλλλ) et la moyenne des temps de bon fonctionnement(MTBF ) sont les deux principaux indicateurs de sûreté utilisés dans l’industrie. Ils sont déterminés de façon théorique ou statistiquement.
mentfonctionnedetotaleduréeservicelependantesdéfaillancdetotalnombre
λ ====
Unités : nbre de défaillances par unité de temps
Taux de défaillance ����
mentfonctionnebondetempsdesnombre
esdéfaillancnlesentrementfonctionnebondetempsdessommeMTBF =
Remarque : si λλλλ est constant la MTBF = 1/λλλλ
La MTBF ����
Exemple : un compresseur industriel a fonctionné pendant 8000h en service continu avec 5 pannes dont les durées respectives sont : 7;22; 8,5; 3,5 et 9u.t. Calculez la MTBF ?
15905
5080005
)95,35,8227(8000MTBF ====
−−−−====++++++++++++++++−−−−====
Si λ est supposé constant:410289,6
15901
MTBF1 −−−−============λλλλ
41025,68000
5 −−−−========λλλλ
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Courbe de variation du taux de défaillance
tPériode de jeunesse
Période de vie utile Période d’usure
Le taux de défaillance décroîtil correspond à des défauts de jeunesse
Le taux de défaillance reste à peu près constant, les pannes se produisant durant cette période semblent dues au hasard.
Le taux de défaillance croit rapidement, les pannes sont dues à des défauts d’usure.
Les modèles mathématiques choisis pour modéliser la fiabilité devront bien sûr répondre aux exigences des lois de probabilité, mais satisfaire aussi aux différentes variations des fonctions λλλλ.
λλλλ(t)
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Détermination expérimentale de la loi de survie et du taux de défaillance
06184699162180184186187188190200Nb de survivants
1200110010009008007006005004003002001000Durée d’essai(h)
Les résultats ci-dessous concernent un essai de N0 = 200 lampes placées sur un banc d'essai.
���� Fiabilité R(t) d'un lot de lampes en fonction de la durée d'essai t ou loi de survie.
Toutes les 100h, on note le nombre N(t) de lampes qui fonctionnent encore. Pour chaque durée de fonctionnement t, on calcule la fiabilité du lot de lampes essayées : R(t) = N(t) / N0.
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Fiabilité R(t) ou loi de survie
00,030,090,230,4950,810,90,920,930,9350,940,951R(t)
06184699162180184186187188190200Nb de survivants
1200110010009008007006005004003002001000Duréed’essai (h)
Fiabilité R(t) ou loi de survie
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
temps (h)
R(t)
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Densité de probabilité des durées de vie.
Prenons une pièce neuve. La probabilité qu’elle tombe en panne entre l’âge t et l’âge t+dtest égale à : f(t)dt
avec f(t) : densité de probabilité des durées de vieOn montre que f(t) est la dérivée de la probabilité de défaillance avant l’âge t:
1ii
i1ii tt
)t(R)t(R)ttt(f)t(f
1i
−−−−
−−−−
−−−−−−−−====<<<<<<<<====
−−−−
∫∫∫∫====t
0
du)u(f)t(FF(t)dt est appelé fonction de répartition des durée de vie ou des temps jusqu’à défaillance. C’est le complément à 1 de la probabilitéde survie (ou fiabilité) R(t).
dt)t(dR
)t(fdoncdu)u(fdu)u(f1)t(F1)t(Rt
0 t
−−−−========−−−−====−−−−==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∞∞∞∞
On calcule approximativement la densité de probabilité pour l’intervalle de durée de vie s’étendant de ti-1 à ti par :
N(ti) étant le nombre de survivants pour une durée de vie tiet ni = N(ti-1) - N(ti) : nb de défaillants dans le ième intervalle
∆ti = ti - ti-1 : durée du ième intervalle
1ii
i1i
0 tt)t(N)t(N
N1
)t(f−−−−
−−−−
−−−−−−−−====�
�i0
i
tNn
)t(f∆∆∆∆
====
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Densité de probabilité f(t)Densité de probabilité f(t)
0,00000
0,00050
0,00100
0,00150
0,00200
0,00250
0,00300
0,00350
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
temps (h)
f(t)
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Taux de défaillancePrenons maintenant une pièce ayant servi pendant une durée t et encore survivante. La probabilité qu’elle tombe en panne entre l’âge t qu’elle a déjà et l’âge t+dt est représentée par : la probabilité conditionnelle qu’elle tombe en panne entre l’âge t et t+dt, sachant qu’elle a survécu jusqu’à t.
Pr(A /X ) = Pr(A ∩∩∩∩ X) / Pr (X) ����[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
∆∆∆∆++++====λλλλ
t,0surdéfaillantnonSPr
t,0surdéfaillantnonSetttettentrepanneentombeSPr)t(
f(t)dt
R(t)
Donc λλλλ(t) dt = f(t) dt /R(t)avec λλλλ(t) : taux de défaillance de la pièce à l’âge t.
dt)t(dR
.)t(R
1)t(R)t(f
)t( −−−−========λλλλ
On calcule approximativement le taux de défaillance pour l’intervalle de durée de vie s’étendant de ti-1 à ti en divisant la densité de probabilité f(t) = ni/N.∆∆∆∆ti par la fiabilitémoyenne R(t) dans cet intervalle ( R(t) = (R(ti-1)+R(ti))/2) :
[[[[ ]]]][[[[ ]]]](((( )))) [[[[ ]]]] ii1i
i
1iii1i
i1i
t)t(N)t(Nn2
tt)t(N)t(N)t(N)t(N2
)t(∆∆∆∆++++
====−−−−++++
−−−−====λλλλ−−−−−−−−−−−−
−−−−
i
i
'Tn
)t( ====λλλλRemarquant que T’i = [N(ti-1)+ N(ti)]∆∆∆∆ti/2 représente la durée de fonctionnement total des pièces survivantes pendant l’intervalle ∆∆∆∆ti, on peut écrire :
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Taux de défaillance λλλλ(t)taux de défaillance
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
taux de défaillance
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Application
Les résultats suivants sont obtenus sur un banc d’essai de N0 = 40 moteurs.
3516283539Nombre de survivants
0,0006666670,00220,000750,000250,0001142862,5641E-05Taux de défaillance
λ(t)
0,000050,0002750,00030,0001750,00010,000025Densité de probabilité f(t)
0,0750,1250,40,70,8750,975fiabilitéR(t)
21112741Nombre de défaillance
5 000 à6 000 h
4 000 à5 000 h
3 000 à4 000 h
2 000 à3 000 h
1 000 à2 000 h
0 à1 000 h
intervalled’observation
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Théorèmes et Relations fondamentales
[ ]
[ ]
∆+=
∆=Λ
→∆ tsurdéfaillantnonS
tsurdéfaillantnonSetttettentrepanneentombeS
tt Lim
t ,0Pr
,0Pr
)(0
λ
[ ]
[ ]
∆+=
∆=Μ
→∆ tsurdéfaillantS
tsurdéfaillantSetttettentreréparéS
tt Lim
t ,0Pr
,0Pr
)(0
µ
Sachant que: 1)0(Ravec)t()t(R)t('R
)t(R)t('R
)t( ====λλλλ−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====λλλλ
du.)u()t(Rlndu.)u(du.)u(R)u('R
donct
0
t
0
t
0∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ λλλλ−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒λλλλ−−−−====
λλλλ−−−−−−−−====
λλλλ−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫
t
0
t
0
du).u(exp1)t(Fetdu).u(exp)t(R
De même pour le taux de réparation:
Taux de panne:
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Exemple de loi relative à une v.a discr ète finie
La loi binomiale : Avec ce type de loi, nous nous intéressons à des épreuvesaléatoires ne comportant que deux issues. Par exemple, en contrôle de fabrication unepièce sera déclarée bonne (succès) ou défectueuse (échec).
Définition Soit une suite binomiale de n épreuves où, pour chaque épreuve, la probabilité d’un succès est p et la probabilité d’un échec est q = 1- p.
Soit X la v.a donnant le nombre de succès en n épreuves. Sa loi de probabilitéest appelée loi binomiale. Elle est définie par :
Les deux nombres n et p sont appelés les paramètres de la loi binomiale.
On démontre que pour une v.a X suivant une loi binomiale de paramètre n et p :
E(X) = n.p et V(X) = n.p.q ; d’où σ(X) = (n.p.q)1/2
(((( )))) qpCknkk
nkXP
−−−−========
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Exemple d’applicationUne machine fabrique des tiges d’acier. une étude statistique préalable indique que la fréquence des tiges ayant unelongueur trop petite ou trop grande pour être jugées bonne est 0.06. On dispose d’un lot de tiges fabriquées par cettemachine. On fait l’expérience suivante : on tire au hasard n fois une tige de ce lot (tirage avec remise). Soit X la variable aléatoire qui, à cette expérience, associe le nombre de tiges non conformes obtenues. On assimilera la fréquenced’apparition d’une tige non conforme, à la probabilité de cet événement.
1° Montrer que X suit une loi binomiale
2° Donner, dans le cas n = 4, la loi de probabilité de X.
L’épreuve qui consiste à prélever une tige dans le lot conduit à deux alternatives :
un succès (S = « la pièce est défectueuse » avec une probabilité p = 0.06)
ou un échec (S = « la pièce est bonne » avec une probabilité q = 0.94).
L’expérience consiste à répéter n fois cette épreuve avec indépendance d’une épreuve par rapport aux autres . Donc loi binomiale de paramètres n et p = 0.06.
(((( )))) qpCknkk
nkXP
−−−−========
Valeur k de X 0 1 2 3 4
P(X = k) (0.94)4 4(0.06) (0.94)3 6(0.06)2 (0.94)2 4(0.06)3(0.94) (0.06)4
La fonction de répartition (probabilité d’avoir au plus k=2 pièces défectueuses) sera :
(((( )))) (((( )))) 4i4i4
3i
i
41025.894.006.0C −−−−−−−−
====⋅⋅⋅⋅====∑∑∑∑
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Loi de poissonDans le cas où le nombre d ‘expériences est élevé, on fait une approximation de la loi binomiale de paramètre n et p par une loi de Poisson de paramètre np= λ .La loi de poisson de paramètre λ est la limite de la loi binomiale quand n→ +∞ et n.p = λ
Définition Une v.a discrète infinie X étant donnée, à valeurs dans N, on sait que (X = n) désigne un événement dont la probabilité de réalisation est notée P(X = n). On dit que X est une variable de Poisson de paramètre λ ( où λ est un réel strictement positif donné) si, pour tout k entier :
!k)kX(P
k
e λλλλλλλλ−−−−========
L’espérance mathématique et la variance de la loi de Poisson sont toutes égales à λλλλ
Exemples- le nombre d’anomalies dans des produits fabriqués en grande quantité- le nombre d’appels téléphoniques dans un standard dans un intervalle de temps donné- …De façon générale, les nombres associés à des phénomènes aléatoires dépendant du temps où les événement sont indépendants des événements antérieurs.
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Loi exponentielle
Si on considère des systèmes ne présentant pas de phénomènes d’usure et pour lesquels les défauts de jeunesse sont inexistants, il faut envisager une loi dont le taux de panne est une fonction contante� loi exponentielle
λλλλ−−−−==== ∫∫∫∫
t
0
du).u(exp)t(R Comme λ(t) = λ pour tout t positif, alors
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]texp]u[expdu.exp)t(R t0
t
0
λλλλ−−−−====λλλλ−−−−====
λλλλ−−−−==== ∫∫∫∫
λλλλ====λλλλ======== ∫∫∫∫∫∫∫∫
+∞+∞+∞+∞λλλλ−−−−
+∞+∞+∞+∞ 1dttedt)t(tfMTBF
0
t
0
Sachant que la densité de probabilté est: e)t(f tλ−λ=
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Loi de Weibull
Taux de défaillance:
Cette loi est très intéressante car elle permet de représenter un grand nombre de distribution expérimentale.
Elle dépend de 3 paramètres.
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Loi de Weibull
Effet du paramètre de forme
ββββ
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Loi de Weibull
Effet du paramètre d'echelle
ηηηη
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Loi de Weibull
Effet du paramètre de position
γγγγ
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Relations entre F (t ), R (t ), f (t ) et λλλλ (t)
Taux de défaillance pour la loi Exponentielle et la loi de Weibull
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La maintenabilitéLa maintenabilité est la mesure de l’aptitude d’un dispositif à être maintenu ou remis dans des conditions spécifiées lorsque la maintenance de celui-ci est réalisée par des agents ayant les niveaux spécifiés de compétence, utilisant les procédures et les ressources prescrites, à tous les niveaux prescrits de maintenanceet de réparation
[ ]
[ ]
∆+=
∆=Μ
→∆ tsurdéfaillantS
tsurdéfaillantSetttettentreréparéS
tt Lim
t ,0Pr
,0Pr
)(0
µ
M (t ) = Pr (la maintenance de E est achevée au temps t) = 1 – P (E non réparée sur la durée [0, t ])
dt
tdM
tMt
)(.
)(1
1)(
−=µ
dt
tdMtg
)()( =
( )∫∞
−=0
)(1 dttMMTTR∫∞
=0
).( dttRMTTF
dt
tdR
tRt
)(.
)(
1)( −=λ
dt
tdRtf
)()( −=
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PLAN
1. La sûreté de fonctionnement 2. Les méthodes d’analyse 3. Les lois de survie4. Les processus stochastiques 5. La maintenance des systèmes
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Graphe des états ou graphe de Markov
On considère un système formé de deux éléments identiques en parallèle. Lorsque les deux éléments fonctionnement, ils ont chacun un taux de défaillance λλλλ. Lorsque l'un des deux éléments tombe en panne, l'autre admet alors un taux de défaillance plus grand λλλλ' > λλλλ. Il n'y a pas plus qu'un réparateur et le taux de réparation est µµµµ..
PROCESSUS STOCHASTIQUES
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Du calcul ANALYTIQUEà la SIMULATION
Approche MARKOVIENNERéseau de file d’attente
Analytique
RESEAUX de PETRIRESEAUX DE FILE D’ATTENTEAutre langage dédié
Simulation
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PROCESSUS STOCHASTIQUE
Délais aléatoires
E1E2E3
En
T1 T2 T3 T4 Tn
ETATS
TEMPS
Evolution des états en fonction du temps
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Domaine d'utilisation pour les Calculs de disponibi lité et de fiabilité
SYSTEMES NONREPARABLES
SYSTEMES ACOMPOSANTS
INDEPENDANTS
SYSTEMES ACOMPOSANTSDEPENDANTS
SYSTEMESREPARABLES
F2
F1
ADDPS
PSADD
PSADD
PSADD ??
RIGOUREUXBONNES APPROXIMATIONSAPPROXIMATIONS DOUTEUSES
Productivité PS dans tous les cas
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Approche Markovienne - exemple simple
Circuit de Pompage:- 2 Pompes à 100%- une seule équipe de réparateurs
Pompe 1
Pompe 2
SortieEntrée
100%
100%
P1
P2
Identifier les états du systèmes
Table de vérité
P1 P2 SUCCES ETATS
1100
1010
1110
E1E2E3E4
MA
RC
HE
PA
NN
E
Prioritaire
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5
Construction du Diagramme de Markov
λ2λ2λ2λ2
P1P2
E2E2E2E2
Choisir un événement
faisant changer d'état:Défaillance de P1
2
P1P2
E3E3E3E3
Créer l'état s'il n'existe pas encore
3λ1λ1λ1λ1
dessiner la transition correspondante
4
P1P2
E1E1E1E1
Choisir un "état courant"
1
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Approche MARKOVIENNE
P1P2
P1P2
P1P2
P1P2
E1E1E1E1
E2E2E2E2
E4E4E4E4
E3E3E3E3
Etat λ1λ1λ1λ1 λ2λ2λ2λ2
λ1λ1λ1λ1
λ2λ2λ2λ2
Transition
µµµµ
µµµµ
µµµµ
MARCHE PANNE
La contrainte "P2" Prioritaire se traduit simplement par l'absence de transition de E4 vers E2
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P(i,t+dt) = ΣΣΣΣ ααααkq. P(kq,t). dt + (1-λλλλii.dt).P(i,t)
PROCESSUS DE MARKOV: FORMULES DE BASE
On en n'est pas sorti
On vient d'y arriver
λλλλj 1 .dt
λλλλj2 .dtλλλλjn .dt
J1
J2
Jn
ααααk1 .dt
ααααk2 .dt
ααααk m.dt
k1
k2
km1-λλλλii.dt
On est dans l'état i à t+dt
λλλλii = ΣΣΣΣ λλλλj kTaux de sortie de l'état i
i
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P(i,t+dt) - P(i,t) dt
= -λλλλii.P(i,t) + ΣΣΣΣ ααααkq.P(kq,t)
PROCESSUS DE MARKOV : FORMULES DE BASE(suite)
Dérivée
Forme vectorielle
Exponentielle de matrice
T1 nouvelle condition initiale
Temps moyens de séjours cumulés
Conditions initiales
Logiciel de calcul
P(t) = [M] * P(t)
P(t) = EXP{ t * [M]} * P0
P(t) = EXP{(t-T1) * [M]} * P(T1)
0
T
Tm(t) = P(X) * dx
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Composant élémentaire réparable
P t A tA A
e1
1 0 0==== ==== ++++
−−−−−−−− −−−−
++++−−−− ++++µµµµ
λλλλ µµµµµµµµ λλλλ
λλλλ µµµµλλλλ µµµµ( ) ( )
( ( )) ( ) ( ) t
dP1dt
-P1(==== ++++ ++++λλλλ µµµµ µµµµ)
M PP1
P2λλλλ
µµµµ
P1 + P2 =1
dP1dt
dP2dt
P1
P2
====−−−−
−−−−
××××
λλλλ µµµµλλλλ µµµµ
JD -MACS– ANGERS 2009
Composant élémentaire (suite)
- système disponible à t=0 :A(0) =1
- système indisponible à t=0 : A(0) =0
+ +λλλλ µµµµ λλλλ µµµµA t e t( ) ( )= + - +µµµµ λλλλ λλλλ µµµµ
A t et
( ) [)((((
]= + -- ++++µµµµ
λλλλ µµµµλλλλ µµµµ
1
Dans les 2 cas :
MTTR
MTTF MTTR
MTTF
MTTF MTTR
++++=
+
++++=
+
µµµµ
λλλλ µµµµ
λλλλλλλλ µµµµ
t→∞
t→∞
A(t)
1-A(t)0
1
A(t)
t
Perte de la mémoire des conditions initiales
Asymptote
JD -MACS– ANGERS 2009
Approche MARKOVIENNE
DISPONIBILITE CLASSIQUE
P1P2
P1P2
P1P2
P1P2
E1E1E1E1
E2E2E2E2
E4E4E4E4
E3E3E3E3
λ1λ1λ1λ1 λ2λ2λ2λ2
λ1λ1λ1λ1
λ2λ2λ2λ2
µµµµ
µµµµ
µµµµ
DISPONIBLE INDISPONIBLE
- Probabilités- Temps moyens de
séjours cumulés
JD -MACS– ANGERS 2009
Diagramme de Markov: calcul de fiabilité
Panne totale et définitiveFIABLE
EtatAbsorbant
+P1P2
P1P2
P1P2
P1P2
E1 E2E4
E3
λ1λ1λ1λ1 λ2λ2λ2λ2
λ1λ1λ1λ1
λ2λ2λ2λ2
µµµµ
µµµµ
Suppression des transitionsqui reviennent vers un étatde marche après être passé
par la panne.
Convient bien pour modéliser les accidents
JD -MACS– ANGERS 2009
DisponibilitéMoyenne
=
Disponibilité moyenne
100%*Tc1+100%*Tc2+100%*Tc3+0%*Tc4
Tc1+Tc2+Tc3+Tc4
100%
100%
100% 0%
EfficacitéP1P2
P1P2
P1P2E1E1E1E1
E2E2E2E2
E4E4E4E4
E3E3E3E3
λ1λ1λ1λ1 λ2λ2λ2λ2
λ1λ1λ1λ1
λ2λ2λ2λ2
µµµµ
µµµµ
µµµµ
DISPONIBLE INDISPONIBLE
P1P2
JD -MACS– ANGERS 2009
Disponibilité de production
P1P2
P1P2
P1P2
P1P2E1E1E1E1
E2E2E2E2
E4E4E4E4
E3E3E3E3
λ1λ1λ1λ1 λ2λ2λ2λ2
λ1λ1λ1λ1
λ2λ2λ2λ2
µµµµ
µµµµ
µµµµ
100%
60%
40% 0%
PARFAIT DEFAILLANTDEGRADE
Disponibilitéde Production
=100%*Tc1+ 40%*Tc2+ 60%*Tc3+0%*Tc4
Tc1+Tc2+Tc3+Tc4
Efficacité
JD -MACS– ANGERS 2009
Graphe des états ou graphe de Markov
1 32
2λλλλ λλλλ'
µµµµ µµµµGraphe des états
Exemple: On considère un système formé de deux éléments identiques en parallèle. Lorsque les deux éléments fonctionnement, ils ont chacun un taux de défaillance λλλλ. Lorsque l'un des deux éléments tombe en panne, l'autre admet alors un taux de défaillance plus grand λλλλ' > λλλλ. Il n'y a pas plus qu'un réparateur et le taux de réparation est µµµµ..
État 1 : les deux éléments fonctionnent
État 2 : un seul élément fonctionne
État 3 : les deux éléments sont en pannes
103
JD -MACS– ANGERS 2009
Calcul de la fiabilité - disponibilité
1 32
2λλλλ λλλλ'
µµµµ µµµµ
● Calcul de la fiabilité
=dt
Q1d-2λ Q1(t) + µQ2(t)
=dt
Qd 2 2λ Q1(t) -(λ'+µ) Q2(t) + µQ3(t)
=dt
Qd 3 λ'Q2(t) -µ Q3(t)
avec Q1(0) = 1 et Q2(0) = Q3(0) = 0
● Calcul de la disponibilité
(((( )))) )t(')t(2)t(dt
d
)t()t(2)t(dt
d
PPPPPP
212
211
µµµµ++++λλλλ−−−−λλλλ====
µµµµ++++λλλλ−−−−====
X
On aura donc )tA( = Q3(t). Pour t = +∞, dQ/dt = 0 on a:
∞λλµ=∞
λµ=∞
∞λµ=∞
)('2
)(2
)(
)('
)(
QQQ
3
2
21
32
avec Q1(t) + Q2(t) + Q3(t) = 1,
on tire )A(∞ = '22
'2)( 23 λλµλ
λλ
µ ++=∞Q
eePP t
12
1t
12
221
21)t()t()t(R αααα
ααα
α−
−−
=+=
X
JD -MACS– ANGERS 2009
Exemple CdM
ConsidConsidConsidConsidéééérons deux rons deux rons deux rons deux ééééllllééééments identiques de taux de dments identiques de taux de dments identiques de taux de dments identiques de taux de dééééfaillance faillance faillance faillance λ λ λ λ de taux de panne de taux de panne de taux de panne de taux de panne µµµµ en en en en redondance passiveredondance passiveredondance passiveredondance passive. Quand le premier tombe en panne le second d. Quand le premier tombe en panne le second d. Quand le premier tombe en panne le second d. Quand le premier tombe en panne le second déééémarre marre marre marre et la ret la ret la ret la rééééparation du premier commence tout de suite. Lorsque les deux sonparation du premier commence tout de suite. Lorsque les deux sonparation du premier commence tout de suite. Lorsque les deux sonparation du premier commence tout de suite. Lorsque les deux sont en t en t en t en panne, il y a panne, il y a panne, il y a panne, il y a deux rdeux rdeux rdeux rééééparateursparateursparateursparateurs....
3λλλλ
2µ2µ2µ2µ
2λλλλ
µµµµ
1
JD -MACS– ANGERS 2009
Exemple CdMConsidConsidConsidConsidéééérons le cas de deux rons le cas de deux rons le cas de deux rons le cas de deux ééééllllééééments de taux de dments de taux de dments de taux de dments de taux de dééééfaillance faillance faillance faillance λλλλ1111 et et et et λλλλ2222, de taux de , de taux de , de taux de , de taux de rrrrééééparation paration paration paration µµµµ1111 et et et et µµµµ2222 en en en en redondance activeredondance activeredondance activeredondance active. On a . On a . On a . On a qu'un seul rqu'un seul rqu'un seul rqu'un seul rééééparateurparateurparateurparateur dont la dont la dont la dont la politique de maintenance est la suivante : prioritpolitique de maintenance est la suivante : prioritpolitique de maintenance est la suivante : prioritpolitique de maintenance est la suivante : prioritéééé de rde rde rde rééééparation au premier paration au premier paration au premier paration au premier éééélllléééément ment ment ment ddddééééfaillant.faillant.faillant.faillant.
L'ordre chronologique d'apparition des défaillance doit être respecté d'où dédoublement de l'état panne du système.
11→ les deux éléments sont en marche10→ l'élément 1 est en marche, l'élément 2 est en panne;01→ l'élément 1 est en panne, l'élément 2 est en marche;00→ les deux éléments sont en panne / l'élément 1 est tombé en panne le premier;00→ les deux éléments sont en panne / l'élément 2 est tombé en panne le premier.
00
λλλλ2
µµµµ2222
10λλλλ2222
µµµµ222211
01
λλλλ1111
µµµµ1111 00
λλλλ1
µµµµ1111
JD -MACS– ANGERS 2009
StructureDynamique
StructureStatique
Place Amont
Places Aval
Arc Amont
Arcs Aval
Réseaux de Petri - Eléments de base
Transition
Jetons
JD -MACS– ANGERS 2009
Réseaux de Petri - Eléments de baseValidation et Tir
Au moins 1 jetondans chaqueplace amont
La transitionest valide
On tire un nombre au hasard Zet on évalue le délai aléatoire δ δ δ δ :
δδδδ = F-1(Z)
Loi de probabilité dudélai δ δ δ δ qui s'écoule entre
la validation et le tir
F(δδδδ)
- on retire 1 jetonde chaque place amont
- on ajoute 1 jeton dans chaque place aval
Tir de la transitionlorsque le délaiδδδδ s'est écoulé:
JD -MACS– ANGERS 2009
Exemple simple - Système réparable
Panne
Passage enRéparation
Marche
λλλλ
Attente deréparation δ
Réparation
µ
JD -MACS– ANGERS 2009
Marquages successifs états du système
M1P3
P1 P2
M4
P3
P1 P2
M3
P3
P1 P2
M2
P3
P1 P2
M1 = {1,1,1}M2 = {0,0,2}M3 = {1,0,1}M4 = {2,0,0}
JD -MACS– ANGERS 2009
(n)
(m)
(p)
Plus spécifiquesCourantes
Réseaux de Petri - Extensions
? Mes 1
Message reçu
! Mes2
Message émis
Lois fonction du marquage des places amont
(n)Arc Amont de poids n
(m)Arc Aval de poids
m
(p)
Arc Inhibiteur de poids p
JD -MACS– ANGERS 2009
Réseaux de Petri :Validation et tir
- au moins n jetons danschaque place amont
- moins de p jetons dans lesplaces avec arc inhibiteur- Message ? Mes1 = VRAI"
(n=3)
(m=5)
? Mes1
! Mes2
(p=2)
La transitionest valide
Loi de probabilité dudélai δ δ δ δ qui s'écoule entre
la validation et le tir
F(d)
- on retire n jetons de chaque place amont- on ajoute m jetons dans chaque place aval- on fait passer l'état du messageMes2à"VRAI"
(3)
(5)
? Mes1
! Mes2
(2)On tire un nombre au hasard Zet on évalue le délai aléatoire δ δ δ δ :
δδδδ = F-1(Z)
Tir de la transition lorsque le délai δδδδ s'est écoulé:
JD -MACS– ANGERS 2009
Tr1
Tr2
Tr5
Marche Pl1
Composant 1
Exemple simple de R P Stochastique avec place auxiliaire
Pl4
Pl6
Tr3
Tr4
T6
Composant 2
Pl2
Réparateurs
Pl3Attente
Réparation
RéparationPl5
JD -MACS– ANGERS 2009
MarchePl1
Pl3 Pl4
Pl6
Tr1
Tr2
Tr3
Tr4
Tr5 T6
Composant 1 Composant 2
Pl2
AttenteRéparation
RéparationPl5
Exemple simple de RP Stochastiqueavec arcs inhibiteurs
Etat Initial
JD -MACS– ANGERS 2009
Exemple simple de RP Stochastique avec Messages
?RD
!RD
Réparateurs
MarchePl1
Pl3 Pl4
Pl6
Tr1
Tr2
Tr3
Tr4
Tr5 T6
Composant 1 Composant 2
Pl2
AttenteRéparation
RéparationPl5
!RD
?RD
!RD
!RD
Etat Initial
?RD = VRAI
JD -MACS– ANGERS 2009
Tr6
Graphe des marquages
1 2 3 4 5 6
RDTr1
31 2 4 5 6
RD
Tr5
1 2 3 4 5 6
RD
Tr3
Tr1 Tr6
Tr5
31 2 4 5 6
RD
Tr3
51 2 3 4 6
RD
Tr2
1 2 3 4 5 6
RD
Tr4
61 2 3 4 5
RD
j
k
marquée
nonmarquée
PlacesRD
MessagesVrai
FauxRD
Etats instantanés:-1 pompe en marche-1 pompe en panne
Etat de réparation:-1 pompe en marche-1 pompe en
réparation
Etat de réparation:-1 pompe en panne-1 pompe en
réparation
Etat initial: 2 pompes en marche
JD -MACS– ANGERS 2009
SémaphorePartage de ressources
Mémorisation Lecture
Rendez-vousParallélisme
Quelques sous-réseaux typiques
JD -MACS– ANGERS 2009
Exemple de systèmes de Production
S1 M2
M3
M4
M6
M7
S2
S3
S4
S5
S6
S7
M5
carosserie
peinture désassemblage
équipement portières
équipement caisses
moteurs chassis
roues
assemblage
voitures finies
assemblage
M1
assemblage
ε1, δ1, λ1 , µ1, n1
⇒⇒⇒⇒ Quantification fiabilité, disponibilité, maintenabilité , …+ Indicateurs de performances : Productivité, encours, …
Modélisation
évaluation
Alosurf JD -MACS– ANGERS 2009
Outil de ModélisationParamètres
Poste
Machine
Taux de chargement
Taux de Service
Taux de panne
Taux de réparation
Stock d’entrée Stock de sortie
Réseau de Petristochastique
δT2
εT1
λT3
µT4
P1
P2
P3
εεεε δδδδ λλλλ µµµµ
�Nombre moyen de marques dans une place �Fréquence moyenne de franchissement �Temps de séjour moyen d’une marque dans une place
Graphe de marquage
1
0
0
0
1
0
0
0
1
T1
T2T3
T4
λ12
1 2
3
λ21
λ23λ31
Graphe de Markov
Simulation
Méthodes Analytiques
JD -MACS– ANGERS 2009
Hypothèses
Méthode analytique : décomposition
P1
S2
P2 P5
P4
P3
S5
S4
S3
S1⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒Serie
Serie
Serie
Disassemblage
Assemblage
- La capacité des stocks d’entrée et de sortie est infinie, - Mode de fonctionnement � blocage avant service- Le taux de défaillance : loi exponentielle
Une cellule = stock (s) d’entrée + Machine + stock (s) de sortie
JD -MACS– ANGERS 2009
ALOSURF Logiciel d’évaluation de la Sûreté de Fonctionnement
– d’analyser les performances d’un SdP– de dimensionner les stocks– de choisir la meilleure politique de maintenance
– d’évaluer les périodicités des maintenances préventives– d’aider à la décision
RechercheModélisation et analyse de systèmes complexes
PédagogiqueApplication des outils de modélisation des SED
ALOSURF permet
JD -MACS– ANGERS 2009
ALOSURF- acquisition
Performances de cet atelier de production ?Type demachines
stocks
Stock E/S
JD -MACS– ANGERS 2009
Performances – Étude de sensibilité
JD -MACS– ANGERS 2009
Carrosserie peinte
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
1 3 5 7 9 11
Carrosseriepeinte
Voiture finie (production)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Voiture finie(production)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 3 5 7 9 11
Portière garnie
Carrosserieavec moteur
Carrosserie vide
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
1 3 5 7 9 11
Carrosserie vide
Portière
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Portière
Dimensionnement des stocks
JD -MACS– ANGERS 2009
PLAN
1. La sûreté de fonctionnement 2. Les méthodes d’analyse 3. Les lois de survie 4. Les processus stochastiques5. La maintenance des systèmes
JD -MACS– ANGERS 2009
Optimisation de la maintenance
• Actions Préventives • Actions correctives
Ordonnancement des tâches
Dimensionnement des ressources
Processus de réparation
Testabilité
JD -MACS– ANGERS 2009
Optimisation de la maintenance
1èredéfaillance
2èmedéfaillance
remise en service
MTTFMTTR
MDT MUTMTBF
t=0 temps
Instant d’apparition de la défaillance
tempsDétection réelle de la défaillance
Début des interventions techniques
Fin des interventions techniques
Délais de découverte de la défaillance
Délais techniques et administratives
Délais des interventions techniques et administratives
Remise en service
JD -MACS– ANGERS 2009
Intégration de la Maintenance
- Quelle politique de maintenance doit-on appliquer? - À quel moment? - Sur quelle machine ?- À quel coût ?
JD -MACS– ANGERS 2009
Performances
JD -MACS– ANGERS 2009
Optimisation de la périodicité
CORRECTIVE PRÉVENTIVE
Systématique
MAINTENANCE
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 100 200 300 400 500 600
Pro
bab
ilité
d'a
rrêt
pou
r m
aint
enan
ce
JD -MACS– ANGERS 2009
Limites
Marche Panne
λ
µ
λλλλi(t)Jeunesse
(β<1)
Maturité
(β=1)
Vieillesse
(β>1)
tλi décroissant λi constant λi croissant
� Durée de la réparation� Type de maintenance� Nombre de réparateurs � Disponibilité des pièces…
Constant
Constant
JD -MACS– ANGERS 2009
Prise en compte du vieillissement
Évolution du taux de panne
ξ.T ξ.T
MP MP MP
T T
t
λi(t) Sans MPAvec MP
Maintenance Préventive
Maintenance
Préventive
Parfaite
Système Neuf
Maintenance
Préventive
Imparfaite
Système maintenu
Cas : taux λλλλi est variable
Objectif : Périodicité adaptative
Contrainte : coût
Maturitéλm
Vieillesseλv
Nbr ou tps d’utilisation
JD -MACS– ANGERS 2009
Système de Production ↔↔↔↔ Atelier de Maintenance
Équipement
défectueux
Équipement
réparé
Maintenance Centralisée
ArchitectureGestion des ressources
Évaluation des performances
JD -MACS– ANGERS 2009
Théorie de la File d’Attente
Processus d’arrivée :Distribution des probabilités des temps interarrivéesA(t) =P[temps entre 2 arrivées≤ t]
Processus de départ : Distribution des probabilités des temps de serviceB(t) = P(temps de service ≤t)
Structure et discipline :C : nombre de serveursK : capacité de la file
Discipline de service : PAPS, DAPS
Notation de Kendall : A/B/C/K
ArrivéeDes clients
File
Départdes clients
Station
Serveurs
� Performances recherchées• Débit moyen de sortie de la file• Temps de réponse moyen• Nombre moyen de clients dans la file• Taux d’utilisation des serveurs...
CA B
K
JD -MACS– ANGERS 2009
Réseau de Files d’Attente : ensemble de stations interconnectées
• Réseau ouvert:Arrivée des clients
Départ des clients
.
Défini par :− description de chaque station− processus d’arrivée des clients dans le réseau− cheminement des clients dans le réseau
Nombre de clients : variable
•Réseau fermé :
Défini par :− description de chaque station− processus d ’arrivée des clients dans le réseau− cheminement des clients dans le réseau−Nombre total de clients présents dans le réseau
Nombre de clients : constant
JD -MACS– ANGERS 2009
Réseau ouvert monoclasse
Données
λ
p01
p02
1
3
2 4p13
p12
p42
p34
p24p40
λ: taux d’arrivée des clients
pij : proportion de clients qui, quittant la station i rejoignent la station j
∑
∑
=
=
−=
≤+++
≥=
M
jiji
iMii
M
iii
pp
ppp
pp
10
21
100
1
1
01
L
µi: taux de service à la station i
On peut calculer soit par des méthodes analytique soit par simulation:
- taux de visite d’un client à la station i
- temps moyen de séjour dans une station
- nombre moyen de client dans la file
JD -MACS– ANGERS 2009
Conception d’un atelier de maintenance
µ1
P1µ2
µ3
µ4 µ5
P2
P4 P5 P6λ
µ6
0.7
0.3
P3
RFA
���� Performances de l’atelier
Objectifs: Minimiser le temps de séjours dans l’atelier
DiagnosticP1
Poste de réparation P2
Poste de réparation P3
RéglageP4
AssemblageP5
TestsP6
0.7
0.3
λλλλ
JD -MACS– ANGERS 2009
Évaluation des performances
µ1
P1
µ21
µ22
µ3
µ4 µ5
P21
P22 P4 P5 P6λ
µ6
0.35
0.3
0.35
P3
µ1
P1µ2
µ3
µ4 µ5
P2
P4 P5 P6λ
µ6
0.7
0.3
P3
µ1
P1µ2
µ3
µ4
µ51
P2
P3
P4 P6λµ6
µ52
P52
0.7
0.3
0.5
0.5
P51
P1 P2 P3 P4 P5 P6 Taux de service µµµµi 0,65 0,40 0,48 2,00 0,40 1,80
Temps d’attente au poste Pi w i 2,22 3,84 2,38 0,55 5,00 0,62 Temps d’attente total WT 11,81 (heure)
Perte annuelle CPA 799,30 (K Euro) Perte pendant 5 ans CP5A 3996,50 (K Euro)
P 1 P21 P22 P3 P 4 P 5 P 6
Taux de service µµµµ i 0,65 0,4 0,4 0,48 2 0,4 1,8Tem ps d ’a ttente au poste P i w i 2,22 3,03 3,03 2,38 0,55 5,00 0,62
Tem ps d ’a ttente to ta l W T 11,23Perte annuelle CPA 760,00
C oût d’investissem ent C I 8,10G ain au bout de 5 ans G 5A 186,00
P1 P2 P3 P4 P51 P52 P6
Taux de service µµµµi 0,65 0,4 0,48 2 0,4 0,4 1,8Temps d’attente au poste P i w i 2,22 3,84 2,38 0,55 3,33 3,33 0,62
Temps d’attente total WT 10,14Perte annuelle CPA 686,24
Coût d’investissement C I 8,10Gain au bout de 5 ans G5A 554,80
JD -MACS– ANGERS 2009
Maintenance des frégates de la marine royale des Pays bas
Frégate 1
Frégate 2
Frégate N
Atelier central de
maintenance
Multi-Sites
Amélioration des performances par:• Maintenance multi-sites multi-niveaux• Maintenance corrective par remplacement• Gestion du stock pour le remplacement (installations, assemblages, ...)
Contraintes : coût
Modélisation
Évaluation des performances
Optimisation
Frégate i
Installation I1
Installation In
• • •Installation
I i
• • •
Assemblage A1
Assemblage Aj
• • •
S/Assemblage SA1
S/Assemblage SAk
• • •
Multi-Niveaux
• • •
JD -MACS– ANGERS 2009
Service MaintenanceRi
StockLi
Demande Ai
T i
mi
1
A(S)
.I
i ii
Max
Sous
c S C=
≤∑
Modèle site unique, 1 niveau
1
1
( )
.
I
i ii
I
i ii
Min PA S
Sous
c S C
=
=≤
∑
∑
Si : stock initial
de pièces de type i
Probabilité d’avoir une demande du produit i en attente avec un stock initialSi
Disponibilité
Budget limite
But : Trouver les niveaux de stocks S = (S 1, S2, …, SI)
pour que la disponibilité A(S) du système soit maxima le, tout en tenant compte d’un budget limité
Analyse du réseau pour trouver
ses performances
JD -MACS– ANGERS 2009
Modèle de type base-stock 2 sources, un seul niveau
TD in
Li0
Déplacement
I i0
Ai0
Rin
T in
rin
TD i0
1-rin TPi
Pi
1-ri0
T i0ri0
Ri0
Réparation par remplacement
mi
Lin
Ain
JD -MACS– ANGERS 2009
min
TD in
rin
TD ijn
Autre réparation Du S/A j dans
frégate n
Autre assemblage avec S/A j dans
frégate n
Ajn
rijn
LjnRéparation
du S/A j dans frégate n
I in
1-rijn
Transfert vers frégate (n+1)
1-rin
Réparation de l’installation i du
frégate (n+1) dans l’atelier central
Ai0
Li0Réparationde i dans
l’atelier central IT in
Lin
Ain
2 sites (centrale de Mce, frégates), multi-niveaux
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Exemple d’application: Réparation par remplacement
Installation 1
Système technique
Installation 2 Installation 3 Installation 4 Installation5
Installation Taux de panne mi (pannes/an) Coût unitaire (€) 1 6 330 2 9 450 3 5 440 4 4 150 5 10 480
Budget (€) Disponibilité (%) S1 S2 S3 S4 S5 6040 21.61 3 4 2 3 4 7440 41.96 4 4 3 4 5 8810 62.78 4 5 4 4 6 10670 83.51 5 7 4 5 7 12520 93.89 6 8 5 6 8 14220 97.88 7 9 6 6 9
Contrainte : budget limité à 12000 €
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SP1P1_O
P1_L
SP2
P2_O
P2_LSP23
SP3
P3_O
P3_L
Pbte
SP4
P4_O
P4_L
SP5
P5_O
P5_L
SP5
P5_O
P5_L
Réparation 1P2Diagnostic
DémontageP1 Réparation 2
P3
RéglageP4
AssemblageP5
TestP6
0.7
0.3
λλλλ
Système deproduction
Processus de réparation
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Atelier de maintenance
diagnosticréparation
réglage
test
assemblage
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Conception de l’AdM
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Maintenance Distribuée
AdM Central
Site 1
AdM central : conception, dimensionnement et optimisation des coûts. Minimisation du temps de séjour (thèse Abbou 2002)
AdM Mobile
Site 2
Site 3Site 4
Site k
Site i
Site j
AdM mobile : planification des tâches de Mcedimensionnement des stocks et évaluation des coûts
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Les niveaux de maintenance
–Niveau I : réglage simple, réparation/échange standard par les opérateurs ou techniciens sur place avec des outillages légers et standards.
–Niveau II : activités complexes (diagnostic, identification des origines de pannes…), travaux importants de maintenance corrective et préventive par des techniciens spécialisés, experts avec des outillages lourds et spécialisés.
Réglages simplesSite de production
IIAtelier Central
IAtelier mobile
NiveauSites
���� Classification des sites et ordonnancement des tâch es de maintenance préventives systématiques.
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Besoins - Objectifs
min(tri)
min(dij) /cm
― Durée de remplacement
― Ordonnancement des tâches
― Dimensionnement des ressources
opérateurs et outillage
― Temps moyens de séjour
― Dimension des stocks
ObjectifsObjectifsObjectifsObjectifs
― Références équipements
― Distance de l’AdM central: d0j
Site
― Capacité de stockage : cm
― Distances inter-sites : dij
― Durée de remplacement : Tr
AdM mobile
― Taux d’arrivée des pièces défectueuses:l
― Caractéristiques des postes
AdM central
DonnDonnDonnDonnéééées es es es Type de Type de Type de Type de
systsystsystsystèèèèmemememe
1. Déplacement de l’AdM mobile sans contrainte2. Déplacement en fonction de la capacité de stockage cm et la distance dij3. Déplacement en fonction de la capacité de stockage cm et de la distance inter-sites
3 scénarii
( ) cior BSC ≤∑ )(,
( ) mid BSC ≤∑ )(
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Cas d’étude
Hypothèses
• Les équipements sont identiques dans les trois sites.
• Les distances entre l’AdM Central et les sites sont classés par ordre de distance croissante: d01< d02 < d03.
Site de production
• Temps de réparation moyen d’un équipement défaillantAtelier Central
• Ordre de visite : (Site 1→ Site 2 → Site 3).
• Un remplacement est effectué dans chaque (Ti) site.
• Le remplacement est assuré∀ l’état de l’équipement.
• Le stock est réapprovisionné à l’AdM Central.
Atelier mobile
Site 1 Site 2 Site 3
Mobile
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Scénarii - Critères de performance
� Évaluation des coûts :
cycledeidéalNombre
effectuécycledeNombre
• Coût de stockage• Coût des pièces de rechange• Coût des déplacements• Coût des inspections• Coût des réparations
� Calcul de l’indicateur d’efficacité
12 3
C M
1
2 3
C M
1
2 3
CMStock =4
Scénario 1 Scénario 2 Scénario 3
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Modélisation
automates temporisés
x1 := 0, x2 := 0
Dynamique continue(horloge)
a ^ x2 = 2
x2 := 0
affectation
garde
b ^ 1≤x1 ≤3
E0
x2 ≤ 2
E1
x1 ≤ 3
E2
1x
1x
2
1
========
&
&
1x
1x
2
1
========
&
&
1x
1x
2
1
========
&
&
Invariantcondition
L’outil de modélisation doit représenter :
• les séquence de tâches � l’ensemble des états discrets
• l’écoulement du temps � l’ensemble des variables continues
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Modélisation de l’AdM mobile
Initialisation :horloge, capacité de stockage, scénario
diri xx && ,
1=dix&
1=rix&
Init=1
cs=n, sc=i
xdi=di
xri=αi
Affectation des opérations suivantesroutagemaj
xi
xdi=0
xd0i=d0i
1=repx&
xdi=d0i1=dix&
1=rix&
majxi
Déplacement vers le site i
Remplacement au site i
xdi<di
xdi<d0i
Aiguillage
Mise à jour du stock
Réparation
cs=+nrep,
⇒ Simulation: Matlab- Stateflow
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Modélisation de l’AdM mobile
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Modélisation de l’AdM central
DiagnosticP1
Poste de réparation P2
Poste de réparation Pi
RéglagePi+1
AssemblagePi+2
TestsPi+3Poste de
réparation Pj
RéglagePi+1
AssemblagePi+2
Sto
ck d
e pi
èces
dé
fect
ueus
es
Sto
ck d
e pi
èces
ré
paré
es
Temps moyen de séjour
Outil: RFA
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VI. Modéliser des Ateliers (Central et Mobile)
Transposition sur Matlab
Exemple
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Applicationinfluence de la capacité de stockage
d23d1390Site 3
d23d1250Site 2
d13d1210Site 1
905010Atelier Central
Site3
Site2
Site1
Atelier Central
0 €
2 000 €
4 000 €
6 000 €
8 000 €
10 000 €
12 000 €
coût
10 15 20 25 30 100
capacité de stockage
Courbe 1 - Coût de la maintenance en fonction de la capacité de stockage de l'AdM mobile
scenario 1
scenario 2
scenario 3
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Applicationinfluence de la distance inter-site
2 4852 8002 910d12 = 35d23 = 45d13 = 85
2 5302 8702 930d12 = 35d23 = 45d13 = 75
1 1671 1651 209d12 = 5d23 = 7d13 = 10
Coût cumuléscénario 3
(€)
Coût cumuléscénario 2
(€)
Coût cumuléscénario 1
(€)
DistanceInter-sites (km)
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Verrous scientifiques
• Maintenance centralisée: – Modélisation des dégradations
– Diagnostic et pronostic
• Maintenance distribuée– Ordonnancement dynamique
– Optimisation du routage
– Gestion des compétences
• E-maintenance
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ALOSURFDEMO
ApplicationApplication
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Planification des interventions• Méthode PERT ( Program, Evaluation and Review Technique)
Réseau constitué de succession de tâches à effectuer dans un ordre donné:
- Tâches : travaux à exécuter repérés par des lettres A, B, C, …
- Antécédents : pour ordonner l’exécution des tâches il est nécessaire de connaître les antériorités
2B C
D
Étape 2: fin de la tâche B, début de C et D
Étapes 2, 3, 4 « C » est une tâche fictive, elle ne consomme pas de temps, mais relie 3 à 4 (3 avant 4) et 2 avant 4
3C E
D4F
Étapes 3 et 4: tâches C, E, F
2B
D
E
3
4 A
F
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Exemple 1 de réseau PERT
B, D, F
-
E
-
F
B
A
B
C
D
E
F
AntérioritésTâches
Les tâches réalisées en premier sont celles qui n’ont pas d’antériorité : B et D
0
1
2
B
D
3
fin
F
Tâche fictive
A
5E
C
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Exemple 2
J
I, G, J
H
C, H, E
A, F
H
J
-
A, F, H
-
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
AntérioritésTâches
Matrice d’antériorités
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
JIHGFEDCBA
111
1
1
11
111
1
111
1
« il faut »
«po
ur faire
»
0
3
0
1
1
2
3
1
3
1
total
J
H
I
2
0
0
2
2
0
2
0
0
0
1
1
G
F
C
A
II
I
E
III
0
0
D
B
IV
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Exemple 2 graphe PERT
J
I, G, J
H
C, H, E
A, F
H
J
-
A, F, H
-
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
AntérioritésTâches
Matrice d’antériorités
0
3
0
1
1
2
3
1
3
1
total
J
H
I
2
0
0
2
2
0
2
0
0
0
1
1
G
F
C
A
II
I
E
III
0
0
D
B
IV
0
1
2
3
4
5
6
H
J
G
F
C
A I
ED
B
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Organisation des opérations de maintenance• Analyse ABC : Consiste à classer les pannes par ordre décroissant de coûts, chaque
panne se rapportant à un équipement. Puis à établir un graphique faisant correspondre les pourcentages de coûts cumulés aux pourcentage de types de panne cumulés.
ZoneA
80%
95%
100%
ZoneB
ZoneC
Zone A:
Les 20% de pannes représentent 80% des coûts
20% 50% 100%
Zone B:
Les 30% de pannes suivantes qui ne coûtent que 15% supplémentaires
Zone C:
Les 50% de pannes restantes qui ne reviennent qu’à 5% des coûts.
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Exemple : Une entreprise désire augmenter sa productivité en diminuant les pannes coûteuses. Pour cela, elle demande au service maintenance de définir des priorités sur les améliorations à apporter. Ainsi, ont été recueillis les éléments suivants:
4
15
4
14
3
8
12
2
3
5
4
3
8
8
100
32
50
19
4
30
40
80
55
150
160
5
10
20
Machine 1
Machine 2
Machine 3
Machine 4
Machine 5
Machine 6
Machine 7
Machine 8
Machine 9
Machine 10
Machine 11
Machine 12
Machine 13
Machine 14
Nombre de pannesNombre d’heures d’arrêtN° de machine
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• Classement des machines / Coût
% Pannes
cumulées
Nb de
Pannes
cumulées
Nombre
de
pannes
%Coût
cumulé
Coût
cumulé
Classnt
Coût
N°
de machine
JD -MACS– ANGERS 2009
• Classement des machines / Coût
4.3
19.6
13.9
16.1
19.3
23.6
36.5
52.6
61
69.8
84.9
93.5
96.7
100
% Pannes
cumulées
4
9
13
15
18
22
34
49
57
65
79
87
90
93
Nb de
Pannes
cumulées
4
5
4
2
3
4
12
15
8
8
14
8
3
3
Nombre
de
pannes
21.2
41
54.3
64.9
72.18
78.8
84
88
92
95
97.5
98.8
99.5
100
%Coût
cumulé
160
310
410
490
545
595
635
667
697
717
736
746
751
755
160
150
100
80
55
50
40
32
30
20
19
10
5
4
11
10
1
8
9
3
7
2
6
14
4
13
12
5
Coût
cumulé
Classnt
Coût
N°
de machine
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Références • Z. SIMEU-ABAZI, C. SASSINE «Maintenance integration in manufacturing systems by using stochastic Petri nets " International
Journal of production research. vol. 37, N° 17, pp. 3927-3940, 1999.
• Z. SIMEU-ABAZI, C. SASSINE «Maintenance Integration in Manufacturing Systems evaluation and decision" International Journal of manufacturing systems IJMS, Vol.13,N° 3, 2001.
• R. ABBOU, Z. SIMEU-ABAZI, . DI MASCOLO, " Atelier de maintenance intégré dans un système de production ", Journal européen des systèmes automatisés, pp197-223, n°1-2, volume 38,2004.
• S. GHELAM, Z. SIMEU-ABAZI*, J.P. DERAIN, C. FEUILLEBOIS, S. VALLET " Architecture de surveillance et diagnostic pour la maintenance des systèmes avioniques", revue française de gestion industrielle, vol 24 n° 3, 2005.
• Z. SIMEU-ABAZI, J. ZIKMUND, Z. BOUREDJI, " Monitoring and predictive maintenance: Modelling and analyse of fault latency, Computer In Industry – CII, Elsevier Science, Volume 57, pp 504-515 August 2006.
• Z. SIMEU-ABAZI, M. DI MASCOLO, " Maintenance centralisée pour les systèmes de production multi-sites", revue française de gestion industrielle, vol.26 n°1, 2007.
• Z. SIMEU-ABAZI, M. DI MASCOLO, M. KNOTEK " Fault diagnosis for discrete event systems: modelling and verification ", Reliability Engineering and system safety, 2008. soumis
• M. KNOTEK Z.SIMEU-ABAZI, & al, 3 , " Robust control and its implementation on PLC For multi-hoist surface treatment lines.", International Conference on Industrial technology, ICIT'03, Maribor, 10,12 December 2003.
• R. ABBOU, Z. SIMEU-ABAZI, M. DI MASCOLO,, " Influence of the machines failure rate on the maintenance scheduling", Intelligent Maintenance System International Conference IMS2004, 14-16 July 2004.
• M. KNOTEK Z.SIMEU-ABAZI, " Fault location by time analysis", International Conference on Industrial Engineering and Systems Management (IESM), May 2005.
• Z. SIMEU-ABAZI, M. DI MASCOLO, " Maintenance centralisée pour les systèmes de production multi-sites", 5e Conférence Francophone de Modélisation et SIMulation, MOSIM'06, Avril 2006.
• M. KNOTEK Z.SIMEU-ABAZI, " Fault diagnosis based on timed automata: Diagnoser verification”, CESA'06 IMACS Multiconference, Computation Engineering in Systems Application, October 2006.
• Z. SIMEU-ABAZI, M. DI MASCOLO, M. KNOTEK " Diagnosis of discrete event systems using timed automata ", IFAC Conference on Cost Effective Automation in Networked Product Development and Manufacturing – IFAC-CEA, Octobre 2007.
• ALALI ALHOUAIJ A., SIMEU-ABAZI Z., Modélisation modulaire des activités de maintenance dans une structure Multi-sites. 7ème Conférence Francophone de Modélisation et Simulation. MOSIM’08, Paris, France 2008..
• ALALI ALHOUAIJ A., SIMEU-ABAZI Z., Modular modeling of maintenance activities For Multi-Sites Structure. IFAC-IMS Intelligent Manufacturing Systems IFAC/IMS’08, Szczecin, Poland. 2008.