Download - FRACTIONS
![Page 1: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/1.jpg)
FRACTIONS
4° Avon 2009Bernard Izard
Chapitre
10-FR
I - DECIMAL et FRACTIONII – QUOTIENTS EGAUXIII- ADDITION / SOUSTRACTIONIV – MULTIPLICATIONV - INVERSE / DIVISIONVI - CALCULS
![Page 2: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/2.jpg)
I-DECIMAL ET FRACTION
= 5 ÷ 8 = 0,625 = 6 ÷ (-2) = -3 85
26
Les divisions se terminent. L’écriture décimale est exacte
Les quotients et sont des décimaux
5
8
= 15 ÷ 7 2,142857143… 715
La division ne se termine pas. L’écriture décimale est approchée
6
2
Ex1:
Ex1:
Le quotient n’est pas un décimal715
Il est donc nécessaire d’écrire ce nombre sous forme d’un quotient ou fraction pour avoir la valeur exacte
![Page 3: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/3.jpg)
II-FRACTIONS EQUIVALENTES
Nous dirons que 2 fractions sont équivalentes (ou égales) si elles représente le même quotient3 18
2 12Ex:
1,5 1,5
On remarque que
3 18
2 12
3x12 =36
2x18 = 36
2 fractions sont égales si les produits en croix sont égaux
2) Produit en croix
1) Définition
![Page 4: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/4.jpg)
Si alors a x d = b x c dc
ba
aq
b
cq'
d
posons
et
Démonstration
D’après la définition du quotienta = bq
c = dq’
bq x d
a x d =
a x d = b x c =
b x c =
b x dq’
bd x q’bd x q
a x d =Les 2 quotients étant égaux q = q’bd x q b x c
=bd x q
a x d et b x c
quotient
Dividende = diviseur x quotient
‘’’’’ ‘’’’’’ ‘’’’’’Comparons
Donc a x d = b x c
C.Q.F.D
![Page 5: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/5.jpg)
Si a x d = b x c alors
Avec a, b, c et d (b ≠ 0 et d ≠ 0)
Réciproquement :
dc
ba
![Page 6: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/6.jpg)
3) Simplification des fractions
Le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire ne change pas si l’on multiplie ( ou si l’on divise) par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur.
avec k ≠ 0 :
:
a ka a k
b kb b k
Remarque : Cette règle sert à simplifier des fractions ou à les « réduire » au même dénominateur.
Ex:45 45 : 5 9 9 : 3 3
105 105 : 5 21 21: 3 7
Dans cet exemple on a simplifié par 5 puis par 3
![Page 7: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/7.jpg)
III-ADDITION DES FRACTIONS
1) Fractions de même dénominateur
Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur:
On additionne ou on soustrait les numérateursOn garde le dénominateur commun
dba
db
da
et d
badb
da
Ex: 11
93119
113
1112
![Page 8: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/8.jpg)
2) Fractions de dénominateurs différents
On se ramène au cas précédent en « réduisant » d’abord les fractions au même dénominateur.
Ex 1:
97
32
97
3332
97
96
9
76
91
83
583
8185
83
840
8
340
837
41
52
5451
4542
205
208
20
58
203
Ex 2:
Ex 3:
9 plus petit entier dans la table de 3 et 9 donc DC = 9
8 plus petit entier dans la table de 1 et 8 donc DC = 8
20 plus petit entier dans la table de 5 et 4 donc DC = 20
![Page 9: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/9.jpg)
a c ad + bc+ =
b d bd
a=bq
c=dq’
bqd + dq'bq q' =
bdbd(q q')
q q'bd
(q q')q q'
1q q' q q'
C.Q.F.V
Donc avec les produits en croixDonc avec les produits en croix
Vérifions cette égalité
cq'
d
aq
bposons
et
![Page 10: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/10.jpg)
On le trouve en multipliant les deux dénominateurs ensemble (ou en prenant le plus petit commun multiple des deux).
Etape 1 Trouver le dénominateur commun
Récapitulatif de la procédure
![Page 11: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/11.jpg)
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Etape 2 Calculer les fractions équivalentes
![Page 12: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/12.jpg)
On additionne les numérateurs entre eux(le dénominateur reste le même).
Etape 3 Additionner les numérateurs entre eux
![Page 13: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/13.jpg)
On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre, jusqu’à ce que la fraction ne se réduise plus.
Etape 4 Réduire la fraction du résultat (si possible)
![Page 14: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/14.jpg)
Etape 1 Trouver le dénominateur commun
Etape 2 Calculer les fractions équivalentes
Etape 3 Additionner les numérateurs entre eux
Etape 4 Réduire le résultat (si possible)
Tableau récapitulatif de la procédure
![Page 15: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/15.jpg)
IV-MULTIPLICATION DES FRACTIONSPour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
(avec b ≠ 0 et d ≠ 0) dbca
dc
ba
Ex1:
349
354
335494
335494
357774
1528
715
753
75
3
Ex2:
3 est comme 3/1
![Page 16: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/16.jpg)
V-DIVISION1) Le nombre inverse
Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit qu’ils sont inverses l’un de l’autre.
L’inverse de x est x
1(avec x ≠ 0)
L’inverse de est ba
ab (avec a ≠ 0 et b ≠ 0)
Ex: 1
23
32
32
deinverse'lest23
donc
141
4
4deinverse'lest41
donc
![Page 17: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/17.jpg)
2) La division
Diviser = multiplier par l’ inverse.
cd
ba
dc
ba
(avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0)
Ex1:
85
43
43
58
5483
54
42356
365
65
31
3615
185
Donc,pour diviser par une fraction on multiplie par la fraction inversée
Ex2:
On inverse
![Page 18: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/18.jpg)
VI. EXEMPLES DE CALCULS
Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :
83
5425
72
A
83
840
425
4212
A
837
427
A
876377
A
4837
A
Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42
Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8
On simplifie par 7
Ex1:
![Page 19: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/19.jpg)
DC = 4x5 = 20On simplifie par 2
![Page 20: FRACTIONS](https://reader036.vdocuments.fr/reader036/viewer/2022081822/568157f2550346895dc56d45/html5/thumbnails/20.jpg)
FRACTIONS
Revoir les exercices
Apprendre le cours
FIN