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8/18/2019 CALCUL TENSORIEL
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8. Coordonnées curvilignes
8.1. Repère naturel en coordonnées sphériques
8.2. Repère naturel en coordonnées polaires
8.3. Repère naturel en coordonnées cylindriques
9. Symboles de Christoffel
10. Théorème de Ricci
10.1. Identité de Ricci
11. Tenseur de Riemann-Christoffel
11.1. Première identité de Bianchi
12. Tenseur de Ricci
13. Tenseur d'Einstein
Le calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapteparfaitement à l'étude des propriétés mécaniques et physiques de la matière dans l'espace
euclidien à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la physique, ilapparaît des grandeurs expérimentales qui ne peuvent plus être facilement représentées
par de simples vecteurs-colonnes d'espaces vectoriels euclidiens. C'est le cas par exemple
en mécanique des milieux continus, fluides ou solides, en électromagnétisme, relativité
générale, etc.
Ainsi, dès la fin du 19ème siècle, l'analyse des forces qui s'exercent à l'intérieur d'un milieu
continu à conduit à mettre en évidence des grandeurs physique caractérisées par neuf
nombres représentant les forces de pression ou de tension internes ( cf. chapitre de
Mécanique Des Milieux Continus ). La représentation de ces grandeurs nécessita
l'introduction d'un nouvel être mathématique qui fut appelé "tenseur", par référence à sonorigine physique. Par la suite, à partir de 1900, ce furent R. Ricci et T. Lévi-Civita qui
développèrent le calcul tensoriel puis l'étude des tenseurs permit un approfondissement de
la théorie des espaces vectoriels et contribua au développement de la géométrie
différentielle (voir chapitre du même nom).
Le calcul tensoriel, appelé aussi parfois " géométrie différentielle absolue " a également pour
avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et leurs formes sont ainsi
invariantes (énorme allégement des calculs). Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel
référentiel il convient de travailler et cela, est très intéressant en relativité générale.
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Nous conseillons par ailleurs vivement au lecteur de bien maîtriser les bases du calcul
vectoriel et de l'algèbre linéaire comme elles ont été présentées auparavant. Au besoin,
nous avons choisi lors de la rédaction de ce chapitre de revenir sur certains points vus en
calcul vectoriel (composantes covariantes, contravariantes,...).
Par ailleurs, si le lecteur a déjà parcouru l'étude des contraintes dans les solides ( cf.
chapitre de Mécanique Des Milieux Continus ) ou du tenseur de Faraday ( cf. chapitre
d'Electrodynamique ) ou du tenseur d'énergie-impulsion ( cf. chapitre de Relativité ) ceci
constituera un avantage pratique certain avant de parcourir ce qui va suivre. Par ailleurs, la
lecture des objets susmentionés a été faite de telle manière que la notion de tenseur y soit
introduite intuitivement.
Nous ne ferons que très peu d'exemples pratiques dans cette section. Effectivement les
exemples concrets, vous l'aurez compris, viendront lorsque nous étudierons la mécanique
des milieux continus, la relativité générale, la physique quantique des champs, etc...
Un conseil peut-être : pensez matriciel, écrivez tensoriel ! (vous comprendrez mieux ce
petit adage une fois après avoir parcouru tout ce chapitre).
TENSEURDéfinition (simpliste) Un " tenseur " est un objet mathématique généralisant les notions de
vecteur et de matrice. Ils ont été introduits, en physique, pour représenter l'état de
contrainte et de déformation d'un volume soumis à des forces, d'où leur nom (tensions).La définition rigoureuse nécessite (je pense personnellement) d'avoir d'abord lu le présent
chapitre dans son entier. Mais sachez qu'au fait un tenseur est grosse modo comme un
déterminant... ( cf. chapitre d'Algèbre Linaire ). Eh oui! C'est simplement une application
multilinéaire sur un espace de dimension donnée (correspondant au nombre de colonnes
de la matrice/tenseurs) qui donne finalement un scalaire (d'un corps donné).
Par exemple, nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus
que les forces normales dans un fluide étaient données par la relation :
(14.1)
soit sous forme condensée :
(14.2)
Nous faisons ainsi apparaître une grandeur mathématique ayant 9 composantes, alors
qu'un vecteur dans le même espace en possède 3.
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Cette notion est aussi beaucoup utilisée dans le chapitre de Relativité Générale où nous
avons démontré que le tenseur d'énergie-impulsion dans un cas particulièrement simple
est donné par :
(14.3)
et satisfait à la relation non moins importante de conservation :
(14.4)
Ou toujours dans le chapitre de Relativité Générale nous avons démontré que le tenseur de
la métrique de Schwarzschild est :
(14.5)
et donne donc l'équation de la métrique ( cf. chapitre de Calcul Différentiel ) :
(14.6)
Signalons également dans le chapitre de Relativité Restreinte que nous avons démontré que
le tenseur de transformation de Lorentz est donnée par :
(14.7)
qui sous forme condensée donne la transformation de composantes suivantes :
(14.8)
En ce qui concerne la transformation du champ électromagnétique nous avons également
démontré que le tenseur de Faraday est donné par :
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(14.9)
et permet donc de passer d'un référentiel à un autre à l'aide de la relation :
(14.10)
Mais ce sont des tenseurs très simples qui peuvent être représentés sous formes de
matrices. Il faut également savoir que ce n'est pas parce qu'une lecture d'une variable avec
des indices semble indiquer que nous avons à faire à un tenseur que cela en est forcément
un. Par exemple, la relation fameuse (très utilisée dans le chapitre de Relativité Générale) :
(14.11)
pourrait faire croire que le premier membre tout à gauche est un tenseur mais au fait il
n'est est rien... ce n'est qu'un symbole... d'où son nom : symbole de Christoffel (et non pas
: tenseur de Christoffel).
L'intérêt des tenseurs en physique est que leurs caractéristiques sont indépendantes des
coordonnées choisies. Ainsi, une relation entre tenseur dans une base sera vraie quelle que
soit la base utilisée par la suite. C'est une caractéristique fondamentale pour la relativité
générale!