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Mathématiques
Maths SUP - Concours 2015
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- Concours 2015 16
Polynômes
Définitions. Si P “ P pXq “n∞
k“0
ak
Xk avec an
‰ 0, P est de degré n, de coefficient dominant an
, de monôme de
plus haut degré an
Xn.
Racines, ordre de multiplicité.— � est racine de P ô P p�q “ 0 ô pX ´ �q divise P .— � est racine de P d’ordre de multiplicité k ô
`pX ´ �qkdivise P et pX ´ �qk`1
ne divise pas P˘.
— � est racine de P d’ordre de multiplicité k ô`@i P rr 0 , k ´ 1 ssP piqp�q “ 0 et P pkqp�q ‰ 0q
˘.
Théorème de D’Alembert. Tout polynôme non constant de C rXs admet au moins une racine complexe. Co-rollaire : tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes, en tenant compte des ordres de multiplicité.
Polynômes irréductibles.— Un polynôme P est irréductible dans K rXs si P n’admet aucun diviseur trivial (i.e. les constantes non nulles
et les multiples non nuls de P ) dans K rxs.— Les polynômes irréductibles dans CrXs sont les polynômes de degré 1.— Les polynômes irréductiles dans RrXs sont les polynômes de degré 2 n’admettant aucune racine réelle.— Tout polynôme s’écrit de façon unique (à l’ordre près) sous forme de produit de polynômes irréductibles.
Polynômes scindés. Un polynôme P est scindé sur K s’il s’écrit sous la forme : P pXq “ ↵n
⇧k“1
pX ´ �k
q, où ↵ et
les �i
sont éléments de K. On dit que P est scindé à racines simples si les �k
sont distincts. Dans C rXs, tout polynômenon constant est scindé sur C.
Décomposition d’un polynôme dans C rXs. Si P a pour coefficient dominant ↵, pour racines �1
,�2
, . . .�n
,
d’ordres de multiplicité respectifs ↵1
,↵2
, . . .↵n
, alors : P pXq “ ↵n
⇧k“1
pX ´ �k
q↵k .
Décomposition d’un polynôme dans R rXs. Si P a pour coefficient dominant ↵, pour racines réelles �1
,�2
, . . .�p
,d’ordres de multiplicité respectifs ↵
1
,↵2
, . . .↵p
, et pour racines complexes conjuguées µ1
, µ̄1
, µ2
, µ̄2
, . . . , µm
, µ̄m
, d’ordres
de multiplicité respectifs �1
,�2
, . . .�m
, alors : P pXq “ ↵
«p
⇧k“1
pX ´ �k
q↵k
� «m
⇧k“1
´X2 ´ 2Re pµ
k
q ` |µk
|2¯�k
�.
Formule de Taylor pour les polynômes. @n P N, @P P Cn
rXs ,@a P C, P pXq “nÿ
k“0
pX ´ aqkk!
P pkqpaq.
Polynômes d’interpolation de Lagrange.— Pour tout n P N˚, pour toute n-liste px
1
, x2
, . . . , xn
q d’éléments distincts de C et pour tout j P rr 1 , n ss, il existeun unique polynôme L
j
P Cn´1
rXs tel que : Lj
pxi
q “ �i,j
.
— @j P rr 1 , n ss, Lj
pXq “ ⇧1§i§n,i‰j
X ´ xi
xi
´ xj
. La famille pLi
q1§i§n
q forme une base de Cn´1
rXs.— Pour tout n P N˚, pour toute n-liste px
1
, x2
, . . . , xn
q d’éléments distincts de C et pour toute n-liste py1
, y2
, . . . , yn
qd’éléments de C, il existe un unique polynôme P P C
n´1
rXs tel que : @i P rr 1 , n ss, P pxi
q “ yi
.
— Cet unique polynôme est égal à : P pXq “nÿ
i“1
yi
Li
.
