digital image processing af - freepro.fouille.antoine.free.fr/realisation/dip.pdf · digital images...

Digital Image Processing

étudiant au département télécommunication de l’INPG

’après le cours de

LIS – www.lis.inpg.fr) inpg.fr)

Antoine Fouillé D Jocelyn ChanussotAssistant professor, signal & Image processing [email protected] Signals & Images Laboratory (Grenoble National Polytechnic Institute (INPG – www.

- 1 -Jocelin Chanussot & Antoine Fouillé

-Jocelin Chanussot & Antoine Fouillé 2

1. Bibliography


1. Bibliography

Digital Image Processing, 2nd Edition by Gonzalez and Woods Prentice Hall, 2002

Digital Image Processing Using MATLAB by Gonzalez, Woods, and Eddins, Prentice Hall, 2004

Le traitement des images (Traité IC2, série Traitement du signal et de l'image) By Maître Hermès, 2003

Traitement et analyse des imagesBy Bres, Jolion and Lebourgeois Hermès, 2003

Analyse d'images : Filtrage et segmentation By Cocquerez and Philipp Masson, 1995

Introduction au traitement d'images: Simulation sous Matlab By Burel Hermès, 2001

numériques

2. Digital images

Une image numérique est un ensemble fini de pixels codés par des bits issus d’un échantillo pixel est codé sur 8 bits (0 à 255) pour les ages couleurs, chaque pixel possède trois composantes (RVB) sur 8 bits, ce vecteur caractérise l’intensité de chaque couleur dans l’ensemble RVB (rouge, vert, bleu). L’image est alors une matrice de nombre. 2.1. Niveau de gris et table de correspondance des couleurs(Grey levels and look up

ble, LUT) :

nnage spatial. Généralement chaque images N&B. Pour les im

ta

A chaque va ur d’un pixel, il sera associer une couleur selon le tableau de ance des couleurs pour former l’image numérique.

2.2. Coupe d’image (Grey level profile (cut)):

lecorrespond

0 10 0 2 0 0

10 0

2 0 0

Ceci est une coupe de l’im tale se trouvant (~1/6 en partant du haut). Elle indique le niv fonction de l’ordonnée de l’image.

xemple d’utilisation :

age sur une ligne horizoneau de gris en

E Il est possible d’appliquer la TF à cette coupe pour chercher n motif se répétant sur une tranche de l’image. Ainsi il apparaît une fréquence dans TF : la fréquence du motif.

ula


2.3. La quantification ( Quantization ) :

La quantification est une opération de R dans n un ensemble fini de N. La quantification transforme un point x de R en son plus proche voisin dans n.

isage : V

8 bits 4 bits 2 bits Cellules musculaires :

8 bits 3 bits

Comme on l’observe dans l’échantéchantillonnage peut entraîner la formation de palier restent assez nets et ne sont pas déformé, cependantgrossier. Il ne faut pas perdre de vue que la qualité de l veut en faire. En effet, un échantillonnage faible, ec un forte dégradation de l’image peut uffire parfois, comme l’illustre l’exemple des cellules musculaires. Si il faut énombrer les cellules noires, un échantillonnage sur 3 bits est suffisant.

illonnage du visage, un mauvais de couleurs. Les contours

le dégradé de couleurs est

’image dépend de se que l’onav

sdLa qualité de l’image est donc un critère tout à fait subjectif car il dépend de l’utilisation de l’image.


2.4. La pixellisation (Sampling) :

Contrairement à la quantification qui peut produire des palier de couleur ; un mauvais échantillonnage peut engendrer une pixellisation de l’image avec des contours in formes. 2.5. Zoom et interpolation (Zoom & interpolation) :

⎡⎣⎢⎢

⎤

⎡⎢⎢⎤⎥⎥

a a b ba a b b

⎡

⎦⎥⎥

a bc d

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥c c d dc c d d ⎣

⎢⎢⎤⎥⎥

a 0 b 00 0 0 0

⎡

⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥c 0 d 00 0 0 0

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

a +

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

12 a

12 b b

12 b

+ 1

a21

c + + + 21

a21

b21

c21

d + 21

c21

b 02

c + + + 14 a 1

4 b 14 c 1

4 d d 12 d

12 c 0

12 d 0

Duplication Insertion de Zéros Filtrage Passe Bas

érer des zéros (image 2), puis a les remplacer par une oyenne des valeurs des bits voisins. Cette opération peut s’effectuée grâce à la

onvolution de la matrice avec les zéros par la matrice 1,4 (0,5 1 0,5 0), puis par la atrice 4,1(0,5 1 0,5 0).Cela a pour effet de lisser l’image. e filtrage est équivalent à un filtre passe bas analogique ( H(ω)= H°/ (1 + j ω/ω°))

=>

Le but d’un zoom est d’agrandir l’image. Cependant il est possible que l’image n’est pas une résolution suffisante, alors une pixellisation de l’image devient visible, car un zoom basique (sur Windows MS par exemple) duplique les informations comme pour l’image 1. Ici, l’interpolation consiste à insmcML



s échantillonnage :

Lorsque l’échantillonnage n’est pas suffisant ( Fe < 2 Fmax, d’après Shannon), il y a repliement de spectre. Alors de nouvelles fréquences peuvent apparaître. C’est un effet responsable de la détérioration d’un fond d’image, par exemple. Si le fond d’une image n’est pas parfait et que l’on sous échantillonne, alors des imperfections peuvent apparaître à une nouvelle fréquence. C’est typiquement ce qui arrivait lorsque l’on enlevait des lignes et des colonnes pour réduire la résolution( nombre de pixel) de l’image.

Pour éviter cela, il faut filtrer passe bas à la nouvelle fréquence d’échantillonnage, puis ensuite, seulement ré échantillonner. 2.7. Mesure de détérioration entre deux images (Measuring the difference between two image

2.6. Repliement de spectre et sou

s f and f~ … :)

La mesure de la dégradation dHamming) entre l’image d’origine .

ean Absolute Error :

e l’image se fait par comparaison ( distance de

et la nouvelle image

( ) ( )∑∑ −⋅== =

NnmfnmfNMMAE ,~,1

MM

m n1 1

Erreur absolue moyenne

Mean Square Error : ( ) ( )( )∑∑= =

M N 2~−⋅=

m nnmfnmfNMMSE

1 1,,1

Erreur quadratique moyenne

( )Signal to Noise Ratio (dB) :

( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−⋅ ∑∑= =m n

nmfnmfNM1 1

2,

~,1

Rapport signal à bruit

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜

⋅=∑∑

= =M N

M

m

N

nnmfN

SNR 1 1

2 ,log10

⎜⎛

⋅M1

Peak Signal to Noise Ratio (dB) : ( ) ( )( ) ⎟

⎟⎟

⎜⎜⎜

⎝−⋅

⋅=∑∑M N

nmfnmfPSNR

2,~,1

log10 ⎟

⎠

⎜

⋅ = =m nNM 1 1

2255

apport crête de signal à bruit Les normes grand public (GP) considèrent qu’une image est assez bonne si la SNR > 30 dB. En deçà, l’image est trop dégradée. Rem 1 : Si le Bruit augmente,la SNR diminue. Rem 2 : Si on perd un bit, la SNR diminue de 6 dB.

⎞⎛

R


0 10 0 2 0 0

0

50 0

10 0 0

3. Histogram modification 3.1. Transformation du niveau de gris (Grey level transform) :

n est l’image en négative soit

(x,y) =255 – v(x,y). La fonction correspondante est : Niveaux de gris en sortie en fonction du niveaux de

La transformatiov

gris en entrée.

Une autre transformation peut être réalisée :

la sous quantification. Ici le nombre de palier indique le nombre de bits codant un pixel de l’image après transformation. 3.2. Transformation de seuil (Threshold) : Le seuil est une sous quantification particulière.

3.3. L’histogramme (Histogram ) : L’histogramme donne le nombre de pixels en fonction du niveau de gris.

Ici on voit clairement qu’il y a trois zones de répartition : une sombre, une intermédiaire et une claire.


0 10 0 2 0 0

50 0

10 0 0

0 10 0 2 0 0

0

2 0 0 0

4 0 0 0

0 1 0 0 2 0 0

0

4 0 0 0

8 0 0 0

2 0 0 0

6 0 0 0

Ici on observe une répartition presque uniforme en dehors du pic central. Le pic central

e la plupart des pixels les niveaux de gris

On pourrait penser que l’image est noire. Cependant l’histogramme indique qu’il y a plusieurs nuances de gris.

Rem 1 : L’oeil est plus sensible au faible contraste dans le clair que dans le sombre.

r à passer au négatif.

Rem 2 t

ximu informations lorsque que

onsidère l’histogramme comme un densité de probabilités (Shannon).

indique qus nt dansointermédiaires (fond et peau).

Ne pas hésite

: Pour la troisième image, il serait intéressanage.

de dilater l’échelle des niveaux de gris : c’est le recadr

aRem 3 : Une donnée informatique contient u mon a un histogramme plat, c'est-à-dire lorsque la distribution est uniforme, si on

m d’l’c .4. Recadrage linéaire de la dynamique (Linear rescaling of the range) : 3

Le recadrage consiste à dilater l’échelle des gris.

ns le constant.

fait que l’écart entre les pics est On redistribue les pics. La linéarité réside da


3.5. Egalisation (Histogram equalization) :

0 1 0 0 2 0 0

0

2 0 0 0

4 0 0 0

ics e hauteur des pics (~nombre de pixel à un niveau de gris). Ce n’est, donc, plus linéair és 3.6. Convolution (convolution) :

L’écart entre les p st proportionnel à la

e et le r ultat semble mieux contrasté.

1 D, continue (continuous space) : f*h (t)= d⌠⌡⎮⎮−∞

∞

. ( )( )f x ( )( )h − t x x

D, continue : f*h (u,v)= ⎮⎮ d⌠⎮⎮∞

. ( )( )f ,x y ( )( )h , − u x − v y x y

D, discret (discrete space) : f*h (u,v)=

∞

2

⌡−∞⌡−∞

d⌠

2 = y −∞

∑∞ ⎛

⎝⎜ ⎞⎜⎜ ⎠

⎟⎟⎟∑ = x −∞

∞

( ) . ( )( )f ,x y ( )( )h ,u x v y − −

Propriétés :

Commutativité (Convolution is commutative) :

Associativité (Convolut associative) : ion is

Distributivité (Convolution is distributive) :


4. Noise reduction image et trouver le meilleur filtre pour

associe à un certain type de brui

La méthode expérimentale de réduction de bruit consiste, ici, a bruiter une ce type de bruit. Ensuite on expérimente

différents types de filtres et on observe celui donnant les meilleurs résultats. Enfin on t, le filtre convenant le mieux.

4.1. Models of noisy images

O

riginal image

Uniform distribution

espond, souvent, au bruit électronique. De t macroscopique d’une somme d’effets

microscopiques.

Le bruit à distribution gaussienne corrmanière plus générale, il est l’effe

Gaussian distribution Ce bruit correspond typiquement au acquisition CCD, ou certains capteurs seraient

Ici, le bruit n’est plus additif omme dans les bruitages récédents.

per noise

Défectueux ( noir) ou saturé (blanc).

cp Salt & Pep


Rem 1 : Attention, l’histogistogrammes de l’image et

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

19

19

19

19

19

19

19

19

19

ramme de l’image bruitée n’est pas la somme des de bruit, mais leur convolution.

, le

g filtering window) :

Il y a différents types de fenêtres de filtrages : Ici on prendra pour les exemples, celles du milieu.

e ith a sliding filtering window) :

Linear filtering ): convolution

Le filtre moyenneur

h Rem2 :Il existe d’autres types de bruit couramment rencontrés : le bruit photonienbruit d’amplification, le bruit de quantification , …

4.2. Fenêtre de filtrage (slidin

4.3. Lissage av

c une fenêtre de filtrage (Smoothing w

- Filtre linéaire (

∑∑−

=

−

=

−−=1

0

1

0),(),(),(*

M

m

N

nnymxhnmfyxhf

(Mean filter), est un filtre qui a pour action de remplacer chaque pixel par une moyenne arithmétique de ses voisins

e m ue (fenêtre de filtrage) forme :

Il équivalent à un intégrateur analogique.

s l’image (les contours nets sont transformés en dégradé).

- Filtre non linéaire : filtre d’ordre (Non linear filtering : order filters)

et lui-même. Lest alors de la

asq

Ce filtre a de très bon résultats sur une bruit gaussien ; cependant il introduit un flou dan

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥8

⎥⎥⎥⎥

10 134 124152 45 51

61 51 8

10<45<51<51<61<88<124<134<152

Le filtre médian (Median filter) est un filtre non linéaire équivalent à un pass valeur qui laisse autand de valeurs à gauche

e

Sur l’exemple c’est 61 : culiè ment au bruit de type poivre et sel. Il a tendance a

ilieu

bande analogique. Il prend laqu’a droite.

10<45<51<51<61<88<124<134<152 Ce filtre convient parti re arrondir les coins.

Le filtre m (Middle filter) est un filtre non linéaire équivalent à un

inimum de la fenêtre de dérivateur analogique. Il prend le maximum et le mfiltrage et en fit la moyenne.


Sur l’exemple c’est 81 : 10<45<51<51<61<88<124<134<152 Ce filtre convient particulièrement au bruit uniforme. Il a tendance a créer un cadre de la largeur de la fenêtre de filtrage au niveau des contours.

gaussien uniforme poivre /sel flou contours linaire

médian * *** non arrondit coins non milieu * oui cadre non moyen *** *** oui dégradés oui 4


.4. Ré haussement de contraste (Enhancement) :

Si moyenne > milieu

Alors max (moyenne, milieu)

tour mais aussi le bruit.

4.5. Re

Le ré haussement de contraste obéit à l’algorithme suivant :

Sinon min (moyenne, milieu)

Le ré haussement de contraste accentue les con

al images

MRI angiography (Ultra-Sound)

(X-Ray) echography

sonar CCD


Dans l itée, il faut

nter de deviner de quel type de bruit il s’agit. On sélectionne une partie que l’on suppose être uniforme sans le bruit. Puis on analyse cette partie de l’image avec un istogram tir ra st pothès sé (Χ²). Puis le

fi , pour la lo utilisée pour le test du Χ t appliq

e cas d’images réelles, ou il n’y a pas d’image de référence non brute

h me. A par de l’histog mme, un te d’hy e est réalimeilleur ltre i ², es ué.

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-1 0 1-1 0 1-1 0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

-1 -1 -10 0 01 1 1

. Edge detection 5 La détection de contours (edge detection) sert isoler un objet par sa forme. Un contour est un changement rapide d’intensité. 5.1. Gradient Le gradient est équivalent a un dérivateur analogique. Il très sensible au bruit.

|grad1| |grad2| max(|grad1|,|grad2|) threshold Gradient vertical gradient horizontal norme1 des deux grad seuil Comme le gradient est trop sensible au bruit, une détection de contours est communément utilisée : la détection de Sobel (il existe une variante de Prewitt).

|sobel1| |sobel2| max threshold

Ici l’astuce réside dans le fait que l’on filtre selon une direction et que l’on différencie selon une autre direction. Il reste cependant un problème, les objets peuvent apparaître avec des contours qui ne sont pas fermés. Il faut donc créer un algorithme qui ferme les contours.


Le laplacien (Laplacian) :

L’opérateur laplacien est une dérivation au second ordre :

⎛

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤⎥⎥⎥⎥⎥-1 4 -10 -1 0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢

⎤⎥⎥⎥-1 8 -1-1 -1 -1⎦

0 -1 0

⎣ ⎦⎥⎥

-1 -1 -1

∆f(x,y)= + ⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟∂x2 ( )f ,x y∂2 ⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟∂

∂2

y2 ( )f ,x y

cal de la dérivé première de la fonction (jaune), rsque le laplacien (vert) passe par zéro :

rouge : f jaune : df/dx vert : laplacien(f)

Ce passage est très intéressant car c’est un point précis.

Le laplacien a deux défaut, il est très sensible au bruit et la détection du passage par zéro n’est pas aisé. 5.2. Ré haussement (Enhancement) :

ré haussement peut être utilisé : f(x,y)-∆f(x,y). Il a pour effet d s contoDe même que le pre ement ue l’on a déjà vu,il est très sensible au

ruit.

Il permet de détecter le maximum ou minimum lolo

Le masque qui simule le laplacien est isotrope.

Il n’y a donc qu’une seule convolution à faire.

Un second’accentuer le urs.

mier ré hauss qb


L’effet de mise en relief (rouge)est réalisée en sommant le négatif de l’image originale( originale décalée(vert).

5.3. Mise en relief (« emboss ») :

jaune) avec l’image


5.5. Orientation analysis

5.6. Linear filtering and noise reduction

) composed of two homogenous We consider an image f(x,ystep wise transition (see figure below). This image is degraded by an additive white noise and stationary. As a consequence, we

g(x,y)=f(x,y)+b(x,y) We want to evaluate the effect of the mean in terms of edge degradation (the transition is enlarged).

Give a mathematical model of step u(x) (assuming the image ha

se response of the filter is given by :

regions separated by a

b(x,y), independent from f, centred observe the following image:

filter both in terms of noise reduction and f(x,y) in function of the unit

s infinite dimensions). The impul

)(1)(1),( yTxTyxh TT Π⋅Π=

This filter being separable, give the impulse responses hc and hl respectively corresponding to the processing of the columns and of the lines. Successively using the separability and the linearity of the

ng equivalent structures :

ompute teh deterministic part of the obtained image (i.e. the part corresponding to e filtering of f(x,y)). Characterize the fuzziness introduced on the edge by giving the

length L (centred on the origin) required to have 80% of the transition. Compute the variance of the random component (i.e. b(x,y)) at the output of each operation (after filtering of the columns, are the pixels of a given line still independent ?). What is the final gain of the mean filter in terms of noise reduction ?

O x

y g

rey level grey level 0 A

mean filter, we get the followi

h g gfiltered

hc hlgfilteredg

hc hlf

hc hl

gfiltered

b

Cth


Recalls on linear filtering… General framework : We have : )()( 2 νγνH ⋅ )(νγ s =

an − ⋅==Γ ννγνγ νπ dessTFt tjss 21 )()()(

th

e

+∞

d : { } ∫∞−

∫en : +

−

=∞

∞

ss )0(Γ ννγ ds )(

but, per definition : ∫+∞

∞−

en : sortiedss =Γ∞−

ττ

s a consequence, the output variance can be expressed in function of the modulus f the filter gain and the input power spectral density (which is a constant in case of a hite signal…).

−⋅=Γ τττ dtsstss )()()(

th )var()() 2s= ∫+∞

0(

Aow

Parceval equality: ∫∫∞−∞−

= dtthdH )()( νν

+∞+∞22

hinput e ts ou put


6. 2D Fourier Transform :synthetic image processing 6


Im1

Im2

TF

TF

| |

Φ

Φ

| |TF-1 TF-1

.1. Définition

a définition de la Tran continue dans R :

TF :

iables u et v sont des fré uences spatiales. De manière générale le module sera utilisé plus souve phase. En effet il est, encore aujourd’hui

assez difficile d’interpréter la phase de la TF.

6.2. Module ou phase (magnitude or phase)?

our v rifier les informations portées par la phase et le module des TF des ages, on « échange » les phases et les modules entre deux images :

Il est clair que la phase porte plus d’informations que le module car dans chacune des images, on reconnaît l’information protée par la phase.

Φ(woman)+|muscle| Φ(muscle) + |woman| Pour sentir de manière plus physique les informations contenues dans la phase et le module de la TF, examinons le cas du sinus qui pour |TF| un Dirac. Le module nous renseigne sur la fréquence du sinus, alors que la phase nous donne sa localisation (déphasage).

L sformée de Fourier (TF) pour une fonction f

[ ]∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

+−= dxdyvyuxiyxfvuF )(2exp).,(),( π

[ ]∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

++= dudvvyuxivuFyxf )(2exp).,(),( π TF-1 :

Les var qde la TF nt que sa

P éim

6.3. Carré -p


roduit de portes

de gauche sont des les images originales. Elles sont séparables, e la fonction de l’image peut se décomposée en un produit de

L’image de droite est obtenue par TF, recentrage, échelonnage logarithmique. Il y a toujours un pic central, sur la TF, qui représente la valeur moyenne.

riginal TF en dB

elonSur la TF apparaît bien la périodicité de l’image origimontre la valeur moyenne entourée des deux fondam

omme l’image est périodique, on vérifie que l’histogramme de la TF est bien discret.

Ici, les images'est-à-dire, quc

fonctions selon l’axe x et y : F(x,y) = f1(x) * f2(y) . Ainsi, l’image originale est un produit de portes. Or la TF d’une porte est un sinc.

Original TF e dB

HF

BF O - visualisation dynamique Ici, une TF une image péri le même procédé que ci-dessus.

nale. L’histogramme de la TF entaux et des harmoniques.

odique est réalisée, s

C

- translation La même image que ci dessus est reprise à ceci prés qu’elle n’est plus périodique car la dernière bande n’est plus entière. Le spectre devient alors continu.

dualité

y a un effet de dualité entre un signal et nces diminue et inversement (cette image

st à comparée à la série visualisation dynamique). es variables spatiales et fréquentielles sont donc duales car une contraction dans n domaine entraîne une dilatation dans l’espace dual.

- Il sa TF. En effet, lorsque la période du signal augmente, l’écart entre les fréqueeLu


-2D Sans surprise, la périodisation en 2D de l’image engendre une périodicité en 2D de la TF.

-disque & repliement (aliasing) : Comme le disque n’est pas parfait du fait de l’échantillonnage, l’image n’est pas continue. Elle est donc discrète, ce qui entraîne une périodisation du spectre : c’est le phénomène de repliement spectral (aliasing). Les superpositions du spectre provoquent des interférences, c’est pour cela que le spectre n’est pas un ensemble de cercles concentriques.

Rem 1 : La période entre deux motifs du spectre est inversement proportionnel à la moitié du pas d’échantillonnage de l’image originale.


- Equivalence entre la convolution discrète et le filtrage fréquentiel

Image originale carré conv masque TF-1( TF(masque).TF(carré)

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢ ⎦⎥⎥⎥

19

19

19

19

19

19

19

19

19

Masque TF du masque matrice du masque

TF du carré TF(carré ).TF(masque)

Il y a bien équivalence entre la convolution et la TF par la formule suivante :

g = f conv h => TF ) = TF (f) . TF(h)

(g


Annexe I : Exercice - Théorème coupe-projection Cet exercice introduit le théorème coupe-projection, qui est à la base de l'imagerie tomographique (imagerie médicale, contrôle n n-destructif…). Il établit une relation entre la transformation de Fourier 2D d'une image continue, et sa projection 1D suivant un angle θ. 1) On considère l’image continue : où = si �x� � �sinon 1a) Représenter l’image 1b) Calculer et commenter sa transformée de Fourier continue .

2) On définit le signal p ),

r p

2c) Que représente physiquement par rapport à ? 3) Soit , la transformée de Fourier continue de 3a) Donner l’expression de 3b) Peut-on observer une relation entre P et F ? 4) De façon générale, on définit :

o

)().(),( yxryxryxf −+= )(xr

),( yxf ),( vuF

∫= xfx ()() pou

dyy 2a) Calcule (x r l’image donnée en 1)

2b) Représenter le signal obtenu.

)(xp ),( yxf

)(uP )(xp . )(uP .

∫ + dyy )cos. θθ −= xyxfxp sin.,sin.cos.()( θθθ

Soit , la transformée de Fourier continue de Montrer qu’il existe une relation entre et

)(uPθ )(xpθ . )(uPθ )sin.,cos.( θθ uu

préc F .

la uestio que5) Utiliser q n édente pour montrer [ [{ }πθθ )( ,0∈/ ∈ etRI permx et de éterminer l'image

Annexe II : Rappel de quelques propriétés P1- Changement d’échelle :

si , avec

xp ),( yxf .d

).,.(),( ybxafyxg = 0≠a et 0≠b , alors : ),(.1),( b

vauF

bavuG ⋅=

P2- Décalage spatial byaxfy : si ,(xg )..(2),(),( bvauievuFvuG +−⋅= π ),() −−= , alors :

P3- Décalage fréquentiel : si uFvuG

),(),( 00 vvu ).0.0(2),(),( yvxuieyxfyxg +⋅= π −−= , alors :

P5- Retournement : s

P4- Conjugaison : **1 ))(()( fTFfTF =− et ** )),)(((),)(( vufTFvufTF −−=

i ),(),( yxfyxg −−= , alors : ,(),( uFvuG )v−−=

6- Rotation : si , alors :

)),((),( yxMfyxf θθ = )),((),( vuMFvuF θθ = P P7- Séparabilité : si , alors : )().(),( yhxgyxf = )().(),( vHuGvuF = P8- Différentiation :

),(2),)(( vuFuivuxf ),(2),)(( vuFvivuy

fTF π=∂∂ ),()(4),)(( 222

2

2

2

2vuFvuvuy

fxfTF +−=∂

∂+∂∂ π TF π=∂

∂


Annexe III : Théorème coupe-projection (éléments de correction)

b) rect t2

)) d dy

) = (x'-y'))) dx' dy'

) rect2(x') rect2(y') exp(-2i�

1a) losange 1 f(x,y) = r(x+y) r(x-y) = rect (x+y)2 2(x-y) car r = rec

F(u,v) = ∫ ∫ r(x+y) r(x-y) exp(-2i� (ux+vy x

on pose x'= x+y alors dx'dy'=2 dxdy y'= x-y

F(u,v (1/2) ∫ ∫ r(x') r(y') exp(-i�(u(x'+y')+v

F(u,v) = (1/2 ∫ ∫ (2

vu + ) x' + (2

vu − ) y')) dx' dy'

F(u,v) = (1/2) [2 sinc( 2 (2

vu + ))] [ 2 sinc(2(2

vu − )) ]

sinc( (u-v))

produit de sin vec orientation pale r le es

F(u,v) = 2 sinc( (u+v))

c a s princi s su s diagonal 2) a) p(x) = ∫ f(x,y) dy = ∫ r(x+y) r

r(x-y)=0 +y) r(x-y)=1 ⇔ x-1< y< 1 - x (se voit graphiquement)

p(x) =

(x-y) dy p(x) = p(-x) donc on le calcule pour x>0

Si x>1 alors r(x+y)Si 0 <x<1 r(x

∫−x1

1-x dz = 1-x-(x-1)= 2 - 2x

Si -1<x<0 p(x)=p(-x)= 2 +2x <1 p(x)=0

)

gle ésente la projection de l’image dans la direction 0 (sommation

sur des lignes verticales)

3) P(u) 2(1-x) exp(-2i�ux) dx + 2(1+x) exp(-2i�ux) dx

Si x

d'ou p(x) = 2 (1-abs(x)) r(x) = tri(x

b) Fct trian c) p(x) repr

= 0

1

∫−1

0

∫

1-x

x-1 -1-x

x+1


P(u) = 1

∫ 2(1-x) exp(-2i�ux) dx + 1

∫ 2(1-x) exp(+2i�ux) d0 0

x

P(u 4 cos(2�ux) dx - 4 x cos(2�ux) dx

P(u) = 4[sin(2�ux)] /(2�u) - 4([xsin(2�ux)] /(2�u)

4 sin(2�ux)/(2�u)dx

P(u) = 4 [- / (2�u)2 = 4 (1-cos(2�u) ) / (2�u)2

P(u) = 2 sin2 (�u) / (�u)2 = 2 [ sinc (u) ]2= F(u,0)

4) p (x) = f(x cos�-y sin�, x sin�+y cos�) dy

P�(u) = p�(x) exp(-2i� ux) dx

2i� ux) dx dy

P (u) == f(x', y') exp(-2i� u(x' cos� + y' sin� )) dx dy

� f(x' P (u) = F(u cos�, u sin�). 5) Si on connait { p�(x) / x ∈R et �∈ �π� } en prenant la TF de chaque projection, on connaradiale

) = 0

1

∫ 0

1

∫10

10

0

1

∫+

10

cos(2�ux) ]

� ∫∫

P (u) == ∫ f(x cos�-y sin�, x sin�+ y cos�) exp(-� ∫�

P (u) == ∫ ∫ , y') exp(-2i� (x'(u cos� + y' (u sin� ))) dx dy ∫ ∫

�

it { P�(u) / u ∈R et �∈ �π� }, c'est à dire la TF de l'image en coordonnées s. Donc par TF inverse, on peut retrouver l'image.


7. 2D Fourier Transform : real image processing

Le but de cette partie est de montrer comment il est possible d’interpréter la TF d’une est considérer que

l’image est repliée sur elle-même : la suite du bord gauche est le bord droit, …

Sur la TF, apparaissent un pic central le fait que la

plupart des informations sont les BF et trois droites.

Les droites représentent des nuités ou des contours. Elles

sont perpendiculaires aux discontinuité qu’elles représentent.

Sur l’image de la femme, les droites verticales et horizontales sont l’effet du repliem ords chapeau.

ements entres les dalles ou les néons.

Ici l’image est concentrée dans les BF. Deux points blancs apparaissent : ce sont les fréquences des stries de l’image.

7.1. Quelques exemples

image réelle. Cela est loin d’être intuitif. Pour le calcul de la TF, il

(la moyenne de l’image),

concentrer dans

disconti

ent des b . La droites oblique est l’effet engendré par le

Ici on voit bien les espac


Les petits correspondent aux fenêtres et aux

traits obliques

drapeaux.

7.2. Textures Les motifs se répétant sont caractéristiquintéressante, car on peut observée la dualité

y a deux types de stries : visible sur la TF

c motifs rapprochés Petits motifs->TF avec motifs éloignés

es des textures. Cela rend leur TF et les information contenu dans la TF.

La TF permet de reconnaître une texture. Ici, la TF est un bruit blanc. Il Gros motifs -> TF ave


7.3. Filtrage fréquentiel

.3.1. Passe-bas et passe-haut « idéaux »

Passe Bas idéal Un flou apparaît

Il y a de la résonance de

Seuls les contours apparaissent.

omme les filtres PB et PH idéaux semblent un peu violent, ette des fréquences, la transition peut être ad l 2 paramètres : le rayon et la chute :

7

contours.

Passe haut ideal

7.3.2. Filtre de Butterworth C du fait de leur troncature n oucie : c’est le filtre de Butterworth .Ia

On remarque qu’avec ce filtre, l’essentiel de l’image est conserve l’information se trouve donc dans les BF. (compression)

ée. La majeure partie d


7.3.3. Filtre de Gabor Le filtre de Gabor est une ellipse avec une décroissance gaussienne. Il a donc trois

elon laquelle on ne dégradera as l’image ( ou les HF ne seront pas coupées).

perpendiculaire à la direction du filtre n’est pas dégradé :

paramètres : . Il permet de sélectionner la direction sp Dans cet exemple, la séparation en ciment du carrelage

Comme l’image a des stries engendrée par l’acquisition, il faut les . Il faut donc supprimer les pics sur le graphe de la TF.

supprimer

Image originale TF 2D TF 3D

Filtre TF(Image finale) Image finale Rem : Il est possible de mettre des filtre de butterworth sur les pics pour améliorer l’image.


8. Bases of mathematical morphology .1. Eléments de morphologie mathématique 8

Les éléments de morphologie sont des opérateurs non linéaires qui comparent localement l’image avec une forme de référence (appelé élément structurant) et prennent une décision par rapport à l’environnement direct du pixel. L’idée de la morphologie mathématique est de combiner deux opérateurs duaux. Les deux opérateurs de bases sont :

• L’érosion : l’érosion est le lieu des points de l’image tel que l’élément structurant placé en ce point est inclus dans la forme.

• La dilatation : la dilatation est le lieu des points de l’image tel que l’élément structurant placé en ce point a une intersection non vide avec la forme.

L’effet de la dilatation est la fusion des formes. Elle est équivalente à une érosion sur le fond.

L’effet de l’érosion est l’amincissement des formes, le gommage des petites formes, la déconnexion des éléments.

Originale érosion avec un carré dilatation avec un carré

pérateurs sont indépendant du niveau de gris global (absolu). Ils ne dépendent que de

la qui les rend intéressant.

uverture fermeture

Les o

l’environnement local. C’est ce

O


Alors il peut être envisager de faire de la détection de couvertures, des fermetures et l’image originale.

ntours en manipulant des

La transformation Top-Hat 1 correspond à l’image originale moins le résultat de l’ouverture.

La transformation Top-Hat 2 correspond au résultat de la

s l’image originale.

Ferme

Cette transformation engendre un problème de localisation du contour. En effet l’épaisseur symbolisant le contour se trouve à l’intérieur de l’objet et non à cheval entre les deux objets.

riginal – image érodée C gdu contour. En effet l’épatrouve à l’extérieur de l’obobjets.

o

Ouverture top-hat seuillage

fermeture l’image original moin

ture top-hat seuillage

O

endre un problème de localisation isseur symbolisant le contour se jet et non à cheval entre les deux

ette transformation en

Image dilatée – original


Cette transformation engendre un problème d’épaisseur du c seutrouve bien à cheval mais lque pour les détections deIl est possible de palier à cet effet en diminuant la taille de l’élément structurant. La taille minimum étant bien sûr celle du pixel, la résolution de l’image devient alors le facteur limitant ; le contour a alors pour épaisseur deux pixels.

phologique peut se décomposer en une suite d’érosion et de

au minimum du voisinage. Rem 3 : Pour la dilatation, le passage de la couleur au N&B se fait en prenant le

aximum du voisinage.

r symbolisant le contour se e trait est deux fois plus épais contours vues précédemment.

ontour. En effet l’épais

Image dilatée – image érodée Rem 1 : Tout filtre mordilatation. Rem 2 : Pour l’érosion, le passage de la N&B se fait en prenant le couleur

m



9. Detection by correlation 9.1. Détection par corrél

voir Annexe ci-dessous .2. Détection par corréla

a phase de la transformée de Fourier d’une image, bien que plus difficilement terprétable que son module, est porteuse de beaucoup d’information. Pour utiliser

ation (Detection by correlation) :

tion de phase (Detection by correlation of phase) : 9

Lincette information, on peut calculer :

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 21 1,TF I Conj TF I

orr I I TF TF TF I Conj TF I− −⎡ ⎤×

1 2 1 21 2

p TF I Conj TF I⎡ ⎤⎢ ⎥= = Φ × ΦC ⎣ ⎦ .

se de l’image

Le but de cette application est de compter les roulements à billes de cette image. Comme l’image semble déformée du fait de la forme des capteurs de la caméra CCD, il faut le prendre en compte. En effet, il semble que les capteurs soient des rectangles de rapport de coté 3/2, et non des carrés. Cela donne une forme elliptique aux roulements. On effectue alors un gradient morphologique.

Après l’application du gradient morphologique à l’image, on observe qu’une partie des zones claires de l’image a disparue. Seuls les contours restent encore en clair.

On effectue alors un seuillage, qui correspond à une prise de décision sur les éléments sur lesquels on aura a faire un traitement.

×⎢ ⎥⎣ ⎦Avec qui est liée à la pha 9.3. Application :


On effectue unfond noir, de m

corrélation avec image d’ellipse blanche sur ême taille que les roulements à billes de

l’image. ymbolisent là ou l’image e blanche. Comme les

roulements ne sont entièrement blancs et certains contours peuvent se confondre avec les roulements ; des parasites apparaissent alors.

que que le résultat n’est pas parfait : il manque un roulement à bille

image réelle de roulement pour faire la corrélation.

et la forme des capteurs peuvent source de éformations.

Il apparaît des pics de blanc qui sest la plus ressemblante à l’ellips

Le seuillage fait alors office de filtre. Mais on remar

(en haut à droite). Pour corriger ce problème on peut réajuster le seuillage, ou prendre une

em 1 : Le mouvement, la perspective R

d

Exemple : forme des capteurs non carré

Rem 2 : Pour palier au fait que l’on a pas tous les roulements, on peut créer un ache car la localisation des roulements sur l’image est connue.

em 3 : Pour palier au fait que l’on a pas tous les roulements, on peut utiliser un filtre e Gabor .

r lapasser par la TF. En effe TF(f) . TF(h)* .

c Rd Rem 4 : Pour implante corrélation de manière informatique, il est préférable de

t : TF(f©h) =


Annexe : Corrélation d' Le produit de corrélation associe à deux images,

images continues

( )yxf , et ( )yxg , , une nouvelle image, notée ) ,

( yxgf ,⊗ définie par :

( ) ( ) ( ) βαβαβα ddyxgfyxg −−⋅=⊗ ∫∫ ,,, (1)

) en termes d'un prod

f 1) Exprimer la relation (1 uit de convolution.

er la transformée de Fourier du produit de corrélation à partir des ier

Fourier. 3) On pose

2) Exprimtransformées de Four de f et g . On notera F l’opérateur de transformation de

( ) ( )0, yy− . Donner l’expression de 0, xxfyxg −= ( )yxfg ,⊗ en fonction de la de f , fonction d’autocorrélation ( ) ( )yxffyxAf ,, ⊗= .

4) On pose ).

a) Calculer la fonction d’autocorrélation de , et la représenter. ( ) (yrectxrectyxf YX ⋅= )(,

f b) soit ( ) ( ) ( )2211 )()(, yyrectxxrectyyrectxxrectyxg YXYX −⋅−+−⋅−= ,

Calculer ( )yxgf ,⊗ .

5) On peut montrer que la fonction d’autocorrélation d’une image est maximale lorsque

f , ( )yxAf ,

0==yx . En déduire une méthode pour identifier une forme dans une image . Présenter la méthode sous la forme d’un schéma algorithmique. Combien d’éléments cette méthode permettra -t-elle de détecter dans l’image ci-dessous ? Comment adapter la méthode pour que tous les éléments soient détectés (Donner le schéma algorithmique correspondant) ?

: :

- -

(x,y) = f

),( yxh ),( yxg

),( yxh ),( yxg

Eléments de correction 1) f ⊗ g (x,y) = f * g (x,y) avec g (x,y) = g (-x,-y) 2) F(f ⊗ g) (u,v) = Ff(u,v) Fg(-u,-v)

) f ⊗ g ⊗3 f (x-x0, y-y0) = Af (x-x0, y-y0)

= triX (x- x1) triY (y- y1) + triX (x- x2) triY (y- y2) 5) a) Méthode pour identifier une forme h(x,y), dans une image g(x,y) : Pour chaque translation x0, y0 calcul g (x,y) avec g (x,y) = f (x-x0, y-y0) Prendre (x0, y0) qui réalise le max de Af (x-x0, y-y0)

4) a) Af (x, y) = A rectX (x) A rectY (y) = triX (x) triY (y) b) f ⊗ g (x,y) = Af (x- x1, y- y1) + Af (x- x2, y- y2)

de f ⊗


// ou garder les points qui donnent une valeur au dessus d’un certain seuil (si on a plusieurs objets à détecter)

ents s l’im nts, il faut introduire une rotation :

Pour chaque translation x0, y0 Pour chaque rotation �

b) La méthode permettra de détecter 2 élém dan age ci-dessous c) Pour détecter tous les éléme

calcul de f ⊗ g (x,y) avec g (x,y) = f (M�

Prendre (x , y �) qui réalise le max de A (x-x (x-x0, y-y0) )

0 0 f 0, y-y0) //idem


10. Restoration and inverse filtering

r, plutôt que

itée (g) est une CL des ses voisins dans l’image originale ). En effet, l’image originale semble déformée par un mouvement lors de la prise de ue, et cela se traduit par un moyennage de l’intensité selon la direction du ouvement.

Image originale = TF -1 ( image dégradée / masque) + TF -1 ( bruit / masque ) Comme on ne connaît pas le masque, il faut l’identifier. Pour cela on recherche un endroit sur l’image ou l’on croit connaître la forme de départ. Souvent c’est la réponse à une impulsion que l’on cherche, ainsi on dispose directement de la fonction de transfert de l’effet du masque -qui est une transformation. Une impulsion est un point d’un niveau de gris sur un fond d’un niveau de gris différent. Ici on cherche l’effet de la dégradation sur une étoile (point blanc sur un fond noir). One would like to analyze the surface of the moon, but, hell !, the acquired image is of poor quality. As a matter of fact, a movement of the camera during the long-exposure acquisition led to a fuzzy image…

La démarche est de modéliser la dégradation pour pouvoir la corriged’essayer un tas de filtres au hasard. 10.1.1 Unhook the moon ! Chaque pixel de l’image bru(fvm

10.1.2 Modelling the problem A fairly simple mathematical model can be given for the degradation undergone by this picture. The resulting grey level of each pixel is the average grey level “seen” by the pixel during the movement. Assuming the movement is rectilinear, this is modelled by a convolution of the original image f(x,y) (with no noise) by a linear mask whose size corresponds to the movement amplitude.


With: f(x,y) the original image (unknown) h(x,y) the convolution mask or impulse response (length unknown)

g=f * h. nknown noise b(x,y). Assuming it is additive, we have:

Assuming the noise can be neglected, this turns to :

r

,y) is restored

re B/H cannot be neglected any

longer: the restored image is then heavily corrupted by the noise. This problem can be tackled by using a filter whose transfer function is 1/H when |H| is greater than a given threshold �, and zero otherwise (pseudo-inverse filtering). 10.1.3 Identifying the model’s parameters Intuitivement, la déformation semble être celle d’un un défaut de focale : traînée selon la direction horizontale. On fait alors plusieurs coupes verticales pour voir si il y a une discontinuité sur le fond (éventuellement après un seuillage). Oh miracle, il y en a une en haut à gauche ligne 32. On refait une coupe sur la ligne 32 pour voir la taille du trait : 27.

ng the parameters of the designed model. e can be lucky… if a far star is in the black

ackground of f(x,y), it can be consider as a Dirac. In g(x,y), it then directly leads

g(x,y) the observed fuzzy image we have:

There can also be some ug=f * h+b.

Computing the Fourier Transform of the previous equation, we get: G=F.H+B and then :

F=G/H-B/H

F=G/H The original image f(x,y) can then be recovered by computing the inverse FourieTransform. This restoration technique is called by (pseudo) inverse filtering (f(xthanks to a filter whose transfer function is 1/H) However, directly applied, this method may fail. Actually, for the frequencies wheH gets null (or take values extremely close to zero),

The first operation consist in identifyiWith astronomic images, onbto the impulse response of the filter who degraded the image (i.e. h)… Look for such a star in the dark regions of g (use profiles, thresholds…). If one can’t directly estimate h from g, another solution consists in the trial-error strategy.


10.1.4 Using the identified model The image can now be restored. Try various values of �, try to slightly change the size of the mean filter…

ment.

n m ly further improve the result (contrast, edges…). You can is method with other filters providing a contrast enhancement (leading y transitions).

ter…)

Please com

10.1.5 Further studies…

Once a reasonably good quality obtained, don’t stop ! You ca ost possibcompare thto less fuzzYou can also start to analyse the restored image. For instance, try to extractsome craters, derive quantitative results (area, diame

10. Onsegof poor quality. As a matter of fact, the background is not uniform, and neither are the seeds…

2.1 A portion of rice…

e would like to analyze a picture featuring some rice seeds. The aim is to obtain a mented binary image, but, hell !, this is not that easy since the acquired image is


at shall we do ? Wh

Dans ce cas le problème est radicalement différent. En effet la dégradation de l’image est clairement causée par les défauts de l’appareil numérique : l’appareil est moins sensible au contraste sur les bords. Pour dénombrer les grains de riz, un seuillage pourrait faire l’affaire si le fond au centre de l’image était plus sombre que les grains de riz du bord de l’image. Ce n’est pas le cas. Il faut donc essayer autre chose. Une coupe peut nous permettre de mieux comprendre cette dégradation :

n a le choix de modéliser le dôme ou de prendre une image à vide (ou image du noir) si l’on possède l’appareil. La technique de photo du noir est souvent utilisée, notamment en astronomie pour corriger les défauts des appareils d’observation. Conclusion :

Les pics sont les grains de riz. Il apparaît que le fond possède une déformation comme une coupole. Il serait intéressant de soustraire cette déformation à l’image. Puis ensuite de faire une seuillage et une fermeture. Alors les grains de riz pourraient être dénombrés. O

Chaque image exige un traitement différent et adapté. Le travail de l’ingénieur est justement d’utiliser les outils adéquates parmi les techniques étudiées. Remerciements : Jocelyn Chanussot,


digital image processing af - freepro.fouille.antoine.free.fr/realisation/dip.pdf · digital images...

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