Download - Cours1 Amphi
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 1
Projet pédagogique - site WEB
Méthodes d’approximation
Formulations variationnelles
MEF: les éléments finis
Exemples d’application
Méthode des Eléments Finis« MEF »
UE-35 : MEEFI
H. OUDINMMGC – SIM
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 2
Objectifs de cet enseignement
Présenter les principes de base de la MEFProblèmes élémentaires « comprendre »
Formulations variationnelles « généraliser »
Méthodes numériques « appliquer »
Parcours pédagogique (site Web, poly)– Treillis – Portiques – Méthodes variationnelles « EDP »– Méthodes numériques – MEFLAB
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 3
Objectifs de cet enseignement
Présenter la notion de ModèleHypothèses de modélisation
Comment formuler un problème de physique pour pouvoir le traiter numériquement
Hypothèses de discrétisation
Comment le traiter numériquement.
Utiliser un code de calcul industrielAborder les problèmes d’analyse et de validation de modèles via des exemples simples.
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 4
L’étudiant est l’acteur principal de sa formationLe parcours pédagogique est organisé en thèmes
Projet pédagogique
Activités proposées Comprendre Vidéo & Présentations PowerPoint (site)
Apprendre Polycopié + exercices corrigés (site) + QCM (site)
Appliquer Exercices (site) – MEFLAB (site) – Maple
Valider Exercices traités en TD
Travail en AutonomieSupports pédagogiques sur le WEB + le poly
Vous pouvez travailler chez vous
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 5
Site WEBProjet pédagogique
Le menu donne accès aux documents en ligneObjectifs :
Travail en autonomie régulierPouvoir réagir en TD sur vos difficultés
https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 6
Les TDValider votre compréhension des principaux points de cours,Répondre à vos questions sur le thème étudié.
Conférence (2*1h)Grégory LEGRAIN « l’erreur de discrétisation »Nicolas CHEVAUGEON « XFEM »
Projet pédagogique Pour finir
EvaluationNote individuelle (coef 7) DS sans documentsNote collective (coef 4) Projet pondéré par votre TA
Travail personnel avant les TD
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 7
Projet pédagogique - site WEB
Méthodes d’approximationFormulations variationnelles
MEF: les éléments finis
Exemples d’application
Méthode des Eléments Finis
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 8
Méthodes d’approximation : généralités
Système physique continu
Formulation mathématiquedu problème (PTV)
Forme Variationnelle
(EDP)Formes différentielles
Problème aux limites
Mise en équationsformulation mathématique
du problème
Résidus pondérés
Discrétisation
Formes intégrales
Forme matricielle
Système physiquediscret
Discrétisation du milieu
Méthodes deséléments finis
Formulation mathématiquedu problème (éq. de Lagrange)
Méthodes Numériques
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 9
Résidus Pondérés : FormulationModèle math. posé sur un domaine continu
Système d'équations différentielles : "EDP"
( ) 0u dVϕ ϕ⇔ ∀ =∫D
R
Résoudre ( , )( ) ( ) 0M tu u f= − =R L sur D
1ère forme intégraleNe tient pas compte
des conditions aux limites du problème
fonction de pondération Annulation du Résidu pondérée sur le domaine
Si u solution approchéeR(u) : résidu (erreur commise)( , ) C( ) M tM D u e∀ ∈∂ =M D∀ ∈
( , )( ) M tu f=L
Conditions aux limites
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 10
( )
1
i
n
Mii
qu w=
=∑Soit une approximation à n paramètres:
Résidus Pondérés : Approximation
Une équation à n inconnues1
( ) 0n
iqiw dViϕ ϕ ∑
=∀ =∫
D
R
Comment construire un système matriciel ?
Fcts de forme
Attention Fcts de forme doivent vérifier toutes les CLen pratique c’est impossible pour un Pb de l’ingénieur
1 1 ( ) 0
j
n(M) w (M) qi j ji de à n P dV
=∑∀ =∫
D
R
Nombre fini de Fcts de pondération
Système matriciel
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 11
Écoulement d'un fluide visqueux incompressible dans une conduite
∀ ∈M Γ 0u =elle vérifie les conditions aux limites
Soit l’approximation à 1 paramètre 2 2 2 2( , ) ( )( ) x yu a y qx a= − −
« Galerkin »
« collocation » 2 12 0, 25 p pq
aμ−
= −
2 12 0, 31 p pq
aμ−
= −
2 2 1 0, 2947 p paμ−
−Solution de référence au centre
∀ ∈M Ω 2 1( ) p puμ−
Δ =Coefficient de viscosité cinématique du fluide.
Résidus Pondérés : Exemple
( , ) u u x y z= le champ des vitessesChamp inconnu
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 12
Projet pédagogique - site WEB
Méthodes d’approximation
Formulations variationnellesMEF: les éléments finis
Exemples d’application
Méthode des Eléments Finis
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 13
Formulation variationnelleEDP
0 dans sur
R(u) DCL D
=⎧⎨ ∂⎩
0
sur D
R(u)
CL D
ϕ ϕ⎧∀ =⎪⎨
∂⎪⎩
∫Forme intégrale 1
Objectif : transformer la Forme intégrale 1
Pour faire apparaître les CL intégration par parties
Formulationforte
TH d'Ostrogradsky
( ) ( )2
1
, , 0
1 sur D
g u h u
CL
ϕ ϕ ϕΓ
⎧∀ + =⎪⎨
Γ⎪⎩
∫ ∫0
sur D
R(u)
CL D
ϕ ϕ⎧∀ =⎪⎨
∂⎪⎩
∫Forme intégrale 1
CL sur les « flux » : dérivées spatiales de u22 sur C L Γ
Formulationfaible « PTV »
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 14
Conduction thermique dans un FourChamp inconnu : T température
2
1
div 0 dans . sur
sur ext d
d
q rq nT T
∂∂
+ = Ω= Φ Ω
=
⎪
⎪⎩ Ω
⎧
⎨
(div ) 0T q r T dVδ δΩ
∀ + =∫Annulation de l’erreur pondérée
Four
Pièce àchauffer
Résistance2Τ
oΓ
FluxnulFlux
nul
oΓ
1Τ
Formulation variationnelle : ExempleEDP
Condition de flux
Condition sur T
g r a d q Tλ= − flux de chaleuravec
2 1
. 0idT gradT grad T dV r TdV TdS TdS∂ ∂
δ λ δ δ δ δΩ Ω Ω Ω
∀ + + Φ Φ+ =∫ ∫ ∫ ∫
flux inconnuC’est la forme variationnelle du problème
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 15
2
grad . grad 0Th admissible dT T T dV r TdV TdS∂
δ λ δ δ δ−Ω Ω Ω
∀ + + Φ =∫ ∫ ∫Nous obtenons une équation à 1 champ « T »
Ce que nous venons de présenter pour un Pb de conduction thermiquePeut être fait pour d’autres Pb de physique (cours en ligne, poly, exo de cours)
1 sur dT T ∂= ΩIl faut satisfaire la condition :
Résultat MEFLAB d’optimisation des résistances pour que la température dans la pièce soit proche de la consigne fixée (c’est un projet EF).
La Formulation variationnelle est directement utilisable dans la Méthode des Éléments Finis .
Choix 10 sur Tδ ∂= Ω Champ virtuel thermiquement admissible
Formulation variationnelle : Exemple
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 16
Projet pédagogique - site WEB
Méthodes d’approximation
Méthodes variationnelles
MEF: les éléments finisExemples d’application
Méthode des Eléments Finis
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 17
Méthode des Eléments Finis : MEF
Idées de basePoint de départ : Formulation Variationnelle Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis
• forme simple• approximation sur des variables physiques
Domaine continu Domaine discrétisé
Forces nodales
Déplacements imposés
Chargerépartie
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 18
Approximation Éléments Finise eD D W W= ⇒ = ∑∪
2
. : . . 0CAD D D D
u u u dV dV f u dV T u dSδ ρ δ σ δε δ δ∂
∀ + − − =∫ ∫ ∫ ∫Formulation Variationnelle ⇔ PTV en Mécanique
1sur :0du u
Duδ
=⎧∂ ⎨
=⎩Efforts donnés sur 2D∂
MEF : Approximation éléments finis
etu uδ(Galerkin)Mêmes familles de fonctions pour
Pour chaque élément :
{ } [ ]{ }(( )) MM eNu U=
{ } [ ]{ }( )M eNu Uδ δ=
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 19
MEF : Ecriture matricielle
{ } , , , 2 , 2 , 2Txx yy zz xy xz yzε ε ε ε ε ε ε ε→ =< >
{ } , , , , ,Txx yy zz xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ σ→ =< > { } { } : Tδε σσ δε =
Rappel : Notation matricielle
{ } [ ] { }( ) ( ) M ML uε = Opérateur gradient en petites déformations
{ } [ ]{ }( ) ( ) ( ) M M MDσ ε= Loi de comportement
Pour les efforts internes : ?D
dVσ δε =∫
[ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] e
TM M Me e
D
K B D B dV= ∫avec
Matrice raideur élémentaire
{ } [ ][ ]{ }( ) ( ) ( ) M M eM UBDσ =
{ } [ ] [ ] { } [ ] { }( )( ) ( ) M M eM eN BL U Uε = =Approximation EF
{ } [ ]{ } : e
Te e e
D
dV U K Uσ δε δ=∫
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 20
{ } { }. e e
e eD D
Tu ff u dV dVδδ =∫ ∫Pour les efforts externes
Démarche utilisée pour l’étude des treillis et des portiques
Assemblage
On défini un vecteur global { }U
[ ] [ ] { } { } e ee e
K K F F= =∑ ∑~ ~
[ ]{ } { }K U F=
∑=⇒= ee WWDD ∪
Système globalPour la statique
MEF : Ecriture matricielle
Vecteur force généralisée élémentaire
{ } { } { }( )
e
T TMe e
D
U N f dVδ= ∫
{ } [ ] { }( ) M eNu Uδ =Approximation EF
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 21
Approximation nodale
Exemple 1D
2 nœuds approximation à 2 paramètres : T = a0+ a1 s
« Pb de température »s0 1
T1 T2T(s)
Exemple : approximation utilisant 3 éléments
MEF : Techniques numériques
Identification aux nœuds :Fonctions d’interpolation
Variables nodalessignification physique
( )( ) ( ) [ ]1 1
2 2
0
1 1 ;
T T TT s s s
T T T= ⎫ ⎧ ⎫
⇒ = −⎬ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎭
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 22
Interpolation
Éléments à une dimensionBase polynomiale
Linéaire (1 x )
Quadratique (1 x x2 )
Cubique (1 x x2 x3 )Type Lagrange
Type Hermite2 variables par nœudexemple : élément poutre v et θ
N NN1 2
31
1s
0
N
N
1
2
s10
1
1
1
s
N2
N3
1
N4
N1
s
N21
10
N1
Techniques numériques
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 23
Éléments triangulaires
Éléments quadrilatéraux
Éléments toriques
Les bases polynomiales sont complètes
Les bases polynomiales sont incomplètes
zosymétrie cylindrique
Éléments à deux dimensionsTechniques numériques
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 24
bases incomplètes
bases incomplètes
Éléments tétraédriques
Éléments prismatiques
Les bases polynomiales sont complètes
Éléments hexaédriques
Éléments à trois dimensionsTechniques numériques
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 25
{ }{ }{ }⎪
⎩
⎪⎨
⎧
>=<>=<>=<
nutsg
nutsg
nutsg
zNzyNyxNx
),,(
),,(
),,(
Dréf Dréels,t,u x,y,z
{ } { } { }nnn zyx ,,nœuds
==> matrices [B(s,t,u)]e
Dérivation : on montre
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
u
t
sJ
z
y
x
1
∂∂∂
∂∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂
Fct de Ng et { } { } { }nnn zyx ,,J matrice jacobienne de la transformation
Transformation géométrique
[ ]∫∫ =Dref
dsdtduf Jdetu)t,(sy,
De
dxdydzf z)(x,
Intégration : on montre
Techniques numériques
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 26
∑∫=
≅Npi
iii
Dref
fdvf1
)( ωξ
Calcul des matrices élémentaires[ ] [ ]∫ ><><=
Drefref
Te dvJNNM det )()( ξξ ρ
[ ] [ ]∫=Dref
refT
e dvJBDBK det ][ ][][ )()( ξξ
Pour chaque point d ’intégrationCalcul de [J] et [J]-1 au point d ’intégrationConstruction de [D] et [B]
Calcul de [B]T [D] [B] det[J] ωi
Calcul de ρ [N]T [N] det[J] ωiAccumuler dans [K] et [M]
Pour chaque élément Ng et { } { } { }nnn zyx ,,
Intégration numériqueTechniques numériques
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 27
Discrétisation géométrique
Domaine continu
Calcul des matrices élémentaires{ } { }n
De
n
De
de udVBDBudV:E TT 2 ∫∫ == εσ
{ } [ ]{ }nn uu eKT
Prise en Compte des Conditions aux limiteset Résolution de l’équation matricielle
[ ]{ } { } { }ID FFUK +=
{ }{ }⎩⎨⎧
liaisonsdeeffortsFnodauxtsdéplacemenU
RésolutionI
Construction de l’approximation nodale{ } [ ]{ }ee uNu =
Assemblage [ ] [ ]∑=~
eeKK
Évaluation des grandeurs élémentaires { } [ ]{ } [ ][ ]{ }n)M()M()M()M()M( uBDD == εσ
Bilan : Démarche éléments finis
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 28
Projet pédagogique - site WEB
Méthodes d’approximation
Méthodes variationnelles
MEF: les éléments finis
Exemples d’application
Méthode des Eléments Finis
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 29
Refroidissement d'une jante en alliage d'aluminium
Le remplissage, le refroidissement, le transfert de chaleur de la pièce au moule, et la solidification sont modélisés.
Laboratoire de métallurgie physique de l'EPFLEcole Polytechnique Fédérale de Lausanne
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 30
Modèle éléments finisdu siège impacté
Mannequin HYBRID III 50% déformable
SNCF
Didier LEVEQUE
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 31
En biomécanique
Jean ROYER - MMGC
Interface os - prothèse Articulation du genou
ligaments, tendons, cartilages, ménisques
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 32
Gilles MARCKMANN – Laurent GORNET - MMGC
Mat 45 m Voiles 1000 m2
Design : Gilles OllierDesign : Gilles Ollier
« Orange II »110 Pieds ( 37,80m )
30 Tonnes Carbone-Nomex
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 33
ECN - SNECMA Modélisation de la perte d’une aube dans un réacteur
Laurent STAINIER - MMGC
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 34
Éléments finis et Level Set method
Émilie MARCHANDISE – JF. REMACLE : UCLNicolas CHEVAUGEON : MMGC
Voir le site de FEDKIW : Stanford
Cours ECN : Méthode des Eléments Finis 35
A vous de jouer
Soyez acteur de votre formationpour en profiter pleinement