De la théorie à la pratique Les monographies s’inscrivent dans le cadre des visées stratégiques de la Politique d’aménagement linguistique; entre autres, la construction identitaire.

Novembre 2011

Questions principales

Comment planifier une leçon en mathématiques pour

rendre pertinente la communication chez les élèves,

optimisant ainsi l’apprentissage en salle de classe?

Comment gérer la leçon de façon que les élèves

communiquent de façon efficace?

Comment évaluer la communication?

Selon la recherche À l’ère numérique, nous sommes passés d’une

société de production à une société d’information : dans ce contexte, la communication a été identifiée comme l’une des principales compétences à développer chez les élèves.

Néanmoins, la prise en compte de la communication en salle de classe de mathématiques se heurte encore à plusieurs difficultés. Cela relève entre autres du fait que la plupart (sinon tous) des enseignantes et des enseignants des écoles d’aujourd’hui appartiennent à une longue série de générations où l’enseignement des mathématiques a été conçu d’après le modèle de l’élève qui apprenait en solitaire, qui travaillait dans le plus grand silence, pratiquement isolé de ses pairs.

Malgré les changements récents en éducation, subsumés dans les transformations sociales mentionnées, et l’arrivée des nouvelles technologies, la recherche de situations idéales pour favoriser le développement de la communication continue à poser des problèmes aux enseignantes et aux enseignants.

AUTEURS de la recherche Luis Radford est professeur titulaire à l’École des sciences de l’éducation de l’Université Laurentienne de Sudbury, Ontario. Subventionnée depuis 1998 par le Conseil de recherches en sciences humaines du Canada (CRSH/SSHRC), sa recherche porte sur le développement de la pensée mathématique des élèves et sur le rapport entre pensée et culture. En 2005, il a reçu le prix d’excellence en recherche de l’Université Laurentienne. Actuellement, il est éditeur associé des revues internationales Educational Studies in Mathematics et Mathesis.

Serge Demers est professeur associé à l’École des sciences de l’éducation de l’Université Laurentienne de Sudbury, Ontario. Il a été directeur de l’École de 2005 à 2008 et encore depuis 2010. Ses domaines de recherche incluent l’analyse statistique ainsi que l’enseignement des mathématiques et des sciences à l’élémentaire et au secondaire.

Monographie no 11

Communication et apprentissage – Repères conceptuels et pratiques pour la salle de classe de mathématiques

DE LA THÉORIE… Cette recherche vise : à dépister les éléments conceptuels et pratiques nécessaires pour encourager et soutenir la

communication en salle de classe de mathématiques; à déterminer une série d’objectifs à partir du cycle préparatoire jusqu’à la 12e année ainsi qu’une

liste de stratégies d’enseignement qui visent à favoriser la communication en salle de classe; à concevoir un outil concret permettant d’évaluer chez l’élève la maîtrise de la compétence

« Communication ».

Structure méthodologique de la recherche Le livre Communication et apprentissage – Repères conceptuels et pratiques pour la salle de classe de mathématiques (2004), produit d'une initiative du ministère de l'Éducation de l'Ontario qui s'inscrit dans le cadre de la Stratégie visant la réussite des élèves, est aussi le produit d’une recherche-action menée avec des enseignantes et des enseignants de cinq classes couvrant tous les cycles d’études. Avec les auteurs, les enseignantes et les enseignants ont réfléchi aux objectifs relatifs à la compétence « Communication » selon le cycle d’enseignement, aux façons de choisir l’activité mathématique ainsi qu’aux stratégies de gestion de classe qui favorisent le mieux les situations d’argumentation, de preuve et de discussion entre les élèves.

Résultats de la recherche En s’inspirant des théories contemporaines en éducation, les auteurs de la recherche expliquent le rôle important de la communication dans l’apprentissage.

Quel est le lien entre la communication et l’apprentissage? Les théories contemporaines en éducation mathématique convergent sur le point que « la communication est une forme d’apprentissage ». Alors que certaines approches socioconstructivistes et interactionnistes conçoivent l’apprentissage comme une négociation conceptuelle à laquelle participent élèves et personnel enseignant, les approches inspirées des travaux de Lev Vygotski (Vergnaud, 2000) conçoivent l’apprentissage comme le résultat d’une interaction qui se déploie à l’intérieur d’un projet socioculturel commun. Ces approches mettent l’accent sur la langue et les valeurs culturelles que celle-ci véhicule. À la place de négociation conceptuelle, on parle alors d’« action conjointe », action qui célèbre la diversité, la voix et les idées des autres. Selon la théorie vygotskienne, l’élève apprend des autres qui l’entourent. De lui-même, l’élève ne peut résoudre qu’un certain nombre de problèmes : c’est ce que l’on appelle la zone de développement conceptuel (DC). On peut, grâce aux interactions, le faire cheminer vers des situations plus complexes qu’elle ou il pourra résoudre avec l’aide de ses pairs, de l’enseignante ou de l’enseignant, ou d’une experte ou d’un expert : c’est la zone proximale de développement (ZPD). Au-delà de cette zone, il est impossible pour l’élève, au moment de son développement actuel, d’acquérir quoi que ce soit – avec ou sans aide.

Développement conceptuel de l’élève (DC)

Zone proximale de développement (ZPD)

La collaboration a lieu à l’intérieur d’une activité structurée, souvent décomposée en étapes. L’activité est caractérisée par un but global (en l’occurrence, le contenu d’apprentissage) qui est atteint au moyen d’outils culturels (p. ex., symboles, objets) qui médiatisent l’activité (c’est-à-dire qu’ils servent de support et permettent de mener à terme l’activité elle-même).

Comment donc créer des conditions que devraient remplir les stratégies d’enseignement afin d’amener les élèves à s’engager dans l’activité discursive et à produire des arguments mathématiques appropriés?

La Direction des politiques et programmes d’éducation en langue française a pour objectif de fournir, aux enseignantes et aux enseignants, les résultats de la recherche actuelle sur l’enseignement et l’apprentissage. Les opinions et les conclusions exprimées dans ces monographies sont, toutefois, celles des auteurs; elles ne reflètent pas nécessairement les politiques, les opinions et l’orientation du ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Mise en place et gestion de la c ommunication Objectifs clés de la communication Les différents éléments de la liste ci-après peuvent servir à cerner ce que l’on attend des élèves en matière de communication; ils peuvent servir également de point de départ à la conception d’activités que l’enseignante ou l’enseignant proposera en salle de classe : 1. utiliser les concepts, la terminologie, les symboles et les

conventions mathématiques qui correspondent au cycle d’études;

2. écouter les propos mathématiques de ses pairs; 3. interpréter les arguments mathématiques de ses pairs; 4. évaluer de façon critique les arguments des autres; 5. réfuter un argument inexact; 6. exprimer des arguments mathématiques appropriés à une

situation mathématique donnée en utilisant les concepts et les symboles mathématiques correspondants;

7. présenter des justifications mathématiques aux arguments avancés en utilisant entre autres différents systèmes de signes (p. ex., formules, graphiques, diagrammes, tableaux) et des objets ou des artefacts (p. ex., calculatrices, ordinateurs, trousses de solides géométriques, balances à deux plateaux), au besoin;

8. faire la distinction entre un argument exact, un argument clair et un argument suffisant;

9. organiser avec logique et efficacité la présentation du résultat d’une activité mathématique;

10. apprendre à être responsable et attentif ou attentive aux autres.

Organisation du travail en salle de classe

Stratégies d’enseignement Dans cette quête des conditions idéales pour amener les élèves à maîtriser les différents critères de la compétence « Communication », l’étape ci-après consiste à choisir la stratégie d’enseignement qui répond le mieux aux objectifs de communication visés, en tenant compte du niveau de socialisation et de développement cognitif de l’élève.

La formation judicieuse des groupes est essentielle pour assurer une bonne dynamique entre les élèves. Il faut considérer la taille du groupe, son homogénéité ou son hétérogénéité et être prêts à faire des ajustements en cours de route.

Stratégies possibles Travail en petits groupes en vue de résoudre certains

problèmes mathématiques donnés par l’enseignante ou l’enseignant.

Travail en petits groupes, suivi d’une discussion dirigée par l’enseignante ou l’enseignant entre tous les groupes de la classe pour discuter des solutions trouvées et les comparer.

Travail en petits groupes afin que les élèves formulent des hypothèses, les testent et les évaluent. On demande aux élèves de présenter les résultats sous forme de rapport écrit où l’on donne aux groupes des occasions d’interagir entre eux.

L’enseignante ou l’enseignant doit : être à l’écoute et poser des questions amenant l’élève à réfléchir

de façon mathématique, questions qui requièrent une réponse plus étendue que « oui » ou « non » : « Qu’est-ce que vous pensez de ce que je viens de dire? », « Est-ce que ce que Julie a dit est toujours vrai? », « Comment prouver cela? »;

savoir quand s’abstenir d’intervenir – c’est-à-dire choisir le moment propice pour donner des pistes à suivre ou pour laisser les élèves pousser plus loin leur raisonnement.

Par ailleurs, l’enseignante ou l’enseignant peut : demander à l’élève de répéter le propos tenu par un ou une

autre élève; demander à l’élève de dire s’il est d’accord ou non avec l’idée

proposée par un ou une autre élève et d’expliquer son choix; donner des arguments faux, insuffisants et non clairs au

moment de la leçon et demander aux élèves de cerner les erreurs, puis de les corriger;

mettre en contraste des arguments mathématiques et des arguments non mathématiques pour permettre aux élèves d’identifier des arguments valables dans le contexte mathématique;

utiliser le contre-exemple comme un argument mathématique puissant;

utiliser une stratégie qui prend en compte le développement affectif de l’élève afin qu’elle ou il se sente à l’aise – en particulier à l’intermédiaire, où l’élève veut plaire à ses pairs plus qu’à l’enseignante ou à l’enseignant;

faire des activités qui permettent aux élèves d’écouter les autres en vue de comprendre leurs arguments;

utiliser du matériel concret pour s’approprier des concepts et réfuter un argument;

exiger une évaluation critique des travaux des autres groupes, particulièrement pour déterminer si le travail est clair, juste et satisfaisant.

Activités mathématiques en salle de classe En plus de répondre aux exigences définies par le développement conceptuel des élèves, l’activité doit présenter des problèmes qui éveillent la curiosité des élèves et qui stimulent leur besoin de décrire, de justifier, d’expliquer et de créer.

Dimension affective L’activité doit : susciter l’intérêt et la curiosité des élèves; faire appel au matériel concret et à des outils culturels (p. ex., symboles, objets); favoriser la kinesthésie (p. ex., action, gestes, mouvements); partir de ce que l’élève connaît pour l’amener à une meilleure compréhension du monde qui l’entoure; être précédée d’une bonne mise en situation pour susciter la curiosité.

Dimension conceptuelle L’activité : n’est ni trop simple ni trop complexe pour le niveau cognitif de l’élève; est structurée en étapes, allant du plus simple au plus complexe, du particulier au général; comprend des questions bien formulées, dont plusieurs peuvent avoir plus d’une bonne réponse; stimule le besoin de l’élève de décrire, de justifier, d’expliquer et de créer; peut proposer plus d’une façon de résoudre les problèmes; utilise les concepts, la terminologie, les symboles et les conventions mathématiques qui correspondent au

cycle d’études; intègre les TIC (Technologies de l’information et de la communication), dans la mesure du possible.

Dimension communicative L’activité : requiert une communication plus étendue que des réponses courtes telles que « oui », « non »; comporte souvent des « situations impossibles » dans le but de susciter la discussion (p. ex., Peut-on dessiner

un triangle ayant des angles de 45°, de 45° et de 100°?) doit permettre le dialogue entre les élèves qui sont convaincus que la communication et l’échange leur ont

permis de progresser dans leur apprentissage.

L’évaluation L’outil proposé permet à l’enseignante ou à l’enseignant de situer le niveau de rendement de l’élève dans sa maîtrise de la compétence en communication en fonction des critères suivants. 1. Syntaxe et symboles (évaluation de l’écrit); descripteurs possibles : clarté, exactitude; 2. Organisation de la présentation (évaluation de l’écrit ou de l’oral); descripteurs possibles : clarté, logique,

efficacité; 3. Engagement au dialogue (évaluation de l’oral); descripteurs possibles : clarté, pertinence, profondeur; 4. Considération des arguments des autres (évaluation de l’oral); descripteurs possibles : efficacité, logique,

pertinence.

On se rappellera que chaque critère est associé à un certain nombre de descripteurs qui permettent une évaluation qualitative de la maîtrise d’une compétence. D’après la grille de rendement à la page 24 du livre Communication et apprentissage – Repères conceptuels et pratiques pour la salle de classe de mathématiques (2004), le critère Syntaxe et symboles comprend les descripteurs clarté et exactitude. Un descripteur tel que l’exactitude permet de déterminer le niveau de rendement : un niveau élevé correspond à une maîtrise élevée de l’utilisation de la syntaxe et des symboles.

L’idée de base de l’outil d’évaluation est de ne pas tout évaluer en même temps, mais de choisir quelques-uns des critères et quelques-uns des descripteurs. À un autre moment, on peut évaluer en fonction d’autres critères ou d’autres descripteurs.

Dans un premier temps, et en guise de simplification, les critères 3 et 4 sont regroupés en un seul critère ayant comme descripteurs pertinence et efficacité.

Une fois le critère et les descripteurs choisis, l’outil d’évaluation pourra être représenté comme suit :

Si l’enseignante ou l’enseignant décide que l’évaluation porte sur deux critères, l’outil prendra la forme que voici :

L’outil d’évaluation est conçu de façon à permettre à l’enseignante ou à l’enseignant d’observer l’élève et de noter sa performance en marquant, à l’aide d’un trait, le niveau correspondant.

De la théorie à la pr atique Cette monographie est affichée dans le site Web du ministère de l’Éducation de l’Ontario au lien suivant : www.edu.gov. on.ca/fre/teachers/studentsuccess/results.html.

De la théorie à la pratique

La méthodologie de l’évaluation Au lieu de se limiter à observer un ou une élève ou un groupe d’élèves, on peut également intervenir dans la discussion du groupe en vue d’obtenir des renseignements supplémentaires sur la maîtrise des critères visés.

Un des éléments auxquels on s’intéresse est celui de savoir jusqu’à quel point un élève donne suite aux arguments des autres. Dans ce contexte, l’enseignante ou l’enseignant peut demander à l’élève évalué/e de réagir à une idée qui vient d’être exprimée. Il ou elle peut poser une question comme : « Penses-tu que ce que Chantal a dit est vrai? Explique-nous. ». Si c’est le groupe qui est évalué, la question serait formulée comme suit : « Pensez-vous que ce que Chantal a dit est vrai? ».

Que l’enseignante ou l’enseignant soit observatrice ou observateur ou qu’elle ou il intervienne dans la discussion, il est essentiel que l’élève ou le groupe d’élèves qu’elle ou il évalue soit prévenu. On doit indiquer les critères qui seront visés et ce que l’on attend de lui quant à la performance. Une fois réalisée l’évaluation selon les quatre critères, le profil général d’un ou d’une élève pourrait être présenté comme suit :

Nom de l’élève : Steven Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4

Syntaxe et symboles

Organisation de la présentation

Engagement au dialogue/ Considération des arguments et des propos des autres

Profil de rendement de Steven : À la lumière de ce tableau, on pourrait attribuer à Steven un niveau 3. (pour en connaître davantage et pour comprendre l'utilité d'un tel outil, voir les pages 124 à 135 dans Communication et apprentissage – Repères conceptuels et pratiques pour la salle de classe de mathématiques (2004))

Recommandations Pour faciliter la mise en place et la gestion de la communication au sein d’un groupe, les chapitres 4 à 8 du livre cité ci-dessus ciblent un cycle en particulier. À noter que les objectifs proposés doivent être pris à titre indicatif seulement. Ils doivent être adaptés aux particularités des élèves, de l’enseignante ou de l’enseignant. Le développement de l’enfant est en effet beaucoup plus malléable par le contexte, son expérience personnelle, culturelle et sociale, que le supposaient les courants biologiques en éducation (p. ex., énoncés de Piaget) : il faut donc tenir compte de l’histoire de la classe.

Cycle préparatoire : la syntaxe d'un tableau (pages 38 à 43) Cycle primaire : la suite numérique et non numérique (pages 51 à 60)

Objectifs clés Objectifs clés L'élève doit apprendre : L'élève poursuit les objectifs du cycle préparatoire et commence : quelques conventions mathématiques; à élaborer des arguments mathématiques; à tenir des propos mathématiques; à comprendre ce qu’est un argument exact, clair et suffisant. à écouter les autres élèves. Stratégies d’enseignement Stratégies d’enseignement En termes généraux, la stratégie peut se résumer ainsi : Concevoir la dynamique de la communication 1. introduction (mise en situation) de la tâche mathématique par l’enseignante ou 1. Travail en petits groupes. l’enseignant;2. Échange entre petits groupes avec interventions de la part de l’enseignante ou de 2. travail en petits groupes menant à la production écrite d’une ou de plusieurs

l’enseignant au cours de l’activité pour assurer la participation de tous et de toutes. explications raisonnées de solutions trouvées; Former les groupes de façon judicieuse : deux ou trois élèves par groupe. 3. échange des productions écrites avec un ou plusieurs groupes; Soutenir la communication à l’intérieur du groupe : encourager les élèves 4. évaluation critique des arguments mathématiques des autres groupes; à demander aux autres élèves d’expliquer leurs propos. Les enfants apprennent ainsi 5. rencontre avec un ou plusieurs groupes pour discuter oralement des textes écrits; à devenir critiques de façon constructive, à soutenir leurs propos, à solliciter des 6. discussion générale. explications, pour ne donner que quelques exemples.

Cycle moyen : les fractions équivalentes (pages 70 à 78) Cycle intermédiaire : les limites de la perception (pages 84 à 96)

Objectifs clés L’élève doit : utiliser les conventions mathématiques correspondantes au cycle moyen; écouter les propos mathématiques de ses pairs; interpréter les arguments mathématiques de ses pairs; évaluer de façon critique les arguments des autres; exprimer des arguments mathématiques appropriés à la situation mathématique en

question; présenter des justifications mathématiques des arguments qu’elle ou il avance; améliorer sa connaissance de ce qu’est un argument exact, clair et suffisant; organiser avec logique et efficacité la présentation du résultat d’une activité

mathématique.

Stratégies d’enseignement 1. Prévoir le jumelage de groupes pour assurer une discussion adéquate. 2. Former judicieusement les groupes pour permettre une communication ouverte,

l’écoute des autres, l’engagement au dialogue, la discussion en l’absence de supervision.

3. Assigner un rôle distinct à chacun des élèves pour la rencontre de groupes. 4. Faire raisonner et argumenter les élèves, puisque l’engagement au dialogue,

l’élaboration d’arguments des autres sont importants pour l’enrichissement de la conceptualisation chez les élèves.

Objectifs clés L’élève doit, en continuité avec les objectifs du cycle moyen, à la fin du cycle intermédiaire : utiliser les conventions mathématiques correspondantes au cycle intermédiaire; écouter les propos mathématiques de ses pairs; interpréter et évaluer de façon critique les arguments mathématiques de ses pairs; exprimer des arguments mathématiques appropriés à la situation mathématique en

question; présenter les justifications mathématiques des arguments qu’elle ou il avance; améliorer sa connaissance de ce qu’est un argument exact, clair et suffisant; organiser avec logique et efficacité la présentation du résultat d’une activité

mathématique.

Stratégies d'enseignement La stratégie modifiée de celle du cycle moyen peut se résumer ainsi : 1. introduction (mise en situation et rappel de la terminologie) de l’activité

mathématique par l’enseignante ou l’enseignant; 2. travail en petits groupes menant à la production écrite d’une ou de plusieurs

explications raisonnées de solutions trouvées; 3. rencontre avec un ou plusieurs groupes pour discuter oralement des textes écrits et

en faire une comparaison critique; 4. retour en petits groupes pour améliorer les résultats obtenus après la discussion de

l’étape mentionnée au no 3; 5. suite du travail en petit groupes pour poursuivre une tâche de généralisation des

résultats obtenus au no 4; 6. discussion générale.

Monographie no 11

Cycle supérieur : la mathématisation du réel (p. 107 à 116)

Objectifs clés L'élève doit, en continuité avec les objectifs du cycle intermédiaire, à la fin du cycle supérieur : utiliser les conventions mathématiques qui correspondent au cycle supérieur; écouter les propos mathématiques de ses pairs; interpréter les arguments mathématiques de ses pairs; évaluer de façon critique les arguments des autres; exprimer des arguments mathématiques appropriés à la situation mathématique en question en

utilisant des concepts et des représentations symboliques convenables; présenter des justifications mathématiques aux arguments qu’elle ou il avance en utilisant, au besoin,

la collecte des données et la technologie; améliorer la connaissance de ce qu’est un argument exact, clair et suffisant; organiser avec logique et efficacité la présentation du résultat d’une activité mathématique.

Stratégies d'enseignement 1. Présentation par l’enseignante ou l’enseignant de l’activité mathématique à faire. 2. En petits groupes, travail ayant pour but la discussion et l’obtention de résultats qui doivent être

soigneusement justifiés à l’aide d’arguments mathématiques convaincants. 3. Échange entre les groupes des résultats obtenus et des justifications fournies. Étude des solutions et

des arguments fournis par les autres groupes. 4. Rencontre entre les groupes qui ont échangé leurs solutions en vue de discuter des points forts et des

points à améliorer dans leurs solutions et leurs arguments. 5. Retour au travail en petits groupes pour reformuler les solutions et les arguments mathématiques de

façon plus raffinée, en tenant compte de la discussion avec les autres groupes. 6. Discussion des résultats obtenus sous la supervision de l’enseignante ou de l’enseignant.

Choix de l’activité mathématique Même si la mise en place d’une modalité de travail en groupe peut sembler prendre trop de temps, une activité mathématique adéquate accompagnée d’un choix pertinent de travail en groupes peut faire appel à plusieurs compétences tout en répondant à des attentes et à des contenus d’apprentissage variés.

…à LA pRATIQuE Plusieurs des chapitres qui constituent le livre citent des échanges entre élèves. Ces extraits montrent la façon dont la communication peut favoriser l’apprentissage.

Le document peut être téléchargé à partir du site : www.edu.gov.on.ca/fre/teachers/studentsuccess/abstraction.pdf

Liens à propos d’initiatives ministérielles

La numératie en tête – 7e à 12e année est un document qui propose des stratégies d’enseignement et d’évaluation qui profiteront à tous les élèves, surtout aux élèves moins performantes et performants, pour qui ces stratégies sont une nécessité.

Le Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 6e année propose des stratégies précises pour l’élaboration d’un programme de mathématiques efficace et la création d’une communauté d’apprenantes et d’apprenants chez qui le raisonnement mathématique est développé et valorisé.

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Une série de monographies produite par la Direction des politiques et programmes d’éducation en langue française en collaboration avec le Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques.

© CFORP, 2011 ISBN 978-2-89581-916-5