Karine Vasseur - TSC1 – 2004 - 2005

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DEVOIR SURVEILLE DS 6 LUNDI 7 FEVRIER 2005 - 3H

Exercice 1 1. Détermination expérimentale de l'inductance L d'une bobine On réalise le circuit électrique représenté ci dessous (figure 1) comprenant un GBF, une bobine de résistance r et d'inductance L et une résistance R = 1,0.104 Ω montés en série. Le GBF délivre une tension alternative triangulaire (tension en dents de scie) de fréquence f = 1,0 kHz. Un système d'acquisition de données relié à un ordinateur permet d'afficher à l'écran les variations en fonction du temps de la tension UL(t) aux bornes de la bobine et de l'intensité i( t) du courant qui circule dans le circuit (figure 2).

figure 1 figure 2 1. Vérifier à l'aide de la figure 2 que la fréquence du GBF est effectivement réglée sur 1,0 kHz. 2. Quelle est l'expression de la tension mesurée sur la voie 2 du système d'acquisition ? En déduire les

opérations que devra effectuer le logiciel de traitement des données pour afficher l'intensité à l'écran.

3. Exprimer la tension uL aux bornes de la bobine en fonction des caractéristiques de la bobine, de l'intensité i du courant et de sa dérivée dt

di .

4. Sur la figure 2, la représentation graphique de la fonction i(t) montre qu'en réalité, les crêtes de l'intensité sont arrondies. Dans ces conditions, la tangente au sommet est horizontale. En déduire une expression simplifiée de uL quand l'intensité dans le circuit est extrémale.

5. On néglige dans la suite le terme faisant intervenir r dans l'expression de uL ainsi que les arrondis des crêtes de l'intensité. A partir de la demi-période comprise entre les points C et D de la figure 2, mesurer uL, calculer dt

di et en déduire la valeur de L.

II. Constante de temps d'un circuit RL La bobine, de résistance interne r = 12 Ω, est maintenant montée en série avec une résistance R' = 100 Ω aux bornes d'un générateur idéal de tension, de f.e.m. E = 6,5 V (figure 3). Le système d'acquisition permet de suivre l'évolution de l'intensité du courant dans le circuit en fonction du temps. La fermeture de l'interrupteur à l'instant t = 0 déclenche l'acquisition. L'enregistrement obtenu est représenté sur la figure 4.

figure 3 figure 4 1. Etablir l'expression donnant l'intensité du courant en régime permanent en fonction des

caractéristiques du circuit. 2. Vérifier que la valeur de l'intensité du courant en régime permanent obtenue sur le graphe de la

figure 4 est en accord avec les données de l'énoncé. 3.

a. Rappeler l'expression de la constante de temps d'un dipôle RL. b. Déterminer graphiquement sa valeur en faisant figurer la méthode utilisée sur la figure 4 ci-

dessus, à rendre avec la copie. Vérifier que cette valeur est en accord avec celle de l'inductance de la bobine calculée à la question I-5.

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Exercice 2 Le but de l'exercice est de déterminer les caractéristiques d'une bobine. Un montage électrique est constitué d'une bobine d'inductance L et de résistance r, en série avec une résistance R = 875 Ω, alimentés par un générateur basse fréquence (G.B.F), délivrant une tension rectangulaire uG (figure 1). Cette tension vaut soit uG = 0 V durant une demi-période, soit uG = + E = 4,00 V durant l'autre demi-période. On note uB la tension aux bornes de la bobine. On note uR la tension aux bornes de la résistance. Le sens pris arbitrairement comme sens positif du courant est indiqué sur la figure 1. 1. Etude expérimentale à partir des oscillogrammes 1. On visualise simultanément sur l'écran d'un oscilloscope, les tensions uG et uR (figure 2). Sur votre

copie, recopier le schéma de la figure 1 et indiquer sur ce schéma les branchements de l'oscilloscope pour visualiser uG en voie A, et uR en voie B.

Les réglages de l'oscilloscope sont les suivants :

sensibilité pour la courbe 1 : 2 V/div durée de balayage pour les deux voies : 0,2 ms/div sensibilité pour la courbe 2 : 1 V/div

Pour plus de clarté, on a décalé la trace représentant 0 V pour la courbe 1, de 3 divisions vers le bas. 2. Justifier que la courbe 1 correspond à la visualisation de la tension uG délivrée par le générateur. 3. Expliquer pourquoi la courbe 2 permet de connaître l'allure de l'intensité i dans le circuit. 4. Au cours de la première demi-période à l'écran (figure 2), interpréter brièvement et sans calcul,

l'évolution de l'intensité. 5. On admet que la tension uR atteint 63 % de sa valeur maximale au bout d'une durée τ appelée

constante de temps. Déterminer τ à partir de la courbe utile de la figure 2. Le régime permanent est atteint quand l'intensité du courant est stabilisée : elle vaut alors soit imax, soit 0. 6. Déterminer imax. 2. Détermination de la résistance r de la bobine 1. Exprimer les tensions uB et uR en fonction de i ou de sa dérivée par rapport au temps, en tenant

compte du sens positif choisi arbitrairement pour l'intensité sur la figure 1. 2. On se place en régime permanent dans le cas où uG = E ; ceci correspond à la première demi-période

à l'écran de la figure 2. Que deviennent alors les expressions des tensions uB et uR ? 3. Ecrire, en la justifiant, la relation entre E, uB et uR. 4. En déduire l'expression littérale de la résistance r de la bobine.

Calculer sa valeur à partir des résultats précédents.

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3. Etude de la constante de temps L'expression de la constante de temps théorique du circuit de la figure 1 est τ = R r

L+ .

1. Vérifier que l'expression R rL+ est homogène à une durée.

2. Donner l'expression littérale de l'inductance L de la bobine. Calculer sa valeur numérique à partir des résultats précédents.

3. On double la valeur de l'inductance L tout en maintenant (r + R) constante. On obtient alors l'une des courbes de la figure 3. Laquelle ? Justifier.

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Exercice 3 La littérature donne les constantes d'acidité à 25 °C. Cet exercice propose une méthode conductimétrique pour déterminer la constante d'acidité de l'acide benzoïque C6H5CO2H à 20 °C, température usuelle dans les laboratoires. Cette méthode ne nécessite pas de disposer des valeurs numériques des conductivités molaires ioniques à 20 °C, non données dans la littérature. On exploite les résultats des mesures de la conductivité σ des solutions d'acide benzoïque de différentes concentrations préparées par dilution d'une solution S0 de concentration molaire en soluté apporté c0. L'acide benzoïque étant difficilement soluble dans l'eau, la concentration molaire en soluté apporté c0 de cette solution n'est pas connue de façon sûre à partir de sa préparation. II faut donc préalablement titrer cette solution et on réalise ici un titrage conductimétrique. Les deux parties à traiter sont indépendantes. 1. Détermination préalable de la concentration molaire en soluté apporté de la solution S0 d'acide benzoïque par titrage Mode opératoire Dans un bécher, on introduit un volume V = 100,0 mL de la solution aqueuse S0 d'acide benzoïque. On plonge la cellule de conductimétrie dans cette solution. On verse, à l'aide d'une burette graduée, une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium ou soude Na+

(aq) + HO-

(aq) de concentration molaire en soluté apportée cb = 0,10 mol.L-1, en notant à chaque ajout la conductivité σ de la solution. La figure 1 ci-après représente les valeurs de la conductivité σ pour les différents volumes Vb de soude versés.

a. Ecrire l'équation de la réaction modélisant la transformation, considérée comme totale, qui se produit au cours de ce titrage.

b. En utilisant les résultats expérimentaux et en donnant la définition de l'équivalence, déterminer la concentration molaire c0 de la solution S0 en acide benzoïque apporté.

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2. Constante d'acidité de l'acide benzoïque Mode opératoire A l'aide de la solution S0 de concentration molaire en soluté apporté c0, on prépare des solutions diluées de concentrations décroissantes : 5,0.10-3 mol.L-1 ; 2,5.10-3 mol.L-1 ; 2,0.10-3 mol.L-1 ; 1,0.10-3 mol.L-1 ; 6,7.10-4 mol.L-1 ; 5.10-4 mol.L-1. On mesure la conductivité σ de la solution S0 et des solutions diluées en plongeant dans chaque solution la même cellule de conductimétrie. Le tableau ci-dessous donne les résultats des mesures.

c (en mol.L-1) 1,0.10-2 5,0.10-3 2,5.10-3 2,0.10-3 1,0.10-3 6,7.10-4 5,0.10-4

σ (en µS.cm-1) 273,4 189,0 132,0 115,0 81,3 61,7 52,1 On néglige l'autoprotolyse de l'eau. a. Ecrire l'équation de la réaction entre l'acide benzoïque et l'eau. b. On considère un volume V de la solution d'acide benzoïque de concentration molaire en soluté

apporté c. Recopier et compléter le tableau descriptif de l'évolution du système.

Equation chimique C6H5CO2H(aq) + ……………… = ………………+ ………………

Etat du système Avancement en mol Quantité de matière en mol

Etat initial 0 n0 = ……………… ……………… ……………… Etat intermédiaire x n = ……………… ……………… ………………

Etat final ou d'équilibre xf = xeq nf = ……………… ……………… ……………… c. Donner, en fonction de l'avancement, de la concentration c et du volume V, l'expression littérale du

quotient de réaction Qr et celle de la constante d'acidité K de l'acide benzoïque. d. Définir le taux d'avancement final τ de la transformation. e. Montrer que l'avancement final ou avancement à l'équilibre est : xf = xeq = τ. c.V. f. Exprimer la constante d'acidité Ka en fonction du taux d'avancement final τ et de la concentration c

de la solution. g. Donner la relation entre la conductivité σ de la solution et les conductivités molaires ioniques des

ions présents λH3O+ et λC6H5COO-. Etablir la relation entre la conductivité σ, le taux d'avancement final τ, la concentration c de la solution et un coefficient a = λH3O+ + λC6H5COO-.

h. En utilisant l'expression de la constante d'acidité Ka et celle du taux d'avancement final τ obtenues dans les questions précédentes, on obtient la relation 1 suivante :

c2σ = - Ka a c

σ + Ka a2 (relation 1)

La figure 2 ci-après représente les variations de c2σ en fonction de c

σ pour les différentes mesures

effectuées. L'équation de la droite obtenue (qui n'est pas à établir) est :

c 0-32σ = - 2,63.1 cσ + 8,15.10 (relation 2)

A partir d xpressions

elation 2, la valeur

-2

avec σ en S.m-1 et c en mol.L-1. e la relation 1, donner les e

littérales du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine de la droite représentée. Déduire de ces résultats et de la rde la constante d'acidité de l'acide benzoïque à la température de l'expérience.

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CORRECTION DS 6

xercice 1 E

ation expérimentale de l'inductance L d'une bobine

. Sur la figure 2, on voit que la période T de i(t), donc de u(t), est égale à 5 divisions, soit T = 1,0 ms.

1. Détermin 1

On en déduit alors que la fréquence f correspondante est égale à : f = T1 = 1,0 kHz.

2. nt de données doit diviser le signal reçu sur

La tension u2 mesurée sur la voie 2 est égale à : u2 = –Ri. Pour afficher l'intensité à l'écran, le logiciel de traitemela voie 2 par – R, soit par – 1,0.104 (ou multiplier par – 1,0.10-4).

3. La bobine est réelle. La tension à ses bornes s'écrit : uL = L dt e

di + ri.

4. La tangente aux sommets étant horizontale, cela signifie qu dtdi = 0.

Dans ce cas, lorsque i est extrémale, uL = rimax. 5. LLa tension aux bornes de la bobine s'écrit : uL = dt

di .

Graphiquement, on voit que : ∆t∆i =

2Ti 2 max = T

i 4 max . De plus, uL = 200 mV.

Ainsi, on a : L = dtdi

u max L = 0,125 H.

I. Constante de temps d'un circuit RL I

1. D'après la loi d'additivité des tensions, on a : E = uL + u = L dt

di + (r + R')i.

nitiales (i = 0 à t = 0) est : La solution de cette équation différentielle, compte tenu des conditions i

i(t) = imax ( 1 – e-t/τ) où τ = R' r

L et i+

max = R' r +

2. Graphiquement, on lit : imax = 58 mA.

E

D'après les données de l'énoncé, on a : imax = 1126,5 ≈ 58 mA.

3.

La valeur lue graphiquement est en accord avec les données.

Pour un dipôle RL, la constante de temps s'écrit : τ = R rL+ . a.

b. Pour t = τ, i(τ) = 0,63 i ≈ 37 mA. Graphiquement, on max trouve : τ = 1,2 ms. Cela correspond à une inductance L égale à : L = τ (R' + r) = 0,13 H. Cette valeur correspond à celle déterminée précédemment.

xercice 2E

périmentale à partir des oscillogrammes

. On réalise les branchements ci-contre :

1. Etude ex 12. D'après l'énoncé, la tension délivrée par le générateur est une

tension rectangulaire, ce qu'on visualise sur la voie 1. De plus, on constate que la valeur maximale de la tension correspond à 4 V, valeur donnée dans l'énoncé. La courbe 2 correspond à l3. a tension aux bornes de la résistance. D'après la loi d'Ohm, cela correspond à uR = Ri.

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Ainsi, à un facteur R près, on observe l'évolution de i en fonction du temps sur la voie 2. Au cours de la premiè4. re demi-période, uG = E et l'oscillogramme correspond à l'établissement du

ire jusqu'à courant dans le circuit électrique. L'intensité augmente durant le régime transitoatteindre sa valeur maximale en régime permanent.

5. Graphiquement, on cherche t pour lequel uR = 0,63 umax. On lit : t = τ = 0,10 ms.

6. i : i = Sur la voie 2, on lit u : u = 3,5 V. On en déduitRmax Rmax max max RuRmax = 4,0 mA.

2. Détermination de la résistance r de la bobine 1. En convention récepteur, on a : uB = L dt

di + ri et uR = Ri.

2. En régime permanent, i = imax = cste. Ainsi, dtdi = 0 et uB = rimax et uR = Rimax.

des tensions, on a : E = u3. D'après la loi d'additivité B + uR. En régime permanent, cela équivaut à : E = ( R + r) imax.

4. On a : r = imax

E - R soit r = 125 Ω.

3. Etude de la constante de temps

1. [ R rL ] ∪ [u]

A xAT. [u] [L] = = T : R] [r ++ R r

L+ est homogène à un temps.

2. D s : L = τ (R r), soit L = 0,10.10'aprè ce qui précède, on a + 3 = 0,10 H. i on d uble L, alors τ est au ublé. D ,63 uRmax pour t = 0,20 ms. Cela

-3 x 1,0.103. S o ssi do ans ce cas, on obtiendra 0

correspond à la courbe A.

ercice 3Ex 1. Détermination préalable de la concentration molaire en soluté apporté de la solution S0 d'acide enzoïque par titrage

ique qui a lieu a pour équation chimique :

b a. La réaction acido-bas

C6H5CO2H(aq) + HO-(aq) = C6H5CO2

-(aq) + H2O

ues : cbVbeq = c0 V. On trace les deux demi-droit .

b. A l'équivalence, les réactifs sont les proportions stœchiométriqes qui passent par les points expérimentaux

Graphiquement, on lit : Veq = 9,5 mL. On en déduit la valeur de c0 : c0 = cb V

Vbeq = 9,5.10-3 mol.L-1.

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2. Constant

. La réaction acido-basique qui a lieu a pour équation chimique :

e d'acidité de l'acide benzoïque a

C6H5CO2H(aq) + H2O = C6H5CO2-(aq) + H3O+.

. On obtient : O = C6H5CO2

-(aq) + H3O+

bEquation chimique C6H5CO2H(aq) + H2

Etat du système Avancement en mol Quantité de matière en mol

Etat in 0 itial n0 = cV solvant 0 0 E n = cV - x x tat intermédiaire x solvant x

Etat fi ilibre xf = xeq nf fnal ou d'équ = cV – x solvant xf xf

c. Par définition, le quotient de réaction Q a pour expression : r

Qr = ]HCOH[C

]OH[ . ]COHC[ 32(aq)56+−

= x) (cV V −

l'acid

x2

2 (aq)56

La constante d'acidité de e benzoïque a pour expression :

Ka = ]HCOHC[ (aq)256 f

]OH[ . ]COHC 3 f2(aq)56 f+−

= [

)(V x2

f x -cV f

d. τ = Par définition, xxmax

f .

e. Puisque l'acide benzoïque est le réactif limitant, alors xmax = cV. On peut en déduire l'expression de xf : xf = τ. c.V

f. A partir du tableau d'avancement, on peut écrire :

]COHC[ 2(aq)56− = [H3O+] = V

xf = τc et ]HCOHC[ = c - (aq)256 f Vxf = c ( 1 - τ).

On en déduit l'expression de K : Ka a = ) - (1 cc) ( 2τ =

τ τ τc 2

- 1g. En négligeant l'autoprotolyse de l'eau, la solution ne contient que les ions C6H5CO2

-(aq) et H3O+. Ainsi,

la conductivité σ a pour expression : σ = λ [H O+] + λ −

H3O+ 3 C6H5COO- H3O+ C6H5COO-

h. D'après la relation 1: - le coefficient directeur a pour expression -

]COHC[ 2(aq)56 = (λ + λ ) cτ = acτ.

Ka a ; - l'ordonnée à a a2.

la relation 2, on a : K a2 = 8,15.10-2 et Ka a = 2,63.10-3. l'origine a pour expression K

Par identification avec a

On a alors : Ka = a . K

aK2

a = )( 2

a 10.15,8)( 3 2−10.63,2

2− = 8,49.10-5