Modèles éléments finis 3D pour Modèles éléments finis 3D pour l’interaction onde – structure complexe.l’interaction onde – structure complexe.
Application aux méta-matériauxApplication aux méta-matériaux
Modèles éléments finis 3D pour Modèles éléments finis 3D pour l’interaction onde – structure complexe.l’interaction onde – structure complexe.
Application aux méta-matériauxApplication aux méta-matériaux
O. Ouchetto, B. Essakhi, O. Ouchetto, B. Essakhi, S. ZouhdiS. Zouhdi*, L. Pichon*, L. Pichon
Laboratoire de Génie Electrique Laboratoire de Génie Electrique de Parisde Paris
*E-mail : [email protected]*E-mail : [email protected]
1.1. Approche directe - DiffusionApproche directe - Diffusion
Modèle éléments finis 3DModèle éléments finis 3D
Formalisme des équations intégralesFormalisme des équations intégrales
2.2. HomogénéisationHomogénéisation
AApproche Classique – loi de pproche Classique – loi de mélange + MMmélange + MM
Approche Asymptotique + FEMApproche Asymptotique + FEM
Polariseurs micro-ondes et filtresPolariseurs micro-ondes et filtres Diélectriques artificiels Diélectriques artificiels AMC et HIS : antennes miniaturesAMC et HIS : antennes miniatures
Applications :Applications :
Surfaces Structurées et Meta-Surfaces Structurées et Meta-matériauxmatériaux
Surfaces Structurées et Meta-Surfaces Structurées et Meta-matériauxmatériaux
1
xT
yT
zTjS
iS
i
j lk
m n
kl ll
ml nlxT
yT
zTjS
iS
i
j lk
m n
kl ll
ml nl
)()(),(1
xwtetxE ai
N
i
Surfaces Structurées et Meta-matériauxSurfaces Structurées et Meta-matériaux
Éléments finis d’arêtes :Éléments finis d’arêtes :
2
IiE)i(ixE1x
)(A ωωω b)(e )(
)(A ωωω b)(e )(
210 AAAA 200 )()()(
0i
i0i )(e)(e
0i
i0i )(b)(b
...)(bb...))(ee)(A)(A)(A( 01001022
0100
avec
IiE)i(ixE1x Réduction d’un calcul large bandeRéduction d’un calcul large bande
Recherche d’un développement en série :
7
0i
i0i )(e)(e
i0M
0ii
i0N
0ii
)(p
)(q)](M/N[
)(eji
,....1,0i eAAbAe2
ij,1jjij
10i
10i
avec
Approximation de PadéApproximation de Padé
1 seule inversion de A0 est nécessaire !
Extension de la plage de validité
8
-20-10
010
2030
-20
-10
0
10
20-10
-5
0
5
10
Validation : rayonnement d’une antenne boucleValidation : rayonnement d’une antenne boucle
)(tI
yx
)(I)(V )(Z
9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 1010
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5IMPEDANCE
FREQUENCE(Hz)
AR
GU
ME
NT
(RA
D
LGEP(FEM)LGEP(PADE APPRX)
ImpédanceImpédance
I1=[0GHz,5GHz], I2=[5GHz,10GHz], I3=[10GHz,15GHz] et I4=[15GHz,20GHz].
onsin0Isi)(3/3)(Z jjj
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010
1
102
103
104
105 IMPEDANCE
FREQUENCE(Hz)
AM
PLI
TU
DE
(Ohm
s)
LGEP(FEM)LGEP(FEM+PADE)
10
Conducteur Electrique Parfait Conducteur Magnétique Parfait Surface à Haute Impédance
Htan 0 Etan = 0
PEC
Htan = 0 Etan 0
PMC
Htan 0 Etan 0
HIS
|R| = 1 ; = |R| = 1 ; = |R| 1 ; 0
Surfaces à haute impédanceSurfaces à haute impédance
Application : AntennesApplication : Antennes
3
d
PEC
d
d /4
d
PMC ou HIS
Élément rayonnant
dd
Conducteur parfait
Cellule élémentaire du réseau :d = 1cm, f = 5GHz
Impédance de surface Zs (en ) calculée dans le
plan (x, y, z = 1cm) pour une onde incidente polarisée TE.
Zsmoy(TE) = -0.003+3,73j, Zsmoy(TM) = 0.002+3,74j
Validation :Validation :
Surfaces à haute impédanceSurfaces à haute impédance
t smoy tE Z H
4
Impédance de surface Zs (en ) calculée dans le plan
(x, y, z = 1cm) pour une onde incidente polarisée TE.Cellule élémentaire du réseau :d = 1cm, l = 0,5cm, f = 5GHz
plaque conductrice
dd
Plan de masse
zy
xl
Surface à haute impédance
Surfaces à haute impédanceSurfaces à haute impédance
Zsmoy(TE) = -3 ,04+526,2j, Zsmoy(TM) = 5,14+614,1j t smoy tE Z H
5
Cellule élémentaire du réseau :d = 1cm, l = 0,5cm, f = 5GHz
Impédance de surface Zs (en ) calculée dans le plan
(x, y, z = 1cm) pour une onde incidente polarisée TE.
Zsmoy(TE) = 2,08+607,7j, Zsmoy(TM) = 3.97+619,4j
Surfaces à haute impédanceSurfaces à haute impédance
t smoy tE Z H
6Radio Science, à paraître en 2005Radio Science, à paraître en 2005
Collaboration avec C. SimovskiCollaboration avec C. Simovski (Russie)(Russie)
Méthode asymptotique :Méthode asymptotique :
Convergence à deux échellesConvergence à deux échelles& &
Éclatement périodiqueÉclatement périodique
HomogHomogéénnééisation des isation des matmatéériaux structurriaux structurééss
HomogHomogéénnééisation des isation des matmatéériaux structurriaux structurééss
PIERS 2005, Hangzhou, 2005, China PIERS 2005, Hangzhou, 2005, China
Action Math-STIC du CNRS, 2004-05Action Math-STIC du CNRS, 2004-05
Trouver les paramètres constitutifs quand :
d
d
11
Méthode asymptotique Méthode asymptotique
Y
Ekykykkeff dyypwy
jyywey ),())(
1)(())()((,
dyywey ky
Y
kkeff ))()(((,
Y
ky dyyvywy )().()( Y
k dyyvey )(.)(
xT
yT
zTjS
iS
i
j lk
m n
kl ll
ml nlxT
yT
zTjS
iS
i
j lk
m n
kl ll
ml nl1,r
2,r
1,r
2,r
1,r
2,r
12
)),(),(),()((3
1
xpEypwxpEywE HEkyHk
kyy
EEE yHum
Champ total Champ macroscopique
Correcteur
Méthode asymptotiqueMéthode asymptotique
13
Méthode asymptotiqueMéthode asymptotique
RRéésultasultatstsRRéésultasultatsts
1,r
2,r
1,r
2,r
1,r
2,r
Permittivité effective
Champ électrique
r1 = 8, r2 = 1
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Volume fraction (f)
Effe
ctiv
e re
lativ
e pe
rmitt
ivity
FEM (present method)
Maxwell Garnett
eff/d ≈ 11,42eff/d ≈ 14
r1 = 80
r2 = 1y
x z
d
Méthode asymptotiqueMéthode asymptotique
RRéésultasultatstsRRéésultasultatsts
1,r
2,r
1,r
2,r
1,r
2,r
Permittivité effective
Champ électrique
r1 = 8, r2 = 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Volume fraction (f)
Effe
ctiv
e re
lativ
e pe
rmitt
ivity
FEM (present method)
Maxwell Garnett
14eff/d ≈ eff/d ≈ 2.55eff/d ≈ 1.27
r1 = 80
r2 = 1y
x z
d
15
ConclusionConclusionConclusionConclusion
Déjà fait :Déjà fait :
Modèles pour les méta-structures et méta-Modèles pour les méta-structures et méta-matériauxmatériaux Approche antenneApproche antenne
Approche homogénéisationApproche homogénéisation
Reste à faire … :Reste à faire … :
Optimisation des formes Optimisation des formes
Validations expérimentales : Validations expérimentales : REX REX METAMORPHOSEMETAMORPHOSE
16
HomogHomogéénnééisation des isation des matmatéériaux structurriaux structurééss
HomogHomogéénnééisation des isation des matmatéériaux structurriaux structurééss
zz
xxDiélectrique 1Diélectrique 1
Diélectrique 2Diélectrique 2
11,, 11
2 2 ,, 22
Réseau de particules Réseau de particules bianisotropesbianisotropes
zzDiélectrique 1Diélectrique 1
Couche bianisotropeCouche bianisotrope
Diélectrique 2Diélectrique 2
1 1 ,, 11
2 2 ,, 22
effeffeffeff ,,,d xx
Electromagnetics, Vol.22, N. 3, 2002 Electromagnetics, Vol.22, N. 3, 2002 Collaboration avec C. SimovskiCollaboration avec C. Simovski (Russie)(Russie)
1ère approche :
Maxwell-GarnettMaxwell-Garnett & &Méthode des momentsMéthode des moments
17
Relations constitutivesRelations constitutivesCas général :
Dispersion spatiale d’ordre 1
Hypothèses : Réseau de faible densité d <
QQPED6
1
2
10
MMHB
2
10
1ère approche : Maxwell-Garnett & Méthode des momentsMaxwell-Garnett & Méthode des moments
18
locema
loceea HEp
locmma
locmea HEm
calculés connus
HEPemee
HEMmmme
)( locf EE ?
PbPED 0
MHB 0
HEDeffeff
EHB Teffeff
1ère approche : Maxwell-Garnett & Méthode des momentsMaxwell-Garnett & Méthode des moments
19
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
3 4 5 6 7 8 9
Fréquence (GHz)
Re(exx)Re(eyy)Re(muzz)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
2 3 4 5 6 7 8 9Frequency (GHz)
Am
pli
tud
e |
R|
FSSFSS Homogenized slabHomogenized slab
RRéésultatssultatsRRéésultatssultats
Inclusion : a = 3 mm, L = 2.8 mm, e = 0.2 mm
Réseau I : d1 = d2 = 9 mm, = 90°, r= 1
a
Le
1ère approche : Maxwell-Garnett & Méthode des momentsMaxwell-Garnett & Méthode des moments
20