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Document original réalisé par Claude Boucher
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Mat-5110 : Introduction aux vecteurs
Martin FrancoeurConseiller en é[email protected]
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Présentation du programme
Mat 5101 : Optimisation IMat 5102 : Statistique III (corrélation)Mat 5105 : ConiquesMat 5106 : Fonctions réelles et équat.Mat 5107 : Fonctions exp et logMat 5108 : Fonctions trigoMat 5109 : Géométrie IVMat 5110 : Introduction aux vecteursMat 5111 : Complément et synthèse II
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Pourquoi les vecteurs en mathématique au secondaire?
Notion mathématique utilisée en physique
Façon de réinvestir les démonstrations
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Définitions
Scalaire: quantité définie par un nombre réel.
Vecteur: quantité ayant une grandeur, une direction et un sens.
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Comment nomme-t-on les vecteurs?
Lettre minuscule surmontée d’une flèche
aPoint de départ (origine) de la flèche et point de départ (extrémité) de la flèche
AB
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Comment nomme-t-on les vecteurs?
Vecteur algébrique: par ses composantesComposantes horizontale et verticale
v=(3,4)Les composantes correspondent aux coordonnées de l’extrémité du vecteur lorsque l’origine du vecteur coïncide avec l’origine du plan cartésien.
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Direction et sens
Toutes les flèches parallèles ont la même direction. Une même direction peut se prendre dans les deux sens.
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Vecteurs colinéaires
Vecteurs colinéaires : vecteurs qui ont la même direction.
Deux vecteurs qui n’ont pas la même direction sont dits : non-colinéaires ou linéairement indépendants.
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Orientation d’un vecteur géométrique
Avec la rose des vents…
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Orientation d’un vecteur géométrique
Angle d’orientation : angle que la flèche forme avec l’horizontal dans le sens anti-horaire.
Détermine à la fois la direction et le sens.
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Orientation d’une vecteur algébrique
Vecteur algébrique: les composantes donne l’orientation du vecteur.
Pour connaître l’angle d’orientation d’un vecteur algébrique, on utilise la trigonométrie.
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Norme d’un vecteur
Longueur du vecteurNotation : ||v||Vecteur géométrique On mesure avec une règle
Vecteur algébrique Distance entre l’origine et l’extrémité du
vecteur
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Vecteurs opposés
Deux vecteurs de même norme, de même direction et de sens contraire
v est toujours opposé à –v.AB est opposé à BA.m=(2,4) est opposé à n=(-2,-4).
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Vecteur nul et vecteur unitaire
Vecteur dont la longueur est 0. On le note 0.Le vecteur nul a toutes les orientations.Vecteur dont la longueur est 1 dans une orientation donnée.Vecteurs orthogonauxVecteurs dont les directions sont perpendiculaires.
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Angle entre deux vecteurs
Lorsque les origines de deux vecteurs coïncident.La plupart du temps noté Utilisation de la loi des sinus et des cosinus
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Addition de vecteurs
Méthode du parallélogrammeMéthode du triangleAddition des composantesLe vecteur somme s’appelle la résultantePour la soustraction de vecteurs, on additionne le vecteur opposé
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Résultante
Norme de la résultante Loi des cosinus
Orientation de la résultanteMesure de l’angle formé par la résultante et un des deux vecteurs
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Exercices 1 et 2 :
Document exercices complémentaires.
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Relation de Chasles
AB + BC + CD = ADAB + BC + CA = AA = 0AB – CB = AB + BC = AC
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Exercice 3 :
Document exercices complémentaires.
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Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Le produit d’un vecteur par un scalaire est un vecteur.Le vecteur final a la même direction que le vecteur initial. Même sens si le scalaire est positif.Sens contraire si le scalaire est négatif.
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Combinaison linéaire
w = 3u + 4v
Si u et v sont colinéaires, w aura aussi la même direction.
Si u et v sont non-colinéaires, w aura une direction différente.
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Base vectorielle
Deux vecteurs non-nuls linéairement indépendants forment une base vectorielle.À partir de ces deux vecteurs, on peut les combiner et obtenir tout autre vecteur du plan.La recherche des coefficients d’une combinaison linéaire ne portera que sur les vecteurs décrits par leurs composantes.
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Exercice 5
Document exercices complémentaires.
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Base vectorielle orthonormée
Vecteurs orthogonaux et de norme 1.
i = (1,0) et j = (0,1)
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Base vectorielle et combinaison linéaire
Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs qui, eux-mêmes, peuvent être décomposés en un produit d’un vecteur par un scalaire.
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Multiplication scalaire de 2 vecteurs
Produit de la longueur orientée de la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxième par la norme du deuxième vecteur. Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire.Notation : u v
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Multiplication scalaire
Produit scalaire de vecteurs orthogonaux : 0Produit scalaire de vecteurs géométriques
u v = ||u|| ||v|| cos
Produit scalaire de vecteurs algébriquesu=(a,b) et v=(c,d) u v = ac+bd
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Propriétés de l’addition de vecteurs
La somme de deux vecteurs est un vecteur.Commutativité : u + v = v + uAssociativité : (u + v) + w = u + (v + w)Existence de l’élément neutre : u + 0 = uExistence de l’opposé : u + -u = 0
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Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire
Le produit d’un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur.Associativité : k1(k2u) = (k1k2)u
Existence d’un scalaire neutre : 1u = uDistributivité sur l’addition de vecteurs
k(u + v) = ku + kvDistributivité sur l’addition de scalaires
k1u + k2u = (k1 + k2)u
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Propriétés de la multiplication scalaire de deux vecteurs
La produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaireCommutativité : u v = v uAssociativité des scalaires :
k1u k2v = (k1k2)(u v)Distributivité sur une somme vectorielle :
u (v + w) = (u v ) + (u w)
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Un peu de pratique maintenant!
Document exercices complémentaires.
Vous pouvez faire les exercices 6, 8, 9, 11.
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Démonstrations à l’aide des vecteurs
Énoncer la loi de Chasles et l’appliquer à la vérification d’énoncés à l’aide des vecteurs.Construire ou compléter une démonstration.Déterminer si un énoncé, formulé à l’aide des vecteurs, est vrai ou faux. La réponse doit être justifiée …
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Exercices 14 et 15
Document exercices complémentaires.
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Résoudre des problèmes
Utiliser les vecteurs pour résoudre des problèmes.Justifier les étapes de sa démarche.
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Exercices 18 et 22
Document exercices complémentaires.