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Cours de prospection sismique
COMPORTEMENT ELASTIQUE DES ROCHES
By Djeddi Mabrouk
Ce cours « Methodes Sismiques.Comportement élastique des roches » dispensé en
Géophysique au département de Géophysique de la FHC n’est pas encore entièrement achevé,il peut également subsister des fautes (erreurs) dans le texte et des références absentes.N’hésitez pas à
me contacter au [email protected] pour tout complément ou correction.
Si vous utilisez des données de ce travail , vous devez citer la référence en bibliographie de la façon
suivante :
Djeddi Mabrouk .Cours de prospection sismique (Comportement élastique des
roches).Département de Géophysique de la FHC.Université M’Hamed Bougara de BoumerdesAlgérie 03/2016.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]
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METHODES SISMIQUES. COMPORTEMENT ELASTIQUE DES ROCHES
Introduction
La géophysique est une branche des sciences de la terre qui consiste à étudier les
propriétés physiques du globe terrestre.Elle englobe plusieurs disciplines tel que le
géomagnétisme, l’electrométrie ,la gravimétrie, la sismologie , la radiométrie ,
l’electromagnétisme et la méthode sismique d’exploration.
Cette dernière se divise principalement en deux grandes familles
- La sismique réflexion
- La sismique réfraction
Les deux méthodes se basent sur la propagation des ondes acoustiques(sismiques)
dans le sous-sol.
Caracteristiques élastiques des roches
Nous nous contenterons de rappeler très succintemenet la théorie d’élasticité qui est à labase de la bonne comprehension de la propagation des ondes élastiques (sismiques)
en effet, La théorie de l’élasticité des materiaux est à la base de la transmission des ondes
acoustiques(sismiques) et donc les méthodes d’exploration sismique et la sismologie tirent
profit de cette théorie. Il est donc utile de rappeler succinctement certains paramètres ou
modules élastiques pour un corps homogène et isotrope soumis à une contrainte sans subir
une déformation permanente.
Il n’existe pas de solides qui ne se déforment pas. Tout corps soumis à de très
faibles contraintes (forces par unité de surface) se déforme , il subit uncomportement élastique appelé domaine d’élasticité. On dit qu’il est élastique au
sens général du terme .Par la suite on considère que tout materiau homogène et
isotrope se trouvant à des températures et des presssions relativement faibles peut
être consideré parfaitement élastique , à condition que les déformations dont il était
l’objet , soient petites.
Dans ces conditions, on observe deux propriétés :
- Une relation linéaire entre la contrainte appliquée et la déformation du materiau.
- Une reversibilité de la déformation .Lorsque la contrainte appliquée cesse d’agir, le
corps retrouve son état initial.
Lorsqu’un corps est soumis à une force appliquée sur une petite surface , il subittrois(3) types de déformation
- Des déformations de compression
- Des déformations de tensioqui sont de même nature que les déformations de
compression.Dans les deux cas ce sont des déformations longitudinales.
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-Des déformations de cisaillement .La force appliquée est parallèle à la surface et la
déformation est de nature angulaire .
Les propriétés élastiques des materiaux sont regies par la loi de Robert Hooke
(physicien anglais 1635-1703) qui exprime une relation de proportionnalité entre
contraintes et déformations, relation que l’on peut établir par les constantes ou
modules élastiques.Ils caracterisent les propriétés élastiques des materiaux.
Rappel succint des contraintes et deformations
Contraintes
Lorsqu’une roche (solide) est soumise à des faibles contraintes, elle se déforme et
reprend sa forme initiale quand la contrainte cesse .La déformation est réversible,
c’est un comportement élastique. La contrainte se définit comme étant une force
appliquée à une certaine unité de surface. C’est une propriété ponctuelle(un tenseur)
.On distingue deux types de contraintes fig 1 (a).
- Les contraintes normales - Les contraintes de cisaillement
Fig 1 :(a) type de contrainte, (b) nombre de composantes de contrainte sur un petit cube
Il existe 9 composantes de contrainte sur un petit cube (fig1.b)dont
- 3 contraintes normales , , - 6 contraintes tengentielles(contraintes de cisaillement) xy , yx , xz , zx , yz, zy Les contraintes de cisaillement qui se correspondent sont égales
xy = yx = xz = zx = yz = zy
ab
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On peut donc representer les composantes des contraintes à l’aide d’une matrice .
| | Déformations
Les déformations sont des déplacements par unité de longueur causées par les
contraintes . La relation entre déformation et contrainte est souvent linéaire et la
transmission des ondes sismiques dans le sous –sol est permise par cette propriété
élastique des roches.
Les déformations dans la direction de contrainte entrainent toujours des déformations
dans les autres directions.
La figure 2 montre le domaine d’élasticité linéaire
de la courbe contrainte -
déformation .Il se caracterise par :-Une relation de proportionnalité entre la contrainte appliquée et la déformation dumateriau-une reversibilité de la déformation lorsqu’on relâche la force, le materiau revient àson état initialPour de très petites déformations, la courbe contrainte–déformation est linéaire, avec
une pente (module d’Young).La relation de proportionnalité entre la contrainte et la déformation est : = .
s’appelle module d’Young .Il représente la pente de la courbe
dans le domaine
d’élasticité L’unité du module d’Young est la même que celle d’une contrainte(force par unitéde surface,/).Comme les déformations sont sans unité,alors l’unité en systèmeinternational d’une pression est le Pascal ( = /2).Il ya également d’autres unités tel que :le é ( 1 = 10 le (1 =10 )le / 2 = 9.81 /2 le ℎ ( = 6.895.103 )
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fig2 :comportement des materiaux soumis à des efforts
Constantes élastiques des roches
1- Module d’Young
Les propriétés élastiques des materiaux sont definies par des constantes élastiques
permettant d’établir une relation entre la contrainte qui leur est appliquée et la
déformation engendrée.En 1676, le physicien anglais Robert Hooke(1635- 1703) a
établi une relation linéaire de proportionnalité entre les contraintes et lesdéformations , relation que l’on peut exprimer par les constantes élastiques
determinées comme suit :
Tout materiau isotrope soumis à une faible contrainte (force appliquée par unité de
surface, / ) subit un raccourcissement (ou un allongement) fig 3 (a,b) Le module d’Young s’exprime par la relation :
=
∆
= soit
= .
Si l’échantillon de section possède un diamètre , on aura :∆ = . = . = . . ∶ force appliquée :section initiale∆ ∶ Allongement (ou raccourcissement) du materiau sous l’action de la traction ou de
la compression
∶ longueur initiale
: module d’Young : contrainte
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: déformation ∶ Contrainte par unité de surface ∆ : allongement ou raccourcissement par unité de longueur.Ainsi, une tension appliquée sur les faces perpendiculaires d’un parallélépipèderectangle produit un allongement
∆ des arêtes parallèles à l’axe de la tension
.Le
rapport Tension/Allongement par unité de longueur est le module d’allongement oumodule d’Young defini par : = ∆
Fig 3 : (a) déformation de compression , (b) déformation de tension T
2- COEFFICIENT DE POISSON
C’est le mahématicien français Siméon Denis Poisson(1781-1840) qui a mis en
evidence analytiquement ce paramètre caractérisant comme le coefficient d’Young ,
une propriété intrinsèque du materiau, appelé depuis le coefficient de Poisson.
La tension qui provoque l’allongement ∆ s’accompagne d’une contraction relative ∆ des arêtes perpendiculaires à la direction de la tension fig3(a,b).Le rapport de la
contraction latérale à la dilatation longitudinale est le coefficient de Poisson .Celui-ciest defini par :
=∆∆
,∆
: variation des dimensions transverses
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Etant donné que = ∆ , on a ∆ = ∆ . = . ∆ ∶ retrécissement (ou allongement de l’épaisseur(diamètre). : epaisseur initiale (diametre initial).Le tableau 1 renferme les valeurs du module d’Young et du coefficient de Poisson
pour quelques roches (Mestat 1993). Il ressort que les roches tendres secaracterisent par le module d’Young faible notamment pour la marne et le calcaire
alors que les roches dures comme le granite et le marbre possèdent des valeurs
assez elévées. Le coefficient de Poisson est sans unité,dans la plupart des cas il est
égal à 0.25
Le coefficient de Poisson est defini par le rapport entre le retrécissement latéral et
l’allongement longitudinal quand un materiau est soumis à une force de traction
(dans le domaine élastique).Ainsi, il permet de caracteriser le retrécissement du
materiau perpendiculairement à la direction de l’éffort appliqué.
Le coefficient de Poisson (grandeur sans unité) est théoriquement égal à 0.25 pour
un materiau parfaitement isotrope.Il est habituellement compris entre 0.20 et 0.30
et ne depasse pas 0.50.
Il est toujours inferieur ou égal à 0.50.S’il est égal à 0.50, le materiau est parfaitement
incompressible.Il existe des materiaux dits « auxétiques » qui ont un coefficient de Poisson
négatif.Ces materiaux deviennent plus épais dans la direction perpendiculaire à la traction.
Tableau 1
Materiau Module de Young E(GPa) Coefficient dePoisson
GraniteBasalteQuartziteGneissSchiste
10-8020-7030-9010-607 - 50
0.25-0.350.25-0.350.12-0.150.25-0.350.15-0.20
Calcaire très compactCalcaire compactCalcaire peu compact
Calcaire tendre
60-8030-6010-30
2- 10
0.25-0.350.25-0.350.25-0.35
0.25-0.35
MarneGrèsMolasseMarbreGypse
0.05-15-601.5-5
80-1102-6.5
0.25-0.350.25-0.350.25-0.350.27-0.300.27-0.30
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DETERMINATION DU COEFFICIENT DE POISSON
Le module d’Young et le coefficient de Poisson sont les deux paramètres de
déformabilité caracterisant les propriétés élastiques des roches qui sont directement
accessibles par les mesures experimentales.Ces deux paramètres physiques sont
étroitement liés à la nature pétrographique, à la parosité , au degré de saturation des
formations géologiques et bien d’autres .
La détermination du coefficient de Poisson s’effectue par la mesure des paramètres
acoustiques tel que :
- La mesure du temps de transit(ou la lenteur ∆ ) dans la formation géologiqueentre deux récepteurs à partir des données des diagraphies acoustiques (PSV,
cross-hole etc..)
- La deduction des vitesses et des ondes longitudinales et transversales- La vitesse est deduire à l’aide de la relation de Corbier(1983) comme suit : = ∆
La densité des formations géologiques est deduite sur le log de densité (à l’aide dela sonde de diagraphie gamma-gamma).
Le coefficient de Poisson est calculé directement à l’aide du rapport
/ comme
suit :
= −− , soit = /−
/−
Cas d’un milieu isotrope
Pour un milieu isotrope le coefficient de Poisson peut varier entre 0 et 0.5 , carle rapport / varie entre √ et l’infini. Cas d’un milieu anisotropePour un milieu anisotrope le rapport / peut être inferieur à √ . Il peut descendre jusqu’à 1.3 pour une roche saturée en gaz.
Les travaux de Vasil’ev et al(1962) sur le coefficient de Poisson montrent que :
- Les roches compactes de rapport / compris entre 1.6 et 2 se caracterisentpar un coefficient de Poisson oscillant entre 0.20 et 0.35
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- les roches déconsolidées de rapport / compris entre 2 et 5 se caracterisentpar un coefficient de Poisson oscillant entre 0.35 et 0.48
Les travaux de Domenico (1977) effectués dans les sables d’Ottawa fournissent les
valeurs suivantes :
-Pour les sables imprégnés de gaz
=..
-Pour les sables imprégnés d’eau ≈.
Fig :4 Rapport des vitesses des ondes longitudinales et transversales et coefficient de Poisson des
roches usuelles (document :IFP)
Il ressort que les sediments déconsolidés et saturés en eau se caracterisent par le
rapport / >2 et par >/ Les sediments consolidés ou les sables imprégnés d’hydrocarbures ont plutôt /
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3- MODULE D’INCOMPRESSIBILITE
Un parallélépipède soumis à une pression uniforme sur toute ses faces subit une
contraction.
Le coefficient d’incompressibilité
se caracterise donc par le changement relatif de
volume du parallélèpipède soumis à une pression ∆ .Si ∆ est la diminution de volume occasionnée par la pression ∆ sur le volume du parallèlépipède, est defini par :
= ∆∆ ou ∆ : Variation de volume
= ∆.∆ = s’appelle module de compressibilité Le Rapport ∆ ⁄ est appelé la dilatation ou contraction volumique par unité devolume sous l’effet de la contrainte .Il est proportionnel à la pressionOn a . ∆ ⁄ = ∆ OU = ∆∆ ⁄ =
∆ ⁄ =
avec ∆ ⁄ = (dilatation cubique)
:module d’incompressibilité (dynes/
2)
L’inverse de = s’appelle module de compressibilitéLe module d’incompressibilité est lié au module d’Young et le coefficient de Poisson
par la relation suivante :
= =
4- MODULE DE COULOMB
L’effet d’une contrainte de cisaillement appliquée sur les faces parallèles d’un
parallélépipède est de provoquer, sur chacune de ses faces, une déformation dite de
cisaillement sans changement du volume global (fig.5).Le rapportcontrainte/déformation de cisaillement est appelé module de Coulomb ou module de
rigidité .Lorsqu’une force agit parallèllement à la surface , la pression exercée seraégale à =
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Si la déformation provoquée est suffisamment faible ,et comme ≈ , onpeut ecrire :
= = . La constante de proportionnalité
s’appelle module de rigidité,module de
cisaillement, module de Coulomb, module de torsion ,coefficient de glissement ouencore coefficient de Lamé.Il a la dimension d’une contrainte ( /2).
Fig :5 Déformation de cisaillement
RELATIONS ENTRE LES DIFFERENTS MODULES ELASTIQUES (STATIQUES)
Le module de cisaillement est lié au coefficient de Poisson et au module d’Young par
la relation :
= + la connaissance du coefficient de Poisson et du module d’Young permet de determiner
le module d’incompressibilité
ou de son inverse
et le coefficient de Lamé
respectivement par les relations suivantes :
= = − = + − avec = = et = .− .+ Le module d’Young est.
= /
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Les roches à haute resistance tentent à avoir un grand module d’Young dependant de
plusieurs facteurs et notamment de la nature de la roche.
= = ++ = +
Pour la majorité des roches, le coefficient de Poisson se situe entre 0.15 et 0.4
module de cisaillement (shear modulus) est exprimé par. = + = − + Il mesure la rigidité d’un milieu c’est-à-dire le rapport de la contrainte tengentielle au
cisaillement correspondant ; plus est grand pour une contrainte donnée moins lemilieu se déforme.
Le module de cisaillement est nul = )pour un liquide qui ne resiste pas auxefforts tangentiels(liquide depourvu de toute rigidité, il se deforme sans contrainte ).Ilest designé en genie civil par la lettre .Le tableau 2 resume les differentes relationsexistant entre les differents paramètres élastiques.
Tableau 2
CALCUL DES MODULES D’ELASTICITE DYNAMIQUE
Les modules d’élasticité sont des paramètres qui caracterisent les propriétés
élastiques du mileu .Ils sont determinés par deux moyens :
1- Par des experiences de compression- traction . il s’agit de la déformation
statique(essais statiques)
2- A partir de la mesure des vitesses de propagation des ondes sismiques . Il s’agit
de la déformation dynamique (essais dynamiques). Il s’agit remonter auxmodules d’élasticité par la mesure du temps de propagation d’une onde
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sismique dans une roche.On utilise la méthode Cross-Hole qui consiste à
mesurer la vitesse des ondes sismiques entre forage ou encore la methode
Down-Hole (PSV profil sismique vertical) dont la source se trouve en surface.
Les modules ,, sont reliés aux vitesses des ondes sismiques longitudinales ettransversales et à la densité du milieu par les relations suivantes :
Le module de cisaillement et le module d’Young se deduisent à partir desvitesses des ondes sismiques longitudinales et transversales par lesexpressions suivantes :
= . . = − . . . Les unités sont respectivement
∶ en , : en/3 , : en / = . = .
=[ ( ) ]
[
]
En l’absence des données sur la vitesse des ondes de cisaillement , on utilise seulement dans le module d’Young en prenant le coefficient de Poisson égal à 0.25
Lorsque la vitesse est connue , on deduit le module d’Young par la relation = . . En outre, la vitesse des ondes sismiques longitudinales (
) depend du module
d’incompressibilité et du module de rigidité selon la relation qui suit : = + /√
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/ / / ⁄ granite 2500-2700 20-55 17-24 4200-5900 2600-3300 1.6-1.8 0.19-0.27
Basalte 2200-2800 25-65 13-32 4500-6200 2400-3400 1.8-1.9 0.28-0.30
Calcaire 2600-2800 20-60 10-38 3700-6300 2000-3700 1.7-1.85 0.23-0.29
Grès 1900-2600 10-55 2-19 2700-5600 1200-2700 2-2.25 0.35-0.38
Marnes 2000-2400 5-45 2-10 2000-5000 1000-2000 2-2.5 0.33-0.4Sols 1700-2000 0.01-10 0.005-0.5 100-2000 50-400 2-5 0.35-0.49
Tableau 2. parmètres élastiques pour differents materiaux présents dans subsurface (d’après Schön,
2011)
References
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