Les nombres rationnels, décimaux et réels

David Rolland, formateur en Mathématiques

Plan du cours- Quelques représentations

- La naissance de l’idée de fraction

- Les nombres rationnels

- Les nombres décimaux

- Les nombres réels

- Repères didactiques

Introduction : quelques représentations2,5 est un décimal5/2 est une fraction3 n’est pas décimal, c’est un entierUn décimal, c’est un nombre avec une virguleUne fraction c’est deux nombres avec un trait

entre les deuxPi est un nombre infiniLa partie décimale de 2,364 est 364

I/ La naissance de l’idée de fraction

L’idée de fraction naît de la nécessité de fractionner des entités en « parts égales ».

A l’origine les fractions sont des nombres « rompus ».Les Babyloniens et les Egyptiens ont d’abord utilisés

des fractions de numérateur 1, c’est-à-dire les quantièmes : 1/2, 1/3, 1/4 …

L’idée est d’admettre qu’il est possible de partager l’unité.

Ces nombres naissent bien sûr d’une nécessité pratique : partage de terrains, de troupeaux…

1/ Les fractions chez les Egyptiens.

Les égyptiens préféraient des fractions d'unités, c'est à dire à numérateur un.

Ils indiquaient une telle fraction par son dénominateur muni d'une marque spéciale. Il y avait des signes spéciaux pour un demi, un tiers, et deux tiers.

Des fractions générales sont représentées par des combinaisons additives de fractions d'unité.

Par exemple, on représentait  2/7 = (  1/4 + 1/28 )  par :

Le symbole de gauche signifie 1/4 et celui de droite 1/28

Les Egyptiens font apparaître des fractions comme 2/3 , 3/4, c’est-à-dire des fractions inférieurs à 1.

Le dénominateur indique en combien de parts on a partagé l’unité (il dénomme), le numérateur indique le nombre de fois que l’on prend cette fraction de l’unité (il nombre).

La signification de ces fractions correspond en utilisant notre écriture moderne à : a/b = a x 1/b.

Par exemple, deux tiers c’est deux fois un tiers.2/3 = 2 x 1/3.

Un étrange objet baptisée Coudée

Dans la salle 6 d’Egyptologie du musée du Louvre un étrange objet, baptisée "Coudée". Sa longueur correspond effectivement à la coudée égyptienne : 52 cm et quelques. Il appartenait au Ministre des finances de Toutankhamon

Voici, développé, l’ensemble des inscriptions portées par cette règle :

Elle est d’abord divisée en "pouces égyptiens". Mais, à droite on voit se dessiner d’étranges graduations irrégulières. Regardez au dessus de ces graduations. Le signe en forme de lentille signifie "fraction". De droite à gauche, ces pouces égyptiens sont divisés en demis, tiers, quarts, jusqu’à une division en seizièmes. Les égyptiens devait utiliser cette étrange "règle à calcul" pour effectuer des divisions.

2/ L’écriture moderne : Dès le début du XVIIe siècle se répand la notation moderne avec le point décimal et la virgule.

Cartes destinées à l'enseignement. On retrouve la décimalisation des nombres.

II/ L’ensemble des nombres rationnels

L’équivalence des rapports entre certains couples d’entiers est au fondement de la création des nombres rationnels. On accepte ces rapports comme des nouveaux nombres.

Par exemple, 1/3 et 2/6 sont deux fractions qui expriment le même nombre rationnel.

Définition 1 :

Deux couples d’entiers (a, b) et (c, d) (b et d étant non nuls) définissent le même nombre rationnel si :

a x d = b x c.

Alors a/b et c/d sont deux fractions représentant le même nombre rationnel.

Un nombre rationnel est donc défini à partir d’une infinité de couples équivalents, c’est-à-dire de fractions équivalentes.

L’ensemble infini de fractions équivalentes

{2/3 ; 4/6 ; 6/9 ; 8/12 ; …. ; 14/21 ; … ; 2n/3n ; …}représente un même nombre rationnel.

On a bien : (2 ; 3) ~ (4 ; 6) car 2 x 6 = 3 x 4.

Ou encore : (6 ; 9) ~ (14 ; 21) car 6 x 21 = 9 x 14.

Propriétés:

Quels que soient l’entier a et l’entier b non nuls, l’équation a=bx a donc une solution dans l’ensemble des nombres rationnels. x est la quotient rationnel de a par b. On note : x=a/b.

- l’ensemble des quotients d’entiers naturels a/b avec b non nul détermine l’ensemble Q+ des nombres rationnels positifs.

- L’ensemble des quotients d’entiers relatifs a/b avec b non nul détermine l’ensemble Q des nombres rationnels (positifs et négatifs).

Autres propriétés:

- si b0 et c0, on a : et

Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on multiplie ces deux nombres par un même nombre relatif différent de zéro

- Tout nombre rationnel a un opposé dans Q.

- Tout nombre rationnel k non nul a un inverse dans Q noté k-1 .

On a : k x k-1 = 1.

L’inverse de a/b est b/a et on a : a/b x b/a = 1

Propriétés (addition et soustraction dans Q) :

- Les dénominateurs sont les mêmes :Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur.

si k≠0, on a donc :

- Les dénominateurs sont différents :

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur.

Si b et d sont tous deux non nuls,

Propriétés (multiplication et division dans Q) :

- Multiplication:Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on a :

- Division:

Pour diviser par (avec c≠0 et d≠0) on multiplie par son inverse

On a donc : avec b ≠ 0 et d ≠ 0

Propriété :

L’ensemble Q des rationnels est dit « clos » pour l’addition, la multiplication et leurs opérations réciproques.

En effet, la somme, la différence, le produit et le quotient de deux rationnels sont des rationnels (avec la restriction d’un rationnel non nul pour le quotient).

Si a et b sont deux rationnels, on a : a ≤ b ou b ≤ a.

Entre deux rationnels, on peut toujours placer un rationnel.

Par exemple : entre 17/31 et 18/31, on peut placer ….

35/62.

Q est un ensemble totalement ordonné.

En effet : 17/31 = 34/62 et 18/31 = 36/62

En fait de proche en proche, on peut toujours placer une infinité de rationnels entre deux rationnels.

L’ensemble des rationnels permet de densifier la droite numérique puisque, entre deux points repérés par deux rationnels, on peut en repérer une infinité d’autres.On dit que l’ensemble Q est dense dans l’ensemble des réels.

Malgré cette densification, certains points ne peuvent être repérés par un nombre rationnel. Les rationnels laissent encore des « trous » dans la droite. La création de nouveaux nombres devient nécessaire pour résoudre ce problème : les nombres réels qui comprennent les nombres irrationnels.

III/ Les nombres décimaux.

La création des nombres décimaux répond au problème suivant :

Comment s’approcher le plus près que l’on veut de tout nombre rationnel par des fractions décimales, tout en étendant le système décimal d’écriture à la partie fractionnaire inférieure à 1 ?

- L’écriture décimale des nombres a été élaborée définitivement au XVe siècle par le mathématicien persan Al-Kashi.

- En Europe, l’utilisation des décimaux est popularisée par Simon Stévin au XVIe siècle grâce à son ouvrage La Disme (1585).

- En France, la popularisation de l’écriture à virgule des décimaux est intimement liée au développement du système métrique à la fin du XVIIIe

siècle.

Définition :

Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme a x 10p (où a et p sont des entiers relatifs).

Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre Pi qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut :

L’ensemble des nombres décimaux est noté ID.

Caractérisation :Si a est un nombre rationnel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal

a admet un développement décimal limité.

Il existe un entier m et un naturel n tels que :

La fraction irréductible de a est de la forme ,

où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels.

a possède deux développements décimaux distincts.

Exemples et remarques :

La première assertion prouve que 1,6666 est un nombre décimal et que 1,6666... (qui s'écrirait avec une infinité de 6) n'en est pas un.

La deuxième assertion nous dit que est un nombre décimal, mais elle ne peut pas être utilisée pour prouver qu'un nombre n'est pas décimal.

La troisième assertion nous donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible.

Par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, il suffit de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 et 5.

La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ». Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une infinité de 9).

Exercice sans calculatrice:

337/400 est-il décimal ?

8/17 ?

1096/152 ?

Oui, car 400 = 24 x 54 .

Non, car 8/17 est irréductible et le dénominateur 17 est premier autre que 2 et 5.

Non, car 1096/152 = 137/19 fraction irréductible avec 19 nombre premier autre que 2 et 5

Ecriture des décimaux :Ecritures fractionnaires décimales des

décimaux :

partie entière et partie décimale :1735/1000 = 1 + 735/1000 = 1 + 700/1000 + 30/1000 + 5/1000

1 est la partie entière et 735/1000 est la partie fractionnaire décimale du nombre décimal 1735/1000.

Par abus de langage, la partie fractionnaire décimale est appelée « partie décimale du nombre décimal ».

Ecriture à virgule :

L’écriture à virgule étend le principe de la numération décimale pour exprimer la partie fractionnaire décimale des décimaux.

1735/1000 s’écrit 1,735.

La partie entière est 1 et la partie décimale est 0,735.

Ecriture à virgule de certains décimaux écrits sous forme fractionnaire :

Les nombres rationnels dont la fraction irréductible a un dénominateur de la forme 2n x 5p sont des décimaux. Ces rationnels s’expriment donc également sous forme d’une écriture à virgule.

1/2 = 5/10 = 0,5 ; 1/4 = 25/100 = 0,25 ; 1/5 = 2/10 = 0,2 ;

1/10 = 0,1 ; 1/16 = 625/10 000 = 0,0625 ; etc.

ATTENTION ! La forme de l’écriture d’un nombre ne détermine pas la nature du nombre.

13 est un nombre entier naturel, mais également un nombre rationnel et un nombre décimal.

1,3 est l’écriture à virgule d’un nombre décimal, mais ce nombre est également un nombre rationnel. Il s’écrit 13/10 sous forme fractionnaire.

1/4 est l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal (c’est 0,25).

Quelques propriétés :- ID est un ensemble totalement ordonné.

Quels que soient les décimaux a et b, on a soit a ≤ b, soit a ≥ b.Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un autre décimal.On peut donc intercaler une infinité de nombres décimaux entre deux décimaux.On dit que l’ensemble ID est dense dans l’ensemble des nombres réels.

- La somme et la différence de deux décimaux est un décimal.- Le produit de deux décimaux est un décimal.- Le quotient de 2 rationnels a et b (b≠0) est un rationnel, mais le

quotient de deux décimaux n’est pas toujours un décimal (par exemple : 1/3).

Valeurs approchées par défaut et par excès, valeurs arrondies d’un décimal.

Soit le décimal a = 7,45601.7,4 est la valeur approchée à 0,1 près (ou à 10-1 près) par défaut de a.7,5 est la valeur approchée à 0,1 près (ou à 10-1 près) par excès de a.7,4 < a < 7,5 est un encadrement du décimal a à 0,1 près (ou à 10-1 près). La différence entre les bornes est 0,1.7,5 est la valeur arrondie à 10-1 près de a.Tronquer un nombre, c’est enlever un certain nombre de chiffres significatifs. 7,45 est la troncature de a au centième.

IV/ Les nombres réels.

Les rationnels ne permettent pas de modéliser toutes les mesures des grandeurs.Il a fallu inventé d’autres nombres que les rationnels , les irrationnels, pour rendre modéliser la continuité des nombres.L’ensemble des nombres réels, noté IR, inclut les nombres rationnels et les nombres irrationnels. A chaque point d’une droite, sur laquelle on a fixé une origine, il est possible d’associé un nombre réel. Les nombres réels remplissent donc la droite réelle : ils ne laissent aucun trou.Les naturels, les entiers relatifs, les décimaux et les rationnels sont des nombres réels. On a donc les inclusions, suivantes :

IN Z ID Q IR

Ecritures décimales illimitées des nombres réels.

L’écriture à virgule d’un décimal est limitée : il y a un nombre limité de chiffres significatifs après la virgule.

Les rationnels qui sont des décimaux ont donc une écriture décimale limitée. Par exemple : 1/4 = 0,25.

Le rationnel 1/3 n’est pas un décimal. On obtient : 1/3 = 0,33333…

0,33 est une valeur approchée à 10-2 près par défaut de 1/3.

0,33333… est l’écriture décimale illimitée du rationnel 1/3.Cette écriture possède une période d’un chiffre, c’est-à-dire qui se répète indéfiniment.

Les opérations dans IR :

L’addition dans IR est commutative et associative.

0 est élément neutre de l’addition.

Chaque nombre réel x a un opposé x’ dans IR : x + (x’) = 0.

x’ = opp(x) = - x

D’autre part, soustraire un réel, c’est lui ajouter son opposé.Si a et b sont deux réels, a-b = a+opp(b).

a-b est la différence des deux réels.

La multiplication dans IR est commutative et associative.

1 est élément neutre de la multiplication.

Tout nombre réel non nul x a un inverse x’ dans IR : x . (x’) = 1.x’ = inv(x) = 1/x

D’autre part, la multiplication est distributive par rapport à l’addition dans IR.Quels que soient les réels a, b et c on a :

( a + b) x c = ac + bc.

La relation ≤ est une relation d’ordre total dans IR.

V. DIDACTIQUE :1/ L’ enseignement des nombres rationnels et

décimaux à l’école primaire :

Dans les programmes Problèmes et procédures Langage

Cycle 2

Seuls les nombres entiers sont enseignés. Mais les élèves sont confrontés à la nécessité d’utiliser plusieurs unités pour exprimer une mesure : 4 € 15, 2m 25cm

Cycle 3

Fractions et nombres décimaux - Comparaison, encadrement, intercalation sur les décimaux.- Valeur approchée d’un décimal.- Décomposition avec 1000; 100; 10 ; 0,1; 0,01…

-Pour exprimer une mesure à l’aide d’une seule unité ou le résultat d’un partage;- Pour repérer des points sur une droite.- Pour approcher certains quotients d’entiers.

-Écritures fractionnaires et écritures décimales.-Lecture courante et lecture « signifiante ».

Au cycle 2, les élèves élaborent certaines connaissances issues de pratiques sociales sur :- les fractions simples : à travers des

expressions comme « un demi », « un quart » des expressions composées qui font

intervenir plusieurs unités : 3h25min, 3m25cm…)et des expressions à virgules (comme 3€25).

Toutefois, les nombres décimaux n’ont pas été introduits.

Au cycle 3 (plus particulièrement au CM):- les fractions apparaissent comme des nouveaux

nombres, utiles pour traiter des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre.

L’élève doit être capable de désigner un nombre décimal par différentes écritures (à virgule ou fractionnaire).

Il acquiert progressivement une maîtrise de l’ordre sur les décimaux. , développe une pratique de calcul exact ou approché et aborde des problèmes relevant de l’addition et de la soustraction de deux décimaux, de la multiplication d’un décimal par un entier.

L’enseignement sur les décimaux et les rationnels se poursuit au collège.

2/ Les principaux problèmes envisageables à l’école.

a/ Les fractions et les décimaux pour exprimer une mesure.

A l’école primaire, le plus souvent, les fractions et les écritures additives d’entiers et de fractions sont introduites comme des outils pour communiquer des mesures (longueur, aire…) à partir d’une unité dans des cas où cette mesure ne s’exprime pas par un nombre entier d’unités.

Exemple : première situation à laquelle sont confrontés les élèves.

b/ Les fractions et les décimaux pour repérer des points situés sur une droite.

Exemple : CM2

c/ Les nombres décimaux et le système métrique.Un travail en relation avec le système d’unités

de mesure permet d’utiliser les décimaux dans de nouveaux contextes en exprimant avec ces nombres des mesures formulées auparavant sous la forme d’expressions complexes faisant intervenir plusieurs unités comme 4m 7cm, qui sera désormais codé avec la seule unité mètre 4,07 m.

D/ Fractions, décimaux et quotients d’entiers.

Au cycle 3, la fraction 4/3 est liée au fait qu’on a reporté 4 fois le tiers de l’unité.Pour les élèves : 4/3 c’est donc 4 x 1/3.

L’enseignant de 6ème a donc à établir que « quatre fois 1/3 » est égal au « tiers de 4 ».

Comment ?

En proposant le problème suivant :« Trouver le nombre manquant pour que cette égalité soit vraie : 3 x … = 4 ».Ils penseront à diviser 4 par 3 et 4/3 est donc pensé comme le « tiers de 4 ».

3/ Erreurs d’ élèves.

2,4 + 3,6 = 5,102,6 x 4 = 8, 24Entre 1,5 et 1,6 il n’y a pas de nombres1,5 < 1,16Le chiffre des centièmes de 2,145 est 11,9 = 1/9 = un neuvième2,9 x 10 = 20,92,9 x 100 = 20,90

Taux de réussite - EVA6eme06

80% - 77 % - 77%

Taux de réussite - EVA6eme06

50%

Taux de réussite - EVA6eme06

34% - 20% - 22%

Taux de réussite - EVA6eme06

90% - 30%

Bibliographie :- Les mathématiques au concours de professeur des écoles,

Alain Descaves, Hachette 2005- Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel

Mante, HATIER CONCOURS 2008- Quelques extraits du cours de préparation au CRPE

(session 2009-2010) de Michel Bourguet, ancien formateur de mathématiques de l’IUFM de Polynésie française.

- CD « Microsoft Encarta » 2006

FIN

David Rolland, IUFM de la Polynésie française

Cours sur les nombres non entiers