david bonacci et corinne mailhes: [email protected]
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David Bonacci et Corinne Mailhes:[email protected]
[email protected], ou @n7.fr14-16 Port Saint Etienne, 31 000 Toulouse, France
Ouvrages de référence• Traitement Numérique du Signal, M.Bellanger, Ed.
Masson, collection CNET-ENST ( )
• T.N.S. 1.Bases, F.Castanié, polycopié ENSEEIHT, 1986.
• T.N.S. 2. Méthodes Avancées, F.Castanié, polycopié ENSEEIHT, 1987.
• Traité d’Electricité, EPFL, Ed Georgi
Vol XX, Traitement Numérique des Signaux, M.Kunt.
Vol VI, Théorie et Traitement des Signaux, M.De Coulon.
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II- Filtres R.I.F. (à Réponse Impulsionnelle Finie)
1) Définition2) Filtres à Phase Linéaire3) Méthode de Synthèse
III- Filtres R.I.I.(à Réponse Impulsionnelle Infinie)1) Définition2) Propriétés3) Méthode de Synthèse
I- La transformée en Z : l’outil
IV- Implantation 3/41
� L’autre application des plus courantes en T.S., après l’analyse spectrale
� Filtrage linéaire invariant dans le temps� Relations numériques inspirées de l’analogique
h(n)x(n) y(n)
y(n)= x(n)∗ h(n) = Σ h(k)x(n-k) = Σ x(k)h(n-k)
h(n) réponse impulsionnelleH(f) = T.F.D. {h(n)} réponse fréquentielle
h(t)x(t) y(t)
y(t)= x(t)∗ h(t) = h(u)x(t-u)du = x(u)h(t-u)du
h(t) réponse impulsionnelleH(f) = T.F. {h(t)} réponse fréquentielle
~
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Digital Signal Processors pourfaire du Digital Signal Processing (DSP)…Temps réel, flexibilité, fiabilité
• opération MAC : Multiply and AccumulateR ←←←← R + X * Yavec • Gestion de l’overflow : bits d’extension de la dynamique• Lecture de deux opérandes en un seul cycle micro (2 zones mémoires)• Mémoire circulaire gérée par le hard du DSP
DSP différent d’un processeur classique car :
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I – La transformée en Z :l’outil du Traitement du Signal Numérique
0 20 40 60 80 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Te
L’échantillonnage idéal : x(t) � x(nTe) n=0,…,N-1
xe(n) = ΣΣΣΣ x(nTe) δδδδ(t-nTe)L’échantillonnage idéalprovoque une périodisationdu spectreautour des multiplesde la fréquence d’échantillonnage
Fe=1/Te
Xe(f)=FeΣ X(f - nFe)
À temps continu :Transformée de Laplace,Transformée de Fourier
À temps discret :Transformée en Z,Transformée de Fourier Discrète
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Définition de la transformée en Z
{x(n)} � X(z) = Σ x(n) z-n
n = 0, 1,…,+∞ : TZ unilatéralen = - ∞,…,-1,0,1,…,+ ∞ : TZ bilatérale
Les relations entre ces transformées
Laplace : X(p) = ∫ x(t) e–pt dt
Fourier : X(f) = ∫ x(t) e–i2πft dt
z=e i2πf TZ=TFD~
p = i2πf TL = TF
T.Z : X(z) = Σ x(n) z–n
TFD : X(k) = Σ x(n) e–i2πkn/N
n=0
N-1
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Propriétés de la Transformée en Z
x(n) ∗ y(n) � X(z).Y(z)
x(n-k) � X(z) z-k z-1 retard d’échantillonnage
Dans un filtre linéaire :
y(n)= x(n) ∗ h(n) � Y(z) = X(z).H(z)
h(t)δ(t) h(t)
Réponse impulsionnelle d’un filtre :
ImpulsionDe Dirac
h(n)δ(n) h(n)
SymboleDe Kronecker
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Par analogieavec filtres analogiques, réponse fréquentielle rationnelle
H(z) = a0=1 � h(n) = T.Z.-1{H(z)}Σ bk z-k
Σ ak z-k
k=0
k=0
M
M
y(n) = -Σ ak y(n-k) + Σ bk x(n-k)M M
k=1 k=0
Des filtres analogiques aux filtres numériques
Remarque : on note « M » dans les deux sommes par simplicité.Nombre de coefficients dans les deux sommes pas forcément égaux.
| H(f) |² = H(z) H(z-1 ) | z = e i2πfTe
Suppose coefs réels9/41
Spécifications des filtres numériques
10/41
Spécifications des filtres numériques
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II – Filtres RIF (FIR) : 1) Définition
Cas particulier de filtres non récursifs :
y(n) = Σ bk x(n-k)d’où
H(z) = Σ bk z-k � h(n) = bn pour n=0,…,M
filtre à Réponse Impulsionnelle Finie(R.I.F.)� tout zéro, pas de pb de stabilité, faible sensibilité numérique� non récursif� à mémoire finie, défini par M+1 coefficients� phase linéaire possible
k=0
k=0
M
M
RIFx(n) y(n)
y(n) = -Σ ak y(n-k) + Σ bk x(n-k)M M
k=1 k=0
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II – Filtres RIF (FIR) : 2) Phase Linéaire
H(f) = Σ bk e-i2πkfTe = R(f) e-i φ(f)
k=0
M
Temps de Propagation de Groupe (TPG) = évaluation du temps de propagation des paquets d’onde dans le système linéaire
τ(f) = - 1/(2π) φ’(f)Ex : une sinusoïde de fréquence f0 retardée de τ(f0) en sortie du filtre.
Phase linéaire = TPG constant φ(f) = φ0 + 2πτf • si φ0 = 0, on obtient un RIF à coefficients réels et symétriques
• si φ0 = π/2, on obtient un RIF à coefficients réels et antisymétriques
• sinon, RIF à coefficients complexes
h(n)
τh(n)
τ
13/41
H(f)
f
0 0.5
n
H(f)
f
0 0.5M+1 coefficients
II – Filtres RIF (FIR) : 3) Synthèse
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�À partir d’un filtre idéal et troncature de la réponse impulsionnellehRIF(n)=hI(n).w(n) soit HRIF(f)=H I(f) ∗ W(f)
w(n) : fenêtre d’apodisationde support :n=-p,…,pconditionne l’ordre du filtre : filtre RIF d ’ordre2p+1
� filtre causal : décalage de la réponse impulsionnelle :hRIF(n)= hRIF(n-p)
influence des paramètres : ordre du filtre, fenêtre d’apodisationOndulations en bande passante et affaiblie égalesAmplitude des ondulations non constante
existe algorithmes d’optimisation pour égaliser les ondulationsdans la bande et hors bande : REMEZ
II – Filtres RIF (FIR) : 3) Synthèse
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RIF : Choix de l’ordre (échelle linéaire)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.5
1
1.5
Fréquence (Hz)
Am
plitu
de
Ordre 20
Ordre 50Ordre 200
Synthèse par fenêtre naturelle (rectangulaire) 16/41
RIF : Choix de l’ordre (échelle logarithmique)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Fréquence (Hz)
Am
plitu
de (
dB)
Ordre 20Ordre 50
Ordre 200
Synthèse par fenêtre naturelle (rectangulaire) 17/41
RIF : Choix de la fenêtre (échelle logarithmique)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Fréquence (Hz)
Am
plitu
de (
dB)
RIF d’ordre 50
Fenêtre naturelle (rectangulaire)
Fenêtre de Kaiser
Fenêtre de Hamming
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RIF : Choix de la fenêtre
Voir : « On the Use of Windows for Harmonic Analysiswith the Discrete Fourier Transform »,
F.J.Harris, Proc. Of the IEEE, vol 66, n1, Jan. 1978.
Choix entre largeur du lobe principal (pente du filtre)et les ondulations (ondulations dans les bandes)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
HammingHanningBartlett (triangulaire)Blackman… diverses façonsd’arrondir la coupure
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RIF : Optimisation – critère moindres carrés
Critère : J(h) = Σ P²(n) | H(fn) – HI(fn) |²n=0
Nf - 1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.5
1
1.5
Fréquence (Hz)
Am
plitu
de
RIF ordre 30, fenêtre rectangulaire
RIF optimisé MC
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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Fréquence (Hz)
Am
plitu
de (
dB)
Filtre RIF d'ordre 33 optimisé avec REMEZ
RIF : Optimisation – algorithme de RemezCritère : avoir tous les maxima de l’erreur de même amplitude
Aucune démonstration de convergence… 21/41
III – Filtres RII (IIR) : 1) Définition
RIIx(n) y(n)
y(n) = -Σ ak y(n-k) + Σ bk x(n-k)M M
k=1 k=0
Filtres récursifs, propriétés proches des filtres analogiquesFonction de transfert :
H(z) = Σ bk z-k
1+Σ ak z-k
k=0
k=1
M
M
| H(f) |² = H(z) H(z-1 ) | z = e i2πfTe
Présence de pôles !!! Risque d’instabilité !!! 22/41
III – Filtres RII (IIR) : 2) Propriétés
Réponse impulsionnelle et stabilité
Si dénominateur n’a que des pôles simples, h(n) = Σ Ak pkn n>0
avec H(z) décomposé en éléments simples
H(z) = Σ
alors la condition de stabilité : entrée bornée - sortie bornée:|h(n)| < Bh pour tout n |pk| < 1 pour tout k
k=1
M
1-pkz-1
Ak
k=1
M
1
1
-1
-123/41
Réponse en phase : systèmes à minimum de phaseDéfinition :tous les zéros du numérateur du filtres sont dans le cercle unité(tous en dehors : système à maximum de phase)(en dehors et en dedans : système à phase mixte)Intérêt du minimum de phase : système inverse stablePropriété recherchée dans beaucoup d’applications
Réponse en phase : TPGOn démontre :filtres rationnels ne peuvent pas avoir de phase linéaire(sauf RIF)
III – Filtres RII (IIR) : 2) Propriétés
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III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse
1. Synthèse d’un filtre analogique HA(p)2. Transformation HA(p) →HN(z)
conservant certaines propriétés de HA(p) à HN(z).
Conservationd’une réponse
temporelle
Conservationd’une réponseharmonique
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III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse
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III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse par invariance à une entrée
On cherche : sN(n) = sA(nTe) pour une entrée de référencee(n) = e(t = nTe)
HN(z) = TZ{E(p)HA(p)}
TZ{E(p)}
Invariance impulsionnelle :
Invariance indicielle :
HN(z) = TZ{HA(p)}
HN(z) = (1-z-1)TZ{H A(p)/p}
Filtre numérique a la même réponse de référence choisie que le filtre analogique correspondant.
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III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse par invariance à une entrée
Les filtres analogique et numérique ont la même réponse impulsionnelle :-Conserve la réponse temporelle et la stabilité- mais…phénomène de recouvrement de spectre dû à l’échantillonnage,- Non respect de la spécification fréquentielle !
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III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse par conservation de la réponse harmonique
pHA(p)
zHN(Z) = HA(T(z))
Principe : changement de variable
1
1
-1
-1
Fractionrationnelle
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III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse par conservation de la réponse harmonique
Transformer une droite en cercle : transformation homographique,appelée Transformée bilinéaire
1- z-1
1+z-1p = c Souvent c = 2/Te
fA=Fe/π tan(π fN ) : préserve les basses fréquences~
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fN
Gabarit numérique
fC1 fC2
ωA=2Fe tan(π fN ) ~
ωAωC1 ωC2
Gabarit analogique
Choix d’un modèleanalogique,Calcul de HA(p)
1- z-1
1+z-1p = 2
TeHN(z)
� changer p en z par la bilinéaire
�à partir du gabarit numérique, construire gabarit analogique
����synthétiser un filtre analogique satisfaisant (modèle ?)
III – Filtres RII (IIR) : 3) Synthèse par conservation de la réponse harmonique
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FILTRES R.I.I.
� Prototypes de filtres analogiques� ButterworthPas d’ondulation |H(ω )|² = 1/ [1+(ω / ωc )2n ] n ordre du filtre, ωc pulsation de coupure à –3 dB, pôles sur le cercle unité� Tchebychef|H(f )|² = 1/ [1+ ε2 T²n(f)] avec Tn(cos(x)) = cos(nx)Relation de récurrence sur Tn : Tn+1 = 2x Tn(x) – Tn-1(x)Passent + facilement dans le gabarit que Butterworth pour même ordre� Elliptiques (Cauer)|H(f )|² = 1/ [1+ ε Sn(f,k)] k : sélectivité du filtreÀ gabarit donné, ordre du filtre le moins élevé� BesselPhase à peu près linéaire, TPG constantMais mauvaise caractéristique de module 32/41
Critère à minimiser :
Le vecteur θ contient les paramètres du filtreP : pondération spectrale à choisirHI : filtre idéalH : filtre à optimiserMéthodes du gradient
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Algorithmes d’optimisation ne garantissent pas stabilité de la solution→ changer le vecteur paramètre : prendre les pôles + contrainte→ plus simple : stabiliser une solution instable en conservant moduledu filtre inchangé.Si p pôle instable,
H(z) = G(z) avec |p| >1
« réfléchir » ce pôle dans le cercle unité : changer p en p-1*
passe-tout de module unité : HPT(z) =
donc H’(z) = H(z) HPT(z) = G(z)
si appliqué aux zéros : filtre à minimum de phase.
1-pz-1
1
1-pz-1
1- p-1* z-1p1
1p(1- p-1* z-1)
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IV – Filtres RII (IIR) : Implantation
Nécessité de fractionner en structures plus petites⌦Formes décomposées Série (cascade)H(z) = CΠ Hi(z)propagation des erreurs ParallèleH(z) = C + Σ Hi(z)
Éléments simples du 1er ou 2nd ordre
1+b1 z-1 + b2 z-2
1+a1 z-1 + a2 z-2
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IV – Filtres RII (IIR) : ImplantationDécompositionen série
Obtenue en factorisant numérateur et dénominateur de H(z)et en mettant sous forme de produits de FT élémentaires
FT du 1er ordre FT du 2èmeordre
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Décompositionen parallèle
Obtenue en décomposant H(z) en éléments simples
FT du 1er ordre FT du 2èmeordre
IV – Filtres RII (IIR) : Implantation
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Stabilité de la cellule du second ordre
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
3 bits après la virgule(+/-)xx,xxx
2 bits après la virgule(+/-)xx,xx
arrondi : coin le plus prochetroncature :coin en bas, à gauche
a1
a2 a2
a1
Dans le plan (a1,a2), intérieur du triangle
Pôles ∈ C
Pôles ∈ R
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40/41
alors RIF ou RII ?
41/41
Analyse Spectrale
∑∫+∞
−∞=
−−
ℜ
≈=n
nfTiE
nfti EenTxdtetxfX ππ 22 ).()()(
X k x n e
k N
i nk N
n
N
( ) ( )
,...,
/=
= −
−
=
−∑
2
0
1
0 1
π
[ ]x n x n w n
w n n NF ( ) ( ). ( )
( ) ,
=≡ ∉ −avec pour 0 0 1
Fenêtres de pondération :
NCtef /≈∆
Analyse Spectrale par Transformation de Fourier(déterministe)
[ ]TFD e W k k
f k N
i f n20
0 0
0π = −
=
( )
/avec
1/7
Analyse Spectrale
NCtef /≈∆
Analyse Spectrale par Transformation de Fourier(déterministe)
2 fréquences pures vues avec :
2/7
Analyse Spectrale
Fenêtres usuelles et leurs caractéristique
• Pour chaque fenêtre w(n) définie sur [-(M-1), M-1], le tableau ci-dessous donne la largeur à -3 dB du lobe principal (en fractions de N=2M-1) et le niveau du premier lobe latéral par rapport à celui du lobe principal.
3/7
Analyse Spectrale
Analyse Spectrale par Transformation de FourierCas stochastique stationnaire
( ) ( )S f TF Rx x= ( )τ
[ ] ( )fSXEL xLL =∞→
21lim
Deux théorèmes :
( )$ ( ) ( )
,...,
R mL
x n x n m
L N N m
m N
xn m
N
= −
== −
∗
=
−
∑1
0 1
1
avec ou L = -
Analyse Spectrale par corrélation
Analyse Spectrale par TFD
1. Analyse Spectrale par corrélation
( )[ ] ( )E S f S f W fx x$ ( )= ∗ ( )[ ] ( )Var S f S f Nx x
$ ≈ 2
4/7
Analyse Spectrale
Performances des estimateurs d’autocorrélation
• Biais et variance des estimateurs biaisé et non biaisé d’autocorrélation en fonction du rang k.
5/7
Analyse Spectrale
Analyse Spectrale par Transformation de FourierCas stochastique stationnaire
2. Analyse Spectrale par TF Directe
( )[ ]
npondératio de treefen )(
)().()(
)(1 2
,
nw
nwnxTFDkXavec
kXN
kS
p
pxp
=
=
( )[ ] ( )Var S k S k Np x, ≥ ∀2
( )[ ] ( )E S k S k W kp x x$ ( ), = ∗ 2
( )[ ] ( ) PCtefkWkSkSE xxpC /)(ˆ 2
, ≈∆⇒∗=
( ) ( )$S kMP
X kpc ii
M
==∑
1
1
2
[ ] ( )Var S k S k Mpc x$ ( ) /≈ 2
‘Périodogramme’
‘Périodogramme cumulé’
Dilemme résolution-variance
0 200 400 600 800 1000 1200-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Signal du fichier radar1
n
x(n)
TF
P
i=1 i=M
6/7
Analyse Spectrale
Effet du fenêtrage sur le périodogramme
7/7
Modélisation Paramétrique
Modélisation paramétrique
ChoixD’un modèle
Estimationdes paramètres
du modèle
Analyse spectrale, Compression, Détection, Classification…
Problématique :Construire un modèle mathématique« collant le plus possible »(au sensd’un critère)aux signaux(numériques)étudiés.
signalx(n)
++
Erreur de modèlee(n) =x(n)-x(n)^
-
modèlex(n)^
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Modélisation Paramétrique
Modèle paramétrique générique
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−∞−−=44 344 21LL 1,;,,1 nBnBXnXfnX
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]X n f X n X n p B n B n q= − − −1 , , , , ,L L
X n a X n k b B n kkk
p
kk
q
( ) ( ) ( )= − − + −= =∑ ∑
0 0
( )[ ]( ) ( )[ ] ( )
E B n
B n B m n mB
=
= −
02cov σ δ
[ ]f . linéaireModèle ARMA
2/22
Modélisation Paramétrique
Modèle Auto-Régressif à Moyenne Ajustée (ARMA)
B(z)A(z)
Bruit Blanc
Modèle ARMA
Autocorrélation :
D.S.P. :
EstimateurSpectral
Pb : estimation des paramètres ? bk ?choix des ordres (p,q) ?
3/22
Modélisation Paramétrique
Exemple de DSP d’un ARMA(p,q)
4/22
Modélisation Paramétrique
Propriétés ARMA
∑∑==
−+−−=q
kk
p
kk knBbknXanX
01
)()()(
( ) ( ) ( ) ( ) ( )X n S z S z H z H zX B→ = ∗∗. 1
( ) ( )S X ei f H ei fB
2 22
2π π σ= .
( ) ( )∑ ∑= =
−
+−−=p
kB
q
mKmkkXkX hbkmRamR
1
2σ
aRr .−=
( )
( )r =
+
+
R q
R q p
X
X
1
:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )R =
+ −+
+ −
R q R q p
R q R q
R q p R q
X X
X X
X X
...
...
...
1
1
1
rRa 1.−−=5/22
Modélisation Paramétrique
Modèle Auto-Régressif (AR)
1A(z)
Bruit Blanc
Modèle AR
EstimateurSpectral
Estimation des paramètres : ak , k=1,…, p et σ²eÀ l’aide d’algorithmes basés sur l’estimation de la corrélation.Critères pour l’estimation de l’ordre p
aRr .−=
( )
( )pR
R
X
X
:
1
=r
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )0...1
...01
1...0
XX
XX
XX
RpR
RR
pRR
−
−=R
rRa 1.−−=
6/22
Modélisation Paramétrique
Algorithme de Levinson-Durbin
7/22
Modélisation Paramétrique
AR(10) de 3 exponentielles bruitées
8/22
Modélisation Paramétrique
AR(10) d’une seule exponentielle bruitée
9/22
Modélisation Paramétrique
Choix de l’ordre
10/22
Modélisation Paramétrique
Choix de l’ordre
11/22
Modélisation Paramétrique
Ex : Canal multi-trajets : sélectivité en fréquence
s(t) = αi(t) e(t-τi(t))i=1
N
e(t)
|H(f)|
f
Exemple DVB-T : Délai max = 224 µs, Ds = 7.4 Mbauds, ISI = 1657 symboles
Modèles ARMA non stationnaires
par Nath. Thomas12/22
Modélisation Paramétrique
13/22
Modélisation Paramétrique
14/22
Modélisation Paramétrique
Canal sol-avion non-stationnaire
Filtrage linéaire variant dans le temps y(n)= Σ h (n, k)x(n-k)
0 200 400 600 800 1000-2
-1
0
1
2
3
4
true and estimatedparameters of the time-varying channel
15/22
Modélisation Paramétrique
Modèle de Prony
Modèle déterministe :Somme d’exponentielles complexesamorties
et
Intérêt : estimation de fréquences, amplitudes, phases et amortissementsIntérêt : estimation de fréquences, amplitudes, phases et amortissementsIntérêt : estimation de fréquences, amplitudes, phases et amortissementsIntérêt : estimation de fréquences, amplitudes, phases et amortissements
EstimateurSpectral
( ) ( ) 0 ,1
≥+=∑=
kkezbkRp
m
kmmX
( ) ( )kRkR XX −= * ou
16/22
Modélisation Paramétrique
Modèle de Prony
�Estimation AR�pôles
� Résolution de Vandermonde
�Amplitudes complexes
Estimation des paramètres
s n B z n s n a s n k n p
a s n k a n p
mm
p
mn
kk
p
kk
p
( ) , ( ) . ( ) ,
. ( ) , ,
= ≥ ⇔ = − − ≥ +
⇔ − = = ≥ +
= =
=
∑ ∑
∑
1 1
00
0 1
0 1 1
( ) ( )A z z z a zmm
p
kp k
k
p
= − ==
−
=∏ ∑
1 0
( ) *tHH1H XXxXXXa == − avec MC
( )[ ]
B V V V x
V
B
H 1 HMC
mn
MC p
t
z
B B
=
=
=
−
$
$ ... $
Vandermonde (Nxp)
1
17/22
Modélisation Paramétrique
( ) ( )∑ ∑= =
−⋅=P
m
L
imimmi
m
nnhAnx1 1
,,ˆ
Modèles Multi-impulsionnels
{ }miA ,{ }min ,P Signaux d’entrée impulsionnels de paramètres
( ) ( ) PmnnAnBmL
imimim ,...,1
1,, =−∂⋅= ∑
=
( ){ } Pmnh mSm ,...,1, , =Θ
Modèle de signal multi-impulsionnel multi-modèles
excitant P filtres générateurs (ARMA, Prony, …) de paramètres et donc R.I. mS ,Θ
18/22
Modélisation Paramétrique
Exemple de signaux électromagnétiques
0 2000-1
0
1
0
4
3
2
1
2000
( )nx
( ){ }4,...,1
, ,
=Θ
m
nh mSm
4=P
??
19/22
Modélisation Paramétrique
Modélisation Multi-Prony Multi-Date
0 0.5 1 1.5 2
Temps (µs)
Trans. en Ondelettes
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
Temps (µs)
Modélisation paramétriquedes formes d’ondes
20/22
Modélisation Paramétrique
0 200 400 600 800 1000-4
-2
0
2
x 10-3
0 200 400 600 800 1000
-10
-5
0
5
x 10-4
0 10 20 30 40 50-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Signal Original
Modèle
Exemple de signaux biomédicaux (EMG)
( )nx
( )nB1
( ){ }1,1 , Snh Θ
1=P
21/22
Modélisation Paramétrique
0 200 400 600 800 1000
-2
0
2
4
6
x 10-3
0 200 400 600 800 1000
-1
0
1
2
x 10-3
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
p-neuro 3c
Exemple de signaux biomédicaux (EMG)
( )nx
( )nB 1
( ){ }1,1 , Snh Θ
1=P
22/22
Analyse Spectrale
Paramètres
N=200échantillons, 100réalisations
SNR=-2dB p=60
Comparaison AR - Périodogramme
Cas d’un sinus + bruit
N : nombre de points de signal
γ: rapport signal à bruit
p : ordre du modèle (~ N/3 au maximum)1/17
Analyse Spectrale
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510
-2
10-1
100
101
102
103
104
105
106
107
Ordre = 2
Ordre = 4
Ordre = 6
Fréquences normalisées
dB
Spectre AR LSMYW
Périodogramme
3 sinus et du bruit, un signal d’école…
2/17
Analyse Spectrale… et si on augmente encore l’ordre ?
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510
-2
100
102
104
106
108
Fréquences normalisées
dB
Ordre = 6
Ordre = 50
Ordre = 12
Périodogramme
Spectre AR LSMYW
3/17
Analyse Spectrale
Comparaison AR-Périodogramme
• Influence du nombre d’échantillons N
4/17
Analyse Spectrale
Comparaison AR-Périodogramme
• Influence du SNR
5/17
Analyse Spectrale
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510
-15
10-10
10-5
100
Fréquences normalisées
Ordre = 6
Ordre = 12
Ordre = 20
Spectres du modèle de Prony
( ) ( ) 0,1
≥+=∑=
kkezbkRp
m
kmmX
( ) ( )R k R kX X= −*6/17
Analyse Spectrale
Exemple d’émetteur de base
Exemples de mises en forme : NRZ, Biphase, RCF
TS
h(t)
TS
h(t)
- TS
h(t)
TS
Filtre de mise en forme :h(t) Bits
{bk}
Signal
B=(1+α)/2Ts
B=2/Ts
B=1/Ts
x(t) = bkh(t-kTs) = b(t)*h(t)k
Zk∈
avec b(t) = bkδ(t-kTs)k
bk h(t)bk
Information binaire
Symbole
7/17
Analyse SpectraleExemple d’égalisation fixe
Min{ E[e2(n)] } Copt = [Rxx]-1.Rbx
s(t) = αi e(t-τi) = 1. e(t) + 0.5 e(t-TS) + n(t)i=1
N
~
• « MMSE » : Minimum Mean Square Error
• Canal sélectif + perturbation sinusoïdale
sinusoïdal ( f = 1/3.1)
s(t)
S(f)
Copt (f)
8/17
Analyse Spectrale
aaaaa…
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510
-8
10-6
10-4
10-2
100
Périodogramme du signal
Fe = 22050 Hz
176 Hz
Fréquences normalisées9/17
Analyse Spectrale
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510
-4
10-2
100
102
104
106
108
1010
Spectre AR LSMYWOrdre 40
Fréquences normalisées
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510
-2
10-1
100
101
102
103
104
105
Spectre AR Yule-Walkerordre 400
Fréquences normalisées
Périodogramme du signal
Fe = 22050 Hz
176 Hz
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510
-2
10-1
100
101
102
103
104
105
Spectre AR Yule-Walkerordre 400
Fréquences normalisées10/17
Analyse Spectrale
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-40
-20
0
20
40
60
Fréquence (Hz)
Am
plitu
de (dB
)
Harmoniques de la fréquence statorique
Défaut d‘excentricité
Analyse spectrale du courant statorique
Ali ABDALLAH, Martin BLÖDT, Sylvain CANAT, Bruno DA GUES, Jean FAUCHER CODIASE/TIMSuD
Ali ABDALLAH, Martin BLÖDT, Sylvain CANAT, Bruno DA GUES, Jean FAUCHER CODIASE/TIMSuD11/17
Analyse Spectrale
0 5 10 1 5 2 0 2 5 3 0 35 4 0-5 0
-4 0
-3 0
-2 0
-1 0
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
F re qu en c y ( Hz)
Am
plitu
de P
SD
(d
B)
to rqu e va r ia tio nsh ea lth y c ase
Densité spectrale de puissance avec périodogramme moyenné
MAS - Essai avec et sans variations de couple courant statorique
Ali ABDALLAH, Martin BLÖDT, Sylvain CANAT, Bruno DA GUES, Jean FAUCHER CODIASE/TIMSuD
Ali ABDALLAH, Martin BLÖDT, Sylvain CANAT, Bruno DA GUES, Jean FAUCHER CODIASE/TIMSuD12/17
Analyse Spectrale
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-60
-40
-20
0
20
40
60
80Spectre du fichier x5 composante 1
Spectre (DSP)‘de raies’
Signal
-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Signal du fichier x5 composante 1
Alternateur 60 KW Signal de flux : Essai sans court-circuit
périodogramme
AR
13/17
Analyse Spectrale
Reconnaissance en TF:Analyse Wigner de cliquetis
avec
sans
14/17
Analyse SpectraleReconnaissance en TF:Analyse Wigner de cliquetis
avec
sans15/17
Analyse Spectrale
Modèles paramétriques évolutifs
Signal de pression cylindre
16/17
Analyse Spectrale
Modèles paramétriques évolutifs
Apparition du cliquetis
17/17