Réunion DEPHY, 17 novembre 2011

Y. BouteloupCNRM/GAME

Météo-France and CNRS

Description du schéma EDKF

2

Plan de la présentation

Généralité sur les schémas en flux de masse

Description du schéma EDKF :

Calcul d’un « updraft » compute_updraft.f90

Calcul du nuage associé compute_mf_cloud.f90

Calcul des tendances mf_turb.f90

Résolution implicite de la formulation « EDMF » complète

Quelques résultats en 1D

Conclusions et perspectives

3

Généralité sur les schémas en flux de masse

Axiomes de Reynolds :

ψψψ www −=''

Si de plus on suppose que la maille est constituée d’updrafts entourés d’un « environnement » :

( ) euuu ψσψσψ −+= 1

( ) euuu www σσ −+= 1

( ) eeuuuu www ψσψσψ −+= 1

Alors, un bref calcul donne : ( ) ( )eueuu www ψψσψ −−=''

ρ/M

4

Calcul de l’updraft (1) généralités

( )δε −=∂

∂z

M

Mu

u

1

2uu

uu wbaBz

ww ε−=

∂∂

Équation du flux de masse

Équation de la vitesse verticale

( )11 == ba

u

uu w

Ma

ρ=

Le schéma est diagnostic. Il n’a pas de mémoire de l’activité convective du pas de temps précédent. L’activité convective est une fonction univoque des variables d’état du modèle, en d’autres termes il n’y a pas d’hystérésis.

Il résout du bas vers le haut une équation pour le flux de masse et une pour la vitesse verticale convective.

La fraction de maille convective s’en déduit simplement.

C’est la forme générale de l’équation de la vitesse verticale, avec des coefficients réglables et de valeurs variables selon les schémas (De Roode et al 2011) Pourtant l’application du théorème de l’énergie cinétique sur un updraft stationnaire donne a=1 et b=0.5

Par construction l’updraft n’est pas en équilibre hydrostatique.

Remarques :

5

Calcul de l’updraft (2) la formulation de l’entraînement et du détrainement (thermique sec)

Il y a deux formulation différentes selon qu’on se trouve sous le nuage ou dans le nuage. Dans le thermique sec :

=

2,0

u

udry w

BCMax εε Avec : 55.0=εC

Cette formulation s’appuie sur les travaux de Neggers et al (2002) pour l’entraînement et sur ceux de Lappen and Randall (2001) pour le détrainement minimum. En fait on peut retrouver une formulation proche en supposant un entraînement fonction de la variation de vitesse verticale (Nordeng 1994; Siebesma 1998; Rio et al 2010) :

Avec :

Dans le nuage c’est la formulation de Kain & Fritsh (1990) qui est utilisée

−

=2

,1

u

u

updry w

BC

zLMax δδ 10−=δC

∂

∂=z

w

wu

u

1,0maxβε

2uu

uu wbaBz

ww ε−=

∂∂

+

=2

1

1

1,0max

u

u

w

B

b

a

ββε

6

Calcul de l’updraft (3) la formulation de l’entraînement et du détrainement (dans le nuage (1))

Dans l’approche de Kain & Fritsch (1990), « buoyancy sorting » il est supposé que le nuage est entouré d’une zone de mélange

Il est supposé que la zone de mélange est constituée d’un ensemble de parcelles. Le mélange dans chaque parcelle est supposé suivre une fonction densité de probabilité f(x) où x représente la fraction d’air environnemental dans la parcelle (1-x est donc la fraction d’air en provenance de l’updraft)

Les taux d’entraînement et de détrainement sont donnés par :

et∫=cx

tcloud dxxxfM0

)(δε ( )∫ −=1

)(1cx

tcloud dxxfxMδδ

Où xc est le mélange neutre au sens de la flottabilité et δMt le taux d’entré de masse dans la zone de mélange :

( )RPMM t /03.0 δδ −= R est le rayon de l’updraft et M le flux de masse

7

Calcul de l’updraft (4) la formulation de l’entraînement et du détrainement (dans le nuage (2))

Le rayon de l’updraft est R=50m.

Dans EDKF la fonction densité de probabilité f(x) est supposée plate. (dans KFB elle est supposée gaussienne)

Les deux cas sont discutés dans Kain & Fritsch : « It appears that the general form of the mass flux profile is primarily dictated by the environmental thermodynamic profile. »

J’ai testé la distribution plate dans KFB l’impact est faible

Figure 2 and 6 de Kain & Fritsch (1990)

Distribution Gaussienne (KFB)

Distribution plate (EDKF)

8

Calcul de l’updraft (5) discrétisation et fermeture

L’équation du flux de masse est intégrée du bas vers le haut :

( ) ( )( )δε −∆=+ ZjMjM uu exp)(1

La « fermeture » du schéma se résume à une initialisation du flux de masse « au sol », comme une fonction de w* . Cette formulation est inspirée de Grant (2001) mais Grant voulait estimer le flux de masse à la base du nuage et non au sol.

( )3/1

''

0

= upvs

vref

Mgrdu Lwg

CzM θθ

ρ ( )065.00

=MC

*ω

Dans la formulation de Grant (2001)

( )03.00

=MC

9

Calcul de l’updraft (6) la vitesse verticale dans le thermique sec

L’équation de la vitesse verticale est intimement liée à la formulation de l’entraînement.  Dans le thermique sec :

=

2,0

u

udry w

BCMax εε

L’équation de la vitesse verticale devient donc : ( )uuu BMaxbCaBzw ,0

21

2

ε−=∂∂

Elle est résolue du bas vers le haut :aK =

Avec :( ) ( ) uuu ZBKjwjw ∆+=+ 21 22

εbCaK −=

Au sol la vitesse est fonction de l’énergie cinétique turbulente :

( ) ( )grdgrdu zezw322 =

Comme on peut écrire :

( ) ( ) ( )2*2* uwze grd +≈

On se rend compte qu’implicitement on n’utilise pas le même w* pour

( )grdu zw2 et ( )grdu zM

10

Calcul de l’updraft (7) la vitesse verticale dans le nuage

Dans le nuage l’entraînement et le détrainement sont calculés avec la formulation de Kain & Fritsh qui ne dépend pas de la vitesse verticale. On repart donc de l’équation initiale :

22

21 uu

u wbaBzw ε−=∂

∂

Elle est discrétisée sur la verticale :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]121

21

21 22

22

++−=∆−+ jwjwbjaBZ

jwjwuuu

uu ε

Ce qui donne la formulation suivante :

( ) ( ) ( )ZbZjaB

ZbZbjwjw u

uu ∆+∆+∆+

∆−=+ εεε

12111 22

J+1

J

J

( )jBu

( )jwu2

( )12 +jwu

11

Calcul de l’updraft (8) les variables de l’updraft

Afin de pouvoir effectuer du mélange et du transport il faut utiliser des grandeurs conservatives. Les grandeurs thermodynamiques choisies sont le rapport de mélange « total » et « thetaL »

icvt rrrr ++=

Pour le vent il faudrait utiliser la quantité de mouvement mais je n’ai pas réussi à me convaincre que le code était correct !

Pour une variable conservative Ψ à chaque niveau on effectue le mélange :

( )ueu

zψψεψ −=

∂∂

iiccl rLrL −−= θθ

Pour le vent on utilise la formulation de Gregory et al (1997) :

( )z

uCuu

z

u euue

u

∂∂+−=

∂∂ ε Avec : 5.0=uC

Encore une fois, j’ai un problème avec ce genre de formulation qui mélange du vent et pas de la quantité de mouvement !

12

Calcul de l’updraft (9) discrétisation du mélange

On repart de l’équation du mélange pour une variable conservative, ( )ueu

zψψεψ −=

∂∂

Ce qui donne l’équation suivante :

( ) ( ) ( )z

zj

z

zjj euu ∆+

∆+∆+∆−=+

εεψ

εεψψ

5.015.01

5.011

J+1

J

J

( ) ( ) ( ) ( )( )15.0~ ++= jjjj uuue ψψψεψ

( )1+juψ

( )juψ

( ) ( ) ( ) ( )( )jjz

jjue

uu ψψεψψ ~1 −=∆

−+qui se discrétise sous cette forme :

13

Calcul de du nuage (1) formulation directe

A partir de fraction de maille convective une fraction nuageuse est calculée :

ucff aCC =

Puis un condensat nuageux en moyenne maille est calculée :

cupfc rCr =

Avec : 5.2=cfC

Ces grandeurs seront « combinées » avec celles issues de l’ajustement micro-physique

14

Calcul des tendances (1)

( )ψψψρψ −== uMwF ''

( ) +− +−= ψψψ FzFzF ii1On résout la deuxième équation de manière implicite :

Ce qui donne :

ψρψ

Fzt MF ∂

∂=

∂∂ 1

( )−+−−−+ −−=∂∂

+=+= ψψδψψ

δ ψψ

ψψψψ~~MF

FFFFF

( )( )−+− −−∂∂=

∂∂ ψψ

ρψ

ψ~~1

MzFzt i

MF

J+1

J+1

J

J

J-1

ψψ~MF

( ) ( ) ( )15.05.0~ −+= jjjMF ψψψψ

( )1+jψ

( )jψ

( )1−jψ

Correction implicite

15

Calcul des tendances (2)

Ce qui donne :

( ) ( )

+∆

∆++ 15.01 jMzztj iρψ

( ) ( ) ( ) ( )[ jFjFztjj −−−+ −+∆

∆=− ψψρψψ 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )jjjjjMzi −−++ −+−+++− ψψψψ 5.015.05.015.01

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )]15.05.015.05.0 −−−−++ −−++ jjjjjMzi ψψψψ

En regroupant les termes + à gauche on obtient le système tridiagonal suivant :

( ) ( ) ( )

∆∆−+∆

∆++ + jMzztjMz

ztj ii ρρψ 5.015.01

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )jFjFztjjMz

ztj i

−−−+ −+∆∆+=

∆∆−− ψψρψρψ 15.01

( ) ( ) ( )( )jjjMzzt

i−− +++∆

∆+ ψψρ 115.0

( ) ( ) ( )( )15.0 −+∆∆− −− jjjMzzt

i ψψρ

16

Résolution implicite conjointe du flux de masse et de la diffusion (1) la partie diffusion

L’équation de la diffusion verticale,

∂∂

∂∂−=

∂∂

zk

zt eddy

ψρ

ψ 1

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

−−

∆−−+

+∆+

∆∆−=− ++++−+ 11

1

1jj

jz

jkjj

jz

jk

jz

tjj ψψψψ

ρψψ

( ) ( )( )( )

+∆

+∆∆++

1

11

jz

jk

jz

tj

ρψ

J+1

J+1

J

J

( )jψ

( )1+jψ

( )jz∂

∂ψ

( )1+∂∂

jz

ψ

est discrétisée de la manière suivante :

Ce qui donne ce système tridiagonal simple :

( ) ( )( )( )

( )( )

∆

++∆

+∆∆−+ +

jz

jk

jz

jk

jz

tj

1

11

ρψ

( ) ( )( )( ) ( )jjz

jk

jz

tj −+ =

∆∆

∆−+ ψρ

ψ 1

17

Résolution implicite conjointe du flux de masse et de la diffusion (2) le système final

La discrétisation de l’équation EDMF complète :

( ) ( )( )( ) ( )

++

+∆+

∆∆++ 15.0

1

11 jM

jz

jk

jz

tj

ρψ

va donc donner le système suivant :

( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

−++

∆+

+∆+

∆∆−+ + jMjM

jz

jk

jz

jk

jz

tj 5.015.0

1

11

ρψ

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )jFjF

jz

tjjM

jz

jk

jz

tj −−−+ −+

∆∆+=

+

∆∆∆−+ ψψρ

ψρ

ψ 15.01

( )

−+

∂∂−

∂∂=

∂∂ ψψψ

ρψ

uedmf

Mz

kzt

1

( ) ( ) ( ) ( )( )jjjMjz

t −− +++∆∆+ ψψ

ρ115.0

( ) ( ) ( ) ( )( )15.0 −+∆∆− −− jjjMjz

t ψψρ

18

Impact dans le modèle 1D sur le cas de cumulus ARM (1)

∆t = 60s

∆t = 150s

∆t = 300s ∆t = 600s

Cloud water g/kg

19

Impact dans le modèle 1D sur le cas de cumulus ARM (2)

∆t = 720s

∆t = 900s

∆t = 1200s

∆t = 1800s

Cloud water g/kg

20

Conclusions et perspectives

Cette présentation montre essentiellement un existant et non des travaux spécifiques

La discrétisation implicite de l’équation EDMF complète permet de fonctionner dans ARPEGE global en T798 C=2.4 et ∆t=600s (avec quelques limitations, décrites par Sébastien)

L’étude détaillés du schéma me semble poser des interrogations sur les formulations de mélange du vent

Les premiers résultats dans ARPEGE, stabilité et comportement, semblent pousser à utiliser d’autres formulations de l’entraînement et du détrainement

Fin