epfl, leso-pb, septembre 2008 1 caractéristiques thermiques dynamiques (version remise à jour,...

EPFL, LESO-PB, septembre 2008 1

Caractéristiques thermiques dynamiques

(version remise à jour, octobre 2008)


Equation de la chaleur

Considérer un cube élémentaire situé en un point (x,y,z), de taille (x,y,z) de volume V = x·y·z

Flux de chaleur (équation de Fourier):

),,( zyx qqqq

xy

z

x

yz

qx(x+x)qx(x)



Conservation de l'énergie dans le cube élémentaire: (qx(x+x) - qx(x)) · y · z

+ (qy(y+y) - qy(y)) · x · z+ (qz(z+z) - qz(z)) · x · y= - · c · V · d/dt

Remplacer:qx = - ∂/∂xqy = - ∂/∂yqz = - ∂/∂z

Equation de la chaleur (sans source interne):

]/[ 2

2

smthermiqueédiffusivitc

aavec

adt

d



Equation de la chaleur, avec une source interne additionnelle, de puissance Q(t,x,y,z) :

]/[

]/[

]/[

]/[

]/[:

1

3

2

2

2

mWchaleurdesourceQ

KkgJspécifiquechaleurc

mkgdensité

KmWthermiquetéconductivi


aavec

Qc

adt

d



Paramètres significatif pour les phénomènes de diffusion de la chaleur à travers un solide:

Exemple: béton a = 0.75 10-6 m2/s = 0.144 m (période = 1 jour)

spériodiquephénomèneslespour

périodetiquecaractéristempstavec

mnpénétratiodeprofondeurta


a

][

]/[ 2


Equation de la chaleur (cas particuliers)

Cas stationnaire (équation de Poisson):∇2 = 0

Cas unidimensionnel non stationnaire:d/dt = a · ∂2/∂x2

Réponse à un saut unité, cas unidimensionnel non stationnaire: transformée de Laplace

Régime harmonique, cas unidimensionnel non stationnaire: solution de type (x,t) = c(x) · cos(·t + )


Milieu semi-infini, réponse indicielle

Milieu semi-infini (par exemple mur très épais)

Comment se propage une variation soudaine de température en x=0 dans le milieu, en fonction du temps t et de la distance x à la surface ?

xx=0



Hypothèses: pour t=0, l'ensemble

du milieu est à une température =0

en t=0, on applique un saut de température de 0 à 0 au plan x=0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [h]

thet

a/th

eta0



Transformée de Laplace solution:

x = /0 = 0.157

][

2)(:

)(1

0

0

2

mnpénétratiode

profondeurta

dteyerfavec

ta

xerf

yt

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

thet

a/th

eta0

x/sqrt(a*t)



Représentation graphique de /0 en fonction du temps, pour diverses valeurs du paramètrek = x/sqrt(a) [s1/2] :

(les valeurs de k calculées en fonction de x sont données pour du béton)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [h]

thet

a/th

eta0

x=0.001m->k=1.1547

x=0.01->k=11.547x=0.1->k=115.4701

x=1->k=1154.7005



Même graphique mais à une échelle temporelle plus étendue

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [h]

thet

a/th

eta0

x=0.001m->k=1.1547

x=0.01->k=11.547x=0.1->k=115.4701

x=1->k=1154.7005


Milieu semi-infini, réponse harmonique

Conditions aux limites: (0,t) = 0·cos(·t) (∞,t) = 0 période considérée typiquement: 1 jour = 86400 s

= 2/T = 72.6 10-6 [1/s] Solution:

][

]/[

][/:

)/cos()/exp(

)2

cos()2

exp(),(

2

0

0

spériodeT

smthermiqueédiffusivita

mnpénétratiodeprofondeurTaavec

xtx

xa

txa

tx


Milieu semi-infini, réponse harmonique

Cas particulier x = (profondeur de pénétration):

atténuation de l'amplitude: () = 1/e · 0 = 0.368 · 0

différence de phase: T/2 = 3.82 heures


Modèle harmonique multicouches

Pour l'élément #n, en tout point x de cet élément (x compris entre 0 et en = épaisseur de l'élément): (x,t) = 0(x) + c · cos(t – (x)) q(x,t) = q0(x) + qc · cos(t – q(x))

Notation en nombres complexes: (x,t) = (x) · ejt

q(x,t) = q(x) · ejt

Les représentations complexes (x) et q(x) incluent le déphasage (respectivement et q) et l'amplitude (resp. c et qc), mais pas la dépendance au temps (comprise dans le terme ejt), ni les valeurs moyennes dans le temps (resp. 0(x) et q0(x))



Matrice de Heindl de l'élément n:

Interprétation: z11 = relation (amplitude et phase) entre les variations de

température sur les deux faces de l'élément, en l'absence de flux "entrant" (q1=0)

z21 = densité de flux thermique sur la face 2 ("sortie") résultant d'une variation de température sur la face 1 ("entrée"), en l'absence de flux "entrant" (q1=0) [W/m2K]

z12 = variation de température sur la face 2 résultant d'un flux thermique sur la face 1, en l'absence de variation de température 1 [m2K/W]

z22 = relation entre les flux thermiques sur les deux faces de l'élément, en l'absence de variation de température 1

1

1

2221

1211

2

2

qzz

zz

q



Cas général d'une couche homogène: z11 = z22 = cosh(y) cos(y) + j · sinh(y) sin(y) z12 = - /2 · [(sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y)

+ j · (cosh(y) sin(y) - sinh(y) cos(y))] z21 = - · [(sinh(y) cos(y) - cosh(y) sin(y)

+ j · (sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y))] avec:

= (a · T / ) ½ = profondeur de pénétration [m] a = / ( c) = diffusivité thermique [m2/s] = conduction thermique [W/mK] = densité [kg/m3] c = chaleur spécifique [J/kg] y = d/ (d = épaisseur de la couche [m])



Lame d'air plane: on néglige la capacité thermique on inclut dans la résistance thermique Ra (par m2 de surface de la

couche d'air) la conduction, la convection et le rayonnement la même équation peut être utilisée pour des matériaux légers tels

que les isolants thermiques légers

10

1

2221

1211 aR

ZZ

ZZZ



Cas d'une paroi multicouches(transmission intérieur extérieur): Z = Zae · Zn · Zn-1 · ... · Z1 · Zai

avec:Zai = matrice de Heindl de la couche d'air intérieureZj = matrice de Heindl de la couche no j (j=1: 1ère couche depuis

l'intérieur)Zae = matrice de Heindl de la couche d'air extérieure

int

int

2221

1211

qzz

zz

qext

ext



Application: le modèle peut être utilisé pour les variations journalières de

température, la température extérieure suivant approximativement une sinusoïde avec un maximum vers 15 ou 16 h et un minimum vers 3 ou 4 h du matin

Exemples: pour un mur entre intérieur et extérieur, la température intérieure

peut être approximativement considérée comme constante, et le modèle peut être utilisé pour calculer les variations du flux de chaleur

pour le même mur, mais avec une température intérieure approximée par une courbe sinusoïdale, le modèle permet de calculer l'amplitude de la variation de température intérieure due aux variations de température extérieure, en l'absence de chauffage ou de refroidissement



Capacité thermique effective, méthode 1 En général, la capacité thermique d'un objet peut être

définie par: le flux de chaleur intégré incident sur l'objet

E = ∫ q(t) dt = qa t (qa [W] = valeur moyenne du flux de chaleur durant l'intervalle de temps t)

la différence de température durant l'intervalle de temps t considéré

la capacité thermique C [J/K] est définie par le rapport entre les 2 quantités E et C· = E = qa · t



Pour un élément de construction multicouches, on peut utiliser une définition similaire: c = amplitude de la variation périodique de température

2 c = variation de température totale (crête à crête)

flux de chaleur intégré sur une demi-période:E = qc T/ (T = période, qc = amplitude de la variation de flux)

la capacité thermique Ch en régime harmonique est le rapport des deux termes E and 2 c : Ch · 2 c = qc T/ Ch = T/2 · qc/c [J/m2 K](capacité effective par m2 d'élément de construction)

les valeurs de qc and c sont données par la matrice de Heindl



Deux possibilités pour les conditions extérieures, lorsque l'on considère l'élément depuis l'intérieur: température extérieure fixée (ext = 0), et calcul de la sensibilité des variations

de température intérieure (int) aux variations de flux thermique intérieur (qint):

température extérieure libre et flux thermique extérieur fixé (qext = 0), et calcul de la même quantité que ci-dessus:

]/[2||

||

2

0

2

12

11

int

int

int12int11

KmJz

zTqTC

qzz

h

]/[2||

||

2

0

2

22

21

int

int

int22int21

KmJz

zTqTC

qzz

h



Capacité thermique effective, méthode 2 (polycopié)

On définit la matrice des conductances thermiques périodiques par l’expression ci-contre:(contrairement au polycopié, il s’agit ici de flux périodiques par unité de surface)

Relations entre la matrice Z et la matrice L:

extext LL

LL

q

q

int

2221

1211int

......

/)1(/)1(

2112

122222221111

LL

ZZLZZL



Les capacités thermiques effectives, vues respectivement de l’intérieur (côté 1) et de l’extérieur (côté 2) sont données par les expressions ci-contre:

Remarque: résultats semblent peu réalistes, à prendre avec des pincettes !

)1

(2

)1

(2

22

12)/1(

12

11

12)/1(

11

22

11

ZZ

TC

ZZ

TC

L

L



Exemple numérique: mur de façade comportant les couches suivantes (de l'intérieur vers l'extérieur):

matériau [W/mK]

[kg/m3]

c

[J/kg K]

épaisseur

d [m]

R

[m2 K/W]

lame d'air intérieure - - - - 0.130

béton 1.80 2400 1100 0.20 -

polystyrène expansé 0.036 30 1400 0.10 -

crépi 1.00 1500 1000 0.005 -

lame d'air extérieure - - - - 0.040



Matrice de Heindl (intérieur extérieur):|Z11| = 121.4 [-] (phase 9.23 h)|Z12| = 20.3 [m2K/W] (phase 20.4 h)|Z21| = 89.2 [W/m2K] (phase 1.19 h)|Z22| = 14.9 [-] (phase 12.4 h)

Méthode 1:ext = 0 C1 = T/2 · |Z11|/|Z12| = 82.2 kJ/m2K qext = 0 C1 = T/2 · |Z21|/|Z22| = 82.3 kJ/m2K

Comparaison 1: capacité interne statique = 528 kJ/m2K C1 correspond à 3.1 cm de béton

Comparaison 2: les formules de la méthode 2 (polycopié) donnent C1 = 383 kJ/m2K et C2 = 12.6 kJ/m2K



Matrice de Heindl (extérieur intérieur):|Z11| = 14.9 [-] (phase 12.4 h)|Z12| = 20.3 [m2K/W] (phase 20.4 h)|Z21| = 89.2 [W/m2K] (phase 1.19 h)|Z22| = 121.4 [-] (phase 9.23 h)

Méthode 1:ext = 0 C1 = T/2 · |Z11|/|Z12| = 10.1 kJ/m2K qext = 0 C1 = T/2 · |Z21|/|Z22| = 10.1 kJ/m2K

Comparaison: capacité externe statique = 7.5 kJ/m2K C1 correspond à 0.7 cm de crépi



Mais si l’on ne considère pas les couches limites, les résultats sont passablement différents:

Matrice de Heindl (intérieur extérieur):|Z11| = 119.6 [-] (phase 9.13 h)|Z12| = 5.82 [m2K/W] (phase 18.0 h)|Z21| = 89.2 [W/m2K] (phase 1.19 h)|Z22| = 4.34 [-] (phase 10.10 h)

Méthode 1:ext = 0 C1 = T/2 · |Z11|/|Z12| = 283 kJ/m2K qext = 0 C1 = T/2 · |Z21|/|Z22| = 283 kJ/m2K

Comparaison: capacité interne statique = 528 kJ/m2K C1 correspond à 10.7 cm de béton



Approximations usuelles Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur

d > 2 ( = profondeur de pénétration), alors on peut considérer l’approximation d’un milieu semi-infini

Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur d < d/2 (d = profondeur de pénétration), alors on peut considérer l’approximation d’une couche mince isotherme, pour autant que la couche suivante soit un isolant Ceff = d · · c

2

TcCeff



Approximations usuelles (suite) Méthode de l’épaisseur efficace: si l’on considère une

valeur standard de a = 0.7 · 10-6 m2/s, l’épaisseur efficace d’une face d’un composant est égale à la plus petite des valeurs suivantes:La moitié de l’épaisseur totale du composantL’épaisseur des matériaux compris entre la face considérée et la

première couche isolante, sans tenir compte des revêtementsUne épaisseur efficace maximale fonction de la période des

variations(1 heure 2 cm, 1 jour 10 cm, 1 semaine 25 cm)


Exercices supplémentaires


Exercice supplémentaire 3.3

Evaluer la profondeur efficace de stockage d d'un mur d'épaisseur très grande en béton (approximation d'un mur semi-infini) par rapport à la capacité de stockage en cycle journalier.(Définition: la profondeur efficace de stockage d est l'épaisseur d'une couche de matériau de même capacité thermique mais de conductance thermique infinie, parfaitement isolée vers l'extérieur, qui permettrait de stocker/déstocker la même quantité de chaleur durant le cycle journalier).Hypothèses:

négliger la couche d'air intérieur considérer une variation sinusoïdale de la température intérieure

(imposée)


Exercice supplémentaire 3.3: indications

Comparer deux situations:(a) un mur semi-infini;

(b) un mur d'épaisseur d avec un matériau de même densité et chaleur spécifique, mais avec une conduction thermique infinie;

Calcul de l'énergie stockée durant ½ cycle dans les deux cas, et déduction de d (la profondeur efficace) par égalité entre les deux valeurs de l'énergie stockée.



A partir des équations de bilan thermique, calculer la matrice de Heindl d'une couche d'air immobile, dont la conduction équivalente peut être approximée par une résistance thermique Ra , et dont on néglige la capacité thermique.



Calculer la capacité thermique intérieur effective d'un mur formé des couches suivantes (de l'intérieur à l'extérieur): béton 16 cm (= 1.8 W/mK, = 2400 kg/m3, cp = 1000 J/kgK) laine de verre 8 cm ( = 0.04 W/mK) crépi 1 cm ( = 1 W/mK, = 2000 kg/m3, cp = 1000 J/kgK)

On considère les conditions suivantes: variations journalières (période 24 heures) deux variantes

température extérieure fixe température extérieure libre et flux de chaleur surface extérieure du mur –

extérieur fixe Comparer avec la capacité thermique du mur intérieur en

régime quasi-constant

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