dess06

Contrle et commande des actionneurs lectriques - dure 3h - G. Clerc

Estimation et observations des grandeurs non mesurables

1

Plan du cours

Gnralits

Estimateurs

Observateur



2

GnralitsButReconstruire des grandeurs (dtat) non mesurables (flux rotorique, glissement ...) oudifficilement mesurables (couple, vitesse...).Moyens EstimateursUtilisation d'une reprsentation de la machine sous forme d'quation de Park dfinie en rgimepermanent (estimateur statique) ou transitoire (estimateur dynamique).L'estimateur est obtenu par une rsolution directe des quations associes ce modle. Ilfonctionne en boucle ouverte. ObservateursLobservateur est un estimateur pour lequel la grandeur estime est corrige par un terme quidpend dune erreur construite partir de grandeurs mesurables.

).( estmesestobs yyLXX -+=

Avantages Inconvnientsestimateur rapidit de calcul dpend des paramtres

et des conditionsinitiales

observateur indpendant desconditions initiales

calculs plus lourdsdpend des paramtres



3

Estimateurs

Estimateur de flux et de couple

PrincipeDans un repre quadratique dq quelconque, les flux sont lis par les quations suivantes :

drmdssds iLiL +=y qrmqss iLiLqs +=y drrdsmdr iLiL +=y qrrqsmqr iLiL +=y

Et le flux magntisant : slssm iLrrr

-=yy

A partir de ces quations, on peut en dduire lexpression des courants partir des flux :

drm

dss

ds LLi y

ss

ys

--=

11qr

mqs

sqs LL

i ys

sy

s-

-=11

dsm

drr

dr LLi y

ss

ys

--= 11 qs

mqr

rqr LL

i ys

sy

s-

-= 11

Le comportement de la machine asynchrone est reprsent par les quations suivantes :

dssqssds

ds iRdt

d

dt

dv +

-= y

qyqssds

sqsqs iRdt

d

dt

dv +

+= y

qy

drrqrsldr

dr iRdt

d

dt

dv +

-== y

qy0

qrrdrslqr

qr iRdt

d

dt

dv +

+== y

qy0



4

Do les quations (sous forme canonique) dcrivant lvolution des flux :

dsqss

dssds v

dt

diR

dt

d +

+-= yqy

qsdss

qssqs v

dt

diR

dt

d+

--= y

qy

qrsl

drrdr

dtd

iRdt

dy

qy

+-= dr

slqrr

qr

dt

diR

dt

dy

qy

--=

Ces quations peuvent tre reformules pour ne faire intervenir que les flux :

dsdrm

sqss

dss

sds v

LR

dt

d

LR

dt

d+

-+

+

-= y

ss

yq

ys

y 11

qsqrm

sdss

qss

sqs v

LR

dt

d

LR

dt

d+

-+

-

-= y

ss

yq

ys

y 11

qrsl

drr

rdsm

rdr

dt

d

LR

LR

dt

dy

qy

sy

ssy

+

-

-=

11

drsl

qrr

rqsm

rqr

dt

d

LR

LR

dt

dy

qy

sy

ssy

-

-

-=

11

Eq1

Eq2

Eq3

Eq4



5

La mthode consiste choisir le repre le mieux appropri pour reprsenter le flux considr(flux statorique, rotorique ou dentrefer).

Dans un repre li au stator

Dans un repre li au rotor

Dans un repre li au champ tournant

0=dt

d sq et

et

et

msl

dt

dw

q-=

ms

dtd wq = 0=

dt

d slq

es

dt

dw

q= slsldt

dwq =

Estimateur de flux statiqueCet estimateur utilise les quations de la machine exprimes en rgime permanent pourreconstruire le flux statorique.La machine est modlise dans un repre tel que vds=V et vqs =0. Le flux est alors proche de laxeq en rgime permanent : ys -yqsOn peut alors retrouver le flux :

partir des quations en rgime transitoire Eq1 et Eq2, de la loi dautopilotageet de lhypothse :

rsle pW+= ww0=dsy

qrsldrr

rdr

LR

dtd

ywys

y+

-=

1drslqr

rrqs

mr

qr

LR

LR

dt

dywy

sy

ssy

-

-

-=

11Eq5 Eq6



6

A partir de l quation et de :drm

dss

ds LLi y

ss

ys

--=

110=dsy dr

mds L

i ys

s

--=

1

et de lquation en rgime permanent :e

dssqs

kEIR

wy

-=

o E dsigne la source de tension continue (en sortie des redresseurs ou de la batterie) et enentre de londuleur et k est le rapport de modulation.

Ids est obtenu par une mesure des courants statoriques.YYqs est obtenu avec Eq7.YYdr et YYqr est obtenu avec Eq5 et Eq6.

Eq7

Cet estimateur donne de bons rsultats en rgime permanent mais deux inconvnients majeurs enlimitent son utilisation :

lestimation dpend des paramtres Rr et Lr difficiles identifier et fortementvariables,lestimation faible vitesse est grandement entache derreur.



7

Estimateur dynamique du flux (rgime transitoire) dans un repre li au stator

Nous avons

Donc

Vds = RsIds +d

dtdsy

Vqs = RsIqs + d

dtdsy

yds = ( )V R I dtds s ds- yqs = ( )V R I dtqs s qs -

ys = y yds qs2 2+

Cet estimateur ncessite l'utilisation de deux capteurs de courant Ias, Ibs (car Ias + Ibs + Ics = 0), dedeux capteurs de tension Vas et Vbs (si la composante homopolaire est nulle) et d'unetransformation triphase - biphase.



8

VarianteDans un repre li au champ tournant pour lequel ccds kUUv == 22

3 t

Et vqs = 0 avec Uc tension continue et Ic courant continu en entre de londuleur, on peutconstruire lestimateur suivant :

qsecs

cds I

k

RkU

dt

dY+-=

Yw

c

ssr

slqs

ssr

slm

srdse

sr

mrqs kU

TTT

TTT

TTTT

T

dt

d22

1111

1

+

+Y

+

-+

-Y

-

+=

Y swwsww

w

Mais cet estimateur ncessite la connaissance de la pulsation des courants rotoriques wsl.



9

Estimateur de couple

Le couple peut tre calcul partir des courants et des flux :

Il peut tre valu partir des seuls flux :

( )dsqsqsdse iipT yy -=( )drqrqrdre iipT yy --=

( )dsqrqsdrr

me iiL

pLT yy -=

( )qrdsdrqsrs

me LL

pLT yyyy

s-=

Ou des seuls courants :

( )qrdsqsdrme iiiipLT -=Dans ces expressions, les courants sont mesurs ou estims (pour les courants rotoriques) et lesflux sont reconstruits suivant les techniques prcdemment dcrites.



10

Estimation du glissement, de la vitesse et de la position

Pourquoi mesurer la vitesse ?Capteurs coteux, fortement bruits et sensibles lenvironnement.

Estimation de la vitesse :Pour raisons de scurit, si la vitesse est estime, un capteur plus lmentaire est souventconserv dans la chane de traction.Cette grandeur peut tre reconstitue partir dune analyse des harmoniques dencoches dans lespectre des courants statoriques induits par la rotation du rotor [Beguenane 94].Elle est aussi redonne par les quations de la machine et la mesure des courants et des tensions.

Estimation de la vitesse dans une machine asynchrone alimente en tensionUne commande vectorielle dcouple en tension dans un repre li au flux rotorique est ralise.Le flux est maintenu constant sur laxe d : mrmdr iL=y et 0=qry

On montre que compte tenu de l orientation du flux est constant.dsmr ii =



11

( )

--= mr

smrsds TT

iLv wwws ~~1 ( ) ( )

+

---= w

wwsww ~

~~

dtd

TTT

iLv mrms

rmrsqs

Si s0, la vitesse est estime partir de la dernire quation :

( )

consigne

mesurconsigne

mrm

qsrsqs

m iL

iRRv +-=w



12

Estimation de la position d une machine synchrone

La machine est modlise dans un repre li au rotor :

qsmds

dssds dt

diRv yw

y-+=

dsmqs

qssqs dt

diRv yw

y-+=

fdsdsds iL yy += qsqsqs iL=y

Notons q r la position du rotor par rapport au stator et a,b le repre li au stator. Enreportant y y q y qa bqs s r s r= - +sin cos et i i iqs s r s r= - +a bq qsin cos dans ladernire quation, on obtient :

( )sqss

sqssr iL

iLtg

aa

bb

y

yq

-

-=

Cette estimation est trs sensible une erreursur Lqs. Elle peut tre corrige en utilisant laf.e.m.

fme yw= porte par laxe q.

Soit $q r lestimation de q r . Lerreur correspondante est e q q= -$ r r .



13

a

d

qd estim

b

eq

q

li au rotore ed

( )sin $e = ee

davec

e m f= w y

Or

Donc

qsqsmdds

dsdssqsmds

dssds iLedtdi

LiRdt

diRv wyw

y-++=-+=

qsqsmds

dsdssdsd iLdtdi

LiRve w+--=

Lvaluation de lerreur sin(e) permet de corriger lestimation de la position du rotor.



14

Observateurs

Lobservateur permet de reconstituer ltat dun systme observable partir de la mesure desentres et des sorties. Il est utilis dans les commandes par retour dtat lorsque tout ou partie duvecteur dtat ne peut tre mesur.Dans sa version tendue, il permet destimer les paramtres variables ou inconnus dun systme.Il peut tre reprsent par le schma bloc suivant :

Processus

-

Uk

X = A X + B U k+1 kd d k

Y = C X d kk

+yk^X

k

^X

k+1

^

Bd

A

C

K

d

d

obs

+

yk

Xk

^

Observateur

z-1

ek

+

+

.

Les diffrents typesd observateur sediffrentient sur lasynthse du gain



15

Dfinitions et thormesUn systme linaire discret S.I.S.O. est observable si et seulement si on peut reconstituer ltatinitial du vecteur dtat X(k0Tech) partir de lobservation de son entre et de sa sortie sur unnombre fini de priodes dchantillonnage.

ExempleLa position nest pas observable si la vitesse est la seule composante lie au comportementmcanique de la machine. Elle est dfinie une constante prs.Par contre si elle est mesure et fait partie du vecteur dtat, elle devient videmmentobservable.

Le systme est observable si et seulement si :

est de rang maximum (et donc n)

Observateur dterministe

=

-1

...n

dd

dd

d

obs

AC

AC

C

W



16

Une condition ncessaire et suffisante dobservabilit est de trouver un changement de base WOpour lequel le systme puisse tre reprsent par le triplet avec :

( )0...001~

0000

10...0

.........

0...10

0...01

~

0

1

2

1

=

--

--

=-

-

d

n

n

d Cet

a

a

a

a

A

Dcomposition selon lobservabilitLorsque le systme nest pas compltement observable, on peut trouver une transformation W

telle que

et telle que le sous-systme A11, B1 et C1 soit observable.

)0(~

,0~

12

1

2221

111 CCetB

BB

AA

AWWAA dd =

=

== -



17

Calcul de la matrice de changement de base Wo (algorithme de Leverrier)Soient

~ , ~ , ~A B Cd d d les matrices dans lespace canonique et Ad, Bd, Cd les matricesdans lespace initial.

Notons W

w

w

w

o

n

- =

1

1

2

... linverse de la matrice de changement de base vers lespace

canonique dobservabilit.Nous avons : ~ ~C W C et A W W Ad o d d o o d

- - -= =1 1 1

Soit en reportant lexpression des matrices dans lespace canonique :

w Cd1 = et

w a w w A

w a w w A

a w w A

n n d

n d

n d

- =- =

- =

-

-

1 1 1

2 1 1 1

0 1

...



18

Observateur de Luenberger

Processus

-

Uk

X = A X + B U k+1 kd d k

Y = C X d kk

+yk^X

k

^X

k+1

^

Bd

A

C

K

d

d

obs

+

yk

Xk

^

Observateur de Luenberger

z-1

ek+

+

.



19

Appelons le vecteur dtat estim. La mise en quation de lobservateur conduit :X

=

++=+

kdk

kobskdkdk

XCY

KUBXAX

1 e

Le terme Kobsek corrige le vecteur reconstruit partir de lerreur de sortie : kkk yy -=e

A partir du systme d quations prcdant, on tablit ( ) kobskdkdobsdk yKUBXCKAX ++-=+ .. 1L erreur d estimation sur l tat est donne par

kkk XXX ~

-= ( ) kdobsdk XCKAX~

.~

1 -=+

La matrice de gain est calcule de manire assurer une convergence rapide de vers X.Les performances de cet observateur sont lies aux valeurs propres de .Le passage dans lespace canonique dobservabilit simplifie la synthse de lobservateur parplacement de ples.

X

dobsd CKA -



20

Dans ce nouveau rfrentiel

( )0...001~...~,

0000

10...0

.........

0...10

0...01

~

1

2

1

0

0

1

2

1

=

=

--

--

=

-

-

-

-

d

n

n

d

n

n

d Cet

b

b

b

b

B

a

a

a

a

A

Le polynme caractristique (invariant par changement de base) est donn par :

)~

(...)~

( 001

11~~~ kazkazn

nnn

dCKA obsd+++++=F ----

En notant le gain de lobservateur dans cet espace canonique.[ ]10 ~...~~ -= nobs kkKLobjectif de la commande est spcifi par la donne dun polynme caractristique :

01

1 ... aa +++=F-

-n

nn

objectif zz



21

L identification de ces deux polynmes caractristiques donnent les gains de l observateur

iii ak -= a~

Il suffit alors de revenir dans la base initiale :

pour tout i de 0 n-1

1~ -= oobsobs WKK

o Wo dsigne la matrice de changement de base.



22

Application

Cet observateur permet de reconstituer le flux. Bcker propose une modlisation de la machinedans un repre li au stator.

=

=

=

--

--

=

=

-+

--

-

-

=

+=

qs

ds

qs

ds

qr

dr

qs

ds

ms

msc

c

r

rm

rs

mr

mr

r

rs

mr

rs

s

s

s

rs

ms

s

s

cc

i

iYet

u

uUX

LL

LLC

B

LR

LLLR

LR

LLLR

LLMR

LR

LLLR

LR

CXY

UBXAdtdX

, : vecteursleset1

01

0

01

01

,

00

00

10

01

,

0

0

00

00

=Aavec c

yy

yy

ss

s

ss

s

sw

s

wss

ss

ss



23

Ce systme est bloqu lordre 0 entre deux pas dchantillonnage et discrtis. La matricedtat discrte Ad et la matrice dentre discrte Bd sont dveloppes au premier ordre :

( ) [ ] ( )mcechmd ATIA ww .+= cechd BTB =o [I] dsigne lidentit matricielle et Tech la priode dchantillonnage.Le pas dchantillonnage tant trs faible (de lordre de 500s), ce dveloppement suffit.Ad est rafrachie en ligne pour tenir compte des variations de la vitesse de rotation du rotor wm.La structure du reconstructeur est reprsente sur la figure suivante.

Processus

-

us

+i k^y

k

^y

k+1

^

Bd

A

C

K

d

d

obs

+

is

yk

^

Reconstructeur de Flux

z-1

ek

+

+

.

Machine asynchrone

Echantillonnage+ bloquage

Echantillonnage+ bloquage

wm

wm

k

s



24

Observateur stochastique : filtre de Kalman

Rappels sur les Variables et vecteurs alatoires

Dfinitions et proprits

Signal alatoire, variable alatoire

Un signal alatoire x(t) est un signal dont le comportement temporel ne peut tre prdit de faondterministe. A chaque instant ti, ce signal est reprsent par une variable alatoire Xi.Un vecteur alatoire de dimension n est constitu de n variables alatoires. Il peut tre construit,par exemple, partir du signal x(t) considr n instants distincts.

Un signal alatoire est dit stationnaire (au sens strict) si toutes ses proprits sont invariantesdans le temps. Plus restrictivement, un signal est stationnaire dordre n si ses propritsstatistiques dordre infrieur ou gal n sont invariantes dans le temps. Par exemple, un signal eststationnaire dordre 2 si sa moyenne et sa variance sont indpendantes du temps.



25

Proprits temporellesSoit x(t) un signal rel alatoire stationnaire. Ses proprits temporelles sont caractrises parles expressions suivantes :

Moyenne temporelle

Fonction d autocorrlation

Fonction d intercorrlation

-

+=2/

2/

)(1

limT

T

T dttxTx

-

+ +=2/

2/

)()(1

lim)(T

T

Txx dttxtxTR tt

-

+ +=2/

2/

)()(1

lim)(T

T

Txy dttytxTR tt

Remarque : si le signal nest pas stationnaire, il faut dfinir : Rxx(t,t) et Rxy(t,t).



26

Proprits statistiques dune variable alatoire

Densit de probabilitSoit Xi une variable alatoire. La fonction de rpartition est dfinie par :

F(x) = Pr((Xi



27

Moments du second ordreSoient deux variables alatoires Xi et Xj et p(x,y) la densit de probabilit conjointe

(dfinie par )yx

yXetxXyxp ji

)Pr(),(

2



28

Proprits dun vecteur alatoireLa moyenne statistique ou esprance mathmatique est donne par :

mX = E(X) =

E(X )

E(X )

...

E(X )

1

2

n

=

m

m

mn

1

2

...

avec E(Xi) = -

+...

-

+ xip(x1,x2, ..., xn)dx1...dxn

La matrice de covariance (nxn) est donne par :

SX = E[(X-m)(X-m)T] =

E[(X - m ) ] E[(X - m )(X - m )] .

E[(X - m )(X - m )] . .

. . .

. . E[(X - m ) ]

1 12

1 1 2 2

2 2 1 1

n n2



29

Variable alatoire et Vecteur Gaussien

Une variable alatoire est gaussienne si sa densit de probabilit est de la forme :

( ))

2exp(

2

1)( 2

2

2x

x

x

mxxp

sps

--=

Un vecteur alatoire gaussien de dimension n est un vecteur ayant une densit de probabilitdfinie par :

))()(21

exp()det()2(

1)( 1T mxmxxp

n-S--

S= -

p

Chaque composante dune vecteur Gaussien est une variable alatoire gaussienne

La plupart des bruits physiques sont reprsents par des caractristiques de ce type. Ils sont enparticulier utiliss pour la dfinition des filtres de Kalman.



30

Rappels sur les lois de probabilit conditionnelle

Dfinition

Soient X et Y deux variables alatoires.On note p(x|y) la densit de probabilit conditionnelle lie la fonction de rpartition F(x|y) :

F(x|y) = Pr( X



31

Filtre de Kalman

Le filtre de Kalman donne une ralisation de la variable alatoire $X k reprsentant ltat dusystme linstant k, connaissant le vecteur de mesure Y= {y1, y2, ...yk-1}, qui minimise lavariance a priori de l'erreur d'estimation : E X X X = X - Xk

Tk k k k(

~ ~)

~ $ avec

Le procd discrtis est modlis par les quations suivantes :

+=

++=+

kkdk

kkdkdk

VXCY

WUBXAX

k

k1

Wk et Vk sont des bruits blancs centrs non corrls caractriss par leur matrice de covariance.

Les bruits sont centrs donc : E(Wi) = 0 et E(Vj) = 0Les matrices de covariance sont notes :

( )[ ] ijkkkWW QWWE jijkik d==S o dij est loprateur dfini par dij = 1 si i = j et dij = 0 si i jet o Q dsigne une matrice symtrique dfinie positive.

( )[ ] ijkkkVV RVVE jijkik d==S o R dsigne une matrice symtrique dfinie positive.Wk et Vk sont dcorrls donc : E W Vk i k j( ) = 0



32

On note $ |X k n l'estimation l'instant kTech minimisant la variance de lerreur destimation

( )( )E X X X Xk k n k k n T- - $ $| | connaissant les mesures y1, ..., yn .Si kn, $ |X k n est une prdiction.

Lalgorithme de Kalman minimisant la variance conditionnelle a priori (n=k-1) sedcompose en deux tapes

Phase de prdiction ou de propagation$ $X A X B Uk k dk k k dk k+ = +1

P A P A Qk k dk k k dkT

k+ = +1 (o Pk+1|k est la matrice de covariance a priori)

Phase de correction$ $ ( $ )X X K Y C Xk k k k k k dk k k= + -- -1 1

[ ]P I K C Pk k k dk k k= - -( ) 1avec Pk|k est la matrice de covariance a postiori

et Kk = P C C P C Rk k dkT

dk k k dkT

k- --+1 1

1( ) dsigne le gain de Kalman.



33

Processus

-

Wk

Uk

X = A X + B U + Wk+1 kd dkk kk

Y = C X + Vdk kk

+yk^X

k|k-1

^X

k|k+1

^

Bd

A

C

K

k

dk

dk

k

+

+

yk

Xk|k

^

+ +

Pk|k-1

et KkPk|k

Pk+1|k

Kk+1

Estimateur de Kalman

kV

k

z-1



34

Estimateur de Kalman (filtrage) Prdicteur de Kalman un pasInitialisationPour k = 0 $X mk k = 0et Pk|k = P0Algorithme

[ ]( )[ ]( )$ $x I K C A x

I K C B U K y

k k k dk dk k k

k dk dk k k k

+ + + +

+ + + +

= - +

- +

1 1 1 1

1 1 1 1

avec

[ ]( )( )P I K C

A P A Q

k k k dk

d k k k d kT

k

+ + + += -

+

1 1 1 1.

et( )

( )( )K A P A Q C

R C A P A Q C

k d k k k d kT

k dkT

k dk d k k k d kT

k dkT

+ +

+ + +

-

= +

+ +

1 1

1 1 1

1

.

InitialisationPour k = 0 $X mk k - =1 0 et Pk|k-1 = P0Algorithme

( )$ $x A K C xB U K y

k k dk k dk k k

dk k k k

+ -= - +

+1 1

avec( )P A K C P A Qk k dk k dk k k d k T k+ -= - +1 1.

et

( )K A P C

R C P C

k dk k k dkT

k d k k k d kT

=

+

-

-

-

1

1

1

.



35

Ce filtre a plusieurs avantages :si la matrice de sortie Cdk est constante et si les bruits sont stationnaires (leursproprits stochastiques ne dpendent pas du temps), le calcul de la matrice de gainde Kalman peut tre fait hors ligne,il est rcurrent ce qui diminue le volume des donnes stockes.

Bruits GaussiensSi les bruits sont gaussiens alors le filtre de Kalman minimise la variance a posteriori de

lerreur dobservation (il minimise ( )( )E X X X Xk k k k k k T- - $ $| | connaissant lesmesures y1,...,yk) et maximise la probabilit a posteriori des grandeurs estimes (il

maximise p X Y Yk k( .. .0 connus) ). On montre alors que )X E X Y Yk k= ( ... )0 connus .



36

Bruits corrls

Si les bruits Wk et Vk sont corrls, notons Sk = E(WkVkT) et posons

(A A S R Cdk dk k k k= -

-1 ,(

U B U S R Yk dk k k k k= +-1 ,

(W W S R Vk k k k k= -

-1.

Les quations du systme deviennent :

X A X U W

Y C X Vk dk k k k

k dk k k

+ = + +

= +

1

( ( (

avec ( (S Q Q S R Sk k k k k k

T= = - -0 1et et o Rk nest pas modifi.

On retrouve les hypothses permettant dappliquer le filtre de Kalman. Les bruits (

Wk et Vk nesont plus corrls.



37

Observateur tendu

Lobservateur tendu est une extension des algorithmes prcdants aux systmes non linaires.

==

+==

)(),),(()(

)()),(()),(,),(( 1

tXCttXhtY

tUBtXfttUtXfdt

dX

ncnn

cnnnnn

q

qq

Un nouveau vecteur dtat est construit partir de Xn et dun vecteur reprsentant les paramtresinconnus q :

=

qnXX

En supposant d

dt

q= 0 , le systme augment est dcrit par les quations suivantes :

[ ]

=

+

=

=

q

q

q

q

q

nc

c

np

nn

np

nn

XCtY

UB

tXf

tXf

ttXf

ttUtXf

dt

dX

0)(

0)),((

)),((

),),((

)),(,),((

1

1



38

Ce nouveau systme est linaris chaque pas autour du point de fonctionnement dfini au pasprcdent. Cette linarisation sera dveloppe au chapitre suivant

On peut alors effectuer la synthse dun observateur de Luenberger ou de Kalman partir dusystme linaris et donc reconstruire ltat et identifier les paramtres inconnus.Sur ce principe, on peut construire des structures dobservateur de position, de vitesse de rotationet de constante de temps rotorique.

Filtre de Kalman tendu

Le filtre de Kalman tendu est une extension de lalgorithme prcdent aux systmes nonlinaires.

+=

+=

)()),(()(

)()),(),((

tVttXhtY

tWttUtXfdtdX



39

Ce filtre linarise le systme chaque pas autour du point de fonctionnement dfini au pasprcdent. Dfinissons :

H(X(t),t) =

hX X X t

= $ ( )

et F(X(t),u(t),t) =

f

X X X t

= $ ( )

et F ( , )$

.

k k e

f

X X Xk k

Tech

+ =

=

1

la matrice de transition de Xk vers Xk+1

Aprs chantillonnage, lalgorithme devient :

dtttuttXfXXech

ech

Tk

kT

kkkkk )),(,)((

)1(

1 +

+ +=

kT

kkkkkkkk QttPttP(

+FF= +++ ),(),( 111avec

( ) dttttQttQ TkTk

kTkk

ech

ech

),()(),( 1

)1(

1 +

+

+ FF= (

).(

1

1

),(tt

Xf

k

k

kkXXett-

+

+=

=F

tk+1 = (k+1)Tech



40

Pour calculer Pk+1|k le systme a t linaris autour de $X k k .

( ) ( ) ( ) ++++= +++++++ 1111111 ))1(,(..))1(,(.))1(,(. kT

echkkkkechkk

T

echkkkkk RTkXHPTkXHTkXHPK

Cette fois, la linarisation a lieu autour de $X k k+1

( ) kkechkkkkk PTkXHKIP 11111 ).))1(,(.( +++++ +-=( )echkkkkkkkk TkXhYKXX )1(,(. 11111 +-+= +++++

Le filtre de Kalman tendu peut prsenter des problmes de convergence qui limitentnotablement son utilisation.



41

Estimation de paramtres

Le filtre de Kalman tendu permet didentifier les paramtres qui varient dans les commandesadaptatives. Le suivi de lvolution des constantes de temps rotoriques ou lestimation de la vitesse derotation constituent deux applications importantes.Pour atteindre cet objectif, on construit un systme augment partir de ltat du systme Xk etdes paramtres inconnus qk. Un nouveau vecteur dtat est dfini :

=

k

kk

XX

q

(

En modlisant la variation des paramtres par le bruit W kq , les quations du systme augmentsont :

+

+

=

+

+

k

k

W

WU

BX

I

AX Xk

kd

k

kkd

k

k

q

q

q

q

q.

0

)(

0

0)(

1

1

[ ] kk

kkk V

XCY +

=+ q

q 0)(1



42

Il suffit dappliquer lalgorithme de Kalman tendu pour obtenir une estimation des paramtresinconnus et de ltat du systme.Dans ce cas :

( )

+

=I

UBXAA

kTuXFk

kkdkkdkd

ech

0

)()()(

),,( qqqq

q

( )

=

k

kkkech

XCCkTXH

qqq

q)(

)(),(

En gnral, les bruits W kq sur les paramtres et ceux sur ltat WX k sont dcorrls. La

matrice de covariance de W kq caractrise la dynamique sur lvolution des paramtres (ceuxqui sont constants ont une variance nulle, ceux qui voluent rapidement ont une varianceleve).



43

Linitialisation de lalgorithme doit tre effectue avec soin, le filtre ntant pas robuste. Ilconvient de choisir les matrices de covariances et les valeurs des paramtres pour k = 0. Cesderniers sont valus partir dune identification hors ligne ou calculs partir des indications dela plaque signaltique de la machine.En gnral, on choisit, pour initialiser cet estimateur, les valeurs approches :

( )( )n

n

jj

scos1cos1

0 --

=ns

nf I

UL

nw

s00

= 000

01fr LL s

s-=

nns

rg

Tws0

10

=

o gn dsigne le glissement nominal, Lf est linductance de fuite stator ou rotor et Tr la constantede temps rotorique.



44

Application l estimation de la constante de temps rotorique

Nous prsentons, ici, une estimation de la constante de temps rotorique implante dans unecommande vectorielle indirecte dun moteur asynchrone o le flux rotorique est maintenuconstant sur laxe d du repre deqe synchrone li au champ tournant.

Onchoisit, dans le repre dq li au stator, le vecteur dtat

X = i i i iR

Lqs ds qr drr

r

T

, lentre U

v

v

qs fondamental

ds fondamental

=

et la sortie Y

i

i

qs fondamental

ds fondamental

=

Le systme, en temps continu, est donn par les quations non linaires suivantes :

+=

+=

VtXhY

tWtGtUXfdtdX

X

),(

)()(),,(avec

[ ]TxxxxxX 54321=



45

---

+-

-+-

+++-

--+--

=

0

1

1

.),,(

25432

145321

254321

2

14532

2

1

uLL

Lxxxx

LR

LL

LL

uLL

Lxxxx

LL

xLL

uL

xxLL

xLL

xLR

xLL

L

uL

xLL

xxLL

xLL

Lx

LR

tuXf

rs

mm

s

s

r

mm

r

m

rs

mmm

r

mm

r

m

ss

mm

s

m

s

sm

rs

m

sm

s

m

s

mm

rs

m

s

s

ww

www

ww

ww

s

-

-=

100

01

0

001

01

0

001

.)(

r

m

s

r

m

s

s

s

L

L

L

L

L

L

L

L

tG set



46

Le bruit WX reprsente les harmoniques de tension et lincertitude paramtrique. V modlise lesharmoniques de courant.

Les matrices F et H obtenues sont :

-

--

-

-

-

-

--

--

=

00000

.

2

2

drm

s

s

r

mm

r

m

qrmmr

m

s

s

r

m

dr

s

m

s

mm

s

m

s

sm

rs

m

qr

s

mm

s

m

s

mm

rs

m

s

s

iL

R

L

L

L

L

iL

L

L

R

L

L

iLL

LL

LL

LR

LLL

iL

L

L

L

L

L

LL

L

L

R

F

r

r

r

r

r

r

r

r

L

R

L

R

L

R

L

R

ww

ww

ww

ww

s

et

=

00010

00001H



47

Cet algorithme ncessite lvaluation en ligne de linductance magntisante Lm, la matrice Fdpendant sensiblement de ce paramtre. La figure suivante reprsente lestimation de laconstante de temps rotorique obtenue par cette mthode.

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

10,5

11,5

0 50 100 150 200

Temps [s]

Co

nst

ante

de

tem

ps

roto

riq

ue

[1/s

]



48

Fin du chaptre

dess06

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