Analyse numérique
EPF - 3A
V. Nolot
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Sommaire
1 Motivation
2 Les problèmes liés à l’approximation
3 Résolution de systèmes linéaires
4 Equations différentielles
5 Equations aux dérivées partielles
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Motivation
Quelles équations savez-vous résoudre ?
Les équations polynomiales (degré 1, 2, 3 ?, 4 ?...).
Quelques équations avec les fonctions usuelles (exp, ln, xα ...).
Exemple : Résoudre
e−x2+ x = 0.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Motivation
Quelles équations savez-vous résoudre ?
Les équations polynomiales (degré 1, 2, 3 ?, 4 ?...).
Quelques équations avec les fonctions usuelles (exp, ln, xα ...).
Exemple : Résoudre
e−x2+ x = 0.
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Motivation
Quelles équations savez-vous résoudre ?
Les équations polynomiales (degré 1, 2, 3 ?, 4 ?...).
Quelques équations avec les fonctions usuelles (exp, ln, xα ...).
Exemple : Résoudre
e−x2+ x = 0.
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Motivation
Quelles équations savez-vous résoudre ?
Les équations polynomiales (degré 1, 2, 3 ?, 4 ?...).
Quelques équations avec les fonctions usuelles (exp, ln, xα ...).
Exemple : Résoudre
e−x2+ x = 0.
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Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . .∫ b
af (t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive de f (théorème duCalculus)
2
. . .sin(x) ?
Réponse : oui si x est un angle usuel (ou proche)
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Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . .∫ b
af (t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive de f (théorème duCalculus)
2
. . .sin(x) ?
Réponse : oui si x est un angle usuel (ou proche)
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Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . .∫ b
af (t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive de f (théorème duCalculus)
2
. . .sin(x) ?
Réponse : oui si x est un angle usuel (ou proche)
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Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . .∫ b
af (t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive de f (théorème duCalculus)
2
. . .sin(x) ?
Réponse : oui si x est un angle usuel (ou proche)
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Motivation
Savez-vous calculer ...
1
. . .∫ b
af (t)dt ?
Réponse : oui si on connaît une primitive de f (théorème duCalculus)
2
. . .sin(x) ?
Réponse : oui si x est un angle usuel (ou proche)
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Les problèmes liés à l’approximation
1 Motivation
2 Les problèmes liés à l’approximationQuelques arrondisProblèmes d’erreurProblème de coûtConclusion
3 Résolution de systèmes linéaires
4 Equations différentielles
5 Equations aux dérivées partielles
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de e
Grâce à la formule de Taylor :
e = 1 +11!
+12!
+13!· · ·
+ R3 ≈ 2,666 + 0,052
où
R3 =∫ 1
0
et
3!(1− t)3 dt
est le reste de Taylor intégral de la fonction exp en 0 à l’ordre 3 pourx = 1.
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Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de e
Grâce à la formule de Taylor :
e = 1 +11!
+12!
+13!
· · ·
+ R3
≈ 2,666 + 0,052
où
R3 =∫ 1
0
et
3!(1− t)3 dt
est le reste de Taylor intégral de la fonction exp en 0 à l’ordre 3 pourx = 1.
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Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de e
Grâce à la formule de Taylor :
e = 1 +11!
+12!
+13!
· · ·
+ R3 ≈ 2,666 + 0,052
où
R3 =∫ 1
0
et
3!(1− t)3 dt
est le reste de Taylor intégral de la fonction exp en 0 à l’ordre 3 pourx = 1.
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Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de π
limn→+∞
24n+1(n!)4
(2n)!(2n + 1)!= π.
Donc si n est assez grand :
24n+1(n!)4
(2n)!(2n + 1)!≈ π
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Les problèmes liés à l’approximation Quelques arrondis
Valeur approchée de π
limn→+∞
24n+1(n!)4
(2n)!(2n + 1)!= π.
Donc si n est assez grand :
24n+1(n!)4
(2n)!(2n + 1)!≈ π
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Les problèmes liés à l’approximation Problèmes d’erreur
Deux types d’erreur
Erreur d’approximation
Erreur de discrétisation
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Les problèmes liés à l’approximation Problèmes d’erreur
Deux types d’erreur
Erreur d’approximation
Erreur de discrétisation
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Les problèmes liés à l’approximation Problème de coût
Coûts
Temps de calcul (puissance des ordinateurs limitée)
Stockage
Facilité de la mise en oeuvre
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Les problèmes liés à l’approximation Problème de coût
Coûts
Temps de calcul (puissance des ordinateurs limitée)
Stockage
Facilité de la mise en oeuvre
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Les problèmes liés à l’approximation Problème de coût
Coûts
Temps de calcul (puissance des ordinateurs limitée)
Stockage
Facilité de la mise en oeuvre
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Les problèmes liés à l’approximation Conclusion
Conclusion
L’ingénieur doit
savoir utiliser les bons outils numériques pour une situationdonnée,
évaluer l’erreur commise,
être vigilant aux erreurs d’arrondi de l’ordinateur.
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Les problèmes liés à l’approximation Conclusion
Conclusion
L’ingénieur doit
savoir utiliser les bons outils numériques pour une situationdonnée,
évaluer l’erreur commise,
être vigilant aux erreurs d’arrondi de l’ordinateur.
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Les problèmes liés à l’approximation Conclusion
Conclusion
L’ingénieur doit
savoir utiliser les bons outils numériques pour une situationdonnée,
évaluer l’erreur commise,
être vigilant aux erreurs d’arrondi de l’ordinateur.
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Résolution de systèmes linéaires
1 Motivation
2 Les problèmes liés à l’approximation
3 Résolution de systèmes linéairesIntroductionMéthodes directesMéthodes itératives
4 Equations différentielles
5 Equations aux dérivées partielles
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Résolution de systèmes linéaires Introduction
Système linéaire
a11 a12 . . . a1n
... a22...
.... . .
...an1 · · · · · · ann
x1
x2...
xn
=
b1
b2...
bn
ou
AX = b.
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Résolution de systèmes linéaires Introduction
Définition
DéfinitionUne matrice est dite non singulière si son déterminant est non nul (etpas très proche de 0).
On s’assure que la matrice A du système est non singulière. Pourquoi ?
Attention : on ne résout jamais directement X = A−1b.
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Résolution de systèmes linéaires Introduction
Définition
DéfinitionUne matrice est dite non singulière si son déterminant est non nul (etpas très proche de 0).
On s’assure que la matrice A du système est non singulière. Pourquoi ?
Attention : on ne résout jamais directement X = A−1b.
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Résolution de systèmes linéaires Introduction
Définition
DéfinitionUne matrice est dite non singulière si son déterminant est non nul (etpas très proche de 0).
On s’assure que la matrice A du système est non singulière. Pourquoi ?
Attention : on ne résout jamais directement X = A−1b.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Méthodes directes
DéfinitionUne méthode est dite directe si elle permet d’obtenir la solution d’unsystème en un nombre fini d’opérations élémentaires.
Exemple :
Lorsque A est triangulaire
Lorsque A est quelconque : avec le pivot de Gauss
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Méthodes directes
DéfinitionUne méthode est dite directe si elle permet d’obtenir la solution d’unsystème en un nombre fini d’opérations élémentaires.
Exemple :
Lorsque A est triangulaire
Lorsque A est quelconque : avec le pivot de Gauss
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Méthodes directes
DéfinitionUne méthode est dite directe si elle permet d’obtenir la solution d’unsystème en un nombre fini d’opérations élémentaires.
Exemple :
Lorsque A est triangulaire
Lorsque A est quelconque : avec le pivot de Gauss
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matrice A est triangulaire :
−1 2 30 2 −40 0 −2
x1
x2
x3
=
−104
x1
x2
x3
=
−14−4−2
n2 opérations
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matrice A est triangulaire :−1 2 30 2 −40 0 −2
x1
x2
x3
=
−104
x1
x2
x3
=
−14−4−2
n2 opérations
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matrice A est triangulaire :−1 2 30 2 −40 0 −2
x1
x2
x3
=
−104
x1
x2
x3
=
−14−4−2
n2 opérations
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matrice A est triangulaire :−1 2 30 2 −40 0 −2
x1
x2
x3
=
−104
x1
x2
x3
=
−14−4
−2
n2 opérations
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matrice A est triangulaire :−1 2 30 2 −40 0 −2
x1
x2
x3
=
−104
x1
x2
x3
=
−14
−4−2
n2 opérations
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matrice A est triangulaire :−1 2 30 2 −40 0 −2
x1
x2
x3
=
−104
x1
x2
x3
=
−14−4−2
n2 opérations
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Matrice triangulaire
Lorsque la matrice A est triangulaire :−1 2 30 2 −40 0 −2
x1
x2
x3
=
−104
x1
x2
x3
=
−14−4−2
n2 opérations
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Sans stratégie de pivot
Lorsque la matrice A est quelconque :
(S) :
−x1 +3x2 +4x3 = 12x1 +6x3 = 1−2x1 −3x2 +8x3 = −1
Le système (S) se réécrit matriciellement :−1 3 42 0 6−2 −3 8
.
x1
x2
x3
=
11−1
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Sans stratégie de pivot
Lorsque la matrice A est quelconque :
(S) :
−x1 +3x2 +4x3 = 12x1 +6x3 = 1−2x1 −3x2 +8x3 = −1
Le système (S) se réécrit matriciellement :−1 3 42 0 6−2 −3 8
.
x1
x2
x3
=
11−1
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
−1 3 4 12 0 6 1−2 −3 8 −1
∼−1 3 4 10 6 14 3 L′2← L2 + 2L1
0 −9 0 −3 L′3← L3−2L1
∼−1 3 4 10 3 7 3
2 L′2← 12L2
0 −9 0 −3
∼−1 3 4 10 3 7 3
20 0 21 3
2 L′3← L3 + 3L2
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
−1 3 4 12 0 6 1−2 −3 8 −1
∼−1 3 4 10 6 14 3 L′2← L2 + 2L1
0 −9 0 −3 L′3← L3−2L1
∼−1 3 4 10 3 7 3
2 L′2← 12L2
0 −9 0 −3
∼−1 3 4 10 3 7 3
20 0 21 3
2 L′3← L3 + 3L2
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
−1 3 4 12 0 6 1−2 −3 8 −1
∼−1 3 4 10 6 14 3 L′2← L2 + 2L1
0 −9 0 −3 L′3← L3−2L1
∼−1 3 4 10 3 7 3
2 L′2← 12L2
0 −9 0 −3
∼−1 3 4 10 3 7 3
20 0 21 3
2 L′3← L3 + 3L2
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
−1 3 4 12 0 6 1−2 −3 8 −1
∼−1 3 4 10 6 14 3 L′2← L2 + 2L1
0 −9 0 −3 L′3← L3−2L1
∼−1 3 4 10 3 7 3
2 L′2← 12L2
0 −9 0 −3
∼−1 3 4 10 3 7 3
20 0 21 3
2 L′3← L3 + 3L2
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
(S) :
−x1 +3x2 +4x3 = 12x1 +6x3 = 1−2x1 −3x2 +8x3 = −1
est donc équivalent à
(S′) :
−x1 +3x2 +4x3 = 1
3x2 +7x3 = 32
21x3 = 32
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
On résout
−x1 + 3x2 + 2
7 = 13x2 = 3
2 −12
x3 = 114
⇔
x1 = 2
7x2 = 1
3x3 = 1
14
Sol(S) =
{(27,13,
114
)}.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
On résout
−x1 + 3x2 + 2
7 = 13x2 = 3
2 −12
x3 = 114
⇔
x1 = 2
7x2 = 1
3x3 = 1
14
Sol(S) =
{(27,13,
114
)}.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
On résout
−x1 + 3x2 + 2
7 = 13x2 = 3
2 −12
x3 = 114
⇔
x1 = 2
7x2 = 1
3x3 = 1
14
Sol(S) =
{(27,13,
114
)}.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot partiel
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue dans la 1ecolonne.
1 4 −1 11 −2 −3 14 −1 2 −10 1 0 −4
x1
x2
x3
x4
=
2420
· · ·4 −1 2 −10 17/4 −3/2 5/40 0 −70/17 30/170 0 0 −29/7
x1
x2
x3
x4
=
2
3/270/17
0
· · ·
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot partiel
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue dans la 1ecolonne.
1 4 −1 11 −2 −3 14 −1 2 −10 1 0 −4
x1
x2
x3
x4
=
2420
· · ·
4 −1 2 −10 17/4 −3/2 5/40 0 −70/17 30/170 0 0 −29/7
x1
x2
x3
x4
=
2
3/270/17
0
· · ·
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot partiel
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue dans la 1ecolonne.
1 4 −1 11 −2 −3 14 −1 2 −10 1 0 −4
x1
x2
x3
x4
=
2420
· · ·
4 −1 2 −10 17/4 −3/2 5/40 0 −70/17 30/170 0 0 −29/7
x1
x2
x3
x4
=
2
3/270/17
0
· · ·
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot partiel
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue dans la 1ecolonne.
1 4 −1 11 −2 −3 14 −1 2 −10 1 0 −4
x1
x2
x3
x4
=
2420
· · ·
4 −1 2 −10 17/4 −3/2 5/40 0 −70/17 30/170 0 0 −29/7
x1
x2
x3
x4
=
2
3/270/17
0
· · ·
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot total
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue parmi tous lescoefficients du système.
1 4 −1 1−3 −2 −3 14 −1 −5 −1−1 0 3 −4
x1
x2
x3
x4
=
2420
Remarque : Cela nécessite des interversions de lignes mais aussi decolonnes.
⇒ la solution est le vecteur obtenu à permutation près.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot total
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue parmi tous lescoefficients du système.
1 4 −1 1−3 −2 −3 14 −1 −5 −1−1 0 3 −4
x1
x2
x3
x4
=
2420
Remarque : Cela nécessite des interversions de lignes mais aussi decolonnes.
⇒ la solution est le vecteur obtenu à permutation près.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes directes
Stratégie du pivot total
On choisit le coefficient le plus élevé en valeur absolue parmi tous lescoefficients du système.
1 4 −1 1−3 −2 −3 14 −1 −5 −1−1 0 3 −4
x1
x2
x3
x4
=
2420
Remarque : Cela nécessite des interversions de lignes mais aussi decolonnes.
⇒ la solution est le vecteur obtenu à permutation près.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthodes itératives
DéfinitionUne méthode est dite itérative si elle permet de construire une suite devecteurs (dont le point de départ est fixé) qui converge vers la solutiondu système.
La convergence de (X (k))k doit être indépendante du vecteur initial X 0.
Exemple :
Méthode de Jacobi
Méthode de Gauss-Seidel
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthodes itératives
DéfinitionUne méthode est dite itérative si elle permet de construire une suite devecteurs (dont le point de départ est fixé) qui converge vers la solutiondu système.
La convergence de (X (k))k doit être indépendante du vecteur initial X 0.
Exemple :
Méthode de Jacobi
Méthode de Gauss-Seidel
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthodes itératives
DéfinitionUne méthode est dite itérative si elle permet de construire une suite devecteurs (dont le point de départ est fixé) qui converge vers la solutiondu système.
La convergence de (X (k))k doit être indépendante du vecteur initial X 0.
Exemple :
Méthode de Jacobi
Méthode de Gauss-Seidel
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
ConditionnementDéfinitionLe conditionnement d’une matrice (inversible) est le nombre suivant :
cond(A) = |||A|||× |||A−1|||
où ||| · ||| est une norme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :On a : cond(A)≥ 1.Si A est symétrique alors |||A|||2 = ρ(A) (rayon spectral) et si Aest inversible :
cond2(A) = ρ(A)ρ(A−1) =max |λi(A)|min |λi(A)|
.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
ConditionnementDéfinitionLe conditionnement d’une matrice (inversible) est le nombre suivant :
cond(A) = |||A|||× |||A−1|||
où ||| · ||| est une norme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :On a : cond(A)≥ 1.
Si A est symétrique alors |||A|||2 = ρ(A) (rayon spectral) et si Aest inversible :
cond2(A) = ρ(A)ρ(A−1) =max |λi(A)|min |λi(A)|
.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
ConditionnementDéfinitionLe conditionnement d’une matrice (inversible) est le nombre suivant :
cond(A) = |||A|||× |||A−1|||
où ||| · ||| est une norme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :On a : cond(A)≥ 1.Si A est symétrique alors |||A|||2 = ρ(A) (rayon spectral)
et si Aest inversible :
cond2(A) = ρ(A)ρ(A−1) =max |λi(A)|min |λi(A)|
.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
ConditionnementDéfinitionLe conditionnement d’une matrice (inversible) est le nombre suivant :
cond(A) = |||A|||× |||A−1|||
où ||| · ||| est une norme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :On a : cond(A)≥ 1.Si A est symétrique alors |||A|||2 = ρ(A) (rayon spectral) et si Aest inversible :
cond2(A) = ρ(A)ρ(A−1)
=max |λi(A)|min |λi(A)|
.
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ConditionnementDéfinitionLe conditionnement d’une matrice (inversible) est le nombre suivant :
cond(A) = |||A|||× |||A−1|||
où ||| · ||| est une norme matricielle sous-multiplicitative.
Remarque :On a : cond(A)≥ 1.Si A est symétrique alors |||A|||2 = ρ(A) (rayon spectral) et si Aest inversible :
cond2(A) = ρ(A)ρ(A−1) =max |λi(A)|min |λi(A)|
.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Théorème
Soient x et x + δx solutions de AX = b et A(x + δx) = b + δb. On a :
‖δx‖‖x‖
≤ cond(A)‖δb‖‖b‖
.
Le conditionnement donne une information sur l’erreur relative de lasolution : plus le conditionnement est proche de 1, plus les erreursrelatives sur la solution seront limitées (cf poly Thm1 et Thm2).
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Conditionnement
Théorème
Soient x et x + δx solutions de AX = b et A(x + δx) = b + δb. On a :
‖δx‖‖x‖
≤ cond(A)‖δb‖‖b‖
.
Le conditionnement donne une information sur l’erreur relative de lasolution : plus le conditionnement est proche de 1, plus les erreursrelatives sur la solution seront limitées (cf poly Thm1 et Thm2).
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construire X (k) telle que
limk→+∞
X (k) = X
où X est la solution du système AX = b.
Pour nous,X (k) = BX (k−1) +
C(I−B)A−1b
Erreur : εk = X (k)−X = B(X (k−1)−X) = · · ·= Bk (X 0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matrice B.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construire X (k) telle que
limk→+∞
X (k) = X
où X est la solution du système AX = b.
Pour nous,X (k) = BX (k−1) + C
(I−B)A−1b
Erreur : εk = X (k)−X = B(X (k−1)−X) = · · ·= Bk (X 0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matrice B.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construire X (k) telle que
limk→+∞
X (k) = X
où X est la solution du système AX = b.
Pour nous,X (k) = BX (k−1) +
C
(I−B)A−1b
Erreur : εk = X (k)−X = B(X (k−1)−X) = · · ·= Bk (X 0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matrice B.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construire X (k) telle que
limk→+∞
X (k) = X
où X est la solution du système AX = b.
Pour nous,X (k) = BX (k−1) +
C
(I−B)A−1b
Erreur : εk = X (k)−X = B(X (k−1)−X)
= · · ·= Bk (X 0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matrice B.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construire X (k) telle que
limk→+∞
X (k) = X
où X est la solution du système AX = b.
Pour nous,X (k) = BX (k−1) +
C
(I−B)A−1b
Erreur : εk = X (k)−X = B(X (k−1)−X) = · · ·= Bk (X 0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matrice B.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Présentation de la méthode itérative
On cherche à construire X (k) telle que
limk→+∞
X (k) = X
où X est la solution du système AX = b.
Pour nous,X (k) = BX (k−1) +
C
(I−B)A−1b
Erreur : εk = X (k)−X = B(X (k−1)−X) = · · ·= Bk (X 0−X)
La difficulté est de bien choisir/trouver la matrice B.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Résultats de convergence
Théorème
Soit ρ(B) = max |λi(B)| le rayon spectral de B. La méthode itérativeconverge si et seulement si ρ(B) < 1.
Théorème
Si A est à diagonale dominante (ie |aii | ≥∑nj 6=i |aij | ∀i = 1, . . . ,n) alors la
méthode itérative converge.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Résultats de convergence
Théorème
Soit ρ(B) = max |λi(B)| le rayon spectral de B. La méthode itérativeconverge si et seulement si ρ(B) < 1.
Théorème
Si A est à diagonale dominante (ie |aii | ≥∑nj 6=i |aij | ∀i = 1, . . . ,n) alors la
méthode itérative converge.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
4x1 −x2 +x3 +x4 = 2−2x1 −4x2 +x3 +x4 = 5−x1 +2x2 +4x3 −x4 = 2x1 −4x4 = 0
La matrice est à diagonale dominante.x1 = 1
4 (2− (−x2 + x3 + x4))x2 = −1
4 (5− (−2x1 + x3 + x4))x3 = 1
4 (2− (−x1 + 2x2− x4))x4 = −1
4 (0− (x1))
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
4x1 −x2 +x3 +x4 = 2−2x1 −4x2 +x3 +x4 = 5−x1 +2x2 +4x3 −x4 = 2x1 −4x4 = 0
La matrice est à diagonale dominante.
x1 = 1
4 (2− (−x2 + x3 + x4))x2 = −1
4 (5− (−2x1 + x3 + x4))x3 = 1
4 (2− (−x1 + 2x2− x4))x4 = −1
4 (0− (x1))
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
4x1 −x2 +x3 +x4 = 2−2x1 −4x2 +x3 +x4 = 5−x1 +2x2 +4x3 −x4 = 2x1 −4x4 = 0
La matrice est à diagonale dominante.x1 = 1
4 (2− (−x2 + x3 + x4))x2 = −1
4 (5− (−2x1 + x3 + x4))x3 = 1
4 (2− (−x1 + 2x2− x4))x4 = −1
4 (0− (x1))
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
x1 = 1
4 (2− (−x2 + x3 + x4))x2 = −1
4 (5− (−2x1 + x3 + x4))x3 = 1
4 (2− (−x1 + 2x2− x4))x4 = −1
4 (0− (x1))
se réécrit :x1
x2
x3
x4
=
0 1
4 −14 −1
4−1
2 0 14
14
14 −1
2 0 14
14 0 0 0
x1
x2
x3
x4
+
12−5
4120
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
x1 = 1
4 (2− (−x2 + x3 + x4))x2 = −1
4 (5− (−2x1 + x3 + x4))x3 = 1
4 (2− (−x1 + 2x2− x4))x4 = −1
4 (0− (x1))
se réécrit :x1
x2
x3
x4
=
0 1
4 −14 −1
4−1
2 0 14
14
14 −1
2 0 14
14 0 0 0
x1
x2
x3
x4
+
12−5
4120
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
Le système nous invite à poser :x(k)
1
x(k)2
x(k)3
x(k)4
=
0 1
4 −14 −1
4−1
2 0 14
14
14 −1
2 0 14
14 0 0 0
x(k−1)1
x(k−1)2
x(k−1)3
x(k−1)4
+
12−5
4120
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi - algorithme
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑nj 6=i ai jx
(k−1)j
aii
end forend for
X (0) = (x(0)1 ,x(0)
2 , . . . ,x(0)n )t est un vecteur fixé.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi - algorithme
for k = 1 until convergence do
for i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑nj 6=i ai jx
(k−1)j
aii
end for
end for
X (0) = (x(0)1 ,x(0)
2 , . . . ,x(0)n )t est un vecteur fixé.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi - algorithme
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑nj 6=i ai jx
(k−1)j
aii
end forend for
X (0) = (x(0)1 ,x(0)
2 , . . . ,x(0)n )t est un vecteur fixé.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Jacobi - algorithme
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑nj 6=i ai jx
(k−1)j
aii
end forend for
X (0) = (x(0)1 ,x(0)
2 , . . . ,x(0)n )t est un vecteur fixé.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Jacobi : une façon plus brutale
On ré-écrit la matrice A du système AX = b :
A = D + L + U
où D est diagonale, L triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure.
Ainsi :BJ =−D−1(L + U)
etX (k) = BJX (k−1) + D−1b.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Jacobi : une façon plus brutale
On ré-écrit la matrice A du système AX = b :
A = D + L + U
où D est diagonale, L triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure.
Ainsi :BJ =−D−1(L + U)
etX (k) = BJX (k−1) + D−1b.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Jacobi : une façon plus brutale
On ré-écrit la matrice A du système AX = b :
A = D + L + U
où D est diagonale, L triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure.
Ainsi :BJ =−D−1(L + U)
etX (k) = BJX (k−1) + D−1b.
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Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Gauss-Seidel - algorithme
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑i−1j=1 ai jx
(k)j −∑
nj=i+1 ai jx
(k−1)j
aii
end forend for
X (0) = (x(0)1 ,x(0)
2 , . . . ,x(0)n )t est un vecteur fixé.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Gauss-Seidel - algorithme
for k = 1 until convergence do
for i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑i−1j=1 ai jx
(k)j −∑
nj=i+1 ai jx
(k−1)j
aii
end for
end for
X (0) = (x(0)1 ,x(0)
2 , . . . ,x(0)n )t est un vecteur fixé.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Gauss-Seidel - algorithme
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑i−1j=1 ai jx
(k)j −∑
nj=i+1 ai jx
(k−1)j
aii
end forend for
X (0) = (x(0)1 ,x(0)
2 , . . . ,x(0)n )t est un vecteur fixé.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de Gauss-Seidel - algorithme
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑i−1j=1 ai jx
(k)j −∑
nj=i+1 ai jx
(k−1)j
aii
end forend for
X (0) = (x(0)1 ,x(0)
2 , . . . ,x(0)n )t est un vecteur fixé.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Gauss-Seidel : une façon plus brutale
On ré-écrit la matrice A du système AX = b :
A = D + L + U
où D est diagonale, L triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure.
Ainsi :BG−S =−(D + L)−1U
etX (k) = BG−SX (k−1) + (D + L)−1b.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Gauss-Seidel : une façon plus brutale
On ré-écrit la matrice A du système AX = b :
A = D + L + U
où D est diagonale, L triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure.
Ainsi :BG−S =−(D + L)−1U
etX (k) = BG−SX (k−1) + (D + L)−1b.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Gauss-Seidel : une façon plus brutale
On ré-écrit la matrice A du système AX = b :
A = D + L + U
où D est diagonale, L triangulaire inférieure, U triangulaire supérieure.
Ainsi :BG−S =−(D + L)−1U
etX (k) = BG−SX (k−1) + (D + L)−1b.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de relaxation
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑i−1j=1 ai jx
(k)j −∑
nj=i+1 ai jx
(k−1)j
aii
xi(k) = x(k−1)i + w
(x(k)
i − x(k−1)i
)
end forend for
Avec w ∈]0,2[.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de relaxation
for k = 1 until convergence do
for i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑i−1j=1 ai jx
(k)j −∑
nj=i+1 ai jx
(k−1)j
aii
xi(k) = x(k−1)i + w
(x(k)
i − x(k−1)i
)end for
end for
Avec w ∈]0,2[.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de relaxation
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑i−1j=1 ai jx
(k)j −∑
nj=i+1 ai jx
(k−1)j
aii
xi(k) = x(k−1)i + w
(x(k)
i − x(k−1)i
)end for
end for
Avec w ∈]0,2[.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Résolution de systèmes linéaires Méthodes itératives
Méthode de relaxation
for k = 1 until convergence dofor i = 1 : n do
x(k)i =
bi −∑i−1j=1 ai jx
(k)j −∑
nj=i+1 ai jx
(k−1)j
aii
xi(k) = x(k−1)i + w
(x(k)
i − x(k−1)i
)end for
end for
Avec w ∈]0,2[.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles
1 Motivation
2 Les problèmes liés à l’approximation
3 Résolution de systèmes linéaires
4 Equations différentiellesDifférents types d’équationsSe ramener à l’ordre 1Solution approchée
5 Equations aux dérivées partielles
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Différents types d’équations
Equations différentielles
Equations différentielles linéaires :
an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·a1(x)y ′+ a0(x)y = g(x).
Equations différentielles non linéaires :
F(x ,y(x),y ′(x), . . . ,y (n)(x)) = 0.
La variable est la fonction y .
Les fonctions x 7−→ ai(x) peuvent être non linéaires.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Différents types d’équations
Equations différentielles
Equations différentielles linéaires :
an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·a1(x)y ′+ a0(x)y = g(x).
Equations différentielles non linéaires :
F(x ,y(x),y ′(x), . . . ,y (n)(x)) = 0.
La variable est la fonction y .
Les fonctions x 7−→ ai(x) peuvent être non linéaires.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Equations différentielles
Equations différentielles linéaires :
an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·a1(x)y ′+ a0(x)y = g(x).
Equations différentielles non linéaires :
F(x ,y(x),y ′(x), . . . ,y (n)(x)) = 0.
La variable est la fonction y .
Les fonctions x 7−→ ai(x) peuvent être non linéaires.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Equations différentielles
Equations différentielles linéaires :
an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·a1(x)y ′+ a0(x)y = g(x).
Equations différentielles non linéaires :
F(x ,y(x),y ′(x), . . . ,y (n)(x)) = 0.
La variable est la fonction y .
Les fonctions x 7−→ ai(x) peuvent être non linéaires.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Equations différentielles
Equations différentielles linéaires :
an(x)y (n) + an−1(x)y (n−1) + · · ·a1(x)y ′+ a0(x)y = g(x).
Equations différentielles non linéaires :
F(x ,y(x),y ′(x), . . . ,y (n)(x)) = 0.
La variable est la fonction y .
Les fonctions x 7−→ ai(x) peuvent être non linéaires.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Caractérisation d’une équation différentielle
Equation de Bessel :
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
Ordre : n = 2
Linéaire ou non linéaire
a(x)(y ′)α + b(x) lny + c(x)ey + d(x)cos(y) = 0.
Ordre : n = 1
Linéaire ou non linéaire
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Différents types d’équations
Caractérisation d’une équation différentielle
Equation de Bessel :
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
Ordre :
n = 2
Linéaire ou non linéaire
a(x)(y ′)α + b(x) lny + c(x)ey + d(x)cos(y) = 0.
Ordre : n = 1
Linéaire ou non linéaire
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Différents types d’équations
Caractérisation d’une équation différentielle
Equation de Bessel :
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
Ordre : n = 2
Linéaire ou non linéaire
a(x)(y ′)α + b(x) lny + c(x)ey + d(x)cos(y) = 0.
Ordre : n = 1
Linéaire ou non linéaire
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Différents types d’équations
Caractérisation d’une équation différentielle
Equation de Bessel :
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
Ordre : n = 2
Linéaire ou non linéaire
a(x)(y ′)α + b(x) lny + c(x)ey + d(x)cos(y) = 0.
Ordre : n = 1
Linéaire ou non linéaire
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Différents types d’équations
Caractérisation d’une équation différentielle
Equation de Bessel :
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
Ordre : n = 2
Linéaire ou non linéaire
a(x)(y ′)α + b(x) lny + c(x)ey + d(x)cos(y) = 0.
Ordre : n = 1
Linéaire ou non linéaire
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Equations différentielles Différents types d’équations
Caractérisation d’une équation différentielle
Equation de Bessel :
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
Ordre : n = 2
Linéaire ou non linéaire
a(x)(y ′)α + b(x) lny + c(x)ey + d(x)cos(y) = 0.
Ordre :
n = 1
Linéaire ou non linéaire
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Equations différentielles Différents types d’équations
Caractérisation d’une équation différentielle
Equation de Bessel :
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
Ordre : n = 2
Linéaire ou non linéaire
a(x)(y ′)α + b(x) lny + c(x)ey + d(x)cos(y) = 0.
Ordre : n = 1
Linéaire ou non linéaire
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Equations différentielles Différents types d’équations
Caractérisation d’une équation différentielle
Equation de Bessel :
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
Ordre : n = 2
Linéaire ou non linéaire
a(x)(y ′)α + b(x) lny + c(x)ey + d(x)cos(y) = 0.
Ordre : n = 1
Linéaire ou non linéaire
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Equations différentielles Différents types d’équations
Problème de Cauchy
Un problème de Cauchy est la donnée d’une équation différentielleavec des conditions initiales.
Pour assurer existence et unicité de la solution, il faut :
1 des conditions initiales : y(x0) = y0 . . .
2 de la régularité pour F : type Lipschitz . . .F(x ,y ′(x),y ′′(x)) = 0y(x0) = y0
y ′(x0) = g0
y0 et g0 sont connus.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Problème de Cauchy
Un problème de Cauchy est la donnée d’une équation différentielleavec des conditions initiales.
Pour assurer existence et unicité de la solution, il faut :
1 des conditions initiales : y(x0) = y0 . . .
2 de la régularité pour F : type Lipschitz . . .F(x ,y ′(x),y ′′(x)) = 0y(x0) = y0
y ′(x0) = g0
y0 et g0 sont connus.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Problème de Cauchy
Un problème de Cauchy est la donnée d’une équation différentielleavec des conditions initiales.
Pour assurer existence et unicité de la solution, il faut :
1 des conditions initiales : y(x0) = y0 . . .
2 de la régularité pour F : type Lipschitz . . .F(x ,y ′(x),y ′′(x)) = 0y(x0) = y0
y ′(x0) = g0
y0 et g0 sont connus.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Problème de Cauchy
Un problème de Cauchy est la donnée d’une équation différentielleavec des conditions initiales.
Pour assurer existence et unicité de la solution, il faut :
1 des conditions initiales : y(x0) = y0 . . .
2 de la régularité pour F : type Lipschitz . . .
F(x ,y ′(x),y ′′(x)) = 0y(x0) = y0
y ′(x0) = g0
y0 et g0 sont connus.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Problème de Cauchy
Un problème de Cauchy est la donnée d’une équation différentielleavec des conditions initiales.
Pour assurer existence et unicité de la solution, il faut :
1 des conditions initiales : y(x0) = y0 . . .
2 de la régularité pour F : type Lipschitz . . .F(x ,y ′(x),y ′′(x)) = 0y(x0) = y0
y ′(x0) = g0
y0 et g0 sont connus.
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Equations différentielles Différents types d’équations
Problème de Cauchy
Un problème de Cauchy est la donnée d’une équation différentielleavec des conditions initiales.
Pour assurer existence et unicité de la solution, il faut :
1 des conditions initiales : y(x0) = y0 . . .
2 de la régularité pour F : type Lipschitz . . .F(x ,y ′(x),y ′′(x)) = 0y(x0) = y0
y ′(x0) = g0
y0 et g0 sont connus.
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Equations différentielles Se ramener à l’ordre 1
Se ramener à l’ordre 1
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
On pose z = y ′.
Ainsi z ′ = y ′′ et l’équation de Bessel se ramène à un système d’EDOd’ordre 1 :{
y ′ = z
= F1(x ,y(x),z(x))
z ′ = − 1x2
(xz + (x2−p2)y
)
= F2(x ,y(x),z(x))
Avec X(x) =
(y(x)z(x)
), cela se réécrit :
X ′(x) =
(F1(x ,y(x),z(x))F2(x ,y(x),z(x))
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Se ramener à l’ordre 1
Se ramener à l’ordre 1
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
On pose z = y ′.Ainsi z ′ = y ′′ et l’équation de Bessel se ramène à un système d’EDOd’ordre 1 :
{y ′ = z
= F1(x ,y(x),z(x))
z ′ = − 1x2
(xz + (x2−p2)y
)
= F2(x ,y(x),z(x))
Avec X(x) =
(y(x)z(x)
), cela se réécrit :
X ′(x) =
(F1(x ,y(x),z(x))F2(x ,y(x),z(x))
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Se ramener à l’ordre 1
Se ramener à l’ordre 1
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
On pose z = y ′.Ainsi z ′ = y ′′ et l’équation de Bessel se ramène à un système d’EDOd’ordre 1 :{
y ′ = z
= F1(x ,y(x),z(x))
z ′ = − 1x2
(xz + (x2−p2)y
)
= F2(x ,y(x),z(x))
Avec X(x) =
(y(x)z(x)
), cela se réécrit :
X ′(x) =
(F1(x ,y(x),z(x))F2(x ,y(x),z(x))
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Se ramener à l’ordre 1
Se ramener à l’ordre 1
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
On pose z = y ′.Ainsi z ′ = y ′′ et l’équation de Bessel se ramène à un système d’EDOd’ordre 1 :{
y ′ = z= F1(x ,y(x),z(x))z ′ = − 1
x2
(xz + (x2−p2)y
)= F2(x ,y(x),z(x))
Avec X(x) =
(y(x)z(x)
), cela se réécrit :
X ′(x) =
(F1(x ,y(x),z(x))F2(x ,y(x),z(x))
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Se ramener à l’ordre 1
Se ramener à l’ordre 1
x2y ′′+ xy ′+ (x2−p2)y = 0.
On pose z = y ′.Ainsi z ′ = y ′′ et l’équation de Bessel se ramène à un système d’EDOd’ordre 1 :{
y ′ = z= F1(x ,y(x),z(x))z ′ = − 1
x2
(xz + (x2−p2)y
)= F2(x ,y(x),z(x))
Avec X(x) =
(y(x)z(x)
), cela se réécrit :
X ′(x) =
(F1(x ,y(x),z(x))F2(x ,y(x),z(x))
)EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Notations
Sur [a,b],F(x ,y(x),y ′(x)) = 0.
Le pas : h = b−an (régulier)
Les abscisses : x0 = a, xi = x0 + ih (i = 0, . . . ,n) et xn = b
1 On connaît y0 = y(x0) (condition initiale)2 On calcule yi ≈ y(xi), à partir de yi−1
3 On enregistre l’erreur εi = yi − y(xi).
Attention : pour n fixé, on a une fonction approchée de y .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Notations
Sur [a,b],F(x ,y(x),y ′(x)) = 0.
Le pas : h = b−an (régulier)
Les abscisses : x0 = a, xi = x0 + ih (i = 0, . . . ,n) et xn = b
1 On connaît y0 = y(x0) (condition initiale)2 On calcule yi ≈ y(xi), à partir de yi−1
3 On enregistre l’erreur εi = yi − y(xi).
Attention : pour n fixé, on a une fonction approchée de y .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Notations
Sur [a,b],F(x ,y(x),y ′(x)) = 0.
Le pas : h = b−an (régulier)
Les abscisses : x0 = a, xi = x0 + ih (i = 0, . . . ,n) et xn = b
1 On connaît y0 = y(x0) (condition initiale)2 On calcule yi ≈ y(xi), à partir de yi−1
3 On enregistre l’erreur εi = yi − y(xi).
Attention : pour n fixé, on a une fonction approchée de y .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Notations
Sur [a,b],F(x ,y(x),y ′(x)) = 0.
Le pas : h = b−an (régulier)
Les abscisses : x0 = a, xi = x0 + ih (i = 0, . . . ,n) et xn = b
1 On connaît y0 = y(x0) (condition initiale)
2 On calcule yi ≈ y(xi), à partir de yi−1
3 On enregistre l’erreur εi = yi − y(xi).
Attention : pour n fixé, on a une fonction approchée de y .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Notations
Sur [a,b],F(x ,y(x),y ′(x)) = 0.
Le pas : h = b−an (régulier)
Les abscisses : x0 = a, xi = x0 + ih (i = 0, . . . ,n) et xn = b
1 On connaît y0 = y(x0) (condition initiale)2 On calcule yi ≈ y(xi), à partir de yi−1
3 On enregistre l’erreur εi = yi − y(xi).
Attention : pour n fixé, on a une fonction approchée de y .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Notations
Sur [a,b],F(x ,y(x),y ′(x)) = 0.
Le pas : h = b−an (régulier)
Les abscisses : x0 = a, xi = x0 + ih (i = 0, . . . ,n) et xn = b
1 On connaît y0 = y(x0) (condition initiale)2 On calcule yi ≈ y(xi), à partir de yi−1
3 On enregistre l’erreur εi = yi − y(xi).
Attention : pour n fixé, on a une fonction approchée de y .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Notations
Sur [a,b],F(x ,y(x),y ′(x)) = 0.
Le pas : h = b−an (régulier)
Les abscisses : x0 = a, xi = x0 + ih (i = 0, . . . ,n) et xn = b
1 On connaît y0 = y(x0) (condition initiale)2 On calcule yi ≈ y(xi), à partir de yi−1
3 On enregistre l’erreur εi = yi − y(xi).
Attention : pour n fixé, on a une fonction approchée de y .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode d’Euler
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(c)
= y(x0) + hf (c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre 1.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode d’Euler
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(c)
= y(x0) + hf (c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre 1.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode d’Euler
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(c) = y(x0) + hf (c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre 1.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode d’Euler
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(c) = y(x0) + hf (c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre 1.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode d’Euler
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(c) = y(x0) + hf (c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre 1.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode d’Euler
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(c) = y(x0) + hf (c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre 1.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Exemple
On considère le problème de Cauchy
y ′ = y
avec y(0) = 1.
On cherche à approcher la solution sur [0,1]. Pas :h = 1
n .On obtient le schéma suivant :
yi+1 = yi +1n
yi
=
(1 +
1n
)yi
= . . .
=
(1 +
1n
)n
×1
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Exemple
On considère le problème de Cauchy
y ′ = y
avec y(0) = 1. On cherche à approcher la solution sur [0,1]. Pas :h = 1
n .
On obtient le schéma suivant :
yi+1 = yi +1n
yi
=
(1 +
1n
)yi
= . . .
=
(1 +
1n
)n
×1
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Exemple
On considère le problème de Cauchy
y ′ = y
avec y(0) = 1. On cherche à approcher la solution sur [0,1]. Pas :h = 1
n .On obtient le schéma suivant :
yi+1 = yi +1n
yi
=
(1 +
1n
)yi
= . . .
=
(1 +
1n
)n
×1
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Exemple
On considère le problème de Cauchy
y ′ = y
avec y(0) = 1. On cherche à approcher la solution sur [0,1]. Pas :h = 1
n .On obtient le schéma suivant :
yi+1 = yi +1n
yi
=
(1 +
1n
)yi
= . . .
=
(1 +
1n
)n
×1
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Exemple
On considère le problème de Cauchy
y ′ = y
avec y(0) = 1. On cherche à approcher la solution sur [0,1]. Pas :h = 1
n .On obtient le schéma suivant :
yi+1 = yi +1n
yi
=
(1 +
1n
)yi
= . . .
=
(1 +
1n
)n
×1
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Plus généralement
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(x0) +h2
2!y ′′(x0) + · · ·+ hN
N!y (N)(c)
= y(x0) + hf (x0,y(x0)) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi) +h2
2!f ′(xi ,yi) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre N.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Plus généralement
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(x0) +h2
2!y ′′(x0) + · · ·+ hN
N!y (N)(c)
= y(x0) + hf (x0,y(x0)) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi) +h2
2!f ′(xi ,yi) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre N.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Plus généralement
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(x0) +h2
2!y ′′(x0) + · · ·+ hN
N!y (N)(c)
= y(x0) + hf (x0,y(x0)) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi) +h2
2!f ′(xi ,yi) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre N.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Plus généralement
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(x0) +h2
2!y ′′(x0) + · · ·+ hN
N!y (N)(c)
= y(x0) + hf (x0,y(x0)) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi) +h2
2!f ′(xi ,yi) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre N.
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Plus généralement
y ′ = f (x ,y)
Formule de Taylor appliquée à y (théorique) entre x0 et x0 + h = x1 :
y(x1) = y(x0) + hy ′(x0) +h2
2!y ′′(x0) + · · ·+ hN
N!y (N)(c)
= y(x0) + hf (x0,y(x0)) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(c,y(c))
pour un certain c ∈]x0,x1[.
On connaît y(x0) = y0, et par récurrence, on pose :
yi+1 = yi + hf (xi ,yi) +h2
2!f ′(xi ,yi) + · · ·+ hN
N!f (N−1)(xi ,yi)
pour i allant de 0 à n−1.
Algorithme d’ordre N.EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode de Runge-Kutta
yi+1 = yi + hφ(xi ,yi ,h)
où φ est une approximation de f (x ,y) sur l’intervalle [xi ,xi+1].
Ordre 2 : φ = ak1 + bk2
Ordre 3 : φ = ak1 + bk2 + ck3
Ordre 4 : φ = ak1 + bk2 + ck3 + dk4
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode de Runge-Kutta
yi+1 = yi + hφ(xi ,yi ,h)
où φ est une approximation de f (x ,y) sur l’intervalle [xi ,xi+1].
Ordre 2 : φ = ak1 + bk2
Ordre 3 : φ = ak1 + bk2 + ck3
Ordre 4 : φ = ak1 + bk2 + ck3 + dk4
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
Méthode de Runge-Kutta
yi+1 = yi + hφ(xi ,yi ,h)
où φ est une approximation de f (x ,y) sur l’intervalle [xi ,xi+1].
Ordre 2 : φ = ak1 + bk2
Ordre 3 : φ = ak1 + bk2 + ck3
Ordre 4 : φ = ak1 + bk2 + ck3 + dk4
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
RK 2
yi+1 = yi +h2
(f (xi ,yi) + f (xi + h,yi + hf (xi ,yi)))
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1
2n
(f (x0,y0) + f (x0 +
1n,y0 +
1n
f (x0,y0))
)= 1 +
12n
(0 +
1n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1
2n
(f (x1,y1) + f (x1 +
1n,y1 +
1n
f (x1,y1))
)= y1 +
12n
(1n
y1 +2n× (y1 +
1n× 1
ny1)
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
RK 2
yi+1 = yi +h2
(f (xi ,yi) + f (xi + h,yi + hf (xi ,yi)))
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].
On a f (x ,y) = xy et avec h = 1n :
y1 = y0 +1
2n
(f (x0,y0) + f (x0 +
1n,y0 +
1n
f (x0,y0))
)= 1 +
12n
(0 +
1n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1
2n
(f (x1,y1) + f (x1 +
1n,y1 +
1n
f (x1,y1))
)= y1 +
12n
(1n
y1 +2n× (y1 +
1n× 1
ny1)
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
RK 2
yi+1 = yi +h2
(f (xi ,yi) + f (xi + h,yi + hf (xi ,yi)))
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1
2n
(f (x0,y0) + f (x0 +
1n,y0 +
1n
f (x0,y0))
)= 1 +
12n
(0 +
1n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1
2n
(f (x1,y1) + f (x1 +
1n,y1 +
1n
f (x1,y1))
)= y1 +
12n
(1n
y1 +2n× (y1 +
1n× 1
ny1)
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
RK 2
yi+1 = yi +h2
(f (xi ,yi) + f (xi + h,yi + hf (xi ,yi)))
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1
2n
(f (x0,y0) + f (x0 +
1n,y0 +
1n
f (x0,y0))
)
= 1 +1
2n
(0 +
1n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1
2n
(f (x1,y1) + f (x1 +
1n,y1 +
1n
f (x1,y1))
)= y1 +
12n
(1n
y1 +2n× (y1 +
1n× 1
ny1)
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
RK 2
yi+1 = yi +h2
(f (xi ,yi) + f (xi + h,yi + hf (xi ,yi)))
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1
2n
(f (x0,y0) + f (x0 +
1n,y0 +
1n
f (x0,y0))
)= 1 +
12n
(0 +
1n×1
)
= 1 +1
2n2
y2 = y1 +1
2n
(f (x1,y1) + f (x1 +
1n,y1 +
1n
f (x1,y1))
)= y1 +
12n
(1n
y1 +2n× (y1 +
1n× 1
ny1)
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
RK 2
yi+1 = yi +h2
(f (xi ,yi) + f (xi + h,yi + hf (xi ,yi)))
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1
2n
(f (x0,y0) + f (x0 +
1n,y0 +
1n
f (x0,y0))
)= 1 +
12n
(0 +
1n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1
2n
(f (x1,y1) + f (x1 +
1n,y1 +
1n
f (x1,y1))
)= y1 +
12n
(1n
y1 +2n× (y1 +
1n× 1
ny1)
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
RK 2
yi+1 = yi +h2
(f (xi ,yi) + f (xi + h,yi + hf (xi ,yi)))
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1
2n
(f (x0,y0) + f (x0 +
1n,y0 +
1n
f (x0,y0))
)= 1 +
12n
(0 +
1n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1
2n
(f (x1,y1) + f (x1 +
1n,y1 +
1n
f (x1,y1))
)
= y1 +1
2n
(1n
y1 +2n× (y1 +
1n× 1
ny1)
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
RK 2
yi+1 = yi +h2
(f (xi ,yi) + f (xi + h,yi + hf (xi ,yi)))
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1
2n
(f (x0,y0) + f (x0 +
1n,y0 +
1n
f (x0,y0))
)= 1 +
12n
(0 +
1n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1
2n
(f (x1,y1) + f (x1 +
1n,y1 +
1n
f (x1,y1))
)= y1 +
12n
(1n
y1 +2n× (y1 +
1n× 1
ny1)
)EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
yi+1 = yi + hf
(xi +
h2,yi +
h2
f (xi ,yi)
)
Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1n
f
(x0 +
12n
,y0 +1
2nf (x0,y0)
)= 1 +
1n
(1
2n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1n
f
(x1 +
12n
,y1 +1
2nf (x1,y1))
)= y1 +
1n
(1n
+1
2n
)×(
y1 +1n2 × y1
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
yi+1 = yi + hf
(xi +
h2,yi +
h2
f (xi ,yi)
)Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].
On a f (x ,y) = xy et avec h = 1n :
y1 = y0 +1n
f
(x0 +
12n
,y0 +1
2nf (x0,y0)
)= 1 +
1n
(1
2n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1n
f
(x1 +
12n
,y1 +1
2nf (x1,y1))
)= y1 +
1n
(1n
+1
2n
)×(
y1 +1n2 × y1
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
yi+1 = yi + hf
(xi +
h2,yi +
h2
f (xi ,yi)
)Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1n
f
(x0 +
12n
,y0 +1
2nf (x0,y0)
)= 1 +
1n
(1
2n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1n
f
(x1 +
12n
,y1 +1
2nf (x1,y1))
)= y1 +
1n
(1n
+1
2n
)×(
y1 +1n2 × y1
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
yi+1 = yi + hf
(xi +
h2,yi +
h2
f (xi ,yi)
)Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1n
f
(x0 +
12n
,y0 +1
2nf (x0,y0)
)
= 1 +1n
(1
2n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1n
f
(x1 +
12n
,y1 +1
2nf (x1,y1))
)= y1 +
1n
(1n
+1
2n
)×(
y1 +1n2 × y1
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
yi+1 = yi + hf
(xi +
h2,yi +
h2
f (xi ,yi)
)Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1n
f
(x0 +
12n
,y0 +1
2nf (x0,y0)
)= 1 +
1n
(1
2n×1
)
= 1 +1
2n2
y2 = y1 +1n
f
(x1 +
12n
,y1 +1
2nf (x1,y1))
)= y1 +
1n
(1n
+1
2n
)×(
y1 +1n2 × y1
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
yi+1 = yi + hf
(xi +
h2,yi +
h2
f (xi ,yi)
)Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1n
f
(x0 +
12n
,y0 +1
2nf (x0,y0)
)= 1 +
1n
(1
2n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1n
f
(x1 +
12n
,y1 +1
2nf (x1,y1))
)= y1 +
1n
(1n
+1
2n
)×(
y1 +1n2 × y1
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
yi+1 = yi + hf
(xi +
h2,yi +
h2
f (xi ,yi)
)Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1n
f
(x0 +
12n
,y0 +1
2nf (x0,y0)
)= 1 +
1n
(1
2n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1n
f
(x1 +
12n
,y1 +1
2nf (x1,y1))
)
= y1 +1n
(1n
+1
2n
)×(
y1 +1n2 × y1
)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations différentielles Solution approchée
yi+1 = yi + hf
(xi +
h2,yi +
h2
f (xi ,yi)
)Exemple : y ′ = xy avec y(0) = 1 sur [0,1].On a f (x ,y) = xy et avec h = 1
n :
y1 = y0 +1n
f
(x0 +
12n
,y0 +1
2nf (x0,y0)
)= 1 +
1n
(1
2n×1
)= 1 +
12n2
y2 = y1 +1n
f
(x1 +
12n
,y1 +1
2nf (x1,y1))
)= y1 +
1n
(1n
+1
2n
)×(
y1 +1n2 × y1
)
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Equations aux dérivées partielles
1 Motivation
2 Les problèmes liés à l’approximation
3 Résolution de systèmes linéaires
4 Equations différentielles
5 Equations aux dérivées partiellesIntroductionDifférence finie
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Equations aux dérivées partielles Introduction
Notations
Soit u : R2 −→ R une fonction de deux variables u(x ,y).
Dérivées partielles :
∂u∂x
(x ,y) ou∂u∂1
(x ,y) ou ux
∂u∂y
(x ,y) ou∂u∂2
(x ,y) ou uy
Exemple :∂u∂x
+∂2u∂y2 = 0
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Equations aux dérivées partielles Introduction
Notations
Soit u : R2 −→ R une fonction de deux variables u(x ,y).
Dérivées partielles :
∂u∂x
(x ,y) ou∂u∂1
(x ,y) ou ux
∂u∂y
(x ,y) ou∂u∂2
(x ,y) ou uy
Exemple :∂u∂x
+∂2u∂y2 = 0
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Equations aux dérivées partielles Introduction
Notations
Soit u : R2 −→ R une fonction de deux variables u(x ,y).
Dérivées partielles :
∂u∂x
(x ,y) ou∂u∂1
(x ,y) ou ux
∂u∂y
(x ,y) ou∂u∂2
(x ,y) ou uy
Exemple :∂u∂x
+∂2u∂y2 = 0
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Equations aux dérivées partielles Introduction
Quelques équations
Equation de Schrödinger
ordre 1 et non linéaire
i∂ψ
∂t+
12
(∂ψ
∂x
)2
− k |ψ|2ψ = 0
Equation de Laplace dans R2
ordre 2 et linéaire
∂2u∂x2 +
∂2u∂y2 = 0
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Equations aux dérivées partielles Introduction
Quelques équations
Equation de Schrödinger ordre 1 et non linéaire
i∂ψ
∂t+
12
(∂ψ
∂x
)2
− k |ψ|2ψ = 0
Equation de Laplace dans R2
ordre 2 et linéaire
∂2u∂x2 +
∂2u∂y2 = 0
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Equations aux dérivées partielles Introduction
Quelques équations
Equation de Schrödinger ordre 1 et non linéaire
i∂ψ
∂t+
12
(∂ψ
∂x
)2
− k |ψ|2ψ = 0
Equation de Laplace dans R2
ordre 2 et linéaire
∂2u∂x2 +
∂2u∂y2 = 0
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations aux dérivées partielles Introduction
Quelques équations
Equation de Schrödinger ordre 1 et non linéaire
i∂ψ
∂t+
12
(∂ψ
∂x
)2
− k |ψ|2ψ = 0
Equation de Laplace dans R2 ordre 2 et linéaire
∂2u∂x2 +
∂2u∂y2 = 0
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Equations aux dérivées partielles Introduction
Equations de Navier-Stokes
Mouvements des courants océaniques, masses d’air
Comportement des gratte-ciels ou ponts sous l’action du vent
Comportement des avions, trains, voitures à grande vitesse
...
1 million de dollars ?
∂ρ
∂t+
3
∑i=1
∂
∂xi(ρvi) = 0,
∂ρvj
∂t+
3
∑i=1
∂
∂xi(ρvivj) =− ∂p
∂xj+
3
∑i=1
∂τi,j
∂xi+ ρfj
∂ρe∂t
+3
∑i=1
∂
∂xi((ρe + p)vi) =
3
∑i=1
3
∑j=1
∂
∂xi(τi,jvj)+
3
∑i=1
ρfivi +3
∑i=1
ρfivi +3
∑i=1
∂xi
∂xi+r
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations aux dérivées partielles Introduction
Equations de Navier-Stokes
Mouvements des courants océaniques, masses d’air
Comportement des gratte-ciels ou ponts sous l’action du vent
Comportement des avions, trains, voitures à grande vitesse
...
1 million de dollars ?
∂ρ
∂t+
3
∑i=1
∂
∂xi(ρvi) = 0,
∂ρvj
∂t+
3
∑i=1
∂
∂xi(ρvivj) =− ∂p
∂xj+
3
∑i=1
∂τi,j
∂xi+ ρfj
∂ρe∂t
+3
∑i=1
∂
∂xi((ρe + p)vi) =
3
∑i=1
3
∑j=1
∂
∂xi(τi,jvj)+
3
∑i=1
ρfivi +3
∑i=1
ρfivi +3
∑i=1
∂xi
∂xi+r
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations aux dérivées partielles Introduction
Equations de Navier-Stokes
Mouvements des courants océaniques, masses d’air
Comportement des gratte-ciels ou ponts sous l’action du vent
Comportement des avions, trains, voitures à grande vitesse
...
1 million de dollars ?
∂ρ
∂t+
3
∑i=1
∂
∂xi(ρvi) = 0,
∂ρvj
∂t+
3
∑i=1
∂
∂xi(ρvivj) =− ∂p
∂xj+
3
∑i=1
∂τi,j
∂xi+ ρfj
∂ρe∂t
+3
∑i=1
∂
∂xi((ρe + p)vi) =
3
∑i=1
3
∑j=1
∂
∂xi(τi,jvj)+
3
∑i=1
ρfivi +3
∑i=1
ρfivi +3
∑i=1
∂xi
∂xi+r
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
En général en {espace}×{temps}= [0,1]× [0,T ] :
x0 = 0, xi = xi−1 + ∆x pour i = 2, . . . ,noù ∆x(= 1
M ) est le pas en espace.t0 = 0, tn = tn−1 + ∆t pour n = 1, . . . ,Noù ∆T (= T
N ) est le pas en temps.
ui,n = u(xi , tn)
Formule de Taylor :
u(xi+1, tn) = u(xi , tn) + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
ui+1,n = ui,n + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
En général en {espace}×{temps}= [0,1]× [0,T ] :
x0 = 0, xi = xi−1 + ∆x pour i = 2, . . . ,noù ∆x(= 1
M ) est le pas en espace.
t0 = 0, tn = tn−1 + ∆t pour n = 1, . . . ,Noù ∆T (= T
N ) est le pas en temps.
ui,n = u(xi , tn)
Formule de Taylor :
u(xi+1, tn) = u(xi , tn) + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
ui+1,n = ui,n + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
En général en {espace}×{temps}= [0,1]× [0,T ] :
x0 = 0, xi = xi−1 + ∆x pour i = 2, . . . ,noù ∆x(= 1
M ) est le pas en espace.t0 = 0, tn = tn−1 + ∆t pour n = 1, . . . ,Noù ∆T (= T
N ) est le pas en temps.
ui,n = u(xi , tn)
Formule de Taylor :
u(xi+1, tn) = u(xi , tn) + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
ui+1,n = ui,n + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
En général en {espace}×{temps}= [0,1]× [0,T ] :
x0 = 0, xi = xi−1 + ∆x pour i = 2, . . . ,noù ∆x(= 1
M ) est le pas en espace.t0 = 0, tn = tn−1 + ∆t pour n = 1, . . . ,Noù ∆T (= T
N ) est le pas en temps.
ui,n = u(xi , tn)
Formule de Taylor :
u(xi+1, tn) = u(xi , tn) + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
ui+1,n = ui,n + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
En général en {espace}×{temps}= [0,1]× [0,T ] :
x0 = 0, xi = xi−1 + ∆x pour i = 2, . . . ,noù ∆x(= 1
M ) est le pas en espace.t0 = 0, tn = tn−1 + ∆t pour n = 1, . . . ,Noù ∆T (= T
N ) est le pas en temps.
ui,n = u(xi , tn)
Formule de Taylor :
u(xi+1, tn) = u(xi , tn) + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
ui+1,n = ui,n + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
En général en {espace}×{temps}= [0,1]× [0,T ] :
x0 = 0, xi = xi−1 + ∆x pour i = 2, . . . ,noù ∆x(= 1
M ) est le pas en espace.t0 = 0, tn = tn−1 + ∆t pour n = 1, . . . ,Noù ∆T (= T
N ) est le pas en temps.
ui,n = u(xi , tn)
Formule de Taylor :
u(xi+1, tn) = u(xi , tn) + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
ui+1,n = ui,n + ∆x∂u∂x
(xi , tn) + . . .
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
Schéma décentré avancé :
ui+1,n−ui,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma décentré retardé :
ui,n−ui−1,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n−ui,n−1
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma centré :
ui+1,n−ui−1,n
2∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n−1
2∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma pour la dérivée seconde centré :
ui+1,n−2ui,n + ui−1,n
(∆x)2 ≈ ∂2u∂x2 (xi , tn)
ui,n+1−2ui,n + ui,n−1
(∆T )2 ≈ ∂2u∂t2 (xi , tn)
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
Schéma décentré avancé :
ui+1,n−ui,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma décentré retardé :
ui,n−ui−1,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n−ui,n−1
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma centré :
ui+1,n−ui−1,n
2∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n−1
2∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma pour la dérivée seconde centré :
ui+1,n−2ui,n + ui−1,n
(∆x)2 ≈ ∂2u∂x2 (xi , tn)
ui,n+1−2ui,n + ui,n−1
(∆T )2 ≈ ∂2u∂t2 (xi , tn)
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
Schéma décentré avancé :
ui+1,n−ui,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma décentré retardé :
ui,n−ui−1,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n−ui,n−1
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma centré :
ui+1,n−ui−1,n
2∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n−1
2∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma pour la dérivée seconde centré :
ui+1,n−2ui,n + ui−1,n
(∆x)2 ≈ ∂2u∂x2 (xi , tn)
ui,n+1−2ui,n + ui,n−1
(∆T )2 ≈ ∂2u∂t2 (xi , tn)
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
Schéma décentré avancé :
ui+1,n−ui,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma décentré retardé :
ui,n−ui−1,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n−ui,n−1
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma centré :
ui+1,n−ui−1,n
2∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n−1
2∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma pour la dérivée seconde centré :
ui+1,n−2ui,n + ui−1,n
(∆x)2 ≈ ∂2u∂x2 (xi , tn)
ui,n+1−2ui,n + ui,n−1
(∆T )2 ≈ ∂2u∂t2 (xi , tn)
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
Schéma décentré avancé :
ui+1,n−ui,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma décentré retardé :
ui,n−ui−1,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n−ui,n−1
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma centré :
ui+1,n−ui−1,n
2∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n−1
2∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma pour la dérivée seconde centré :
ui+1,n−2ui,n + ui−1,n
(∆x)2 ≈ ∂2u∂x2 (xi , tn)
ui,n+1−2ui,n + ui,n−1
(∆T )2 ≈ ∂2u∂t2 (xi , tn)
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
Schéma décentré avancé :
ui+1,n−ui,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma décentré retardé :
ui,n−ui−1,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n−ui,n−1
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma centré :
ui+1,n−ui−1,n
2∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n−1
2∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma pour la dérivée seconde centré :
ui+1,n−2ui,n + ui−1,n
(∆x)2 ≈ ∂2u∂x2 (xi , tn)
ui,n+1−2ui,n + ui,n−1
(∆T )2 ≈ ∂2u∂t2 (xi , tn)
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
Schéma décentré avancé :
ui+1,n−ui,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma décentré retardé :
ui,n−ui−1,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n−ui,n−1
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma centré :
ui+1,n−ui−1,n
2∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n−1
2∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma pour la dérivée seconde centré :
ui+1,n−2ui,n + ui−1,n
(∆x)2 ≈ ∂2u∂x2 (xi , tn)
ui,n+1−2ui,n + ui,n−1
(∆T )2 ≈ ∂2u∂t2 (xi , tn)
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Maillage
Schéma décentré avancé :
ui+1,n−ui,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma décentré retardé :
ui,n−ui−1,n
∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n−ui,n−1
∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma centré :
ui+1,n−ui−1,n
2∆x≈ ∂u
∂x(xi , tn) et
ui,n+1−ui,n−1
2∆T≈ ∂u
∂t(xi , tn)
Schéma pour la dérivée seconde centré :
ui+1,n−2ui,n + ui−1,n
(∆x)2 ≈ ∂2u∂x2 (xi , tn)
ui,n+1−2ui,n + ui,n−1
(∆T )2 ≈ ∂2u∂t2 (xi , tn)
EPF - 3A (V. Nolot) Analyse numérique
Equations aux dérivées partielles Différence finie
Exemple : équation de la chaleur
P
∂u∂t −
∂2u∂x2 = 0 sur ]0,1[×]0,T [
u(x ,0) = f (x) x ∈ [0,1]u(0, t) = g0(x) t ∈]0,T ]u(1, t) = g1(x) t ∈]0,T ]
Pdiscret
vi,n+1−vi,n
∆t − vi+1,n−2vi,n+vi−1,n
(∆x)2 = 0 i ∈ {1, . . . ,M−1}, n ≥ 0
vi,0 = f (xi) i ∈ {0, . . . ,M}v0,n+1 = g0(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}vM,n+1 = g1(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Exemple : équation de la chaleur
P
∂u∂t −
∂2u∂x2 = 0 sur ]0,1[×]0,T [
u(x ,0) = f (x) x ∈ [0,1]u(0, t) = g0(x) t ∈]0,T ]u(1, t) = g1(x) t ∈]0,T ]
Pdiscret
vi,n+1−vi,n
∆t − vi+1,n−2vi,n+vi−1,n
(∆x)2 = 0 i ∈ {1, . . . ,M−1}, n ≥ 0
vi,0 = f (xi) i ∈ {0, . . . ,M}v0,n+1 = g0(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}vM,n+1 = g1(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Exemple : équation de la chaleur
P
∂u∂t −
∂2u∂x2 = 0 sur ]0,1[×]0,T [
u(x ,0) = f (x) x ∈ [0,1]u(0, t) = g0(x) t ∈]0,T ]u(1, t) = g1(x) t ∈]0,T ]
Pdiscret
vi,n+1−vi,n
∆t − vi+1,n−2vi,n+vi−1,n
(∆x)2 = 0 i ∈ {1, . . . ,M−1}, n ≥ 0
vi,0 = f (xi) i ∈ {0, . . . ,M}v0,n+1 = g0(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}vM,n+1 = g1(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Exemple : équation de la chaleur
P
∂u∂t −
∂2u∂x2 = 0 sur ]0,1[×]0,T [
u(x ,0) = f (x) x ∈ [0,1]u(0, t) = g0(x) t ∈]0,T ]u(1, t) = g1(x) t ∈]0,T ]
Pdiscret
vi,n+1−vi,n
∆t − vi+1,n−2vi,n+vi−1,n
(∆x)2 = 0 i ∈ {1, . . . ,M−1}, n ≥ 0
vi,0 = f (xi) i ∈ {0, . . . ,M}v0,n+1 = g0(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}vM,n+1 = g1(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Exemple : équation de la chaleur
P
∂u∂t −
∂2u∂x2 = 0 sur ]0,1[×]0,T [
u(x ,0) = f (x) x ∈ [0,1]u(0, t) = g0(x) t ∈]0,T ]u(1, t) = g1(x) t ∈]0,T ]
Pdiscret
vi,n+1−vi,n
∆t − vi+1,n−2vi,n+vi−1,n
(∆x)2 = 0 i ∈ {1, . . . ,M−1}, n ≥ 0
vi,0 = f (xi) i ∈ {0, . . . ,M}
v0,n+1 = g0(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}vM,n+1 = g1(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}
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Exemple : équation de la chaleur
P
∂u∂t −
∂2u∂x2 = 0 sur ]0,1[×]0,T [
u(x ,0) = f (x) x ∈ [0,1]u(0, t) = g0(x) t ∈]0,T ]u(1, t) = g1(x) t ∈]0,T ]
Pdiscret
vi,n+1−vi,n
∆t − vi+1,n−2vi,n+vi−1,n
(∆x)2 = 0 i ∈ {1, . . . ,M−1}, n ≥ 0
vi,0 = f (xi) i ∈ {0, . . . ,M}v0,n+1 = g0(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}
vM,n+1 = g1(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}
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Exemple : équation de la chaleur
P
∂u∂t −
∂2u∂x2 = 0 sur ]0,1[×]0,T [
u(x ,0) = f (x) x ∈ [0,1]u(0, t) = g0(x) t ∈]0,T ]u(1, t) = g1(x) t ∈]0,T ]
Pdiscret
vi,n+1−vi,n
∆t − vi+1,n−2vi,n+vi−1,n
(∆x)2 = 0 i ∈ {1, . . . ,M−1}, n ≥ 0
vi,0 = f (xi) i ∈ {0, . . . ,M}v0,n+1 = g0(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}vM,n+1 = g1(tn+1) n ∈ {0, . . . ,N}
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Exemple : équation de la chaleur
Dans Pdiscret on connaît vi,0 = f (xi) pour tout i :
v0,0, v1,0, . . . ,vM,0
et on en déduit tous les vi,1 grâce à la formule :
vi,n+1 =∆t
(∆x)2 vi−1,n +
(1−2
∆t(∆x)2
)vi,n + vi+1,n
puis connaissant tous les vi,1, on en déduit tous les vi,2 ... etc
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Exemple : équation de la chaleur
Dans Pdiscret on connaît vi,0 = f (xi) pour tout i :
v0,0, v1,0, . . . ,vM,0
et on en déduit tous les vi,1
grâce à la formule :
vi,n+1 =∆t
(∆x)2 vi−1,n +
(1−2
∆t(∆x)2
)vi,n + vi+1,n
puis connaissant tous les vi,1, on en déduit tous les vi,2 ... etc
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Equations aux dérivées partielles Différence finie
Exemple : équation de la chaleur
Dans Pdiscret on connaît vi,0 = f (xi) pour tout i :
v0,0, v1,0, . . . ,vM,0
et on en déduit tous les vi,1 grâce à la formule :
vi,n+1 =∆t
(∆x)2 vi−1,n +
(1−2
∆t(∆x)2
)vi,n + vi+1,n
puis connaissant tous les vi,1, on en déduit tous les vi,2 ... etc
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Exemple : équation de la chaleur
Dans Pdiscret on connaît vi,0 = f (xi) pour tout i :
v0,0, v1,0, . . . ,vM,0
et on en déduit tous les vi,1 grâce à la formule :
vi,n+1 =∆t
(∆x)2 vi−1,n +
(1−2
∆t(∆x)2
)vi,n + vi+1,n
puis connaissant tous les vi,1, on en déduit tous les vi,2 ... etc
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