9 janvier 2007 1
MATHEMATIQUES DISCRETES
Stéphanie FLOSSE
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Plan
• présentation des mathématiques discrètes
• les enseignements
• programmation linéaire – définition
– l’algorithme du simplexe
– exemple d’application
• théorie du signal : approximation multirésolutions
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Définition
• Mathématiques discrètes : étude des structures mathématiques fondamentalement discrètes, dans le sens où la notion de continuité n'est pas exigée ou supportée
• Mathématiques discrètes: populaires du fait de leurs applications dans l’informatique. – notations et concepts des mathématiques discrètes utilisés pour
exprimer ou étudier des problèmes et des objets en algorithmique et en programmation
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Enseignements
• théorie des codes : polynômes sur les corps finis, codes correcteurs
• informatique : programmation C / C++, Java ; arbres, graphes ; base de données
• probabilités
• réseaux
• théorie des jeux –optimisation• théorie du signal : transformation de Fourier, filtres,
convolution, ondelettes,approximation multi-résolutions
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OPTIMISATION : PROGRAMMATION LINEAIRE
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Programmation linéaire : exemple, résolution graphique
• Exemple:
24C03Z, intervention sur le cristallin, séjour < 2 j.valeur = 1530,19€
24C04Z, affectation de la CMD 02 avec acte opératoire, séjour < 2 j., valeur = 973,74€
1 chirurgien, 1 infirmière et 1 secrétaire pour ces séjours
24C03Z : 20 min. chirurgien, 30 min. infirmière, 6 min. secr.
24C04Z : 10 min. chirurgien, 40 min. infirmière, 18 min. secr.
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Programmation linéaire : exemple, résolution graphique
Chirurgien : disponible au plus 1000 min / semaine
Infirmière : disponible au plus 2000 min / semaine
Secrétaire : disponible au plus 720 min / semaine
x : nb de séjours dans GHM 24C03Z
y : nb de séjours dans GHM 24C04Z
But : déterminer x et y tel que le bénéfice lié à ces séjours et àces contraintes soit maximum.
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Programmation linéaire : exemple, résolution graphique
Écriture du PL :
20x + 10y ≤ 1000
30x + 40y ≤ 2000
6x + 18y ≤ 720
Bénéfice = 1530,19x + 973,74y
Résolution graphique :
- trace les droites correspondants aux contraintes aire
- intersection aire et droite bénéfice tq ord. origine soit max
donne le couple (x,y) recherché
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Programmation linéaire : exemple, résolution graphique
Écriture du PL :
Pour x = 40 et y = 20 :
Bénéfice max = 80 682,40 €
20x + 10y ≤ 1000
30x + 40y ≤ 2000
6x + 18y ≤ 720
Bénéfice = 1530,19x + 973,74y
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Programmation linéaire : définitions
• Problème de programmation linéaire (PL), forme canonique :
nn
mnmnm
nn
in
xcxcz
bxaxa
bxaxa
mxxxn
++=
≤++
≤++≥∀
K
K
M
K
K
11
11
11111
1
:objectiffonction laMaximiser
: linéaires scontrainte et 0 i, que tel, variablesSoit
• Problème de programmation linéaire (PL), forme standard :
( )
( )nn
nmnmmmn
nnn
imnn
xcxcz
xaxabx
xaxabx
xxxm
++=
++−=
++−=
≥∀
+
+
++
K
K
M
K
K
11
11
111111
1
:objectiffonction laMaximiser
:est écartsd' variablesdes base la dans redictionnai Le
.0 i, que tellesaires,supplément , variablesSoit
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Programmation linéaire : méthode du simplexe
• Écriture du PL sous forme standard
21
215
214
213
74,97319,1530
186720
40302000
10201000
xxz
xxx
xxx
xxx
+=
−−=−−=−−=
• Une solution évidente est : ( ) 0zet 720,2000,1000,0,0 ** ==x
74,97319,1530 21 =>= cc
( )5,5097650*19,5301z
420,500,0,0,50 :solution Nouvelle
50choix leoù d'
1203
20050
Augmentons
*
1
1
1
1
1
==
=
≤
≤
≤
x
x
x
x
x
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Programmation linéaire : méthode du simplexe
32
325
324
321
20
19,1530
2
19,153074,97350*19,1530
10
315420
2
325500
20
1
2
150
xxz
xxx
xxx
xxx
−
−+=
+−=
+−=
−−=
• Le programme s’écrit alors :
( )
( ) ( ) € 682,4 80et vaut 20,40,pour
atteint est maximum le donc négatifs, et de tsCoefficien
8,345863,9908-682,4 80z : et remplaçantEn
682,4 80z120,0,0,20,40 x:solution Nouvelle
20choix leoù d'
28
20
100
Augmentons
21
43
4321
**
2
2
2
2
2
=
−==
=
≤≤≤
xx
xx
xxxx
x
x
x
x
x
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THEORIE DU SIGNAL :APPROXIMATION
MULTIRESOLUTIONS
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Théorie du signal : applications
• spatial : imagerie spatiale, compression de données
• téléphone et internet : compression de données, réduction d’echos
• audiovisuel : stockage et compression de données
• industriel : prospection minière et pétrolière
• ponts et chaussées : calcul de déflexion de chaussée
• médical : imagerie médicale et compression de données
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
niveau fin
niveau grossier
221 aa +
243 aa +
265 aa +
287 aa +
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a
12 aa − 34 aa − 56 aa − 78 aa −
44321 aaaa +++
48765 aaaa +++
2
2143 aaaa −−+
2
6587 aaaa −−+
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
• Suite d’espaces d’approximation emboîtés :
• Supplémentaire permettant de passer de Vj à Vj+1 : Wj
1+⊂ jj VV
jjj WVV ⊕=+1
( ) { }( )
jk
jk1
1jk
111k
1jk
11
22
: écrirepeut On .sur f de projection la Notons
écrirepeut on , de base une Soit
sur projection sa notons , tq
ψϕ
ϕϕ
∑∑
∑∫
∈∈+
+
∈
+++∈
+
++
+=
=
+∞<=ℜ∈
Zk
jk
Zk
jkj
jj
Zk
jkjjZ
jj
dcfP
WfQ
cfPV
VfPffLf•
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
•( ) ( )
( )ondelette.
échelle.d' fonction
appelléefonction
unique uned' dilatées es translatélessont des base de fonctions Les
appellée f unique uned' téeset transla dilatées
lessont échelles sdifférenteaux base de f Les 2
: échelled' changement derelation une vérifiantfonctions les sConsidéron
Zk jj
k
Znn
W
nxhx
∈
∈
°
°−=∑
ψ
ϕϕ
• ( ) ( )( ) ( ) [ ]nnnxhx
kxx
Znn
jj
jk
δϕϕϕϕ
ϕϕ
=−−=
−=
∑∈
(.~,et 2~~~: ladéfinit On .22 Posons 2 duale échelled' fontion
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
• ( )
))) ( )
) { }) ( )( ) 0
2
01
1
de Riesz de base une forme que tellefonction une existe Il
0lim
lim
.)2(.)2((.)
: iéessont vérif suivantes propriétés les si (APM)
uneest espacesd' suite unequ'dit On
V.-nv
VViv
LVViii
VfVfVfii
VVi
V
n
j
j
j
j
j
j
j
jjj
jj
j
ϕϕ
==
ℜ==
∈⇔∈⇔∈⊂
−∞→
+∞→
∞+
−∞=
−+
+
I
U
srésolution-multi ionapproximat
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
• Relations :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1j
n1j
njn1
11
11 1~;~
1
2~~~;2
2~~~;2
+
∈
+
∈∈+
−+
−+
∈∈
∈∈
∑∑∑
∑∑
∑∑
=+=
−=−=
−=−=
−=−=
ϕψϕ
ϕψϕψ
ϕϕϕϕ
Zn
jn
Zn
jn
Zn
jnj
nn
nnn
n
Znn
Znn
Znn
Znn
cdcf
hghg
nxgxnxgx
nxhxnxhx
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
• Reconstruction (transformée en ondelettes inverse) :
( )∑ −−+ +=
kkm
jkkm
jk
jm gdhcc 22
1
2
1
• Calcul de la décomposition en ondelettes :
12
12
~2
1;
~
2
1 +−
+− ∑∑ == j
nn
knj
kj
nn
knj
k cgdchc
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
• Exemple : ondelette de Haar
−
+=
−=+
=
−−+
+++
++
+
pairest si 2
1
impairest si 2
1
:ion Recomposit
;2
:ion décomposit de Schéma
22
2
1
2
1
1
12
112
112
12
mdc
mdc
c
ccdcc
c
jm
jm
jm
jm
jm
jk
jk
jk
jk
jkj
k
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
• Seuillage
0 d alors seuil, d si =<
dddd
dddd
ddcc
ddcc
K
MM
K
K
K
Taux de compression correspond au % de 0 dans la matrice décomposée
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
Image originaleImage décomposée,
38% de zéros
Image recomposée sans seuillage
= image originale
Seuil = 1 ; 86% de zérosA l’œil nu, pas de différences entre l’image reconstruite et
l’image originale
Seuil = 5 ; 97% de zérosMauvaise qualité de l’image reconstruite sur les dégradés.
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
Image originale Image décomposée 9% de zéros
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
Seuil = 2 ; 37% de zérosA l’œil nu, pas de différences entre
l’image reconstruite et l’image originale
Seuil = 7 ; 65% de zérosLe chien a été bien reconstruit, mais dans le fond, apparition de « carrés » à la place du dégradé
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APPROXIMATION MULTIRESOLUTIONS
• Haar :– mauvais sur les dégradés / bon sur les contrastes
– utilisation pour la reconnaissance d’écriture
• Il existe bien d’autres ondelettes :– Morlet, Daubechies, biorthogonales interpolantes, etc.
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Bibliographie
• Programmation linéaire– Chvatal, Linear Programming
• Ondelettes– cours de M.SONNENDRÜCKER
– S. Mallat, Une exploration des signaux en ondelettes
– I. Daubechies,Ten Lectures on Wavelets
– http://www-lmc.imag.fr/lmc-cf/Valerie.Perrier
– www.python.org