departement amenagement et genie...

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D’HYDRAULIQUE -ARBAOUI Abdellah-

DEPARTEMENT AMENAGEMENT ET GENIE HYDRAULIQUE

MEMOIRE DE MASTER

En vue de l’obtention du diplôme de Master en Hydraulique

Option: Aménagement et ouvrages hydrotechniques

THEME DU PROJET :

Contribution à l’étude de défaillance des digues

à talus par une approche probabiliste

PRESENTE PAR :

BOUKHEDIA Khadidja

Devant les membres du jury

Nom et Prénoms

Grade

Qualité

Mme.B.TOUAIBIA Professeur Présidente

Mme.D.DJOUDAR Maître de Conférences (B) Examinatrice

Mr.Y.DERNOUNI Maître assistant (A) Examinateur

Mme.S.BELLABAS Maître assistante (A) Examinatrice

Mr.M.K.MIHOUBI Professeur Promoteur

Session – 2017

Avant tout, je remercie DIEU qui a illuminé mon chemin et qui m’a

armé de courage pour achever mes études.

Je remercie fortement mon promoteur : Monsieur Mustapha Kamel

MIHOUBI, Professeur, Chef de Département Aménagement et

Génie hydraulique à l’Ecole, qui a proposé et accepté de diriger ce

travail et de m’avoir orienté par ses conseils judicieux et pour son

aide précieux Dans le but de mener à

bien ce travail.

Je voudrais aussi dire un grand merci aux membres

de jury qui ont accepté d’évaluer ce mémoire, de me faire

part de leurs remarques pertinentes qui me permettront

d’enrichir ce travail et m’ouvriront sans nul doute de

nouvelles pistes.

Je tiens à remercier aussi :

Le corps d’enseignants et les étudiants de l’ENSH

Enfin, j'adresse mes sincères remerciements à tous mes

proches et amis qui m'ont soutenu et encouragé avec leur

générosité naturelle mais combien précieuse tout au long de

nos belles années universitaires et particulièrement durant la

réalisation de ce mémoire.

A toutes et à tous, je voudrais dire Merci.

Je dédie ce modeste travail

A ma très chère Mère et mon très cher Père qui

m’ont toujours encouragé pour que je réussisse

dans mes études

A eux que j’aime et que je respecte infiniment,

A mes chères sœurs Amina, Hadjer ,Fatima et

mes frères Amine et Sid Ahmed.

A toute la famille BOUKHEDIA .

Je dédie également ce travail à tous mes amis

sans Exception,

Mes derniers remerciements, et ce ne sont pas les

moindres, vont à tous ceux qui ont contribué de

près ou de loin à l’aboutissement de ce travail.

ملخص

تأثير تغيرات تحت السدود سلوك وخاصة للتربة، الميكانيكية المكاني للخواص التغير تأثير تقييم على العمل هذا يركز

تمثيل اختيار تم قد ،الداخلي االحتكاك وزاوية التماسك في ممثلة عشوائية كمتغيرات األخيرة هذه وتعتبر. التربة خواص

.كارلو مونت محاكاة استخدامب احتمالية دراسة تم وقد الطبيعي، القانونباستخدام هذين العاملين توزيع

الطرق استخدام حول المناسب للتشخيص التوازن مبدأ على القائمة القطعية والطرق االحتمالي التحليل بين قمنا بمقارنة

.استقرار السدود دراسة في

.االنهيار األمان، عامل الموثوقية، االحتمالي، التحليل، ،القطعي تحليلال ،المنحدر ،:البحث كلمات

Résumé

Ce travail s’intéresse à l’évaluation de l’effet de la variabilité spatiale des propriétés

mécaniques du sol, notamment le comportement des digues à talus sous l’effet des propriétés

du sol. Ces dernières sont considérées comme étant des variables aléatoires représentées par la

cohésion et l’angle de frottement interne. En considérant une distribution des paramètres

suivant la loi normale, une analyse probabiliste a été faite suivant le concept fiabiliste par une

Simulation de Monte-Carlo(SMC).

L’étude comparative entre l’analyse probabiliste et les méthodes déterministes basées sur

le principe d’équilibre limite a permis d’établir le pronostic et les enseignements appropriés

quant à l’utilisation des approches dans les études de stabilité des digues à talus.

Mots clés : Digue, talus, analyse, déterministe, probabiliste, fiabilité, facteur de sécurité,

défaillance.

Abstract

This work is concentrated on the evaluation of the effect of spatial variability of soil

properties on the behavior of dams , soil properties considered as random variables are

represented by the cohesion and the friction angle, to represent the distribution of these two

parameters, we have selected the normal distribution, a probabilistic study was made with the

Monte-Carlo simulation. The comparative study between probabilistic analysis and

deterministic methods based on the principle of limit equilibrium has made it possible to

establish the prognosis and the appropriate ways with regard to the use of approaches in

stability studies of dams.

Key words: Embankment, slope, deterministic, probabilistic, analysis, reliability, factor of

safety, failure.

Table des matières

Chapitre I

Généralités sur le comportement des sols et des digues à talus

Introduction ............................................................................................................................................. 1

I.1 Choix du type d’ouvrage ..................................................................................................................... 2

I.2 Différents comportement des digues à talus ..................................................................................... 2

I.2.1 Comportement de l’ouvrage pendant sa construction .............................................................. 2

I.2.2 Comportement de l’ouvrage en service ................................................................................. 3

I.2.3 Comportement de l’ouvrage pendant la vidange rapide ....................................................... 4

I.3 Comportement du matériau .............................................................................................................. 5

I.3.1 Comportement élastique linéaire-parfaitement plastique ........................................................... 5

Comportement élastique linéaire ................................................................................................... 5

Élasticité linéaire isotrope de Hooke ............................................................................................... 5

I.3.2 Comportement plastique ............................................................................................................ 6

I.3.2.1 Définition de la plasticité ...................................................................................................... 6

I.3.2.2 Critères de plasticité usuels en mécanique des sols ............................................................ 6

I.3.3 Modèles rhéologiques d’élasticité non linéaire .......................................................................... 8

I.3.3.1 Modèles hyperélastiques ..................................................................................................... 8

I.3.3.2 Modèles hypoélastiques....................................................................................................... 8

I.3.3.3 Exemples de modèles hypoélastiques.................................................................................. 8

I.3.4 Modèles élastoplastiques avec écrouissage ............................................................................... 8

Conclusion ............................................................................................................................................... 9

Chapitre II

Analyse déterministe d’équilibre limite au calcul de stabilité des digues à talus

Introduction ........................................................................................................................................... 10

II.1- Approche déterministe .................................................................................................................. 11

II.2- Définition du facteur de sécurité ................................................................................................... 11

II.3- Principes et hypothèses des méthodes d'équilibre limite ............................................................. 12

II.3.1- Méthode de FELLENIUS [1927] ............................................................................................... 13

II.3.2- Méthode simplifiée de BISHOP [1955] .................................................................................... 13

II.3.3- Méthode simplifiée de JANBU (1965) ..................................................................................... 14

II.3.4- La méthode de MORGENSTERN-PRICE (1965) ........................................................................ 15

II.3.5- Méthode de SPENCER (1967) .................................................................................................. 15

II.4- Limitations des méthodes d'équilibre limite .................................................................................. 15

Conclusion ............................................................................................................................................. 16

Chapitre III

Approche de calcul par analyse probabiliste de la stabilité d’une digue à talus

Introduction ........................................................................................................................................... 17

III.1 Aperçue et historique ..................................................................................................................... 18

III.2 Approche probabiliste .................................................................................................................... 18

III.3 Variabilité spatiale des propriétés des sols .................................................................................... 19

III.4 Lois de distribution des paramètres de cisaillement de sol ........................................................... 20

III.5 Concepts de base de la méthode probabiliste ............................................................................... 20

III.6 Simulation de Monte Carlo............................................................................................................. 22

III.7 Traitement probabiliste avec la simulation de Monte Carlo .......................................................... 23

III.8 Limitation de la simulation de Monte Carlo ................................................................................... 24

Conclusion ............................................................................................................................................. 25

Chapitre IV

Introduction à l’utilisation du code de calcul de talus SLOPE/W du Progiciel Geo-

Studio

Introduction ........................................................................................................................................... 26

IV.1 Principe de fonctionnement du SLOPE/W ..................................................................................... 26

IV.1.1 Définition du problème ........................................................................................................... 26

IV.1.2 Vérification de données introduites ....................................................................................... 28

IV.1.3 Résolution du problème et visualisation des résultats ........................................................... 29

IV.2 Analyse de la vidange rapide ......................................................................................................... 29

IV.3 Analyse probabiliste par méthode SMC ....................................................................................... 31

Conclusion ............................................................................................................................................. 32

ChapitreV

Etude comparative de calcul rupture de talus par les méthodes déterministes et

l’analyse probabiliste par la technique SMC

Introduction ........................................................................................................................................... 33

V.1 Présentation des digues étudiées ................................................................................................... 33

V.1.1 Digue du petit barrage sur Oued Sidi Salem (digue homogène) .............................................. 33

V.1.2 Digue du petit barrage sur Oued Bérdia (digue à noyau d’argile) .......................................... 34

V.2- Etude de la stabilité de la digue homogène ................................................................................... 35

V.2.1 Méthode déterministe d’équilibre limite ................................................................................ 35

V.2.1.1 cas de : Fin de construction et fonctionnement normal sans séisme ............................... 35

V.2.1.2 Cas de : Fin de construction et fonctionnement normal avec séisme ............................. 36

V.2.1.3 Cas de : La vidange rapide ................................................................................................ 37

V.2.2 Méthode probabiliste par Simulation de Monte-Carlo (SMC) ................................................ 39


V.2.2.2 cas de : Fin de construction et fonctionnement normal avec séisme .............................. 40

V.2.2.3 Cas de : vidange rapide ..................................................................................................... 42

V.2.2.4 Etude comparative entre la méthode déterministe et probabiliste pour le cas de la vidange

rapide............................................................................................................................................. 43

V.3- Etude de la stabilité de la digue à noyau d’argile .......................................................................... 46

V.3.1 Méthode déterministe d’équilibre limite ................................................................................ 46


V.3.1.2 Cas de : Fin de construction et fonctionnement normal avec séisme ............................. 47

V.3.1.3 Cas de : La vidange rapide avec séisme ........................................................................... 49

V.3.2 Méthode probabiliste par Simulation de Monte-Carlo (SMC) ................................................ 50


V.3.2.2 cas de : Fin de construction et fonctionnement normal avec séisme .............................. 50

V.3.2.3 Cas de : vidange rapide sans séisme ................................................................................. 52

V.3.2.4 Cas de : vidange rapide avec séisme ................................................................................. 52

V.3.2.5 Etude comparative entre la méthode déterministe et probabiliste pour le cas de la vidange

rapide............................................................................................................................................. 53

Conclusion ............................................................................................................................................. 56

iv

Liste des tableaux

Tableau II.1 : Coefficients de sécurité admissibles pour le calcul de stabilité des talus………………….... 12

Tableau III.1 Indice de fiabilité cible pour les états limites ultimes et une période de référence annuelle... 22

Tableau V.1 Caractéristiques de la digue de Sidi Salem…………………………………………………..... 33

Tableau V.2 Données géotechniques de la digue de Sidi Salem ……………..…………………………….. 34

Tableau V.3 Caractéristiques de la digue de l’Oued Bérdia ………………………………………………... 34

Tableau V.4 Données géotechniques de la digue de oued Berdia …………...……………………………. 35

Tableau V.5 Résultats de calcul du facteur de sécurité Fs selon la méthode d’équilibre limite……………. 36

Tableau V.6 Résultats de calcul du facteur de sécurité Fs selon la méthode d’équilibre limite…………..... 37

Tableau V.7 Résultats de l’analyse probabiliste par Simulation de Monte-Carlo (SMC)………………..... 40

Tableau V.8 Résultats de l’analyse probabiliste par Simulation de Monte-Carlo (SMC)…………………... 41

Tableau V.9 Résultats de l’analyse probabiliste par Simulation de Monte-Carlo (SMC)………………...... 42

Tableau V.10 Résultats de calcul probabilistes en fonction de la classe de probabilité…………………….. 46

Tableau V.11 Résultats de calcul du facteur de sécurité Fs selon la méthode d’équilibre limite…………... 46

Tableau V.12 Résultats de calcul du facteur de sécurité Fs selon la méthode d’équilibre limite…………... 47

Tableau V.13 Résultats de calcul du facteur de sécurité Fs selon la méthode d’équilibre limite………….. 48

Tableau V.14 Résultats de calcul déterministe pour le cas de la vidange rapide (sans séisme)……………. 49

Tableau V.15 Résultats de calcul déterministe pour le cas de la vidange rapide (avec séisme) …………… 49

Tableau V.16 Résultats de l’analyse probabiliste par Simulation de Monte-Carlo (SMC)………………… 50

Tableau V.17 Résultats de l’analyse probabiliste par Simulation de Monte-Carlo (SMC)……………….. 50

Tableau V.18 Résultats de l’analyse probabiliste par Simulation de Monte-Carlo (SMC)……………….... 51

Tableau V.19 Tableau récapitulatif des résultats de l’analyse probabiliste sans séisme …………………. 52

Tableau V.20 Tableau récapitulatif des résultats de l’analyse probabiliste avec séisme…………………. 52

Tableau V.21 : Récapitulatif des résultats de calcul probabilistes fonction de la classe de probabilité ….. 55

vi

Liste des figures

Figure I.1: Représentation du comportement élastique- parfaitement plastique sans écrouissage………. 7

Figure I.2 : Représentation du comportement élasto-plastique avec écrouissage……………………….. 7

Figure II.1 exemple d’une rupture circulaire ……………………………………………………………. 12

Figure III.1 Phases du dimensionnement probabiliste d'un ouvrage………………...…………………... 18

Figure III.2 Une fonction de densité de probabilité normale et sa fonction de distribution cumulative… 21

Figure III.3 Définition de l’indice de fiabilité …………………………………………………………... 21

Figure III.4 L’approche générale de la simulation de Monte-Carlo……………………........................... 23

Figure IV.1 Création d’un nouveau projet sur SLOPE/W ……………………………………................. 27

Figure IV.2 Choix de type du facteur de sécurité ………………………………………………………. 27

Figure IV.3 Spécification des surfaces de rupture ……………………………………………................. 27

Figure IV.4 Barre d’outils du logiciel SLOPE/W ……………………………………………................. 28

Figure IV.5 Création des matériaux dans l’outil SLOPE/W …………………………………………….. 28

Figure IV.6 Définition des matériaux pour le calcul probabiliste ……………………………………….

28

FigureIV.7 Vérification des données insérées …………………………………………………………... 29

FigureIV.8 Résolution du problème …………………………………………………………………….. 29

FigureIV.9 Création d’un nouveau projet dans l’outil SEEP/W …………………………….................... 30

Figure IV.10 Détérmination des conditions aux limites ………………………………………………… 30

Figure IV.11 Définition d’une analyse transitoire……………………………………………………….. 30

Figure V.1 Présentation de la surface critique de glissement (sans séisme)…………………………….. 35

Figure V.2 Diagramme des forces agissantes sur une tranche ………………………………………...… 36

Figure V.3 Présentation de la surface critique de glissement (avec séisme) ………………………........ 36

Figure V.4 Diagramme des forces agissantes sur une tranche………………………………………….... 37

Figure V.5 Présentation schématique du régime permanent dans le corps de la digue …………………. 38

Figure V.6 Descriptif du régime d’écoulement à travers la digue pendant la vidange du Réservoir …… 38

Figure V.7 Surface et facteur de sécurité critique (sans séisme)………………………………………….. 39

Figure V.8 Surface et facteur de sécurité critique (sans séisme)……………………………………….... 39

Figure V.9 Fonction de densité de probabilité…………………………………………………………… 40

Figure V.10 Fonction de distribution de probabilité…………………………………………………...… 40

Figure V.11 Fonction de densité de probabilité………………………………………………………...... 41

Figure V.12 Fonction de distribution de probabilité……………………………………………………... 41

Figure V.13 Présentation de la surface critique de glissement (talus amont avec séisme)……………… 42

Figure V.14 Fonction de distribution de probabilité………………………………………………...…... 42

Figure V.15 Facteur de sécurité en fonction du temps (sans séisme) ………………………………….... 43

vi

Figure V.16 Facteur de sécurité en fonction du temps (avec séisme) …………………………...………. 43

Figure V.17 Facteur de sécurité probabiliste en fonction du temps (sans séisme)………………...…….. 44

Figure V.18 Facteur de sécurité probabiliste en fonction du temps (avec séisme)………………………. 44

Figure V.19 Indice de fiabilité en fonction du temps (sans séisme)………………………………..……. 45

Figure V.20 Indice de fiabilité en fonction du temps (avec séisme)…………………………………...… 45

Figure V.21 Présentation de la surface critique de glissement (sans séisme) …………………...………. 46

Figure V.22 Présentation de la surface critique de glissement (avec séisme)………………...………….. 47

Figure V.23 Présentation de la surface critique de glissement (talus amont avec séisme)……….……... 47

Figure V.24 Présentation schématique du régime permanent dans le corps de la digue………….....…... 48

Figure V.25 Descriptif du régime d’écoulement à travers la digue pendant la vidange du réservoir…… 48

Figure V.26 Surface et facteur de sécurité critique (sans séisme)……………………………….……… 49

Figure V.27 Fonction de distribution de probabilité (sans séisme) ……………………………….…….. 50

Figure V.28 Fonction de distribution de probabilité (avec séisme) …………………………………..…. 51

Figure V.29 Fonction de distribution de probabilité………………………………………………….…. 51

Figure V.30 Facteur de sécurité en fonction du temps (sans séisme) ……………………………...……. 53

Figure V.31 Facteur de sécurité en fonction du temps (avec séisme) ……………………………...……. 53

Figure V.32 Facteur de sécurité probabiliste en fonction du temps (sans séisme)……………………..... 53

Figure V.33 Facteur de sécurité probabiliste en fonction du temps (avec séisme)………………………. 54

Figure V.34 Indice de fiabilité en fonction du temps (sans séisme)……………………………………... 54

Figure V.35 Indice de fiabilité en fonction du temps (avec séisme)………………………………...…… 54

viii

INTRODUCTION GENERALE

Traditionnellement, l’analyse de la stabilité des ouvrages géotechniques est effectuée à

la base de calculs classique par méthodes déterministes. Dans ces approches, les incertitudes

liées à chacun des paramètres intervenant dans le calcul ne sont pas prises en compte, le

facteur de sécurité global déterminé est basé sur les valeurs moyennes des paramètres de

calcul.

La méthode dite des tranches donne par l’intermédiaire du facteur (coefficient) de

sécurité une idée de l’état d’équilibre du talus étudié par rapport à l’équilibre limite. Le

facteur de sécurité est défini par le rapport de la résistance au cisaillement critique et de la

contrainte de cisaillement appliquée le long de la surface de rupture.

Les avancées actuelles au niveau de la quantification des incertitudes des

caractéristiques mécaniques du sol ont permis d’utiliser des approches fiabilistes, permettant

une meilleure prise en compte des aléas propres aux différents paramètres aléatoires et

d’aboutir ainsi à une meilleure évaluation de la sécurité des ouvrages. La simulation de

Monte-Carlo est l’une des méthodes les plus utilisées dans la géotechnique.

Ce travail s’articule principalement en deux parties : une recherche bibliographique et

une étude par une simulation sur code numérique :

La première partie comporte trois chapitres :

Le premier chapitre est consacré aux généralités sur le comportement des digues à

talus, et les différentes lois de comportement des sols

Dans le deuxième chapitre, sont exposées les différentes méthodes de calcul

déterministe d’équilibre limite, leurs principes de fondement et leurs hypothèses.

Le troisième chapitre, concerne l’analyse probabiliste de calcul de stabilité par la

simulation de Monte-Carlo, les concepts de base et les étapes de traitement

probabiliste dans le calcul de stabilité des talus.

La deuxième partie comporte deux chapitres :

Le quatrième chapitre est dédié à une initiation aux principes fonctionnement, de

calculs et domaines d’application du code Geo-Slope.

viii

Le cinquième chapitre est consacré à une étude comparative de calcul de stabilité par

les méthodes déterministes d’équilibre limite et la méthode probabiliste par

simulation de Monte-Carlo de l’analyse de stabilité des talus, à l’aide de l’outil Géo-

studio , on a traité le cas d’une digue homogène et le cas d’une digue en enrochement

à noyau d’argile.

Enfin, on a terminé avec une conclusion générale permettant de synthétiser les principaux

résultats obtenus, et d’envisager une perspective future de recherche.

Chapitre I Généralités sur le comportement des sols et des digues à talus

1

Introduction

Le terme « terre » couvre toute une gamme de matériaux allant de l’argile pure très fine à

des éléments très grossiers. Dans certains cas même, on utilise des roches altérées facilement

compactables, tels que des latérites, des chistes et grés tendres etc. (Baghzim, 2015)

Pour les barrages en terre les volumes de matériaux à mettre en œuvre sont très importants,

de 5 à15 fois et plus le volume de béton qui serait nécessaire pour un barrage poids

s'inscrivant dans le même site. La valeur d'une terre, après extraction mais avant mise en

œuvre, étant bien plus faible que pour le béton. Cette condition impérative conditionne le

projet du barrage en terre. Le barrage en terre est le seul qui convient à une fondation non

rocheuse, il présente l'avantage de pouvoir être adapté à peu près à n'importe quelle fondation,

et de pouvoir être réalisé avec une très grande variété de sols. L'inconvénient majeur du

barrage en terre est les infiltrations à travers le massif. (Djemili, 2006)

Les barrages forment avec le terrain sur lequel ils sont construits un ensemble

indissociable: à chaque site, un type de barrage, un dimensionnement adapté tant sur le plan

technique qu'économique. C'est pourquoi il n'existe pas de barrage type standard. (Durand et

al., 1999)

Sur le plan technique, la conception d'un barrage en terre répond à deux exigences

principales: l'étanchéité et la stabilité de l'ouvrage. (Djemili, 2006).

Les infiltrations qui se produisent à travers le barrage sont responsables de plus de 35% des

accidents survenus aux barrages en terre. Elles sont, en effet, la cause de deux phénomènes

différents (Djemili, 2006) :

1- Elles peuvent entraîner des particules de terre en émergeant avec une vitesse

suffisante au pied du barrage ou en un point quelconque de son talus aval ; cet

entraînement de matériau peut s'accentuer jusqu'à former un tunnel s'érodant

progressivement vers l'amont; ce phénomène d'érosion régressive constitue le

phénomène de renard proprement dit.

2- Elles peuvent soulever, par l'effet de la pression hydrostatique interne, une masse de

terre plus ou moins importante à l'aval du barrage et ruiner l'ouvrage par sous-pression

Il existe plusieurs organes d'étanchéité tels que : noyau en terre, noyau en béton

bitumineux, masque en béton bitumineux, masque en béton armé, écran interne en béton

bitumineux et paroi moulée en béton ou en béton armé. Le choix de l'organe est peut être l'un


2

des éléments les plus importants du processus de conception et de construction des barrages

en terre, car il peut influencer l'étude, le calcul et l'économie du barrage. (Djemili, 2006).

I.1 Choix du type d’ouvrage

Le coût d’une digue en terre est d’autant moins élevé que les sols utilisés pour sa

construction proviennent des gisements plus proches. Il s’ensuit que dans la pluparts des cas,

on a intérêt à utiliser les matériaux disponibles au voisinage du chantier. Ceux-ci déterminent

le type de l’ouvrage. (Josseaume, 1970)

Schématiquement les sols employés pour la construction d’une digue en terre peuvent être

classées en deux grandes catégories :

-les matériaux perméables (sable, graviers) caractérisés par une résistance au cisaillement

élevée,

-les matériaux peu perméables (argile, limons-argileux) caractérisés par une résistance au

cisaillement plus faible.

Les pentes des talus d’un barrage homogène construit à partir d’un sol argileux sont

relativement faibles alors que les pentes des talus d’un barrage à noyau sont généralement

plus raides (la résistance au cisaillement du sol des recharges étant plus élevé). Il s’ensuit que

le volume des matériaux mis en œuvre dans un barrage à noyau est moins important, toutes

choses étant par ailleurs. Cependant il est nécessaire d’interposer entre le noyau et les

recharges, des filtres ayant pour but d’empêcher l’entrainement des éléments fins du sol. La

construction de ces filtres est suffisamment onéreuse, la solution « digue homogène » soit

plus économique (Josseaume, 1970)

I.2 Différents comportement des digues à talus

I.2.1 Comportement de l’ouvrage pendant sa construction

I.2.1.1 Facteur susceptible de provoquer la rupture

Pendant la période de construction, la stabilité d’une digue en terre peut être compromise :

1- Lorsque la capacité portante du sol de fondation est insuffisante, c'est-à-dire lorsqu’il

comporte une (ou plusieurs) couche argileuse peu ou moyennement consistante. On se

trouve donc sensiblement dans la condition d’un chargement non drainé. Si l’argile est

peu consolidée, Cu ne peut équilibrer les efforts de cisaillement transmis par une digue

de hauteur moyenne. Dans ces cas on est amené à prendre une ou plusieurs des

mesures suivantes :


3

- Construction du corps de la digue en plusieurs étapes,

- Accélération de la consolidation des sols argileux au moyen de drains de sable

verticaux,

- Adoucissement des pentes des talus. (Josseaume, 1970)

2- Lorsque des pressions interstitielles excessives se développent dans le corps de digue,

c'est-à-dire lorsque celui-ci est constitué en grande partie des sols fins argileux de

teneur en eau élevée ayant une perméabilité telle qu’ils ne se drainent que très

lentement. la compressibilité du fluide interstitiel diminue très vite lorsque l’on charge

le sol et la pression interstitielle augmente de plus en plus rapidement avec la

surcharge jusqu’à ce que le sol soit saturé. (Josseaume, 1970)

En 1957 Bishop a montré que dans le cas des sols non saturés, même proches de la

saturation, un drainage léger entraîne une diminution substantielle de la pression

interstitielle et que celle-ci croît plus lentement sous l’action de charges appliquées

ultérieurement.

I.2.2 Comportement de l’ouvrage en service

Lors du remplissage de la retenue, un écoulement permanent s’établit plus ou moins

rapidement à travers l’ouvrage et sa fondation. Une fois le régime permanent établi, on se

trouve dans les conditions normales d’exploitation qui déterminent pour une large part les

caractéristiques de l’ouvrage. Celles-ci doivent être telles que non seulement la stabilité soit

assurée avec un coefficient de sécurité minimal, également que le débit de fuite reste inférieur

à une valeur admissible. (Josseaume, 1970)

Lorsque le régime permanent s’est établi, les pressions interstitielles dans le corps de digue

et sa fondation sont totalement indépendantes des contraintes existant dans Le sol. L’étude de

la stabilité ne peut, dans ces conditions, être faite qu’à partir des contraintes effectives. Il est

alors nécessaire de connaître les paramètres de cisaillement inter-granulaire c' et Ø' et la

distribution de la pression interstitielle dans l’ouvrage. (Josseaume, 1970)

Pressions interstitielles

Les pressions interstitielles dans l’ouvrage et dans le sol de fondation sont déterminées à

partir des équipotentielles de l’écoulement permanent. Le réseau des équipotentielles est


4

souvent étudié par analogie électrique, le modèle analogique employé servant également au

calcul du débit de fuite. (Josseaume, 1970)

I.2.3 Comportement de l’ouvrage pendant la vidange rapide

Lorsque la retenue est pleine, les forces d’écoulement à travers l’ouvrage tendent à

stabiliser le talus amont. La vidange rapide, en inversant le sens de l’écoulement dans la partie

amont de l’ouvrage, crée des forces hydrauliques dirigées vers l’intérieur de la retenue. Ces

forces sont suffisamment intenses pour entraîner une réduction importante du coefficient de

sécurité du talus amont. Inversement la vidange rapide améliore la stabilité du talus aval ou

est sans effet sur elle. (Josseaume, 1970)

On étudie généralement la stabilité du talus amont pendant la vidange rapide à partir des

contraintes effectives. Les paramètres de cisaillement pris en compte dans le calcul sont les

paramètres de cisaillement inter-granulaire du sol saturé. La distribution de la pression

interstitielle dans le corps de digue dépend de la déformabilité des matériaux qui le

constituent. (Josseaume, 1970)

Matériau peu déformable et perméable (sable bien compacté)

Un écoulement s’amorce dans l’ouvrage dès que l’on abaisse le niveau de l’eau dans la

retenue. Cet écoulement est transitoire et la position de la surface libre varie dans le

temps. Les pressions interstitielles qui se développent pendant la première phase de cet

écoulement correspondent au coefficient de sécurité minimal du talus amont.

(Josseaume, 1970)

Matériau déformable et peu perméable (Argile ou limon argileux)

L’écoulement consécutif à la vidange rapide ne s’établit dans l’ouvrage qu’au bout

d’un temps appréciable. Les variations de pression interstitielle qui se produisent

pendant l’abaissement de la surface de l’eau dans la retenue résultent uniquement des

variations des contraintes totales liées à celui-ci. (Morgenstern, 1963)


5

I.3 Comportement du matériau

I.3.1 Comportement élastique linéaire-parfaitement plastique

Cette partie présente les lois de comportement élastiques linéaires-parfaitement plastiques,

qui, du fait de leur simplicité, restent encore couramment utilisées en géotechnique. Alors que

l’on sait que le comportement des sols est fortement non linéaire à l’intérieur de la surface de

charge. Lorsque des modèles à élasticité non linéaire sont disponibles, ils sont rarement

décrits de manière complète (en particulier les limites dans lesquelles on peut les appliquer

sont difficiles à cerner et la procédure de détermination des paramètres n’est pas toujours

explicite). (Coquillay, 2005)

Comportement élastique linéaire

Le cas de l’élasticité linéaire correspond à la situation dans laquelle il existe une relation

linéaire entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations élastiques. Ce n’est

généralement pas le cas des sols qui, même pour de faibles déformations, ont un

comportement élastique non linéaire. (Coquillay, 2005)

Dans le formalisme de l’élastoplasticité, le tenseur des déformations totales ε se

décompose en la somme de deux tenseurs :

ε = εe + εp………..……………………………………………………… I.1

Où εe est le tenseur des déformations élastiques (ou réversibles) et εp le tenseur des

déformations plastiques (ou irréversibles). La formulation d’une loi de comportement consiste

à décrire les variations des deux composantes de la déformation en fonction des variations du

tenseur des contraintes. (Coquillay, 2005)

Élasticité linéaire isotrope de Hooke

La relation contrainte-déformation, pour un matériau élastique linéaire, se met sous la

forme générale suivante : (Coquillay, 2005)

σ𝑖𝑗 = C𝑖𝑗𝑘𝑙ε𝑘𝑙 + σ𝑖𝑗0 ……………………………………………………… I.2

Où :

σ𝑖𝑗0 : représente le tenseur des contraintes initiales correspondant à un état initial de

déformation nulle (ε𝑘𝑙 = 0) et Cijkl le tenseur décrivant le comportement physique du

matériau.

Si l’on suppose que l’état de contrainte initial est nul (σ𝑖𝑗0 = 0), l’équation I.2 devient

σ𝑖𝑗 = C𝑖𝑗𝑘𝑙ε𝑘𝑙 …………………………………………………………….I.3

L’équation ci-dessus correspond à l’équation générale de Hooke.


6

I.3.2 Comportement plastique

I.3.2.1 Définition de la plasticité

Le comportement plastique correspond à l’apparition de déformations irréversibles et

s’appuie sur les deux concepts fondamentaux suivants :

le critère de plasticité ou surface de charge, qui est la frontière entre le domaine

élastique et le domaine plastique ;

la règle d’écoulement plastique, qui définit la façon dont évoluent les déformations

plastiques. (Coquillay, 2005)

I.3.2.2 Critères de plasticité usuels en mécanique des sols

On présente ici les principaux critères utilisés en mécanique des sols :

I.3.2.2.1 Critère de Tresca

Le critère de Tresca est utilisé pour l’étude des sols fins (argile, limon) saturés, non

drainés, en contraintes totales à court terme, durant lesquelles la variation de volume est nulle.

(Coquillay, 2005)

3.2.2.2 Critère de Von Mises

Ce critère a été formulé pour étudier le comportement des métaux et il n’est pas bien

adapté à la représentation du comportement des sols dans la mesure où il ne fait pas intervenir

la contrainte moyenne dans son expression. (Coquillay, 2005)

3.2.2.3 Critère de Drucker-Prager

Le critère de Drucker-Prager constitue une généralisation du critère de Von Mises aux

matériaux pulvérulents. (Coquillay, 2005)

3.2.2.4 Critère de Mohr-Coulomb

Le critère de Mohr-Coulomb est utilisé pour les sols pulvérulents (sable) et pour les sols

cohérents à long terme (argiles et limons). Le critère de Tresca est un cas particulier du critère

de Mohr-Coulomb. (Coquillay, 2005)

On constate que la plupart des matériaux ont un comportement élastoplastique, qui est

caractérisé par l’apparition de déformations réversibles élastiques et de déformations

irréversibles plastiques. Sur la surface de charge, deux cas de comportement sont possibles :

la surface de charge n’évolue pas, on parle de loi élastique parfaitement plastique (Figure :

I.1), c’est le cas du modèle de Mohr-Coulomb; la surface de charge évolue au cours du

chargement, on parle de modèle élasto-plastique avec écrouissage (Figure : I.2) (Baghzim,

2015)


7

Figure I.1: Représentation du comportement élastique- parfaitement plastique

sans écrouissage

Figure I.2 : Représentation du comportement élastoplastique avec écrouissage

Notion de surface de charge

La surface de charge divise l’espace des contraintes en deux parties :

L’intérieur de la surface de charge correspond à un état de déformations réversibles

(Élastiques) ;

La surface de charge en elle-même correspond à un état de déformations pouvant se

décomposer de la manière suivante : une partie réversible comme précédemment et

une partie de déformations irréversibles (plastiques). (Baghzim, 2015)

Notion de règle d’écrouissage

L’écrouissage du matériau se traduit par l’évolution de la surface du seuil de

plasticité. On introduit donc une ou plusieurs variables supplémentaires, appelées

variables d’écrouissage R.

Ces variables peuvent être choisies de façon arbitraire à condition qu’elles permettent

de traduire l’évolution de l’état interne du milieu qui a subi des déformations plastiques.

(Baghzim, 2015)


8

I.3.3 Modèles rhéologiques d’élasticité non linéaire

I.3.3.1 Modèles hyper-élastiques

Les modèles hyper-élastiques constituent la première catégorie de lois élastiques non

linéaires. Un modèle est dit hyper-élastique si la dissipation intrinsèque est toujours

identiquement nulle. Les modèles hyper-élastiques sont des modèles qui reposent d’abord sur

des considérations thermodynamiques (nullité de la dissipation intrinsèque). (Coquillay,

2005)

I.3.3.2 Modèles hypo-élastiques

Les modèles de type hypo-élastique constituent la seconde classe de modèles élastiques

non linéaires. Ils ne dérivent pas, en général, d’une potentielle thermodynamique et sont

plutôt issus de formulations empiriques basées sur l’expérience. (Coquillay, 2005)

Les modèles hypo-élastiques peuvent être utilisés pour décrire les relations incrémentales de

comportement élastique non linéaire isotrope. La notion d’hypo-élasticité consiste à faire

l’hypothèse que l’incrément de contrainte dépend non seulement de l’incrément de

déformation, mais également de la contrainte elle-même. (Coquillay, 2005)

I.3.3.3 Exemples de modèles hypo-élastiques

Pour l’analyse du comportement non linéaire des sols, certains modèles sont

mathématiquement fondés sur une représentation de la relation contrainte-déformation à partir

d’une courbe hyperbolique ou parabolique. On peut citer deux modèles hyperboliques : le

modèle de Duncan, construit sur une formulation utilisant le module d’Young tangent Et et le

coefficient de Poisson tangent νt, et le modèle de Hardin et Drnevich, utilisant le module de

cisaillement. (Coquillay, 2005)

I.3.4 Modèles élasto-plastiques avec écrouissage

Les modèles élasto-plastiques avec écrouissage sont largement utilisés depuis une trentaine

d’années pour la modélisation des sols. Nous nous sommes intéressés au comportement

élasto-plastique avec écrouissage positif, et plus particulièrement aux modèles Cam-Clay,

Cam-Clay modifié et à celui de Nova. Dans ces trois modèles, l’élasticité est non linéaire.

Il est possible de construire des modèles écrouissables avec les critères de plasticité classiques

(Mohr-Coulomb, etc.) à condition de se donner le module d’écrouissage H. (Coquillay, 2005)


9

Conclusion

Les causes d’instabilité des pentes sont multiples. Elles peuvent être dues soit à une

augmentation des sollicitations (surcharges, suppression de la butée de pied, déboisement,

séisme et autres sources de vibration), soit à une modification des caractéristiques mécaniques

(perte de résistance par remaniement) ou hydrauliques (apparition d’un écoulement : eaux

pluviales, fonte de neige, eaux de ruissellement, etc. ; vidange rapide d’une digue en terre) du

terrain

La stabilité des ouvrages en terre (déblais, remblais, digues) et des pentes naturelles est un

problème qui préoccupe les géotechniciens tant praticiens que chercheurs. Les désordres

engendrés par la rupture des pentes sont généralement spectaculaires, souvent destructifs et

parfois meurtriers.

De nombreuses méthodes de calcul de stabilité ont été proposées. Celles-ci se différencient

par les hypothèses admises par leurs auteurs (méthodes de calcul en équilibre limite,

méthodes de calcul à la rupture, méthodes de calcul en déformations) et par la facilité de leur

mise en œuvre (calculs à l’aide d’abaques, calculs automatiques à l’aide de logiciels), mais

elles s’accordent toutes à définir un coefficient de sécurité global en fonction duquel la

stabilité du talus étudié est considérée comme assurée ou compromise, ou par des coefficients

de sécurité partiels affectant, d’une part, les sollicitations appliquées et, d’autre part, les

propriétés mécaniques des sols.

Chapitre II Analyse déterministe d’équilibre limite au calcul de stabilité des digues à talus

10

Introduction

L’analyse de la stabilité des pentes s’effectue habituellement à la rupture à l’aide de la

méthode des tranches. Cette méthode donne par l’intermédiaire du coefficient de sécurité une

idée de l’état d’équilibre de la pente étudiée par rapport à l’équilibre limite. (Khemissa, 2006).

L’étude d’un talus comporte, outre la reconnaissance du site et le choix des caractéristiques

mécaniques des sols, un calcul de stabilité pour déterminer d’une part la courbe de rupture le

long de laquelle le risque de glissement est le plus élevé, d’autre part la valeur correspondante du

coefficient de sécurité. (Koudery, 2005)

L’expression du coefficient de sécurité est différente selon qu’il s’agit d’une rupture plane,

circulaire ou quelconque. Dans tous les cas, les calculs de stabilité s’effectuent en contraintes

totales à court terme et/ou en contraintes effectives à long terme. Le degré de précision des

calculs dépendra toutefois de la qualité de détermination des paramètres de cisaillement, mais

aussi des moyens de calculs mis en œuvre. (Khemissa, 2006)


11

II.1- Approche déterministe

Les méthodes d’analyse déterministe de la stabilité des pentes sont basées sur le principe de la

méthode des tranches. Cependant, elles diffèrent par les hypothèses supplémentaires qu'elles

adoptent chacune pour la résolution du système d’équations qui est statiquement indéterminé.

(Selmi et al, 2006)

Ce mode de calcul suppose que le terrain se comporte comme un solide rigide-plastique et

obéit aux lois classiques de la rupture par cisaillement. Il est utilisé depuis plusieurs décennies et

a donné naissance, dans l’hypothèse de ruptures rotationnelles, à plusieurs méthodes de calcul,

Les ruptures planes représentent un cas particulier très simple dans son principe. Pour les

surfaces de rupture de forme quelconque, le calcul est beaucoup plus complexe. (Koudery, 2005)

Pour évaluer la stabilité des talus par une méthode à l’équilibre limite, il existe des méthodes

linéaires et non linéaires. Les méthodes linéaires sont des méthodes directes de calcul de FS et

les méthodes non linéaires nécessitent un processus itératif. (Rahmani, 2011)

II.2- Définition du facteur de sécurité

L'évaluation de l'état de stabilité d'une pente se fait à partir d'un coefficient de sécurité local

ou global, respectivement noté f et F, et défini comme étant le rapport des forces qui tendent à

retenir un certain volume de matériau, délimité par le talus et une surface de rupture potentielle,

sur celles qui tendent à l’entraîner vers l'aval. Tant que la force motrice reste inférieure à la

résistance maximale que peut mobiliser le sol. (Closset et Wojtkowiak, 1993)

Le facteur de sécurité minimal à adopter dépend de la nature de l’ouvrage, de son utilisation et

des conséquences que pourrait entrainer sa rupture en termes de risques humain et de dommages

matériels. De manière classique, dans les études de stabilité des pentes, on considère que :

Si Fs ˂1 : la rupture est inévitable,

Si Fs = 1 : le massif est en état d’équilibre,

Si Fs ˃1 : le milieu est en équilibre et le massif est stable.

Mais dans le cas des ouvrages importants où la stabilité doit être assurée à tout prix, les

recommandations exigent une valeur du facteur de sécurité minimal généralement de 1.4 à 1.5.

(Berthoumieux ,2012)


12

Le tableau II.1. Donne Les facteurs de sécurité minimaux utilisés dans les barrages en terre par la

Norme Cubaine

Tableau II.1 : Coefficients de sécurité admissibles pour le calcul de stabilité des talus.

( Reglamento de Proyecto, 1983)

Condition de

travail

Catégorie de l’ouvrage

I II III IV

Normal 1.35 ~ 1.25 1.25 ~ 1.15 1.20 ~ 1.10 1.15 ~ 1.10

Extraordinaire 1.15 ~ 1.10 1.15 ~ 1.10 1.10 ~ 1.05 1.05

En ce qui concerne l'Algérie et pour le cas des séismes, les états de charges ont été considérés

comme une condition extraordinaire (Rodriguez et La Rosa, 2004).

II.3- Principes et hypothèses des méthodes d'équilibre limite

Le principe de base de toutes ces méthodes est de découper le volume de sol étudié en un

certain nombre de tranches et d'appliquer les différentes forces comme le montre à titre indicatif

la figure II.1. Toutes ces méthodes ont en commun la même difficulté qui est de trouver à la fois:

la surface critique;

les contraintes normales et tangentielles le long de cette surface;

le facteur de sécurité (sur le critère de rupture) en partant des équations d'équilibre.

(Masekanya, 2008)

Figure II.1 exemple d’une rupture circulaire (Masekanya, 2008)

Les forces agissant sur la tranche peuvent être définies comme suit :

W = poids total de la tranche de largeur b et de hauteur h


13

𝑁, 𝑇 = composantes normale et tangentielle de la force agissant à la base de la tranche

X, E = composantes verticale et horizontale des forces inter tranches

b = épaisseur de la tranche (b = l.cosα )

α = angle que fait la base de la tranche avec l’horizontale

R = rayon du cercle de rupture de centre o

l = longueur du plan de glissement de la tranche

x = bras de levier du poids des terres

II.3.1- Méthode de FELLENIUS [1927]

Cette méthode néglige les forces qui existent entre les tranches, elle consiste à admettre que,

la résultante de Ei et Xi est égale à Ei+1 et Xi+1 avec une ligne d’action qui coïncide. Cette

résultante parallèle à la base de la tranche. Quand les tranches adjacentes ont différentes

inclinaison de la base, cette hypothèse simplificatrice conduit à des erreurs. (Abramson et al.,

2002)

La méthode satisfait l’équilibre des moments, et le coefficient de sécurité a la forme linéaire

suivante: 𝐹 = ∑ 𝐶′ 𝐿+[𝑊𝑐𝑜𝑠 𝛼−𝑈𝐿] tan 𝜑′

∑ 𝑊 sin 𝛼 …………………………………….II.1

Avec :

α : angle d’inclinaison du pied de la tranche par rapport à l’horizontale ;

W : le poids du bloc de sol considéré ;

L : désigne la longueur du talus ;

UL : l’effort dû à la pression d’eau latérale ;

U : l’effort dû à la pression d’eau à la base ;

𝐶′ et 𝜑′ sont la cohésion effective et l’angle de frottement effectif respectivement.

Cette méthode est moins précise que les autres méthodes des tranches et peut même amener à

des valeurs négatives pour les contraintes effectives sur la surface de glissement. Mais, elle est

sûre pour des sols homogènes seulement. (Berthoumieux ,2012)

II.3.2- Méthode simplifiée de BISHOP [1955]

Hypothèses:

La méthode suppose une surface de glissement circulaire;

Elle néglige les forces verticales entre les tranches


14

La méthode de Bishop vérifie l'équilibre des moments ainsi que l'équilibre vertical pour

chaque tranche, mais elle néglige l'équilibre horizontal des forces. En se basant sur l'équation

d'équilibre vertical et d'après l'hypothèse faite sur les forces entre les tranches, et après

simplification nous aurons l’équation suivante : (Masekanya, 2008)

𝐹𝑚 = ∑[𝐶′ 𝐿 cos 𝛼(𝑊−𝑈𝐿𝑐𝑜𝑠 𝛼) tan 𝜑′]/ 𝑚𝑎

∑ 𝑊 sin 𝛼 ………………………………...………………………II.2

Avec ma = = cos α (1 + tanα tan φ′

Fm ) ………………..…………….II.3

Ces méthodes non linéaires nécessitent un processus itératif. La programmation à l’aide d’un

ordinateur permet de trouver une solution rapide après seulement quelques cycles. En supposant

tout d’abord que F=1 à droite, et en calculant ensuite la valeur de gauche. Cette dernière valeur

de F est comparée à la valeur proposée, s’il n’est pas suffisamment proche, le coefficient F

calculé est utilisé dans la prochaine itération et ainsi de suite. (Mendjel, 2012)

Il existe une autre version rigoureuse pour Bishop qui justifiée toutes les équations d’équilibre

mais, l’écart entre la version rigoureuse et la version simplifiée n’étant que de 1%.(Bruno et al.,

2005)

II.3.3- Méthode simplifiée de JANBU (1965)

Hypothèses:

la méthode suppose une surface de glissement quelconque (non circulaire);

elle suppose que les forces entre les tranches sont horizontales. (Masekanya, 2008)

Dans cette méthode les forces verticales inter-tranches sont supposées nulles. Le facteur de

sécurité est calculé à partir d’équilibre des forces horizontales, puis un facteur de correction

empirique est multiplié par ce coefficient de sécurité pour pallier au manque de l’effet des forces

verticales inter-tranches. L’équilibre des moments n’est pas satisfait. (Mendjel, 2012)

Ce qui aboutit à l'équation suivante :

𝐹𝑚 = ∑[𝐶′ 𝐿+(𝑁−𝑈𝐿) tan 𝜑′]/ 𝑐𝑜𝑠𝛼

∑ 𝑊 tan 𝛼 ………………………………………………………II-4

Avec

𝑁: Composantes normale de la force agissante à la base de la tranche


15

II.3.4- La méthode de MORGENSTERN-PRICE (1965)

Cette méthode introduit une fonction mathématique arbitraire pour représenter la variation de

la direction des forces entre les tranches (Popescu, 1985)

tg θi = X/E = λ f(Xi)………………………………………………………………………….…II.5

Où : θi est l’angle formé par la résultante et l’horizontale, il vari systématiquement d’une tranche

à une autre le long de la surface de glissement ;

λ est une constante qui doit être évaluée pour le calcul du facteur de sécurité;

f(Xi) est la fonction de variation par rapport à la distance le long de la surface de glissement ;

Xi est la normalisation linéaire des coordonnées xi, avec les valeurs des deux bouts de la surface

de rupture égales à zéro et π.

Cette méthode vérifie l'équilibre horizontal et vertical des forces, l'équilibre des moments en

un point quelconque; et détermine également l'inclinaison des forces entre les tranches, ce qui

donne une inconnue supplémentaire. Cette méthode est précise et elle est applicable à toutes les

géométries et types de sol. (Masekanya, 2008)

II.3.5- Méthode de SPENCER (1967)

Cette méthode a le même principe de calcul que la méthode de Morgenstern and Price, la

différence réside dans la fonction de variation qui est constante (f(x)=1), et que l’angle

d’inclinaison (θ) est constant dans toutes les tranches. (Abramson et al., 2002)

En 1967, Spencer a mis aux points deux équations de coefficient de sécurité, l'un à l'égard de

l'équilibre des forces horizontales et un autre à l'égard de l'équilibre de moment. Il a adopté un

rapport constant entre les forces inter- tranches de cisaillement et normal.

II.4- Limitations des méthodes d'équilibre limite

Toutes ces méthodes d’équilibre limite ont leur limitation, car elles sont fondé sur des

hypothèses simplificatrice telles que la division de la masse susceptible de glisser en tranches, le

comportement du sol qui est supposé rigide parfaitement plastique, le facteur de sécurité Fs qui

est supposé identique en chaque point du plan de glissement, la relation contrainte-déformation

qui n’est pas prise en compte explicitement et pour des géométries complexes, des minima

locaux peuvent ne pas être détectés. (Berthoumieux, 2012)


16

Conclusion

Les méthodes qui considèrent l’équilibre limite admettent la formation d’une surface de

rupture dans le massif et opérant par la division du massif qui glisse dans des tranches verticales,

sont les méthodes les plus utilisées, grâce à leur capacité de prendre en considération des variétés

géométriques et des conditions complexes de stratification et de chargement. Ces méthodes

diffèrent entre elles par les conditions d’équilibre statique utilisées et par les hypothèses admises

pour annuler l’indétermination statique du problème.

Pour toutes les méthodes qui satisfont à toutes les conditions d'équilibre, ont montré que les

hypothèses faites n'ont aucun effet significatif sur le coefficient de sécurité; par contre, dans les

méthodes qui satisfont uniquement l'équilibre des forces, le coefficient de sécurité est affecté

d'une façon significative par l'inclinaison supposée des forces entre tranches, c'est pourquoi ces

méthodes sont moins utilisées par rapport aux méthodes qui satisfont à toutes les conditions

d'équilibre (Fredlund et Krahn, 1977) .

Et pour cela Une dizaine de méthode de calcul probabiliste ont été publiés jusqu’à présent

pour l’analyse de la stabilité des pentes. Pourtant, ces méthodes pour l’instant des produits de

recherche sans applications pratiques dans les bureaux d’études, où les coefficients de sécurité

traditionnels restent le seul outil de projeteurs.

Cette situation à priori étonnante, est certainement due d’une partie à la lenteur habituelle du

transfert des innovations des chercheurs aux praticiens, elle a toutefois aussi une autre origine :

l’insuffisance des méthodes testées jusqu’à présent.

En effet, dans la plus part des articles publiés dans la littérature, on se rend compte que

l’utilisation des méthodes de calcul probabilistes conduirait à une augmentation parfois sensible

mais toujours coûteuse des coefficients de sécurité habituellement admis.

Chapitre III Approche de calcul par analyse probabiliste de la stabilité d’une digue à talus

17

Introduction

Les avancées actuelles au niveau de la quantification des incertitudes des caractéristiques

mécaniques du sol ont permis d’utiliser des approches fiabilistes, permettant une meilleure

prise en compte des aléas propres aux différents paramètres aléatoires et d’aboutir ainsi à une

meilleure évaluation de la sécurité des ouvrages. (Selmi et al, 2006). En effet, (Phoon et

Kulhawi, 1999) ont présenté une synthèse des résultats de plusieurs campagnes d'essais

effectués au laboratoire et in situ sur différents types de sol et ont proposé des valeurs pour les

moments statistiques (i.e. moyenne et variance) des caractéristiques physiques et mécaniques

du sol.

Dans les problèmes de stabilité des pentes, on trouve plusieurs incertitudes comme la

variabilité naturelle des propriétés des sols, les simplifications et les estimations dans les

modèles géotechniques, la probabilité de rupture peut être déterminée en fonction de ces

incertitudes. (Moghadaripour et al., 2013)

Pour la prise en compte de ces variabilités, beaucoup de méthodes probabilistes ont été

développées, on peut citer : the first order second moment method (FOSM), firs order

reliability method (FORM) et la simulation de Monte Carlo (MCS).

Parmi ces méthodes, la Simulation de Monte Carlo parmi l’une des techniques les plus

utilisées pour l’évaluation de la probabilité de rupture des pentes à talus, elle est en harmonie

avec les différentes méthodes d’analyse déterministe comme la méthode des éléments finis et

la méthode d’équilibre limite (Moghadaripour et al, 2013)


18

III.1 Aperçu et historique

L'idée de caractériser les risques de rupture des remblais sur sols mous par une probabilité

de rupture, et non par un coefficient de sécurité à seuil empirique, est apparue au cours des

années 1970, à une époque où différents chercheurs ont tenté d'harmoniser les valeurs des

coefficients de sécurité de la mécanique des sols en comparant les probabilités de ruine

associées. MAGNAN et BAGHERY (1982) ont passé en revue seize articles consacrés à

l'analyse probabiliste de la stabilité des remblais et des pentes au cours de cette décennie et

testé sur l'un des remblais du site expérimental de Cubzac-les-Ponts la méthode décrite par

ALONSO (1976). Dix autres publications ont été analysées par MAHDAVI (1985). Ces

études ont montré (BAGHERY, 1980; BAGHERY et MAGNAN, 1983) que la réalisation

matérielle de calculs probabilistes était possible, à condition de disposer de nombreuses

données sur les propriétés des sols, mais que les résultats en termes de probabilités de rupture

dépendaient beaucoup des hypothèses arbitraires qu'il faut faire sur les distributions de

probabilités des coefficients de sécurité calculés. De plus, l'approche probabiliste était à

l'évidence incapable de corriger les effets des erreurs systématiques dans l'estimation des

paramètres de calcul, comme celle qui a motivé la correction de BJERRUM en fonction de la

plasticité. Tous ces faits nous ont conduits à renoncer provisoirement à appliquer cette

méthode d'analyse à d'autres exemples.

III.2 Approche probabiliste

L’approche probabiliste tente une prise en compte de toutes les incertitudes affectant les

propriétés des sols (Magnan, 2000) et permet de conférer à la décision de l’ingénieur une plus

grande objectivité (Cassan, 2000). Elle suppose que les paramètres sont des échantillons

statistiques définis par une moyenne, un écart type et une loi de distribution.

L'analyse probabiliste des ouvrages comporte en pratique deux phases successives de

traitement statistique des données puis de calcul probabiliste, suivies d'une phase d'examen

des résultats et de décision (figure III.1). Le choix de l'interface entre les deux phases

d'analyse, c'est-à-dire de la forme des données géotechniques qui serviront au calcul de

l'ouvrage, a une importance primordiale pour la réussite de l'étude. Le champ des valeurs

moyennes estimées de chaque propriété dans le massif de sol et le champ des erreurs

d'estimation de ces mêmes propriétés en chaque point semblent constituer une bonne base de

travail, dans l'état actuel de nos techniques d'analyse. (Magnan et Mahdavi, 1988)


19

FigureIII.1 Phases du dimensionnement probabiliste d'un ouvrage. (Magnan et Mahdavi,

1988)

III.3 Variabilité spatiale des propriétés des sols

Les sols naturels présentent des variations de leurs propriétés d'un point à l'autre. Cette

variabilité des sols est due à la variation de leur composition minérale et de l'histoire des

contraintes pendant leur formation. Les variations autour des valeurs mesurées dans les essais

créent des incertitudes sur l'estimation des valeurs des paramètres de calcul et par conséquent

sur la prévision du comportement des ouvrages. (Mahdavi, 1985)

La connaissance de la géologie du site ou du procédé de construction de l’ouvrage permet

en général de définir des sous-domaines à caractéristiques à peu près homogènes. Il peut ne

s’agir toutefois que d’une homogénéité statistique dissimulant des variations spatiales souvent

très significatives. Il est donc nécessaire de reconnaître que les propriétés des sols sont des

fonctions aléatoires spatiales. (Selmi et al, 2006)

Chacun de ces paramètres est affecté par une incertitude liée au processus de mesure utilisé

pour le déterminer, en plus de l'incertitude due à la variabilité naturelle des propriétés

physiques et mécaniques des sols. Le poids volumique présente une faible dispersion autour

de sa valeur moyenne (Harr, 1977), tandis que les coefficients de variation relatifs à la

dispersion des paramètres de cisaillement sont généralement plus grands. (Lumb, 1974) a

trouvé des coefficients de variation de 5 à 20% pour tg φ' et de 15 à 40% pour la cohésion non

drainée. Les coefficients de variation de ces paramètres ont été calculés sur de très nombreux

sites.


20

III.4 Lois de distribution des paramètres de cisaillement de sol

D’après les études faites sur les paramètres de résistance au cisaillement d'un sol de Hong

Kong (c'et φ'), on a trouvé que le paramètre (c') a une distribution normale; (Schultze et

Singh, 1972) et (Lee, 1970) ont conclu que les paramètres de cisaillement ont une distribution

proche de la normale. Plus tard, (Lumb, 1970) a trouvé que le paramètre (c') suit une

distribution bêta asymétrique et que seule la partie centrale peut être assimilée à une

distribution normale; de même, (Harr, 1977) suggère l'utilisation de la loi de bêta pour la

modélisation des paramètres de cisaillement. (Dans cette étude la distribution de probabilité

est supposée normale).

III.5 Concepts de base de la méthode probabiliste

Les concepts de probabilités les plus utilisés dans cette étude sont :

Le coefficient de variation (CV)

Le coefficient de variation représente une mesure relative et adimensionnelle de la

dispersion, sont expression est la suivante :

CV = 𝜎

𝜇𝑥 *100………………………………………………………………..III.1

Le CV est utilisé couramment pour décrire les variations de plusieurs propriétés

géotechniques du sol, et des paramètres testés in situ. Notant que la moyenne, l’écart

type et le coefficient de variation sont interdépendantes (si on connait deux on peut

conclure le troisième). (Jones, 2002)

La distribution de probabilité

La fonction de densité de probabilité (PDF) est une fonction qui désigne la

probabilité pour chaque intervalle de séries d’entrées des variables aléatoires. (Jones,

2002)

Une autre manière de représentation de la même information, c’est une forme de

fonction de distribution cumulative (CDF), elle donne la probabilité qu’une variable

aléatoire sera inférieure ou égale à une valeur sélectionnée, CDF est une intégration de

la densité de probabilité qui correspond. (Moghadaripour et al., 2013)


21

Généralement la distribution normale ou Gaussienne est le type de PDF le plus

courante, elle est utilisée pour des études probabilistes de l’ingénierie géotechnique.

(Hoek et al, 2000) (Dasaka, 2005)

Figure III.2 Une fonction de densité de probabilité normale ƒ x(x) et sa fonction de

distribution cumulative Fx(x) (Moghadaripour et al., 2013)

L’indice de fiabilité

Ce paramètre est généralement utilisé pour exprimer le degré de l’incertitude dans

le facteur de sécurité calculé, il est défini comme suit : (Abdallah, 2000)

𝛽 =𝐸(𝐹)−1.0

𝜎(𝐹)……………………………………………………………………III.2

Avec : E(F) est la valeur du facteur de sécurité et 𝜎(𝐹) c’est l’écart type.

L’indice 𝛽 décrit la stabilité par le nombre de l’écart type qui sépare le facteur de

sécurité moyen de sa valeur de rupture définie de (1.0). (Krahn, 2004)

La définition de l’indice de fiabilité est représentée dans la figure suivante :

Figure III.3 Définition de l’indice de fiabilité (Moghadaripour et al., 2013)


22

TableauIII.2 Indice de fiabilité cible pour les états limites ultimes et une période de

référence annuelle, comme recommandé par JCSS (2006) (straub et kiureghian, 2011).

Coût relatif par

mesure de sécurité

Conséquence

modérées de

défaillance

Conséquence

mineures de

défaillance

Grandes

conséquence de

défaillance

Grand 𝛽𝑇= 3,1(𝑃𝑓𝑇≈ 10

-3) 𝛽𝑇= 3,3(𝑃𝑓

𝑇≈ 10-3

) 𝛽𝑇= 3,7(𝑃𝑓𝑇≈ 10

-4)

Normal 𝛽𝑇= 3,7(𝑃𝑓𝑇≈ 10

-4) 𝛽𝑇= 4.2(𝑃𝑓

𝑇≈ 10-5

) 𝛽𝑇= 4,4(𝑃𝑓𝑇≈ 10

-6)

Faible 𝛽𝑇= 4.2(𝑃𝑓𝑇≈ 10

-5) 𝛽𝑇= 4,4(𝑃𝑓

𝑇≈ 10-6

) 𝛽𝑇= 4,7(𝑃𝑓𝑇≈ 10

-6)

Probabilité de rupture (Pf)

C’est une autre manière pour décrire le risque d’instabilité, elle est déterminée par

le comptage des (FS) qui sont inférieurs à 1.0, et puis le transformer en pourcentage.

Exemple : si on a 1000 essais de Monte Carlo, et 100 valeurs qui sont inférieures à 1.0

donc on aura une probabilité de rupture de 10%. (Krahn, 2004).

Pour la plus part des composé et des systèmes géotechniques, l’indice de fiabilité se

trouve entre 1et 5, correspond à une probabilité de rupture entre 0.16 et 3*10-7

.

(Phoon, 2008)

III.6 Simulation de Monte Carlo

La méthode de Monte-Carlo a été développée en 1949 quand John Von Neumann et

Stanislav Ulam ont publié leur article « la Méthode de Monte-Carlo ». Le concept de

Neumann et Ulam a particulièrement indiqué l'utilisation des procédures d'échantillonnage

aléatoire pour le traitement mathématique des situations déterministes. La méthode de Monte-

Carlo a pris de la signification avec le développement des ordinateurs pour automatiser les

calculs laborieux. (Sekkak, 2014)

Cette méthode tient compte de la variabilité naturelle des propriétés des paramètres

mécaniques des sols, qui est caractérisée à partir d'un échantillonnage réalisé lors de la

reconnaissance géotechnique. (Mahdavi, 1985).

Avec la méthode de Monte-Carlo, il est toujours possible de déterminer empiriquement la

densité de probabilité d’une variable Y = f(Xd) en calculant les valeurs de Y correspondant à

des ensemble de valeurs des Xi générés de façon aléatoire conformément aux densités de

probabilité de chacune des variables aléatoire Xi et en déterminant la densité de probabilité de

Y d’après la distribution des fréquences des y obtenues. La précision de cette simulation


23

augmente avec la racine carrée de la taille de l’échantillon et de ce fait il faut disposer d’un

échantillon très important pour obtenir des résultats utiles. Ceci nécessite en pratique

l’utilisation d’un ordinateur. (Baziz, 2011).

Par exemple (Lamb, 1974), (Benjamin ET Corneille, 1970) ET (Harry, 1977), donnent des

indications sur l’emploi de cette méthode.

Un des aspects important de la méthode de Monte-Carlo est qu’elle nécessite la génération

de séries de valeurs aléatoires de chacun des paramètres des modèles de calcul. Il existe dans

la bibliothèque de sous-programmes statiques des programmes capables de générer des suites

de nombres aléatoires en suivant des lois de distribution simples (densité uniforme sur un

intervalle donné, loi normale, loi log-normale, etc.)

La figure III.4 illustre un schéma général pour une simulation de Monte-Carlo.

FigIII.4 L’approche générale de la simulation de Monte-Carlo

(Hutchinson et Bandalos, 1997)

III.7 Traitement probabiliste avec la simulation de Monte Carlo

Pour le traitement de stabilité avec la méthode de Monte Carlo, la procédure est comme

suit :


24

1- La stabilité d’une digue doit être étudiée en utilisant une méthode déterministe

(avec le logiciel (GEO-SLOPE/W), Le facteur de sécurité critique et son surface de

rupture sont obtenus pour des conditions prédéfinis.

2- Le choix des paramètres qui ont un comportement aléatoire sont considérés

comme paramètres d’entrée

3- Représentation de la variabilité des paramètres d’entrée avec la sélection de

modèle de distribution, et donc les paramètres choisis seront quantifiés.

4- Echantillonnage aléatoire des paramètres d’entrée, et cela en utilisant la densité

de probabilité.

5- Pour chaque échantillon aléatoire de l’étape précédente et pour chaque surface

de rupture déterminée avec la méthode déterministe de la première étape, des facteurs

de sécurité sont calculés. (2000 échantillons aléatoire donnent 2000 facteur de

sécurité) on note que dans le calcul de FS, la surface de rupture est supposée constante.

6- Dans cette étape, la fonction de probabilité de rupture (Pf) est achevée.

7- La fonction de distribution de probabilité du facteur de sécurité est dessinée en

se basant sur les résultats de l’étape 5

8- La moyenne et l’écart type du facteur de sécurité sont calculés en utilisant la

fonction de distribution de probabilité

9- L’indice de fiabilité est calculé. (Moghadaripour et al., 2013)

III.8 Limitation de la simulation de Monte Carlo

Dans l’analyse de fiabilité d’une étude de stabilité d’une pente en utilisant la méthode de

Monte-Carlo, l’indice de fiabilité 𝛽 et la probabilité de rupture Pf sont déterminés pour la

surface critique obtenue par la méthode déterministe, donc, la première étape dans l’analyse

probabiliste est de définir la surface critique qui a un facteur de sécurité minimal, et par la

suite 𝛽 et Pf sont obtenus pour cette surface.

L’aspect important négligé dans cette approche, c’est que la surface critique qui a le

facteur de sécurité minimal n’est pas nécessairement la surface qui a une valeur minimale de

l’indice de fiabilité 𝛽 ou bien qui a la grande probabilité de rupture, la problématique de cette

approche c’est qu’on se base uniquement sur la surface critique est donc tous les résultats

dépendent d’une seule surface. (Moghadaripour et al., 2013)


25

Conclusion

L’analyse probabiliste de la stabilité d’une pente fait intervenir trois éléments d’importance

à savoir :

a) la description des variations naturelles des propriétés physiques et mécaniques

des sols et des conditions géométriques du problème traité.

b) une méthode de calcul déterministe de la stabilité des pentes.

c) une méthode de traitement analytique ou numérique des fonctions de variables

aléatoires par calcul de simulation de Monte-Carlo.

Pour déterminer la distribution statique des résultats du calcul déterministe, qu’il s’agit

d’une démarche basée sur le calcul du facteur (coefficient) de sécurité correspondant à

l’état critique.

L’analyse probabiliste par simulation de Monte-Carlo, qui est fréquemment utilisée en

raison de sa simplicité, mais exige un volume important de calculs nécessitant ainsi une

procédure adaptée pour la génération des ensembles de valeurs aléatoires des paramètres.

Son grand mérite et d’être utilisable même quand le problème analysé n’admet pas de

solutions explicites. On a toutefois toujours intérêt à employer s’il n’est pas possible

d’utiliser en priorité d’autres méthodes qui repose sur l’état d’équilibre limite.

Chapitre IV Introduction à l’utilisation du code de calcul de talus SLOPE/W du

Progiciel Geo-Studio

26

Introduction

SLOPE/W est un code de calcul de stabilité de talus faisant partie du progiciel, c’est-à-dire

un software (logiciel) applicatif généraliste aux multiples fonctions, composé d'un ensemble

de programmes paramétrables développé par GEO-SLOP Ltd de l’université de Calgary,

Alberta (Canada). Cet outil permet de modéliser des problèmes de domaine géotechnique et

de géo-environnement. Dans son architecture globale, ce programme est composé de huit (8)

modules distincts organisés comme suit :

1) SLOPE/W : calcul des facteurs de sécurité d’une pente en utilisant les méthodes

d’analyses classiques (Bishop, Janbu, Spencer, Morgenstern-Price,…) ;

2) SEEP/W : calcul, analyse et évolue, grâce à un modèle par élément finis, les pressions

interstitielles d’eau ;

3) QUAKE/W : modélisation par éléments finis du comportement du sol sous séisme ;

4) SIGMA/W : analyse par élément finis des problèmes de contraintes-déformations ;

5) TEMP/W : analyse des problèmes géotechniques des sols ;

6) CTRAN/W : modélisation du mouvement d’une contamination dans des matériaux

poreux ;

7) AIR/W : analyse des interactions entre l’eau et l’air du sol dans des matériaux

poreux ;

8) VADOSE/W : analyse de flux en dessous de la surface du sol, dans la vadose non

saturée et qui rejoignent le régime de l’eau dans le sol

IV.1 Principe de fonctionnement du SLOPE/W

Le présent c comme tous les autres programmes de calcul, il sert à fournir des résultats

issus d'un nombre défini des paramètres, donc il est nécessaire de suivre les étapes suivantes

pour l'achèvement de l'opération de calcul

IV.1.1 Définition du problème

- On crée un nouveau projet et on spécifie le type de l’analyse et la méthode de calcul

probabiliste



27

Figure IV.1 Création d’un nouveau projet sur SLOPE/W

- On choisit le type de calcul du coefficient de sécurité (constant ou bien une

distribution probabiliste)

Figure IV.2 Choix de type du facteur de sécurité

- On spécifie dans quel sens les surface de rupture vont être effectuées et aussi le mode de dessin de ces surfaces

Figure IV.3 Spécification des surfaces de rupture

- La délimitation de la surface du travail, la définition de l'échelle et la fixation d'axes se fait à l’aide de la commande set.

Figure IV.4 Barre d’outils du logiciel SLOPE/W



28

- La commande Keyln est utilisée pour La définition des propriétés du sol (le modèle du sol et le type de distribution des paramètres)

Figure IV.5 Création des matériaux dans l’outil SLOPE/W

Figure IV.6 Définition des matériaux pour le calcul probabiliste

- La commande Draw : elle sert au dessin de point

departement amenagement et genie...

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