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Mathématiques

Maths SUP - Concours 2015

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- Concours 2015 16

Polynômes

Définitions. Si P “ P pXq “n∞

k“0

ak

Xk avec an

‰ 0, P est de degré n, de coefficient dominant an

, de monôme de

plus haut degré an

Xn.

Racines, ordre de multiplicité.— � est racine de P ô P p�q “ 0 ô pX ´ �q divise P .— � est racine de P d’ordre de multiplicité k ô

`pX ´ �qkdivise P et pX ´ �qk`1

ne divise pas P˘.

— � est racine de P d’ordre de multiplicité k ô`@i P rr 0 , k ´ 1 ssP piqp�q “ 0 et P pkqp�q ‰ 0q

˘.

Théorème de D’Alembert. Tout polynôme non constant de C rXs admet au moins une racine complexe. Co-rollaire : tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes, en tenant compte des ordres de multiplicité.

Polynômes irréductibles.— Un polynôme P est irréductible dans K rXs si P n’admet aucun diviseur trivial (i.e. les constantes non nulles

et les multiples non nuls de P ) dans K rxs.— Les polynômes irréductibles dans CrXs sont les polynômes de degré 1.— Les polynômes irréductiles dans RrXs sont les polynômes de degré 2 n’admettant aucune racine réelle.— Tout polynôme s’écrit de façon unique (à l’ordre près) sous forme de produit de polynômes irréductibles.

Polynômes scindés. Un polynôme P est scindé sur K s’il s’écrit sous la forme : P pXq “ ↵n

⇧k“1

pX ´ �k

q, où ↵ et

les �i

sont éléments de K. On dit que P est scindé à racines simples si les �k

sont distincts. Dans C rXs, tout polynômenon constant est scindé sur C.

Décomposition d’un polynôme dans C rXs. Si P a pour coefficient dominant ↵, pour racines �1

,�2

, . . .�n

,

d’ordres de multiplicité respectifs ↵1

,↵2

, . . .↵n

, alors : P pXq “ ↵n

⇧k“1

pX ´ �k

q↵k .

Décomposition d’un polynôme dans R rXs. Si P a pour coefficient dominant ↵, pour racines réelles �1

,�2

, . . .�p

,d’ordres de multiplicité respectifs ↵

1

,↵2

, . . .↵p

, et pour racines complexes conjuguées µ1

, µ̄1

, µ2

, µ̄2

, . . . , µm

, µ̄m

, d’ordres

de multiplicité respectifs �1

,�2

, . . .�m

, alors : P pXq “ ↵

«p

⇧k“1

pX ´ �k

q↵k

� «m

⇧k“1

´X2 ´ 2Re pµ

k

q ` |µk

|2¯�k

�.

Formule de Taylor pour les polynômes. @n P N, @P P Cn

rXs ,@a P C, P pXq “nÿ

k“0

pX ´ aqkk!

P pkqpaq.

Polynômes d’interpolation de Lagrange.— Pour tout n P N˚, pour toute n-liste px

1

, x2

, . . . , xn

q d’éléments distincts de C et pour tout j P rr 1 , n ss, il existeun unique polynôme L

j

P Cn´1

rXs tel que : Lj

pxi

q “ �i,j

.

— @j P rr 1 , n ss, Lj

pXq “ ⇧1§i§n,i‰j

X ´ xi

xi

´ xj

. La famille pLi

q1§i§n

q forme une base de Cn´1

rXs.— Pour tout n P N˚, pour toute n-liste px

1

, x2

, . . . , xn

q d’éléments distincts de C et pour toute n-liste py1

, y2

, . . . , yn

qd’éléments de C, il existe un unique polynôme P P C

n´1

rXs tel que : @i P rr 1 , n ss, P pxi

q “ yi

.

— Cet unique polynôme est égal à : P pXq “nÿ

i“1

yi

Li

.