Mathématiques financières
Mathématique financière à court terme
I) Les Intérêts :
Intérêts simples
- Intérêts terme échu et terme à échoir
- Taux terme échu iu équivalent à un taux terme à échoir ir
- Intérêt simple post compté ou in fine
o Intérêt Payable à l’échéance IPE
o Intérêt Payable d’avance IPA
- Intérêt simple précompté ou taux d’escompte
Conventions de durées
- Les conventions de paiements
- Les conventions de bases
o Jours
o années
Le taux composé, actuariel et continu :
- taux actuariel
- taux continu
Les conversions de taux
- Conversion d’un taux simple en taux actuariel
- Conversion d’un taux simple en taux continu
- Conversion d’un taux actuariel en taux continu
Taux nominal - Taux proportionnel – Taux équivalent
- Taux nominal
- Taux proportionnel
- Taux équivalent
- Relation entre le taux proportionnel et le taux équivalent
Valeur acquise, valeur présente
II) Annuités et rentes
Annuités
- série d’annuités constantes immédiates payables en fin de période
o Valeur actuelle VO
o Calcul de l’annuité constante
o Valeur acquise Vn d’une
o Relation valeur acquise et valeur présente
- série d’annuités en progression géométrique immédiates payables en fin de période
o la valeur actuelle VO
o la valeur acquise Vn
o Relation valeur acquise et valeur présente
- série d’annuités constantes immédiates payables en fin de période
o Valeur actuelle
o Calcul de l’annuité constante
o Valeur acquise
o Relation valeur acquise et valeur présente
Rentes
- Rente immédiate constante versée annuellement d’avance
Annuités et rentes
Une annuité est un règlement périodique, la période n’est pas nécessairement l’année.
On désigne par suite d’annuité une suite de règlements à intervalle de temps constant.
On appel rente le bénéfice d’une série d’annuités, elle peut être
- certaine quand le nombre de ces termes est fixé à l’avance.
- Aléatoire quand le versement de ces termes est interrompu par la survenance d’un événement
que l’on ne peut prévoir à l’avance.
- Temporaire lorsque le nombre de termes est fini
- Perpétuelle lorsque le nombre de termes est infini
- à termes constants (annuité égales) ou variables
- à termes échus ou à termes à échoir
- immédiates ou différés
Les versements sont toujours périodiques. La période peut être l’année ou toute autre durée. Si elle
est différente de l’année le terme annuité devient impropre on parle alors semestrialité, trimestrialité,
mensualité…..
Immédiate, différée
Paiement : fin début de période
Valeur actuelle d’une série d’annuités constantes immédiates payables en fin de
période
Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle, n = nombre d’annuité constantes
versées en fin de période
Suite géométrique de raison
En posant la valeur présente de 1€ par période
Calcul de l’annuité constante payable en fin de période
Cas de la rente perpétuelle
Valeur acquise d’une série d’annuités constantes payable en fin de période
Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle de la dette de l’emprunteur
Suite géométrique de raison
Relation valeur acquise et valeur présente
On pose Valeur acquise en n de versement unitaire à chaque période pendant n périodes
Or on a vu que
On constate que
Valeur actuelle d’une série d’annuités constantes payable en fin de période avec un
différé de d périodes
Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle, n = nombre de périodes de versement;
annuité constantes versées en fin de période d = différé
Suite géométrique de raison
Calcul de l’annuité constante payable en fin de période
Cas de la série d’annuités perpétuelle constantes payable en fin de période avec un
décalage de d périodes
la valeur actuelle VO d’annuités en progression géométrique, de versements de fin de
période
La formule entre parenthèse est une suite géométrique composée de n termes, de premier terme 1 et
de raison q avec
Si i <> z
la valeur actuelle V0 d’annuités perpétuelles en progression géométrique, de
versements de fin de période
la valeur acquise Vn d’annuités en progression géométrique, de versements de fin de
période est
Progression géométrique de raison
Si z< i
Si z= i
Valeur actuelle d’une série d’annuités constantes payable en début de période
Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle de la dette de l’emprunteur
Suite géométrique de raison
On sait que
Calcul de l’annuité constante payable en début de période
Or
donc
Valeur acquise d’une série d’annuités constantes payable en début de période
Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle de la dette de l’emprunteur
Suite géométrique de raison
On a vu que
Relation entre valeurs acquises
Le fractionnement des annuités
Si l’on fractionne l’annuité a annuelle en k « annuités » par an de montant avec k entier positif, les
annuités mensuelles sont partiellement anticipées, la suite d’annuités vos donc plus cher que la rente
originale.
Si k=1 alors on retrouve la formule de l’annuité annuelle à terme échu
Supposons maintenant que l’on travail avec un taux proportionnel
Relation entre Vp0 et V0
Supposons maintenant que l’on travail avec un taux équivalent
Verification de la relation Ve0 et V0
Rentes
Une rente certaine est une série d’annuités de 1 € reçues par le rentier quelque soit sont état.
Notation versement de r€ chaque année pendant n années à terme échu.
La rente peut être
- Immédiate, différée
- Constant, croissante
- d’avance , à terme échu
Rente immédiate constante versée annuellement d’avance
versement de 1€ chaque année pendant n années d’avance.
Avec
versement de 1€ chaque année pendant n années à terme échu.
Rente différée d périodes versée annuellement d’avance
versement de 1€ chaque année pendant n années à terme avance.
Emprunt indivis
Les remboursements
Un emprunt indivis est
- un emprunt dont le versement par le préteur s’effectue en une seule fois à une date 0.
- Le remboursement du principal s’effectue de manière progressive avec une périodicité
constante.
A l’échéance de chacune des annuités, l’emprunteur rembourse en plus de remboursement du
principal, les intérêts échus correspondant au capital restant dû en début de la période considérée. La
somme de l’intérêt et de l’amortissement du capital correspond au montant de l’annuité.
Le tableau d’amortissement
Emprunt
- Capital emprunté V0
- durée n
- au taux d’intérêt i
- Capital amorti à chaque échéance
- Intérêts a chaque échéance
- Total échéance ap = Ip + A
Période Annuité at Intérêts de la
période
Amortissement
Capital
remboursé
Capital restant dû
0 V0
1 a1= I1+A1 I1 = V0 x i r1 V1= V0- r1
2 a2= I2+A2 I2 = V1 x i r2 V2 = V1- r2
P ap= Ip+Ap Ip = Vp-1 x i rp Vp = Vp-1- rp
N an= In+An In = Vn-1 x i rn 0
Amortissement in fine
L’amortissement in fine consiste à rembourser le capital en une seule fois à l’échéance du prêt.
Les intérêts peuvent être payé périodiquement ou à l’échéance. Ce type de prêt s’applique sur des
durées courtes et les intérêts sont calculés selon la méthode des intérêts simples
Amortissement constant
L’amortissement constant consiste à rembourser une partie identique du capital à chaque période. Les
intérêts de chaque échéance sont calculés sur le capital restant dû à chaque début de période.
Emprunt
- Capital emprunté V0 = 100 000€
- durée n = 10
- au taux d’intérêt i = 5%
- Capital amorti à chaque échéance
- Intérêts a chaque échéance
- Total échéance ap = Ip + A
- Capital restant dû Rp = Rp-1- rp
Tableau d’amortissement
Echéance Total
échéance
intérêts Capital
remboursé
Capital
restant dû
5% 100 000 €
1 15 000 € 5 000 € 10 000 € 90 000 €
2 14 500 € 4 500 € 10 000 € 80 000 €
3 14 000 € 4 000 € 10 000 € 70 000 €
4 13 500 € 3 500 € 10 000 € 60 000 €
5 13 000 € 3 000 € 10 000 € 50 000 €
6 12 500 € 2 500 € 10 000 € 40 000 €
7 12 000 € 2 000 € 10 000 € 30 000 €
8 11 500 € 1 500 € 10 000 € 20 000 €
9 11 000 € 1 000 € 10 000 € 10 000 €
10 10 500 € 500 € 10 000 € 0 €
Total 127 500 € 27 500 € 100 000 €
Amortissement à échéances constantes
Calcul du premier amortissement r1 de l’emprunt
Le remboursement constant a comprend
- une part r d’amortissement de capital
- une part I d’intérêt sur le capital restant dû
Avec et
Calcul du deuxième amortissement de l’emprunt
avec
Généralisation
Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du Pieme
remboursement
Calcul du capital remboursé rp au Pieme
remboursement
Or on peut écrire le taux i comme étant
Capital du restant dû Vp après le paiement du Pieme
remboursement
Suite géométrique de n-p termes de raison
En remplacent a dans cette formule par
On obtient Vp en fonction de V0
Une autre manière de calculer le montant restant dû
Intérêts payer Ip au Pieme
remboursement
Intérêts cumulé payer ITp pour l’emprunt après le p° paiement
Le paiement périodique s’écrit
L’amortissement périodique de capital s’écrit
Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du Pieme
remboursement
Intérêts total payer IT pour l’emprunt
Le paiement périodique s’écrit
L’amortissement périodique de capital s’écrit
Tableau d’amortissement
Emprunt
Durée année 10
capital initial 100 000 €
taux nominal 5.00%
annuités constantes 12 950.46
Echéance Total
échéance
Intérêts Capital
remboursé
Capital
restant dû
5% 100 000.00 €
1 12 950.46 € 5 000.00 € 7 950.46 € 92 049.54 €
2 12 950.46 € 4 602.48 € 8 347.98 € 83 701.56 €
3 12 950.46 € 4 185.08 € 8 765.38 € 74 936.18 €
4 12 950.46 € 3 746.81 € 9 203.65 € 65 732.53 €
5 12 950.46 € 3 286.63 € 9 663.83 € 56 068.70 €
6 12 950.46 € 2 803.44 € 10 147.02 € 45 921.68 €
7 12 950.46 € 2 296.08 € 10 654.37 € 35 267.31 €
8 12 950.46 € 1 763.37 € 11 187.09 € 24 080.22 €
9 12 950.46 € 1 204.01 € 11 746.45 € 12 333.77 €
10 12 950.46 € 616.69 € 12 333.77 € 0.00 €
Total 129 504.57 € 29 504.57 € 100 000.00 €
Valeur actuelle d’annuité en progression géométrique
Progression géométrique de raison (1+z) Ils croîtront chaque année de z%
Avec a = annuité, i = taux d’intérêt annuel, V0 =Valeur actuelle de la dette de l’emprunteur
En mettant en facteur on obtient
La formule entre parenthèse est une suite géométrique de n termes de premier terme 1
et de raison q =
Calcul de la première annuité a1
mensualités progressive de z% chaque année
- Mensualités progressives de z% par an,
- TEG = i,
- Taux périodique ip = i/k,
- k=nombre de période par ans
Calcul du premier amortissement r1 de l’emprunt
Le remboursement constant a comprend
- une part d’amortissement de capital A
- une part d’intérêt sur le capital restant dû I
Avec et
Calcul du deuxième amortissement de l’emprunt
Avec
Calcul du troisième amortissement de l’emprunt
Avec
Calcul du capital remboursé Rp après le paiement du Pieme
remboursement
Capital du capital restant dû Vp après le paiement du Pieme
remboursement
calculer le capital restant dû à la fin de la peme
mensualité.
- Mensualités progressives de z% par an,
- TEG = i,
- Taux périodique ip = i/k,
- K = nombre de période par ans
- n= nombre d’années du crédit
- p = période de la dernière mensualité
- np = nombre années entières écoulées après le paiement de la peme
échéance
- Si k = 1
- np = n-p et n- np=p
Intérêts cumulé payer ITp pour l’emprunt après le p° paiement
Le paiement périodique s’écrit
mensualités progressive de z% chaque année une autre approche : Valeur acquise des
mensualités
- Mensualités progressives de z% par an,
- TEG = i,
- Taux périodique ip = i/k,
- k=nombre de période par ans
Mensualités progressives de z% chaque années, il est possible de ce ramener d’u n paiement mensuel à une
annuité annuelle.
En effet on peut considérer que l’annuité annuelle dans le cas de paiements mensuels n’est autre que la valeur
la valeur acquise S12 d’une suite de mensualités certaines en adaptant le taux d’intérêt d’un taux périodique en
un taux équivalent annuel ieq Dès lors la mensualité n’est autre que l’annualité rapportée à S12
Recherche du taux équivalent annuel Recherche Sn : valeur atteinte a l’échéance d’une suite de mensualités certaines
Calculer le montant des intérêts versés à la fin de la première année.
Calcul capital rembourser r1 de l’emprunt la première année
Le remboursement constant a comprend
- une part d’amortissement de capital r
- une part d’intérêt sur le capital restant dû I l’intérêt est ici payer au taux i donnant le taux
périodique ip Le taux ieq ne servant qu’a introduire les mensualité sous forme de valeur de
paiement annuel.
Avec et
Intérêts payé à la fin de la première année.
Intérêts payé la deuxième année année.
Usufruit et nue propriété des emprunts indivis
Considérons un emprunt indivis.
V = valeur actuelle de l’emprunt
K = capital restant dû
Il existe un taux x tel qu’il y ait égalité entre V et le total des valeurs actuelles des annuités non
échues.
La p° annuité est de la forme : ap= iKp-1 + Ap
Ou Kp-1 est le capital restant dû avant la p° échéance
Ap est l’amortissement de capital de la p°
I est le taux d’intérêt nomialde l’emprunt.
Si l’on se place avant le premier versement annuité à échoir on obtient :
On appel : usufruit total U la valeur actuelle au taux x des intérêts iKp-1
Nue propriété totale P la valeur actuelle au taux x des amortissements Ap
Or Ap = Kp-1-Kp
D’ou iP + xU = iK
Comme P + U = V
P = V-U
On en déduit
Si i=x P + U = K = V
Si la valeur V d’un emprunt est égale à sa valeur nominale le taux effectif x est égal au taux nominal.