concours alpha annales mathematiques … jean examinant la photo de plus près : tu as dû commencer...

Annales 2016

CONCOURS ALPHA

ANNALES MATHEMATIQUES ET RAISONNEMENT LOGIQUE

Durée de l’épreuve 2h00 Candidats de Terminale concernés

S-SVT ou S-SI

Nombre de questions du sujet

60

Nombre de réponses attendues

50

Consignes à lire avant de répondre aux questions Cette épreuve comporte trois parties indépendantes que vous pouvez traiter dans l’ordre de votre choix :

Partie 1 : 10 questions de raisonnement logique à traiter par tous les candidats ;

Partie 2 : 20 questions du programme de Terminale S à choisir parmi 30 posées ;

Partie 3 : 20 questions sur la base d’un mini-cours présentant une notion nouvelle, ces 20 questions

sont à traiter par tous les candidats.

Chaque candidat devra répondre correctement à 50 questions pour pouvoir obtenir la note maximale, avec :

10 questions de la partie 1 ;

20 questions de la partie 2 ;

20 questions de la partie 3.

Pour chacune des questions posées, plusieurs réponses vous sont proposées et une seule est exacte. Vous

devrez reporter votre choix sur la grille de réponse qui vous est fournie en début d’épreuve :

- Toute bonne réponse vous apporte deux points (+2 points) ;

- Toute mauvaise réponse vous retire un point (-1 point) ;

- Toute non réponse ou annulation de réponse ne vous rapporte et ne vous enlève aucun point (0

point).

L’usage de la calculatrice ou de tout autre moyen de communication est interdit.

Il ne vous sera fourni qu’une seule grille de réponse pour l’épreuve. En cas d’erreur sur votre choix de

réponse, vous pouvez modifier ce dernier selon les consignes présentées en page 2.

Néanmoins, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par un surveillant.

Concours Alpha Epreuve de Mathématiques et Raisonnement Logique Série S-SVT ou S-SI

Annales 2016

Instructions importantes pour remplir la grille de réponse Les réponses aux questions doivent être reportées sur la grille de réponse qui vous a été remise en début

d’épreuve. Cette grille sera corrigée automatiquement. Afin que vos résultats puissent être pris en compte,

nous vous demandons de respecter scrupuleusement les consignes ci-dessous :

Identification de votre grille de réponse

Veillez à reporter votre identité dans l’emplacement réservé à cet effet en haut de la grille de réponse ;

Collez sur votre grille de réponse le code barre qui vous a été remis en début de journée selon le modèle ci-contre. Le code-barres doit être collé dans le sens vertical.

N’oubliez pas de renseigner l’intitulé de l’épreuve en noircissant la case correspondante au milieu de votre grille de réponse.

Pour renseigner vos réponses, utilisez un stylo bille ou une pointe de feutre de couleur noire ou

bleue selon la consigne ci-dessous :

Ne pas raturer votre réponse, ne pas tenter de gommer ou d’utiliser d’effaceur sur votre grille de réponse ;

Ne pas froisser ou plier votre grille de réponse.

Modifier votre réponse

Chaque case de réponse dispose de deux lignes. Vous devez renseigner votre réponse sur la première ligne de la case. Si vous souhaitez modifier votre réponse, renseignez votre nouveau choix sur la deuxième ligne de la case comme indiqué sur l’exemple ci-dessous.

Réponse A

Réponse C

Annuler votre réponse ou ne pas répondre

Pour annuler totalement votre réponse à une question (première ligne et deuxième ligne) vous devez cocher la case « Annul. » qui se situe sous le numéro de la question.

Si vous souhaitez ne pas répondre à une question, il n’est pas nécessaire de cocher de case

Réponse Annulée

Non réponse


Annales 2016

Partie I Raisonnement logique Toutes les questions de cette partie sont obligatoires Toutes les questions de cette partie sont indépendantes

Question 1.

Pierre se déplace à tâtons dans son dressing non éclairé pour récupérer une paire de

chaussettes assorties. Les chaussettes sont mélangées et il y a :

● 8 chaussettes bleues,

● 4 chaussettes rouges,

● 2 chaussettes blanches,

●1 chaussette noire. Combien Pierre doitil prendre de chaussettes pour être certain d’avoir une paire ass

ortie ?

Question 1 A : 4 B : 5

C : 6 D : 7

Question 2. Question annulée Deux vaisseaux spatiaux distants de 600 000 km convergent l’un vers l’autre, le premier à une vitesse de

50 000 km / h, le second à une vitesse de 100 000 km / h. Les deux vaisseaux se renvoient, en pingpong, u

n signal qui se déplace à 300 000 km / h.

Quelle distance aura parcouru ce signal lorsque les deux vaisseaux se rencontreront ?

Question 2 A : 800 000 km B : 1 000 000 km

C : 1 200 000 km D : 1 400 000 km

Question 3.

Pour récompenser le sage Sissa de sa formidable invention, le jeu d’échecs, le roi Belkib lui

propose de choisir sa récompense. Sissa dépose quelques grains de riz sur la première case du damier et d

emande au souverain de doubler le nombre de grains sur la seconde case, puis encore sur la troisième, et a

insi de suite jusqu’à la 64ème, ce que Belkib accepte un peu trop vite. En effet, avec 1020

grains de riz, Belkib vient de prendre l’engagement de livrer l’intégralité de la production de riz du royau

me sur plusieurs générations.

Combien Sissa atil déposé de grains sur la première case de l’échiquier ?


C : 24 D : 120

Question 4.

Alain possède un jardin d’une surface rectangulaire de 221 m2 et d’un périmètre de 60 m. Quelle est la différence entre le grand et le petit côté du jardin ?

Question 4 A : 2 m B : 3 m

C : 4 m D : 5 m

Question 5.

Au moment où le peloton atteint la ligne d’arrivée, une mouche s’envole du guidon du cycliste de queue de

peloton vers celui du cycliste de tête. A peine atelle atteint sa destination qu’elle repart dans la direction

opposée pour se poser sur le guidon du cycliste dont elle était partie. Elle l’atteint à l’instant même où ce c

ycliste passe à son tour la ligne d’arrivée. La longueur du peloton est constante et égale à 20 m. Les vitesse

s du peloton et de la mouche sont également constantes.

Quelle distance, au mètre entier le plus proche, la mouche atelle parcourue en vol ?


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Question 5 A : 12 m B : 14 m

C : 16 m D : 18 m

Question 6.

Au Sushi Express on ne chôme pas. Les formules proposées sont :

● Formule A : 4 sushis, 4 makis, 4 sashimis.

● Formule B : 8 sushis, 4 makis.

● Formule C : 6 makis, 6 sashimis.

●Formule D : 12 sashimis. Ce midi, on a servi 200 sushis, 290 makis, et 350 sashimis. Le nombre d’unités

vendues entre la formule la plus vendue et la formule la moins vendue ne dépasse pas 15.

Combien de formules B et C, en tout, ont été vendues ?


C : 40 D : 45

Question 7.

Alexandre ramène deux factures : “c’est marrant, les deux totaux sont de 222,22 €, il y a trois articles dans

les deux cas, et les six articles ont des prix différents”. Nicolas regarde et commente : “C’est une coïnciden

ce ! D’ailleurs, il y a plus drôle encore : pour chacun des six articles, le montant dans la colonne des euros

est exactement le carré de celui de la colonne des cents”.

Combien de fois le chiffre 1 apparaîtil dans les prix des six articles ?


C : 12 D : 13

Question 8.

Si l’on forme un cercle avec 7 jetons numérotés de 1 à 7 puis qu’on élimine, en partant du second, un jeton

sur deux parmi ceux qui restent, on éliminera dans cet ordre 2, 4, 6, 1, 5, 3, 7. Le jeton 7 sera donc le dernie

r éliminé.

Quel sera le dernier jeton éliminé en effectuant la même opération sur un cercle composé de 2017 jetons n

umérotés de 1 à 2017 ?

Question 8 A : 1987 B : 1997

C : 2007 D : 2017

Question 9.

- Jean à Paul au bureau : jolie photo de toi et Nath, mais qui est l’autre homme ?

- Paul : c’est mon fils Robin !

- Jean examinant la photo de plus près : tu as dû commencer jeune !

- Paul : le cube de l’âge de Nath est la différence entre les carrés de l’âge de Robin et du mien, alors

comme tu vois, il n’est pas si vieux^^

- Jean : ...

- Paul : le rapport de mon âge à celui de Rob, est le même celui du sien à celui de Nath.

Quelle est la somme des chiffres de la somme des âges de Paul, Robin et Nathalie ?


C : 12 D : 14


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Question 10.

Barbe Rousse vient de mettre la main sur un coffre rempli d’écus.

Chaque écu pèse environ 4g et la masse totale du coffre plein est de 250 kg. Le coffre seul représente entr

e 2,5 et 5 % de cette masse. Barbe Rousse range alors les écus par piles de 5, et il lui en reste en 1. Il les ra

nge ensuite par piles de 7, et il lui en reste alors 2, puis 3 en les rangeant par piles de 11, et enfin 4 en les r

angeant par piles de 13.

Quelle est la somme des chiffres du nombre d’écus contenus dans le coffre ?


C : 27 D : 28

Partie II : questions du programme de Terminale S Cette partie comporte 30 questions du programme obligatoire de Mathématiques de Terminale S.

Vous devez répondre à 20 questions parmi les 30 proposées.

Si vous répondez à plus de 20 questions, seules les 20 premières réponses seront prises en

compte.

Toutes les questions de cette partie sont indépendantes.

Question 11

Soit z 1 et z 2 les solutions de l'équation z 2 – 2 z + 5 = 0

A : z 1 + z 2 = – 2 B : z 1 + z 2 = 4 i

C : z 1 + z 2 = 2 D : z 1 + z 2 = – 4 i

Question 12

| 2 – 2 i | =

A : 0 B : 2√2 C : 4 D : – 2 √2

Question 13

On pose j = 𝑒2𝑖𝜋

3

A : 1 + j + j 2 = 0 B : 1 + j + j 2 = j

C : 1 + j + j 2 = j 2 D : 1 + j + j 2 = – 1

Question 14

Soit A , B , C et D les points d'affixes respectives

z A = – 3 – 2 i ; z B = – 5 + i ; z C = 6 + 4 i

Alors le triangle ABC est :

A : isocèle non rectangle B : rectangle

C : équilatéral D : isocèle rectangle

Question 15

Le complexe Z = 𝑖−√3

1+𝑖 a pour forme trigonométrique :

A : Z = √2 ( cos 7𝜋

12 + i sin

7𝜋

12 ) B : Z = √2 ( cos

5𝜋

12 + i sin

5𝜋

12 )

C : Z = ( cos 7𝜋

12 + i sin

7𝜋

12 ) D : Z = ( cos

5𝜋

12 + i sin

5𝜋

12 )


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Question 16

La fonction f : x ↦ x e – x a pour primitive sur ℝ la fonction F

A : x ↦ 𝑥2

2 𝑒− 𝑥 B : x ↦ −

1

2 𝑥2𝑒−𝑥

C : x ↦ (x + 1) e – x D : x ↦ (– x – 1 ) e – x

Question 17

L'intégrale I = ∫1+𝑥

𝑥2

2

1 𝑑𝑥 est égale à :

A : ln3 – ln2 B : 1

2 + ln2 C : 2ln2 D : –

1

2 + ln2

Question 18

Pour tout réel x ∈ [0 ; 𝜋

2[ , une seule de ces égalités est vraie :

A : 1

cos2𝑥 = 1 + tan 2 x B :

1

sin2𝑥 = 1 + tan 2 x

C : 1

cos2𝑥 = 1 – tan 2 x D : cos 2 x = 1 +

1

tan2𝑥

Question 19

lim𝑥→+∞

𝑙𝑛𝑥−1

𝑥 =

A : - ∞ B : + ∞ C : 0 D : 1

Question 20

L'équation ln(x 2 – 4) = 12 a pour ensemble solution :

A : 𝒮 = {√𝑒12 + 4} B : 𝒮 = {e 6 + 2}

C : 𝒮 = { – 4 ; 4} D : 𝒮 = {−√𝑒12 + 4 ; √𝑒12 + 4}

Question 21

2 ln 9 – ln 1

3 + ln 27 – 6 ln √3 =

A : ln 3 B: 3 ln 3 C : 5 ln 3 D : 6 ln 3

Question 22

La fonction f définie sur ] 0; + ∞ [ par f (x) = (x + 2) ln x a pour dérivée :

A : f '(x) = 𝑥+2+𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑥 B : f '(x) =

1−𝑙𝑛𝑥

(𝑙𝑛𝑥)2

C : f '(x) = 𝑥+2

𝑥 D : f '(x) = 2 ln x +

1

𝑥

Question 23

Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f (x) = 𝑙𝑛𝑥

𝑥

La tangente à la courbe représentative de cette courbe au point d'abscisse 1

a pour équation :

A : y = 1 B : y = x – 1 C : y = x + 1 D : y = x – e


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Question 24

Soit (u n) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par : u n = 3n + 1 − 3n – 1

Alors la limite de la suite (u n) en + ∞ :

A : est égale à 0 B : est égale à 9

C: est égale à + ∞ D : n'existe pas

Question 25

Soit (u n) la suite définie pour tout entier naturel non nul n par : u n = cos n + 1

𝑛

A : (u n) est minorée par − 1 et majorée par 2

B : (u n) est minorée par − 2 et majorée par 1

C : (u n) est minorée par 0 et majorée par 2

D : (u n) n'est pas bornée

Question 26

On considère la suite (un) définie par : {𝑢0 = 5

𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛 − 8 pour tout 𝑛 ∈ ℕ

et la suite (v n) définie pour tout entier naturel n par v n = u n − 4

Alors la suite (v n) est :

A : arithmétique de raison − 4 B : géométrique de raison 3

C : géométrique de raison − 4 D : ni arithmétique ni géométrique

Question 27

On admet que la suite (un) définie par : {𝑢0 = 7

𝑢𝑛+1 =1

3𝑢𝑛 + 4 pour tout 𝑛 ∈ ℕ

est décroissante

et converge vers 6 . Compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche la plus petite valeur

de l'entier n tel que un < 6,0001

Variables : n un entier naturel

u un réel

Initialisation : n prend la valeur 0

u prend la valeur 7

Traitement : Tant que ……………

Affecter à u la valeur ………..

Affecter à n la valeur n + 1

Fin Tant que

Sortie : Afficher n

A : Tant que u < 6,0001 affecter à u la valeur 1

3 u+ 4

B: Tant que u > 6,0001 affecter à u la valeur 1

3 u+ 4

C: Tant que u ≥ 6,0001 affecter à u la valeur 𝑢 + 1

D : Tant que u ≥ 6,0001 affecter à u la valeur 1

3 u + 4

Question 28

lim𝑥 →0

𝑒𝑥− 1

𝑥3 =

A : 0 B: + ∞ C : − ∞ D : 1

Question 29

L'équation 2 e x – 3 e – x = 5 a pour ensemble solution :

A : 𝒮 = {−1

2 ; 3} B : 𝒮 = { ln 2 ; ln 3 } C : 𝒮 = { ln3 } D : 𝒮 = ∅


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Question 30

La fonction f définie sur ℝ par f ( x ) = 𝑥 𝑒𝑥2−1 a pour dérivée

A : f ' ( x ) = ( 1 + 2 x 2 ) 𝑒𝑥2−1 B : f ' ( x ) = ( 1 + 2 x ) 𝑒𝑥2−1

C : f ' ( x ) = 2 x 𝑒𝑥2−1 D : f ' ( x ) = ( 1 – 2 x 2 ) 𝑒𝑥2−1

Question 31

Soit F la fonction définie sur [0 ; + ∞ [ par F (x ) = ∫ 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑡𝑥

0 𝑑𝑡

Alors F ( 0 ) =

A: 1 B : 0 C : e D : 𝑒2

2

Question 32

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = x – e – x et 𝒞 sa courbe représentative.

A : 𝒞 coupe une seule fois l'axe des abscisses

B : La fonction f est strictement décroissante sur ℝ

C : La tangente à 𝒞 au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur 1

D : 𝒞 possède une asymptote parallèle à l'axe des abscisses

Question 33

Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie , exprimée en années , d'un téléphone

portable ; on admet que X suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆.

Pour quelle valeur de t a-t-on p ( X ≤ t ) = p ( X ≥ t ) ?

A : 𝜆

ln 2 B :

𝜆

2 C :

2

𝜆 D :

ln 2

𝜆

Question 34

Soit A et B deux événements tels que p (A) = 0,6 ; p (B) = 0,45 et p (A ∩ B) = 0,2

Alors 𝑝A̅(B̅) =

A : 4

9 B :

3

8 C :

3

11 D :

5

8

Question 35

Un producteur conditionne ses asperges en bottes dont la masse X, exprimée en grammes,

suit une loi normale de paramètres 𝜇 = 500 et 𝜎 = 5

Il peut les vendre sur le marché à condition que 485 ≤ X ≤ 515

Quelle est la probabilité qu'une botte d'asperges prise au hasard puisse être vendue ?

A: 0,683 B: 0,754 C: 0,954 D: 0,997

Question 36

Dans un parc zoologique, un visiteur peut observer quotidiennement le repas des loutres. Le

temps d'attente T de ce visiteur, exprimé en heures, suit une loi uniforme sur l'intervalle [0 ;

1]. La probabilité que le visiteur attende entre 20 minutes et une demi – heure est égale à :

A: 3

10 B:

1

6 C:

1

3 D: 10


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Question 37

Le pourcentage de personnes rousses en France est de 6 %. L'intervalle de fluctuation

asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des personnes rousses dans une ville française

de 10 000 habitants est :

A: [0,06 − 1,96× √0,06×0,94

100 ; 0,06 + 1,96×

√0,06×0,94

100]

B: [0,06 − 1,96× √0,06×0,94

10000 ; 0,06 + 1,96×

√0,06×0,94

10000]

C : [0,06 − √0,06×0,94

10000 ; 0,06 +

√0,06×0,94

10000]

D : [0,06 − √0,06×0,94

100 ; 0,06 +

√0,06×0,94

100]

Question 38

Dans l'espace rapporté à un repère (O ; 𝑖 , 𝑗, �⃗⃗�) , y = 2 x + 1 est l'équation :

A : de la droite de vecteur directeur �⃗⃗� (2 ; – 1 ; 1) passant par A (0 ; 1 ; 1)

B : de la droite de vecteur directeur �⃗⃗� (1 ; 2 ; 1) passant par A (0 ; 1 ; 1)

C : du plan de vecteur normal �⃗⃗� (2 ; – 1 ; 1) passant par A (1 ; 3 ; 1)

D : du plan de vecteur normal �⃗⃗� (2 ; – 1 ; 0) passant par A (1 ; 3 ; 1)

Question 39

Soit A (1; 1 ; 3) , B (– 1 ; 1; – 1) et C (– 2 ; 2 ; 0) trois points de l'espace .

Alors l'équation cartésienne du plan (ABC) est :

A : 3 x + 2 y – z – 2 = 0

B : x + y – z + 1 = 0

C : 2 x + 3 y – z – 2 = 0

D : 2 x + 3 y + z – 8 = 0

Question 40

La droite D ayant pour représentation paramétrique :

D : {𝑥 = 2 + 𝑡𝑦 = 1 − 3𝑡

𝑧 = −1 + 2𝑡 (t ∈ ℝ)

A : a pour vecteur directeur �⃗⃗� (2 ; 1 ; – 1)

B : a pour vecteur directeur �⃗� (1 ; 3 ; 2)

C : passe par A (1 ; –3 ; 2)

D : passe par B (3 ; – 2 ; 1)


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Partie III : Nouvelle notion

Mini-cours : Fonction de classe nC

La continuité et la dérivabilité sont des notions étudiées au lycée et plusieurs applications en découlent

dans plusieurs domaines. Nous introduisons dans ce cours les fonctions de classe nC qui sont utilisées

(en particulier) dans la recherche des formes aérodynamiques.

I. Rappels sur la continuité et la dérivabilité d’une fonction numérique

1. Continuité

Définitions.

Soient I un intervalle ouvert de IR et IRIf : une fonction définie sur I .

- Soit Ia , on dit que f est continue en a si )()(lim afxfax

- On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I .

2. Dérivabilité

Définitions.

Soient I un intervalle ouvert de IR et IRIf : une fonction définie sur I .

- Soit Ia , on dit que f est dérivable en a si la fonction ax

afxfx

)()( admet une

limite finie en a on note alors ax

afxfaf

ax

)()(lim)('

- On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I , on définit alors la

fonction dérivée de f , notée 'f par :

)('

:'

xfx

IRIf

Exemples

1) Soit IRIRf : définie par : lf )0( et pour x

xxfxIRx

)sin()(,0, où IRl .

1)sin(

lim)(lim00

x

xxf

xx donc f est continue en 0 si )0()(lim

0fxf

x

c’est-à-dire l1

Conclusion : f est continue en 0 si 1l

2) Soit IRIRf : définie par : pour tout 2)(, xxfIRx ,

f est dérivable sur IR et IRIRf :' est définie par : pour tout xxfIRx 2)(', ,

3) Soit IRIRf : définie par : pour tout )sin()(, xxfIRx


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alors f est dérivable sur IR et pour tout )cos()(', xxfIRx

Proposition

Si f est dérivable en a alors f est continue en a ,

La réciproque est fausse, c'est-à-dire :

f est continue en a n’implique pas que f est dérivable en a .

Exemple

Considérons la fonction IRIRf : définie par : pour tout IRx , xxf )(

On a f est continue en 0 car )0(0lim)(lim00

fxxfxx

mais f n’est pas dérivable en 0 car

pour tout

01

01

0

)0()(0

x

x

x

x

x

fxfx

si

si

donc 0

)0()(lim

0

x

fxf

x n’existe pas, d’où f n’est pas dérivable en 0 .

Conclusion : f est continue en a n’implique pas que f est dérivable en a

II. Opérations sur les dérivées

Théorème. Soit I un intervalle ouvert de IR

1) Si IRIf : et IRIg : sont dérivables sur I alors f

gfgf1

,, ( si f ne s’annule pas sur

I ), g

f ( si g ne s’annule pas sur )I ,

nf ( pour *INn ), f (pour IR ) sont dérivables sur I et

'')(,')'(,''

)'(,'

)'1

(,'')'(,'')'( 1

22fffnff

g

fggf

g

f

f

f

ffggfgfgfgf nn

2) Si IRIf : est dérivable sur I , IRJg : est dérivable sur J telles que pour tout

JxfIx )(, alors ))(()()( xfgxfgx est dérivable sur I et )'(')'( fgffg

c'est-à-dire pour tout )(')(')(')(, xfgxfxfgIx .

Exemple : Soit IRIRu : la fonction définie par : pour tout )sin()(, 2xxuIRx

u est dérivable sur IR et d’après le théorème de composition de fonctions dérivables on a : pour tout

)cos(2)(', 2xxxuIRx car ))(()( xfgxu où )sin()( xxg et 2)( xxf

Dérivées successives :

Définition. Soit IRIf : une fonction définie sur un intervalle ouvert I de IR .


Annales 2016

On dit que f est deux fois dérivable sur I lorsque f est dérivable sur I et 'f est dérivable sur I .

On appelle alors la dérivée seconde de f la fonction notée ')'('')2( fff

Pour *INn , on définit de même la notion de fonction n fois dérivable. Pour une telle fonction, sa

dérivée ièmen est notée

)(nf et ')1()( nn ff ,

avec la convention ff )0(,

Exemples

1) Soit IRIRf : la fonction définie par : pour tout 2)(, xxfIRx

Alors f est dérivable sur IR et pour tout xxfIRx 2)(',

Idem 'f est dérivable sur IR et pour tout 2)(, )2( xfIRx

Idem )2(f est dérivable sur IR et pour tout 0)(, )3( xfIRx

Idem pour tout 3,* nINn , )(nf est dérivable sur IR et pour tout 0)(, )( xfIRx n

2) Soit xxf sin: , f est dérivable sur IR et pour tout IRx , on a :

)2

sin(cos)('

xxxf , de plus pour INn , on montre par récurrence sur n , que f est n fois

dérivable sur IR et pour tout IRx , )2

sin()()( nxxf n

3) Soit IR et xexf : f est dérivable sur IR , pour tout

*INn et pour tout

xnn exfIRx )(, )(

Fonction de classe nC

Définition

Soient IRIf : une fonction définie sur un intervalle ouvert I de IR et INn . On dit que f est

de classe nC sur I lorsque

Isurcontinueestf

et

Isurdérivablefoisnestf

n )(

D’où f est de classe 1C sur I signifie que f est dérivable I et 'f est continue sur I .

Idem f est de classe 2C sur I signifie que f est fois2 dérivable I et

)2(f est continue sur I

Remarques et exemples


Annales 2016

1) f est de classe 0C sur I signifie que f est continue sur I ;

2) la fonction xx est de classe 0C sur IR mais elle n’est pas de classe

1C sur IR

3) Pour IR , la fonction constante x est de classe 2C sur IR .

4) Pour *INn , si f est de classe

nC sur I alors f est de classe 1nC sur I .

En particulier, si f est de classe 2C sur I alors f est de classe

1C sur I .

5) Soit f la fonction définie sur IR par : 0)0( f et si 0x )1

sin()( 2

xxxf

On a f est dérivable sur IR mais elle n’est pas de classe 1C sur IR car :

f est dérivable en tout point de *IR (somme, produit et composée e fonctions dérivables en tout point de

*IR et pour tout *IRx , )

1cos()

1sin(2)('

xxxxf

De plus 0)1

sin(lim0

)0()(lim

00

xx

x

fxf

xx car pour tout

*IRx , xx

x )1

sin(0

d’où f est dérivable en 0 et 0)0(' f

Donc f est dérivable sur IR et on a :

0)0(' f et pour tout *IRx , )

1cos()

1sin(2)('

xxxxf

Mais 'f n’est pas continue sur IR car elle n’est pas continue en 0 .

En effet )0(')1

cos()1

sin(2lim0

fxx

xx

car )1

cos()1

sin(2lim0 xx

xx

n’existe pas puisque

0)1

sin(2lim0

x

xx

et )1

cos(lim0 xx

n’existe pas


Annales 2016

Questions

Les 20 questions sont à traiter par tous les candidats. Les exercices sont indépendants. Chaque exercice est composé d’une ou de plusieurs questions. Pour chacune des questions posées, plusieurs réponses vous sont proposées et une seule est

exacte.

Exercice 1. On considère la fonction f définie par :

lf )1( et si 1, xIRx , 1

1)(

2

x

xxf où IRl

Question 41

f est continue en 1 si

A : 1l B : 0l C : 2l D : 2l


lf )0( et si *IRx ,

x

xxf

2

)2sin(3)( où IRl

Question 42

f est continue en 0 si

A : 1l B : 0l C : 2

3l D : 3l


lf )0( et si *IRx ,

x

exf

x 1)(

où IRl

Question 43

f est continue sur IR si

A : el B : 0l C : 1l D : )2(Lnl


0)0( f et si *IRx , )

1cos()(

xxxf

Question 44

A : f est dérivable en 0 et 0)0(' f

B : )(lim0

xfx

n’existe pas

C : f est continue en 0

D : f est dérivable en 0 et 1)0(' f


Annales 2016

Question 45

A : f n’est pas dérivable en 0

B : 1)(

lim0

x

xf

x

C : f n’est pas continue en 0

D : 0)(

lim0

x

xf

x


0)0( f et si *IRx , )

1sin()( 2

xxxf

Question 46

A : f est dérivable sur IR

B : f est fois2 dérivable sur IR

C : f est de classe 1C sur IR

D : f est de classe 2C sur IR

Exercice 6. On considère les fonctions f et g définies par :

Pour tout IRx , 2)( xxf et xxg )(

Question 47

A : gf est dérivable en 0

B : gf est de classe 1C sur IR

C : g est de classe 1C sur IR


Question 48

A : gf n’est pas dérivable en 0


C : gf n’est pas de classe 1C sur IR

D : 2g n’est pas de classe

1C sur IR

Question 49

A : gf n’est pas dérivable en 0


C : gf n’est pas de classe 1C sur IR

D : gg est de classe 1C sur IR


Annales 2016


Pour tout IRx , xxxf 1)(

Question 50

A : f est dérivable en 0

B : f est dérivable en 1



Exercice 8. Soit I un intervalle ouvert de IR .

Si f n’est pas de classe 1C sur I et g n’est pas de classe

1C sur I alors on a :

Question 51

A : )( gf n’est pas de classe 1C sur I

B : f n’est pas dérivable sur I

C : f est dérivable sur I et 'f n’est pas continue sur I

D : f2 n’est pas de classe 1C sur I

Exercice 9.

Si f est de classe 1C sur IR et g n’est pas de classe

1C sur IR , alors on a :

Question 52

A : )( gf n’est pas de classe 1C sur IR .

B : )( gg est de classe 1C sur IR .

C : )( gf n’est pas de classe 1C sur IR .

D : )( ff est de classe 1C sur IR .

Exercice 10.

Soient f et g deux fonctions de classe 1C sur IR on a :

Question 53

A : )( gf est de classe 2C sur IR

B : )( gf est fois2 dérivable sur IR

C : ')( gf est de classe 1C sur IR

D : )( gf est de classe 1C sur IR

Exercice 11. Soit I un intervalle ouvert de IR .

Soient f et g deux fonctions définies sur I telles que pour tout )()(, xfexgIx

Question 54

A : Si f est dérivable sur I alors pour tout )()(', xfexgIx

B : Si f est dérivable sur I alors pour tout )(')(', xfexgIx

C : Si f est dérivable sur I alors pour tout )()(')(', xfexfxgIx

D : Si f est dérivable sur I alors pour tout )(')()(', xfexfxgIx


Annales 2016

Question 55

A : Si f est de classe 2C sur I alors g n’est pas de classe

2C sur I

B : Si f est de classe 2C sur I alors pour tout

)(')('')('', xfexfxgIx

C : Si f est de classe 2C sur I alors g est de classe

1C sur I

D : Si f est de classe 1C sur I alors g est de classe

2C sur I

Exercice 12.

Soient I un intervalle ouvert de IR et f une fonction numérique définie sur I .

Question 56

A : Si f est une fonction de classe 2C sur I alors "f est une fonction de classe

2C

sur I

B : Si f est une fonction de classe 2C sur I alors 'f est une fonction de classe

2C sur

I

C : Si f est une fonction de classe 2C sur I alors 'f est une fonction de classe

1C sur

I

D : Si f est une fonction de classe 2C sur I alors f est une fonction de classe

3C sur

I

Question 57

A : Si f est fois2 dérivable sur I alors )2(f est dérivable sur I .

B : Si f est fois2 dérivable sur I alors 'f est de classe 1C sur I .

C : Si f est fois2 dérivable sur I alors f est de classe 2C sur I .

D : Si f est fois2 dérivable sur I alors f est de classe 1C sur I .


Pour tout 1,x , )1()( xLnxf on a :

Question 58

A : Pour tout 1,x , 4

)4(

)1(

1)(

xxf

B : Pour tout 1,x , 4

)4(

)1(

4)(

xxf

C : Pour tout 1,x , 4

)4(

)1(

6)(

xxf

D : Pour tout 1,x , 4

)4(

)1(

6)(

xxf


Annales 2016

Exercice 14. Si f est la fonction définie par : pour tout IRx , xexxf )(

Alors pour tout INn , on a :

Question 59

A : Pour tout IRx , xn enxxf )()(

B : Pour tout IRx , xn enxxf )()(

C : Pour tout IRx , xnn enxxf )1()()(

D : Pour tout IRx , xnn enxxf )1()()(


0)0( f et si *IRx , )

1sin()( 3

xxxf

Question 60

A : f n’est pas dérivable sur IR

B : f est fois2 dérivable en 0



FIN DE L’EPREUVE

concours alpha annales mathematiques … jean examinant la photo de plus près : tu as dû commencer...

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