de l’onde électrique vers la cem , avec un peu de...

BENOIT RAULIN

Electromagnétisme De l’onde électrique vers la cem,

avec un peu de RFID.

Skonx

Hiver 2013

Cours court, exercices et apports documentaires à propos de l’éléctromagnétisme, et des aspects ondulatoire en particulier.

Ondes électromagnétiques Antennes BR

sur 31

Ligne, bifilaire, ondes

électriques On commence par deux fils.

Benoît Raulin

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Cours court, exercices et apports documentaires à propos de l’électromagnétisme, et des aspects ondulatoires en particulier.


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u il

x ti u

cx t

∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂

1. Une petite histoire de l’électromagnétisme. Le télégraphe optique de Monsieur CHAPPE permet en 1793 de transmettre la nouvelle de la victoire de FLEURUS (Belgique) en une demi -journée. Les bras codent les lettres, l’information voyage à la vitesse de la lumière, c’est la modulation qui traine. Monsieur HEAVYSIDE pour un salaire de misère rédige des articles dans « the electrician » il met au point les équations de l’électromagnétisme, sous forme vectorielle, avec une contribution au calcul formel, des prémices de la théorie des distributions. Les équations de l’électromagnétisme seront appelées « équations de Maxwell » ce qui fait plus sérieux, car personne ne comprend ce qu’écrit Monsieur Maxwell, mais il est titulaire de la chaire de Cambridge. Les fameuse équations lient les causes (charges, courants) à leurs effets champs E et H. Elles modélisent le phénomène d’induction et prévoient l’existence de champ propagatifs. Heinrich HERTZ n’écoute son professeur Monsieur HELMHOLTZ qui lui dit que les champs s’établissent de manière instantanée, donc il essaie de créer des ondes avec des étincelles, des décharges électriques, et ça marche (au début sur 3 m) . Toutes les propriétés de la lumière y passent : diffraction, interférences, dispersion dans un prisme. Hertz est riche, il fait faire miroir, prisme, paraboloïde en bon laiton bien poli, il meurt jeune. Le télégraphe commence avec un seul fil, le retour se fait par la terre. D’où l’obsession des vieux télégraphistes pour « une bonne terre ». Pendant la première guerre mondiale, Monsieur BARKHAUSEN, futur prix Nobel, espionne le télégraphe français en mesurant des tensions dans le sol, entre deux piquets, ces tensions dues aux courants du télégraphe à un seul fil. L’espionnage électromagnétique commence. Le télégraphe passe à deux fils, la paire de cuivre, la ligne bifilaire, on parle d’onde électrique. C’est le titre du journal français dans lequel paraissent les articles technique sur le radar dans les années d’après WW1.

2. Propagation d’une onde le long d’une ligne bifil aire introduction Dans cet exercice on étudie la propagation d’une onde de tension courant dans une ligne de deux fils. La ligne est caractérisée par une inductance linéique dL

ldx

= en H.m -1.Cela revient à considérer la ligne comme une très

grande bobine répartie. De même, la ligne a une capacité linéique dCc

dx= . On travaille dans le cadre de

l’approximation d’Euler, c'est-à-dire que les fonctions sont développées au premier ordre.

( ) ( ) '( )f x dx f x f x dx+ = + ou bien ( ) ( ) .df

f x dx f x dxdx + = +

Etude d’un tronçon de ligne de longueur dx. 1. Représenter le tronçon de ligne et montrer qu’il se

comporte comme un quadripôle LC. 2. Flécher les tension, u(x), UC et UL,u(x+dx), le courant

i(x) est pris dans le sens qui traite les deux dipôles en convention récepteur. Montrer que Uc s’identifie à u(x+dx). Faire apparaître le courant i(x+dx).

3. Appliquer la définition d’une inductance pour lier la différence de tension et la dérivée temporelle du courant.

4. Appliquer la définition d’une capacité pour lier la différence de courant et la dérivée temporelle de la tension. On néglige ici les termes de second ordre devant les termes de premier ordre.

5. Appliquer le développement d’Euler pour la tension et le courant fonction et dérivées de x. 6. Montrer qu’on obtient ainsi le système d’équations couplées

3. Du système couplé à l’équation de propagation 7. Dériver la première équation par rapport à x la deuxième par rapport à t, pour faire apparaître des termes

où i est dérivé croisé genre² ²i i

x t t x

∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂

.

8. En déduire, deux équations du second ordre en u ou en i avec des dérivées par rapport au temps et à x. 9. Donner la dimension du produit lc le comparer à une vitesse.


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4. Fonction d’onde, relation de dispersion La solution générale de ces équations est une fonction de type (x,t)=f(k.x- t)+g(k.x+ t)ω ωΨ . La somme k.x+-ωt est appelée phase de la fonction d’onde. Les fonctions f et g peuvent être des fonctions sinusoïdales

vue la forme de l’équation 0( , ) cos( . . )i t x I t k xω= + .

10. Donner la dimension de k nombre d’onde. 11. Vérifier que les solutions proposées satisfont à l’équation. 12. En déduire une relation entre v, k et ω, dite relation de dispersion. 13. Montrer que la fonction d’onde est périodique dans l’espace, c'est-à-dire que f (x+ ,t)= (x,t)λΨ Ψ

14. Donner alors la définition de la longueur d’onde. 15. La fréquence de l’onde est-elle fixée par les propriétés de la ligne ? Suivi d’un front d’onde :On s’intéresse au point tel que la phase de l’onde . .t k xϕ ω= + soit nulle.

16. Montrer que ce point se déplace à la vitesse c, dite vitesse de propagation.

5. Solutions stationnaires, « ondes en boîte » On considère deux conditions aux limites très contraignantes, genre (x=0,t)=0, tΨ ∀ , (x=L,t)=0, tΨ ∀ On

cherche une solution de l’équation d’onde de type séparée genre (x,t)=f( ).g(x)tΨ avec f(t) et g(x) sinusoïdale. Cette situation est très générale, on la retrouve d’abord dans le cas d’une corde vibrante attachée aux deux bout. Le lien longueur fréquence est déjà connu des pythagoriciens et sert de fondement à la science moderne. En gros : « si la musique s’explique par des maths, le monde entier aussi » on en est toujours là. 17. Définir stationnaire, par rapport à propagatif. 18. Montrer que les solutions spatiales sont quantifiées. 19. En déduire les longueurs d’onde des fonctions spatiales solutions. 20. Trouver le lien entre la longueur d’onde et la longueur de la cavité. 21. Montrer que l’onde stationnaire est somme de deux ondes progressives de sens inverse de

caractéristiques identiques. 22. La présence d’onde stationnaires n’est pas un bon signe dans le cas d’une application de transmission de

données, cela signifie que de l’énergie retourne vers la source, pas bon, pas bon. Notions qui arrivent Impédance caractéristique Réflexion de l’onde

6. Formulaire ligne Le système d’équations couplée s u i

lx t

i uc

x t

∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂

Forme des solutions (x,t)=f(k.x- t)+g(k.x+ t)ω ωΨ , dans la suite on ne fait plus mystère du caractère sinusoïdal des solutions.

Notations : tension progressive ( )0( , ) j t kxu x t U e ω −

+ += tension rétrograde ( )0( , ) j t kxu x t U e ω +

− −=

Intensité progressive : ( )0( , ) j t kxi x t i e ω +

+ += intensité rétrograde, ( )0( , ) j t kxi x t I e ω +

− −=

7. Grandeurs typiques, dimension 23. Rappeler les dimensions de l et c inductance et capacité linéique.

24. En déduire la signification des expressions 1

; ; ;l c

lcc llc

25. Rappeler l’équation dite de dispersion liant ; ;k vω On doit connaître la relation k lcω=

8. Ondes + progressives et rétrogrades -, Impédance caractéristique On superpose une solution progressive à une solution rétrograde pour la tension et le courant, voir les notations. Le moins le plus lourd du monde : remarquer que la dérivation par rapport à la coordonnées d’espace fait apparaître un signe moins pour les termes progressifs.


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26. En reprenant une condition de couplage, utiliser les liens entre dérivations, Montrer la relation

( )k

i i u ulω+ − + −+ = − (lien u, i)

27. Identifier le rapport c

kY

lω= admittance caractéristique de la ligne.

28. De même faire apparaître la relation ( )k

u u i icω+ − + −+ = − , bien noter le signe « - », omniprésent.

9. Propagation de la phase nulle Le but de cet exercice est de comprendre le lien entre une translation dans l’espace et une modification de la phase de l’onde. Notre point de repère reste la phase nulle t-k.x=0ω ou bien t+k.x=0ω . 29. Au temps t=0 où se trouve la phase nulle ? 30. Au temps t=t où se trouve la phase phi=0 ?

10. Retard de propagation Dans cet exercice, on compare le temps de propagation et la période d’un signal numérique. Un signal de fréquence 10 MHz, se propage sur un câble de longueur 100 m. 31. La vitesse de propagation est 1_ _ .

r

cv unité m s

ε− =

avec epsilon=2,5. et c=3.108 m.s-1.

32. Calculer le retard de propagation. 33. Ce retard est-il significatif ? 34. Donner la longueur d’onde correspondant à une onde de fréquence 50Hz, ou 60 Hz, 35. Trouvez un pays où les problèmes de propagation se font sentir même à la fréquence industrielle.

11. Puissance sur la ligne. 36. Calculer la puissance comme produit de la tension et de l’intensité. 37. Montrer que les produits de type i+ .u- ont une moyenne nulle 38. En déduire que la puissance est la somme d’une puissance progressive et d’une puissance régressive.

Variation de la puissance 39. Dériver le produit u*i par rapport à x. 40. En utilisant les équations de couplage, remplacer les dérivées spatiales par des dérivées temporelles. 41. Intégrer la relation obtenue, elle lie l’énergie dans u. n tronçon et la puissance qui entre et sort.

12. Problème de l’adaptation d’impédance L’adaptation d’impédance est la condition pour que le transfert de puissance se fasse du générateur vers la charge. Ensuite une ligne viendra s’intercaler, en sandwich, la fréquence augmentera, la propagation deviendra prépondérante, mais revenons à notre circuit pour enfants. 42. Cas simple et éclairant en tension continue : un générateur e, r débite dans une charge R. 43. Pour quelle valeur de R, le transfert de puissance est-il maximal ? En alternatif sinus Le générateur a pour impédance Zg=X+jY, la puissance en sinusoïdal s’écrit

*1Re .

2p u i =

44. Quelle charge Z=x+jy permet un transfert maximal de puissance ? L’adaptation entre la charge et le générateur se pose à chaque raccord d’une chaîne de propagation.

13. Terminaison de la ligne. La ligne est terminée en x=d par une impédance 45. Traduire la fermeture du circuit en x=d par une relation entre u(x=d, t) et i(x=d,t). 46. Croiser cette relation avec la relation u, i de l’exercice précédent. 47. En déduire un lien entre u+ et u- appelé coefficient de réflexion. uu uρ− +=

48. Dans le cas où Z est une résistance, encadrer la valeur du facteur de réflexion. 49. Donner la valeur du facteur pour Z=Zc. 50. Donner la valeur du facteur pour la ligne ouverte, open. 51. Donner la valeur du facteur pour la ligne fermée par un short circuit.


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14. Simulation d’une ligne, utilisation de la bibli othèque de Stéphane POUJOULY Vérifier que LT spice 4 est présent sur le poste. Sur le site de Stéphane POUJOULY télécharger la simulation ligne coaxiale. Installer la bibliothèque, comme expliqué dans le texte. Observer les tensions d’entrée et de sortie dans l’ensemble générateur, ligne et impédance de sortie

tous adaptés. Mesurer le temps de propagation.

La vitesse de propagation vaut 1_ _ .r

cv unité m s

ε− = epsilon est la valeur indiquée.

Calculer v En déduire la longueur physique de la ligne. Désadapter l’impédance de sortie, observer. Comment se placer en circuit ouvert. Comment se placer en short ? Observer les valeurs relatives de la tension et de l’intensité. Expliquer les signes relatifs dans les cas short et open. Désadapter l’entrée, côté générateur, et observer les rebonds successifs.

15. Calcul de l’impédance de la ligne vue de son br anchement en x=0.

Rappel des relations ;c c

v vZ Z

i i+ −

+ −

= = −

On cherche à établir l’expression de l’impédance de la ligne vue de l’origine en x=0. 52. Donner l’expression de V(x=0), et i(x=0).en fonction de V+, et V- respectivement i+ et i-. 53. Exprimer ainsi V+, V-, i+ i-.

54. Remplacer les expressions obtenues dans les relations. ( )

( )

jkx jkx

jkx jkx

i x i e i e

v x v e v e

− ++ −

− ++ −

= +

= +

55. En déduire une relation donnant v(x) en fonction de v(0). 56. Faire de même avec i(x). 57. En déduire une relation donnant Z0. 58. Lier la relation précédente avec Zr impédance terminale.

16. Mesures sur une ligne Les grandeurs mesurées sur une ligne sont la tension, la phase, la distance entre deux extrema, la puissance, la fréquence. Dans un guide d’onde, un détecteur mesure une grandeur liée au champ électrique. Force est de faire des mesures indirectes, distances, profondeur de cavité, atténuation. On se retrouve dans une situation proche de celle d’un électricien avec un voltmètre des années 40, le mieux c’est de mesurer V=0.

17. L’abaque de Smith, ou comment faire les calculs graphiquement, à l’américaine. En 1939 Phillip H SMITH concepteur en HF édite son premier outil graphique, cet outil s’adresse à ceux qui ne prennent pas un grand plaisir à faire des lignes de calculs en complexes. On pense tout de suite à la construction de FRESNEL. Il s’agit d’une transformation du plan complexe, de type homographique, avec des grandeurs normalisées. Il s’agit d’inverser la relation de définition de l’impédance à partir du coefficient de réflexion.

Les mesures donnent le rapportmin

max

E

E, la distance entre deux extrema, le déplacement d’un extremum

quand l’impédance de la charge prend une valeur extrême, 0 ou l’infini.


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Les cercles complets, tangents à l’axe vertical sont des cercles à partie réelle de l’impédance constante. Les grands cercles incomplets, tangents entre eux en l’origine sont des cercles à partie imaginaire de l’impédance constante.


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Ondes EM

De l’onde plane à la cem en passant par Friis


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18. Mots clés Onde plane, sphérique, polarisation, vecteur de Poynting, rayon lumineux, dipôle rayonnant, champs émis, champs statiques, champ proche, champ lointain, puissance rayonnée, gain, directivité, angle solide, densité de puissance, antenne isotrope, surface équivalente, Friis,

19. Biblio sommaire : EM F Gardiol PPUR 96, Micro ondes P Combes 2 tomes Dunod 97 Poly AEMC 93, Ondes EM Faget Mazzaschi Vuibert université 83, H prépa Ondes, Les antennes dans les réseaux de téléphonie mobile B Delorme Tec et doc Lavoisier Antennes, D J W SJOBEMA publications phillips Réceptions de hautes fréquences Joseph J CARR Publi tronic. Cours de physique « électromagnétisme » Daniel Cord ier.2007 Thèse Emmanuelle CONIL CSTB Supélec : Propagation E M du champ proche au champ lointain

20. Introduction, notion d’onde EM, trois types d’o ndes successifs. Onde plane

L’onde plane est un modèle simple pour comprendre les ondes EM. Les scientifiques du 18 19ème siècle ont eu du mal à accepter qu’elle se propage dans le vide. Mais la lumière, une onde comme les autres nous vient bien du soleil à travers le vide intersidéral.

L’onde est composée de deux champs : le champ magnétique, Hr

et le champ électrique Er

. Les dépendances temporelles et spatiales des champs sont les mêmes que celles des tensions et intensités dans la ligne bifilaire.

Donc, comme dans la ligne : le couple, tension courant, est remplacé par le couple champ Er

champ Hr

dans l’onde plane

0( , ) cos( . . )2

u t x U t k xπω= − + 0( , ) cos( . . )i t x I t k xω= −

0( , ) .cos( . . )E t x E t k xω= −r r

0( , ) cos( . . )H t x H t k xω= −r r

Ici les deux champs sont en phase. Le vecteur d’onde kr

est dans la direction de propagation et a pour valeur algébrique k, on trouve aussi la lettre grecque béta, nombre d’onde. Un signe négatif dans la phase montre que l’onde est progressive. 59. Construction graphique des bulles de champ, explication du phénomène d’émission.

Direction des champs Les champs de l’onde plane sont perpendiculaires, entre eux, et perpendiculaires à la direction de propagation, de façon à former un trièdre direct dans l’ordre k, E, H. La puissance portée par l’onde est égale au produit

vectoriel 1

2E Hϕ = ×r rr

, le facteur 1/2 vient des valeurs maximales.

Remarque : limites du modèle de l’onde plane. L’hypothèse n’est pas réaliste car l’onde remplirait tout l’espace. Elle fonctionne pour un volume petit, une pièce, un circuit loin de la source par exemple. On peut considérer l’onde plane comme une approximation locale de l’onde sphérique.

Ondes sphériques, modèle plus délicat, plus performant.

On préfère définir alors des ondes sphériques de type

0( , ) .cos( . . )e

E t x E t k rrθ ω= −r

rr ronde sphérique isotrope attention à la dimension de E0. L’onde sphérique

assure la conservation de l’énergie, elle rend compte de la décroissance des champs, de la puissance avec la distance. L’énergie est rayonnée dans tout l’espace, sans directivité particulière, on peut penser au soleil, ou a une source très petite devant la longueur d’onde émise.


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Les ondes sphériques sont donc à trois dimensions, en coordonnées sphériques…, leur norme décroît fortement quand on s’éloigne de la source, c’est donc plus réaliste mais c’est plus chaud à manier. La polarisation se fait jour. Pour faire simple, les antennes fouet doivent être parallèles, les boucles doivent être dans le plan perpendiculaire aux antennes. On notera que l’énergie transportée par l’onde décroît comme la distance au carré, voir exercice.

Le lien entre H et E est donné par l’impédance du vide 0 377E

ZH

= = Ω

L’onde émise par le doublet, le dipôle de Hertz.

0( , ) sin .cos( . . )e

E t x E t k rrθ θ ω= −r

rr r, Le sinus rend compte du caractère anisotrope de l’émission.

Le doublet, base d’un panneau d’antennes multiples est aussi un intermédiaire de calcul dans le cas d’antennes étendues que l’on décompose en une somme de doublets.

21. De l’équation d’onde à l’expression des champs.

On rappelle la structure de l’équation d’onde pour les lignes.² ²

² 0² ²

u uv

t x

∂ ∂− =∂ ∂

60. Ecrire l’équation d’onde, à l’imitation pour le champ E. 0( , ) .cos( . . )E t x E t k xω= −r r

61. En déduire la relation de dispersion en essayant la solution plane. 62. Etudier la dimension du seul coefficient, l’identifier avec c=3.108 m.s-1.

Longueur d’onde 63. Une onde de fréquence 1 GHz se propage à la vitesse de la lumière dans le vide, c=3.108m.s-1, quelle est

sa longueur d’onde ? 64. Une grille de four à micro ondes a des trous de diamètre 3mm, ne passent que les longueurs d’onde

inférieures à ce diamètre, quel partie du spectre électromagnétique est arrêtée par cette grille ? 65. La fréquence des fours micro onde est 2,45 GHz. Calculer lambda.

22. Structure de l’onde Structure de l’onde plane.

66. Dans l’expression du champ d’une onde 0( , ) .cos( . . )E t x E t k xω= −r r

, quelle est la direction de

propagation ? Si l’onde est dite transverse E est perpendiculaire à la direction de propagation. 67. Quel est le sens de propagation ? 68. Comment est orienté E0 par rapport à la direction de propagation pour une onde plane tranverse? 69. Quelle relation lie la pulsation et k ? 70. Pourquoi l’hypothèse de l’onde plane n’est valable qu’au voisinage d’un point ?

Impédance du vide, puissance surfacique. 71. Le champ électrique d’une onde plane possède une amplitude de 100mV.m-1, calculer son champ H. 72. Représenter l’onde vue de face, le vecteur k dans l’œil.

73. Quelle direction a le vecteur puissance ? 1

2E Hϕ = ×r rr

*1

2E Hϕ = ×r rr

, on parle de vecteur de Poynting.

74. Donner son unité, en déduire qu’il correspond à la notion ancienne de rayon lumineux. 75. Calculer la densité de puissance pour les données de l’énoncé. 76. Montrer que l’onde plane « remplit l’espace entier ».

Onde sphérique

On admet, pour le légitimer plus tard, qu’une onde sphérique a pour expression ( . . )( , ) . . j t k rOUE r t e e

rω

θ−=

r r

77. Commenter le choix de la notation U0. 78. Montrer que l’émission est isotrope, qu’est-ce que cela veut dire ? 79. Calculer le champ H, correspondant. 80. Calculer le vecteur puissance surfacique rayonnée, vecteur de Poynting, bien préciser les unités. 81. Calculer le flux de ce vecteur sur une sphère centrée sur la source. 82. En déduire que la puissance rayonnée est constante quand r augmente, ce qui est plus raisonnable.


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83. Lier U0 et la puissance transmise par la source. Le modèle de l’onde sphérique isotrope est intermédiaire, il est plus réaliste que l’onde plane, mais moins que le dipôle. Nous avons là les trois niveaux de modélisation des ondes. Attention le concept de puissance est glissant, pour s’y retrouver parler de puissance surfacique, vecteur de Poynting, puissance totale transmise, puissance électrique.

Onde plane figée dans le temps quelle est la direction de propagation ?

23. Eléments sur la polarisation des ondes EM.

84. Qu’est-ce que la polarisation d’une onde ? 85. Rappeler ce qu’est la polarisation naturelle de

lumière solaire . 86. L’onde issue de la tour Eiffel qui porte le signal TV est-elle polarisée horizontalement ou verticalement ? On additionne deux ondes planes, on ne regarde que les champs électriques des ondes. Les ondes ont même direction de propagation Ox.

Le champ électrique de l’onde 1 a pour expression 1 1 1 1( , ) .cos( . . ); .yE t x E t k x E E eω= + =r r r r

Le champ électrique de l’onde 2 a pour expression 2 2 2 2( , ) .cos( . . ); .zE t x E t k x E E eω ϕ= + + =r r r r

On s’intéresse au trajet de la pointe du vecteur champ électrique en un point d’abscisse x=0 de l’axe de propagation. On donne au déphasage les valeurs remarquables du tableau. 87. Former la somme Ez+ Ey vecteur champ électrique. 88. En additionnant les carrés des vecteurs Ez et Ey étudier comment évolue la norme du vecteur E. 89. Montrer que les figures décrites par le vecteurs sont : soit des segments, soit des ellipses, ou bien des

cercles si E1=E2. 90. Donne le sens dans lequel sont décrites les ellipses.

Valeur de φ

Forme décrite par le vecteur E Nom de la polarisation

Pi/2

Pi/2

kπ

hasard Polarisation par traversée d’une herse conductrice.

Comment agit une série de conducteurs parallèles sur une onde qui les traverse ? On étudie le passage d’une onde à travers des fils parallèle, le vecteur puissance, la propagation se fait dans la direction perpendiculaire au plan de la grille. 91. Envisager deux cas : le champ E est parallèle aux conducteurs, le champ est perpendiculaire. 92. Envisager alors l’effet de cette grille sur une onde de polarisation quelconque : vous avez inventé le

polariseur.

24. Réception, antenne fouet, antenne boucle. 93. Rappeler le lien entre le champ électrique et la tension électrique. 94. En déduire une direction favorable pour l’antenne fouet. 95. En déduire qu’une antenne fouet reçoit bien quand elle est soumise à un champ dans sa direction. 96. Comment placer une antenne radio ? gag. 97. Pourquoi les dipôles des antennes de TV sont à plat ?

Une boucle de conducteur est le siège d’une fém d’induction. La fém est d

edt

Φ= − où 0

1.H S

µΦ =

uur ur

98. Comment placer l’antenne boucle pour obtenir le signal maximal ? 99. Dans le cas où on souhaite obtenir une réception favorable, avec une boucle de courant, où et comment la

placer pour recevoir le signal émis.

2

1

01

2x

2

0

2

y

10

1

z


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25. Glossaire, formulaire, notation Les notations sont une piste pour s’y retrouver dans la longue liste des définitions. Le choix d’une lettre comme phi pour les densités est une option intéressante. Les rapports entre grandeurs de même nature, comme le gain et la directivité sont indépendants du choix du type de densité de puissance. Phi majuscule ( , )r θΦ pour la densité en watt par stéradian,

Phi minuscule ( , )rϕ θ pour la densité en watt par mètre². Liste fourre-tout des notions :

Gain 0 0

, lim

( , )

iso a

G Dθ ϕη Φ= =

Φ où êta η est le rendement électrique, souvent unitaire.

Directivité. ( , )

isotrope

Dθ ϕΦ=

Φ, capacité à concentrer le rayonnement dans une direction, comme des

jumelles

Surface équivalente d’une antenne en fonction du gain ²

4

Gλπ

Σ = surface couplant antenne et champ.

Puissance stérique normalisée0 0 0

( , )( , )

( , )normalisée

θ ϕθ ϕθ ϕ

ΦΦ =Φ

sans dimension. On rapporte la densité

stérique à sa valeur maximale. Puissance rayonnée, par l’antenne, point de vue électrique eP watt

Densité de puissance par unité de surface. ( , )P

Surfaceϕ θ ϕ =

Densité par unité d’angle solide. 1.dP

watt strd

− Φ = Ω

Angle solide. [ ]²

Sstéradian

RΩ = « part de l’horizon ».

Antenne isotrope. ( , ) ( , )4 4 ² ²

e eP W P W

stérad r mθ ϕ φ θ ϕ

π π Φ = =

Décibel isotrope dBisotrope 0 0( , )10log é

dBiisotrope

Gθ ϕ Φ= Φ

décibel de milliwatt dBm 0 0( , )10log ;é

dBiisotrope

pG puissances

p

θ ϕ =

Formule de Friis

2

4r e e rP PG Gd

λπ

=

Equation du radar( )3 2 2

1 2

²

4r e e rP PG G

d d

λπ

Σ=

Lien champ puissance surfacique.2

0 max2 ²vide

E Wvaleur imale

Z mϕ =

2

;eff

vide

Evaleur efficace

Zϕ =

Impédance du vide. 120 377Z π= = Ω , lien entre E et H dans le vide.

Conditions de champ proche 2 ²l

rλ

> , 1,6r λ>


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26. Onde plane, rapport de mesure. L’impédance du vide est 377=120π ohms, c=3.108m.s-1 La puissance portée par l’onde est

.eff effH Eϕ =

Dans le cas d’une onde plane, on admet la

relation HZE =r

, Le rapport de mesure suivant

permet de connaître les valeurs efficaces des champs suivant la bande de fréquence. Pour la bande GSM 932, 100. Calculer la valeur efficace du champ H.. 101. Quelle est l’unité du champ H ? 102. Calculer la longueur d’onde du GSM 932. 103. Expliquer la formule donnant le champ

électrique total. 104. Les mesures on été faites à une distance

de 60m, justifier l’appellation « champ lointain ».

105. Pourquoi le champ lointain est le seul intéressant pour la propagation ?

106. Dans quels cas peut-il être utile de connaître le champ proche ?

107. Calculer la puissance reçue au point de mesure.

108. Si la distance double, comment varie le champ E ?

109. Si la distance double comment varie le champ H ? 110. Même question pour la puissance.

27. Transparence atmosphérique


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Analogie ondes EM ondes sonores

28. Analogie ondes EM ondes sonores suite La notion d’angle d’ouverture du faisceau émis est liée au rapport entre la taille de l’objet émetteur : violon, antenne, corde vocale, dipôle oscillant, piste de carte… et la longueur d’onde de l’onde émise. On définit comme thêta l’angle du faisceau dans lequel l’énergie est émise. 111. Dire par un raisonnement qualitatif, si l’angle est plutôt égal au rapport lambda sur D, ou D sur

lambda ? 112. Donner un exemple, le violon est plus directif pour les graves ou pour les aigus ? 113. Calculer le rapport longueur d’onde/taille d’un téléphone 114. Expliquer pourquoi les micro ondes se prêtent à la comparaison avec l’acoustique.

29. Autres traitements des ondes EM 115. Quelle partie du spectre EM est plutôt traitée par le modèle des rayons lumineux, 116. Quelle partie est traitée par le modèle du photon ? 117. Pour quelle partie doit faire tous les calculs ? 118. Pour quelle partie garde-t-on ces bonnes vieilles ondes ?


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30. Coordonnées sphériques Les coordonnées sphériques sont plus adaptées à la description des champs rayonnés. La direction privilégiée est l’axe du dipôle rayonnant, la distance r, l’angle thêta est la colatitude, à partir du haut. L’angle phi est l’angle de la rotation autour du dipôle. Pour beaucoup d’antennes l’émission est indépendante de phi, on a donc une émission en galette plate. On essaye le schéma en perspective. 119. Placer les angles thêta, et phi ainsi que r, ce sont les trois coordonnées sphériques. 120. Placer les vecteurs unitaires correspondants autour du point M.

31. Champs rayonnés par une antenne dipôle, dipôle de Hertz

Les formules donnent les dépendances des champs magnétique et électrique ainsi que leur vecteurs unitaires, elle ne sont en aucun cas à connaître, le but est plutôt de les utiliser en les simplifiant par des approximations dont on connaît et maîtrise la portée. 121. Entourer les termes de champ proche. 122. Entourer les termes de champ lointain. 123. Faire l’analyse dimensionnelle soignée de chacun des termes 124. Justifier, a posteriori, la définition de l’onde sphérique isotrope. 125. Quel progrès apporte le modèle du dipôle de Hertz ?

32. Emission des ondes électromagnétiques : composa ntes, dépendances 126. Sur le schéma où apparaissent les coordonnées placer le dipôle. 127. Quelle est la différence entre la direction du champ en un point et la direction de propagation d’une

onde ? 128. Donner les directions des champs électrique et magnétique, on peut choisir E dans le plan de la feuille. 129. Dans le plan r, thêta, (de profil) représenter les champs électrique et magnétique de l’onde. 130. Faire de même dans le plan perpendiculaire à l’antenne.

Er

0Eϕ =

( ) ( )2 3

1 1 1 1. . ²sin .

4jkr

V mE Z I dl k ejkr jkr jkr

θ θπ

−

= − ⋅ + +

( ) ( )2 3

1 2 2. . ²cos .

4jkr

r V mE Z I dl k ejkr jkr

θπ

−

= − ⋅ +

Hr

0rH =

0Hθ =

( )2

² 1 1. .sin .

4jkr

m

kH I dl e

jkr jkrϕ θ

π−

= − ⋅ +


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33. Champ proche, Champ lointain

On appelle champ lointain la zone de l’espace où 2 ²

/ 10 1,6D

r et ou r D r λλ

> > > .

On choisit la condition la plus restrictive. Ici D est la dimension de l’antenne.

131. Dans le cas d’une onde de type radio AM émise par une antenne 904

H mλ= = donner une valeur du

rayon de champ lointain. 132. La cuve d’un micro ondes est-elle du domaine du champ proche, l’antenne émettrice fait 2 cm. ? 133. De même avec une onde de type visible vert de longueur d’onde 500nm, émise par une diode, la zone

émettrice peut faire 100µm. 134. Approximation de champ proche : simplifier l’expression du champ électrique dans le cas du champ

proche. 135. Faire de même avec le champ magnétique.

34. Puissance rayonnée, exemple du doublet (dipôle de hertz). On admet que la puissance rayonnée est liée au produit des deux champs. Le parallèle avec les ondes électriques continue. Un produit vectoriel permet de conserver la puissance sous la forme d’un vecteur. Ce vecteur, pas nécessaire dans une première approche est appelé vecteur de Poynting. Il donne la direction de propagation de l’énergie et nous ramène au modèle de l’optique géométrique, où les rayons sont des trajectoires pour l’énergie. 136. Après avoir éliminé les composantes de champ proche des champs E et H, calculer le produit.

137. Montrer que l’on obtient l’expression 0 0² ²( , )

2 2v

v

Z H Er

Zϕ θ = =r

2

( , ) ² sin ²4v

klr Z I

rϕ θ θ

π =

r.

138. Quelle grandeur est représentée par la lettre I, quel rapport avec une antenne, une onde ? 139. Montrer que ( , )rϕ θ est en W.m-2. 140. De quel type de grandeur s’agit-il ?

Etude de la fonction densité de puissance surfaciqu e du dipôle de Hertz. 141. L’émission est-elle directive ? Dans quelle direction. 142. Donner l’allure de la fonction sin² en représentation polaire.

Puissance totale Pour calculer la puissance totale, une intégrale de surface s’impose, wolola. 143. Donner l’expression de la puissance totale émise par le dipôle de Hertz. Dans ce système de coordonnées l’élément de surface sur une sphère est . . sin .dS r d r dθ θ ϕ= , l’intégration peut tenir compte de la symétrie. 144. Donner l’expression de l’intégrale à calculer pour obtenir la puissance totale émise par le doublet.

Coup de pouce 3

0

4sin .

3d

πθ θ =∫


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145. Montrer qu’on obtient l’expression

2 24 1

2 . . ² . 2 . . ² .4 3 3T

kl lP Z I Z Iπ π

π λ = =

146. Le rapport longueur de l’antenne sur longueur d’onde est-il libre de varier ou bien a-t-il fait l’objet d’hypothèses ?

147. Comment augmenter la puissance émise ?

35. Résistance de rayonnement On fait un parallèle entre le transfert thermique par effet Joule dans une résistance et le transfert électromagnétique dans une antenne dipôle. L’antenne est le siège d’un transfert hors du circuit électrique, une grandeur de même nature qu’une résistance quantifie, dimensionne ce transfert. 148. Rappeler la relation liant la résistance la puissance, et l’intensité. 149. Définir ainsi la résistance de rayonnement.

Application : calculs numériques Une antenne de 10 mètres de long est parcourue par un courant d’amplitude 5A, à une fréquence de 6MHz. 150. Calculer la puissance totale émise. 151. Calculer la longueur d’onde, en déduire la limite du champ proche. 152. Calculer alors l’amplitude des champs électrique et magnétique à 100 m du centre de l’antenne.

36. Retour sur l’antenne isotrope, angle solide. Bien qu’elle n’existe pas, l’antenne isotrope permet de mettre en place les notions, elle fournit de plus des valeurs pour former les rapports, bases des nombres sans dimension que sont le gain et la directivité.

Puissance surfacique, puissance stérique, angle sol ide. 153. Donner la puissance surfacique de l’antenne isotrope en fonction de la puissance totale transmise. 154. Faire de même en fonction de la puissance fournie, le rendement est notéη

Angle solide 155. Donner la définition d’un angle solide, dégager l’intérêt. 156. Quel angle solide correspond à un demi espace : toutes les direction au dessus du sol. 157. Une façade de 100 m² est vue à une distance de 2 km calculer l’angle solide sous lequel on la voit.

158. Un faisceau de lumière emplit angle solide 8

stéradiansπΩ = , calculer la surface éclairée à 100m.

159. Donner alors la puissance stérique, ou densité de puissance par unité d’angle solide, pour une antenne isotrope. La notation est ou ΩΦ Φ .

37. Caractéristique des antennes Utilisation des caractéristiques : Gain d’une anten ne

160. Rappeler l’intérêt du gain pour une antenne directive. Une antenne a une directivité de 34 dB, un rendement de 0,85, la puissance fournie est 10 kW, f=2,45GHz. 161. Quelle est la puissance transmise ? 162. Quelles sont les causes de « pertes ». 163. Quelle est la puissance stérique isotrope équivalente de cette antenne. 164. Quelle est la puissance surfacique isotrope de cette antenne à 10 km. 165. Quelle est la puissance surfacique réellement reçue dans la direction privilégiée. 166. Même question pour la puissance stérique.

Surface équivalente 167. Rappeler la définition de la surface équivalente d’une antenne notée A, lier surface, et gain. 168. En utilisant la relation gain surface équivalente, calculer la surface équivalente de l’antenne de

l’exercice. Puissance émise, autre cas pratique.

L’émetteur du pic du midi de Bigorre (Pyrénées) a pour puissance 5kW pour la fréquence f=500MHz. Le gain en puissance de son antenne dans la direction de Toulouse (d=130 km) est 6dB. 169. Schéma légendé svp. 170. Calculer la puissance d’alimentation de la source isotrope équivalente. 171. En déduire à Toulouse la puissance rayonnée par unité de surface petit phi, en W.m-2.


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38. Le champ électrique rayonné. Observation d’une fonction caractéristique de rayonnement

Les graphes 3D ci-dessous montrent la représentation de la fonction caractéristique de rayonnement. Cette fonction est sans dimension, elle doit être représentée dans l’espace 3D. Elle répond à la question : « Où sont les points qui reçoivent une densité de puissance donnée ? » par exemple 1W.m-2. 172. Pourquoi n’y a-t-il aucun point dans l’axe de l’antenne ? Quelle est la signification. 173. Pourquoi est-on plus loin quand on est dans le plan médiateur de l’antenne ? 174. Tracer une coupe, pour un plan contenant l’antenne, de la fonction de r et thêta. 175. Faire de même dans le plan perpendiculaire à l’antenne.

39.


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Comparaison antenne dipôle vs antenne isotrope, not ion de directivité

On reprend la puissance de l’antenne dipôle et on la répartit (isotropiquement) sur une sphère de rayon. 176. Exprimer le gain ou la directivité de l’antenne dipôle, dans la direction privilégiée. 177. Calculer le gain en dBi. Cette antenne est-elle directive ?

40. Diagramme de rayonnement

Le diagramme de rayonnement en champ d’une antenne est 8( ) cos ( )F θ θ= . 178. Calculer la fonction pour la puissance. 179. Donner l’allure du diagramme de rayonnement. 180. Pour quels angles le champ a-t-il perdu -3dB ? 181. En déduire l’angle d’ouverture. 182. Définir et exprimer la fonction caractéristique de rayonnement FCR sur cet exemple.

41. Bilan de liaison Deux antennes communiquent, la 1 est l’émettrice, la 2 réceptrice, mais cela n’a pas d’importance. Chaque antenne est caractérisée par sa surface de captation, surface équivalente, A1, respectivement A2. r la distance entre les antennes.

Soit [ ]fP W la puissance fournie à 1, [ ]rP W la puissance reçue par 2.

183. Faire un schéma de la situation de communication. 184. Exprimer la densité de puissance stérique de l’antenne isotrope équivalente pour l’antenne 1. 185. Exprimer la densité surfacique de puissance équivalente à la distance r. 186. Réception par 2: on se place du point de vue de l’antenne 2, exprimer la puissance « électrique » reçue

W. Le rendement de la transmission ne peut dépendre du sens de transmission donc on égale les deux rendements. Cela s’appelle la réciprocité, elle nous fait penser au retour inverse de la lumière. 187. Exprimer la puissance reçue par 1 si 2 émet Pf.

188. En déduire la relation 1 2

1 2

????G G

A A= =

189. En remplaçant la surface équivalente de l’une des antennes dans le bilan de liaison, en déduire la

magnifique formule de FRIIS.

2

1 2 4r fP P G Gr

λπ

=

Un petit tour aux limites du système solaire La sonde Voyager a transmis des images de Neptune à 4,5.10 9 km, la fréquence est 4GHz, la puissance transmise 50W, le gain de l’antenne d’émission est 1000 en valeur naturelle, le gain de l’antenne de réception est 60 dB. 190. Exprimer, à l’aide de la formule de FRIIS la puissance reçue.

42. Antenne parabolique La directivité d’une antenne parabolique est donné par la relation approchée

2

max 0,8d

D g gπλ

= <

, où d est le diamètre de l’antenne. L’antenne de TP a

pour diamètre 35 cm, la fréquence est 10 GHz. 191. Calculer la directivité, en valeur naturelle et en dBi de l’antenne, on prend g

= 0,8. 192. Retrouver alors sa surface (équivalente).


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43. Combinaisons de dipôles L’antenne dipôle, la plus simple des antennes réalistes, est la structure élémentaire pour construire des modèles d’antennes plus élaborés. Soit on met bout à bout les antennes pour additionner les contributions dues aux courants d’une grande antenne. Soit les dipôles sont parallèles et on crée un réseau.

Dipôles, bout à bout le long d’une antenne fouet On calcule le champ résultant de la somme de dipôles qui sont des parties d’un conducteur filiforme. On se place résolument en champ lointain, les variations d’amplitude sont négligées au profit des variations de phase. Les segments, qui font penser aux rayons lumineux issus d’un réseau, sont parallèles, la variation de l’amplitude est faible devant la variation de la phase. 193. Rappeler l’expression du champ électrique du dipôle. On découpe l’antenne longue en morceaux de longueur dz, par courus par le courant I(z), il sont vus à la distance r(z), sous l’angle thêta(z) par le point P. 194. En déduire l’expression du champ résultant de l’addition des contributions. Le calcul analytique s’arrête là sans l’expression de l’intensité le long de l’antenne. Une approximation consiste

à assimiler l’antenne à l’extrémité d’une ligne en circuit ouvert.

L’intensité prend la forme [ ]max( ) sin ( )I z I k l z= − , expression qui vérifie déjà la condition ( ) 0I l = , qui est

impaire, donc présente une opposition de phase entre deux points homologues. Avec cet apport l’expression reste touffue, mathématica rend l’expression plus simple pour des longueurs

multiples d’un quart de longueur d’onde. Un changement de variable et une intégration, bien amenée par le livre RFID de chez Dunod permette une

tentative avec mapple

dueunIlA unj )cos(...21

2

10 .)2

1(sin..)( θπθ ∫−

+= (u est ici une variable muette).

> int(sin(Pi*(x+1/2))*exp(I*cos(theta)*x),x=-1/2..1/2);

π ( ) + eeee( )/1 2 I ( )cos θ

eeee( )/-1 2 I ( )cos θ

− + ( )cos θ 2 π2

? > simplify(%); >

2π

cos

12

( )cos θ

− + ( )cos θ 2 π2

Reste à redimensionner mais on y est presque, la littérature donne plutôt des fonctions avec sin(thêta) au dénominateur. L’intégration avec un paramètre n fait un peu peur int(sin(Pi*n*(x+1/2))*exp(I*n*cos(theta)*x),x=-1/2..1/2);

−− + + eeee

( )/1 2 I n ( )cos θπ ( )cos π n I eeee

( )/1 2 I n ( )cos θ( )cos θ ( )sin π n eeee

( )/-1 2 I n ( )cos θπ

n ( ) − ( )cos θ 2 π2

> int(sin(Pi*2*(x+1/2))*exp(I*cos(theta)*x),x=-1/2..1/2);simplify(%);


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−2π ( ) − eeee

( )/1 2 I ( )cos θeeee

( )/-1 2 I ( )cos θ

− + ( )cos θ 2 4 π2

-4 I π

sin

12

( )cos θ

− + ( )cos θ 2 4 π2

44. Association de dipôles en parallèle, réseau d’a ntennes. La situation change : les antennes ne sont pas couplées, la phase d’une antenne à l’autre est connue, et initialement nulle, l’amplitude du champ rayonné est indépendante de l’antenne, la distance entre deux antennes est d,les antennes sont le long de Ox, quand on se place dans le plan médiateur des antennes l’angle phi varie, il est nul dans le plan des antennes. Chaque dipôle est alimenté par le courant I. Il y a N dipôles, de 1 à N. On se relâche un peu du point de vue dimensionnel car le but est d’avoir le diagramme de rayonnement. 195. Schéma avec notations please. 196. Rappeler le champ émis par un dipôle. 197. Montrer que, en l’absence d’autre cause, la différence de marche entre deux rayons parallèles issus de

sources voisines est 1 cos sini ir r d ϕ θ+ − ≈ .

198. En déduire le champ résultant de la somme des dipôles. 199. Calculer alors le vecteur de Poynting 200. Calculer la valeur du maximum dans la direction privilégiée. 201. Exprimer la FCR en normalisant la relation.

45. Antennes fixes, faisceau tournant On admet pour l’exercice la fonction réseau qui donne dans le plan médiateur du réseau d’antennes la variation de l’intensité du rayonnement. Où ψ est le déphasage entre une antenne et sa suivante. 202. Exprimer le déphasage entre une antenne et sa suivante. 1k

203. En déduire l’angle d’émission maximale. On ajoute un terme '( )tψ au déphasage du à l’espacement des sources, ce déphasage peut être issus d’un circuit électrique. 204. Quel est le nouvel angle d’émission maximale ? 205. Montrer qu’il tourne à la vitesse angulaire ω si '( )t tψ ω=

206. Quel application peut avoir ce type de dispositif ? Un dispositif sans électronique a existé juste après la seconde guerre mondiale, le guide d’onde fendu qui sert de réseau voit sa largeur varier autour d’une valeur moyenne. On montrera plus tard que la largeur du guide joue sur la longueur d’onde. 207. Quel lien entre la longueur d’onde et le déphasage ? 208. Comment obtenir un balayage ?

2

sin( )2( )

sin2

NRéseau

N

ψ

ϕ ψ

=


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46. Propagation guidée Système d’ondes planes équivalent à une onde guidée .

Soit une OPPPR sinusoïdale E1de longueur d’onde lambda polarisée suivant Ox qui se propage dans le vide, dans le sens positif de l’axe D1, cet axe fait un angle θ avec l’axe Oz.

Le champ de l’onde en O s’écrit 1 0( ,0,0,0) i tE t E e ω−=r r

209. Donner la signification et les composantes du vecteur d’onde 1kr

.

210. Quelle est l’expression du champ 1( , , , )E t x y zr

?

En l’absence de la première onde, une autre onde E2 se propage dans les mêmes conditions, la direction de propagation de E2 est symétrique de celle de E1 par rapport à Oz.

211. Quelles sont les composantes de k2 et l’expression de 2( , , , )E t x y zr

?

Les deux ondes se propagent simultanément 212. Quelle est l’expression du champ total en m(x,y,z) ? 213. Quelles sont les caractéristiques de l’onde résultante, est-ce une onde plane, une onde progressive ? 214. Quelle est sa polarisation ? 215. Dans quelle direction se fait la propagation. 216. Avec quelle vitesse de phase ? 217. Quelle est la longueur d’onde ? 218. Quelle est l’amplitude de l’onde résultante ? 219. Montrer qu’il existe une infinité de plans suivant lesquels cette amplitude est nulle. 220. Quelle est la distance entre deux plans successifs ? 221. Cette onde peut-elle se glisser dans un guide d’onde aux parois parfaitement conductrices ? 222. Comment dimensionner alors le guide ? 223.

guide


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47. Le guide d’onde rectangulaire On considère un tube métallique de section rectangulaire, de côtés a et b. Le repère Oxyz a son axe Oz le long du tuyau. Ox est parallèle au côté a, et Oy au b. 224. Quelles propriétés doit posséder le champ E pour se propager dans le guide : direction, conditions aux

limites ? Le champ électrique est de la

forme

( )0 cos j t kzE E y e i

bωπ − − =

r r

polarisé suivant Ox. 225. Ecrire l’équation de propagation. En déduire une relation entre

b oméga et k. 226. On appelle fréquence de coupure la fréquence en dessous de

laquelle la propagation est impossible. 227. Quelle signification physique donner à l’absence de définition

de k ? 228. Quelle est l’expression du champ électrique pour k=0 ?

Vitesses, longueur d’onde, coupure…

229. La vitesse de phase est v

kϕω=

donner son expression. Montrer quelle est supérieure à c.

230. Mettre la relation liant les longueurs d’onde sous la

forme0

1 1 1

² ² ²g cλ λ λ= − avec 2c bλ =

Modes d’un guide. Les modes sont nommés d’après le champ qui a l’expression la plus simple, TE pour transverse électrique, TM pour transverse magnétique. L’autre champ a alors une composante parallèle à la direction de propagation. Les modes reçoivent de plus une numérotation à deux indices. Les indices donnent le nombre de demi périodes de l’amplitude du champ dans la dimension du guide. Le mode TE 10 est le mode où le grand côté du

guide voit une demi période 2c bλ = , et pour lequel l’autre côté du guide est trop petit pour voir une demi

préiode a b< , ouf c’est le mode le plus intéressant. Pour choisir de limiter le nombre de demi période dans la largeur du guide on doit maintenir b dans l’intervalle qui permet à l’onde de se propager mais élimine le mode suivant. Le guide d’onde impose une fréquence minimale, au dessus, l’angle entre les deux ondes planes qui modélise la propagation guidée, donne les rapport entre les caractéristiques de l’onde plane et de l’onde guidée.

Champs du mode TE10 231. Calculer le champ magnétique correspondant au champ électrique de l’énoncé. 232. Montrer qu’il a une composante sur l’axe de propagation.

Courants sur les faces du guide Le but est d’avoir une représentation des lignes de courant sur les plaques qui limitent le guide. Les plaques de

largeur a sont situées dans les plans 2b

y = ± . Les conditions aux limites des champs sont liées aux équations

de Maxwell. 0B j nµ= ×r r r

233. Donner l’expression et l’allure des lignes de courants surfaciques

a

b

0.5 1.0 1.5 2.0

c

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

V


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48. Guide d’onde d’antenne satellite Un guide d’onde circulaire recueille le signal de la parabole satellite. Il est précédé d’un cornet à étages, le diamètre du guide est 8,5 mm, on cherche à identifier le mode qui se propage dans le guide. Les données numériques sont rassemblées dans le tableau suivant.

Mode TE11 TM01 TE21 TM11 TE01 coupure 3,41 2,61 2,05 1,65 1,64 coupure r 2,90E-02 2,22E-02 1,74E-02 1,40E-02 1,39E-02 λ/λcoupure inf 0,967 1,264 1,609 1,999 2,011 λ/λcoupure sup 0,815 1,065 1,356 1,684 1,695 (λ/λcoupure inf)² 0,936 (λ/λcoupuresup)² 0,664 λguide inf 0,1105533 λguide sup 0,04076307 rayon guide 8,50E-03 lambda vide 2,80E-02 intervalle 2,36E-02 fréquences 1,07E+10 fréq 1,27E+10 borne inf borne sup

Montrer que seul le mode TE11 est susceptible de se propager pour toutes les fréquences..


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Initiation à la RFID, une bonne entrée pour les ond es, Quelques exercices sont redondants.

49. Bases, vocabulaire Base station, tag, Passive tag, active tag, liaison montante, liaison descendante. Modulation de charge

50. Principe Schéma électrique équivalent du tag.

Le circuit comprend : un générateur de Thévenin équivalent à l’ensemble de l’antenne. Il comprend une source de tension Veff. L’impédance du générateur est l’impédance interne de l’antenne elle vaut Zantenne=(Rant+Rloss)+ jXant. La Rantenne est la résistance de rayonnement, elle rend compte du transfert d’énergie du circuit vers les ondes. R loss est la résistance de pertes ohmiques, on l’oublie vite. Une charge externe, qui représente les circuits présents aux bornes de l’antenne. L’impédance est avec l pour load Zload= Rload+jXload. Une ligne courte sépare l’antenne du circuit, elle pose toutes les bonnes questions de transmission de l’énergie et de l’information : longueur, adaptation, ondes stationnaires, réflexion.

51. Résistance de rayonnement On fait un parallèle entre le transfert thermique par effet Joule dans une résistance et le transfert électromagnétique dans une antenne dipôle. L’antenne est le siège d’un transfert hors du circuit électrique, une grandeur de même nature qu’une résistance quantifie, dimensionne ce transfert. 234. Rappeler la relation liant la résistance la puissance, et l’intensité. 235. Définir ainsi la résistance de rayonnement.

2 24 1

2 . . ² . 2 . . ² .4 3 3T

kl lP Z I Z Iπ π

π λ = =

236. Dans l’expression de la puissance ci-dessus quel facteur correspond à la résistance de rayonnement ?

237. On montre que Rrayonnement

2.

80

=λ

π lRray comparer cette expression à vos résultats.

238. Le rapport longueur de l’antenne sur longueur d’onde est-il libre de varier ou bien a-t-il fait l’objet d’hypothèses ?

239. Comment augmenter la puissance émise ? Application : calculs numériques

Une antenne de 10 mètres de long est parcourue par un courant d’amplitude 5A, à une fréquence de 6MHz. 240. Calculer la puissance totale émise. 241. Calculer la longueur d’onde, en déduire la limite du champ proche. 242. Calculer alors l’amplitude des champs électrique et magnétique à 100 m du centre de l’antenne.

52. Transfert de puissance en régime sinusoïdal. On veut montrer que le transfert est maximal pour les conditions Rload=Rantenne et Xload=-Xantenne. En alternatif sinus Le générateur a pour impédance Zg=X+jY, la puissance en sinusoïdal s’écrit

*1Re .

2p u i =

243. Quelle charge Z=x+jy permet un transfert maximal de puissance ? L’adaptation entre la charge et le générateur se pose à chaque raccord d’une chaîne de propagation. Le load maching est la variation de l’impédance de la charge, à fréquence donnée qui fait clignoter l’antenne du tag. Expliquer comment la puissance rerayonnée peut varier si on ouvre et ferme le circuit de charge.


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53. Surface effective, surface radar 244. Rappeler la notion de surface effective, ou de surface radar, pour l’antenne du tag. 245. En anglais on dit aperture comme l’ouverture d’un cornet. 246. Rappeler le lien, la formule liant puissance, reçue, et puissance surfacique de l’onde.

Retour obligé vers les antennes

54. Bilan de liaison Deux antennes communiquent, la 1 est l’émettrice, la 2 réceptrice, mais cela n’a pas d’importance. Chaque antenne est caractérisée par sa surface de captation, surface équivalente, A1, respectivement A2. r la distance entre les antennes.

Soit [ ]fP W la puissance fournie à 1, [ ]rP W la puissance reçue par 2.

247. Faire un schéma de la situation de communication. 248. Exprimer la densité de puissance stérique de l’antenne isotrope équivalente pour l’antenne 1. 249. Exprimer la densité surfacique de puissance équivalente à la distance r. 250. Réception par 2: on se place du point de vue de l’antenne 2, exprimer la puissance

« électrique » reçue W. Le rendement de la transmission ne peut dépendre du sens de transmission donc on égale les deux rendements. Cela s’appelle la réciprocité, elle nous fait penser au retour inverse de la lumière.

251. Exprimer la puissance reçue par 1 si 2 émet Pf.

252. En déduire la relation

1 2

1 2

????G G

A A= =

253. En remplaçant la surface équivalente de l’une des antennes dans le bilan de liaison, en déduire

la magnifique formule de FRIIS.

2

1 2 4r fP P G Gr

λπ

=

254. Considérer maintenant que la liaison est aller retour pour obtenir la formule dite du radar.

55. Point de vue thermique, l’étiquette qui brûle On se place dans le cas ou l’étiquette RFID reçoit une puissance de l’onde P=100mW.

Si on lit la feuille de donnée du circuit on voit la résistance thermique RTH du circuit .1.100 −= WKR circuitTH

On considère l’environnement comme un thermostat de température Text=20°C. 255. Exprimer l’écart de température entre le tag et l’environnement. 256. Calculer cet écart, en déduire la température du circuit.

En fait, l’emplacement du tag jour beaucoup, tissus, étiquette papier, carton, et la résistance thermique est

plutôt de .1.500 −= WKR circuitTH car les matériaux sont isolants.

La résistance totale est la somme des résistances mise en série, en couches ici. Faire un schéma représentant les résistances thermiques.

257. Pourquoi des matériaux métalliques réduiraient la résistance thermique totale ? 258. Quel rôle joueraient des matériaux métalliques dans le rayonnement.


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56. The English part of this course. Radio-frequency identification (RFID) is the use of a wireless non-contact system that uses radio-frequency electromagnetic fields to transfer data from a tag attached to an object, for the purposes of automatic identification and tracking. Some tags require no battery and are powered and read at short ranges via magnetic fields (electromagnetic induction). Others use a local power source and emit radio waves (electromagnetic radiation at radio frequencies). The tag contains electronically stored information which may be read from up to several meters away. Unlike a bar code, the tag does not need to be within line of sight of the reader and may be embedded in the tracked object. RFID tags are used in many industries. An RFID tag attached to an automobile during production can be used to track its progress through the assembly line. Pharmaceuticals can be tracked through warehouses. Livestock and pets may have tags injected, allowing positive identification of the animal. Since RFID tags can be attached to clothing, possessions, or even implanted within people, the possibility of reading personally-linked information without consent has raised privacy concerns. RFID chip next to a grain of rice. This chip contains a coil, which is also an antenna, that modulates its response to an external magnetic field to transfer a coded identification number when queried by a reader device. (the base station). This small type is incorporated in consumer products, and implanted in pets, for identification purposes.

57. History Similar technology, such as the IFF transponder developed in the United Kingdom, was routinely used by the allies in World War II to identify aircraft as friend or foe. Transponders are still used by most powered aircraft to this day.

58. Design A radio-frequency identification system uses tags, or labels attached to the objects to be identified. Two-way radio transmitter-receivers called interrogators or readers send a signal to the tag and read its response. The readers generally transmit their observations to a computer system running RFID software or RFID middleware. The reception range of a system reader can be adjusted from 1-2,000 feet. Thereby allowing for great flexibility in applications such as asset protection and supervision. Another configuration is an Active Reader Passive Tag (ARPT) system that has an active reader, which transmits interrogator signals and also receives authentication replies from passive tags. Finally, there is the Active Reader Active Tag (ARAT) system in which active tags are awoken with an interrogator signal from the active reader. RFID tags can be either passive, active or battery assisted passive. An active tag has an on-board battery and periodically transmits its ID signal. A passive tag is cheaper and smaller because it has no battery. Instead, the tag uses the radio energy transmitted by the reader as its energy source. The interrogator must be close for RF field to be strong enough to transfer sufficient power to the tag. Since tags have individual serial numbers, the RFID system design can discriminate several tags that might be within the range of the RFID reader and read them simultaneously. Tags may either be read-only, having a factory-assigned serial number that is used as a key into a database, or may be read/write, where object-specific data can be written into the tag by the system user. Field programmable tags may be write-once, read-multiple; "blank" tags may be written with an electronic product code by the user. The tag's information is stored electronically in a non-volatile memory. The RFID tag includes a small RF transmitter and receiver. An RFID reader transmits an encoded radio signal to interrogate the tag. The tag receives the message and responds with its identification information. This may be only a unique tag serial number, or may be product-related information such as a stock number, lot or batch number, production date, or other specific information. RFID tags contain at least two parts: an integrated circuit for storing and processing information, modulating and demodulating a radio-frequency (RF) signal, collecting DC power from the incident reader signal, and other specialized functions; and an antenna for receiving and transmitting the signal. Fixed readers are set up to create a specific interrogation zone which can be tightly controlled. This allows a highly defined reading area for when tags go in and out of the interrogation zone. Mobile readers may be hand-held or mounted on carts or vehicles.


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Signaling between the reader and the tag is done in several different incompatible ways, depending on the frequency band used by the tag. Tags operating on LF and HF frequencies are, in terms of radio wavelength, very close to the reader antenna, only a small percentage of a wavelength away. In this near field region, the tag is closely coupled electrically with the transmitter in the reader. The tag can modulate the field produced by the reader by changing the electrical loading the tag represents. By switching between lower and higher relative loads, the tag produces a change that the reader can detect. At UHF and higher frequencies, the tag is more than one radio wavelength away from the reader, requiring a different approach. The tag can backscatter a signal. Active tags may contain functionally separated transmitters and receivers, and the tag need not respond on a frequency related to the reader's interrogation signal.[10]

An Electronic Product Code (EPC) is one common type of data stored in a tag. When written into the tag by an RFID printer, the tag contains a 96-bit string of data. The first eight bits are a header which identifies the version of the protocol. The next 28 bits identify the organization that manages the data for this tag; the organization number is assigned by the EPCGlobal consortium. The next 24 bits are an object class, identifying the kind of product; the last 36 bits are a unique serial number for a particular tag. These last two fields are set by the organization that issued the tag. Rather like a URL, the total electronic product code number can be used as a key into a global database to uniquely identify a particular product.[11] Often more than one tag will respond to a tag reader, for example, many individual products with tags may be shipped in a common box or on a common pallet. Collision detection is important to allow reading of data. Two different types of protocols are used to "singulate" a particular tag, allowing its data to be read in the midst of many similar tags. In a slotted Aloha system, the reader broadcasts an initialization command and a parameter that the tags individually use to pseudo-randomly delay their responses. When using an "adaptive binary tree" protocol, the reader sends an initialization symbol and then transmits one bit of ID data at a time; only tags with matching bits respond, and eventually only one tag matches the complete ID string.[12]

An example of a binary tree method of identifying an RFID tag.

Both methods have drawbacks when used with many tags or with multiple overlapping readers.


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59. Effet de peau Le modèle du courant étudié en première année est efficace pour la seule BF. Dès que la fréquence augmente, la résistance d’un fil augmente. Ce phénomène est à la base de couplages par impédance commune sur les pistes de masse des cartes, pour les signaux HF. En partant de l’équation différentielle du vecteur densité de courant, on calcule la répartition en profondeur de ce vecteur, pour découvrir que le courant HF ne pénètre pas les conducteurs.FMEM1 P201 Le but de cet exercice est d’étudier la répartition du courant HF dans un métal.

Le métal occupe le demi espace z>0. Le vecteur densité de courant est de la forme ( , ) ( ).cos( ). yj t z j z t eω=r r

259. Représenter le situation avec le métal, le vecteur j, donner la signification de j(z). La partie équation de Maxwell est court circuitée.

Données numériques 7 12 7 10 04 .10 ; 9.10 ; 6.10 . .µ SI SI S mπ ε σ− − −= = =

Cu σ= 5,88 105 S.cm-1=5,88.107 S.m-1. On montre que dans un métal, le vecteur densité de courant j obéit à l’équation différentielle :

0

² ( ). ( ) 0

²

j zi µ j z

xωσ∂ + =

∂avec i²=-1.

260. En déduire une équation différentielle vérifiée par j(z).

261. Montrer quelle prend la forme ² ( )

². ( ) 0²

j zj z

xα∂ + =

∂où alpha au carré est imaginaire pur.

262. Donner les expressions de alpha. 263. Donner la forme des solutions générales de l’équation.

264. Montrer quelles prennent la forme 0( , ) .cos( ).z

y

zj t z j e t eδ ω

δ−

= +r r

265. Tracer la fonction j(z). 266. Exprimer la profondeur de peau comme l’équivalent de la constante de temps, pour la fonction j(z). Dans le cas du cuivre, la plus grande partie du courant reste confinée dans l’épaisseur de peau δ. 267. Calculer cette profondeur pour f = 50 Hz et f=30 GHZ. 268. Tracer l’allure de δ(f) dans un diagramme log log, donner la pente.

La formule pratique numérique est66

; ( ); ; /.

r r

r r

f MHZ µ cuivreµ f

δ σσ

= où les valeurs de la perméabilité

magnétique et de la conductivité sont relatives à celles du cuivre. 269. Quelle est l’unité employée pour la profondeur de peau ?

Influence de l’effet de peau sur la résistance des conducteurs. 270. Pourquoi utiliser des tubes au lieu de barres pour les équipements de courant forts en 50 Hz ? 271. Conclure quant à l’épaisseur des blindages HF. 272. Rappeler la formule donnant la résistance BF d’un conducteur. 273. Un câble cylindrique de diamètre 0,1mm, est en cuivre, sa longueur=1m, calculer sa résistance à 50

Hz. 274. Calculer la surface utile au passage du courant à 30 GHz, en déduire la résistance du même fil. 275. Conclure : la résistance d’une piste de cuivre dépend elle de son épaisseur ? 276. Proposer des solutions techniques pour diminuer R.

Résistance d’un carré Un carré de cuivre a pour épaisseur 17µm, et pour côté L, non communiqué. 277. Montrer qu’en BF la résistance du carré est indépendante de L ;

278. On cherchera à montrer la formule numérique 17

; _ _ ; ( ). r

r

R relative au Cu e mme

σσ

=

279. Pour le calcul HF on utilise la formule numérique (dont on justifie la variation)

370 r

r

fµZ

σ= Z en micro ohm, f en MHz, les perméabilités et conductivités relatives par rapport au cuivre.

280. Calculer la résistance du carré de cuivre. 281. La comparer en HF et BF, retenir un rapport typique.


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Sensibilisation à la cem

60. Petite revue des acteurs. 282. Représenter un dispositif d’asservissement d’un moteur en schéma unifilaire, il comprend : le

moteur, un capteur, une alimentation un dispositif de contrôle commande. L’armoire est distante du moteur.

283. Identifier les coupables et les victimes.

61. Couplage champ à boucle 284. Quel champ est responsable de l’induction ?

La tension induite dans une boucle est donnée par la relation d

edt

Φ= −

Pour simplifier, on y va à la louche : Le champ est uniforme, bien orienté, le matériau est amagnétique. Cela

donne 0. .H

U St

µ ∆=∆

285. Transformer cette expression en faisant apparaître la fréquence du champ. Exemple

Une décharge électrostatique indirecte (par exemple de 15A à une distance de 30 cm) rayonne un champ de 8 A/m. Le temps de montée du champ est 1ns.

286. Quelle est la tension induite par centimètre carré de boucle ? 287. En déduire un conseil de base de cem sur les boucles de câblage. 288. Comment se prémunir autrement ?

62. Couplage champ à fil 289. Quel champ se couple avec les conducteurs filaires ? 290. Enoncer une relation liant tension, et champ. 291. Donner une relation donnant l’amplitude de la tension couplée.

63. Effet de blindage Tout conducteur raccordé aux masses proche d’un câble, le protège. On admet la formule suivante pour l’effet réducteur d’une perturbation par un

conducteur10.

perturbation sans toleEffet réducteur

perturbation avec tole H

λ= = H hauteur du câble, lambda longueur

d’onde. On installe une tôle entre les armoires d’un système, les câbles sont posés à 5 cm de hauteur,

292. Quel est l’effet réducteur à 100MHz?, en valeur naturelle et en dB. 293. Pourquoi raccorder les fils d’une nappe disponibles et non utilisés à la masse ?

64. Blinder sans fente Une queue de cochon, raccordant le blindage d’un câble annule le blindage au-delà de 100MHz, le blindage des câbles ne sert à rien si l’écran est mal raccordé. Un écran ne vaut pas mieux que ses trous, le pire c’est une fente qui coupe un courant (de masse) entre deux points. cette fente rayonne comme une antenne dans le guide d’onde. Toute piste qui enjambe la fente est exposée, bon point si cette piste est reliée à la masse, mauvais si elle est sensible. Schéma

65. Couplage de câbles entre eux 294. Rappeler la direction d’un champ H émis par un câble. 295. Donner la variation des champs émis par ce câble en fonction de la distance R. 296. Pourquoi faut-il alors éloigner des câbles bruyants des câbles sensibles ?


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297. Pourquoi ne pas trop éloigner les câbles quand même ? 298. Comment faire se croiser deux câbles si l’on ne peut les éloigner ?

66. Maillage des masses 299. Rappeler l’intérêt de mailler ou mieux de remplir le plan de masse. 300. Par où s’écoulent les courants de mode commun si les blindages ne sont pas reliés aux deux

bouts. 301. Pourquoi est-il néfaste de router les masses en étoile, parallèlement, plutôt qu’en arbre ?

302.

de l’onde électrique vers la cem , avec un peu de...

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