1
APPROXIMATION DE DUPUIT
DANS LES ECOULEMENTS NON CONFINES
I. APPROXIMATION DE DUPUIT
Considérons une tranchée dans une nappe libre dont le fond est supposé horizontal et
imperméable.
Comment déterminer la relation entre la forme de la nappe et le débit, pour des
caractéristiques données du sol ?
Dupuit (1863) a formulé des hypothèses simplificatrices en s’appuyant sur la
formulation de Darcy, dans des cas pratiques.
La figure 1 schématise ces simplifications :
- Le régime d’écoulement est permanent
- Le terrain est homogène, isotrope et perméable en petit
- Dans une section verticale de la nappe, les vitesses sont parallèles entre elles et
horizontales
Considérons sous ces hypothèses un point P de la surface libre.
Figure 1.
h(x)
P
qs
Source: www.almohandiss.com
2
Le débit spécifique en P est en réalité donné par :
sin.. Kds
dzK
ds
dKqs (1)
Pour très petit, ce qui revient à supposer une surface libre quasi horizontale au voisinage de
P, l’approximation suivante est valable :
dx
dhtg sin
Cela revient finalement à supposer des surfaces d’égale charge verticales, soit :
)(x
où la charge est indépendante de z.
L’écoulement est alors essentiellement horizontal et la distribution de la pression est
hydrostatique.
Le débit à travers une surface verticale de largeur b perpendiculaire à la direction de
l’écoulement peut être calculé comme suit :
)( ; xhhdx
dhKqx (2)
dx
dhxhbKdz
dx
dhbKQ
xh
x ).(.....
)(
0
(3)
L’avantage essentiel de l’approximation de Dupuit est le fait que le nombre des
variables indépendantes (deux variables x et z) du problème originel se trouve réduit (une seul
variable x.)
C’est l’approche hydraulique de l’écoulement souterrain.
L’écoulement en entier est considéré dans cette approche, et par sa mise en moyenne comme
un tube de courant ; c’est l’approche de l’ingénieur.
Le tube de courant de la figure 1 est limité par la surface libre et par le fond imperméable.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
3
II. ESTIMATION DE L’ERREUR INDUITE PAR
L’APPROXIMATION DE DUPUIT
L’approche de Dupuit repose sur le fait de pouvoir négliger la composante verticale du
débit spécifique :
zKq zz
Cette composante varie en réalité entre une valeur nulle sur le fond imperméable et une valeur
non nulle au voisinage de la surface libre.
L’expression exacte du débit par unité de largeur de la nappe, calculé précédemment pour la
figure 1, est en réalité :
dzx
zxKq
xh
xx .),(
)(
0
(4)
La différentiation sous le signe intégrale (formule de Leibnitz) donne :
x
hhxdz
x
zxdzzx
x
xhxh
).,(.
),().,(
)(
0
)(
0
D’où le débit par unité de largeur réellement infiltré par le massif :
)(
0
2
2).,(.
xh
xx
hdzzx
xKq
Soit * la fonction telle que :
xKq xx
.
L’expression de ce potentiel est déterminée en posant :
)(
0
2
).,(~et 2
~.
xh
dzzxhh
h
dans le débit
xq calculé ci-dessus.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
4
Selon l’approximation de Dupuit, le débit
xq serait :
x
hK
x
xhxhKq xxx
2/.
)().(.
2
Cela veut dire que a été remplacé par 2
2h.
L’intégration par partie permet d’exprimer comme suit :
2
)(..)],(.
2).,(
2)(
0
)(
0
2)(
0
xhdz
zzzxz
hdzzx
xh
xh
xh
)(
0
2
2
).,(..)(
21.
2
)(xh
z
z
dzzxqzxhK
xh (6)
avec :
0)(et .)(
zzzzz qhq
zKzqq
Le long de la surface libre, nous avons successivement :
h
dx
dh
K
q
K
q
dx
dh
zxdx
dh
x z
z
x
x
hzhz
..
où xq et zq sont évalués en z = h.
Nous avons en plus :
dx
dh
q
q
x
z
d’où :
dx
dh
dx
dh
K
q
K
q
q
q
z
z
x
x
x
z .
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
5
Cela détermine la pente de la surface libre :
dx
dh
KKq
dx
dh
zxz
x
z .11
.
La composante verticale du débit spécifique au voisinage de la surface libre est donnée par :
2
2
.)(1
dx
dh
K
K
dx
dhK
q
z
x
x
hzz
ou en notant i la pente de la surface libre :
2
2
.1 iK
K
iKq
z
x
x
hzz
(7)
L’intégrale figurant dans l’expression (6) de et qui s’écrivait :
)(
0
).,(.
xh
z dzzxqz
peut être encadrée comme suit :
2.
.1
).,(.02
2
2)(
0
h
iK
K
iKdzzxqz
z
x
x
xh
z
Cela donne une estimation de l’erreur relative commise en remplaçant par 2
2h dans (4) :
2
2
2
2
./1
./
2
20iKK
iKK
h
h
zx
zx
(8)
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
6
Pour la validité de l’approximation de Dupuit, il faut donc que soit vérifiée la condition
suivante :
dx
dhii
K
K
z
x avec 1. 2
C’est une relation entre les composantes principales du tenseur de conductivité et la pente de
la surface libre.
IV. NAPPES CYLINDRIQUES
IV.1. Définition
Une nappe est dite cylindrique lorsque l’écoulement de son fluide est semblable à lui-
même dans des plans parallèles et verticaux.
La surface libre et l’assise imperméable sont dans ce cas des surfaces cylindriques qui
peuvent être définies par leurs génératrices.
La particularité de ces nappes est que le mouvement du fluide peut être étudié dans un
plan vertical (c’est le cas notamment de l’exemple sur lequel l’approximation de Dupuit a été
illustrée.)
Quelques exemples pour lesquels l’équation (3) peut être intégrée sont décrits avec
détail dans ce qui suit.
IV.2. Massif filtrant fini
La figure 2 schématise un massif cylindrique homogène et isotrope de perméabilité K,
sujet à un écoulement d’infiltration sous l’effet d’une différence de charge (h0 – hL).
Le débit infiltré par unité de longueur de massif peut être calculé sous les hypothèses
de Dupuit ou exactement. La différence essentielle réside en réalité dans le tronçon de
suintement lequel n’est pas pris en compte dans l’approximation de Dupuit.
Cet écoulement figure celui s’effectuant dans une digue artificielle établie sur une
assise imperméable, la digue étant supposée très longue de manière à pouvoir décrire
l’écoulement d’infiltration dans un plan perpendiculaire à l’axe.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
7
Figure 2.
A. Par la théorie de Dupuit, le débit en question peut être calculé à partir de :
dx
xdhxhKQ
)().(. (9)
L’intégration entre x = 0 et x = L s’écrit :
h
h
x
dhKdQdhxhKdxQ
0
...ou ).(..0
Ceci permet de calculer le débit Q (constant) et d’exprimer l’équation de la surface libre,
toujours selon l’approximation de Dupuit :
K
xQhhh
x
KQ
.2hou .
2
2
0
22
0
2 (10)
Pour h = hL et x = L, nous avons enfin :
K
LQhhh
L
KQ L
.2hou .
2
2
0
2
L
22
0 (11)
h0
hL
hs
x
L
h(x)
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
8
(10) décrit une parabole passant par (x = 0, h = h0) et ayant comme pentes aux extrémités :
00 .
et . hK
Q
dx
dh
hK
Q
dx
dh
xLLx
(12)
La formulation ci-dessus introduit certaines contradictions qu’il est important de noter
particulièrement au voisinage des parements.
- En x = 0, la surface libre doit normalement être perpendiculaire au parement
amont ; ceci n’est pas le cas en observant la deuxième équation de (12).
- En x = L, en mettant hL = 0, le formalisme précédent conduit à une vitesse infinie
sur le parement aval, ce qui n’a physiquement pas de sens.
B. Pour un calcul exact du débit précédent, partons de l’expression (4) ci-dessus :
dzx
zxKdzqq
xhxh
xx .),(
..
)(
0
)(
0
Le calcul d’intégration opéré dans le paragraphe précédent donne pour le débit exact :
.2
).,(.
)(
0
2
xK
hdzzx
xKq
xh
x
(14)
où :
2).,(
2)(
0
hdzzx
xh
L’intégration sur x donne :
Ch
dzzxxK
qxh
x
2).,(.
2)(
0
(15)
En x = 0, = h(x) = h0 , soit :
2.
2
0
0
0
0 hdzhC
h
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
9
et :
22
).,(.2
02)(
0
hhdzzxx
K
qxh
x
(16)
En x = L, nous avons les conditions :
sL
LL
shzhzzL
hzhzLhh
pour ),(
0pour ),(et
Cela veut dire que l’on tient compte du suintement sur le parement aval, ce qui est réaliste.
22..
22).,(.
2
0
2
0
2
0
2
0
hhdzzdzh
hhdzzxL
K
q s
h
h
h
L
sh
xs
L
Ls
22.
22
0 Lx hhL
K
q
QhhL
Kq Lx 22
0.2
(17)
Nous retrouvons le débit calculé par la théorie de Dupuit ; ceci confirme la validité de cette
théorie pour les nappes de ce type.
Remarquons qu’enfin, ce débit peut s’exprimer en fonction de la perte de charge moyenne par
unité de largeur de massif :
L
L
hhh
hhh
L
hhKQ
0
0
2où ..
IV.3. Massif filtrant semi-fini
Considérons le cas où la frontière amont du massif précédent est rejetée vers -.
Le calcul est semblable et donne après intégration :
dx
xdhxhKQ
)().(.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
10
Le débit, constant en régime permanent, sera calculé en fonction de x et de h(x), mais
l’équation suivante donne une approximation seulement de la surface libre :
K
xxQhh L
L
.222
L’équation (13) conduit en effet à une contradiction :
(x ) (h )
IV.4. Hauteur de résurgence dans les nappes cylindriques
L’expérience confirme l’existence d’une hauteur de résurgence accompagnant
inévitablement une différence de charge nette non nulle (h0 – hw).
Cette hauteur, h’ sur la figure 3, lève d’ailleurs la contradiction introduite par l’approximation
de Dupuit quand h devient nul.
Figure 3.
L’équation de la surface libre existant réellement au sein du massif doit donc être modifiée en
conséquence. C’est Vibert qui proposa les équations suivantes :
Equation de la surface libre dans le plan de l’écoulement :
)'(' hxhhy w
h’
hw
h0
R
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
11
Hauteur de résurgence :
2
)(4'
0
2
whhRRh
h’ est maximum pour h = 0, ce qui correspond au débit maximum :
2
.4 2
0
2
'
max
hRRh
Cette hauteur de résurgence est à ne pas confondre avec le rabattement de la nappe qui
mesure la différence entre la hauteur piézométrique actuelle et le niveau statique.
Il est à remarquer enfin que cette hauteur de résurgence lève la contradiction induite par
l’approximation de Dupuit, et qui se traduit par l ‘apparition de quantités infinies au voisinage
de la jonction entre la surface libre et le suintement.
V. NAPPES A FILETS CONVERGENTS
V.1. Définition
La figure 3 représente une nappe libre d’assise imperméable horizontale ; dans cette
nappe, supposée infinie dans les deux directions du plan horizontal, est creusé un puits
vertical de section circulaire aboutissant jusqu’au fond imperméable.
Figure 3.
R
r
rw
hw
h0 h(r)
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
12
Initialement, la surface libre dans le puits s’établira au niveau statique de la nappe.
On pompe alors un débit constant Q du puits et on attend à ce que la nappe rétablisse sont
nouvel équilibre.
A ce moment, la surface libre présentera une forme de révolution autour de l’axe du puits, qui
schématise la direction générale des lignes d’écoulement.
Etant donné la géométrie symétrique du système, le débit spécifique se réduit à sa composante
radiale et le débit total peut être calculé sur une surface cylindrique coaxiale au puits.
V.2. Débit d’un puits
Les caractéristiques suivantes peuvent donc être attribuées à cette nappe :
- La composante tangentielle du débit spécifique est nulle
- L’écoulement global peut être obtenu par rotation complète autour de l’axe du
puits de l’écoulement dans un plan méridien
- En admettant, dans un plan méridien, une quasi horizontalité de la surface libre, on
peut aussi admettre que les surfaces d’égale charge sont des cylindres coaxiaux au
puits
Les hypothèses de l’approximation de Dupuit se retrouvent ainsi réunies pour calculer le débit
pompé Q en fonction de la configuration de la nappe.
Le débit Q peut s’obtenir en intégrant le débit spécifique sur toute surface cylindrique
coaxiale au puits ; puisque cette surface est une surface d’égale charge :
dr
dhrhrKQ ).(..2.
Le calcul suivant donne le débit Q :
dhrhKr
drQ ).(..2.
22
0..ln. w
w
hhKr
RQ
En notant ce débit par Qw, la relation suivante le donne en fonction de la puissance de la
nappe h0, du rayon du puits rw et du rayon d’influence R :
R
r
hhKQ
w
w
w
ln
..22
0 (18)
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
13
V.3. Formules expérimentales pour les puits
V.3.1. Hauteur de résurgence
Le pompage à partir d’un puits s’accompagne toujours d’une résurgence qui
correspond au tronçon de suintement sur la paroi interne du puits.
La hauteur de résurgence, comme pour les nappes cylindriques ci-dessus, augmentera au fur
et à mesure que le débit deviendra grand.
Figure 4.
Pour tenir compte de cette particularité, M. Vibert propose une correction de la
méridienne de la surface libre et une estimation de la hauteur de résurgence.
Equation de la méridienne de la surface libre :
w
w
w
w
r
R
r
x
hhh
hhy
ln
ln
')(
')(22
0
22
(19)
Estimation de la hauteur de résurgence :
2
0
2
lnln' w
w
w
w
w hhr
Rr
r
Rrh
(20)
x
y
h’
rw
hw
h0
R
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
14
Cette formulation permet de déterminer la hauteur maximum de résurgence qui correspond à
une profondeur nulle dans le puits :
2
0
2
'
max lnln hr
Rr
r
Rrh
w
w
w
w
(21)
Dans la pratique, on admet souvent comme rayon d’action du puits :
200wr
R (22)
Cela permet d’avoir une estimation du débit maximum d’un puits ; en posant hw = 0 dans
l’équation de Dupuit :
wr
R
hKQ
ln
.. 2
0
max
(23)
On retient enfin à partir de l’approche de Vibert les relations suivantes dont la dernière fournit
une estimation de la conductivité hydraulique K du milieu :
2
0
max7.1et .200h
QKrR w (24)
Les résultats de ces formules ont été vérifiés expérimentalement.
V.4 Coefficient de débit ou module d’un puits
Pour le puits de la figure 5, le débit donné par la théorie de Dupuit s’écrit :
w
ww
r
R
hhhhKQ
ln
.. 00
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
15
Figure 5.
Posons 0h
où est le rabattement mesuré dans le puits ; Il est évident que
étant h0 – hw.
L’introduction de dans l’expression du débit donne :
)2.(.
ln
.. 2
0
wr
R
hKQ (25)
Posons :
wr
R
hKC
ln
..et )2()(
2
0 (26)
Le débit Q pompé du puits peut s’exprimer comme le produit d’un paramètre C et d’une
fonction du rabattement .
rw
hw
R
h0
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
16
Q = C. (27)
D’après son expression, le paramètre C caractérise le sol et le puits indépendamment du débit
pompé, C définit le ‘’module’’ ou le ‘’coefficient de débit’’ du puits.
)2()(
C (28)
Comme est sans dimension, le module C est homogène à un débit.
La valeur = 1, correspondant au débit maximum permet de donner une signification
pratique de C :
C = Qmax (28-1)
V.5 Formules simplifiées de Porchet
Des essais ont permis à Porchet d’établir la formule approchée suivante pour le rayon
d’action d’un puits (figure 5.)
651.4ln wr
R (29)
Selon le même auteur, le débit Q pompé du puits est donné par :
22
0.651.4
.whh
KQ
(30)
Selon cette formule, Q = f(hw) est une parabole.
Dans la réalité, une partie seulement de cette courbe est valable à cause de la résurgence qui
s’accentue quand le débit augmente ; il faut donc prendre des réserves en utilisant cette
formule.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
17
VI. QUELQUES APPLICATIONS
POUR LES NAPPES CYLINDRIQUES
VI.1 Substratum imperméable incliné sur l’horizontale
La figure 6 schématise une nappe libre dans un massif poreux en petit, homogène et
isotrope, reposant sur un substratum imperméable incliné d’un angle petit sur l’horizontale.
Figure 6.
Soient :
- b = b(x) l’épaisseur de l’écoulement saturé
- h = h(x) la cote de la surface libre par rapport à un plan de référence
- est la pente du substratum supposée assez faible pour pouvoir parler d’un
écoulement quasi horizontal.
Le débit par unité de largeur peut s’exprimer, selon l’approximation de Dupuit, par :
dx
dhxbKQ ).(.
L’introduction de la relation géométrique tan.xbh pour un débit Q constant donne :
hQ
Kx
Q
K
dx
dh..tan.
(31)
La résolution de cette équation différentielle ordinaire permettra de déterminer la forme de la
surface libre ; ci-après des indications sur cette résolution.
z
x
h -b
b(x) Q
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
18
C’est une équation différentielle ordinaire du premier ordre de forme générale :
).().( hxdh
dx
dont la solution s’écrit :
)()(
0 .).( hAA edbexx
Dans la solution ci-dessus :
.)(
)(
).()(
0
b
a
dahA
h
h
soit dans le cas présent :
2tan.
tan..tan..exp.
K
QhKh
Q
KAx
(32)
Dans la pratique, le problème d’un fond imperméable incliné a été résolu par Dupuit et
Pavlovsky en apportant une légère modification aux hypothèses de Dupuit.
Supposons que le long d’une verticale, qui est une équipotentielle, le débit spécifique soit
constant et parallèle au fond.
Le débit spécifique :
ds
dKqs
intégré sur la verticale donne le débit par unité de largeur suivant :
ds
dshKQ
).(. (33)
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
19
Figure 7.
L’introduction dans cette expression des quantités suivantes:
sin*
).*()(
i
siash
permet d’écrire le débit sous la forme :
*.. i
ds
dhhKQ (34)
où i* est positif dans le cas d’un substratum descendant.
Pour la résolution de cette équation, il y a lieu de distinguer les deux cas où la pente i*
est positive (substratum descendant) et négative (substratum ascendant.)
- i* > 0
Le débit Q s’exprime par :
*.
**.i
ds
dh
i
h
iK
Q (35)
s = 0
a
h(s)
s
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
20
Introduisons les quantités sans dimension :
*
et *.
*H
h
iK
QH (36)
L’équation suivante est obtenue :
ds
dHi
ds
dhi
H
hi
.**.*.
**
Cette équation s’apprête mieux à une résolution par la méthode des différences finies quand
elle est écrite sous la forme :
1
.1
.*
*
dddds
H
i (37)
En effet, l’intégration entre deux points s1 et s2 donne :
1
1ln.
*
*
1
21212
ss
H
i (38)
- i* < 0
Par un calcul similaire, on retrouve le schéma suivant :
*
1
*
2*
2
*
1121
1ln.
**
**
ss
H
i (39)
Dans (39) :
****
***
***
Ki
QH
H
h
ii
(40)
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
21
VI.2 Massif avec stratification horizontale
La figure 8 schématise une nappe libre dans un massif constitué de deux couches à
perméabilités différentes mais homogènes et isotropes, reposant sur une assise imperméable
horizontale.
Figure 8.
Deux cas doivent être distingués par la position relative de l’interface selon la position
de a par rapport à hL ; seul le cas où l’interface est complètement sous eau sera traité ci-après.
Si hs est la profondeur correspondant au suintement, alors a < hL < hs.
Le calcul par l’approximation de Dupuit du débit par unité de longueur de massif (écoulement
plan dans (x, z)) donne selon (2) :
dx
dhahK
dx
dhaKQ ).(.. 21 (41)
En négligeant le suintement sur le parement aval, l’intégration sur L de cette équation donne :
dxdx
dhahKdx
dx
dhaKLQ
LL
.).(.....0
2
0
1 (42)
Après développement :
K2
K1
z
x
hs h
a hL
h0
L
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
22
a
K
Kahhhh
L
KQ LL ..2.2..
2 2
100
2 (43)
Un calcul exact du débit permet d’évaluer ce résultat ; le débit exact par unité de
largeur de massif sera comme au paragraphe II :
dzx
zxKdz
x
zxKQ
h
a
a
.),(
..),(
. 2
0
1
(44)
L’intégration de Leibnitz du second terme donne :
h
a
a
dx
dhhxdzzx
dx
dKdzzx
dx
dKQ ).,().,(.).,(. 2
0
1 (45)
soit :
ChK
dzzxKdzzxKxQ
h
a
a
22
2
0
1 .2
).,(.).,(.. (46)
En x = 0 0),( hzx pour 00 hz , ce qui donne la constante C :
2
..2
0
2210
hKKKhaC (47)
2
02
210
222
0
1 .2
...2
).,(.).,(.. hK
KKhahK
dzzxKdzzxKxQ
h
a
a
(49)
Au parement aval, x = L :
s
LL
hzhzzx
hzhzx
Lpour ),(
0pour ),(
(50)
2
02
210
2222
0
12
...2
....... hK
KKhahK
dzhKdzhKdzhKLQ s
h
h
L
h
a
L
a
L
s
L
L
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
23
Le calcul et le rangement des différents termes donne le résultat trouvé précédemment avec
l’approximation de Dupuit.
VI.3 Massif avec stratification verticale
La figure 9 schématise une nappe libre dans un massif constitué de deux couches à
perméabilités différentes mais homogènes et isotropes, reposant sur une assise imperméable
horizontale, l’interface est cette fois-ci verticale.
Figure 9.
L’approximation de Dupuit, en supposant les hypothèses vérifiées pour chaque
tranche, permet d’exprimer le débit par unité de largeur de massif en une abscisse x (Eq 3):
Pour x non nul, il vient successivement :
dhxhKdxQ ).(..
22
0..2
hhx
KQ (51)
Ecriture de (51) pour les deux tranches au niveau de l’interface :
K2 K1
hs
hL1
hL
h0
z
x
L
L1 L2
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
24
Pour x compris entre 0 et L1 :
1
2
0
2 ..2
K
xQhh et en x = L1 :
1
12
0
2
1
2
K
QLhhL (52)
où hL1 est inconnu à priori.
Pour x compris entre L1 et L :
2
12
1
2 2
K
LxQhh L
et en x = L :
2
12
1
2 2
K
LLQhh LL
(53)
où 2
222
1
2
K
QLhh LL
L’élimination de hL1 entre (52) et (53) fournit le débit recherché sous la forme :
2
2
1
1
22
0
.2K
L
K
L
hhQ L (54)
Pour calculer h(x) sous l’approximation de Dupuit, cela suppose que l’on néglige le
suintement, (ce sera une forme approchée de la surface libre qui ne sera valable qu’en cas de
quasi horizontalité de l’écoulement.)
LxLxL
K
L
K
LK
hhhh
Lxx
K
L
K
LK
hhhh
L
L
L
1
2
2
1
12
22
022
1
2
2
1
11
22
02
0
2
pour ) .(
0pour .
(55)
Le calcul du débit exact se fera d’une manière similaire à celle du § II, par
l’intégration du débit spécifique (Darcy) sur la verticale.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
25
Pour la première zone K1 :
)(
0
2
1 ).,(2
xh
dzzxh
xKQ (56-1)
Cdzzxh
K
xQxh
)(
0
2
1
).,(2
. (57)
En x = 0 : 0)0,( hx 2
2
0hC (58)
h
dzzxhh
K
xQLx
0
22
0
1
1 ).,(22
. ; 0 (59)
Pour la deuxième zone K2 :
)(
0
2
2 ).,(2
.
xh
dzzxh
xKQ (56-2)
Cdzzxh
K
xQxh
)(
0
2
2
).,(2
. (60)
En x = L :
s
LL
hzhzzx
hzhzx
Lpour ),(
0pour ),(
(61)
Ch
Cdzzdzhh
K
LQ L
h
h
h
Ls
s
L
L
2..
2
.2
0
2
2
(62)
2
.2
2
Lh
K
LQC (63)
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
26
2
.).,(
2
. ;
2
20
2
2
1L
hh
K
LQdzzx
h
K
xQLxL (64)
L’écriture de (59) et (64) pour la section commune x = L1 permet le calcul du débit exact
recherché.
2
.).,(
2
.
).,(22
.
2
20
2
1
2
1
0
2
1
2
0
1
1
1
1
L
h
L
h
L
h
K
LQdzzx
h
K
LQ
dzzxhh
K
LQ
L
L
(65)
On retrouve alors le débit identique à celui calculé en admettant l’approximation de Dupuit :
2
2
1
1
22
0
.2K
L
K
L
hhQ L (66)
Pour le cas général où le massif est constitué de n tranches verticales de conductivités
hydrauliques Ki, le débit Q par unité de largeur de massif est :
n
i i
i
L
K
L
hhQ
1
22
0
.2
(67)
VII. QUELQUES APPLICATIONS POUR LES NAPPES A FILETS
CONVERGENTS
VII.1 Méthode de Thiem pour la mesure de K
La figure 10 schématise une nappe dans laquelle un puits est foré jusqu’au fond
imperméable et deux puits piézométriques pour suivre l’évolution de la surface libre placés
respectivement en x1 et x2 de l’axe du puits principal.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
27
Figure 10.
A l’équilibre, le débit Q puisé du puits peut s’exprimer par :
dx
dyKyxQ .....2 (68)
tan.....2 KyxQ (69)
où tan est la pente de la surface libre dans le plan méridien. Cette pente peut être déterminée
en relevant les cotes de la surface libre dans les deux piézométres témoins.
Selon la figure 10 :
12
21tanxx
zz
(70)
Considérons deux régimes permanents de débits respectifs '
11 et QQ ; à la distance x1 de l’axe
nous aurons les expressions suivantes :
1111
1111
tan.....2
tan.....2
yxKQ
yxKQ (71)
x2
x1
z1
y1
z2
y2
x
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
28
Le système (71) donne le rabattement relatif suivant :
'
1
'
1
1
1
1
'
11tantan
....2
1
xKyy (72)
(72) fournit l’expression de la conductivité hydraulique K :
'111
'
1
'
1
1
1
...2
1.
tantan yyx
QQK
(73)
Dans cette formule, les cotes '
11 et yy , sont difficilement mesurables sur le terrain ; leur
différence peut être remplacée par la différence entre les grandeurs directement mesurables :
1
'
1
'
11 zzyy (74)
Les quantités restantes sont d’après (70) :
12
'
2
'
1'
1
12
211 tanet tan
xx
zz
xx
zz
(75)
VII.2 Puits artésien
La figure 11 représente une nappe captive entre deux couches imperméables supposées
horizontales. La surface piézométrique correspondant à l’absence d’écoulement est située à
une distance h0 du fond imperméable.
Pour le captage de l’eau d’une telle nappe, on fore souvent des puits tubés dont les
parois latérales sont imperméables jusqu’à la couche imperméable supérieure emprisonnant la
nappe.
L’approximation de Dupuit est ici relative à la configuration de la surface
piézométrique qui sera supposée quasi horizontale ; les surfaces équipotentielles seront par
conséquent des cylindres coaxiaux au puits.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
29
Figure 11.
Le débit sera alors donné par :
dr
dzrKeQ .....2 (76)
Soit :
r
dr
eK
Qdz .
...2
Le débit :
w
w
r
R
hheKQ
ln
....2 0
(77)
VII.3 Puits absorbant
La figure 12 schématise le plan méridien d’une nappe libre dans le cas où il est
procédé à une recharge artificielle par un puits.
Si le puits reçoit un débit constant Q0, l’approximation de Dupuit reste valable pour une
surface libre proche de l’horizontale ; le débit sera :
z
hw e
h0
R rw
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
30
dr
dzKrQ ....2
L’intégration donne le débit sous la forme suivante :
w
w
r
r
zhKQ
ln
. 22
(78)
Figure 12.
On aura une intumescence de la nappe au lieu d’une dépression.
VII.4 Puits peu profond
Il s’agit d’une variété de puits dont le fond n’atteigne pas l’assise imperméable de la
nappe.
Des formules empiriques seront proposées ici pour le calcul du débit toujours en régime
permanent, formules qui dépendront de la nature de la paroi du puits. La figure 13 schématise
cette catégorie de puits.
- Type 1.
C’est un puits dont la paroi latérale est imperméable ; le puits reçoit donc de l’eau
uniquement par le fond supposé plan.
Forchheimer propose la formule suivante :
(K)
Q0 z
hw h0
r
w
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
31
wrK
Qhh
..4
'
00 (79)
Dans (79) :
0h est l’épaisseur de la nappe
'
wh est la cote de la surface de l’eau dans le puits par rapport au fond imperméable.
- Type 2.
C’est un puits dont le fond est imperméable, donc il reçoit l’eau uniquement par sa
paroi latérale.
Le même auteur propose la formule empirique suivante :
4
1
'
''
22
0
2'2
0
.2.
th
h
t
h
hh
hh
w
ww
w
w (80)
Dans (80) :
t est la profondeur de l’eau dans le puits (elle a été notée hw.)
hw est la cote par rapport au fond imperméable de la surface de l’eau dans un puits fictif
équivalent aboutissant jusqu’au fond imperméable, et duquel on puiserait le même
débit
h0 est la puissance de la nappe
- Type 3.
La paroi latérale et le fond sont perméable pour ce type de puits.
Porchet avait proposé une augmentation virtuelle de la profondeur du puits d’une valeur telle
que l’augmentation de la surface filtrante permettrait d’imperméabiliser virtuellement le fond,
ce qui ramènerait à l’utilisation de la formule classique de Dupuit. L’augmentation t sera
alors telle que :
2....2 ww rtr
Soit :
2
wrt (81)
Ceci revient à remplacer dans (79) t par et t par '
0
'
000 hhhh .
Ce point de vue est contestable car, en raisonnant ainsi, on suppose que le réseau de
l’écoulement situé en dessous du fond du puits fictivement approfondi ne participe pas à
l’alimentation du puits.
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
32
Figure 13.
La figure 14 schématise la configuration des lignes de l’écoulement indiquant une
participation totale de la nappe à alimenter le puits.
Vibert détermine d’une manière plus réaliste le débit maximal fourni par le puits pour hw = 0.
Il partage l’écoulement en deux parties séparée par une surface horizontale contenant le fond
du puits. Par conséquent, le débit total sera composé de deux débits :
- Q1 provenant de la partie de la nappe située au-dessus du plan de séparation
- Q2 provenant du fond
w
w
r
R
hhhKQ
r
R
hKQ
ln
...
ln
..
'
00
'
0
2
2'
0
1
(82)
Pour t = 0 sur la figure 13, Vibert donne le débit maximum d’un puits de ce type selon (82) :
w
w
r
R
hhhKQ
ln
...
'
00
max
(83)
(K) t
2.rw
hw
2.rw
'
wh
h0
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
33
où R est le rayon d’action.
Figure 14.
VII.5 Injections appliquées à la mesure de K (méthode Lefranc)
Dans une nappe libre homogène et isotrope de conductivité K, un tube imperméable
est enfoncé verticalement jusqu’à une profondeur qui rejette au loin le niveau statique.
Une cavité sphérique de rayon R très petit comparé à la profondeur est creusée autour de
l’extrémité inferieur du tube.
La paroi du tube lui-même est imperméable mais la cavité est totalement perméable; ceci pour
pouvoir injecter un liquide dans la nappe moyennant le tube et sous certaines conditions qui
appraîteront par la suite.
Ceci est représenté sur la figure 15.
On injecte un débit constant Q dans le tube et on attend à ce que le régime permanent
se rétablisse. On peut supposer avec une bonne approximation que les lignes de courant
partent radialement de la cavité sphérique, ce qui permet de conclure sur la forme des surfaces
d’égale charge qui seront dans ce cas des sphères concentriques à la cavité.
Plaçons-nous sur une sphère de rayon r et exprimons le débit spécifique, qui se réduit à
sa composante radiale, en fonction du débit injecté Q.
2..4 r
(84)
Entre r et r + dr, la charge hydraulique diminue de dh ; le gradient hydraulique est :
dr
dhJ (85)
'
wh
'
0h
(K)
h0
2.rw
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
34
La loi de Darcy jointe à (84) et (85) permet d’écrire successivement :
dr
dhKq .
dhr
dr
K
Q
2.
..4 hH
rRK
Q
11.
..4
Des relations précédentes on tire:
dH
dh
Rd
rd
dHR
dK
Q
dhr
dK
Q
1
1
1
...4
1.
..4
(86)
Après manipulation de (86) on arrive à la relation:
teC
r
h (87)
La relation (87) montre une variation hyperbolique de h en fonction de r. Si r est
suffisamment grand, on peut négliger 1/r et la conductivité hydraulique du terrain sera donnée
par:
HR
QK
...4 (88)
On vient d’exposer le principe de la méthode Lefranc pour la mesure in-situ de la conductivité
d’un terrain
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com
35
Figure 15.
Niv. Stat.
dr r
2R
dh h
H
Q
Source: www.almohandiss.com
Source: www.almohandiss.com