N. BOUDAOUD Plans d’expériences 1
Les plans Factoriels Fractionnaires 2k-p
Comment réduire le nombre d’essais ??
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Approche fractionnaire
• Dans un plan factoriel complet, le nombre d’essais augmente de façon exponentielle avec le nombre de facteurs
– 4 facteurs : 24=16 essais
– 5 facteurs : 25=32 essais
– 7 facteurs : 27=128 essais
2 4 6 8 10 12 14 160
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
4
Nombre de facteurs
No
mb
re d
’ess
ais
Les plans fractionnaires sont
des plans optimaux orthogonaux qui se focalisent
sur les effets les plus intéressant
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Comment réduire le nombre d’essais ?
3
PTEPTETETEPEPEPTPTEETTPP XEXEXEXEXEXEXEyy
Nombre d’essais minimum ?
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Relation nombre d’essais et nombre de ddl
• Règle
– le nombre minimal d’essais à réalisé est égal au nombre de ddl du modèle étudié (nombre de coefficients du modèle)
• Exemple : 3 facteurs à 2 niveaux A,B,C et 2 interactions AB, AC
– ddlA+ddlB+ddlC+ddlAB+ddlAC+1=6
ddl de la moyenne
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• Objectif : Réduction du nombre d’essais – Focalisation sur les effets les plus intéressants
• Hypothèse : – Interactions d’ordre supérieur à 2 sont souvent
négligeables : ABC, ABCD, ABCDE…
• Ex: 5 facteurs A,B,C,D,E 32 essais – Les informations utiles :
• A,B,C,D,E : 5
• Interaction d’ordre 1 : 10
– Une table avec 16 essais (25-1) suffirait…
Plans Fractionnaires à 2 niveaux
Lorsque le nombre de facteurs augmente , le rapport du
nombre d’informations utiles au nombre total d’essais diminue
de façon alarmante ! Réduction de la taille des plans
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Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation
• Faire le bilan sur – le nombre de facteurs (+ nombre de modalités) – Le nombre d’interactions – Le nombre de degrés de liberté (ddl) au total : donne le nombre
d’essais minimal nécessaire. • ddl(total)=somme des ddl des facteurs • ddl(Facteur)=Nombre de modalité du facteur moins 1
• Choisir la table en adéquation avec le nombre d’essais minimum
• Affecter les facteurs aux colonnes – Le choix de colonnes se fait selon des contraintes de coût sur la
fréquence de variation des niveaux des facteurs d’un essai à l’autre.
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Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation
• Tables orthogonales et tables des interactions associée
1x2 1x4 2x4
A B C
L8(23)
3 facteurs
A,B,C
+ 3 interactions
Sans confusion
1 2 3 4 5 6 7
-1 -1 1 -1 1 1 -1
-1 -1 1 1 -1 -1 1
-1 1 -1 -1 1 -1 1
-1 1 -1 1 -1 1 -1
1 -1 -1 -1 -1 1 1
1 -1 -1 1 1 -1 -1
1 1 1 -1 -1 _1 -1
1 1 1 1 1 1 1
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 8
Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation
• Tables orthogonales et tables des interactions associée
1x2
4x7
1x4
2x7
2x4
1x7
A B C D
L8(23)
4 facteurs
A,B,C, D
+ interactions
Sans confusion
1 2 3 4 5 6 7
-1 -1 1 -1 1 1 -1
-1 -1 1 1 -1 -1 1
-1 1 -1 -1 1 -1 1
-1 1 -1 1 -1 1 -1
1 -1 -1 -1 -1 1 1
1 -1 -1 1 1 -1 -1
1 1 1 -1 -1 _1 -1
1 1 1 1 1 1 1
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
• Plan complet : 24=16 essais
• Liste des facteurs et interactions : – A,B,C,D : 4
– AB,AC,AD,BC,BD,CD : 6 interactions ordre 1
– ABC,ABD,ACD,BCD : 4 interactions ordre 2
– ABCD : 1 interaction ordre 3
– Total de 15 facteurs : nécessite 16 essais 15 colonnes
Plan 24-1 : Etude de 4 facteurs
Réduire le nombre d’essais
Réaliser le plan fractionnaire 24-1 ( 8 essais) ?
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L16
L8(23) Table à 16 essais (4 facteurs ABCD)
Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne ???
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Le plan 24-1
Chaque facteur (A,B,C) et les interactions occupent une colonne.
Pour tester le facteur D et les interactions avec (A,B,C,AB,AC,BC,AC,ABC)
avec seulement 8 essais : il faut donc les affecter à des colonnes déjà
occupées
ABC interaction probablement négligeable
D est affecté à la colonne ABC
Conséquences :Niveaux de D et ABC suivent
les mêmes changements de signes
A quelle colonne affecter
le facteur D ?
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Affectation des Facteurs et interactions : Alias
• D et ABC sont donc aliasés : D=ABC
• Les autres colonnes A, B, C, AB,.. vont être
aliasés avec les interactions de D
Essai A B C D Y
1 - - - - Y1
2 - - Y2
3 - - Y3
4 - - Y4
5 - - Y5
6 - - Y6
7 - - Y7
8 Y8
Comment déterminer
tous les aliases ?
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Détermination des aliases
Propriétés • Commutativité : AB=BA
• Associativité : A(BC)=(AB)C=ABC
• Elément Neutre I (colonne de (+)): I.A=A.I=A
• A.A=I quel que soit A
• L’égalité D=ABC peut s’écrire I=D.D=DABC=ABCD
• I=ABCD appelé GENERATEUR D’ALIAS
• Détermination de tous les alias : – I.A=ABCD.A=BCD A=BCD
– I.B=ABCD.B=ACD B=ACD
Conséquences
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Liste des alias
Comment calculer les effets des facteurs et interactions à partir des colonnes aliasées ?
On parle de Contrastes
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Calcul des contrastes
• Colonne 1 : A et BCD – Contraste : h1=A+BCD=1/8(-y1+y2-y3+y4-..+y8)
• Colonne 2 : B et ACD – Contraste : h1=B+ACD=1/8(-y1-y2+y3+y4-..+y8)
• Etc..
Exemple : Etude de l’influence sur Y = allongement à la rupture d’un élastomère (en %) des facteurs :
A : nature de l’élastomère
B : taux d’additif ( autour de la valeur préconisée)
C : Système de vulcanisation
D : taux de kaolin
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Exemple ( suite)
• Plan fractionnaire 24-1
• Alias D=ABC
• Générateur d’alias
– I=ABCD
Essai A B C D Y
1 - - - - 275
2 - - 325
3 - - 210
4 - - 220
5 - - 290
6 - - 370
7 - - 260
8 270
Niveau
(-1)
1 6 1 20
Niveau (+1)
2 10 2 40
Contrastes h118.75 =A+BCD
h2-37.5 =B+ACD
h320.0 C+ABD
h4-3.75 =D+ABC
h5-13.75 =AB+CD
h6 5.0 BC+AD
h73.75 AC+BD
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Interprétation
• Hypothèses
– Conditions de l’étude : les contrastes dont la valeur absolue est inférieur à 8 sont supposés négligeables
– Compte tenu de la nature des facteurs les interactions d’ordre 2 sont probablement négligeables
Interprétation physique :
une interaction élastomère-additif (AB) est plus
plausible qu’une interaction entre système de
vulcanisation et kaolin (CD) (charge inerte)
• Conséquences :
– h1=+18.75 A
– h2= -37.50 B
– h3= +18.75 C
– h4=-3.75D 0
– h5=AB+CD=-13.75 ? Quel est l’interaction la plus prépondérante ?
– H6 et h7 négligeables : interactions négligeables ou de signes opposés
Effet A et de C sont du même ordre de
grandeur
Effet de B important, D insignifiant.
On peut donc penser que dans h5
l’interaction AB et plus significative que
CD AB=-13.75
Conclusion
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 18
Conclusion
• Un excès d’additif diminue l’allongement à la rupture, surtout avec l’élastomère 2. L’élastomère 2 et préférable au 1.
• Système de vulcanisation 2 est meilleur
• Kaolin sans influence
Bilan
Nous avons pu conclure de façon satisfaisante
avec 8=24-1 essais pour 4 facteurs.
Nous avons effectué la moitié d’un plan complet
24
• Facteurs significatifs : A (Elastomère), B (taux additif) C (Syst. Vulc), AB
–EA=+18.75 –EB= -37.50 –EC=+18.75 –EAB=-13.75
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 19
Remarques
• L’utilisation des plans fractionnaires est conseillée lorsque l’on a une connaissance minimum a priori sur les interactions.
• A l’issue de l’exploitation d’un plan fractionnaire, si l’information obtenue est jugée insuffisante, le plan peut être complété par une autre fraction du plan complet à condition qu’elle soit choisie de façon judicieuse.
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 20
Plan 25-2 (groupe d’alias)
• Cas d’un plan fractionnaire à 5 facteurs ABCDE
– plan complet 32 essais
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 21
Plan 25 plan complet
A B C AB AC BC ABC D AD BD CD ABD BCD ACD ABCD E AE BE CE ABE ACE BCE ABCE DE ADE BDE CDE ABDE BCDE ACDE ABCDE
1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1
2 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1
3 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1
4 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1
5 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
6 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1
7 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1
8 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1
9 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1
10 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1
11 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1
12 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1
13 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1
14 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1
15 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1
16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
17 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1
18 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1
19 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1
20 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1
21 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1
22 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1
23 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1
24 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
25 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1
26 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1
27 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1
28 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1
29 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
30 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1
31 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1
32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 22
Plan 25-2 (groupe d’alias)
A B AB C AC BC ABC
-1 -1 1 -1 1 1 -1
1 -1 -1 -1 -1 1 1
-1 1 -1 -1 1 -1 1
1 1 1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 -1 -1 1
1 -1 -1 1 1 -1 -1
-1 1 -1 1 -1 1 -1
1 1 1 1 1 1 1
Affectation des facteurs D et E
• Choix des colonnes
• Détermination du groupe
de générateurs d’alias
- indépendants
- dépendants
• Détermination des alias
Réduction du nombre d’essais de 32 à 8 essais
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 23
Générateurs d’Alias
Essais
1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
2 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1
3 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1
4 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1
5 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1
6 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
7 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1 1
E
AC
BD
ABCDE
AB
CD
ADE
BCE
BC
AD
ABE
CDE
I
ACE
BDE
ABCD
A
CE
BCD
ABDE
B
DE
ACD
ABCE
C
AE
ABD
BCDE
D
BE
ABC
ACDE
D=ABC et E= AC.
Il y a donc 3 générateurs d'alias : I=ABCD, I=ACE et I=BDE
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Essais sélectionnés : I=ABCD, I=ACE et I=BDE
24
A B AB C AC BC ABC D AD BD CD ABD ACD BCD ABCD E AE BE CE DE ABE ACE BCE ADE BDE CDE ABCE ABDE ACDE BCDE ABCDE
- - + - + + - - + + + - - - + - + + + + - - - - - - + + + + -
- - + - + + - - + + + - - - + + - - - - + + + + + + - - - - +
- - + - + + - + - - - + + + - - + + + - - - - + + + + - - - +
- - + - + + - + - - - + + + - + - - - + + + + - - - - + + + -
- - + + - - + - + + - - + + - - + + - + - + + - - + - + - - +
- - + + - - + - + + - - + + - + - - + - + - - + + - + - + + -
- - + + - - + + - - + + - - + - + + - - - + + + + - - - + + -
- - + + - - + + - - + + - - + + - - + + + - - - - + + + - - +
- + - - + - + - + - + + - + - - + - + + + - + - + - - - + - +
- + - - + - + - + - + + - + - + - + - - - + - + - + + + - + -
- + - - + - + + - + - - + - + - + - + - + - + + - + - + - + -
- + - - + - + + - + - - + - + + - + - + - + - - + - + - + - +
- + - + - + - - + - - + + - + - + - - + + + - - + + + - - + -
- + - + - + - - + - - + + - + + - + + - - - + + - - - + + - +
- + - + - + - + - + + - - + - - + - - - + + - + - - + + + - +
- + - + - + - + - + + - - + - + - + + + - - + - + + - - - + -
+ - - - - + + - - + + + + - - - - + + + + + - + - - - - - + +
+ - - - - + + - - + + + + - - + + - - - - - + - + + + + + - -
+ - - - - + + + + - - - - + + - - + + - + + - - + + - + + - -
+ - - - - + + + + - - - - + + + + - - + - - + + - - + - - + +
+ - - + + - - - - + - + - + + - - + - + + - + + - + + - + - -
+ - - + + - - - - + - + - + + + + - + - - + - - + - - + - + +
+ - - + + - - + + - + - + - - - - + - - + - + - + - + + - + +
+ - - + + - - + + - + - + - - + + - + + - + - + - + - - + - -
+ + + - - - - - - - + - + + + - - - + + - + + + + - + + - - -
+ + + - - - - - - - + - + + + + + + - - + - - - - + - - + + +
+ + + - - - - + + + - + - - - - - - + - - + + - - + + - + + +
+ + + - - - - + + + - + - - - + + + - + + - - + + - - + - - -
+ + + + + + + - - - - - - - - - - - - + - - - + + + - + + + +
+ + + + + + + - - - - - - - - + + + + - + + + - - - + - - - -
+ + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Essais sélectionnés : I=ABCD, I=ACE et I=BDE
• Table 2^5-2
25
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Essais sélectionnés : I=ABCD, I=ACE et I=BDE
• Quels sont les autres Essais (24 ) ?
• Comment les choisir pour désaliaser ?
– H1=A+CE
– H2=B+DE
– H3=C+AE
Approche : Rechercher les générateurs d’alias permettant d’élaborer un contraste des differences d’effets
26
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Démarche pour désaliaser
H1=A+CE
H2=B+DE
H3=C+AE
Le générateur d’alias de CE, DE, AE ?
Pour avoir les contrastes :
H’1=A-CE
H’2=B-DE
H’3=C-AE
Il faut prendre comme générateur IE=-ACE E=-AC
27
I=ACE
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Démarche pour désaliaser
On recalcule les générateurs dépendants
IE=-ACE
ID=ABCD
D’où IDE=ID IE=-BDE
Les essais en vert
28
A B C D E
- - - - -
- - - - +
- - - + -
- - - + +
- - + - -
- - + - +
- - + + -
- - + + +
- + - - -
- + - - +
- + - + -
- + - + +
- + + - -
- + + - +
- + + + -
- + + + +
+ - - - -
+ - - - +
+ - - + -
+ - - + +
+ - + - -
+ - + - +
+ - + + -
+ - + + +
+ + - - -
+ + - - +
+ + - + -
+ + - + +
+ + + - -
+ + + - +
+ + + + -
+ + + + +
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Bilan des contrastes
Première série d’essais
H1=A+CE
H2=B+DE
H3=C+AE
Deuxième série d’essais :
H’1=A-CE
H’2=B-DE
H’3=C-AE
D’où
A=(H1+H’1)/2; CE=(H1-H’1)/2;
B=(H2+H’2)/2; DE=(H2-H’2)/2;
C=(H3+H’3)/2; AE=(H3-H’3)/2 29
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 30
Généralisation Plan fractionnaire 2k-p
• Choix d’un plan fractionnaire
– pour un plan complet avec k facteurs à deux niveaux : 2k expériences
– on réduit ce plan en prenant 2k-p expériences avec
– k-p3 si k=4,5,6 et k-p=4 si k=7,..15.
– On a donc recours au plan 23 ou 24.
• Alias et générateurs d’aliases
– Dans un plan 2k-p on dispose de p aliases indépendants dont on déduit des aliases dépendants par multiplication 2 à 2, 3 à 3 de tous les aliases indépendants, ce qui représente finalement 2p-1 générateurs d’alias.
• Exemples :
– 4 facteurs :
– p=1, 1 alias D=ABC,
• 1 générateur d’aliases I=ABCD
– 5 facteurs : p=2, 2 aliases D=ABC E=AB,
• 3 générateurs d’aliases I=ABCD, I=ABE, I=CDE
– 6 facteurs : p=3, 3 aliases et 7 générateurs d’aliases .
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Niveau de résolution
31
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 32
Essais par blocs
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 33
Réalisation d’essais par Blocs
• Quand ? Si l’on souhaite réaliser des essais décalés dans le temps
– Ex : pour des raisons de temps on ne peut réaliser tous les essais sur un même équipement
• Utiliser 2 machines par exemple
• Tester l’effet de 4 facteurs A,B,C,D
– Solution : partager la table. Comment ?
• On peut prendre les essais 1-4 sur le 1er équipement
• puis 5 à 8 sur le second équipement
Table L8
Effet de l’équipement
Confondu avec l’effet de A
Equipement 1
Equipement 2
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 34
Réalisation d’essais par Blocs
• On ne pourra pas distinguer l’effet de A de celui de l’équipement
• Idée pour éviter la confusion avec A :
– Rechercher 2 blocs tel que l’effet de l’équipement ne soit pas confondu avec un facteur principal
– Création d’un facteur fictif : X (équipement)
• Choix d’une colonne d’affectation
– Par exemple : ABC, AC, BC
• Découpage des blocs :
– Bloc 1: 1,3,6,8
– Bloc 2 : 2,4,5,7
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 35
Exemple
• Un plan factoriel 8 essai a été réalisé pour minimiser le fluage (% d’allongement après 24 heures) d’une pièce.
• Facteurs listés sont : • A : la température
• B : la quantité de gomme
• C : la quantité d’additif
Essai Température Gommes Additif
1 - - -
2 - -
3 - -
4 -
5 - -
6 -
7 -
8
Mélangeur 1 Mélangeur 2
Comment répartir les essais sur
Les 2 mélangeurs ?
N. BOUDAOUD Plans d’expériences
Quels essais choisir ?
36
1 2 3 4 5 6 7
-1 -1 1 -1 1 1 -1
-1 -1 1 1 -1 -1 1
-1 1 -1 -1 1 -1 1
-1 1 -1 1 -1 1 -1
1 -1 -1 -1 -1 1 1
1 -1 -1 1 1 -1 -1
1 1 1 -1 -1 _1 -1
1 1 1 1 1 1 1
Température Gommes Additif
36 Mélangeur 2
Comment répartir les essais sur
Les 2 mélangeurs ?
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 37
Exemple Essai Température Gommes Additif Réponse(%)
1 - - - 27.4
2 - - 31.1
3 - - 26.6
4 - 32.4
5 - - 31.4
6 - 16.5
7 - 27.5
8 15.5
Mélangeur 1
Mélangeur 2 Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 :
- essais : 1 4 6 7
- essais : 2 3 5 8 Cela permet de ne pas
Confondre l’effet « changement de mélangeur »
avec un facteur du plan
Le facteur Type de mélangeur est affecté à la colonne 7
De la table L8(23)
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 38
Exemple Essai Température Gommes Additif Melangeur
(C7)
Réponse(%)
1 - - - - 27.4
2 - - 31.1
3 - - 26.6
4 - - 32.4
5 - - 31.4
6 - - 5.0
7 - - 27.5
8 15.5
Mélangeur 1
Mélangeur 2 Comment estimer l’effet bloc ?
Au travail !
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 39
Solution
-6
-4
-2
0
2
4
6
T°
Gomme
Additif
Melangeur
T° 3.6125 -3.6125
Gomme -0.8875 0.8875
Additif 4.7625 -4.7625
Melangeur -1.5375 1.5375
effet Moy- effet Moy+
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 40
Solution
F0.95(1,3)=10.01
Alors le mélangeur a-t-il introduit un effet bloc ?
Facteur SCE ddl V F
A 208.80 1 208.80 43.44
B 12.60 1 12.60 2.62
C 362.90 1 362.90 75.51
Melangeur 37.82 1 37.82 7.87
R 14.42 3 4.81
Total 636.55 7
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 41
Plans screening
• Les plans screening (Plaket-Burman) sont utilisés pour tester les facteurs principaux
• Qui ? Ne concerne que les plans à 2 niveaux
• Quand ? Lorsque le nombre de facteurs est élevé
• Cela permet de filtrer ou de débroussailler des cas complexes
• Comment générer ces plans ?
– Algorithme de permutation circulaire
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 42
Plans screening
• On donne la séquence de signes de la première ligne
• On réalise une permutation circulaire à partir de la droite
• On complète la dernière ligne par -1
Essayons !
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 43
Plans screening
• Les premières lignes en fonction du nombre de facteurs principaux à analyser
– k inférieur ou égal à 3 (N=4): -
– k inférieur ou égal à 7 (N=8): - - -
– k inférieur ou égal à 11(N=12) : - - - - -
– k inférieur ou égal à 15 (N=16) : - - - - - - -
– k inférieur ou égal à 19 (N=20): - - - - - - - - -
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 44
Exemple : tenue de soudage de supports
• Un plan d’expérience de type SCREENING a permis de tester l’influence de 4 facteurs de réglage sur la tenue de soudage de 2 supports :
• Les réponses sont : – Y1 : taux de microdéfauts souhaité < 20% – Y2 : Dureté après soudure souhaité >70 HB
• Les facteurs sont : – A : type de décapage -1 (mécanique) +1 (non mécanique) – B : jeu de supports -1 (0.1 mm) +1 (0.5 mm) – C : nature de soudure -1 (C10) +1 (C20) – D : montée en température -1 ( 5 min) +1 ( 10 min)
Générer le plan d’expérience « screening »!
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 45
Exemple
• 4 facteurs,
– k inférieur ou égal à 7 : - - -
8 essais
Construire la table
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 46
Exemple
A B C D Y1 Y2
1 - 60 75
2 - 78 90
3 - - 97 82
4 - - 38 40
5 - - - 69 80
6 - - 35 32
7 - 75 70
8 - - - - 58 32
N. BOUDAOUD Plans d’expériences 47
Analyse du plan
• Estimation des effets moyens
• Analyse de Variance
• Écriture du modèle et validation