GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 1
01/11/07
CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11 1 Introductions.
2. Représentation des signaux Numériques. 1 Signal binaire. Modulation en BdB et sur fréquence porteuse, MAQ.
2 Représentation vectorielle, constellation.
3. Propriétés et Répartition spectrale. 1 Energie moyenne, distance. 2 Densité Spectrale de Puissance (DSP)
4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 2
01/11/07
CANALDE
TRANSMISSION
SignauxNumériques
Codagede
Canal
Étalementde
Spectre
Codagede
Source
Cryptage
Embrouil-lage
CodeBinaire
A / N
Récepteur
Multi-plexages
Synchronisation
AccèsMultiple
Émetteur
AccèsMultiple
Modu-lation
Codagede
Canal
Entrelaceur
Embrouilleur
SignauxNumériques
SignauxAnalogiques
SignauxAnalogiques
Démulti-plexages
Décodagede
Canal
Décodagede
Source
Décryptage
Désem-brouillage
CodeBinaire
N / A
Dé-modu-lation
Dé-codagede
Canal
Désentrelaceur
Désmbrouilleur
Dés-étalement
deSpectre
Autres SourcesAutres Sources
Autres Sources Autres Sources
Couche Transmission
Couches Réseaux
Utilisateurs
Égaliseur
SourceNormalisée
Schéma Global d'une Liaison Numérique.
Suite de symboles+ Perturbation
Détection
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 3
01/11/07
ModModModModèèèèle de Canal :le de Canal :le de Canal :le de Canal :
Canal non dispersif Canal non dispersif Canal non dispersif Canal non dispersif àààà
Bruit Additif Blanc GaussienBruit Additif Blanc GaussienBruit Additif Blanc GaussienBruit Additif Blanc Gaussien
BABGBABGBABGBABG
(AWGN)(AWGN)(AWGN)(AWGN)
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 4
01/11/07
Modèles de canauxModèles de canauxModèles de canauxModèles de canaux
Non Dispersifs Dispersifs (Sélectif)
Stationnaires
Signal + Bruit
Signal
BABG (AWGN)
Bruit AdditifBlanc GaussienDSP N0/2
F.L.I.T.H(f) Signal Filtré
+ Bruit
Signal
BABG (AWGN)
Bruit AdditifBlanc GaussienDSP N0/2
Non Stationnaires
RAYLEIGHC
i * Signal+ Bruit
Signal
Processus GaussienComplexe
BABG (AWGN)
Bruit AdditifBlanc GaussienDSP N0/2C
i
F.L. Variantdans le Temps
H(f, t) Signal Filtré+ Bruit
Signal
BABG (AWGN)
Bruit AdditifBlanc GaussienDSP N0/2
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 5
01/11/07
Modulation Sans MModulation Sans MModulation Sans MModulation Sans Méééémoire moire moire moire
(Pas de Relations de Codage)(Pas de Relations de Codage)(Pas de Relations de Codage)(Pas de Relations de Codage)
DDDDéééétection Simple au Rtection Simple au Rtection Simple au Rtection Simple au Réééécepteur cepteur cepteur cepteur
(Symbole par Symbole) (Symbole par Symbole) (Symbole par Symbole) (Symbole par Symbole)
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 6
01/11/07
BABG (AWGN) /N0 2
codeur
k
n
{ },0 1
{ },0 1
Rendement /k n
Augmentation du débit Redondance
( )/b bD n k D′ =
Modulation binaire / M - aire
Diminution du débit
/bR D Log M2′=
Codage
Codage et Modulation combinés
Modulation
Canal idéal
( )
( )k sk
s t
g t kT
=−∑ déModulation
M - aire / binaire
Décodeur
k
n
Détection Hard Symbole par
Symbole
Détection Soft sur un Bloc de Symboles
{ },0 1
{ },0 1
Décodage
( )
( ) ( )
r t
s t b t
=+
Modulation avec Mémoire / sans Mémoire
Binaire i.i.d.Symboles i.i.d. si sans Mémoire.
Symboles liés si CodageBlocs de Symboles i.i.d. si codage en Bloc.
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 7
01/11/07
PBNombre de réalisations possibles
& Durée d’acquisition⇓⇓⇓⇓
Limiter la durée ⇒⇒⇒⇒ Blocs de n symbolesM n nombre fini de réalisations possibles
Détection d’une suite de symboles
( ) ( )k s
k
s t g t kT+∞
=−∞= −∑ et { }( ) ( ), , ( ), , ( )k i Mg t s t s t s t1∈ ⋯ ⋯
Suites de symboles + bruit ⇒ détection de la bonne suite.
une réalisation de s(t)une réalisation de s(t)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Détection périodique tous les
s s
i i s i s
M M s M s
s k s
s s
s
s t s t T s t kT
s t s t T s t kT
s t s t T s t kT
g t g t T g t kT
t t T t kT
T
1 1 1
0 1
− − − − − −
− −= 0 = =
⋯ ⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯ ⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯ ⋯ ⋯
��� ����� �����
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
�������������������
Récepteur
Reçoit une réalisation de s(t)Comparaison de s(t) aux réalisations possibles
⇒⇒⇒⇒ Choix d’un critère de décisionHypothèse la plus probable = MV
Minimum d’erreurs à la restitution= min(Pr{Err})
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 8
01/11/07
Représentation Vectorielle :Des formes émises { }( ), , ( ), , ( )i Ms t s t s t1 ⋯ ⋯
Base orthonormée (arbitraire) : { }( ), , ( ), , ( )i Nt t tϕ ϕ ϕ1 ⋯ ⋯ N M≥
Produit scalaire : dans L 2
( )
( ) ( )
( ), ( ) ( ) ( )
( ), ( ) et ( ), ( )
i j i j
i i i j
t t t t dt
t t t t
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
+∞∗
−∞
= ⋅
= 1 = 0
∫
Espace vectoriel associé :
(Base de NC )
( )
{ }( ) , , ,
et 2Re =
T
H Hi i i i j
tϕ1 12
⋅ ⋅
→ 1 0 … 0 =
= = 1 0
ϕϕϕϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕFormes émises :
( )
( )
( )
( ),
, , ,
( ) ( ) ( )Hj j j
T
j
Ns t
s s t t s t
s
t
s
t d
s
ϕ ϕ
11 12 1 11+∞
∗1 1 1 1
−∞
→
⋅ = = = ⋅
=
…
∫
s
sϕϕϕϕ ( ) ( )
N
n n
n
s t s tϕ1 1=1
= ∑
Reconstruction possible si l’espaceengendré par la base des fonctions contient l’espace des formes.
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 9
01/11/07
,d1 4
s2s1
s3
s4
dmin
ϕ1
ϕ2
ϕ3
Représentation Vectorielle :Représentation Vectorielle :Représentation Vectorielle :Représentation Vectorielle :
Des formes émises { }( ), , ( ), , ( )i Ms t s t s t1 ⋯ ⋯
Base orthonormée : { }( ), , ( ), , ( )i Nt t tϕ ϕ ϕ1 ⋯ ⋯
Formes émises :
( )
( )
( )
( ),
, , ,
( ) ( ) ( )Hj j j
T
j
Ns t
s s t t s t
s
t
s
t d
s
ϕ ϕ
11 12 1 11+∞
∗1 1 1 1
−∞
→
⋅ = = = ⋅
=
…
∫
s
sϕϕϕϕ
( ) ( )N
n n
n
s t s tϕ1 1=1
= ∑
En ergie : ( )i i iE s t dt
+∞2 2
−∞= =∫ s
Dis tan ce : ( ) ( )ij i j i jd s t s t dt
+∞ 2 22
−∞
= − = −∫ s s
Modulations MIA, MAQ, MDP…
de Formes RZ NRZ Cosinus …
Constellation
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 10
01/11/07
EEEEEEEExxxxxxxxeeeeeeeemmmmmmmmpppppppplllllllleeeeeeee :::::::: MMMMMMMMoooooooodddddddduuuuuuuullllllllaaaaaaaattttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnn dddddddd’’’’’’’’AAAAAAAAmmmmmmmmpppppppplllllllliiiiiiiittttttttuuuuuuuuddddddddeeeeeeee MMMMMMMMAAAAAAAAQQQQQQQQ--------MM ddddddddeeeeeeee DDDDDDDDeeeeeeeeuuuuuuuuxxxxxxxx PPPPPPPPoooooooorrrrrrrrtttttttteeeeeeeeuuuuuuuusssssssseeeeeeeessssssss eeeeeeeennnnnnnn QQQQQQQQuuuuuuuuaaaaaaaaddddddddrrrrrrrraaaaaaaattttttttuuuuuuuurrrrrrrreeeeeeee MM--------QQQQQQQQAAAAAAAAMMMMMMMM
{ }pkd
{ }kb
{ }qkd
( )s tCodage
Binaire/M-aire
( )g t
( )g t
cos( )tω02
sin( )tω0− 2
( )p t
( )q t
NM = 2
N Pair ⇒ MAQ-4, 16, 64, 256, ...
Voie en Phase (MIA) { , , , ( )}pkd M∈ ±1 ±3 … ± −1
Voie en Quadrature (MIA) { , , , ( )}qkd M∈ ±1 ±3 … ± −1
N Impair ⇒ MAQ-8, 32, 128, 512, ...
Autres Constellations Croix, Carrés Bords Arrondis …
0000
0001
0010
0011
0100
0101 0111
0110
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
MAQ-16
000
011
010
111
101
100
A B
110
001
MAQ-8
( ) ( ) cos( )s t g t tω1 0= ⋅ 2 ⋅( ) ( ) sin( )s t g t tω2 0= ⋅ 2 ⋅
( )s t2
( )s t1
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 11
01/11/07
DDDDéééétection dtection dtection dtection d’’’’une suite de Symbolesune suite de Symbolesune suite de Symbolesune suite de Symboles
HYPOTHHYPOTHHYPOTHHYPOTHÈÈÈÈSESSESSESSES
Canal non dispersif Canal non dispersif Canal non dispersif Canal non dispersif àààà BABGBABGBABGBABG
& Modulation sans m& Modulation sans m& Modulation sans m& Modulation sans méééémoiremoiremoiremoire
RRRRÉÉÉÉCEPTEURCEPTEURCEPTEURCEPTEUR
Estimation des rythmes porteuse & codeEstimation des rythmes porteuse & codeEstimation des rythmes porteuse & codeEstimation des rythmes porteuse & code
Estimation des retards et dEstimation des retards et dEstimation des retards et dEstimation des retards et dééééformationsformationsformationsformations
DDDDéééétection Symbole par Symbole tection Symbole par Symbole tection Symbole par Symbole tection Symbole par Symbole (simple)
au Minimum de Probabilitau Minimum de Probabilitau Minimum de Probabilitau Minimum de Probabilitéééé dddd’’’’ErreurErreurErreurErreur
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 12
01/11/07
Détection d’un seul symbole (modulation sans mémoire)
Filtrage
Décision
Observation et Détection tous les k T s
Échantillonnage
BABG M Zones de Décision
( ) ( ) ( )k sk
r t g t kT b tθ= − + +∑
k = +z s b
k• z
iZ
Z1
MZ
i•s
M•s
1•s
j•s
•
•
( ) ( )k kg t b t+
Symbole
Signal (MIA) Signal + Bruit
( )s t ( ) ( ) ( )r t s t b t= +
Filtre = Séparation en continu d'un Symbole et Décision tous les Ts
M FormesM Hypothèses
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 13
01/11/07
( )b t est un bruit additif blanc gaussien de DSP /N0 2 b est Vecteur gaussien de composantes ( ) ( )
jjb b t t dtϕ⌠⌡
∗= ⋅
{ }Hb N
NE 0= ⋅ =
2R b b I , les jb sont des VA gaussiennes centrées de /
jbNσ 2
0= 2
, composantes indépendantes car PA gaussien et base orthonormée ( )E i jb b∗⋅ = 0.
Vecteur de Bruit (Détection d’un symbole)
On reçoit ( ) ( ) ( )r t s t b t= +
On représente le symbole reçu en kTs par
un vecteur k = +z s b
Le bruit est Gaussien ⇒⇒⇒⇒ le vecteur kz observé est Gaussien
de moyenne is et de matrice de covariances b NN0=2
R I
Z1Z2
zk
s1
ϕϕϕϕ3
ϕϕϕϕ2
ϕϕϕϕ1
bs2
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 14
01/11/07
Détection au Minimum de Probabilité d’Erreur Détection des formes { }( ), , ( ), , ( )i Ms t s t s t1 ⋯ ⋯
{ } { }Pr PrErr Dc=1−
{ }( ) { }( )min Pr max PrErr Dc=
Détection du symbole (instant skT )
M Hypothèses : iH = {le symbole ( ) ( )k ig t s t= }
{ } { }Pr Pr et ( ou ou )MDc Dc H H H1 2= ⋯ Système complet
{ } { } { } { }Pr Pr et Pr / PrM M
i i i
i i
Dc Dc H Dc H H
=1 =1= = ⋅∑ ∑
{ } ( ){ } { }Pr Pr / Pr
somme sur de la loi de /
M
i i i
ii
i
Dc Z H H
ZH
=1= ∈ ⋅∑ z
z
���������{ } ( ) { }/r PrP
i
M
i
i i
Z
p Hc HD ⌠⌡
=1⋅=∑ z
{ }Pr max si sur chaque iDc Z
( ) { } ( ) { }/ Pr / Pri i j jp H H p H Hj
⋅ ⋅∀≥z z ⇔ { } { }Pr / Pr /i jH H
j∀≥z z Critère MAP
M Zonesde Décision
Observationet Détectiontous lesk T s
kz
k• z
iZ
Z1
MZ
i•s
M•s
1•s
j•s
•
•
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 15
01/11/07
Exemple critère MAP pour une MIA-6
( ) { } ( ) { }/ Pr / Pri i j jp H H p H Hj
⋅ ⋅∀≥z z
( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée
Cas M-aire i.i.d. dk ∈ { ±1, ±3, …, ±(2m–1)} équiprobables, M = 2m
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
( )Z +1 ( )Z +5
Exemple avec ( ) et / . dBbp M E Nσ 20= 0 = 1 = 6 = 6 5
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 16
01/11/07
Exemple critère MAP pour une MIA-2
( ) { } ( ) { }/ Pr / Pri i j jp H H p H Hj
⋅ ⋅∀≥z z
( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée
Cas Binaire {+1,–1} i.i.d. non équiprobables
−3 −2 −1 0 1 2 3s
( ), Pr( )bσ 2+1 ⋅ +1N
( )Z +1( )Z −1
( ), Pr( )bσ 2−1 ⋅ −1N
seuil
z
{ } { } { }Exemple avec ( ) et . ( , , Pr . , Pr . )kp M dσ 2= 0 = 1 = 2 ∈ −1 +1 −1 = 0 3 +1 = 0 7
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 17
01/11/07
Construction du récepteur : choisir les zonesiZ en conséquence du MAP
( ) { } ( ) { }/ Pr / Pri i j jp H H p H Hj
⋅ ⋅∀≥z z
Limites des Zones de Décision (Seuils)
{ }( ) { }( )min Pr max PrErr Dc= Détection symbole par symbole (instant skT ) k = = +z z s b
M Zonesde Décision
Observationet Détectiontous lesk T s
kz
k• z
iZ
Z1
MZ
Symbolerestitués i
i•s
M•s
1•s
j•s
•
•
( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée sur is
( ) /// exp ( ) ( )
( )
Hi i b iN
b
p Hπ
−11 22
1 1 = − − ⋅ ⋅ − 2 2z z s R z s
R
b NN0=2
R I b NN
−1
0
2=R I
,( ) ( )i
Hi b i i d
N N
2−1 2
0 0
1 1 1 − − ⋅ ⋅ − = − − = − 2 z sz s R z s z s
,
,
expPr( )
Pr( )exp
( / )
( / )
i
j
i
j
ij j
i i
ZdH pN
jH p
p HL
pd
H
N
2
0
2
0
1− = ∀ 1−
=
>z s
z s
z
z≜
Rapport de Vraisemblance(Likelihood ratio)
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 18
01/11/07
Limites des Zones de Décision
( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée sur is
,
,
expPr( )
Pr( )exp
( / )
( / )
i
j
i
j
ij j
i i
ZdH pN
jH p
p HL
pd
H
N
2
0
2
0
1− = ∀ 1−
=
>z s
z s
z
z≜
M Zonesde Décision
Observationet Détectiontous lesk T s
kz
k• z
iZ
Z1
MZ
Symbolerestitués i
i•s
M•s
1•s
j•s
•
•
Log Vraisemblance
( ), ,lo g) log(i j
ij
i
Zp
d d jLN p
2 2
0
1= − + ∀
>z s z s
soit , ,logj i
ij
ji
Zp
d N dp
2 20
− ⋅ ∀
>z s z s iZ ensemble des z les plus proches de is
iZ telles que ( ), ,min si /i j i j
jd d p p M2 2= = =1z s z s
Seuils de séparation = Bissectrices des segments i j s s
Fonctionnement : si iZ∈z ⇒⇒⇒⇒ décide symbole n°i .
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 19
01/11/07
Z1Z2
s1s2
ϕϕϕϕ3
ϕϕϕϕ2
ϕϕϕϕ1
zk b
iZ telles que ( ), ,min si /i j i j
jd d p p M2 2= = =1z s z s
Seuils de séparation = Bissectrices des segments i j s s
iZ ensemble des z les plus proches de is (ou lieu des plus grandes projections de z sur la forme is )
, ,logj i
ij
ji
Zp
d N dp
2 20
− ⋅ ∀
>z s z s
si /i jp p M≠ ≠1 cela décale les
bissectrices vers le symbole le moins probable
Exemple : Cas Binaire 2 formes
{ }( ), ( )s t s t1 2 ( ) ( )s t s t1 2⊥
base orthonormée { }( ), ( ), ( )t t tϕ ϕ ϕ1 2 3
Détection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’Erreur Limites des Zones de DécisionLimites des Zones de DécisionLimites des Zones de DécisionLimites des Zones de Décision
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 20
01/11/07
CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11
4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux. 2 Cas M-aire. Borne de l’Union. 3 Canal Mobile et Performances en Diversité.
6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.
1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence. 2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance. 3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 21
01/11/07
RRRRRRRRééééééééalisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Réééééééécepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimal
un Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaire
soitsoitsoitsoitsoitsoitsoitsoitun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolution
doncdoncdoncdoncdoncdoncdoncdoncun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linééééééééaireaireaireaireaireaireaireaire
Fonctionnement : si iZ∈z ⇒⇒⇒⇒ décide symbole n°i .
iZ ensemble des z les plus proches de is ou lieu des plus grandes projections de z sur la forme is (produit scalaire)
, ( ) ( )k i i k ir z t s t dt⌠⌡
+∞∗
−∞= = ⋅z s
Temporellement pour un signal continu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i k i k ir z t s t z t s t dtτ
τ τ⌠⌡
+∞∗ ∗
−∞= ∗ − = ⋅ −
+ échantillonnage en zéro
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 22
01/11/07
,k r1 1=z s
kz,k m mr=z s
,k M Mr=z s
ˆkg
( ){ }maxRe ⋅
( )s t∗1 −
( )ms t∗ −
( )Ms t∗ −
( ) ( ) ( )k kz t g t b t= + τ =0
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k m k m k m mz t s t dt z t s t rτ
⌠⌡
+∞∗ ∗
=0−∞= ⋅ = ∗ − = 0z s
= filtrage linéaire + échantillonnage en zéro (répété tous les Ts)
On dit que le filtre ( )ms t∗ − est adapté à la forme ( )ms t
Structure du Structure du Structure du Structure du RRRRéééécepteurcepteurcepteurcepteur Optimal BABG Optimal BABG Optimal BABG Optimal BABG pour un pour un pour un pour un SymboleSymboleSymboleSymbole MMMM----aire aire aire aire isolisolisolisoléééé
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 23
01/11/07
Structure du Récepteur Optimal BABG. Structure du Récepteur Optimal BABG. Structure du Récepteur Optimal BABG. Structure du Récepteur Optimal BABG. Suite deSuite deSuite deSuite dessss Symboles Symboles Symboles Symboles....
Observation et Détection tous les k T s
,k r1 1=z s
kz,k m mr=z s
,k M Mr=z s
ˆkg
( ){ }maxRe ⋅
( )s t∗1 −
( )ms t∗ −
( )Ms t∗ −
( ) ( ) ( )k s
k
r t g t kT b tθ= − − +∑ skTτ θ= +
Canal Idéal BABG
θθθθ est un retard à estimer.
Le signal reçu r(t) est la suite continue des symboles émis plus du bruit.
���� Un échantillonnage bien estimé donne les projections symbole après symbole.
PB : Les formes des symboles successifs ne doivent pas interférer lors de l’échantillonnage.
Cas du NRZ, du RZ50%. Ce n’est pas le cas des impulsions dont la DSP est limitée.
Filtres Adaptés
échantillonnage Décision
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 24
01/11/07
Chaîne optimale en BABG pour la MIAChaîne optimale en BABG pour la MIAChaîne optimale en BABG pour la MIAChaîne optimale en BABG pour la MIA----MMMM....
( ) ( )k s
k
s t d g t kT+∞
=−∞= ⋅ −∑ ; { })1(,,3,1 −±±±∈ Mdk ⋯
Une seule forme ( )g t ⇒⇒⇒⇒ une seule dimension ⇒⇒⇒⇒ un seul filtre adapté ( )g t∗ −
+ Détection de l’amplitude kd .
BABG
Canal idéal LIT
N0 / 2 filtre adapté
hr(t)=g*(-t)
z(t)
z k= dk·p(0)+nk
+g(t)
{dk} s(t)
p(t)=g(t) ∗g∗(−t)� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Seuils { ˆ d k}
Ech kTs+ t0
Codage binaire / M - aire
Une seule forme mais les symboles successifs
ne doivent pas interférer à l’échantillonage.
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 25
01/11/07
InterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterféééééééééééérence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre SymbolesCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritèèèèèèèèèèèère de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquist
IESIESIESIESIESIESIESIESDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbent
àààààààà ééééééééviter !viter !viter !viter !viter !viter !viter !viter !
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 26
01/11/07
Interférence entre symbole. Pour canal à bande limité.
(Signal à bande limitée = Impulsion Temporelle Longue)
,k r1 1=z s
,k m mr=z s
,k M Mr=z s
ˆkg
( ){ }maxRe ⋅
( )s t∗1 −
( )ms t∗ −
( )Ms t∗ −
( ) ( ) ( )
( ) ( )k s
k
r t s t t b t
g t kT t b t
0
0
= − += − − +∑
skTτ θ= +
Canal Limité BABG ( )mr t
( )r t1
( )Mr t
( ) ( ) + ( ) (( ) )k s m mk
m g t kT t s t dt b t s dtr tττ τ⌠ ⌠ ⌡⌡
+∞+∞
∗ ∗0
−∞−∞
= − − ⋅ − ⋅ −
∑
( ) ( ) ( )k m mm g s s bs
k
r R kT t Rτ τ τ0= − − +∑ Intercorrélations.
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 27
01/11/07
Interférence entre symbole (IES / ISI).Interférence entre symbole (IES / ISI).Interférence entre symbole (IES / ISI).Interférence entre symbole (IES / ISI). Signal à bande limitée. Pour canal à bande limité.
( ) ( )( )k m mg s sm bs
k
R kTr t Rτ τ τ0= − − +∑ Intercorrélations.
Échantillonnage en skT tτ 0= + ( tθ 0= bien estimé)
( )symbolere Icher ESché
( ) ( ) ( ) + ( )k m l m m
km
m m s g s g s s bs s
l kb
r r kT t R R k l T R kT t0 0≠
= + = 0 + − +∑����� ����������������
( )k mg s m mR E
20 = =s si ( ) ( )k mg t s t=
( ) ,k mg s j mR 0 = s s si ( ) ( )k jg t s t= . ( )
k mg sR 0 = 0 si signaux orthogonaux
kmb est V.A. ( ), mσ 20N
l’IES des formes reçues est annulée par construction à l'émission.
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 28
01/11/07
On veut ( ) { }( ) , ( ) ( )l mg s s l i
l k
R k l T m g t s t
≠− = 0 ∀ ∀ ∈∑
⇒ ( )i js s s
n
R nT
≠0= 0∑ ⇒ ( ) ( )( ) ( )|||
i j i js
s s s sT
R Rτ τ δ τ⋅ = 0 ⋅
par transformée de Fourier
⇒ ( ) ( )( ) ( )|||i ji j s s s
Ts
S f S f f T R cste∗1⋅ ∗ = ⋅ 0 = périodisé.
Cas de la MIA (PAM)Cas de la MIA (PAM)Cas de la MIA (PAM)Cas de la MIA (PAM) )()( tgts ii ⋅= α une seule forme Critère de Nyquist
( )( )( ) () |||g s s gi jk Ts
R k G f f T R csteT≠ ≠∀
2
0 1= 0 ∗ ⋅ 0 =⇒ = .
Annulation de lAnnulation de lAnnulation de lAnnulation de l’’’’IES des formes IES des formes IES des formes IES des formes éééémises mises mises mises (Canal (Canal (Canal (Canal àààà bande limitbande limitbande limitbande limitéééée).e).e).e).
( )symbolere Icher ESché
( ) ( ) ( ) + ( )k m l m m
km
m m s g s g s s bs s
l kb
r r kT t R R k l T R kT t0 0≠
= + = 0 + − +∑����� ����������������
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 29
01/11/07
Cosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus Suréééééééééééélevlevlevlevlevlevlevlevlevlevlevlevéééééééééééé
Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre facile facile facile facile facile facile facile facile àààààààà rrrrrrrrééééééééaliseraliseraliseraliseraliseraliseraliseraliser
qui vqui vqui vqui vqui vqui vqui vqui véééééééérifie le critrifie le critrifie le critrifie le critrifie le critrifie le critrifie le critrifie le critèèèèèèèèrerererererererede Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IES
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 30
01/11/07
Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé.Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé.Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé.Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé.
Fonction de Transfert du Cosinus Surélevé.
−1 −0.5 0 0.5 10
0.5
1
α = 0.2
α = 0.5
α = 0.8
( )
( ) pour
( ) pour
( )cos pour
G f
p T fT
P f fT
p T Tf f
T T T
α
α
π α α αα
2 =
1− 0 ⋅ <
2 1+= 0 < 2 0 ⋅ 1− 1− 1+ ⋅ 1+ ⋅ − < < 2 2 2 2
Réponse Impulsionnelledu Cosinus Surélevé.
2
( )
sin cos( ) (0)
21
gR t
t t
T Tp t p
t tT T
π π α
π α
=
= ⋅ ⋅
−
−4 0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1α = 0.2α = 0.5α = 0.8
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 31
01/11/07
Filtre en Racine de Cosinus Surélevé.Filtre en Racine de Cosinus Surélevé.Filtre en Racine de Cosinus Surélevé.Filtre en Racine de Cosinus Surélevé.
Fonction de Transfert.
−1 −0.5 0 0.5 10
0.5
1
α = 0.2
α = 0.5
α = 0.8
1(0) pour
21
0 pour ( ) ( )2
1 1 1(0) cos pour
2 2 2 2
p T fT
fG f P fT
Tp T f f
T T T
α
α
π α α αα
− <
+ >= =
− − + ⋅ ⋅ − < <
Réponse Impulsionnelle.
2
( )
(1 ) (1 )4
(0) 44
1
g t
t T tcos sin
T t Tp
tT
T
π πα ααα
απ
=
+ + ⋅ − ⋅ ⋅
− −4 0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.3
α = 0.3α = 0.5α = 0.8
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 32
01/11/07
CritCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritèèèèèèèèèèèère de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquist
En rEn rEn rEn rEn rEn rEn rEn réééééééésumsumsumsumsumsumsumsuméééééééé ::::::::Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du RRRRRRRRéééééééécepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimal
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 33
01/11/07
Une Forme M Niveaux { })1(,,3,1 −±±±∈ Mdk ⋯ . MIA (PAM)
Observation scalaire npdz k +⋅= )0(
BABG
Canal idéal LIT
N0 / 2 filtre adapté
hr(t)=g*(-t)
z(t)
z k= dk·p(0)+nk
+g(t)
{dk} s(t)
p(t)=g(t) ∗g∗(−t)� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Seuils { ˆ d k}
Ech kTs+ t0
Codage binaire / M - aire
( )p t vérifie Nyquist
( ) (0) ( ) 0, 0s s skP f kD T p p kT k− = ⋅ ⇔ = ∀ ≠∑
Racine de Nyqui
2 2
st
( ) ( ) ( ) ( ) ( )j fR
réalisable
P f G f e G f H f P fπ θ−= ⇒ = =����������� �������������
⊳⊳⊳⊳ Canal Canal Canal Canal Stationnaire, Non DispersifStationnaire, Non DispersifStationnaire, Non DispersifStationnaire, Non Dispersif , avec, avec, avec, avec BABGBABGBABGBABG
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 34
01/11/07
M formes
BABG
Canal idéal
N0 / 2
Ech
filtre adaptézi(t) z2k
filtre adaptézM(t) zMk
Ech
filtre adaptéz1(t) zlk
+
s(t) =gk (t − kT)k∑
gk (t)∈{s1(t ),…,sM (t)}
Codage binaire / M - aire
s1∗ (− t)
si∗ (− t)
sM∗ (−t)
ˆ g k{ }⇒
max Re(·))))
Ech kTs+ t0
Filtres Adaptés aux impulsions Reçues
Observation Vecteur Gaussien kkk bsz += et { }Mk sss ,,1⋯∈
( ) ( ) vérifient Nyquist ,i js t s t i j∗∗ − ∀
⊳⊳⊳⊳ Canal Canal Canal Canal Stationnaire, Non DispersifStationnaire, Non DispersifStationnaire, Non DispersifStationnaire, Non Dispersif , avec, avec, avec, avec BABGBABGBABGBABG
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 35
01/11/07
2)()()()()( fHfHfHfNfP erey =⋅== ( )C f estimée connue
Racine de Nyquist )()()()( fCfGfNfH ye ⋅== )(
)()(
fC
fNfG
y=
BABG/N0 2
CanalDispersifVariable
( , )C f t
{ }nd( )g t ( )g t∗ −
( )s t
Filtre Adaptéà l'impulsion
émise
EgaliseurAdaptatifde Canal
Détection
des
Symboles
( )p t Impulsion de Nyquist
⊳⊳⊳⊳ Canal Canal Canal Canal Non Stationnaire, DispersifNon Stationnaire, DispersifNon Stationnaire, DispersifNon Stationnaire, Dispersif, avec, avec, avec, avec BABGBABGBABGBABG
BABG /N0 2
Canal Dispersif Stationnaire
( )C f
{ }nd( )g t ( ) ( )r eh t h t∗= −
( )s t
Filtre Adapté à l'impulsion
reçue
Détection
des
Symboles
( )p t Impulsion de Nyquist
( )eh t Impulsion reçue Racine de Nyquist
⊳⊳⊳⊳ Canal Canal Canal Canal Stationnaire, DispersifStationnaire, DispersifStationnaire, DispersifStationnaire, Dispersif , avec, avec, avec, avec BABGBABGBABGBABG
GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 36
01/11/07
CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11
4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.
5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux. 2 Cas M-aire. Borne de l’Union. 3 Canal Mobile et Performances en Diversité.
6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.
1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence. 2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance. 3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage