EPFL, LESO-PB, septembre 2008 1
Caractéristiques thermiques dynamiques
(version remise à jour, octobre 2008)
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Equation de la chaleur
Considérer un cube élémentaire situé en un point (x,y,z), de taille (x,y,z) de volume V = x·y·z
Flux de chaleur (équation de Fourier):
),,( zyx qqqq
xy
z
x
yz
qx(x+x)qx(x)
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Equation de la chaleur
Conservation de l'énergie dans le cube élémentaire: (qx(x+x) - qx(x)) · y · z
+ (qy(y+y) - qy(y)) · x · z+ (qz(z+z) - qz(z)) · x · y= - · c · V · d/dt
Remplacer:qx = - ∂/∂xqy = - ∂/∂yqz = - ∂/∂z
Equation de la chaleur (sans source interne):
]/[ 2
2
smthermiqueédiffusivitc
aavec
adt
d
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Equation de la chaleur
Equation de la chaleur, avec une source interne additionnelle, de puissance Q(t,x,y,z) :
]/[
]/[
]/[
]/[
]/[:
1
3
2
2
2
mWchaleurdesourceQ
KkgJspécifiquechaleurc
mkgdensité
KmWthermiquetéconductivi
smthermiqueédiffusivitc
aavec
Qc
adt
d
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Equation de la chaleur
Paramètres significatif pour les phénomènes de diffusion de la chaleur à travers un solide:
Exemple: béton a = 0.75 10-6 m2/s = 0.144 m (période = 1 jour)
spériodiquephénomèneslespour
périodetiquecaractéristempstavec
mnpénétratiodeprofondeurta
smthermiqueédiffusivitc
a
][
]/[ 2
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Equation de la chaleur (cas particuliers)
Cas stationnaire (équation de Poisson):∇2 = 0
Cas unidimensionnel non stationnaire:d/dt = a · ∂2/∂x2
Réponse à un saut unité, cas unidimensionnel non stationnaire: transformée de Laplace
Régime harmonique, cas unidimensionnel non stationnaire: solution de type (x,t) = c(x) · cos(·t + )
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Milieu semi-infini, réponse indicielle
Milieu semi-infini (par exemple mur très épais)
Comment se propage une variation soudaine de température en x=0 dans le milieu, en fonction du temps t et de la distance x à la surface ?
xx=0
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Milieu semi-infini, réponse indicielle
Hypothèses: pour t=0, l'ensemble
du milieu est à une température =0
en t=0, on applique un saut de température de 0 à 0 au plan x=0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [h]
thet
a/th
eta0
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Milieu semi-infini, réponse indicielle
Transformée de Laplace solution:
x = /0 = 0.157
][
2)(:
)(1
0
0
2
mnpénétratiode
profondeurta
dteyerfavec
ta
xerf
yt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
thet
a/th
eta0
x/sqrt(a*t)
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Milieu semi-infini, réponse indicielle
Représentation graphique de /0 en fonction du temps, pour diverses valeurs du paramètrek = x/sqrt(a) [s1/2] :
(les valeurs de k calculées en fonction de x sont données pour du béton)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [h]
thet
a/th
eta0
x=0.001m->k=1.1547
x=0.01->k=11.547x=0.1->k=115.4701
x=1->k=1154.7005
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Milieu semi-infini, réponse indicielle
Même graphique mais à une échelle temporelle plus étendue
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [h]
thet
a/th
eta0
x=0.001m->k=1.1547
x=0.01->k=11.547x=0.1->k=115.4701
x=1->k=1154.7005
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Milieu semi-infini, réponse harmonique
Conditions aux limites: (0,t) = 0·cos(·t) (∞,t) = 0 période considérée typiquement: 1 jour = 86400 s
= 2/T = 72.6 10-6 [1/s] Solution:
][
]/[
][/:
)/cos()/exp(
)2
cos()2
exp(),(
2
0
0
spériodeT
smthermiqueédiffusivita
mnpénétratiodeprofondeurTaavec
xtx
xa
txa
tx
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Milieu semi-infini, réponse harmonique
Cas particulier x = (profondeur de pénétration):
atténuation de l'amplitude: () = 1/e · 0 = 0.368 · 0
différence de phase: T/2 = 3.82 heures
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Modèle harmonique multicouches
Pour l'élément #n, en tout point x de cet élément (x compris entre 0 et en = épaisseur de l'élément): (x,t) = 0(x) + c · cos(t – (x)) q(x,t) = q0(x) + qc · cos(t – q(x))
Notation en nombres complexes: (x,t) = (x) · ejt
q(x,t) = q(x) · ejt
Les représentations complexes (x) et q(x) incluent le déphasage (respectivement et q) et l'amplitude (resp. c et qc), mais pas la dépendance au temps (comprise dans le terme ejt), ni les valeurs moyennes dans le temps (resp. 0(x) et q0(x))
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Modèle harmonique multicouches
Matrice de Heindl de l'élément n:
Interprétation: z11 = relation (amplitude et phase) entre les variations de
température sur les deux faces de l'élément, en l'absence de flux "entrant" (q1=0)
z21 = densité de flux thermique sur la face 2 ("sortie") résultant d'une variation de température sur la face 1 ("entrée"), en l'absence de flux "entrant" (q1=0) [W/m2K]
z12 = variation de température sur la face 2 résultant d'un flux thermique sur la face 1, en l'absence de variation de température 1 [m2K/W]
z22 = relation entre les flux thermiques sur les deux faces de l'élément, en l'absence de variation de température 1
1
1
2221
1211
2
2
qzz
zz
q
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Modèle harmonique multicouches
Cas général d'une couche homogène: z11 = z22 = cosh(y) cos(y) + j · sinh(y) sin(y) z12 = - /2 · [(sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y)
+ j · (cosh(y) sin(y) - sinh(y) cos(y))] z21 = - · [(sinh(y) cos(y) - cosh(y) sin(y)
+ j · (sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y))] avec:
= (a · T / ) ½ = profondeur de pénétration [m] a = / ( c) = diffusivité thermique [m2/s] = conduction thermique [W/mK] = densité [kg/m3] c = chaleur spécifique [J/kg] y = d/ (d = épaisseur de la couche [m])
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Modèle harmonique multicouches
Lame d'air plane: on néglige la capacité thermique on inclut dans la résistance thermique Ra (par m2 de surface de la
couche d'air) la conduction, la convection et le rayonnement la même équation peut être utilisée pour des matériaux légers tels
que les isolants thermiques légers
10
1
2221
1211 aR
ZZ
ZZZ
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Modèle harmonique multicouches
Cas d'une paroi multicouches(transmission intérieur extérieur): Z = Zae · Zn · Zn-1 · ... · Z1 · Zai
avec:Zai = matrice de Heindl de la couche d'air intérieureZj = matrice de Heindl de la couche no j (j=1: 1ère couche depuis
l'intérieur)Zae = matrice de Heindl de la couche d'air extérieure
int
int
2221
1211
qzz
zz
qext
ext
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Modèle harmonique multicouches
Application: le modèle peut être utilisé pour les variations journalières de
température, la température extérieure suivant approximativement une sinusoïde avec un maximum vers 15 ou 16 h et un minimum vers 3 ou 4 h du matin
Exemples: pour un mur entre intérieur et extérieur, la température intérieure
peut être approximativement considérée comme constante, et le modèle peut être utilisé pour calculer les variations du flux de chaleur
pour le même mur, mais avec une température intérieure approximée par une courbe sinusoïdale, le modèle permet de calculer l'amplitude de la variation de température intérieure due aux variations de température extérieure, en l'absence de chauffage ou de refroidissement
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Modèle harmonique multicouches
Capacité thermique effective, méthode 1 En général, la capacité thermique d'un objet peut être
définie par: le flux de chaleur intégré incident sur l'objet
E = ∫ q(t) dt = qa t (qa [W] = valeur moyenne du flux de chaleur durant l'intervalle de temps t)
la différence de température durant l'intervalle de temps t considéré
la capacité thermique C [J/K] est définie par le rapport entre les 2 quantités E et C· = E = qa · t
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Modèle harmonique multicouches
Pour un élément de construction multicouches, on peut utiliser une définition similaire: c = amplitude de la variation périodique de température
2 c = variation de température totale (crête à crête)
flux de chaleur intégré sur une demi-période:E = qc T/ (T = période, qc = amplitude de la variation de flux)
la capacité thermique Ch en régime harmonique est le rapport des deux termes E and 2 c : Ch · 2 c = qc T/ Ch = T/2 · qc/c [J/m2 K](capacité effective par m2 d'élément de construction)
les valeurs de qc and c sont données par la matrice de Heindl
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Modèle harmonique multicouches
Deux possibilités pour les conditions extérieures, lorsque l'on considère l'élément depuis l'intérieur: température extérieure fixée (ext = 0), et calcul de la sensibilité des variations
de température intérieure (int) aux variations de flux thermique intérieur (qint):
température extérieure libre et flux thermique extérieur fixé (qext = 0), et calcul de la même quantité que ci-dessus:
]/[2||
||
2
0
2
12
11
int
int
int12int11
KmJz
zTqTC
qzz
h
]/[2||
||
2
0
2
22
21
int
int
int22int21
KmJz
zTqTC
qzz
h
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Modèle harmonique multicouches
Capacité thermique effective, méthode 2 (polycopié)
On définit la matrice des conductances thermiques périodiques par l’expression ci-contre:(contrairement au polycopié, il s’agit ici de flux périodiques par unité de surface)
Relations entre la matrice Z et la matrice L:
extext LL
LL
q
q
int
2221
1211int
......
/)1(/)1(
2112
122222221111
LL
ZZLZZL
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Modèle harmonique multicouches
Les capacités thermiques effectives, vues respectivement de l’intérieur (côté 1) et de l’extérieur (côté 2) sont données par les expressions ci-contre:
Remarque: résultats semblent peu réalistes, à prendre avec des pincettes !
)1
(2
)1
(2
22
12)/1(
12
11
12)/1(
11
22
11
ZZ
TC
ZZ
TC
L
L
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Modèle harmonique multicouches
Exemple numérique: mur de façade comportant les couches suivantes (de l'intérieur vers l'extérieur):
matériau [W/mK]
[kg/m3]
c
[J/kg K]
épaisseur
d [m]
R
[m2 K/W]
lame d'air intérieure - - - - 0.130
béton 1.80 2400 1100 0.20 -
polystyrène expansé 0.036 30 1400 0.10 -
crépi 1.00 1500 1000 0.005 -
lame d'air extérieure - - - - 0.040
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Modèle harmonique multicouches
Matrice de Heindl (intérieur extérieur):|Z11| = 121.4 [-] (phase 9.23 h)|Z12| = 20.3 [m2K/W] (phase 20.4 h)|Z21| = 89.2 [W/m2K] (phase 1.19 h)|Z22| = 14.9 [-] (phase 12.4 h)
Méthode 1:ext = 0 C1 = T/2 · |Z11|/|Z12| = 82.2 kJ/m2K qext = 0 C1 = T/2 · |Z21|/|Z22| = 82.3 kJ/m2K
Comparaison 1: capacité interne statique = 528 kJ/m2K C1 correspond à 3.1 cm de béton
Comparaison 2: les formules de la méthode 2 (polycopié) donnent C1 = 383 kJ/m2K et C2 = 12.6 kJ/m2K
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Modèle harmonique multicouches
Matrice de Heindl (extérieur intérieur):|Z11| = 14.9 [-] (phase 12.4 h)|Z12| = 20.3 [m2K/W] (phase 20.4 h)|Z21| = 89.2 [W/m2K] (phase 1.19 h)|Z22| = 121.4 [-] (phase 9.23 h)
Méthode 1:ext = 0 C1 = T/2 · |Z11|/|Z12| = 10.1 kJ/m2K qext = 0 C1 = T/2 · |Z21|/|Z22| = 10.1 kJ/m2K
Comparaison: capacité externe statique = 7.5 kJ/m2K C1 correspond à 0.7 cm de crépi
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Modèle harmonique multicouches
Mais si l’on ne considère pas les couches limites, les résultats sont passablement différents:
Matrice de Heindl (intérieur extérieur):|Z11| = 119.6 [-] (phase 9.13 h)|Z12| = 5.82 [m2K/W] (phase 18.0 h)|Z21| = 89.2 [W/m2K] (phase 1.19 h)|Z22| = 4.34 [-] (phase 10.10 h)
Méthode 1:ext = 0 C1 = T/2 · |Z11|/|Z12| = 283 kJ/m2K qext = 0 C1 = T/2 · |Z21|/|Z22| = 283 kJ/m2K
Comparaison: capacité interne statique = 528 kJ/m2K C1 correspond à 10.7 cm de béton
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Modèle harmonique multicouches
Approximations usuelles Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur
d > 2 ( = profondeur de pénétration), alors on peut considérer l’approximation d’un milieu semi-infini
Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur d < d/2 (d = profondeur de pénétration), alors on peut considérer l’approximation d’une couche mince isotherme, pour autant que la couche suivante soit un isolant Ceff = d · · c
2
TcCeff
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Modèle harmonique multicouches
Approximations usuelles (suite) Méthode de l’épaisseur efficace: si l’on considère une
valeur standard de a = 0.7 · 10-6 m2/s, l’épaisseur efficace d’une face d’un composant est égale à la plus petite des valeurs suivantes:La moitié de l’épaisseur totale du composantL’épaisseur des matériaux compris entre la face considérée et la
première couche isolante, sans tenir compte des revêtementsUne épaisseur efficace maximale fonction de la période des
variations(1 heure 2 cm, 1 jour 10 cm, 1 semaine 25 cm)
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Exercices supplémentaires
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Exercice supplémentaire 3.3
Evaluer la profondeur efficace de stockage d d'un mur d'épaisseur très grande en béton (approximation d'un mur semi-infini) par rapport à la capacité de stockage en cycle journalier.(Définition: la profondeur efficace de stockage d est l'épaisseur d'une couche de matériau de même capacité thermique mais de conductance thermique infinie, parfaitement isolée vers l'extérieur, qui permettrait de stocker/déstocker la même quantité de chaleur durant le cycle journalier).Hypothèses:
négliger la couche d'air intérieur considérer une variation sinusoïdale de la température intérieure
(imposée)
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Exercice supplémentaire 3.3: indications
Comparer deux situations:(a) un mur semi-infini;
(b) un mur d'épaisseur d avec un matériau de même densité et chaleur spécifique, mais avec une conduction thermique infinie;
Calcul de l'énergie stockée durant ½ cycle dans les deux cas, et déduction de d (la profondeur efficace) par égalité entre les deux valeurs de l'énergie stockée.
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Exercice supplémentaire 3.4
A partir des équations de bilan thermique, calculer la matrice de Heindl d'une couche d'air immobile, dont la conduction équivalente peut être approximée par une résistance thermique Ra , et dont on néglige la capacité thermique.
EPFL, LESO-PB, septembre 2008 35
Exercice supplémentaire 3.5
Calculer la capacité thermique intérieur effective d'un mur formé des couches suivantes (de l'intérieur à l'extérieur): béton 16 cm (= 1.8 W/mK, = 2400 kg/m3, cp = 1000 J/kgK) laine de verre 8 cm ( = 0.04 W/mK) crépi 1 cm ( = 1 W/mK, = 2000 kg/m3, cp = 1000 J/kgK)
On considère les conditions suivantes: variations journalières (période 24 heures) deux variantes
température extérieure fixe température extérieure libre et flux de chaleur surface extérieure du mur –
extérieur fixe Comparer avec la capacité thermique du mur intérieur en
régime quasi-constant