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Annales 2016
CONCOURS ALPHA
ANNALES MATHEMATIQUES ET RAISONNEMENT LOGIQUE
Durée de l’épreuve 2h00 Candidats de Terminale concernés
S-SVT ou S-SI
Nombre de questions du sujet
60
Nombre de réponses attendues
50
Consignes à lire avant de répondre aux questions Cette épreuve comporte trois parties indépendantes que vous pouvez traiter dans l’ordre de votre choix :
Partie 1 : 10 questions de raisonnement logique à traiter par tous les candidats ;
Partie 2 : 20 questions du programme de Terminale S à choisir parmi 30 posées ;
Partie 3 : 20 questions sur la base d’un mini-cours présentant une notion nouvelle, ces 20 questions
sont à traiter par tous les candidats.
Chaque candidat devra répondre correctement à 50 questions pour pouvoir obtenir la note maximale, avec :
10 questions de la partie 1 ;
20 questions de la partie 2 ;
20 questions de la partie 3.
Pour chacune des questions posées, plusieurs réponses vous sont proposées et une seule est exacte. Vous
devrez reporter votre choix sur la grille de réponse qui vous est fournie en début d’épreuve :
- Toute bonne réponse vous apporte deux points (+2 points) ;
- Toute mauvaise réponse vous retire un point (-1 point) ;
- Toute non réponse ou annulation de réponse ne vous rapporte et ne vous enlève aucun point (0
point).
L’usage de la calculatrice ou de tout autre moyen de communication est interdit.
Il ne vous sera fourni qu’une seule grille de réponse pour l’épreuve. En cas d’erreur sur votre choix de
réponse, vous pouvez modifier ce dernier selon les consignes présentées en page 2.
Néanmoins, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par un surveillant.
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Instructions importantes pour remplir la grille de réponse Les réponses aux questions doivent être reportées sur la grille de réponse qui vous a été remise en début
d’épreuve. Cette grille sera corrigée automatiquement. Afin que vos résultats puissent être pris en compte,
nous vous demandons de respecter scrupuleusement les consignes ci-dessous :
Identification de votre grille de réponse
Veillez à reporter votre identité dans l’emplacement réservé à cet effet en haut de la grille de réponse ;
Collez sur votre grille de réponse le code barre qui vous a été remis en début de journée selon le modèle ci-contre. Le code-barres doit être collé dans le sens vertical.
N’oubliez pas de renseigner l’intitulé de l’épreuve en noircissant la case correspondante au milieu de votre grille de réponse.
Pour renseigner vos réponses, utilisez un stylo bille ou une pointe de feutre de couleur noire ou
bleue selon la consigne ci-dessous :
Ne pas raturer votre réponse, ne pas tenter de gommer ou d’utiliser d’effaceur sur votre grille de réponse ;
Ne pas froisser ou plier votre grille de réponse.
Modifier votre réponse
Chaque case de réponse dispose de deux lignes. Vous devez renseigner votre réponse sur la première ligne de la case. Si vous souhaitez modifier votre réponse, renseignez votre nouveau choix sur la deuxième ligne de la case comme indiqué sur l’exemple ci-dessous.
Réponse A
Réponse C
Annuler votre réponse ou ne pas répondre
Pour annuler totalement votre réponse à une question (première ligne et deuxième ligne) vous devez cocher la case « Annul. » qui se situe sous le numéro de la question.
Si vous souhaitez ne pas répondre à une question, il n’est pas nécessaire de cocher de case
Réponse Annulée
Non réponse
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Partie I Raisonnement logique Toutes les questions de cette partie sont obligatoires Toutes les questions de cette partie sont indépendantes
Question 1.
Pierre se déplace à tâtons dans son dressing non éclairé pour récupérer une paire de
chaussettes assorties. Les chaussettes sont mélangées et il y a :
● 8 chaussettes bleues,
● 4 chaussettes rouges,
● 2 chaussettes blanches,
●1 chaussette noire. Combien Pierre doitil prendre de chaussettes pour être certain d’avoir une paire ass
ortie ?
Question 1 A : 4 B : 5
C : 6 D : 7
Question 2. Question annulée Deux vaisseaux spatiaux distants de 600 000 km convergent l’un vers l’autre, le premier à une vitesse de
50 000 km / h, le second à une vitesse de 100 000 km / h. Les deux vaisseaux se renvoient, en pingpong, u
n signal qui se déplace à 300 000 km / h.
Quelle distance aura parcouru ce signal lorsque les deux vaisseaux se rencontreront ?
Question 2 A : 800 000 km B : 1 000 000 km
C : 1 200 000 km D : 1 400 000 km
Question 3.
Pour récompenser le sage Sissa de sa formidable invention, le jeu d’échecs, le roi Belkib lui
propose de choisir sa récompense. Sissa dépose quelques grains de riz sur la première case du damier et d
emande au souverain de doubler le nombre de grains sur la seconde case, puis encore sur la troisième, et a
insi de suite jusqu’à la 64ème, ce que Belkib accepte un peu trop vite. En effet, avec 1020
grains de riz, Belkib vient de prendre l’engagement de livrer l’intégralité de la production de riz du royau
me sur plusieurs générations.
Combien Sissa atil déposé de grains sur la première case de l’échiquier ?
Question 3 A : 2 B : 6
C : 24 D : 120
Question 4.
Alain possède un jardin d’une surface rectangulaire de 221 m2 et d’un périmètre de 60 m. Quelle est la différence entre le grand et le petit côté du jardin ?
Question 4 A : 2 m B : 3 m
C : 4 m D : 5 m
Question 5.
Au moment où le peloton atteint la ligne d’arrivée, une mouche s’envole du guidon du cycliste de queue de
peloton vers celui du cycliste de tête. A peine atelle atteint sa destination qu’elle repart dans la direction
opposée pour se poser sur le guidon du cycliste dont elle était partie. Elle l’atteint à l’instant même où ce c
ycliste passe à son tour la ligne d’arrivée. La longueur du peloton est constante et égale à 20 m. Les vitesse
s du peloton et de la mouche sont également constantes.
Quelle distance, au mètre entier le plus proche, la mouche atelle parcourue en vol ?
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Question 5 A : 12 m B : 14 m
C : 16 m D : 18 m
Question 6.
Au Sushi Express on ne chôme pas. Les formules proposées sont :
● Formule A : 4 sushis, 4 makis, 4 sashimis.
● Formule B : 8 sushis, 4 makis.
● Formule C : 6 makis, 6 sashimis.
●Formule D : 12 sashimis. Ce midi, on a servi 200 sushis, 290 makis, et 350 sashimis. Le nombre d’unités
vendues entre la formule la plus vendue et la formule la moins vendue ne dépasse pas 15.
Combien de formules B et C, en tout, ont été vendues ?
Question 6 A : 30 B : 35
C : 40 D : 45
Question 7.
Alexandre ramène deux factures : “c’est marrant, les deux totaux sont de 222,22 €, il y a trois articles dans
les deux cas, et les six articles ont des prix différents”. Nicolas regarde et commente : “C’est une coïnciden
ce ! D’ailleurs, il y a plus drôle encore : pour chacun des six articles, le montant dans la colonne des euros
est exactement le carré de celui de la colonne des cents”.
Combien de fois le chiffre 1 apparaîtil dans les prix des six articles ?
Question 7 A : 10 B : 11
C : 12 D : 13
Question 8.
Si l’on forme un cercle avec 7 jetons numérotés de 1 à 7 puis qu’on élimine, en partant du second, un jeton
sur deux parmi ceux qui restent, on éliminera dans cet ordre 2, 4, 6, 1, 5, 3, 7. Le jeton 7 sera donc le dernie
r éliminé.
Quel sera le dernier jeton éliminé en effectuant la même opération sur un cercle composé de 2017 jetons n
umérotés de 1 à 2017 ?
Question 8 A : 1987 B : 1997
C : 2007 D : 2017
Question 9.
- Jean à Paul au bureau : jolie photo de toi et Nath, mais qui est l’autre homme ?
- Paul : c’est mon fils Robin !
- Jean examinant la photo de plus près : tu as dû commencer jeune !
- Paul : le cube de l’âge de Nath est la différence entre les carrés de l’âge de Robin et du mien, alors
comme tu vois, il n’est pas si vieux^^
- Jean : ...
- Paul : le rapport de mon âge à celui de Rob, est le même celui du sien à celui de Nath.
Quelle est la somme des chiffres de la somme des âges de Paul, Robin et Nathalie ?
Question 9 A : 8 B : 10
C : 12 D : 14
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Question 10.
Barbe Rousse vient de mettre la main sur un coffre rempli d’écus.
Chaque écu pèse environ 4g et la masse totale du coffre plein est de 250 kg. Le coffre seul représente entr
e 2,5 et 5 % de cette masse. Barbe Rousse range alors les écus par piles de 5, et il lui en reste en 1. Il les ra
nge ensuite par piles de 7, et il lui en reste alors 2, puis 3 en les rangeant par piles de 11, et enfin 4 en les r
angeant par piles de 13.
Quelle est la somme des chiffres du nombre d’écus contenus dans le coffre ?
Question 10 A : 25 B : 26
C : 27 D : 28
Partie II : questions du programme de Terminale S Cette partie comporte 30 questions du programme obligatoire de Mathématiques de Terminale S.
Vous devez répondre à 20 questions parmi les 30 proposées.
Si vous répondez à plus de 20 questions, seules les 20 premières réponses seront prises en
compte.
Toutes les questions de cette partie sont indépendantes.
Question 11
Soit z 1 et z 2 les solutions de l'équation z 2 – 2 z + 5 = 0
A : z 1 + z 2 = – 2 B : z 1 + z 2 = 4 i
C : z 1 + z 2 = 2 D : z 1 + z 2 = – 4 i
Question 12
| 2 – 2 i | =
A : 0 B : 2√2 C : 4 D : – 2 √2
Question 13
On pose j = 𝑒2𝑖𝜋
3
A : 1 + j + j 2 = 0 B : 1 + j + j 2 = j
C : 1 + j + j 2 = j 2 D : 1 + j + j 2 = – 1
Question 14
Soit A , B , C et D les points d'affixes respectives
z A = – 3 – 2 i ; z B = – 5 + i ; z C = 6 + 4 i
Alors le triangle ABC est :
A : isocèle non rectangle B : rectangle
C : équilatéral D : isocèle rectangle
Question 15
Le complexe Z = 𝑖−√3
1+𝑖 a pour forme trigonométrique :
A : Z = √2 ( cos 7𝜋
12 + i sin
7𝜋
12 ) B : Z = √2 ( cos
5𝜋
12 + i sin
5𝜋
12 )
C : Z = ( cos 7𝜋
12 + i sin
7𝜋
12 ) D : Z = ( cos
5𝜋
12 + i sin
5𝜋
12 )
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Question 16
La fonction f : x ↦ x e – x a pour primitive sur ℝ la fonction F
A : x ↦ 𝑥2
2 𝑒− 𝑥 B : x ↦ −
1
2 𝑥2𝑒−𝑥
C : x ↦ (x + 1) e – x D : x ↦ (– x – 1 ) e – x
Question 17
L'intégrale I = ∫1+𝑥
𝑥2
2
1 𝑑𝑥 est égale à :
A : ln3 – ln2 B : 1
2 + ln2 C : 2ln2 D : –
1
2 + ln2
Question 18
Pour tout réel x ∈ [0 ; 𝜋
2[ , une seule de ces égalités est vraie :
A : 1
cos2𝑥 = 1 + tan 2 x B :
1
sin2𝑥 = 1 + tan 2 x
C : 1
cos2𝑥 = 1 – tan 2 x D : cos 2 x = 1 +
1
tan2𝑥
Question 19
lim𝑥→+∞
𝑙𝑛𝑥−1
𝑥 =
A : - ∞ B : + ∞ C : 0 D : 1
Question 20
L'équation ln(x 2 – 4) = 12 a pour ensemble solution :
A : 𝒮 = {√𝑒12 + 4} B : 𝒮 = {e 6 + 2}
C : 𝒮 = { – 4 ; 4} D : 𝒮 = {−√𝑒12 + 4 ; √𝑒12 + 4}
Question 21
2 ln 9 – ln 1
3 + ln 27 – 6 ln √3 =
A : ln 3 B: 3 ln 3 C : 5 ln 3 D : 6 ln 3
Question 22
La fonction f définie sur ] 0; + ∞ [ par f (x) = (x + 2) ln x a pour dérivée :
A : f '(x) = 𝑥+2+𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑥 B : f '(x) =
1−𝑙𝑛𝑥
(𝑙𝑛𝑥)2
C : f '(x) = 𝑥+2
𝑥 D : f '(x) = 2 ln x +
1
𝑥
Question 23
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f (x) = 𝑙𝑛𝑥
𝑥
La tangente à la courbe représentative de cette courbe au point d'abscisse 1
a pour équation :
A : y = 1 B : y = x – 1 C : y = x + 1 D : y = x – e
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Question 24
Soit (u n) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par : u n = 3n + 1 − 3n – 1
Alors la limite de la suite (u n) en + ∞ :
A : est égale à 0 B : est égale à 9
C: est égale à + ∞ D : n'existe pas
Question 25
Soit (u n) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par : u n = cos n + 1
𝑛
A : (u n) est minorée par − 1 et majorée par 2
B : (u n) est minorée par − 2 et majorée par 1
C : (u n) est minorée par 0 et majorée par 2
D : (u n) n'est pas bornée
Question 26
On considère la suite (un) définie par : {𝑢0 = 5
𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛 − 8 pour tout 𝑛 ∈ ℕ
et la suite (v n) définie pour tout entier naturel n par v n = u n − 4
Alors la suite (v n) est :
A : arithmétique de raison − 4 B : géométrique de raison 3
C : géométrique de raison − 4 D : ni arithmétique ni géométrique
Question 27
On admet que la suite (un) définie par : {𝑢0 = 7
𝑢𝑛+1 =1
3𝑢𝑛 + 4 pour tout 𝑛 ∈ ℕ
est décroissante
et converge vers 6 . Compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche la plus petite valeur
de l'entier n tel que un < 6,0001
Variables : n un entier naturel
u un réel
Initialisation : n prend la valeur 0
u prend la valeur 7
Traitement : Tant que ……………
Affecter à u la valeur ………..
Affecter à n la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
A : Tant que u < 6,0001 affecter à u la valeur 1
3 u+ 4
B: Tant que u > 6,0001 affecter à u la valeur 1
3 u+ 4
C: Tant que u ≥ 6,0001 affecter à u la valeur 𝑢 + 1
D : Tant que u ≥ 6,0001 affecter à u la valeur 1
3 u + 4
Question 28
lim𝑥 →0
𝑒𝑥− 1
𝑥3 =
A : 0 B: + ∞ C : − ∞ D : 1
Question 29
L'équation 2 e x – 3 e – x = 5 a pour ensemble solution :
A : 𝒮 = {−1
2 ; 3} B : 𝒮 = { ln 2 ; ln 3 } C : 𝒮 = { ln3 } D : 𝒮 = ∅
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Question 30
La fonction f définie sur ℝ par f ( x ) = 𝑥 𝑒𝑥2−1 a pour dérivée
A : f ' ( x ) = ( 1 + 2 x 2 ) 𝑒𝑥2−1 B : f ' ( x ) = ( 1 + 2 x ) 𝑒𝑥2−1
C : f ' ( x ) = 2 x 𝑒𝑥2−1 D : f ' ( x ) = ( 1 – 2 x 2 ) 𝑒𝑥2−1
Question 31
Soit F la fonction définie sur [0 ; + ∞ [ par F (x ) = ∫ 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥
0 𝑑𝑡
Alors F ( 0 ) =
A: 1 B : 0 C : e D : 𝑒2
2
Question 32
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = x – e – x et 𝒞 sa courbe représentative.
A : 𝒞 coupe une seule fois l'axe des abscisses
B : La fonction f est strictement décroissante sur ℝ
C : La tangente à 𝒞 au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur 1
D : 𝒞 possède une asymptote parallèle à l'axe des abscisses
Question 33
Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie , exprimée en années , d'un téléphone
portable ; on admet que X suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆.
Pour quelle valeur de t a-t-on p ( X ≤ t ) = p ( X ≥ t ) ?
A : 𝜆
ln 2 B :
𝜆
2 C :
2
𝜆 D :
ln 2
𝜆
Question 34
Soit A et B deux événements tels que p (A) = 0,6 ; p (B) = 0,45 et p (A ∩ B) = 0,2
Alors 𝑝A̅(B̅) =
A : 4
9 B :
3
8 C :
3
11 D :
5
8
Question 35
Un producteur conditionne ses asperges en bottes dont la masse X, exprimée en grammes,
suit une loi normale de paramètres 𝜇 = 500 et 𝜎 = 5
Il peut les vendre sur le marché à condition que 485 ≤ X ≤ 515
Quelle est la probabilité qu'une botte d'asperges prise au hasard puisse être vendue ?
A: 0,683 B: 0,754 C: 0,954 D: 0,997
Question 36
Dans un parc zoologique, un visiteur peut observer quotidiennement le repas des loutres. Le
temps d'attente T de ce visiteur, exprimé en heures, suit une loi uniforme sur l'intervalle [0 ;
1]. La probabilité que le visiteur attende entre 20 minutes et une demi – heure est égale à :
A: 3
10 B:
1
6 C:
1
3 D: 10
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Question 37
Le pourcentage de personnes rousses en France est de 6 %. L'intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des personnes rousses dans une ville française
de 10 000 habitants est :
A: [0,06 − 1,96× √0,06×0,94
100 ; 0,06 + 1,96×
√0,06×0,94
100]
B: [0,06 − 1,96× √0,06×0,94
10000 ; 0,06 + 1,96×
√0,06×0,94
10000]
C : [0,06 − √0,06×0,94
10000 ; 0,06 +
√0,06×0,94
10000]
D : [0,06 − √0,06×0,94
100 ; 0,06 +
√0,06×0,94
100]
Question 38
Dans l'espace rapporté à un repère (O ; 𝑖 , 𝑗, �⃗⃗�) , y = 2 x + 1 est l'équation :
A : de la droite de vecteur directeur �⃗⃗� (2 ; – 1 ; 1) passant par A (0 ; 1 ; 1)
B : de la droite de vecteur directeur �⃗⃗� (1 ; 2 ; 1) passant par A (0 ; 1 ; 1)
C : du plan de vecteur normal �⃗⃗� (2 ; – 1 ; 1) passant par A (1 ; 3 ; 1)
D : du plan de vecteur normal �⃗⃗� (2 ; – 1 ; 0) passant par A (1 ; 3 ; 1)
Question 39
Soit A (1; 1 ; 3) , B (– 1 ; 1; – 1) et C (– 2 ; 2 ; 0) trois points de l'espace .
Alors l'équation cartésienne du plan (ABC) est :
A : 3 x + 2 y – z – 2 = 0
B : x + y – z + 1 = 0
C : 2 x + 3 y – z – 2 = 0
D : 2 x + 3 y + z – 8 = 0
Question 40
La droite D ayant pour représentation paramétrique :
D : {𝑥 = 2 + 𝑡𝑦 = 1 − 3𝑡
𝑧 = −1 + 2𝑡 (t ∈ ℝ)
A : a pour vecteur directeur �⃗⃗� (2 ; 1 ; – 1)
B : a pour vecteur directeur �⃗� (1 ; 3 ; 2)
C : passe par A (1 ; –3 ; 2)
D : passe par B (3 ; – 2 ; 1)
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Partie III : Nouvelle notion
Mini-cours : Fonction de classe nC
La continuité et la dérivabilité sont des notions étudiées au lycée et plusieurs applications en découlent
dans plusieurs domaines. Nous introduisons dans ce cours les fonctions de classe nC qui sont utilisées
(en particulier) dans la recherche des formes aérodynamiques.
I. Rappels sur la continuité et la dérivabilité d’une fonction numérique
1. Continuité
Définitions.
Soient I un intervalle ouvert de IR et IRIf : une fonction définie sur I .
- Soit Ia , on dit que f est continue en a si )()(lim afxfax
- On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I .
2. Dérivabilité
Définitions.
Soient I un intervalle ouvert de IR et IRIf : une fonction définie sur I .
- Soit Ia , on dit que f est dérivable en a si la fonction ax
afxfx
)()( admet une
limite finie en a on note alors ax
afxfaf
ax
)()(lim)('
- On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I , on définit alors la
fonction dérivée de f , notée 'f par :
)('
:'
xfx
IRIf
Exemples
1) Soit IRIRf : définie par : lf )0( et pour x
xxfxIRx
)sin()(,0, où IRl .
1)sin(
lim)(lim00
x
xxf
xx donc f est continue en 0 si )0()(lim
0fxf
x
c’est-à-dire l1
Conclusion : f est continue en 0 si 1l
2) Soit IRIRf : définie par : pour tout 2)(, xxfIRx ,
f est dérivable sur IR et IRIRf :' est définie par : pour tout xxfIRx 2)(', ,
3) Soit IRIRf : définie par : pour tout )sin()(, xxfIRx
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alors f est dérivable sur IR et pour tout )cos()(', xxfIRx
Proposition
Si f est dérivable en a alors f est continue en a ,
La réciproque est fausse, c'est-à-dire :
f est continue en a n’implique pas que f est dérivable en a .
Exemple
Considérons la fonction IRIRf : définie par : pour tout IRx , xxf )(
On a f est continue en 0 car )0(0lim)(lim00
fxxfxx
mais f n’est pas dérivable en 0 car
pour tout
01
01
0
)0()(0
x
x
x
x
x
fxfx
si
si
donc 0
)0()(lim
0
x
fxf
x n’existe pas, d’où f n’est pas dérivable en 0 .
Conclusion : f est continue en a n’implique pas que f est dérivable en a
II. Opérations sur les dérivées
Théorème. Soit I un intervalle ouvert de IR
1) Si IRIf : et IRIg : sont dérivables sur I alors f
gfgf1
,, ( si f ne s’annule pas sur
I ), g
f ( si g ne s’annule pas sur )I ,
nf ( pour *INn ), f (pour IR ) sont dérivables sur I et
'')(,')'(,''
)'(,'
)'1
(,'')'(,'')'( 1
22fffnff
g
fggf
g
f
f
f
ffggfgfgfgf nn
2) Si IRIf : est dérivable sur I , IRJg : est dérivable sur J telles que pour tout
JxfIx )(, alors ))(()()( xfgxfgx est dérivable sur I et )'(')'( fgffg
c'est-à-dire pour tout )(')(')(')(, xfgxfxfgIx .
Exemple : Soit IRIRu : la fonction définie par : pour tout )sin()(, 2xxuIRx
u est dérivable sur IR et d’après le théorème de composition de fonctions dérivables on a : pour tout
)cos(2)(', 2xxxuIRx car ))(()( xfgxu où )sin()( xxg et 2)( xxf
Dérivées successives :
Définition. Soit IRIf : une fonction définie sur un intervalle ouvert I de IR .
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On dit que f est deux fois dérivable sur I lorsque f est dérivable sur I et 'f est dérivable sur I .
On appelle alors la dérivée seconde de f la fonction notée ')'('')2( fff
Pour *INn , on définit de même la notion de fonction n fois dérivable. Pour une telle fonction, sa
dérivée ièmen est notée
)(nf et ')1()( nn ff ,
avec la convention ff )0(,
Exemples
1) Soit IRIRf : la fonction définie par : pour tout 2)(, xxfIRx
Alors f est dérivable sur IR et pour tout xxfIRx 2)(',
Idem 'f est dérivable sur IR et pour tout 2)(, )2( xfIRx
Idem )2(f est dérivable sur IR et pour tout 0)(, )3( xfIRx
Idem pour tout 3,* nINn , )(nf est dérivable sur IR et pour tout 0)(, )( xfIRx n
2) Soit xxf sin: , f est dérivable sur IR et pour tout IRx , on a :
)2
sin(cos)('
xxxf , de plus pour INn , on montre par récurrence sur n , que f est n fois
dérivable sur IR et pour tout IRx , )2
sin()()( nxxf n
3) Soit IR et xexf : f est dérivable sur IR , pour tout
*INn et pour tout
xnn exfIRx )(, )(
Fonction de classe nC
Définition
Soient IRIf : une fonction définie sur un intervalle ouvert I de IR et INn . On dit que f est
de classe nC sur I lorsque
Isurcontinueestf
et
Isurdérivablefoisnestf
n )(
D’où f est de classe 1C sur I signifie que f est dérivable I et 'f est continue sur I .
Idem f est de classe 2C sur I signifie que f est fois2 dérivable I et
)2(f est continue sur I
Remarques et exemples
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1) f est de classe 0C sur I signifie que f est continue sur I ;
2) la fonction xx est de classe 0C sur IR mais elle n’est pas de classe
1C sur IR
3) Pour IR , la fonction constante x est de classe 2C sur IR .
4) Pour *INn , si f est de classe
nC sur I alors f est de classe 1nC sur I .
En particulier, si f est de classe 2C sur I alors f est de classe
1C sur I .
5) Soit f la fonction définie sur IR par : 0)0( f et si 0x )1
sin()( 2
xxxf
On a f est dérivable sur IR mais elle n’est pas de classe 1C sur IR car :
f est dérivable en tout point de *IR (somme, produit et composée e fonctions dérivables en tout point de
*IR et pour tout *IRx , )
1cos()
1sin(2)('
xxxxf
De plus 0)1
sin(lim0
)0()(lim
00
xx
x
fxf
xx car pour tout
*IRx , xx
x )1
sin(0
d’où f est dérivable en 0 et 0)0(' f
Donc f est dérivable sur IR et on a :
0)0(' f et pour tout *IRx , )
1cos()
1sin(2)('
xxxxf
Mais 'f n’est pas continue sur IR car elle n’est pas continue en 0 .
En effet )0(')1
cos()1
sin(2lim0
fxx
xx
car )1
cos()1
sin(2lim0 xx
xx
n’existe pas puisque
0)1
sin(2lim0
x
xx
et )1
cos(lim0 xx
n’existe pas
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Questions
Les 20 questions sont à traiter par tous les candidats. Les exercices sont indépendants. Chaque exercice est composé d’une ou de plusieurs questions. Pour chacune des questions posées, plusieurs réponses vous sont proposées et une seule est
exacte.
Exercice 1. On considère la fonction f définie par :
lf )1( et si 1, xIRx , 1
1)(
2
x
xxf où IRl
Question 41
f est continue en 1 si
A : 1l B : 0l C : 2l D : 2l
Exercice 2. On considère la fonction f définie par :
lf )0( et si *IRx ,
x
xxf
2
)2sin(3)( où IRl
Question 42
f est continue en 0 si
A : 1l B : 0l C : 2
3l D : 3l
Exercice 3. On considère la fonction f définie par :
lf )0( et si *IRx ,
x
exf
x 1)(
où IRl
Question 43
f est continue sur IR si
A : el B : 0l C : 1l D : )2(Lnl
Exercice 4. On considère la fonction f définie par :
0)0( f et si *IRx , )
1cos()(
xxxf
Question 44
A : f est dérivable en 0 et 0)0(' f
B : )(lim0
xfx
n’existe pas
C : f est continue en 0
D : f est dérivable en 0 et 1)0(' f
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Question 45
A : f n’est pas dérivable en 0
B : 1)(
lim0
x
xf
x
C : f n’est pas continue en 0
D : 0)(
lim0
x
xf
x
Exercice 5. On considère la fonction f définie par :
0)0( f et si *IRx , )
1sin()( 2
xxxf
Question 46
A : f est dérivable sur IR
B : f est fois2 dérivable sur IR
C : f est de classe 1C sur IR
D : f est de classe 2C sur IR
Exercice 6. On considère les fonctions f et g définies par :
Pour tout IRx , 2)( xxf et xxg )(
Question 47
A : gf est dérivable en 0
B : gf est de classe 1C sur IR
C : g est de classe 1C sur IR
D : f est de classe 1C sur IR
Question 48
A : gf n’est pas dérivable en 0
B : gf est de classe 1C sur IR
C : gf n’est pas de classe 1C sur IR
D : 2g n’est pas de classe
1C sur IR
Question 49
A : gf n’est pas dérivable en 0
B : gf est de classe 1C sur IR
C : gf n’est pas de classe 1C sur IR
D : gg est de classe 1C sur IR
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Exercice 7. On considère la fonction f définie par :
Pour tout IRx , xxxf 1)(
Question 50
A : f est dérivable en 0
B : f est dérivable en 1
C : f est de classe 1C sur IR
D : f est de classe 0C sur IR
Exercice 8. Soit I un intervalle ouvert de IR .
Si f n’est pas de classe 1C sur I et g n’est pas de classe
1C sur I alors on a :
Question 51
A : )( gf n’est pas de classe 1C sur I
B : f n’est pas dérivable sur I
C : f est dérivable sur I et 'f n’est pas continue sur I
D : f2 n’est pas de classe 1C sur I
Exercice 9.
Si f est de classe 1C sur IR et g n’est pas de classe
1C sur IR , alors on a :
Question 52
A : )( gf n’est pas de classe 1C sur IR .
B : )( gg est de classe 1C sur IR .
C : )( gf n’est pas de classe 1C sur IR .
D : )( ff est de classe 1C sur IR .
Exercice 10.
Soient f et g deux fonctions de classe 1C sur IR on a :
Question 53
A : )( gf est de classe 2C sur IR
B : )( gf est fois2 dérivable sur IR
C : ')( gf est de classe 1C sur IR
D : )( gf est de classe 1C sur IR
Exercice 11. Soit I un intervalle ouvert de IR .
Soient f et g deux fonctions définies sur I telles que pour tout )()(, xfexgIx
Question 54
A : Si f est dérivable sur I alors pour tout )()(', xfexgIx
B : Si f est dérivable sur I alors pour tout )(')(', xfexgIx
C : Si f est dérivable sur I alors pour tout )()(')(', xfexfxgIx
D : Si f est dérivable sur I alors pour tout )(')()(', xfexfxgIx
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Question 55
A : Si f est de classe 2C sur I alors g n’est pas de classe
2C sur I
B : Si f est de classe 2C sur I alors pour tout
)(')('')('', xfexfxgIx
C : Si f est de classe 2C sur I alors g est de classe
1C sur I
D : Si f est de classe 1C sur I alors g est de classe
2C sur I
Exercice 12.
Soient I un intervalle ouvert de IR et f une fonction numérique définie sur I .
Question 56
A : Si f est une fonction de classe 2C sur I alors "f est une fonction de classe
2C
sur I
B : Si f est une fonction de classe 2C sur I alors 'f est une fonction de classe
2C sur
I
C : Si f est une fonction de classe 2C sur I alors 'f est une fonction de classe
1C sur
I
D : Si f est une fonction de classe 2C sur I alors f est une fonction de classe
3C sur
I
Question 57
A : Si f est fois2 dérivable sur I alors )2(f est dérivable sur I .
B : Si f est fois2 dérivable sur I alors 'f est de classe 1C sur I .
C : Si f est fois2 dérivable sur I alors f est de classe 2C sur I .
D : Si f est fois2 dérivable sur I alors f est de classe 1C sur I .
Exercice 13. On considère la fonction f définie par :
Pour tout 1,x , )1()( xLnxf on a :
Question 58
A : Pour tout 1,x , 4
)4(
)1(
1)(
xxf
B : Pour tout 1,x , 4
)4(
)1(
4)(
xxf
C : Pour tout 1,x , 4
)4(
)1(
6)(
xxf
D : Pour tout 1,x , 4
)4(
)1(
6)(
xxf
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Exercice 14. Si f est la fonction définie par : pour tout IRx , xexxf )(
Alors pour tout INn , on a :
Question 59
A : Pour tout IRx , xn enxxf )()(
B : Pour tout IRx , xn enxxf )()(
C : Pour tout IRx , xnn enxxf )1()()(
D : Pour tout IRx , xnn enxxf )1()()(
Exercice 15. On considère la fonction f définie par :
0)0( f et si *IRx , )
1sin()( 3
xxxf
Question 60
A : f n’est pas dérivable sur IR
B : f est fois2 dérivable en 0
C : f est de classe 1C sur IR
D : f est de classe 2C sur IR
FIN DE L’EPREUVE